Поля высоких порядков в вершине трещины при ползучести с учетом вида нагружения

Бойченко, Наталья Валерьевна

Поля высоких порядков в вершине трещины при ползучести с учетом вида нагружения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Бойченко, Наталья Валерьевна АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Поля высоких порядков в вершине трещины при ползучести с учетом вида нагружения»

Автореферат диссертации на тему "Поля высоких порядков в вершине трещины при ползучести с учетом вида нагружения"

На правах рукописи

БОЙЧЕНКО НАТАЛЬЯ ВАЛЕРЬЕВНА

ПОЛЯ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ В ВЕРШИНЕ ТРЕЩИНЫ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ С УЧЕТОМ ВИДА НАГРУЖЕНИЯ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань - 2006

Работа выполнена на кафедре Динамики и прочности машин Казанского государственного энергетического университета и в лаборатории Вычислительной механики деформирования и разрушения Исследовательского центра Проблем энергетики Казанского научного центра РАН.

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Шлянников Валерий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Каюмов Рашит Абдулхакович

кандидат физико-математических наук, Луканкин Сергей Анатольевич

Ведущая организация: Институт машиноведения им. A.A. Благонравова

РАН (г. Москва)

Зашита состоится 25 декабря 2006 г. в 9 часов на заседании диссертационного совета Д212.079.05 при Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева; г. Казань, ул. К. Маркса, д.10 (Е-таП: kai@kstu-kai.ru)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева

С авторефератом можно ознакомиться на сайте www.kai.ru

Автореферат разослан « 24 » ноября 2006 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Снигирев В.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Практика эксплуатации оборудования большого ресурса, работающего в условиях повышенных температур, показала, что с течением времени в условиях термосилового нагружения в зонах концентрации накапливаются и развиваются дефекты типа трещин вследствие исчерпания запасов длительной прочности и ползучести конструкционного материала. Критические, с точки зрения несущей способности и ресурса, элементы конструкций, такие как роторы паровых турбин, содержат технологические и конструктивные концентраторы напряжений, что не позволяет исключить при эксплуатационных условиях нагружения возникновения в них локальных пластических деформаций. Более того, именно в этих областях с течением времени накапливаются повреждения, приводящие к образованию и развитию микро- и макротрещин. В ряде случаев имеет место термосиловое нагружение, обуславливающее возникновение деформаций ползучести. Таким образом, анализ несущей способности элементов конструкций при наличии исходной и накопленной эксплуатационной поврежденности должен проводиться для сочетания состояний упругости, пластичности и ползучести. Трубопроводы, сосуды давления и диски роторов паровых турбин в эксплуатации подвержены двухосному нагружению различной интенсивности, что говорит о необходимости учета двухосности при расчетах напряженно-деформированного состояния области вершины трещины.

Долгое время считалось, что напряжения и перемещения в области вершины трещины при ползучести с достаточной точностью можно описать при любых условиях внешнего нагружения на основе одночленного асимптотического представления типа Хатчинсона-Райса-Розенгрена (ХРР). Однако, как показывают исследования последних лет, однопараметрический подход ХРР-типа в определении напряженно-деформированного состояния дает приближенное решение, которое в ряде случаев двухосного нагружения содержит существенные погрешности. В связи с этим возникает необходимость моделировать состояние в вершине трещины с учетом членов более высоких порядков на основе двух- и трехчленного разложения параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) в ряд по радиусу.

Постановка задачи.

В настоящей работе поставлена цель обосновать модель поведения материала в нелинейной области вершины трещины с учетом членов высоких порядков и разработать метод расчета амплитудных коэффициентов и угловых распределений членов высоких порядков через непосредственный учет двухосности внешнего нагружения для среды сочетающей свойства упругости, пластичности и ползучести. В работе рассматривается поведение материала в условиях мягкого нагружения при плоской деформации (ПД).

Достижение поставленной цели автор видит в;

• разработке методики определения параметров НДС области вершины трещины с учетом членов высоких порядков в условиях упругости, пластичности и ползучести;

• проведении комплексного анализа структуры полей параметров НДС в области вершины трещины через члены высоких порядков на основе непосредственного учета условий двухосного нагружения;

• оценке влияния вида двухосного нагружения и времени ползучести на поведение параметров НДС в нелинейной области вершины трещины;

, • обосновании модели трехчленного представления параметров НДС области вершины трещины при ползучести.

Научная новизна работы состоит в;

• разработке и численном обосновании модели состояния в нелинейной области вершины трещины при ползучести;

• количественной оценке влияния вида двухосного нагружения и времени ползучести на поля НДС в области вершины трещины при ползучести;

• разработке методики и комплекса программ исследования количественных и . качественных характеристик области вершины трещины с учетом членов высоких

порядков для условий сочетания свойств упругости, пластичности и ползучести

На защиту выносятся:

• модель напряженно-деформированного состояния материала, сочетающего свойства упругости, пластичности и ползучести в нелинейной области вершины трещины при двухосном нагружении с учетом членов высоких порядков;

• методика интерпретации и численные результаты решения задач МКЭ в нелинейной области вершины трещины для полярных распределений параметров НДС и амплитудных коэффициентов;

• сравнительная оценка параметров НДС, полученных по трехчленной модели и одночленной модели Хатчинсона-Райса-Розенгрена и установление зоны доминантности решения ХРР-типа в условиях ползучести;

• оценка влияния вида нагружения, времени ползучести и координат на поля параметров НДС области вершины трещины.

Практическая ценность.

Практическая значимость данной работы заключается в возможности определения характеристик сопротивления материала разрушению при статическом деформировании в условиях термосилового нагружения. В результате выполненного исследования предоставлена' возможность количественной оценки влияния коэффициента двухосности, долговечности и расстояния до вершины трещины на параметры НДС в нелинейной области вершины трещины при ползучести.

Методы исследований.

Аналитические и численные исследования выполнялись на основе теории течения при расчете ползучести, деформационной теории пластичности, метода конечных элементов, модифицированного метода граничного слоя, методов математического и компьютерного моделирования и программирования.

Достоверность полученных результатов подтверждается установленным совпадением частных численных решений с аналитическими и данными,

полученными другими авторами. Точность аналитических расчетов обеспечивалась строгими математическими постановками.

Реализация работы. Результаты работы внедрены в учебные курсы кафедры «Динамика и прочность машин» Казанского государственного энергетического университета и представлены в тематике научных исследований лаборатории Вычислительной механики деформирования и разрушения Исследовательского центра проблем энергетики КазНЦ РАН. Работа в течение трех лет подоерживалась грантами АНТ №05-5.2-266/(Ф) и РФФИ №03-01-96233.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Аспирантско-магистерских научных семинарах (Казань, КГЭУ - 2003,2004 гг.), на итоговых научных конференциях Казанского научного центра РАН (2003, 2005 гг.), на 11-ом международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, МАИ - 2005 г.); на 11-ой международной конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, МЭИ - 2005 г); на Национальной конференции по теплоэнергетике (Казань, Исследовательский центр проблем энергетики КазНЦ РАН - 2006г). '

В полном объеме диссертация докладывалась на кафедре Динамики и прочности машин Казанского государственного энергетического университету, в Исследовательском центре проблем энергетики КазНЦ РАН, на кафедрах Сопротивления материалов Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева и Казанского государственного архитектурно-строительного университета.

Публикации. Результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 12 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, общих выводов и списка литературы. Материал изложен на 152 страницах, содержит 64 рисунка, 7 таблиц, список литературы состоит из 103 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, дается ее общая характеристика, определяются направления исследований, устанавливаются перспективы научного и практического значения решаемой задачи.

В первой главе дан анализ современного состояния по предмету и направлениям исследований, рассматриваемых в диссертации.

Теоретической основой диссертации являются методы и подходы механики разрушения. Становление и развитие этой отрасли знаний связано с именами выдающихся отечественных и зарубежных ученых JI.M. Качанова, Ю.Н. Работнова, Г.П. Черепанова, Н.Ф. Морозова, Е.М. Морозова, H.A. Махутова, Р.В. Гольдштейна, Г.П. Никишкова, В.В. Панасюка, М.Л. Вильямса; -Дж. Райса, Дж. Хатчинсона, Дж. Розенгрена, С. Бетегона, Дж. Хенкока, И. Чао, Б.Нгуёна и др.

Наибольшую известность и широкое применение для описания пластических полей области вершины трещины имеет однопараметрическое решение ХРР-типа. Подобное решение применимо и для условий ползучести. Как показали исследования

в условиях мало масштабной и развитой ползучести поля области вершины трещины имеют ХРР-гип сингулярности. Ридель и Райе впервые предложили использовать решение ХРР-типа для условий ползучести, за счет замены перемещений на скорости перемещений и деформаций - на скорости деформаций. Вместо .Г-интеграла введена аналогичная по смыслу амплитуда С(0. Величина С(0 характеризует интенсивность близлежащих полей в упруго-нелинейно-вязком материале точно таким же образом, что и 1-интеграл характеризует близлежащие поля в упруго-пластическом материале. В основе подобного перехода лежала известная аналогия Хоффа.

Результаты исследований пластины бесконечных размеров с трещиной, проведенные Ли и др. показали, что размер зоны доминантности полей напряжений ХРР-типа - это только часть зоны ползучести, и она мала (особенно вдоль линии продолжения трещины) по сравнению с зоной ползучести в условиях плоской деформации. В связи с этим Ли и Ванг, Шарма и Аравас использовали описание полей. параметров напряженно-деформированного состояния в пластической области вершины трещины с учетом Членов высоких порядков. Авторы этих работ на основе двухчленного представления параметров НДС в зоне пластичности впервые установили тип сингулярности, амплитуду сингулярности и безразмерные угловые функции для второго члена разложения. В дальнейшем исследования в этой области были продолжены путём удержания членов более высоких порядков Бетсгоном и Хенкоком, Никишковым, Цзу и Чао, и др.

В связи с возрастающей актуальностью аналитического представления полей параметров НДС области вершины трещины с удержанием членов высоких порядков, Шарма и Аравас предложили использовать упруго-пластическое решение для безразмерных угловых распределений в условиях ползучести.

Из упруго-пластического анализа известно, что одночленное решение ХРР-типа можно идентифицировать как частный случай двухосного нагружения, а именно -равнодвухосное растяжение. Предварительный анализ показывает, что возможный учет двухосного нагружения связан с удержанием членов высоких порядков в соответствующих решениях для параметров НДС в нелинейной области вершины трещины. Однако в настоящее время для ползучести не получено четкой зависимости параметров НДС области вершины трещины от показателя двухосности нагружения. Проведенный анализ литературных данных показал, что:

• влияние двухосности нагружения не поставлено в соответствие со структурой решений в области вершины трещины при ползучести;

• отсутствует комплексная оценка поведения материала в условиях ползучести в зависимости от условий двухосности нагружения и стадий долговечности; .

• применение аналитического представления полей параметров НДС области вершины трещины, основанного на использовании одночленной модели Хатчинсона-Райса-Розенгрена, имеет ряд ограничений, и справедливо в достаточно узком диапазоне расстояний от вершины трещины.

На основе литературного анализа была сформулирована цель и поставлены задачи исследования.

Во второй главе обоснована модель напряженно-деформированного состояния в области вершины трещины при двухосном нагружении с учетом членов высоких порядков и разработан алгоритм нахождения элементов ее структуры.

Исследование полей параметров НДС в настоящей работе построено на сочетании аналитического и численного решений, т.е в работе осуществлялся расчет параметров НДС области вершины трещины численно при помощи метода конечных элементов, и параллельно с ним поставленная задача решалась аналитически на основе трехчленного представления полей параметров НДС области вершины трещины при ползучести. Такой подход необходим для получения полного решения и обоснования элементов его структуры. Для компонент напряжений и скоростей деформаций трехчленное разложение имеет вид:

*у + (0) + Л3(/)г'35*3>(0) + ..'.] (1)

¿у = А;1 (оИ"?!0 (<?)+лг (в)+Аъ (/>г 11<"-1)+2*2-'1£(|3) (в)+Щх) (0)] (2)

где индексы к = 1,2,3 соответствуют полям первого, второго и третьего порядка соответственно; Ах (0,А2((),А3(() - амплитудные коэффициенты; , >- показатели степени, причем 51<52<53; г = г/Ь, Ь- характеристический размер, I - время, > Цк) > - безразмерные угловые функции компонент напряжений и скоростей деформаций соответствующего порядка; г, в - полярные координаты, центрированные на вершину трещины. Первый член в разложениях (1,2) является решением ХРР-типа, в котором безразмерные угловые функции получены аналитически в результате решения нелинейного дифференциального уравнения совместности деформации четвертого порядка по методу Рунге-Кутта. Первым шагом в порядке получения полей параметров НДС при ползучести согласно структуры решения (1,2) является определение угловых распределений. Угловые распределения членов второго и третьего а}р порядков предполагалось

находить в результате решения системы дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями по методу Никишкова. Для этого решалась следующая система уравнений: уравнения равновесия

11 12

а +-агв+-(аг-сгв) = 0, стгв +-а00 +—агО = 0 (3)

г г г г

уравнения Коши

1 1

0,в >

конституционное уравнение среды по модели Рамберга-Осгуда

т-1

1 + у 1-2 и _ 3 (<те) 5

В результате совместного решения этих уравнений находились показатели степени и безразмерные угловые характеристики 5^2,3) второго и третьего членов разложения (1).

Вторым шагом предлагаемой методики определения параметров НДС является расчет амплитудных коэффициентов. Структура уравнения (1) для нахождения амплитудных коэффициентов Ах и А2 предполагает, что левая часть этого уравнения известна, т.е. определены компоненты полных напряжений сгу в нелинейной области

вершины трещины. Для нахождения этих напряжений удобно воспользоваться методом конечных элементов (МКЭ), который по своей сути позволяет рассчитать только полные поля параметров НДС без разложения на составляющие. Таким образом, для определения искомых амплитудных коэффициентов А1 и Аг требуется сочетание численного МКЭ-решения в отношении и аналитических решений для угловых безразмерных функций аг^^в). В связи с этом необходимо привести

компоненты напряжений, полученные численно и аналитически к безразмерному виду, что осуществлялось за счет нормировки:

— РЕМ ~

зу&г)--^, о«\в,г) = , где ¿ = 1,2,3 (6)

Кг'»*1 А г'

Нормировка безразмерных компонент напряжений производилась таким образом, чтобы максимальное значение интенсивности напряжений было равным единице, что

__1_

осуществляется за счет подбора неизвестных на данном этапе значений Кг "+1 и л*)-/*'

Ак 'г , стоящих в знаменателе.

Затем, развернув уравнение (1) в явном виде для компонент нормальных напряжений, можно записать:

= ¿.(оИз^ + лгцуглз®

ап = + Лг{!Угла? +

Решением системы уравнений (7) при использовании полученных на предыдущем этапе угловых распределений Щк\в), находятся амплитудные коэффициенты А1 и Аг. Затем по известным значениям амплитудных коэффициентов Ах, Аг и угловых безразмерных функций напряжений определяются значения компонент

напряжений и скоростей деформаций по моделям (1-2).

Предложенная схема решения, объединенная в блок-схему, показанную на рис.1 была применена к расчету полей НДС в нелинейной области вершины трещины в условиях сочетания упругости, пластичности и ползучести. Рассматривалась пластина конечных размеров с центральной трещиной в условиях мягкого нагружения. Нагрузки или номинальные напряжения были приложены на внешних границах пластины по взаимно перпендикулярным направлениям. Соотношение номинальных напряжений определялось коэффициентом двухосности 77 = сг"/сг^, .

Исходные данные Г)> сг0, Е, Я, », т

Рис. 1. Блок-схема методики расчета полей параметров НДС области вершины трещины

В данной работе поведение тела с трещиной проанализировано для трех различных значений коэффициента двухосности: r¡ = 1 (равнодвухосное растяжение), tj = О (одноосное растяжение) и 7 = -1 (равнодвухосное растяжение-сжатие) и двух уровней приложенного номинального напряжения а = ЮОМПа и 150МПа. Данные варианты нагружения обусловлены тем, что соотношение двухосных номинальных напряжений и их величины существенно изменяются от внутреннего до внешнего радиусов диска ротора паровой турбины. Исследование проводилось при использовании свойств пластичности и ползучести роторной стали Р2 с пределом текучести, равным сг0 = 460МПа при температуре Т=550 "С в условиях плоской деформации. Путем аппроксимации экспериментальных диаграмм деформирования и кривых ползучести найдены коэффициент деформационного упрочнения для

пластичности т= 3.96 и константы ползучести по теории течения 5=1.4-Ю-10 и «=2.47, где В и п - соответственно коэффициент и показатель ползучести. Диапазон времени выдержки под нагрузкой или время ползучести последовательно увеличивалось от 102 до 5-104часов. Долговечность выбрана таким образом, чтобы покрывался диапазон эксплуатационной наработки дисков роторов паровых турбин.

Численные расчеты проводились на основе инженерного компьютерного комплекса ANSYS. Моделирование расчетной схемы пластины с центральной трещиной в рамках МКЭ (рис.2) выполнялось в два этапа: первоначально была сформирована область, окружающая вершину трещины, а затем сформирована расчетная схема пластины с центральной трещиной. Вершина трещины сформирована с малым, но конечным радиусом кривизны р = /г-10"3 . В данной главе установлена структура параметров НДС в нелинейной области вершины трещины с учетом членов высоких порядков при ползучести. На основании этого разработаны методика и компьютерные программы расчета полей НДС в области вершины.

Рис.2. Расчетная схема пластины с трещиной (а); расчетная схема области вершины трещины с конечным радиусом кривизны (Ь)

а)

Ь)

По разработанному алгоритму вычислены поля параметров НДС пластины с трещиной для различных условий нагружения (77 = 1,0,-1), двух уровней номинального напряжения (а=100МПа и 150МПа) и нескольких стадий долговечности (от 102 до 5-104часов).

Полученные в главе 2 результаты явились основой для дальнейшего анализа параметров НДС в широком диапазоне условий двухосного нагружения и долговечности по модели, включающей члены высоких порядков в нелинейной области вершины трещины.

В третьей главе с целью обоснования модели поведения материала в условиях сочетания упругости, пластичности и ползучести с учетом членов высоких порядков был проведен анализ полей распределений компонент напряжений в нелинейной области вершины трещины. Анализировались радиальные (на продолжении трещины) и угловые распределения.

На рис.3 представлены численные результаты расчета радиальных МКЭ-распределений тангенциальной компоненты полных напряжений на продолжении трещины. Абсолютные значения долговечности / отнесены к приближенной величине времени перехода от маломасштабной к развитой ползучести tт, которая определяется как:

где К - упругий коэффициент интенсивности напряжений, Е - модуль упругости, у -коэффициент Пуассона. Для напряжений, нормированных на предел текучести ог=о7о-02 = 0.22 и а = 0.33 эти величины составляют /г= 1081 час и /г= 596 час соответственно.

Расстояние до вершины трещины приведено к безразмерному виду путем следующей нормировки:

где (т0 и ¿0 - взаимосвязанные характеристики ползучести для роторной стали Р2М при температуре Т = 525°С, сго=90МГ7а, ¿ = Ы0~71/час, С - амплитудный коэффициент для пластины бесконечных размеров, находящейся в условиях плоской деформации, который описывается с помощью выражения:

Из приведенных на рис.3 данных следует, что вид номинального двухосного напряженного состояния оказывает существенное влияние на поведение материала при ползучести в области вершины трещины. Следует отметить, что при положительных коэффициентах двухосности т] = +1 и 77 = 0 для а = 0.22 совершенно четко наблюдается явление разгрузки в области вершины трещины на расстояниях до 7 « 0.004.

(8)

(9)

[С/(<х0*0)]'

(Ю)

«ее 9

0.0000 0.0006 0.0012 0.0018 0.0000 0.0006 0.0012 0.0018 г/[с/(а.ё,)] ' г/[с/(<т,*,)]

Рис 3. Влияние вида двухосного нагружения на распределение напряжений на продолжении трещины

Это явление связано с увеличением радиуса кривизны вершины трещины при ползучести и как следствие локальном уменьшении концентрации упруго-пластических напряжений. Видно, что в этих случаях максимум напряжений аов располагается на некотором удалении от вершины трещины. При равнодвухосном растяжении-сжатии или сдвиге максимум аов смещается уже на контур трещины, хотя небольшая локальная разгрузка также имеет место.

Как следует из рис. 3, для области маломасштабной ползучести, т.е. при г!^ наибольшим в отношении максимума компоненты напряжений ав9 является равнодвухосное растяжение. Заметно, что переход от маломасштабной к развитой ползучести, когда сопровождается перераспределением напряжений. В

условиях интенсивной ползучести при *//г>3 наибольшим по максимуму становится вариант двухосного растяжения-сжатия с 7 = -1. Меньшим теперь уже является равнодвухосное растяжение с 77 = +1, а ситуация одноосного растяжения с 7 = 0 как и прежде занимает промежуточное положение. Таким образом, совершенно четко установлено явление перераспределения напряженного состояния на продолжении трещины по стадиям ползучести в зависимости от вида двухосного Нагружения.

Согласно предложенному алгоритму определения параметров НДС (рис.1) следующий этап расчета состоял в исследовании угловых распределений компонент напряжений. В качестве базы для сравнения выступали полные напряжения, полученные численно на основе МКЭ. На эти распределения накладывались аналитические результаты одночленного решения ХРР-типа и трехчленного представления по модели (1) с учетом найденных амплитудных коэффициентов по уравнению (7). Напомним, что безразмерные угловые распределения напряжений второго и третьего порядков Э^ определены в результате решения системы уравнений (3-5).

На рис. 4 представлено сравнение безразмерных угловых распределений компонент тензора напряжений, полученных численно и аналитически. На этих графиках символами обозначены МКЭ-данные, толстыми линиями — результаты расчета по трехчленному разложению, а тонкие линии соответствуют решению ХРР-типа. Решение ХРР-типа является асимптотическим и сингулярным при 7 -> 0 и может быть получено как частный случай уравнения (1), когда амплитуда второго и третьего членов разложения А2- 0. Из упругого анализа известно, что амплитуда

второго члена (или несингулярный член) определяется как Т = -сг( 1 - 77). Следовательно, одночленное решение или решение ХРР-типа справедливо и может быть достигнуто только при равнодвухосном растяжении 77 = +!, когда Л2=Т=0. Эта ситуация хорошо проиллюстрирована на рис. 4: решение ХРР-типа приемлемо описывает вариант равнодвухосного растяжения с 7 = +1. На небольшом удалении от вершины трещины (г = 7.17-Ю-4) ни одно из модельных представлений в виде трехчленного разложения (1) или одночленного решения ХРР-типа не совпадает с численными результатами. Эти данные подтверждают тот факт, что асимптотические решения не применимы для описания поведения материала в области разгрузки вершины трещины.

Правый ряд рисунков принадлежит расстоянию 7 = 2 -КГ3 на порядок большему, чем радиус кривизны вершины трещины при той же долговечности. В противоположность предыдущему случаю, наблюдается качественное согласие между численными результатами и моделью с учетом членов высоких порядков (1). Подобная ситуация характерна как в области интенсивной ползучести, так в области маломасштабной ползучести, с той лишь разницей, что степень соответствия между МКЭ-результатами и асимптотическим трехчленным разложением (1) для области однородного изменения НДС 7 = 2-КГ* становится достаточно хорошей с увеличением времени выдержки под нагрузкой.

Представленные на рис.4с1, результаты подтверждают тот факт, что ХРР-решение является частным случаем двухосного нагружения, которое соответствует равнодвухосному растяжению. Видно, что, как и следовало ожидать, численные и аналитические результаты полностью совпадают между собой. Это свидетельствует о корректности развиваемого подхода к анализу НДС с учетом членов высоких порядков.

•180 -120 -60 0 60 120 180

ем

-180 -120 -60 0 60 120 180 в[.]

2.0

1.8

1.2

0.6

0.0

-0.6

Г = 2.(М0"* Л |ч=+1

-г/Ц =46.25

. 1 . 1-1. .......

-180 -120 -60 0 60

ОМ

1.8

120 180

>180 -120 -60

120 180

1.8

1.2

'I 0.6

0.0 -0.6

? = го-ю-а »/», =27.75 /-Ч |п = -1

Ч ^ГЦЛ^^А N

--------1_. \ ¿у о ЧУ4^

-180 -120 -60 0 60 120 180

е[о]

-180 -120 -60 О 60

120 180

Рис.4. Сравнение численных и аналитических результатов расчета угловых распределений компонент напряжений для различных вариантов двухосного нагружения

Проведен расчет процентного соотношения вкладов каждого члена трехчленного представления напряжений (1) в общее решение. Установлено, что суммарный вклад членов высоких порядков в общее решение достигает 40%. Этот факт свидетельствует о предпочтительности трехчленного представления по сравнению с решением ХРР-типа.

В четвертой главе приведен анализ распределения деформаций в области вершины трещины при ползучести. Для условий сочетания упругости, пластичности и ползучести в пакете прикладных программ АШУЗ используется следующая декомпозиция суммарной деформации:

£м=ее1+£р1+£сг

где еш - суммарная деформация, ее1 - упругая деформация, ер, - пластическая деформация и есг - деформация ползучести. На рис.5 представлено распределение составляющих суммарной деформации на примере одноосного растяжения. Следует отметить, что на значительном расстоянии от вершины трещины пластические деформации становятся менее значимыми, несмотря на то, что суммарная деформация возрастает. Этот факт обусловлен перераспределением вкладов составляющих суммарной деформации: накопление деформаций ползучести с течением времени выдержки под нагрузкой происходит опережающими темпами по отношению к пластическим деформациям. Описанное явление наблюдается при всех рассмотренных в работе значениях коэффициента двухосности.

Установлено, что вид номинального двухосного напряженного состояния оказывает существенное влияние на поведение материала в области вершины трещины. В случае равнодвухосного растяжения-сжатия при (77 = -1) деформации достигают наибольших значений из рассмотренных в работе вариантов нагружения. Случай равнодвухосного растяжения (77 = 1) характеризуется наименьшим уровнем суммарных деформаций. Вариант одноосного нагружения (/7 = 0) занимает промежуточное положение. Это говорит о том, что случай равнодвухосного растяжения-сжатия (77 = -1) является наиболее опасным вариантом нагружения из рассмотренных в работе.

0.2

0.1

о.о

/7=0 .г =2.144 -10-4

е';' \ еа

£" // 6Е-3

У/ 8?

ОЕ+О

г7=0

г-2.004-10"® с и

---У И'! /

——Г-ГГТТТГГ" . 4 ^ Л 1АТ*1 * * -

1Е+2

1Е+3 1Е+4

долговечность, час

1Е+2

1Е+3 1Е+4

долговечность, час

Рис. 5. Распределение составляющих суммарной деформации по времени

Проведено сопоставление результатов, полученных аналитически согласно предложенной методики по выражению (2) с результатами численного решения. Сравнение производилось для компонент тензора скоростей деформации ползучести.

Скорости деформации ползучести первого, второго и третьего порядков ё^ ,

входящие в выражение (2), определены через компоненты безразмерных напряжений в соответствии со следующими зависимостями:

0).

(1)

к = 2,3

= - + |[а<2 > + (и - 3)(а<2 >)2]^}

(12) (13)

Полные ас и безразмерные эквивалентные напряжения сг< \ст; ' по критерию Мизеса, вычислялись при использовании трехчленного разложения (1). Входящие в уравнение (12,13) компоненты девиаторов напряжений определены согласно общей структуре трехчленного решения (1).

Используя компоненты тензора полных деформаций ползучести, полученных численно с помощью системы АЫБУЭ, были вычислены компоненты скоростей деформации ползучести:

'У

Д/

где индекс к соответствует стадии долговечности, е

(14)

у - компоненты тензора деформаций ползучести, / - долговечность. Напомним, что расчеты произведены для девяти стадий долговечности в диапазоне от 102 до 5-104часов.

О ¿Г

77=1

" ЧГ

/ = 5-104

Ч/ < ■ г =2.004 -10"'

•180 -120 -60

60 120 180

■20

■180 -120 -60

60 120 180

Рис.6. Угловые распределения компонент скорости ползучести линии 1, 4 соответствуют ё"0, линии 2, 5 - ёс/в , линии 3, 6 - ёсег

На рис.6 представлено сравнение компонент тензора деформаций, полученных численно и аналитически. Сплошными линиями на графиках нанесены компоненты скоростей деформаций, полученные аналитическим путем. Символами показаны

компоненты, полученные численно с помощью МКЭ. При увеличении времени выдержки под нагрузкой и по мере удаления от вершины трещины максимальные значения безразмерных компонент скорости деформации ползучести значительно уменьшается. Хорошее соответствие численного и аналитического решений наблюдается в частном случае равнодвухосного растяжения (г\ = 1) при больших значениях выдержки под нагрузкой и на значительном удалении от вершины трещины. Такая же ситуация наблюдается при анализе распределений полей напряжений в области вершины трещины. Для других видов двухосного нагружения соответствие численных и аналитических результатов можно признать удовлетворительным. Во всех рассмотренных случаях наблюдается аналогия в поведении компонент скоростей деформации, полученных аналитическим и численным способом, что говорит о корректности проведенного исследования.

Из сопоставления результатов проведенных расчетов скорости деформации ползучести установлена область доминантности трехчленного разложения, которая характеризуется совпадением аналитического и численного решений. Такая ситуация имеет место при удалении от вершины трещины, превышающем ^ = 1.21Ы0'3 и долговечности порядка 3-Ю4 и более часов.

Пятая глава посвящена анализу поведения амплитудных коэффициентов в зависимости от вида напряженного состояния, долговечности и расстояния до вершины трещины. Расчет коэффициентов осуществлялся согласно

разработанному алгоритму по системе уравнений (7) с учетом найденных безразмерных угловых распределений компонент напряжений.

На рис. 7 представлены кривые зависимости амплитудных коэффициентов А0 = А1 и А2 от расстояния до вершины трещины для различного времени выдержки под нагрузкой и различных значений коэффициента двухосности. На этом рисунке цифрами приняты следующие обозначения: 1 -102 часов, 2-3-102час, 3 - 5-102час, 4 -103 час, 5 - 3• 103 час, б - 5-Ю3 час, 7 -104час, 8 -3104час, 9 - 5104час. Заметно, совершенно четкое монотонное уменьшение значений коэффициентов при увеличении времени выдержки под нагрузкой.

В литературе известно только одно решение для амплитуды одночленного представления С (10) и связанному с ним А0, относящиеся к пластине бесконечных размеров при одноосном растяжении в условиях развитой ползучести (частный случай нашего исследования при 7 = 0):

Значение А"' нанесено на график для случая одноосного растяжения. Коэффициент Ане зависит от расстояния до вершины трещины и от времени. При расстояниях до вершины трещины г^0.5-10~3 и значениях долговечности

(15)

превышающих 5-103час (г/гг=4.62) наблюдается аналогия в поведении коэффициента 4"7 и найденного в работе Ах.

1.5

1.2 А,

0.9 0.6

| Л = 0

- V V3 \ АГ

0.5 1.0 1.5 гхЮ"5 2.0

-2 А2

-4

_ _ —--—

- $/ ^ уЗ

1 к = 1

0.5 1.0 1.5 2.0

гхЮ"3

-1.5 -3.0

А,

-4.5 -6.0

-3.0

л - о в,6ч .7

•

- л 1

0.5 1.0 1.5 2.0 г х10"'

Рис. 7. Зависимости амплитудных коэффициентов А0 и Аг от расстояния до вершины трещины для различных условий нагружения.

Это свидетельствует о корректности полученного в работе решения и накладывает ограничения в применении аналитической формулы (15).

По мере перехода от равнодвухосного растяжения к равнодвухосному растяжению-сжатию становится менее значительным влияние времени выдержки под нагрузкой. Наиболее ярко это выражается при рассмотрении поведения коэффициента Аг: при 77 = -1 влияние долговечности на коэффициент практически отсутствует. В литературе предполагалось, что коэффициент А2 не зависит до расстояния от вершины трещины, однако, очевидно, что такое влияние имеет место.

В области маломасштабной ползучести при 0Г £ 1 амплитуда второго и третьего члена А2 разложения (1) при равнодвухосном растяжении имеет устойчивое не нулевое значение. В области я 1 совершенно четко наблюдается переход значений А2 на уровень, близкий к нулю, который сохраняется при дальнейшем увеличении долговечности. При этом по мере удаления от вершины трещины этот процесс приобретает все более четкий характер. Следует отметить, что при других видах номинальных напряженных состояний 77 = 0 и /7 = —1 подобных переходов не наблюдается, что еще раз доказывает особый статус ситуации равнодвухосного растяжения (7 = 1), при которой Т = 0 и, следовательно, члены высоких порядков должны обращаться в нуль.

Для математического описания полученных в работе численных результатов, определяющих зависимость амплитудного коэффициента А2 от исследованных факторов коэффициента двухосности, долговечности и радиальной координаты г предложено обобщенное аппроксимационное уравнение:

17,г) <16)

где ^ = (17)

=0.0422-2.54 10-577-1.18 10"5/72 (18)

Г, = 0.725/-0.0453Г2+6.06-1 (Г4/3-28770.2 (19)

Из проведенных расчетов следует, что полученная в работе аппроксимационное уравнение зависимости амплитудного коэффициента Аг от условий нагружения, долговечности и расстояния до вершины трещины с достаточной точностью описывает поведение амплитудного коэффициента Аг.

Полученные функции изменения амплитудного коэффициента Л2, приведенные к удобному в использовании виду, предполагают их непосредственное введение в вычислительные комплексы по анализу НДС в нелинейной области вершины трещины.

Основные выводы

Проведенный в данной работе анализ НДС области вершины трещины в условиях сочетания упругости, пластичности и ползучести с учетом членов высоких порядков позволяет сделать следующие выводы.

1. Предложена и обоснована модель напряженно-деформированного состояния в нелинейной области вершины трещины с учетом членов высоких порядков и дано ее численное и аналитическое обоснование.

,. 2. Разработана и реализована методика исследования поведения параметров НДС при различных вариантах двухосного нагружении с учетом членов высоких порядков при ползучести.

3. Определено,-, что именно члены высоких порядков воспроизводят влияние двухосного нагружения.

4. Установлено явление и предложен механизм перераспределения жесткости напряженного состояния на продолжении трещины по стадиям ползучести в зависимости от вида двухосного нагружения.

5. В результате выполненных расчетов установлены качественные и количественные эффекты влияния двухосности нагружения на параметры НДС области вершины трещины при ползучести.

6. Получено аналитическое описание зависимости амплитудного коэффициента от исследуемых факторов двухосности нагружения, долговечности и расстояния до вершины трещины.

7. Представление полей НДС в нелинейной области вершины трещины с учетом членов высоких порядков показало, что их совокупный вклад может достигать 40% по отношению к первому ХРР-члену, что предопределяет необходимость их учета при анализе эффектов двухосного нагружения.

Основные печатные работы по теме диссертации:

1. Бойченко Н.В. Анализ симметричных форм деформирования трещин на различных стадиях ползучести // Аспирантско-магистерский научный семинар КГЭУ / тез.докл. - Казань: Изд-во КГЭУ, 2003. - С. 120-121.

2. Шлянников В.Н., Ильченко Б.В., Бойченко Н.В. Анализ НДС области вершины трещины в вязко-упругом пластическом материале при симметричном мягком и жестком нагружении // Известия ВУЗов. Проблемы энергетики.- 2003. - № 11-12. -С.139-152.

3. Шлянников В.Н., Ильченко Б.В., Бойченко Н.В., Тартыгашева A.M. Пластина с отверстием в состоянии упругости, пластичности и ползучести // Известия ВУЗов. Проблемы энергетики.- 2004. - № 1-2. - С. 107-116.

4. Шлянников В.Н., Ильченко Б.В., Бойченко Н.В. Кинетика НДС области вершины трещины при ползучести // Ежегодник. Казанский физико-технический институт им. Е.К. Завойского. -2003. - С.176-180.

( 5. Бойченко Н.В. Анализ влияния вида нагружения на НДС области вершины трещины при ползучести // Аспирантско-магистерский научный семинар КГЭУ / тез^докл. - Казань: Изд-во КГЭУ, 2004. - С. 110-111.

6. Бойченко Н.В. Исследование влияния вида нагружения на НДС области вершины трещины в вязко-упруго-пластичном материале // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред / материалы XI Междунар. Симп. - Т.1. - М: Изд-во МАИ, 2005. - С.52.

7. Бойченко Н.В. Оценка влияния вида нагружения на распределение полей напряжений в области вершины трещины при ползучести // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика / Материалы XI Междунар. конф-и. - Т.З. - М: Изд-во МЭИ, 2005. - С. 229-230

8. Бойченко H.B. Количественная оценка составляющих трехчленного разложения полей напряжений области вершины трещины при ползучести // Труды Академэнерго.- 2005.- №1.- С. 109-113.

9. Шлянников В.Н., Ильченко Б.В., Бойченко Н.В. Расчет амплитудных коэффициентов при ползучести для материала диска паровой турбины // Известия РАН. Энергетика. - 2006.- №2. - С.83-90.

10. Шлянников В.Н., Ильченко Б.В., Бойченко Н.В. Влияние вида напряженного состояния на поведение роторной стали при ползучести в условиях близких к разрушению // Известия РАН. Энергетика. - 2006.- №2. - С.91-100.

11. Шлянников В.Н., Бойченко Н.В. Поля деформаций при ползучести в условиях двухосного нагружения // Труды Академэнерго.- 2006.- Ksil.- С.158-165.

12. Шлянников В.Н., Бойченко Н.В. Поля напряжений и деформаций при ползучести для материала диска паровой турбины с повреждением // Материалы докладов национальной конференции по теплоэнергетике НКТЭ-2006 т11 - Казань, 2006.-, с.22-25.

Подписано в печать 21.11.06 г. Форм. бум. 60x80 1/16. Печ. л 1,5. Тираж 100. Заказ 372.

Отпечатано с готового оригинал—макета в ООО «Вестфалика» г.Казань, ул. Б.Красная, 67

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Бойченко, Наталья Валерьевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ И МЕХАНИЗМЫ

РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ.

1.1. Механизмы разрушения при ползучести с учетом параметра структуры материала.

1.2. Уравнения ползучести.

1.3. Структура полей параметров НДС в вершине трещины.

1.4. Поля в вершине трещины с учетом членов высоких порядков.

1.5. Численный анализ параметров НДС области вершины трещины.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НДС ТЕЛА С ТРЕЩИНОЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ

ДВУХОСНОМ НАГРУЖЕНИИ.

2.1 Метод расчета и интерпретации параметров НДС в вершине трещины при ползучести с учетом членов высоких порядков.

2.2. Расчетная схема МКЭ пластины с центральной трещиной при двухосном нагружении.

2.3. Метод интерпретации результатов.

ГЛАВА 3. ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ОБЛАСТИ ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ

ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ.

3.1. Поля напряжений в условиях сочетания упругости, пластичности и ползучести.

3.2. Кинетика напряженного состояния при ползучести в зависимости от вида нагружения.

3.3. Анализ угловых распределений компонент тензора напряжений в области вершины трещины.

3.4. Сравнение численных и аналитических результатов.

• ГЛАВА 4. ПОЛЯ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ В УСЛОВИЯХ

ДВУХОСНОГО НАГРУЖЕНИЯ.

4.1. Кинетика зон пластичности и ползучести в области вершины трещины.

4.2. Анализ распределения компонент тензора скоростей деформации ползучести в зависимости от вида нагружения. ш 4.3. Характер перераспределения деформаций по времени ползучести.

4.4. Сравнение численных и аналитических результатов расчета полей скоростей деформаций в области вершины трещины при ползучести.

ГЛАВА 5. АМПЛИТУДНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ТРЕХЧЛЕННОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛЕЙ НДС ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ.

5.1. Влияние времени выдержки под нагрузкой на амплитудные коэффициенты.

5.2. Влияние вида нагружения на амплитудные коэффициенты.

5.3. Количественная оценка составляющих трехчленного разложения полей напряжений области вершины трещины.

5.4. Аппроксимационное уравнение зависимости амплитудного коэффициента А2 от исследуемых факторов.

• ВЫВОДЫ.

Введение диссертация по механике, на тему "Поля высоких порядков в вершине трещины при ползучести с учетом вида нагружения"

Практика эксплуатации оборудования большого ресурса, работающего в условиях повышенных температур, показала, что с течением времени в условиях термосилового нагружения в зонах концентрации накапливаются и развиваются дефекты типа трещин вследствие исчерпания запасов длительной прочности и ползучести конструкционного материала. Критические, с точки зрения несущей способности и ресурса, элементы конструкций, такие как ротора паровых турбин, содержат технологические и конструктивные концентраторы напряжений, что не позволяет исключить при эксплуатационных условиях нагружения возникновения в них локальных пластических деформаций. Более того, именно в этих областях с течением времени накапливаются повреждения, приводящие к образованию и развитию микро- и макротрещин. В дисках роторов паровых турбин под действием центробежной и контурной нагрузки реализуются деформации ползучести. Таким образом, анализ несущей способности дисков роторов паровых турбин при наличии исходной и накопленной эксплуатационной поврежденности должен проводиться для сочетания состояний упругости, пластичности и ползучести. Диски роторов паровых турбин в эксплуатации подвержены двухосному нагружению различной интенсивности, что говорит о необходимости учета двухосности при расчетах напряженно-деформированного состояния области вершины трещины.

В этой связи в настоящей работе поставлена цель обосновать модель поведения материала в нелинейной области вершины трещины с учетом членов высоких порядков и разработать метод расчета амплитудных коэффициентов и угловых распределений членов высоких порядков через непосредственный учет двухосности внешнего нагружения для среды сочетающей свойства упругости, пластичности и ползучести. В работе рассматривается поведение материала в условиях мягкого нагружения при плоской деформации (ПД).

Для достижения поставленной цели перед автором были поставлены следующие задачи:

• разработка методики определения параметров НДС области вершины трещины с учетом членов высоких порядков в условиях упругости, пластичности и ползучести;

• проведение комплексного анализа структуры полей параметров НДС в области вершины трещины через члены высоких порядков на основе непосредственного учета условий двухосного нагружения;

• оценка влияния вида двухосного нагружения и времени ползучести на поведение параметров НДС в нелинейной области вершины трещины;

• обоснование модели трехчленного представления параметров НДС области вершины трещины при ползучести.

Научная новизна работы состоит в:

• разработке и численном обосновании модели состояния в нелинейной области вершины трещины при ползучести;

• разработке методики и комплекса программ исследования количественных и качественных характеристик области вершины трещины с учетом членов высоких порядков для условий сочетания свойств упругости, пластичности и ползучести

Результаты научной деятельности автора нашли отражение в диссертации, которая состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы из 103 наименований.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

выводы

2. Разработана и реализована методика исследования поведения параметров НДС при различных вариантах двухосного нагружении с учетом членов высоких порядков при ползучести.

3. Определено, что именно члены высоких порядков воспроизводят влияние двухосного нагружения.

6. Получено аналитическое описание зависимости амплитудных коэффициентов Aj, от исследованных факторов коэффициента двухосности, долговечности и расстояния до вершины трещины.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Бойченко, Наталья Валерьевна, Казань

1. Баренблатт Г.И. О хрупких трещинах продольного сдвига / Баренблатт Г.И., Черепанов Г.П. // Прикл. мех. и матем. 1961. - 25 с.

2. Бойченко Н.В. Количественная оценка составляющих трехчленного разложения полей напряжений области вершины трещины при ползучести / Н.В. Бойченко //Труды Академэнерго. 2005.- 1.- С. 109-113.

3. Болотин В.В. Многопараметрическая механика разрушения / Болотин В.В. // В кн.: Расчеты на прочность. Вып. 25. М.: Машиностроение. -1984.-С. 12-33.

4. Болотин В.В. Объединенные модели в механике разрушения / Болотин В.В. // Изв. АН ССР. Мех. тверд, тела. 1984. - № 3. - С. 127-137.

5. Вайншток В. А. Сравнение двух численных методов расчета коэффициентов интенсивности напряжений / Вайншток В.А. // Пробл. прочн.- 1977.-№9.-С. 80-83.

6. Вессел Э. Новые методы оценки сопротивления металлов хрупкому разрушению. / Вессел Э., Кларк У., Прайл У. // М. Мир. - 1972. 280с.

7. Вычислительные методы в механике разрушения. Под ред. С. Атлури.-М.: Мир. 1990. - 392 с.

8. Голованов А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / А.И. Голованов, Д.В. Бережной. Казань: Изд-во «ДАС». - 2001. - 301 с.

9. Голованов А.И. Расчет больших деформаций неупругих тел в комбинированной лагранжево-эйлеровой постановке / Голованов А.И., Кузнецов С.А. // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского,-2002-. 15. С. 5-28.

10. Гольдштейн Р.В. Разрушение и формирование структуры / Гольдштейн Р.В, Осипенко Н.М. // ДАН СССР . 1978. - № 240. - С. 829-832.

11. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / Зенкевич О. //- М.: Мир. 1975.-С. 541.

12. Качанов J1.M. Теория ползучести / Качанов JI.M. // Гос. издательство физмат литературы,- 1968.

13. Качанов JI.M. Основы механики разрушения / Качанов JI.M. // М.1. Наука.- 1974

14. Качанов JI.M. Механика пластичных сред / Качанов JI.M. // М. Наука. -1978

15. Лебедев А.А. Исследование предельного состояния пластин, ослабленных трещинами сложной формы / Лебедев А.А., Бойко А.В. //

16. Пробл. прочн. 1982. - № 4. с. 56-60.

17. Леонов М.Я. Розвиток найдр1бшших трщин у твердому тш / Леонов М.Я., Панасюк В.В. // Прикл. механжа. 1959. - № 4. - С. 391-401.

18. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность / Махутов Н.А. М.: Машиностроение. - 1981.-271 с.

19. Морозов Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения /

20. Ь Морозов Е.М., Г.П. Никишков. М.: Наука. - 1980. - 256 с.

21. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин / Морозов Н.Ф. -М.: Наука. 1984.-255 с.

22. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Мусхелишвили Н.И. М.: Наука. - 1966.

23. Никишков Г.П. Метод виртуального роста трещины для определения коэффициентов интенсивности напряжений Ki и К2 / Никишков Г.П.,

24. Вайншток В.А. //Пробл. прочн. 1980. - 6 - С. 26-31.

25. Панасюк В.В.- Киев: Наукова думка. 1968. - 246 с.

26. Панасюк В.В. Применение метода граничной интерполяции для приближенного решения упругопластических задач теории трещин / Панасюк В.В., Панько И.Н., Васькив И.В. // ФХММ. 1984. - № 20. - С. 61-66.

27. Панасюк В.В. К вопросу о приближенном определении напряженно-деформированного состояния в упругопластических телах, ослабленных трещинами / Панасюк В.В., Панько И.Н., Тымяк Н.И. // ФХММ. 1989. -№ 25. - С. 44-50.

28. Писаренко Г.С. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии / Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Киев: Наукова думка. - 1976. - 416 с.

29. Проблемы механики деформируемого твердого тела. Межвузовский сб./ под ред. Н.Ф. Морозова Л.: Изд-во Ленинград ун-т. - 1982. - вып. 14.

30. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Работнов Ю.Н. // М. Наука. 1966

31. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Работнов Ю.Н.-М.: Наука, 1988.

32. Работнов Ю.Н. Проблемы механики деформируемого твердого тела / Работнов Ю.Н. М.: Наука. - 1991. - 196с.

33. Рид В. Теория дислокаций / Рид В. // Металлургиздат. 1957.

34. Салли А. Ползучесть металлов и жаропрочные сплавы. / Салли А. // Оборонгиз. -1953.

35. Си Д.С. Механика разрушения и проектирование / Си Д.С. // Конструирование и технология машиностроения / Тр. амер. общ. инженеров-механиков. 1976. - № 4. - С. 113-120.

36. Сиратори М. Вычислительная механика разрушения / Сиратори М., Миеси Т., Мацусита X. М.: Мир. - 1986. - 334 с.

37. Слепян Л.И. Механика трещин / Слепян Л.И. Л.:Судостроение. - 1981. -273 с.

38. Тартыгашева A.M. Анализ эффектов стеснения в вершине трещины при двухосном нагружении с учетом членов высоких порядков / Тартыгашева A.M. //

39. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения / Черепанов Г.П. М.: Наука. - 1974.-540 с.

40. Шлянников В.Н. Анализ НДС области вершины трещины в вязко-упругом пластическом материале при симметричном мягком и жестком нагружении / В.Н. Шлянников, Б.В. Ильченко, Н.В. Бойченко // Известия ВУЗов. Проблемы энергетики.-2003. -1.- С.139-152.

41. Шлянников В.Н. Введение в метод конечных элементов. / Шлянников В.Н., Ильченко Б.В. // Казань: Изд-во КГЭУ.- 2004.

42. Шлянников В.Н. Влияние вида напряженного состояния на поведение роторной стали при ползучести в условиях близких к разрушению / В.Н. Шлянников, Н.В. Бойченко, Б.В. Ильченко // Известия РАН. Энергетика. -.2006. 2. - С.91-100.

43. Шлянников В.Н. Вычислительная механика деформирования и разрушения / Шлянников В.Н.// Казань: Изд-во КГЭУ.- 2001

44. Шлянников В.Н. Кинетика НДС области вершины трещины при ползучести/ В.Н. Шлянников, Б.В. Ильченко, Н.В. Бойченко // Ежегодник. Казанский физико-технический институт им. Е.К. Завойского. -2003.- с. 176-180.

45. Шлянников В.Н. Поля деформаций при ползучести в условиях двухосного нагружения / В.Н. Шлянников, Н.В. Бойченко // Труды Академэнерго.-2006. 1. - С Л 58-165.

46. Шлянников В.Н. . Поля напряжений и деформаций при ползучести для материала диска паровой турбины с повреждением / В.Н. Шлянников, Н.В. Бойченко// Материалы докладов национальной конференции по теплоэнергетике НКТЭ-2006. 2. Казань, 2006. - С.22-25.

47. Шлянников В.Н. Расчет амплитудных коэффициентов при ползучести для материала диска паровой турбины / В.Н. Шлянников, Н.В. Бойченко, Б.В. Ильченко // Известия РАН. Энергетика. 2006. -2.-С.83-90.

48. Шлянников В.Н. Соотношение между параметрами стеснения и повреждения через плотность энергии деформации / Шлянников В.Н. // Известия Академии наук. Энергетика. 1998. - № 5. -С. 52-62.

49. Шлянников В.Н. Упруго-пластический вариант МКЭ для смешанных форм развития трещин / Шлянников В.Н. // Известия вузов СССР. Авиационная техника. 1987. - № 1. - С. 82-89.

50. Andersson Н. A finite element representation of the stable crack-growth / Andersson H. //Journ. Mech. Phys. Solids. 1973. -21.- P. 337-357.

51. ANSYS Structural Analysis Guide. 001245. Fifth Edition // SAS IP. Inc. -1999.

52. ANSYS Theory Reference. 001242. Eleventh Edition // SAS IP. Inc. 1999.

53. Betegon C. Two-parameter characterization of elastic-plastic crack-tip fields / Betegon C., Hancock J.W. // J. Appl. Mech. 1991. - 58. - P. 104-110.

54. Chang T.C. Creep crack growth in an elastic-creeping material / Chang T.C., Popelar C.H., Staab G.H. // Int. J. Fract. 1986

55. Chao Y.J. Higher-order asymptotic crack-tip fields in power-law creeping material / Chao Y.J., Zhu X.K., Zhang L. // Int. J. Solid. Struct. 2001. - 38. -P. 3853-3875.

56. Eftis J. Biaxial load effects on the crack boarder elastic strain energy and strain energy rate. / Eftis J. et al // Eng. Fract. Mech. 1977. - 9. - P. 753-764.

57. Eftis J. Crack border stress and displacement equations revisited. / Eftis J., Subramonian N., Liebowitz H. // Eng. Fract. Mech. 1977. - 9. - P. 189-210.

58. Eftis J. The inclined crack under biaxial load. / Eftis J., Subramonian N. // Eng. Fract. Mech. 1978. - 10. - P. 43-67.

59. Ehler. A FEA of creep deformation in specimen containing a macroscopic crack / Ehlers, Riedel H. Advanses in Fracture Research. 1981 V.2

60. Goldstrein R.V. Brittle fracture of solids with arbitrary cracks / Goldstrein R.V., Salganik R.L. // Int. Journ. Fract. 1974. - 10. - P. 507-523.

61. Griffits A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids / Griffits A.A. // Phil. Trans. Roy. Soc. London A. 1920. - 221. - P. 163-198.

62. Hellen Т.К. Non-linear fracture mechanics and finite elements / Hellen Т.К., Blackburn W.S. // Eng. Comput.- 1987. 4. - P. 2-14.

63. Hellen Т.К. The calculation of stress intensity factors for combined tensile and shear loading / Hellen Т.К., Blackburn W.S. // Int. Journ. Fract.- 1975.11.- P. 605-617.

64. Hilton P.D. Applications of the finite element method to the calculations of stress intensity factors / Hilton P.D., Sih G.C. // Mechanics of Fracture. Methods of Analysis and Solution of Crack Problems. 1973. - 1.- P. 426483.

65. Hilton P.D. A specialized finite element approach for three-dimensional crack problems / Hilton P.D. // Plates and shalls with cracks mechanics of fracture. 1974.-3.-P. 273-298.

66. Hilton P.D. Plastic intensity factors for cracked plates / Hilton P.D., Hutchinson J.W. //Eng. Fract. Mech. 1971. - 3. - P. 435-451.

67. Hilton P.D. Plastic intensity factors for cracked plates subjected to biaxial loading / Hilton P.D. // Int. Journ. Fract. 1973. - 9. - P. 149-156.

68. Hoff N.J. Quarterly of Applied Mechanics / Hoff N.J. //- 1954.- 12. -P. 49-55.

69. Hui C.Y. The asymptotic stress and strain field near the tip of a growing crack under creep condition / Hui C.Y., Riedel H. // Int. Journ. Fract. 1981. - 17. -P. 409-425.

70. Hutchinson J.W. Constitutive behavior and crack tip fields for materials under going creep-constrained grain behavior boundary cavitation / Hutchinson J.W.1. Acta metal.-1983

71. Hutchinson J.W. Fundamentals of the phenomenological theory of nonlinear fracture mechanics / Hutchinson J.W. // Journ. Appl. Mech. 1983. - 50. - P. 1042-1051.

72. Hutchinson J.W. Plastic stress and strain fields at a crack tip / Hutchinson J.W. // Journ. Mech. Phys. Solids. 1968. - 16. - P. 337-347.

73. Hutchinson J.W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in ahardening material / Hutchinson J.W. // Journ. Mech. Phys. Solids. 1968. -16.-P. 13-31.

74. Larsson S.G. Influence of non-singular stress terms and specimen geometry on small-scale yielding at crack tips in elastic-plastic materials / Larsson S.G, Carlsson A.J. //J. Mech. Phys. Solids 21: 263-272. 1973.

75. Leevers P.S. Inherent stress biaxiality in various fracture specimen geometriesh / Leevers P.S, Radon J.C. // Int. J. Fract. 1982. - 19. - P. 311-325.

76. Li F.Z. Characterization of near tip stress and deformation fields in creeping solids / Li F.Z, Needleman A, Shih C.F. // Int. J. Fract. 1988. - 36. - P. 163186.

77. Li F.Z. Creep crack growth rates by grain boundary cavitation: crack tip fields and crack growth rates under transient conditions / Li F.Z, Needleman A, Shih C.F.//J. Appl. Mech. 1988i 1

78. Liebowitz H. Finite element methods in fracture mechanics / Liebowitz H, Moyer E.T. // Computer & Structures. 1989. - 31. - P. 1-9.

79. Matvienko Y.G. Some problems in linear and nonlinear fracture mechanics / Matvienko Y.G, Morozov E.M. // Eng. Fract. Mech. 1987. - 28. - P. 127138.

80. Nguyen B.N. On higher-order crack-tip fields in creeping solids / Nguyen B.N, Onck P.R, E. van der Giessen. // J. Appl. Mech, Trans ASME 2000. -67. - P. 372-382.

81. Nikishkov G. P. An algorithm and f computer program for the three-term asymptotic expansion of elastic-plastic crack tip stress and displacementfields / Nikishkov G. P. // Engng. Fract. Mech. 1995. - 50. - P.65-83.

82. Nikishkov G. P. Calculation of the second fracture parameter for finite cracked bodies using a three-term elastic-plastic asymptotic expansion / Nikishkov G. P., Briickner-Foit A., Munz D. // Engng. Fract. Mech. 1995. -52. - P.685-701.

83. O'Dowd N.P. Applications of two parameter approaches in elastic-plasticj fracture mechanics / O'Dowd N.P. // Engineering Fracture Mechanics 1995.52. P. 445-465.

84. O'Dowd N.P. Family of crack-tip fields characterized by a triaxiality parameter. I. Structure of fields. / O'Dowd NP, Shih CF // J Mech Phys Solids -1991.-39.-P. 989-1015

85. Rice J. R. A path Independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks / Rise J.R.// ASME/ 1967

86. Rice J.R. Limitations to the small yielding approximation for crack tipplasticity / Rice J.R. // Journ. Mech. Phys. Solid. 1974. - 22. - P. 17-26.

87. Rice J.R. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material / Rice J.R., Rosengren G.F. // Journ. Mech. Phys. Solids. 1968. - 16. -P. 1-12.

88. Riedel H. Creep deformation at crack tip in elastic-viscoplastic solids / Riedel H. // J. Mech. Phys. Solids. 1981

89. Riedel H. Tensile cracks in creeping solids / Riedel H., Rice J.R. // Engng. Fract. Mech. ASTM STP 700. 1980

90. Engineering MRL E-147. 1983

91. Sih G.S. Strain-energy-density factor applied to mixed mode crack problems / Sih G.S. // Int. Journ. Fract. 1974. - 10. - P. 305-321

92. Shlyannikov V.N. Elastic-plastic mixed mode fracture criteria and parameters / Shlyannikov V.N.// Springer, Berlin, 2003. - 248 p.

93. Wang X. Elastic T-stress for cracks in test specimens subjected to non'' uniform stress distributions / Wang X. // Engng. Fract. Mech. 2002. - 69. - P.1339-1352.

94. Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack. / Williams M.L. // J. Appl. Mech. -1957. 24. - P. 109-114.

95. Yang S. Higher order asymptotic fields in a power law hardening material / Yang S., Chao Y.J., Sutton N.A. // Engng. Fract. Mech. 1993. - 45. - P. 1-20.

96. Yang S. FEA of creep fracture initiation in a model superallow material /

97. Yang S., Sutton N.A. Deng X, Lyons J.S. // Int. J. Fract. 1996

98. Yang S. On the fracture of solids characterized by one or two parameters: theory and practice / Yang S., Chao Y.J., Sutton N.A. // J. Mech. Phys. Solids -1994.

99. Yuan F.G. Crack-tip fields in elastic-plastic material under plane stress mode I л) loading / Yuan F.G., Yang S. // Int. J. Fract. 1997. - 85. - P. 131-155.

100. Zhu X.K. Characterization of constraint of fully plastic crack-tip fields in non-hardening materials by the three-term solution / Zhu X.K., Chao Y.J. // Int. J. Solid. Struct. 1999. - 36. - P. 4497-4517.