Полусовешенные полудистрибутивные кольца и модули над ними тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГб од

МІНІСТЕРСТВО НАРОДНОЇ ОСВІТИ УКРАЇНИ

2 З ІІІОІІ 1393 .

'КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКО

На правах рукопису УДК 512.552.1

ХИБІНА Марина Анатоліївна .

НАПІВДОСКОНАЛІ НАПІВДИСТРИБУТИВНІ КІЛЬНИ ТА МОДУЛІ' НАД НИМИ 01.01.06 - математична логіка, алгебра та теорія чисел

. АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-мат ематичних наук

КИЇВ - 1993

Робота виконана -на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського університету Імені Тараса Шевченка

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор Дрозд Ю.А. •

Офіційні опоненти

доктор фівико-математичних наук, член-кор. АН Молдови, професор Рябух!н Ю.И., '

кандидат фізико-математичних ■

каук, доцент Шкабара О.С. •

Провідна організація

- Львівський університет їм. І. Франка .

Захист дисертації відбудеться " —^ -&(и% 1993 р.

о 14.00 год. на засіданні спеціалізованої ради К 063.18.11 по присудження'вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук в Київському університеті Імені Тараса Шевченка за адресою: 25212?, Київ, проспект акад.- Глутпкова, 5, корпус,механіко-математичного факультету. ’ - ■ . ' ■

• 3 дисертаціє» мойшз ознайомиться в бібліотеці університету. ' . '

Автореферат розіслано

ІЗ

1993 р.

. Вчений секретар ■спеціалізованої ради

Сушакськнй В.І.

Актуальність теми. Одним з осі:ое::;іх полять теорії кілець та модулів ЯВЛЯЄТЬСЯ поняття простого мод/ля. Кільия, над ЯКИМИ всі нерозкладні модулі прості, характеризуються клзспинок теоремою Веддербарна-Артіна. ' ’ .

Розгляд більш широкого класу модулів - ланцюгових модулів -пов'язав г іменами Кете, Качіями та Л.Л. Скорнякова '

Нагадаємо, ¡до модуль називаються ланцвгоЕлм, якпо структура його підмодулів лінепко впорядкована. Пряма сума ланцюгових модулів називається напівланцюговим модулем. ' ■

Кільце називається ланцюговим справа (зліез), якло еоно є • ланцюговим праним (лівим) модулем над собой. Кільил називається ланцюговим, якщо'воно е ланцюговим кільцем справа 1 зліва.

Так само визначаються напівланнкгові справа (зліва) кільил 1 напівлакцягсні кільця. Ця термінологія кзлехить Л. А.Скорклкову.

Кільця, над якім! всі модулі напівланцкгові, розглядалися Кете 1 Накалмой, який ввів узагальнено однорядні артинові кільця (лр-тинові нзпівланцюгові кільпя в термінології Л.Д.ОкорнякоЕа) і показав, цо над кп!.'Л ЕСІ модулі капівланцнгов!. Л.А.Скорняков показав, що 1 навпаки, яісдо будь-якиЯ модуль над деяким кільцем е напІвланцгОгоЕнм, то це узагальнено однорядне арнікове кільце. ' -

Будова та властивості нзпівланцнгоЕКх артпновнх кілець вивчалися багатьма авторами (Купіи, Голді, іуллер, Айзєнбуд, Гріїфіт

ТЗ !:!.). " '

І на і класи шпізланцягових кілець _зпзчалпсл Ю.А. Дроздом,

БІБ. Киричен: "с м, Уорі 1 л дом, А. З. Яков лев їм.

ТМдмыимо, іцо '0.А.Дрозд 1 Уорфілд довели, со кільце напізланії^гове годі . ! тільки тоді, коли над ким sei скінченноп-редст-‘-':"<! *<с,ч'ЛІ ;;а:;ІЕлак!інгові. ....

!•’ і."і w'r.z’s.wit класом модулів, кіх клас ланцюгових модулів, е .•m.* , .-iiucynr-ühz модулів, тобго модулів 2 літ структура ЕП1:: ¡ид: і: д: і с■: j ¡. 'öy тка на. Так само, як у випадку лзкиюгових модулів,

приходимо до поняття дистрибутішного справа (алІЕа) кільця 1 дист риОі'тивнаго кільця, напІвдистрибутиЕного справа (зліва) кільця 1 налІвдисгрийу¿явного кільця.

Вивченню дистрибутивних та напівдпстрибутивних кілець 1 мо-д}гл1з над wiM:i присвячена багато- робі г, зокрема, Бруьтса, Каміло, Колбі, Фуллера, А.А Луганбзева та'1н. •

Мота роботи. Вивчення Судовії та властивостей напівдистрибу-т’ленкк нап ¡вдосконалю: кілець та їх сагайдаків. Дослідження сла-бопервинних нетеровкх капі вдосконалих кілець, дистрибутивно "мо- ' дульного типу. ,

Наукова нов ієна та практична цінність. Всі результати, ще виносяться на азкігст, о новими. Робота має теоретичний характер,

II результати можуть бути застосовані в теорії кілець та мо-

дул 1е, а тако.ч при читанні спецкурсів ? алгебри.

. Апробація роботи. Результати роботи доповідались на XIX Ееєсткгній алгебраїчній конференції (Львів, . 1S97), міхкародній конференції пам’яті.А.І.Пальцева (Новосибірськ, 1S83), VI сим- .

поаіумі г теорії кілець, алгебр та модулів (Львів, 1390), а та-кс.ч на міхіізрсдній конференції пам'яті А.І.Еиршова (Барнаул,

1931). '

Публікації. Результати дисертації надруковані ъ роботах 1-7, список яких приведено в кінці автореферату.

Об'ем та структура днеертаціІ. Дисертація викладено на V5 ' сторінках машинописного тексту, та вона складається з вступу, трьох глав 1 списку літератури. Бібліографія має 39 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ ' '

’ ' Нумерація тверджень е авторефераті співпадає з їх нумерацією ■

в дисертації. . ' ' . -

У вступі приведено стислий огляд досліджень за тематикою

дисертації та оіше II змісту. .

У лергіїі главі приводяться необхідні для нас відомості з теорії кілець та модулів. Еона складається з трьох параграфів.

Всі кільця, що розглядаються у дисертації, асоциатнвні в одиницею. Під модулями, якшр не оговорено протилежне, підрозуміва-ютвся унітарні праві модулі.

В §1 вводяться означення, дистрибутивних та наглвдистрибутивних кілець 1 приводяться основні факти про напівдосконалі кільця, що були введені Еассом у ' 1950. році . Крім цього, ми приводимо своє доведення критерій напівдистрибутивності напівдосконалого кільця, Е.о належить А.А.Туганбасву : Кчпівдоскскале кільце А нзпі вдистрибутивне справа тоді і тільки толі, коли для будь-яких двох локальних ідемпотентів е,Г А мкохина еАг~ е ланцюговим правіш ґАГ-модулем. ,

Відмітимо такий наслідок, що випливає з цієї теореми. ’

Наслідок 1.6. Нехай А - напївдосконале кільце, 1-е, +..,+е^,-розклад 1е А у суму попарно ортогональних локільних 1дем-потентів. Кільце А напівдистрибутивне справа (зліва) тоді 1 тільки тоді, коли для будь-яких ідемпотентів і є-(і*]) з вказаного розкладення , кільце (е. 4-е. )А(е- +е;) нап їв дистрибутивне . справа (зліва). ,

В £2 поняття сагайдака нетерова напівдосконалого кільця, що .1 узагальнює поняття сагайдака скінченковимірної алгебри, введене Габріелем у 1972 році , переноситься на випадок довільних напівдосконалих напівдистрибутивних кілець.

' Відмітимо таку теорему. • ' ,

Теорема 2.2. Нехай А - напївдосконале напівдистрибутивне справа кільце, (2(А) - його сагайдак. Тоді з кожної вершини (3(А) в Ішну (можливо співпадаючу з ісходною) іде не більше однієї стрілки. Навпаки,“ якщо є скінчений орІснткровапий граф Г, що задовольняв цій умові, то існує напівдосконале напівдистрибутирне' . справа кільце А таке, що ;(А)«Г.

У третьому параграфі викладається метод обчислення скінчен-нспредставіміх модулів. ' ......

Друга глава присвячена вивченню будови та властивостей напівдистрибутивних кілець. ■ ' .

У четвертому параграфі розглядаються кетерові в обох сторін .

З

нап1вдосконалі напівдиетрибутивкі (SFSD). кільця.

Говорячи нетерове, зртинове, напівдистрк5угі:и:іс і т.Пі. :;1ль-це, ми рЕа*а?мо, що вказані властивості мають місце в обок сторін.

Доводиться, по перетин натуральних ступенів радикала Дже-ксбсона нетерова SFSD-кільця дог-івнвз нулю (теорема 4.1.).■ З допомогою описання нетероапх ЗРЗП-кілець г дзоверишіним сагайдаком (теорема 4.3.) показуються, цо нерозкладне кетерове SPSD-кІльцв а нульоп!!.; цоколем е кусочною областю (теорема 4.4.). .

Теорема і.2. егаердчуе, що тіла ендоморфізмів простих модулів над нере окладним н&теровпм ЗРЗО-кіліцєм і&оморфні. .

Відмітимо слідуючі результати, то одержані у Б. '

Теорема 5.5. Кап 1 сдос.конаде напівпервинне кільце А розкладаються у скінченний добуток первинних кілець тоді і тільки тоді, КОЛІЇ КІЛЬЦЯ первинні при п, де l=e,t...+eft-

розкладення одиниці кільця А у суму попарно ортогональних локальнії:': ідемпотентіа. . .

Наслідок 5.6. Напівпервинне SFSDR(SFSDL)- кільце А розкладаються у скінченний пряний добуток первіших: кілець. _

'Теорема 5.8. Кап і 2 досконале напівпервинне праве кільце Голді є напівдпстрлбутивп:.: тоді 1 тільки тоді, коли для будь-якого локального ідемпотента ее А , кільце еАе - ланшогс . -

Теорема 5.10. Слідуючі умови рівносильні для капі в досконалого папівпервинного нетерова справа кільця А:

(а) кільце А - напіндігстрпбугивке;

(б) кільце А - прямий добуток напіЕпростого арткнова кільця 1 напівкакопмзльного кільця. ■ _

У шостому параграф! описується двосторонній пірсовськпй розклад кусочно кетерових з обох сторін- напівдооконал;:;-: нагЛЕдпетрибутивн;:* областей та визчавться первинні сагайдаки тагах кілець. ’ ''

Треття главз присвячена вивченню подул їв над напівдистрибутив-нимн- кільцями.

Нагадаємо означення б!рядного напївдосконалого кільця, пга узагальнює поняття артиНова 61 рядного кільця, то було введене

їуллером .

Напівдпотрибутивне справа 1 зліва напіздосконале кільце А з радикалом Длекобсонз И називається бірядним, якщо радикал Рї? будь-якого нерозкладного проективного правого А-модуля Р є сумои двох ланцюгових модулів Ку і К4 (можливо нульових), причому, К.,/1 Кг або нуль, або простий А-модуль, 1 радикал Р.і} кожного лівого нерозкладного А-модуля 0 е сумою двох лівих ланцюгових модулів Ь, і 1.2(можллво нульових), причому або нуль, або

простий лівий А-молуль. •

Кільце А. називається слабопервинніш, якщо добуток будь-яких його двосторонніх Ідеалів, ш,о не легать'у радикалі Длекобсона Я кільця А, відмінен від нуля, ^

Нагадаємо, що скінченний орієнтирований граф (сагайдак у термінах Габріеля) навивається сильно зв'язним, якцо з будь-якої його вершини в Іншу веде шлях. ' ' ' .

Відмітимо слідуючу теорему. _ .

Теорема 7.3. Сагайлак нетерова з обох сторін слабопервикного напївдосконалого кільця, відмінного від Ма(0), сильно зв’язен.

Кільце А. називається кільцем дистрибутивно модульного типу ' ' (д.м.т. кільцем), якщо кожний скінченнопредставимий А-модуль являється напІЕДистрибутнвним. . •

Основним результатом $3 являється слідуюча теорема.

Теорема 8.7. Слабопервинне нетерове з обох сторін язпівдсско-кале д.м.т. кільце б і рядне.

1. Хибина М.А. О разложении полупервичнш: ::слец //' XIX

Всесоюзная алгебраическая конференция: Теансы сообщения. -

Институт прикладных проблем-механики и математики АН УССР. -Львов, 1987. - с. 289-299.

2. Хибина U.A. Полумаксимальнис ¡кльца конечного типа с большим индексом. - Алгебраические структуры и их применение.

- Киев УИКШ 1983. - с. 182-186.

■ 3. Хибина М.А. Колчаны слабопервичнщ телец // Международная конференция по алгебре памяти А.И.Мальцева: Тез. докладов по теории колец, алгебр и модулей. - ИМ СО АН СССР. - Новосибирск, 1989. - с.149. .

. 4. Хибина И.А. Полупервичные полудистрибутивные кольца //

VI симпозиум по теории колец, алгебр и модулей: tcdiicu сообщений. - Львовский госуниверситет им. И.Н.Франко, институт прикладных проблем механики и математики АН УССР._ - Львов, 1990. -с. 139. .

. 'Б. Кириченко В.В., Хибина М.А. Слабопервичшс пал/совер-

шенные-кольца дистрибутивно модульного типа // VI симпозиум по теории колец, алгебр и модулей: Тезисы сообщений. - Львовский .госуниверситет. им. И.Я.Франко, Институт прикладных проблем механики и математики АН УССР. - Львов, 1990. - с. 63..

' 6.. Кириченко В.В., Хибина li.A. Пслудкатрзйутквкио■ полусо-

вершенныё кольца // Международная конференция по алгебре памяти А.И.Ширшова: Тез. докладов по теории колец, алгебр и моду-

лей. - ИМ СО АН СССР. - Новосибирск, 1991. - с. 50.

' V. Кириченко В.В., Хибина М.А. Полуеовершенные полудисг-рибутивные кольца // Труды Института ызтецатикн АН Угсраипц, •1993 г., т.1. . . • ' ,