Поля точечных мультипольных источников в электромагнетизме и линейной гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ ТОСШООа УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рутгоггчсл

ШАРГЛ СШЗАЙ

7ДС 530.12

ПОЛЯ ТОЧЕЧНЫХ МУЛЬТИПОЛЫНХ источников В ЭЛГОГОЩЕгТИЗДЕ И ЛИНЕМ ГРАВИТАЦИИ

ь

/С1.04.СЗ - теоретическая {¡ганка/

Автореферат

дассерта'дгл на соискание ученой степени каядядата физико-математических наук

Москва - 1552

Работа выполнена в Российское Университете дружбы народов

• Нярггы? 'ттксво.тгктель доктор физико-матегдтических наук, профессор Н. В. Шщкевач

■ Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

С. Владимиров кандидат {язико-матегатическпх наук, доцент В. Д. Захаров

Белуга я организация - Московский Государственны* Педагогический Университет им. Ленина

Залита диссертации состоится " № " 199^ г

в )чае. ЪО хан. на заседания спгщатп'.зирспАнного совета. К 053.22.01 в Российском Ун-'-Рерситето по адресу: 117302, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3. зал » 1,

С диссертацией "О.т.ко оэкакогаться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослав " 1992 Г.

Ученый секретарь .

специализированного совета

кандидат физико-г.итештпческих наук

доцент . Ю. И. Зачарованный

работа

Актуальность теш: В современной теории гравитации *уцда-| ментальную роль играет проблема излучения. Это связало как | с усплляля экспериментаторов получить погяэ подтверждения I общей теории относительности, так и с програилой квантова-I ния гравитационного поля, так как в квантовой теории

свободным волновым состояния?,! поля сопоставляйся квантч ; этого поля- в данном случав гравитоны. Кроме того, получение и анализ волновых релений в нелинейной теории, .какой : является общая теория относительности, важная л привло-• кательная задача математической физию!. Однако на путл ее решения все еще стоят больпгае трудности, особенно при учете самого процесса генерирования гравитационных волп физическая системами, эволюциогарутеими во времени. Строго говоря, такие точные решения еце неизвестны, тогда как в линейной электродинамике Максвелла хорошо известно, например, точное выражение для электромагнитного поля произвольным образом ускоренного заряда /потенциалы Льенара- Вихерта/.

* Обычно под потенциалами Льенара-Вихерта понимают ' поле, создаваемое точечным электрическим зарядом, двнжу-1 щимся по произвольной мировой линии внутри светового конуса /т.е. подвергающиеся произвольным ускорениям со стороны внешних сил и подчиняющимся принципу причинности/. Однако, потенциалы Льенара-Вихерта для случая точечного заряда /электрического монополя/, представляют собой очень бедный частный .случай. Недавно было найдено, что эти потенциалы легко обобщаются на источника с произвольной ■ мультипольной структурой, при условии сохранения их точеткости. Последовательные подходы к этой задаче были разработаны и была представлена польпая запись точного реяеняя для запаздывающих потенциалов точечной спстеми, движущейся произвольным образом внутри светового конуса и обладающей'любым набором мультипольпнх моментов /как электрических, так и магнитных/, произвольна.! образом

1

кеияргцпхся по врекота. Далее было показано, что потенциалы Льекар-ч-Егхерта обобщаются и на по.га произвольного целого сплна [1] . Следуя идеям слстокаттгки калибровочных полей, ?тп потенциалы :я>2чю об обмять на поля любых целых а также ! лгИ.чх ¡'сс/иот.'х спхков [-,3,4] . Б данной работе ш рассматриваем .таюйнно тоорга полеЯ, в частности поле спина 1 /электроглгнгтноо/ и поле спина 2 /линеаризованное грави-т^илоннос/, теле что полевые уравнения считаются линейными.

обобщенные потенциалы • оля являвтся точными реяенйяш этах лхясЗних уравнения на *опе пространства-времена Маковского.

Цоль работы: состоит в летальном гсследоваетга 'нестационарных культатолытх реастай в лгнсПних тооряях поля /спая полей- !

1 в 2/ с точочкшз ясточ1шка!ла. Требуется получить семейства ' точных-решений для этих поло£ в исследовать ::х различные сзоЛства /включая аслултоткчйскпе/.

ручная новизна л научно-практическая значимость работы: в глг.гпо:.'. состоят в доказательстве двух теорем о дуальности /ь случае о.:сктрс:.'лгнвг:!з:,"а и линейной гравитации/, которые устанавливает связь ге.тду потеюталй.г;! поля электрической и ' 1Л1ГНК7ИС.*! природы. С потлоаью этах теорем достаточно ограничиться рассмотрением электрических и кг-азп-электричесхих мульткпольных членов для того, чтобы получить всю ПН"1ор:.2ЦЯЮ о поведен;'!! соотвотствуетях г.чгнпткых и квазк-игпишшх полей.'

Апробпдия: Результата диссертации' проходок апробацию на Международной когц-ереиции по о"5пвй теории о-чосктельности и гравитации /г. Боулдер, СИЛ, 1539/, Всесоюзном сег,инаре /г. Тарту, Эстония, 1233/, научных конференциях факультета фйзгасо-катеиатичвоккх' я естественных наук УЗ* 1588, 1990, 1231 гг., научных соманррах $-пзического.' факультета МГУ, семаварах кафедры. теоретической фазикв УСТ.'-

Публикации: Основные результаты диссертации. опубликованы в видэ трех статей.

2 . -''

Объем работы: Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы из 64 паякеноваккЯ к одной приложений. Ее обтай объем- 56'страниц.

содег£а?зв раеотч

Введение содержит два параграфа- §0.1 п §0.2. В параграфе 0.1 дано' обычное представление потенциалов Льенара-Екхорта ка чисто геометрическом' язкяо сиетоьих конусов, который соответствует нашему дальнейшему характеру пзлсжония, причем дана польная запись /в смысле запаздываниях и опережающих потенциалов/ этих потенциалов с произвольными весог:ш.п фактора:.« характеризукших запаздыватих и опережаюгаих потенциалов [б] . Мы рассматриваем электрический заряд км к мировую линию сингулярнсстей > так что весь дальнейший анализ проводится вне таровой линии источника. В налей формулировке электромагнитные поля произвольным обрезом ды^хуаихсл внутри светового конуса заряда / обычные. потенциалы .Тьанара-Вихерта/ представляются как

/1/ )

Ъ» и„(Х -Х ) ; Э - ('К- - X )

«а .

С + С -{

где - это тензор электромагнитного поля, (\^ - -потенциал электромагнитного поля, .4 - заряд, 3) и - два инварианта /при наших исследованиях, мы будем говорить о асимптотическом поведении полей по отнозению к этим инвариантам/, % - это точка наблюдения, % - это та точка ка мировой линии источника /заряда/, где световой конус прошлого с вершиной на точке наблюдения, пересекает , % - это та точка на I. где световой конус будущего с вер!ииной_на , пересекает ее,_ и* - значение 4-скорости в % а Ц/ - это 4- скорость в £

' Ял

/очевидно, что Ц* и П* совпадают в случае отсутствия |

ускорения/. Спи являются восовыж ¿акторами, удовлетво-рлувдл! послодко:^/ соотношения /1/. оапаздывашие потенциалы Льенара-Бихорта проявляется, если £ =1, Т = 0 а оперсжакь п;;о- при С = 0, £ = 1.

В параграфе 0.2 дани обэдо релятивистские соотношения длл светового конуса. При наппх расу?,копиях для того, чтобы . от^е^ить на вопрос, являются-ли поля /1/ элоктрогагнкткима по..*:.« типа .'.'.аксволла и для 'Го, чтобы обобщить потег-циалы Льеиара-Вкхерта на случал ^сточкхка, обладающего мульткполь-шаз! моу.енты.а произвольных порядков, которые могут зависеть от запаздывающего времени, необходимо вводить некоторые ссотво-ликея, которые отражают геометрическую хартану семейства световых конусов с вершинами па КировеЛ линии I точечного :.ульт1;полького ксточшиш. Так как пом в произвольной точке наблюдения зависят от 4-скорости источника и от его мультипо-лыша моментов на соотгетствуюеЯ Берлине, пространство-1;р'_>г..;1:п естественным образом растопляется на такие семеЛства светових конусов. Обозначим через % точку -наблюдения, а через Хе (л) теку соответствуппеП верзилы /координаты ксточ-у\\\-1-./. '.'лровая линия источника, Ь , параметризована по " Л что представляет собой запаздывающее собс.твонное время источника. Тогда дэотрошшЯ вектор, который лежит на световом конусе и связывает вершину конуса с точкой наблюдения, есть

/2/ х"-

Выражение /2/, вместо с условием изотропности 4-вектора Я дает:

/з/ * Ьр - и ^ -

где •

/4/ •;■

Здесь га «вели 4-скорость историка Ц. [Л} = где точка

означает дпйэренцкротзшгпе по А /нее величины характеризующие источника, считается фугащичг.м запаздеташего ссбствекого времени А /. Если Р. представляет собой некую фикцию'-/т.о. определена на I. /, то

75/ = ? К

Вводя новое обозначение

; /6/ А '= Л*

! где

I* <*

/7/ \ ' Ц

есть 4-ускорения источника поля, № мо.~ем написать слодутшиэ Формулы в костактнсм виде

/8/ ъы = К-ЪлО- №>)

/9/- V=У* [ Vи * V Vх *4 н - V ь А ]

/10/ К/Д* -0

/н/ - 0 •

Здесь, отметим что формула /10/ похожа ка условия Лоренца теории электрот/ягнетизг/л, а структура формулы /11/ напо;.тинаот волновое уравнение типа Далакбера.

В главе 1 мы рассматриваем электромагнитные поля. В частности, в параграфе 1.1, :л; клем решения волновых уравнения типа '

/12/ ПА'=0

с условием Лоренца

л* я

/13/ Д „ - 0 .

Этот набор уравнений удовлетворяется рядом [1]

хотя т не утверждаем, что это выражение единственно. Величия , ¡ ^ л являются произвольными функциями только запаздн-

хлгаого ьроглога Л , они стдатркчны по всем.своим индексам и имеют равный нулю слсд /относительно любых пар индексов/. Оти величины ортогональны к 4-скорссти источника Ц . "И" ото такое число, что Я 1. Собирательный ивдокс " & " \

¡.■ожег содержать в сс-бе любое число индексов, так что сумма проводится по возможным значениям тлела индексов /например, ! если первая суи.и -представляет электромагнитные поля электри-| ческого диполя и кгадруполя, то = О /И= 1/ и = 1 ! /' -2/ соответственно/. Квадратные скобки означают антисга4- ; метризации все* индексов, которые они вкдючазт. Инвариант } играет роль расстояния шзду источником /в соответствугаем запаздгаятоой времени/ и точкой наблгдеккя. В этом смысле ш будем говорить об асимптотическом поведение поля.

Первый член в /14/ определяет но/:/: гл«нсряческого «около-л /заряда/ ^ , что обычно называют запаздывашкм потенциалом Льогара-Вахерта [С] . Вследствие условия Лоренца /13/, зарлл должен быть постоянным. Каядые члены в двух сум/ах, которые следутэт за порты:.! членом в /14/, по отдельности является точки:."; решениями уравнения поля /12/ и /13/ и от: в х:а;:ей терминологии представляет собол о?об/;екные потенциалы Льлнара-Впхорта. 1!х ш будем интерпретировать следушим. образом: Первая сумка содергкт. поля олектрячесяах ыультилоль-1шх моментов произвольного порядка /если 41 й= О /К = 1/, то у нас есть »лрктричеекке дпиольные потя, ^ й. = 1 /К= 2/дает глектраческие кгрдруполькно по.тя и.т.д./. Поля кагдатиого типа !гредс?авля:отся второй суммой, где = О /К-- 1/ соствэт-стгует гягкитноху диполи, ^ д = 1 /И= 2/ жпштно:.у квадруполю п.т.л. 2та яитерггротаэдя двух суки и чясиов, которые содержатся в них, может быть ощйвдакя. на основе асимптотического характера. соотоетстоугцпх полей и структуры аткх членов в случае покоящегося и не шнагаегося во времени 'Источника. Сдссь мы не рассматриваем случай магнитного, мокополя как источник полк, так как из; работаем в райках электродинамики._ ; -!.'лксрелла,

Стр/Я"1фа реаеккя /14/ основана на доказательстве одной теорош, которая' осучесиэлаот связь 'между пол¡с.а электрических и г/£гн:;т1шх мультиаолей соо.тветствугпих порядков; № ее сформулируем так:

ТЕСР2.1А 1 Пусть 4-потенциал электромагнитного поля есть величина « .

где Й*». обладает вышеуказанными свойствам. Тогда, так что,

и !

: х

/Здесь как обычно г/^ = ' • Ь^Х ~ эт0 аксиальный

тензор Лева-Чивитк/.

В параграфа 1.2 классифицируются мультипольные поля "младиих" членов разложения /электрический конополь, электрический и магнитный диполь и электрический квадруполъ/ ка основе тензора электромагнитного поля /его инвариантов/. Зтот шаг оправдан тем, что традиционные потенциалы льенара-Зихерта включают в себе как кулоковские /электрические/ так и излуча-тельные характеристики доля. Так как главной целью в главо 1 . является раскрытие структура обобщенных потенциалов более подробно без- громоздких вичислешш и так как мгадале мультиноли дают значительный вклад в поле излучения, то нам достаточно ограничиться третья членами ряда /14/, характорнзуггли:« данные свойства источника.. Вычисление локаэнза'от что в ближной зоне поля являются электшческдая / Р ^ 0/ с отсутствием магнитных полей / = 0/, в переходной зоне поля соот-

ветствуют электрнческотлу типу / Г^ О/ но его кагкятаыв . когаюионти отличны от нуля / Ес^^^'О/, а в д^.тьноД зоне поля являются излучатслььтяя / ^ р^ =0, =0/.

В гдавз-.'2, рассмотрено ликеарязованков гравитационное поле. Она содержат четыре параграфа. Параграф 2.1 содяр.~:? основные сведения теории алгебраической яявсеЕ&зсацпа грп^т:-тациокиых поле;" по Петрову и содержит теорему Сакса об есг.-.п-тотическом расщеплониз тензора Во.ьля [7] . 3 параграфе 2.2 дается обычное представление кассового- ксадруаодьпою зз.туч:»-. лея в теории гра^лтицпи. Чтобы сохранить соответствие с с. та г."

' трокагнетизмом, в параграфе 2.3 представлен явный вид обобщенных потенциалов Льенара-Вихерта /где фигурируют соответствующие квази-электричесхие и КЕази-магнитные члены/. Как | известно, уравнения Эйнштейна в пустом пространстве-времени, ! в приближении слабого поля представляются как

/15/ = О

с условиями типа Лоренца ;

./16/ Д = о

Этому систему уравнений мы удовлетворяем рядом:

где мы использовали следушие характеристики источника: масса " Ъи " /монопольный "заряд"/, кассовый' дюголышй мочент , массовые уультипольныо моменты выспих порядков /член с

4 й. = О /К= 1/ соответствует массовому ксакрупольному моменту ¡2"^/, собственный угловой момент /кгази-магкитный диполышй момент/ , квази-магнлтные' мультяполыпге моменты высших порядков I. •/с точностью до постояных фактров, пропорциональных гравитационной посстоянкой. Если система единиц выбрана таким образом, что последняя равна единице, то коэйициепт -4 перед членом в /17/ находится в согласии с асимптотическим поведением метрика Евародильда/. культилолький момент

ягляется симметричной величиной относительно всех сеоих индексов и свертка любой пары этих индексов превращает его в нуль. Все мулътиподькые моменты ортогональны к 4-скорости источника.

Легко видеть, что условия /16/ налагают'ограничения на " VI" • 6 • Ь 11 ка 4-скорости Ц* . Все эти величины должны быть постоялыми на мировой линии источника, но если V , ^ , . раины кулю, то ке существует никаких ограничений на поведете Ц* . !.!ультиполы:ке моменты высших порядков я , не ограничены ничем. Поэтому безыассовые частицы с

.а :

1 равным нулю диполышм и собственным угловым моментом, но с ! не равными нулю мультипольнш,:и моментами высших порядков, 1 могут одновременно ускоряться и меняться со времени. Для того чтобы прийти к более общей картине, предвидя ситуацию в полной нелинейной теории гравитации, мы здесь допускаем, что ускоренная частица монет обладать врэмениподобной мировой линией, тогда, рады последовательности в настоящих рассуж-' дениях, мы должны взять ее гравитационную массу равной нулю.

Для того чтобы оправдать структуру кгази-магнитных ' членов в решении /17/, мы обратимся к дуальным трзнсфорлоциям, обсужеакгамся в параграфе 1.1. Теорема 1, которая привела нас к магнитным мультиполькнм членам, когда электрические 6шт заданы, об обидна в иарргре.$е 2.3 на с туча3 дтшризова- • иной гравитации. *.!н ее с^орлулкруем следующем образов: ТЕОРЕГй 2 Пусть потенциал гравитационного поля в приближения слабого поля представляется как

где $ г. обладает вышеуказанны!.® свойствами / ¿¡у = , \ если не исчезающий, требует А = О/. Тогда

в то время как и ¿ид^ = . суть тензоры

' Вейля /ила тензоры Римана, так как мы работаем в пустом пространстве-времени/, в. линейной аппроксимации, пострвкзло из и соответственно /см. /19//.

В параграфе 2.4 проводится классификация по Петрову гравитационных полей точечного, массового крадруполя. Потсшцпая этих полей, согласно /17/, есть выражение:

Тензор Рвтиа в люте^ом по ^^ приближении потвтся как

9

Нами рассмотрены два предельных случая нетривиального поведения массового квадрутголя: его изменение во времени в состоянии покоя и ускоренное движение при неизменности квадрулольного момента с точки зрения инерциального наблюдателя. Все остальные ситуации являются промежуточны*"! кекду этпа двумя. Еыра-л:екио /19/ момио представить ¡сак сумму пят:: членов, соответственно зависящих от обратных степеней Т> от первой до.пятой

Ш у (|(|

(%) 4« - % + ^Щл + ; + У^ ^р! +

где коренные символы соответствуют типам по Петрову / К , Щ , X » I . I /• Зто и всть знаменитое выражение теоремы Сакса об асимптотическом расщеплении тензора Г;тана /Вейля/.

Известно, что плотность потока энергии, переносимой ■гравитационными волнам!, квадратично зависит от третьей производной квадрулольного момента 1_8] :

ш Г-ЧжИ Г«»*1/^'а»-8»)]

Наин вычисления показывают что типу N соответствует 4-я производная квадрулольного момента по времени, а типу Щ -третья. Поэтому к числу потенциальноиздучательгах гравитационных полей следует относить не только поля типа N , но таклсе й поля типа

Ж по Петрову. Диссертация завершается с Од.хям приложением /Приложение А/, где сделана попытка обобщить Теорему 1 на случай искривленного пространства-времени. Мы ее сформулируем так: ТЕОРЕМА 3 Пусть 4-потекциал электромагнитного поля допускает существование суперпотенциала Ц ' : .

удовлетворяющего условиям

Л

□V я^ч^-я:^ + я; и,, = о

10

на фоне искривленного пространства-времени. Тогда тензор электромагнитного поля, дуального к тензору электромагнит- ' кого поля исходного 4-потенциала, получается из

Относительно простая формулировка этой теорегл получается для пространства-времени Де Ситтера где Н^доляен удовлетворять условия;,!

Здесь Даламбертиан берется в смысле ковариантных чроизводннх в пространстве-времени Де Ситтера. Зто приводят к картине, сходной со случаем массового тензорного поля с А .

Нужно подчеркнуть что, хотя Конформная плоскостность пространства-вромзнп Де Ситтера дает возможность конструировать решение типа Льекара-Эихерта, все-таки существует некоторые проблем:, связанные с перекосом ¡£унхцаЯ, которые зависят от собственного запаздквашего врэ;,:енп и таким образом определена на мировой линии источника /хотя световые конус, на вериянэ которого определены эти {уккцни, остается одшш.и тем же для прострглства-зремени Да Ситтера в конформного ему пространства-времени Мишсозского/.

ОСНОЕКиЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Доказана одна теорема /теорема о дуальности/ на уровне 4-потонцгзла в случае электромагнетизма, которая позволяет ограничить рассмотрение электрически-,-я (ульякпоявдгю уомзн-тами /кроко электрического монополя/ для того, чтобы получить вел ипЗоривдзя о поведении соотаотствутах глгпктпмх гультп- . яолышх моментов.

2. Сделана попытка обобгшть дуальную теерзму на электромагнитные поля ;-а £юпо искрив.тспого •простракс?са-1?ро!«кя '/особенно в с.тучае простракстга-вромеп: Дэ Снттзра, где условие на супорлотеицлал Н^ уцроадотся значительно/.

% Доказана одна теорема /теорема о ду?лм:зстгт/ кя урег.ч* "ц~яотонцзала з случае лпкзарчаоЕаякоЯ грав::тгл::и, которая ^стапавдзвает связь кезду потенциалами поля крззп-эллктрйпз©-цнх типов /кромэ квазя-электричссхого монэподя/ и соотлггст-

II

вупзим км полям квази-маглптных типов.

4. Доказана теорема Сакса об асимптотическом расцеплении . тензора Вейля в линейкой теории гравитации.'

5. Кайлено, что не только поля типа N по Петрову являются излучатолышми, но и поля типа Ж такае описывают поля гравитационного излучения.

Осноеныс результаты диссертации опубликовали в работах: . .

1. "лцкевич Н. В., Шарма С. Точное решение дяя переменного во времени квадруполя в линеаризованной теории гравитации. Тез. Докл.Ж Всесоюз. Науч. Семин. Тарту, Эстония, 1988.-е. 85. ■ ......

2.Miteki«»io N. v., Sharm S. A Llifa*Hi-WI»ch«rt' ljrp#' ikact' Solution for »■ paint'lik»vMB*: qu«drupolti eourct. in llneirlfcid'tbeohy of gravita-

Ution.'Abet¿t2th;Ihter. CbnVtm-.eKGiBotiieit-.Cblbbiao.l'SAt 1989) ».1,p.279.

3. Мицкевич H. В., ¡Парма С. Поле массового квадруполя. //Статистическая физика и Теория поля//, Сборник научных | трудов.- М., Изд-во 7ДН, 1920.- с. 24.

ЛКТ2РАТУРА ,

l.HiUkiavlc N. V. Ашайап ваг. Phyallc (L»ij?»lg), Ь6 (1989). р. ^25. 2» de Wit Bernard, ГгамЬап D. t. Phya.Kar. 21, 2 (1980).

3.Ггошких С. Phye. B«v. D, v. 18, 362^ (1978).

4. Tang J., irons dal C. Phye. Re*. D, ». 18, J6JO (1978).

5. Synga J. L. Relativity) The Special Theory. Nortb-Solland,Amat*rdaa(1965)

6. Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика. М., Выетая Школа /1990/. /см. задачу 2.2, с. 262/

7. Захаров В. Д. Гравитационные волзн в теории тяготения Эйнштейна. ?.!., Наука /1972/.

8. Ландау Л. Д., Ля'Хянц Е. I.!. Теория поля. ',!., Наука /1988/.'

/. Ljth- Подписано к печати. Объем 1.0 п.л. Тир. 100, »ак. ТИПОГРАФИЯ РОССИЙСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ДРУЖНЫ НАРОДОВ