Полусовершенные кольца с заданной присоединенной группой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Р Г Б ОД

Ь, - л V ;•

' ' > - Кшвський уншерситет ¡меш Тараса Шевченка

1щук Юрш Богданович

УДК 512.544+519.46

ИАП1ВДОСКОНАЛ1 К1ЛБЦЯ 3 ЗАДАНИМИ ПРИЕДНАНИМИ ТРУПАМИ

01.01.06 - алгебра 1 теор1я чисел

АВТОРЕФЕРАТ дисертаци на здобутгя наукового ступеня кандидата ф1зш<о-математичних наук

Кшв- 1998

Дисертащею е рукопис.

Робота виконана у Льв1вському державному ушверситет1 ¡меш 1.Франка. Науковий кср1вник

кандидат ф13ико-математичних наук доцент Артемович Орест Дем'янович Кишський ушверситет ¡м. Т.Шевченка докторант кафедри алгебри i математично! лопки

Офвдйш опоненти:

доктор ф1зико-математичних наук професор Сисак Ярослав Прокопович 1нститут математики HAH Украши провщний науковий сшвробтшк,

кандидат ф1зико-математичних наук доцент Яременко Юрш В V Vx t Орович Ктвський ушверситет iM. Т.Шевченка докторант кафедри геометрц

Провщна установа

Ужгородський державний ушверситет

Захист вщбудеться 21 вересня 1998 року о /у- годин! на засщанш спец)ал)'зовано1 вчено! ради Д26.001:18 Кшвського ушверситету шеш Т.Шевченка за адресою: 252127, м.Кшв - 127, проспект академжа Глушкова, 6, Кшвський ушвсрситет шеш Т.Шевченка, мехашко-математичний факультет.

3 дисертащоо можна ознайомитись у 6i6nioTeui Кишського ушверситету iMem Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розюлано ^ uUA\MdL. 1998 р.

Вчений секретар спещашзовано! вчено! ради

Петравчук А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальшсть теми.

Важливою областю застосування теорп груп е теор1я груп оборот-шх (—кваз1регулярних) елементчв асощативних юлець, яка почалася з вивчення мультиплжативних груп в1домих пол1в. Напевно, першим результатом в цьому напрямку е основна теорема арифметики, яка стверджуе, що кожне ненульове рацюнальне число можна однозначно записати у вигляд1

де р{ - р1эш прост1 числа, а а,- ф 0 - цш числа. Зв1дси отримуемо опис мультигшкативно! групп <12* поля рацюнальних чисел

<Г х (х2).

Ко

Алгебра1чт одиниш вперше зустр1чаються в робот1 Гауса. Подалыш узагальнення основно5 теореми арифметики привели до основно! тео-реми теори iдeaлiв, яка стверджус, що в шльщ алгебра1чних чисел А ¿з скшченного алгебра!чного розширення К кожний щлий 1 кожний дробовий ¡деал X ф 0 юльця Я сшвпадас з однозначно визначеним до-бутком простих щеал1в тобто

X = V■ • де а{ ф 0 - цш числа,

а отже, нeнyльoвi 1деали утворюють вшъну абелеву групу. Вщзначи-мо також, що вивчення мультиплжативних груп скшченних алгебра5ч-них розширень простих пол!в привело до такого важливого результату, виомого як теорема Д1р1хле про оборотш елементи. А самс, якщо Я -кыьце щлих алгебра!чних чисел поля К, яке е скшченним алгебра1ч-ним розширенням поля рацюнальних чисел О, то його група одиниць Ы(В) с прямим добутком сюнченно1 цикл1чно1 групп 1 г\ + г2 — I не-скшченних цикмчних груп, де - юльюсть дшсних корешв, а г2 -

кшьюсть пар комплексно спряжених коретв многочлена f(x) 6 Q[z], що визначае поле К. До в1домих класичних результат належить та-кож опис Гензеля групи оборотшх елементпв юльця щлих р-адичних чисел i теорема Сколема про мультиплжативш групи пол1в алгебра1ч-них чисел. До останнього часу цш тематищ придшялось достатньо мало уваги. Як приклад, теорема Сколема отримана лише 50 роюв тому. Першим систематично вивчсння труп оборотшх слемешлв пров1в Х1гман. В 60-х роках почалося штенсивне доапдження мультиплша-тивних гр'уп групових юлець. Важливу роль у вивченш груп одиниць групових юлець з!грали роботи С.Д. Бермана, С.К. Сегала, Г. Цас-сенхауза, К. Роггенкампа, A.A. Бовд1 та шших. Паралельно вшзчен-ню мyльтиплiкaтивниx шдгруп юлець йшло достдження мультиплжа-тивних шдгруп пол1в (Гензель, Сколем, Xya-JIo-Кен, М.Ш.Хузурбазар, Скотт, Херстейн, Амщур, Л1хтман та iH.).

Досягнення у вивченш мультиплжативних груп tLi сприяли вивчен-ню шдгруп o6opoTHix елеменив в асощативних юльцях з одиницею. Вивчення юлець з перюдичною приеднаною групою бере свш початок з poöiT Бернсайда i Шура. Класична теорема Веддербарна доводить, що скшченне tLio комутативне, а його мультиплжативна група цикл1чна. Сюди взноситься теорема Джекобсона про комутатившеть юльця, для будь-якого елемента х якого ¿снуе таке щлс число п(х) > 1, що z71^ = х, i теорема Ширшова-Прочез1 про локальну скшченшсть групи одиниць Р/-юльця, а також результата Прша, Цассенхауза, Кремли та iH.

Актив1зувалося вивчення радикальних юлець; характерною рисою е значш устхи у вивченш приеднаних груп радикальних юлець, що пов'язано з роботами Дженшгса, Воттерса, Я.П.Сисака, Амберга, Дженппда та шших. Ними, зокрема, досл1джувались юльця з локально шльпотентними приеднаними трупами. Гругюш юльця з шльпо-тентною групою одиниць вивчались 1.1.Хриптою, Ф1шером, Парманте-ром, Ссгалом та щ. Олдрздж. Фидер, А.В.Ратшов, Гроза досгиджували арт1нов1 юльця з шльпотентною групою одиниць.

Першими результатами в напрям! дослщження юлець з умовами еюн-

ченностл для приеднаних груп е класична теорема Д1р1хле. теореми Роке 1 Самюеля, Басса, Серра 1 Ранжунатана. Активно вивчаються групов1 юльця, групп одиниць яких задовольняють умовам скшчен-ность Асощативт юльця з единицею 1 нетеровою групою одиниць доел1джував Ян Кремпа.

Досягнуто певних усшх1в у вивченш адитивних груп юлець. Останшм часом значна увага придшяеться вивченню спещальних тишв асошативннх юлець з одиницею, група одиниць (=приеднана трупа) яких належить до одного ¡з вщомих клаив груп. В останш десятир1ччя активно дослджуються групи одиниць (=присднаш групп) нашвдосконалих юлець. Наявшсть 1зоморф1зм1в

тп

(я/Лв.))0 = д'/дог = П

1=1

та багата iнфopмaцiя про мультиплжативш групи Т* тил Г,-, лшшш групи, будову приеднаних груп радикальних юлець 1 потужш результа-ти про нашвдосконал1 юльця роблять актуальною задачу дослЛджепня нашвдосконалих юлець з заданими приеднаними трупами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаци пов'язана з науково-досл1дними роботами кафедри алгебри 1 топологи " Алгебро-тополоНчш конструкци та ¡х застосування" (номер державно! реестраци 0195У009660). Мета 1 задач1 досл1дження. Метою дисертаци е:

- опис нашвдосконалих юлець з перюдичними приеднаними трупами;

- встановлення будови нашвдосконалих юлець з енгелевою приедна-ною групою;

- встановлення властивостеи нашвдосконалих юлець, приеднана група яких задовольняс деяким умовам скшченност1;

- встановлення впливу властивостеи асоцшовано1 групи на будову юльця.

Наукова новизна одержаних результатов.

Усп одержан! наукогп результаты е новими. В дисертаци

- вперше охарактеризовано нашвдосконал! кыьця з перюдичною приед-наною'групою;

- вперше описано нашвдосконал! кьчьця з перюдичною локально импотентною приеднаною групою;

- вперше. встановлено властивост! шлець з перюдичною (в1дпов1дно шльпотентною, нетеревою, ьпшмаксною) асоцшованою групою;

- вперше встановлено властивост! нашвдосконалих юлець, приедна-на група яких задовольняе умовам сюнченност1, (а саме: приеднана група Biflnosiflno полщиюична, задовольняе умов! скшченност! рангу по абелевих шдгрупах, умов! скшченност! к л ас in спряжених елемен-TiB);

- описано властивост! нашвдосконалих юлець з енгелевою приеднаною групою.

Практичне значения одержаних результат1в.

Результата дисертацп мають теоретичне значения. Вони можуть бути використаш у досыдженнях груп одиниць (приеднаних груп) асошативних юлець.

Особистий внесок здобувача.

Bei науков1 результата, включен! в дисертащю, одержано здобува-чем особисто. У працях [1-2, 4, 7, 10] науковому кер!внику О.Д. Артемовичу належать формулювання задач, 1де1 i кер1вництво роботою, результата ж отримаш автором самостшно.

Апробацья результат1в роботи.

Результати дисертацП допов1дались i обговорювались на Льв1всь-кому MicbKOMy алгебра!чному ccniiiapi та спещальних семинарах кафе-дри алгебри i топологи (JlbBiB, 1995-1998), Всеукрашськш конференцй "Розробка та застосування математичних метод1в в науково-техн!чних

доа-пдженнях", присвяченш 70-р1ччю професора П.С.Каз1м!рського (JlbBiB, 1995), IV М1жнароднш математичнш конференцп, присвяченш пам'ят1 академпса М.Кравчука (Кшв, 1995), IV i V М1жнародних конфе-ренщях "Групп i rpynosi юльця (Льв1в,1996; Бялосток,1997), М1жнарод-нш алгебра1чнш конференцп, присвяченш пам'яти проф. Л.М.Глускша (Слов'янськ, 1997), М1жнароднш алгебра1чшй конференцп, присвяченш пам'ят1 члена-кореспондента Ф.К.Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997).

Публшаци.

Основн1 результат!! дисертацп опублжоваш в працях [1-10], з яких 5 надруковаш у виданнях з перелжу, затвердженого ВАК Украши.

Структура i об'ем роботи.

Дисерташя складаеться i3 вступу, списку умовних позначень, чо-тирьох роздипв, розбитих на шдрозд1ли, висновюв i списку використа-них джерел. Обсяг дисертацп - 117 сторшок. Список використаних джерел включае 118 найменувань.

Автор висловлюе щиру подяку О.Д.Артемовичу за наукове кер1вниц-тво та постшну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ 3MICT ДИСЕРТАЦП

Нехай R - асощативне юльце з операщями додавання "+" i множен-ня '' ■ Ми позначимо через о так звану кругову операшю на R, визначену правилом а о b = а + b -f а ■ Ь, де а, Ъ елементи з R. Добре в1домо, що множина Bcix елемегтв R утворюе нашвгрупу з одинич-ним елементом 0 £ R стосовно кругово1 операцп. Група Bcix o6opoTnix елемент1В uiei нашвгрупи називаеться приеднаною (або екв1валентно, кваз(регулярною) групою юльця R i позначаеться через R°. Якщо R — R°, то юльцс.К називаеться радикальним. Нехай R - юльце з оди-ницею 1^0, тодд R° = U(R), де U{R) - група одиниць шльця R. Тому надаль ми будемо (в залежност1 вiд зручноеп) говорити про присд-нану трупу або трупу одиниць юльця, не роблячи при цьому окремих зауважень.

Нагадаемо, що кигьце Я називаеться натвлокалъним, якщо фактор-к1тьце Я/¿[(Я) е правим артшовим 1 нашвлокальне юльце Я е натв-досконалим, якщо вел ¿демпотенти Я/^(Я) можна тдшмати до ¿дем-потенпв Я за модулем радикала Джекобсона ¿Г(Я).

Коротко охарактеризуемо эьпет роботи.

Дисертацшна робота присвячена, в основному, вивченню нашвдос-коыалих К1лець ¿з заданою приеднаною групою.

У встут обгрунтована актуалыпеть дисертацшного досл1дження автора, визначена мета 1 об'екти дослпдження.

У роздиг 1 даеться огляд л1тератури присвячено! приеднаним трупам асощативних кинщь, 1 короткий пор1вняльний виклад результата дисертацп.

У роздШ 2 розглядаються нашвдосконал1 кшьця з перюдичною приеднаною групою. Пгдрозды 2.1 носить дополпжний характер. В нъому наведет елементарт властивост1 приеднаних груп кьтьця, а та-кож розглядаеться асоцшована група кшець з одиницею, яка узагаль-нюе конструкщю, вперше введену в розгляд Я.П.Сисаком для ради-кальних юлець (Произведения бесконечных групп . Препринт Ин-т математики. - N 82.53. - К.:1982). В тдроздШ 2.2 охарактеризован! нашвдосконал1 гальця з перюдичними приеднаними трупами, а саме, доведен! наступш три твердження:

Теорема 2.2.7. Нехай Т - т'¡ло. Тод1 Т* -р-трупа, якщо 1 тыькп якщо Т - скшчснне : 13 оморфне одному Ь полгв :

1) СР{2) ;

2) 6^(2"-), де (2" - 1) - просте число Мерсенна ;

3) СР(р), де р — (22т + 1) - просте число Ферма ;

4) 9) .

Теорема 2.2.8. Нехай Я - натвдосконале шльце.

(1) Тод1 Я° - 2-група, якщо 2 тшьки якщо Я належать до одного з титв:

а) Я = Т\ © ... ® Тт (то бМ) - пряма сума пол1в, кожне з яких

¡зоморфне GF{2), або GF(p), дер - просте число Ферма, або GF(9); б) R/J{R) * GF{2) Ф ... © GF{2), charR = 2к {к G N), J(R) -

тль-1Деал.

(2) Тод1 R° - р-група {р > 2), якщо i тшькп якщо R = Ti ф ... © Тт (т £ N) - пряма сума гго.и'в, кожне з якпх /зоморфнс GF{2) або GF(2n), де (2П — 1) - просте число Мерсенна.

Твердження 2.2.10. Для натвдосконалого юльця R р'тносильш тага твердження :

1) R° - перюдична група ;

2) R/J(R) = Mn,(Ti) © ... ф M„s(Ts), Ti— абсолютне поле характеристики pi (г — 1,... ,s), J~(R) - тль-1деал, R+ - перюдична група скшченноi експонентп.

При доведены! останнього твердження використовуються факти, ягп мають, на наш погляд, самостшне значения. А саме, якщо Я - ради-кальне юльце, породжене одним елементом з перюдичною приеднаною групою R°, то R - шльпотентне гадьце (лема 2.2.2) i, як насл1док, ради-кальне юльце з перюдичною групою R° е тль-юльцем (насл1док 2.2.3).

Наступн1 два твердження is пгдроздглу 2.3 розширюють результат Г.Грози (Groza G. Artinian rings having a nilpotent group of units //J. Algebra. - 1989. - v.121, N 2. - P.253-262). ~

Теорема 2.3.5. Для локального г-dльгот R наступт умови р1вносильт:

1) Ы (R) - перюдична локально тльпотентпа група;

2) R. - гомоморфнпп образ групового кыьця С[Р~\, до Р - локально тлыютентна р-група, С - гомоморфнпп локальний образ групового кыьця Zpk[G] абелево! локально цпкл1чно1 р'-групп G.

Насл^док 2.3.6. Нехаи R - натвдосконале юльце, 2 6 U(R). Toji U(R)— перюдична локально тльпотентна група, якщо i тшькп якшо

R = Ri © • • • © Rs -

(теоретпко-к1Льцева) пряма сума локальнпх юлець Ri,... ,RS, яи задовольняють умову теореми 2.3.5.

У пгдроздыг 2.4 розглядаються кшьця з перюднчною асоцшованою групою. Зокрема, зазначено, що для комутативно! областч R з оди-ницсю асоцшована група G{Q(R)) перюдична, де Q(R) - поле дроб1в облает R, якщо i тыьки якщо R - абсолютне поле (лема 2.4.4). Доведено також твердження 2.4.5, яке стверджуе, що для областч R з одиницею група G(R) перюдична, якщо i тшьки якщо р1вносильш умови:

(1) P[z] - поле, де Р - просте шдполе R;

(2) елемент х € R алгебра1чний над Р;

(3) xeU{R).

У Розд1л1 3 вивчаються властивосп нашвдоеконалих юлець з локально шльпотентною приеднаною групою. Спочатку описуються ряд властивостей локальних юлець з локально шльпотентною групою оди-ниць. А саме, якщо R - таке локальне юльце, що R = J(R) + В для деякого поля В, то U{R) = (1 + J{R)) * В* (лема 3.1.1).

оо

Лема 3.1.3. Нехай R - локальне юльце таке, що Р) J{R)n = 0, фа к-

П = 1

тор Я/ J(R) — Ki © ... © Ki е прямою сумою пол1в Кг (г = 1,... , /) i трупа одиниць U(R) е енгелевою групою. Якщо bcj поля Ki с алге-бра'гшими над своши простими шдполями, то

(¡){u(R),um< I+J(R),

(ii) [U(R), 1 + J{R)m] < 1 + J(R)m+1,

(iii) [1 + J(R),mU(R)] < 1 + J{R)m+l для ncix додаттх щлих т.

Основний результат Роздыу 3- наступна теорема. Бона узагальнюе один результат А.В.Ратшова (Полусовершенные кольца с нилъпотентп-ной присоединённой группой // Мат. заметки. - 1981. - т.29, N 2. -С.171-180).

Теорема 3.1.7. Hexan R - нашвдосконале кшьцс. Тод1 наступш твердження ршносплып:

(i) R° е енгелевою (в1Дпов1Дно n-енгелевою, локально шльпотентною, з нормал1заторною умовою, гшерцентральною, шльпотентною) групою.

к

(ii) R = 5 © T, де S = О або S = е5,- е прямою сумою локаль-

i=i

них илець Si, Т - нашвдосконале кыьце з фактором T/J(T) = GF{2) © ... ® GF(2) i групп 5° та Т° с енгелевими (пщповщно п-енгелевими, локально тльпотентними, з нормал1заторною умовою, гшсрцснтральними, тльпотентними) трупами.

Для Л1вих артшових локальних юлець R енгелев1сть групп одиниць U(R) pißHoсильна ii шльпотентност1 (лема 3.1.8, насладок 3.1.9). В зв'язку з лемою 3.1.3 зазначимо також наступну лему:

Лема 3.1.11. Нехай R - локальне юльце таке, що (R)n = 0 i

фактор R/ J(R) e полем характеристики p, алгебра!чнс над cboim простим тдполем. Якщо група одиниць U(R) е ппоцентральною, то

(i) [U{R)M{R)} < 1 + J(R),

(ii) [U(R), 1 + J(R)m] < 1 + J{R)m+1 для ncix додаттх щлих т. '

Теорема 3.1.7 дае змогу отримати~ основний результат пгдроздыу 3.2.

Теорема 3.2.2. Нехай R - натвлокальне кшьце i Bei слементи групп J(R)° е правами енгелевими. Toдi pinnociLThni таю умови:

1) R0 - радикальна (в^пов1дно локально розв'язна) група;

2) R волод1е таким щеалом I, що

(а)\R+ : 1+\ < со;

S

(б) I — В © С, де В = 0 а бо В = ^ еВ{ - пряма сума локальних

¿=1

тлець Bi i а бо С = 0, або C/J{C) GF{ 2) © ... © GF( 2), причому

групп В°, J(C)° радикалью (в1дпов1дно локально розв'язт);

к

(в) R=I або R/I ^ J2 9-рь де Fi £ М2(2), або F{ ^ М2(3).

¿=1

Властивост1 кьтсць з тльпотентною асоцшованою групою досл1Джу-ються в тдроздыг 3.3.

Асощйована група G[R) област1 R з единицею импотентна, якщо i титьки якщо charR = 2 i R° = {0} (твердження 3.3.4). Основний результат цього тдроздкчу:

Теорема 3.3.7. Для натвлокального тльця R наступт твердження равносильна:

(1) G(R) - тльпотентна трупа;

(2) J{R) - шльпотентний Удеал, charR = 2Ш (ш Е N) i фактор R/J(R) - GF{2) 0 ... Ф GF(2).

У Роздых 4 характериэуються нашвдоеконал1 юльця, приеднаш гру-пи яких задовольняють певним умовам CKi:rieiiHOCTi.

Впявляеться, якщо мультиплжативна трупа Т* поля Т скшченно породжена, то Т мае просту характеристику (твердження 4.1.1). Основним результатом тдроздглу Jt.l е.

Теорема 4.1.5. Для натвдосконалого юльця R равносильна таю твердження:

1) R° - полщикл1чна група;

2) R - скшчение ильце, R/ J(R) = L>i ® ... ® Dm - пряма сума юлець, кожне з яких iзоморфне одному iз наступнпх юлецъ:

а) GF(pn) (n е N) ;

б) М2(2) ;

в) М2(3) ;

3) R° = Ах В, А - скшчснна шльпотентна група, В — В\ х ... х В m — прямий добуток скшченних груп, кожна з яких ¡зоморфна одних 1з наступних груп:

а) Zpn.i (n € N) ;

б) GL2{2) ;

в) GL2{3) ;

Як наслщок 4.1.6, доведено, що нашвдосконал1 кшьця з чершковсь-кою приеднаною групою е скшченними. Отримано також одне уза-гальнення теореми 1.Фш1ера та К.Олдр1джа (Fisher I., Eldridge К.Е. Artinian rings with cyclic quasi-regular groups // Duke Math. J. - 1969. -v.36, N 1. - P.43-47).

Наслидок 4.1.7. Будь-яке натпдосконале юльце Я з цпкл1чною прпед-напою групою Я° сюнченне i е прямою сумою р-юлець за рЬнимп простпми р, коясне з яких ¡зоморфне одному iз наступних юлець:

1) (п £ %

2) 2Ч, я = рп (п е %

3) 24

4) Ър\х]№) ;

5) Х2[х]/{х3) ;

6) 24[а;]/(2а;,ж2 - 2) ;

\weGm}.

У тдроздмг 4-2 доведено, шо для для нашвлокального юльця Я нете-ровщть асоцшовано! групп або нетеровкть приеднано! групп Я°

р1вносильна сюнченност1 юльця Я (теорема 4.2.2). Охарактеризован! також юльця з мтмаксною асошйованою групою.

Твердження 4.2.6. Нехай Я - юльце з одинпцсю. Тод1 С (Я) - мпи-максна група, якщо 1 тшькп якщо Я належпть до одного 1з тптв:

(1) Я - сюнченне кшьце;

(2) Я - юльце 1з сюнченно породженою адитивною групою без скру-ту 1 комутатпвнпм фактор-юльцем Я/^(Я);

(3) Я - юльце 13 сктченно породженою адитивною групою, причому Я/,7(Я) — Р1 © В - (юльцева) пряма сума, де Р - сюнченне юльце, а В - комутатпвншг порядок (над Ъ).

Основний результат тдроздыу 4-3 стверджуе, що для натвлокального юльця Я скшченшсть рангу приеднано1 групп Я° по абелевих тд-групах р1вносильна скшченност1 юльця Я (теорема 4.3.3). Зазначимо також, якщо А - радикальне юльце з адитивною групою А+ без скруту ! приеднана група А° мае сюнченний ранг без скруту п, то Ап+1 = О (лема 4.3.1).

Шдрозды 4-4 присвячений юльцям, приеднана група яких. мае сюн-ченш класи спряжених елемент1в.

Теорема 4.4.2. Нехай Л - натвлокальне юльце. Тод1 наступт тверд-ження р1Вносильт:

(1)Ы{Щ -РС-група;

(2) Л - сюнченне кольце або Я - комутативне юльце.

(3) Ы{Я) е розширенням центру за допомогою сшнчешю! групп.

Для юльця Л з одиницею доведено, що асоцшована група С?(Я) - РС-група, якщо 1 тыьки якщо Сг(Л) - локально нормальна група (ясма 4.4.4). Як наел1док, якщо асоцшована група б = С (К) област1 Л з одиницею е РС-група, то Л° — {0} або Л - сюнченне поле (насль док 4.4.5).

В (останньому) тдроздш 4-5 описано нашвдосконал1 юльця з простою приеднаною групою.

Теорема 4.5.2. Для натвдосконалого юльця Л р1вноспльт таю твсрдження:

1) В° - проста група ;

2) група Л.° 1зоморфна Ъ^ або Ър, де р — (25 — 1) - просте число Мер-сенна ;

3) Е ¿з оморфне одному ¡з наступних юлець:

а) ОР(3) ;

б) СР(24), де (2е — 1) - просте число Мерсенна ;

в) <ЗР(3) © 2) ф ... © 2) ;

г) СР(26')©СР(2)ф...@СР(2), де (28-1) -просте число Мерсенн а;

д) ;

е) Ха®СР{2)®...@СР{2).

висновки

Результат» дисертацп одержано застосуванням метод1в теори труп та теори юлсць. Доведения опираються на теореми про приеднаш групп раднкальних кыець, результати про мультиплшативш групп тш, факти про лшшш групп I результати про нашвдосконал1 юльця.

Теореми про нашвдосконал1 гальця з перюдичними приеднаними трупами е розвитком тих небагатьох наявних на даний час результата, яю беруть свш початок в1д класичних результата Бернсайда, Шура, Ширшова, Прочез1, Басса та шших.

Твердження про будову нашвдосконалих галець з енгелевою приедна-ною групою с розвитком результата К.Олдр1джа, 1.Ф1шера, А.В.Рать нова, Г.Грози.

Результати про нашвдосконал1 гальця, приеднаш групи яких задо-вольняють умовам скшченност!, з огляду на результати про групи одиниць групових юлець, разом з роботами Я.Кремпи розпочинають досл1дження абстрактних асошатншшх юлець з одиницею з умовами скшченност1 для приеднаних груп, використовуючи багатий запас шформацп про групи з умовами сганченность

Основш результати дисертацп носять завершений характер, супро-воджуються повними доведениями. Вони можуть бути використаними в теори груп 1 в теори юлець.

СПИСОК ОПУБЛ1КОВАНИХ РОБ1Т ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦЙ

1. Артемович О.Д., 1щук Ю.Б. Про натвдосконалг кыьця з заданими приеднаними групами//Матемгьтичнх студи.- 1996.- вип.6.- С.23-32.

2. Артемович О.Д., 1щук Ю.Б. Натвдосконалг кыьця з перюдичними прсдпаними групами // Допов^ НАН Украши.- 1997.- N 6.- С. 11-14.

3. Ishchuk Yu.B. Semiperfect rings with periodic locally nilpotent group of units // Matematychni Studii. - 1997. - v.7, N 2. - P.125-128.

4. Artemovych O., Ishchuk Yu. On semiperfect rings determined by adjoint groups // Matematychni Studii. - 1997. - v.8, N 2. - P.162-170.

5. 1щук Ю.Б. Про натвлокальт кыьця з розв'лзною присднаною гру-пою// BicHHK JIbBiB. ушв., cepifl мех.-мат.- 1998.- Вии.49.- С.39-41.

6. 1щук Ю. Про асоцтованг групи кыець// Препринт. - Льв1в: ЛДУ iM. I.Франка. - 1998. - 30с.

7. Artemovych О., Ishchuk Yu. On the local rings having a periodic group of units // Всеукрашська наукова конференц'ш "Розробка та засто-сування математичних методпз в науково-техшчних дослхдженнях", присвячена 70-р1ччю в1д дня народжсння професора n.C.Ka3iMipcb-кого, тези доп. - Льв1в. - 1995. - 51с.

8. 1щук Ю. Про локалъш кыьця з локально ныьпотентною присднаною групою II Тези допов1дей четверто! м1жнародно1 математично! конференцп im. академжа М. Кравчука, Кшв. - 1995.

9. 1щук Ю. HaniedocKOHasi кыьця з перюдичною локально ныьпотентною групою одиниць //Тези доповщей п'ято! м1жнародно1 математично! конференцп iM. академиса М. Кравчука, Кшв. - 1996.

10. Artemovych О., Ishchuk Yu. On semiperfect rings determined by adjoint groups II Международная алгебраическая конференция памяти Д.К. Фаддеева,- тезисы докладов. - Ст. Петербург, 1997. - С.12-13.

АНОТАЦП

1щук Ю.Б. Натвдосконал1 кглъця з заданими приеднаними групами. - Рукопис.

Дисерташя на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-матема-тичних наук за спещальтстю 01.01.06 - алгебра 1 теор1я чисел. - Кшв-ський ушверситет ¿м. Т.Шевченка, Кшв, 1998.

Дисертащя присвячена описов1 властивостей нашвдосконалих галець, приеднана група яких е в1дпов1дно перюдичною, локально шльпотент-ною, задовольняе умовам сюнченност1 (таким як нетеровють, поль цтсзичшсть, скшченшсть рангу по абелевих тдгрупах, скшченшсть клаав спряжених елемент1в). Характеризуеться також будова асоша-тивних юлець з одиницею 1 вЦпов^но перюдичною, шльпотентною, мш1максною асошйованою групою. Досл1Джуються взаемозв'язки властивостей приеднано! групп (групп одиниць) 1 адитивно! групп нашв-досконалого шльця.

Ключов1 слова: нашвдосконале кыьце, приеднана група, група одиниць, асоцшована група, нетерова група, перюдична група, локально ниьпотентна група.

Ищук Ю.Б. Полусовершенные кольца с заданной присоединённой группой. — Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. -Киевский университет им. Т.Шевченко, Киев, 1998.

Диссертация посвящена описанию свойств полусовершенных колец, присоединённая группа которых является соответственно периодической, локально нильпотентной, удовлетворяет условиям конечности (таким как нетеровость, полицикличность, конечность ранга по абеле-вым подгруппам, конечность классов сопряжённых элементов). Характеризуется также строение ассоциативных колец с единицей и соответственно периодической, нильпотентной, минимаксной ассоци-

ированной группой. Исследуются взаимосвязи свойств присоединённой группы (группы единиц) и аддитивной группы полусовершенного кольца.

Ключевые слова: полусовершенное кольцо, присоединённая группа, группа единиц, ассоциированная группа, нетерова группа, периодическая группа, локально нильпотентная группа.

Ishchuk Yu.B. Semiperfect rings with the prescribed adjoint groups. -Manuscript.

Thesis for a candidate degree by speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 1998.

The dissertation is devoted to describing properties of the semiperfect rings determined by their adjoint groups which are respectively periodic, locally nilpotent, satisfied finiteness conditions: group with finite abelian subgroup rank, polycyclic, Noetherian group, group with finite classes of the conjugated elements. The structure of the associative rings with identity element and respectively periodic, nilpotent, minimax associated group is characterized. The relations between properties of the adjoint group (group of units) and the additive group of a semiperfect ring are investigated.

Key words: semiperfect ring, adjoint group, group of units, associated group, Noetherian group, per' ' lly nilpotent group.

Подписано до друку 26.05.98 p. Формат 60x84 l/l6. Ум. друк. арк. 1. Обл.-вид. арк. 1,25. Наклад 100.

Видруковано у видавничому центр1 Наукового товариства ш. Шевченка у Львова 290013, JIbBiB, вул. ген. Чупринки, 21.