Пороговые характеристики хрупкого разрушения твердых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи 00345ЭБ37

Смирнов Владимир Игоревич

ПОРОГОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

з ян в ^

Санкт-Петербург 2008

003459697

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный консультант: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Петров Юрий Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Васин Рудольф Алексеевич

доктор технических наук,

профессор Петинов Сергей Владимирович

доктор технических наук, профессор Васильев Виталий Захарович

Ведущая организация: ВНИИ гидротехники им. Б.Е.Веденеева

Защита состоится 5 февраля 2009 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.075.01 в Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр., В.О., д.61, актовый зал.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института проблем машиноведения РАН.

Автореферат разослан 29 декабря 2008г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы обусловлена необходимостью разработки эффективных средств оценки статической и динамической прочности материалов и элементов конструкций, а также поиска оптимальных режимов целенаправленною разрушения твердых тел.

При изучении хрупкой прочности элементов инженерных конструкций весьма важно знать минимально допустимые амплитуды механических воздействий, при которых начинается разрушение. Такие минимальные амплитуды в данной работе называются пороговыми. Именно при пороговых внешних нагрузках особенно отчетливо проявляются структурно-временные особенности хрупкого разрушения твердых тел. Поэтому в основу метода исследования в данной работе положен структурно-временной подход, который сформировался и получил развитие усилиями Ленинградской-Петербургской школы ученых-механиков (В.В.Новожилов-Н.Ф. Морозов-Ю.В.Петров).

Накопленный к настоящему времени опыт применения структурного подхода к проблемам прочности и трещиностойкости материалов показал, что структурно-временной критерий разрушения является мощным и эффективным средством анализа подобного рода задач, который, однако, в силу своей относительной новизны пока еще не вышел за рамки чисто "академической" фундаментальной науки и остается уделом ученых и исследователей. В данной работе предпринята попытка построения на базе структурного подхода относительно несложных и достаточно универсальных методов и критериев, применимых для практических расчетов и позволяющих с единых позиций оценивать прочностные свойства конструкционных материалов.

Предметом исследования являются пороговые характеристики хрупкого разрушения твердых тел: в статике - предельная нагрузка и критический размер дефекта; в динамике - амплитуда нагружения, время до разрушения, перемещение точек среды на фронте волны, динамическая вязкость разрушения, силовой импульс, скорость удара, объем выкрашивания и неко-

торые их комбинации. Пороговыми в данной работе называются воздействия, минимально необходимые для инициирования разрушения в „бездефектных" материалах и в средах с макродефектами.

Целью работы является разработка теоретических основ тестирования конструкционных и строительных материалов на динамическую прочность и трещиностойкость в рамках структурно-временного подхода к исследованию разрушения твердых тел.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

• формулировка условий предельного равновесия и разрушения хрупких тел при статических и динамических нагрузках на основе единого, -структурного, - подхода;

• определение пороговых характеристик хрупкого разрушения материалов в условиях статического и динамического нагружения;

• поиск адекватных формулировок структурного критерия разрушения и физически приемлемых интерпретаций структурных характеристик <1 и т, образующих систему базовых констант для расчета прочности материалов;

• построение на основе доступных инженерно-механических принципов простых и эффективных расчетных схем для оценки пороговых характеристик разрушения, пригодных для применения на практике.

Научная новизна. Предложены модификации структурного критерия разрушения, позволяющие корректно оценивать прочность материалов с трещинами и вырезами произвольных размеров. Сформулированы условия согласования структурного критерия с классическими критериями разрушения.

Даны новые физические трактовки инкубационного времени разрушения. Предложены новые пороговые характеристики динамического разрушения, позволяющие упорядочить процесс выбора оптимального материала.

Дано качественное и количественное объяснение некоторых экспериментально зафиксированных эффектов высокоскоростного разрушения, не имеющих удовлетворительного объяснения в рамках традиционных моделей.

Разработаны расчетные схемы определения пороговых характеристик разрушения, которые могут служить теоретической основой новых методов тестирования прочностных свойств конструкционных материалов.

В совокупности полученные результаты позволили разработать системный подход к анализу инициирования хрупкого разрушения твердых тел.

Достоверность результатов обеспечивается использованием апробированных физических моделей и применением строгих математических методов; сравнением результатов аналитических решений и численных расчетов; сопоставлением теоретических решений с экспериментальными данными; применением современных программных вычислительных средств; сравнением с результатами исследований других авторов.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы в расчетах на статическую и динамическую прочность и трещи-ностойкость элементов конструкций, а также для определения оптимальных условий целенаправленного разрушения твердых тел.

Личный вклад автора. Во всех работах, опубликованных в соавторстве, автору в равной степени принадлежат постановка задач и формулировка основных положений, определяющих научную новизну исследований.

Автору принадлежит определяющий вклад в разработку численно - аналитических методик исследований, проведение численных расчетов и выявление основных закономерностей и функциональных зависимостей. Автором выполнен анализ результатов некоторых экспериментов, проведенных в НИЦ «Динамика» (СПбГ'У; ИПМаш РАН).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всероссийских и международных конференциях и семинарах: Научно - техническая конференция "Новожиловские чтения", С.-Петербург, 1998; XXXV Международный семинар 'Актуальные проблемы прочности", Псков, 1999;

Ill Международный семинар "Современные проблемы прочности", Старая Русса, 1999; XXXVI Международный семинар "Актуальные проблемы прочности", Витебск, 2000; Международный конгресс "Механика и трибология транспортных систем - 2003", Ростов-на-Дону, 2003; VI Международная научно - техническая конференция "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте", С.-Петербург, 2004; Семинары в Институте механики Китайской Академии наук, Пекин, 2004, 2005; International conference "Shock Waves in Condensed Matter", Saint-Petersburg, 2004; Международная конференция VII Харитоновские тематические научные чтения "Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны", Саров, 2005; XXXIII Summer School "Advanced problems in mechanics - APM'2005", St.Petersburg (Repino), 2005; XXI Международная конференция "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов", С.Петербург, 2005; IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Н.Новгород, 2006; семинары: в Доме ученых (СПб), ПГУПС, ИПМаш РАН, НИИМ МГУ, ФГУП КБСМ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 28 научных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Объем работы составляет 223 страницы, включая 81 рисунок, 12 таблиц и список литературы из 194 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий аналитический обзор развития структурного - временного подхода к определению пороговых характеристик разрушения.

Одной из актуальных проблем механики разрушения остается построение достаточно простого и эффективного критерия хрупкой прочности, в частности, для сред с макродефектами. Известно, что классические критерии Гриффитса и Ирвина неприменимы в области неустойчивых коротких

трещин, так как приводят к неограниченной разрушающей нагрузке. Аналогичная ситуация имеет место в случае гладких концентраторов напряжений (отверстия, вырезы, полости), - коэффициент концентрации напряжений Kt при больших значениях (малый радиус кривизны выреза) оказывается непригодным для определения критической нагрузки. В связи с этим Г.Нейбером (1937) и независимо В.В.Новожиловым (1969) было предложено усреднять напряжения в зоне их высокой концентрации у вершины трещины на определенном расстоянии d. Соответствующий нелокальный силовой критерий разрушения получил название структурного (другие названия - критерий Нейбера/Новожилова, критерий средних напряжений, интегральный силовой критерий).

Присутствие в критерии параметра осреднения d означает, что процесс разрушения обладает собственной структурой, которая, в общем случае, не связана со структурой материала. Более того, величина d не обязательно является параметром осреднения и может рассматриваться как независимая характеристика размерности длины, необходимая для оценки прочности сред с концентраторами напряжений (M.E.Waddoups et.al, 1971; Т.A.Cruse, 1973). Параметр d также можно трактовать как удаленность очага зарождения очередной магистральной трещины от вершины предыдущей (Р.В.Гольдштейн, Н.М.Осипенко, 1978). Таким образом, постулируется, что на данном масштабном уровне распространение трещины в среде происходит дискретно, скачками, соответствующими мгновенному последовательному разрушению элементарной ячейки с линейным размером d.

Первоначально структурный параметр разрушения d ассоциировался с межатомным расстоянием, а также с размерами зерен (В.В.Новожилов, 1969). Такая интерпретация получила развитие в работах В.М.Корнева. Поскольку для полимеров указанный подход неприменим, Н.Ф.Морозовым (1988) было предложено выбирать d из условия согласования структурного критерия с критерием Гриффитса/Ирвина в простейших случаях. Таким случаем, в частности, является задача об одноосном растяжении неограниченной ила-

стины с центральной трещиной длиной 21 напряжением р, приложенным на удалении. Структурный критерий разрушения в этой задаче записывается следующим образом

где сгу(х) - разрывающее напряжение на продолжении трещины, а структурная характеристика среды (I определяется как размерная комбинация параметров классических критериев прочности (Н.Ф.Морозов, 1984)

ас - предел прочности при растяжении, Kjc - вязкость разрушения.

Определенный таким образом структурный критерий применим как к сингулярным (трещины, угловые вырезы), так и к регулярным (отверстия, вырезы, полости) макродефектам, может быть использован в приближенных и точных аналитических решениях. В последнем случае при последовательном уменьшении размера дефекта имеет место естественный предельный переход к бездефектному материалу. При этом в тех формулировках критерия, которые используются в данной работе, задействован минимум констант материала, а именно - предел прочности при растяжении ас и статическая вязкость разрушения Kjc. Существенно, что обе механические характеристики определяются по стандартным испытаниям.

Сравнение структурного критерия (0.1) с другими нелокальными критериями разрушения, - такими, как критерий минимального напряжения, критерий фиктивной трещины, критерий граничного напряжения, - дано в работах А.В.Дыскина (1997) и Л.П.Исупова (1998), в которых показано, что критерий (0.1) предпочтительнее в большинстве случаев. С.Е.Михайловым (1995) доказано, что критерий (0.1) может быть представлен как частный случай общего конечно-нелокального функционала прочности.

Критерий (0.1) в совокупности с равенством (0.2) впервые, по-видимому, был использован J.M.Whitney и R.J.Nuisnier (1974) для оценки разрушающей

l+d

(0.1)

d = 2Kjc / (я"0"с) -

(0.2)

нагрузки при растяжении пластин с круговым отверстием и центральной трещиной, а позднее Н.Ф.Морозовым (1980) распространен на угловые вырезы, для которых, как известно, критерий Гриффитса/Ирвина недоступен.

«Индустриальный» подход Нейбера-Новожилова получил широкое распространение в исследованиях по механике разрушения (Зорин И.С., 1982; Морозов Н.Ф., 1984; Петров Ю.В., 1988; Кокшаров И.И., 1988 и др.). С помощью критерия (0.1) были решены задачи по определению возможного направления роста трещины из вершины концентратора напряжения для луночного выреза (Морозов Н.Ф., 1986) и трещины в анизотропной среде (Петров Ю.В., 1998; Назаров С.А., 2004). Структурный подход также был применен к проблеме коротких трещин (Петров Ю.В., Тарабап В.В., 1996), а равенство (0.2), кроме того, использовано в градиентном подходе определения прочности тел с концентраторами напряжений (Леган М.А., 1990; Сукнев C.B. 1999).

А.Северин (1994) модифицировал критерий (0.1), сделав попытку применить его для случая разрушения сдвигом, введя в (0.1) нагрузку в виде касательного напряжения и предел прочности материала на сдвиг. К настоящему времени, однако, такая модификация структурного критерия не прошла достаточной апробации с целью проверки практической применимости.

На основе структурного критерия В.В.Новожиловым (1969) была построена теория равновесных трещин применительно к модели трещины с концевой зоной М.Я.Леонова-В.В.Панасюка. Равновесная по Новожилову трещина определяется критическим состоянием, при котором сила взаимодействия между парой атомов, прилегающих к вершине трещины, достигает своего предельного значения. Таким образом установлено, что диапазон равновесных трещин I удовлетворяет неравенствам

h < К IN , (0.3)

где IgJn - критический размер трещины соответственно по Гриффитеу и по Новожилову. Теория равновесных трещин В.В.Новожилова получила развитие в работах К.Ф.Черных (1988), Н.Ф.Морозова и М.В.Паукшто (1995),

М.А.Грекова и Н.Ф.Морозова (2000, 2006) и др. Структурный параметр с! в теории равновесных трещин чаще рассматривается как межатомное расстояние или как диаметр атома, что ограничивает сферу применения данной концепции и не позволяет широко использовать в инженерной практике. Некоторые исследователи или вообще не дают никакой интерпретации параметру й (критическая длина трещин оценивается в безразмерном виде), или принимают его согласно равенству (0.2), что в случае трещин с концевой зоной требует обоснования.

Для трещин с концевой зоной Ю.Г.Матвиенко (1999) было предложено отождествлять структурный параметр с? с длиной зоны сцепления в модели Леонова-Паиасюка. В этом случае параметр с? уже не является константой материала и зависит от величины приложенной нагрузки, что затрудняет определение ее критического значения.

Альтернативный подход к определению прочности тел с концентраторами напряжений, который также основан на понятии структуры, предложен М.Я.Леоновым и К.Н.Русиико (1963). В модели Леонова-Русинко, также как и в модели Нейбера-Новожилова, вводится некоторый структурный параметр Ро, имеющий размерность длины и позволяющий определять критические нагрузки для материалов с гладкими и острыми концентраторами напряжений. В диссертации дано сравнение результатов, полученных по обоим моделям.

Логичным обобщением структурного критерия (0.1) на динамические задачи механики разрушения является структурно-временной критерий. Впервые идея использования характерного времени разрушения и осреднения напряжения по времени была высказана Н.Ф.Морозовым, Ю.В.Петровым и А.А.Уткиным (1987,1988), а сам критерий сформулирован применительно к динамическим задачам теории трещин:

где I - время, <т{х,Ь) - разрывающее напряжение, т - параметр осредне-

й

(0.5)

г-т

о

ния, получивший название «инкубационное (структурное) время». Разрушение материала с трещиной начинается при достижении в (0.5) равенства.

В случае разрушения «бездефектной» среды, то есть материала, не содержащего заранее созданных (искусственных) макродефектов, критерий (0.5) принимает упрощенный вид

На основе структурно-временного критерия (0.5) Ю.В.Петровым выдвинута концепция инкубационного времени (1991), которая к настоящему времени сформировалась как новый подход к решению теоретических и прикладных задач динамической прочности материалов.

Первоначально инкубационное время т трактовалось как время передачи взаимодействия от одного структурного элемента с линейным размером (1 к другому

где с - скорость распространения самых быстрых упругих волн в материате. Соотношение (0.7) позволило решить ряд задач по определению пороговых характеристик динамического разрушения, а также дать оценку возможной скорости распространения разрыва сплошной среды (А.М.Линьков, 2005).

Позднее, инкубационное время стало рассматриваться как самостоятельная физическая константа материала, характеризующая продолжительность подготовки среды к разрушению или фазовому перехода, то есть как независимая характеристика, определяемая экспериментальным или расчетно -экспериментальным путем.

Критерий (0.5) можно переписать в эквивалентной форме при помощи коэффициента интенсивности напряжений К/ (Ю.В.Петров, А.А.Уткин, 1995)

(0.6)

«-Т

т — й/с,

(0.7)

(0.8)

Таким образом, к настоящему времени употребляются три различные формы структурно-временного критерия - (0.5), (0.6) и (0.8), позволяющие определить две основные пороговые характеристики динамического разрушения - время до разрушения i* и пороговую амплитуду нагрузки Р*, или, - в задачах эрозии - пороговую скорость удара микрочастиц. Время до разрушения определяется при заданной нагрузке <j(î) = Р fit) как момент времени, при котором впервые достигается равенство в каком-либо из перечисленных критериев. Начало отсчета времени, как правило, исчисляется от начала внешнего воздействия на материал, или, например, как в случае откола, - от начала отражения падающей волны от свободной поверхности, что более удобно в расчетах. Для корректного определения пороговой нагрузки Р¥ во всех критериальных соотношениях необходимо вычислить максимальное по времени значение интеграла, то есть применить в левой части операцию max.

Критерий вида (0.8) позволяет дополнительно определять еще одну пороговую характеристику прочности материала с трещиной - динамическую вязкость разрушения Kid• В диссертационной работе используются все три формы структурно-временного критерия.

В первой главе рассматривается проблема прочности материалов с малыми дефектами (короткими трещинами). Впервые структурный иод-ход к проблеме коротких трещин был сформулирован Ю.В.Петровым и В.В.Тарабаном (1996). В данной главе этот метод развит и обобщен на пространственные трещины (дисковидная трещина), а также использован для оценки прочности упругой среды с гладким концентратором напряжений (круговое отверстие, сферическая полость). В связи с проблемой коротких трещин в этой же главе рассматриваются задачи построения двухкритери-альных диаграмм разрушения. Выполнено сравнение с экспериментальными данными и с альтернативными критериями разрушения.

Критерий (0.1) применим как к приближенным (асимптотическим) решениям, так и к точным, полученным в рамках линейной теории упругости. Это обстоятельство позволяет определять критические нагрузки (р*) для мате-

риалов с короткими неустойчивыми трещинами, которые оказываются недоступными для критерия Гриффитса/Ирвина.

В задаче о равномерном растяжении удаленной нагрузкой плоскости с центральной трещиной длиной 21 критерии (0.1) приводит к следующей оценке

р»/ас= 1/у/Т+Щ. (1.1)

где (I определяется согласно (0.2). Равенство (1.1) справедливо для любых длин трещин. В частности, при 1/(1 ^ 0 получаем р+ —» <тс.

Далее в рассмотрение вводится предел трещиностойкости (Е.М.Морозов, 1968): Кс = р*\/я7. Подставив сюда значение р, из (1.1) и используя равенство (0.2), можно получить двухкритериальную диаграмму разрушения, имеющую форму четверти окружности: (р*/^)2 + [Кс/К1с)2 = 1-

Этот подход распространен на аналогичную задачу о дисковидной трещине радиуса а. Предложена двумерная формулировка структурного критерия разрушения

а+й

2

J сг:(г) гйг — ас. (1.2)

2 си1 + <Р

В силу осевой симметрии в (1.2) отсутствует зависимость от угловой координаты, а сечение элементарной ячейки разрушения представляет кольцевой сектор (г = 0, а ^ г ^ а + й, —^ ^ в ^ с площадью 5 = ^ (2а<1 + сР). Здесь и~ - разрывающее напряжение, г,г,в- цилиндрические координаты. Согласно (1.2) критическая нагрузка равна

Р* __7Г (1 + 2а/<1)__^

[С+ +5^1+572]'

Оценка (1.3) пригодна для любых трещин, больших и малых, в частности, при а/й —>■ 0 получаем р, —> ас.

Как и в предыдущей задаче, используя понятие предела трещиностойкости Кс, можно в параметрической форме построить двухкритериальную диаграмму разрушения, которая отличается от единичной окружности несколько большей выпуклостью.

В задаче о растяжении плоскости с круговым отверстием радиуса а (задача Кирша) по критерию (0.1) получаем Р* 1

, © ( е л _ ©

©

е + 1

(1.4)

2 \0 + 1 ) 2

где в = а/й. При Э -» 0 имеем р, —> сгС1 а при в —> оо получаем известное соотношение р*/<тс = 1/3. Следовательно, определять критическую нагрузку по коэффициенту концентрации напряжений можно лишь для пластин с очень большими (по сравнению с (Г) отверстиями. Структурный критерий физически адекватно описывает предельно-равновесное состояние пластины во всем диапазоне размеров отверстия.

Дана оценка точности представления критической нагрузки р* при помощи сингулярного члена асимптотического разложения (трещины) или коэффициента концентрации напряжений (отверстие): Д = |(ре — ра)/Ре\ • 100%, где ре, ра ~ предельная нагрузка по точному и приближенному решению соответственно. Установлено, что для пластины с центральной трещиной при допускаемой погрешности 10%, оценка предельной нагрузки может быть произведена по критерию Ирвина в том случае, если длина трещины 21 превышает четыре структурных размера с?. Для дисковидной трещины диаметр трещины должен быть в этом случае не менее 12-ти структурных размеров разрушения, а для пластины с отверстием величина. Д не превышает 10% при 0 ^ 10. Для пластины с центральной трещиной вычислена величина Д для ряда керамик (А120з, БЮ).

Сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показало вполне удовлетворительное согласие. Рассматривались слоистые композитные материалы (эпоксидные стекло- и углепластики) с центральной трещиной и отверстием (Л.П.Исупов, 1998) и поликарбонат с дисковидными трещинами (Л.Р.Ка1ЬЬой', Б.А.ЗЬоскеу, 1977). Результаты сравнения представлены в виде зависимостей р*/<тс = где — а/(а + с?), а - характерный размер дефекта.

В качестве трехмерного гладкого концентратора напряжений рассмотрена сферическая полость в одноосном поле растягивающих напряжений. При помощи (1.2) получено выражение для критической нагрузки

где г] = а/(а + (Г) (0 ^ т] ^ 1), а - радиус полости, и - коэффициент Пуассона. Из (1.5) следует, что —» <тс при >] —> 0 и р*/стс —> 1//^ при 77 —^ 1, где А'( -

Для пластины с центральной трещиной выполнено также сравнение (рис. 1; 2) оценок критической нагрузки р*, определенных по структурному критерию (1), и по критериям Гриффитса/Ирвина (2) и Леонова-Панасюка (3). Треугольниками на рис. 1 показаны экспериментальные данные для стекла (Ковчик С.Е., 1964). В рассматриваемом диапазоне длин трещин все критерии дают одинаковую оценку предельной нагрузки. Различие обнаруживается лишь при 21 < 1 мм (рис.2). Также установлена взаимосвязь между структурным параметром в, и удельной энергией разрушения 7. Эта зависимость практически совпадает с полученной в теории макронапряжений Леонова-Русинко.

Во второй главе рассматриваются возможные способы определения величины структурного параметра разрушения с? посредством анализа реше-

коэффициент концентрации напряжений.

21, мм

Рис.1.

ний различных модельных задач о концентраторах напряжений. При этом акцент делается как на качественное понимание природы структурного параметра разрушения, характеризующего размер зоны предразрушения так и на количественные оценки, позволяющие определять размерные критические нагрузки для конкретного материала. Анализируются условия согласования структурного критерия с классическими критериями разрушения.

В задаче о дисковидной трещине обобщенный структурный параметр разрушения определяется как корень do кубического уравнения

и зависит не только от прочностных констант материала, но и от радиуса трещины а. Из (2.1) следует, что do —> dпри do/a —> 0 и do 4d/9 при a/do ~О, где d определяется согласно (0.2). Равенство (2.1) позволяет определить размерную критическую нагрузку, которая при «болыийх» трещинах совпадает с оценкой по Гриффитсу/Ирвину, а при бесконечно малых переходит в предел прочности материала ас.

В этой же задаче можно применить и одномерный вариант структурного критерия вида (0.1). Критическая нагрузка в этом случае (интегрирование по отрезку) оказывается несколько меньшей, по сравнению с двумерной версией критерия (интегрирование по кольцу). Экспериментальные точки лежат ближе ко второй кривой. Для предела трещиностойкости расположение кривых противоположное.

Двумерный вариант больше отвечает физическому смыслу структурного критерия, - в этом случае осреднение напряжений производится не только в радиальном, но и в азимутальном (угловом) направлении. Это становится очевидным в случае неравномерной нагрузки на берега трещины.

Выполнено сравнение предельных нагрузок для пространства с дисковидной трещиной, полученных по структурному критерию и по критериям Гриф-фитса/Ирвина и Леонова - Панасюка (критическое раскрытие трещины 5С).

Анализ показал, что разница в величине р*/сгс, определенной по структур-

2

(2.1)

ному критерию при интегрировании по кольцу (двумерный вариант) и по отрезку (одномерный вариант), не превышает 1.7%. В то же время наблюдается заметное расхождение предельных нагрузок, определенных по 5с-критерию и по структурному критерию для трещин малого размера (максимальная разность - 18.5%). Показано, что оценка р„, полученная по ¿с-критерию при а —> 0, - результат интерполяции в область малых трещин (В.В.Панасюк, 1968). Критерий Гриффитса/Ирвина в этой области «не работает».

В случае гладких концентраторов напряжений (отверстия, полости, вырезы) представляется логичным использовать те же значения структурного параметра. (I, что и для трещин, с учетом геометрической формы дефекта. В обоснование этого тезиса рассмотрены задачи о всестороннем растяжении плоскости с эллиптическим отверстием, одноосном растяжении плоскости с круговым отверстием, пространства со сферической полостью, пластины с боковыми вырезами и «бездефектной» плоскости/пространства.

В задаче о растяжении пластины с круговым отверстием дается сравнительный анализ критических нагрузок, полученных но структурному критерию и по критерию Леонова - Русинко (рис. 3, кривые 1 и 2 соответственно), а также по «методу фиктивной трещины» (Л.ТшюЬ, 1977) (кривые 1 и 2 на рис. 4). Экспериментальные данные на рис. 3 представлены для серого чугуна (С.Я.Ярема, Л.В.Ратыч, 1965), а на рис. 4 - для композитов (Л.ТшюЬ, 1977).

(р./с с)

-1 о

Рис.4.

Показано, что фиктивная трещина длины Ь является эквивалентом зоны предразрушения длиной в,.

«Метод фиктивной трещины» распространен на задачу о растяжении пространства со сферической полостью. Зависимость разрушающей нагрузки от размера полости представлена в виде р*/ас = 1 //(??), где функция /(??) —> 1 при г] —0 и /(?/) —У при 77 —1.

Дано сравнение полученной предельной нагрузки с величиной р+, следующей из структурного критерия (одномерный и двумерный варианты). Показано, что при малых размерах полости ее влияние на прочность материала равносильно воздействию дисковидной трещины того же диаметра: в обоих случаях имеет место оценка р*/<тс = 1 — ?)2 + О (г/3) при т/ —0.

В задаче о растяжении плоскости или пространства двумя равными противоположно направленными сосредоточенными силами Р установлено, что размер элементарной ячейки разрушения из соображений сопоставимости с критерием критического разрушения должен быть принят равным нулю. Причем в пространственной задаче только двумерный вариант структурного критерия дает физически корректный результат, соответствующий размерности задачи.

Далее при помощи структурного критерия разрушения оценивается предельная нагрузка для пластины с боковыми вырезами гиперболической формы в условиях одноосного растяжения. Здесь величина с? ограничена в направлении опасного сечения размером объекта. В этой задаче структурный критерий прочности записывается в эллиптических координатах (£, г/)

Показано, что для получения корректного значения величины предельной нагрузки необходимо нормировать значение структурного параметра по формуле йо = йа/аг где а - полуширина перемычки (координата), ог - фактическое значение полуширины перемычки, а <1 определяется согласно (0.2).

щ

г/1 = агсэт(а — й).

(2.2)

Отметим, что решение Г.Нейбера в этой задаче ограничено случаем d, ^ 2а.

На рис. 5 показана зависимость разрушающей нагрузки от отношения а/р, где р - радиус кривизны выреза и его вершине (кривая 1). Данные экспериментов приведены для серого чугуна (С.Я.Яре-ма, Л.В.Ратыч, 1965). Критерий Леонова - Русинко представлен на рис. 5 кривой 2. Здесь ре и de - эффективные (опытные) значения структурных характеристик.

Предложены экспериментально - расчетные схемы для определения величины структурного параметра разрушения d на плоских образцах из пластин с центральной или краевой трещиной и с круговым отверстием.

Глава 3 содержит результаты применения структурной макромеханики разрушения к изучению целостности сплошной среды в условиях импульсного нагружения.

В большинстве моделей динамики инициирования и роста трещин, развиваемых в рамках механики сплошной среды, решение сначала строят для некоторого простого закона изменения нагрузки во времени. Обычно в качестве такой нагрузки принимается дельта-функция Дирака S(t). Очевидным следствием заданности граничного условия в виде напряжения такой временнбй формы является то, что смещение на фронте волны имеет вид функции Хевисайда II(t), т.е. терпит скачок. Закономерно возникает вопрос о возможном нарушении сплошности среды на фронте волны нагрузки. Ответ на него можно дать, лишь обладая некоторой количественной характеристикой, которая одновременно есть физический параметр среды и имеет размерность длины. Сравнив величину указанного параметра, принимаемого в качестве константы материала, со значением амплитуды скачка на фронте волны, можно оценить таким образом пределы применимости модели. По-

1.00 0.83 0.70 0.55 0.40 0.25,

1 [СЕРЫП ЧУГУН 24-481 оГ~ х>

о\ Ц = 0.37 мм; d -- = 1.Ü5 мм|

*\о \ о X

о

а/р ос/ V

"О 5 10 15

Рис.5.

20 25

а/р

добным линейным параметром может быть принят структурный размер <1.

Наиболее простой иллюстрацией предлагаемого подхода в данном случае может служить динамическая задача о полубесконечной стационарной трещине продольного сдвига. В декартовой системе координат (х, у, г) рассматривается антиплоская трещина, к берегам которой (у — 0, ж «С 0) приложена импульсная нагрузка вида р{£) = <ту-(<) = циб^Ь), где II - постоянная величина, характеризующая интенсивность нагрузки, сг - скорость поперечных волн, ц - модуль сдвига. Величина £/. таким образом, имеет физический смысл скачка смещения на фронте волны ги(у, £)|х<о = иН(с2Í + у). Ставится вопрос, - насколько реализуется соотношение £/* ~<1, где звездочка обозначает пороговое значение. Критерий разрушения используется здесь в форме (0.5), где г определяется согласно (0.7).

В главе дано подробное решение динамической задачи, полученное с использованием преобразования Фурье по времени и координате, метода факторизации и контурного интегрирования. Приведены выражения для компонент тензора напряжений (сгтг(х,{), сгуг(х,{)) и вектора смещений (ю(х,Ь)) на линии трещины. Определены значения пороговой амплитуды смещения на фронте волны для некоторых конструкционных материалов (С/#/й,%): алюминиевый сплав В95 - 3.2, рельсовая сталь - 3.0, сфероиластик - 2.6, стекло -0.29, бетон - 0.0074-0.031. С учетом соотношения сгс ~ Е/(2тг), где Е - модуль упругости, получено: V* = (0.64 -г 0.9С)с/, где нижний предел соответствует минимальному значению коэффициента Пуассона, а верхний, - максимальному. Таким образом, предельная амплитуда скачка смещения на фронте волны [/* всегда меньше структурного параметра с/. В рамках структурно-временного подхода к процессу разрушения это означает, что сплошность среды на фронте волны не нарушается. Величина [/» характеризует способность материала сопротивляться интенсивным импульсным сдвиговым воздействиям.

Выполнено сравнение полученной пороговой амплитуды скачка Ь\ с вариантами, когда: а) волна распространяется в среде без трещины и б) напря-

женное состояние на продолжении трещины является суперпозицией двух предыдущих (усилия на берегах трещины плюс напряжение в волне). Для этих случаев получено: [/* - (0.32 -г- 0.48)й и £/„ = (0.21 -г 0.32)с/.

Дана оценка порогового скачка 1/„ для плоской и антиплоской трещины на основе асимптотического решения. Вывод о целостности среды сохраняет силу. Показано, что в динамических задачах о трещинах инкубационное время т имеет смысл времени до разрушения и, если амплитуда приложенного импульса 11 является пороговой [/* для данного материала: = (иг/Ьт)2 т.

В главе 4 с использованием структурно-временного критерия в форме (0.8) изучается динамическая вязкость разрушения материалов Ки. Показано принципиально различное поведение этой характеристики при пороговых и запороговых нагрузках. Предложена новая пороговая характеристика динамического разрушения материалов с трещинами, условно названная «количество разрушения».

Рассматривается бесконечная упругая плоскость с прямолинейной полубесконечной трещиной, к берегам которой приложен импульс прямоугольной формы с амплитудой Р и продолжительностью ^: = Р [Я(£) — Н(£ — £о)]-Зависимость коэффициента интенсивности напряжений от времени К/(£) в этой задаче известна (Г.П.Черепанов, 1972). Применение критерия (0.8) позволяет получить следующие пороговые характеристики разрушения: пороговую амплитуда Р„, время до разрушения 4», динамическую вязкость разрушения А/с/, силовой импульс нагружения £7* = Р* • ¿о- В диссертационной работе построены зависимости этих характеристик от длительности нагрузки ¿о для некоторых горных пород: известняк (1), габбро-диабаз (2), мрамор (3), песчаник (4), гранит (5) и глина (6). Инкубационное время разрушения т для этих материалов определено экспериментально в НИЦ «Динамика».

Для анализа динамической трещиностойкости могут быть использованы еще две комбинированные характеристики: произведение динамической вязкости разрушения на время до разрушения А'/,; • и произведение величины пороговой амплитуды на время до разрушения Р* • и. Физически более со-

200 ¿0, МКС

держательной оказывается последняя величина, «количество разрушения», рекомендуемая для оптимизации выбора наиболее прочного материала.

Зависимость Р* ■ и = /(<о) р*'> МПа'мкс

632.0

имеет характерный минимум (рис. 6), который обусловлен тем, что время до разрушения

с увеличением длительности нагрузки возрастает, а пороговая амплитуда Р* - снижается. Это позволяет подобрать длительность нагружения таким образом, чтобы добиться разрушения материала, - как предполагается, - с минимальными затратами энергии.

Показано, что динамическая вязкость разрушения материалов существенно зависит от истории нагружения, что обуславливает неустойчивость ее поведения при ударно-волновых нагрузках (рис. 7; известняк, ¿о = 60мкс).

На диаграмме разрушения Кы/К^

2.5

выделяются четыре характерные ветви (рис. 7; £ - произвольное время до разрушения). Разрушение на ветви 1 происходит при временах до разрушения Ь меньших, чем

пороговое и: I < tt, Р > Р„, Рис.7.

К^Ь) возрастает. В точке А время до разрушения совпадает с длительностью нагружения (р = ¿о)- Разрушение на ветви 2 происходит на стадии убывания А'/, при этом * ^ Р ^ Р*. В точке В время до разрушения совпадает с пороговым (£ = t*). Ветвь 3 - переходная, при £о = 0- Точке С соответствует случай нагружения материала пороговым импульсом с амплитудой Р„, имеющим временной профиль ¿-функции. Время до разрушения при этом совпадает с инкубационным (I = г), а динамическая вязкость разрушения минималь-

на и равна половине соответствующего статического значения Kid = Ä/c/2. Ветвь 4 представляет совокупность точек, отвечающих пороговым временам до разрушения i».

Таким образом, все возможные значения динамической вязкости разрушения Kid лежат в пределах, ограниченными кривыми I, 2, 3 и 4. При этом величина Км может меняться в очень большом диапазоне, от минимального значения, равного Kjc/2 до бесконечности (при t* = 0). Этим объясняется большой разброс экспериментально определенных значений Kid > полученных разными исследователями. Отсюда также следует вывод о том, что в динамике некорректно использовать для оценки трещиностойкости материалов фиксированное значение критического коэффициента интенсивности напряжений, как это имеет место в статике.

Величина At*, показанная на рис.7, характеризует время задержки разрушения, - период времени от момента достижения коэффициентом интенсивности напряжения максимальною значения до момента разрушения. Время до разрушения, таким образом, равно i« = to + At*. В работе особо рассмотрен случай At, = 0. Анализируются соответствующие предельные характеристики разрушения, получишие название запороговых.

Установлено, что при пороговом и заиороговом разрушении справедливо соотношение lim Кц1К\с — 1. Это означает, что величина т характери-

r/irj-Ю

зует меру отклонения критического значения динамического коэффициента интенсивности напряжений К;^ от его статического значения Kic. Поэтому, кривая Км — /(to) для материала с меньшим значением инкубационного времени будет располагаться ближе к своему статическому значению, и наоборот. Рассмотрены альтернативные способы экспериментального определения инкубационного времени.

В главе 5 исследуется взаимосвязь пороговых характеристик разрушения в условиях откола. Структурно-временной критерий применяется здесь в форме (0.6). Как и в средах с трещинами, в качестве критерия отбора конструкционных материалов рекомендовано использовать новую пороговую ха-

рактеристику «количество разрушения».

Анализируется процесс отражения импульса сжимающего напряжения симметричного треугольного профиля, - с участками нарастания и затухания одинаковой длительности i0, - от свободного торца полубесконечного стержня. Такая форма импульса, с одной стороны, достаточно хорошо аппроксимирует реальные ударные нагрузки, а с другой - позволяет найти аналитические выражения для пороговых характеристик разрушения.

Предполагается, что разрушение происходит в сечении, в котором впервые достигается максимум растягивающего напряжения таxa(x,t) = <j(cto/2,t).

X

Для этого сечения получена временная зависимость прочности (связь между пороговой амплитудой Р* и временем до разрушения £*):

Г [2 (1 - о-с/Д)]-1 + 2/3, при 1<РфДгс<2;

U/t = < (5.1)

\ (4стс) / (ЗР„) + 1, при 2-

Зависимость (5.1) позволяет определять инкубационное время из опытов. Для сплава В95, например, получено т — 0.45 мкс (Р* и £* взяты из экспериментов ФТИ им.А.Ф.Иоффе, - Златин H.A. и др., 1974-75).

Показано, что инкубационное время т - это время до разрушения образца i* при нагружении его пороговым импульсом бесконечно малой длительности (типа ^-функции). При пороговых нагрузках Р* нулевой длительности время до разрушения не может быть меньше г, - материалу необходимо определенное время (инкубационный период) для того, чтобы «подготовиться» к разрушению.

С использованием приближенного равенства (0.7) для ряда рельсовых сталей построены диаграммы откольного разрушения вида i* = /(Р*) и U* = /(2/о), где U* - пороговый силовой импульс нагружения. Установлено, что наиболее информативной пороговой характеристикой является «количество разрушения» Р* • t*. Качественно зависимость Р» • U = /(2to) имеет тот же характер, что и в задаче о динамической вязкости разрушения и позволяет оптимизировать процесс отбора наиболее прочных материалов.

Исследовано влияние формы импульса нагрузки на откольную прочность.

Для сравнения с исходной нагрузкой выбран импульс треугольного профиля без участка нарастания и с длительностью ¿о- Установлено, в частности, что время до разрушения £* для рельсовой стали 700 (МСЖД60) в случае треугольного профиля без участка нарастания меньше (максимум на 25%), чем для симметричного треугольного профиля. С уменьшением длительности действия нагрузки эта разница постепенно уменьшается, стремясь в пределе к нулю, то есть —> т при ^ 0 независимо от временной формы внешнего воздействия. Следовательно, инкубационное время т - инвариантная характеристика, зависящая лишь от прочностных свойств материала.

Дана оценка влияния температуры испытаний на откольную прочность материалов (на примере стали 45ХН2МФА). Сделан вывод о том, что минимизация порогового силового импульса I/, при „коротких" ударах может быть достигнута за счет снижения вязкости разрушения путем охлаждения, а при „длинных", - за счет уменьшения предела статической прочности материала при его нагреве.

Рассмотрено также поведение порогового импульса нагружения /7* для материалов с существенно различной внутренней структурой, в частности, для металлов и полимеров (расчеты выполнены для стали 4340 и ПММА). Сравнение может быть выполнено с помощью соотношения ¡7,(то)/[/'"(то) — к(то), где го = 2£о - для треугольного сигнала с участком нарастания и то = ¿о ~ то же, без участка нарастания. Штрихи обозначают материал.

Характер поведения к(то) свидетельствует о том, что на статической ветви относительная прочность рассматриваемых материалов определяется соотношением пределов их статической прочности на разрыв, а на динамической ветви, - соотношением произведений предела прочности и инкубационного времени. В предельных случаях, получаем: к —> а'ст'1а"т" при та/т—0 и к <т'с/о-" при то/т -» оо. В первом случае пороговый силовой импульс имеет смысл «кванта разрушения» (Ю.В.Петров, 1991). В целом можно заключить, что в динамике разница в прочностных свойствах полимера и металла становится заметно менее ощутимой, нежели в статике.

Глава 6 посвящена изучению пороговых скоростей эрозионного разрушения, то есть ударного разрушения поверхностей твердых тел твердыми жесткими частицами. Под пороговой здесь понимается критическая скорость удара, частиц абразива при которой возникает повреждение поверхности.

Рассматривается падение одиночной сферической микрочастицы радиуса Л по нормали к поверхности материала-мишени. Впервые эта задача с применением теории контактного удара Г.Герца и структурно-временного критерия (в форме (0.6)) была решена Н.Ф.Морозовым и Ю.В.Петровым (1996). В диссертации эта задача расширена на случай вязкого разрушения поверхности, исследовано также влияние геометрической формы частиц на пороговую скорость удара, приведены расчеты минимального объема выкрашивания для различных металлов, дана оценка влияния температуры испытаний.

Хрупкое эрозионное разрушение ассоциируется с появлением кольцевых трещин вдоль границы контактной площадки, а вязкое - с образованием пластических отпечатков на поверхности металла-мишени. Для анализа вязкого разрушения предложен новый динамический критерий текучести

где а - температурно-зависимая константа материала определяемая экспериментально, оу - предел текучести при квазистатическом одноосном растяжении, Tk - интенсивность касательных напряжений (второй инвариант девиатора напряжений), ту - инкубационное время текучести. В общем случае ту ф т и определяется из опытов.

Критерий (6.1) применим при растяжении и сдвиге и является обобщением варианта одноосного нагружения (А.А.Груздков, Ю.В.Петров, 1999). При медленно меняющейся нагрузке предельный переход ту/to —¥ 0, где t0 - характерная длительность нагружения, позволяет получить соответствующий статический критерий текучести.

С использованием экспериментальных данных о пороговых скоростях удара ь\ (Л.И.Урбанович и др., 1999) были определены инкубационные времена

(6.1)

хрупкого разрушения для ряда металлов (Zii, Al, Ni, Fe, Mo, Nb, сплавы B95, Д16Т, BT-1, стали AISI-310 и 12Х18Н10Т). В частности, для сплава В95 определено: т = 0.70 мкс при R — 150 мкм и v* = 33 м/с. Это значение т близко к полученному в задаче откола 0.5 мкс). Отсюда следует, что инкубационное время может оцениваться по результатам экспериментов по откольному или эрозионному разрушению.

Для указанных металлов построены диаграммы разрушения v* = f(R). Установлено, что при постепенном увеличении размера частиц происходит выход на статический режим нагружения (ct/R -» 0). В результате пороговая скорость удара оказывается не зависящей от размера частиц. Этот эффект подверждается экспериментальными наблюдениями, которые показывают, что эрозия возрастает с увеличением размера частиц вплоть до предельного значения, выше которого остается неизменной (A.W.Ruff, 1982; I.Finnie, 1982; I.M.Hutchings, 1999 и др.). Используя теорию фрикционного контактного взаимодействия (И.Г.Горячева, 2001), пороговые диаграммы разрушения можно распространить на случай малых углов атаки частиц.

Анализ диаграмм vt = f(R) для хрупкого и вязкого разрушения показал принципиальную возможность смены режима разрушения, - с хрупкого на вязкое, и наоборот. Увеличение скорости падения частиц способствует переходу вязкого разрушения в хрупкое. Такая смена типа разрушения согласуется с экспериментальными данными (G.L.Sheldon, 1966).

Для оценки сравнительной эрозионной стойкости материалов предложены новые пороговые характеристики: силовой импульс удара U* — v, р R и количество движения mvt, где т - масса частицы, р - ее плотность. Эти характеристики дают возможность подобрать материал и размер абразивных частиц таким образом, чтобы износ (выкрашивание) происходил при наименьших затратах кинетической энергии. При этом величина ти» предпочтительна.

Для стали 12Х18Н10Т дана оценка порогового (минимального) объема V» уносимого материала в расчете на один удар абразивной частицы. Используются эмпирические выражения, полученные разными экспериментатора-

ми на основе теории размерностей (Л.И.Урбанович и др., 1994; D.B.Marshall et.al, 1982). Установлено, что в рассмотренном диапазоне размеров частиц (R — 50 150 мкм) существует резко выраженный максимум объема фрагментов выкрашивания V* шах при R = 60 мкм. Этот эффект обусловлен действием двух противоположных факторов: возрастанием объема самой частицы и одновременным снижением пороговой скорости удара v*. Существование максимальной величины износа при определенном размере частиц эродента подтверждается экспериментально (Г.М.Патеюк, 1962).

При помощи динамического критерия текучести (6.1) построена температурная зависимость пороговых скоростей удара микрочастиц для стали 15Х2МФА. Для малых размеров микрочастиц получен эффект охрупчива-ния (повышения динамического предела текучести) при увеличении температуры поверхности материала-мишени. Обсуждается связь с аналогичным 'эффектом в экспериментах но огкольному разрушению (Г.И.Капель и др., 2001, 2002). Существование критических температур перехода одного вида повреждения в другой (усталостное/тепловое) наблюдается также в тепло-физических процессах изнашивания (В.И.Колесников, 2003).

Для оценки влияния геометрической формы частиц на пороговую скорость эрозионного разрушения рассмотрен нормальный удар торцом частицы в виде жесткого кругового цилиндра о поверхность упругого полупространства. В силу линейной зависимости между контактной силой и глубиной внедрения частицы выражения для пороговых характеристик в этом случае можно представить в аналитическом виде. Так, для порогового силового импульса удара получено

ад 1 ( вшИМ' ПРИ (6.2)

v [ 0"с т , при to ^ т ,

где tо - продолжительность контакта. В уравнении (6.2) верхняя строка представляет статическую ветвь пороговой диаграммы разрушения, а нижняя -динамическую, причем последняя при v = 0, как и в задаче откола, имеет

смысл «кванта разрушения», то есть минимального силового импульса.

График зависимости (6.2) для сплава В95 показан на рис.8. Для сравнения приведена соответствующая кривая для откольного разрушения. Цифры (1) и (2) обозначают динамическую и статическую ветвь соответственно.

Характер кривых на рис. М11а.мкс 8 подтверждает взаимосвязь процессов откольного и эрозионного разрушения твердых тел. В целом результаты расчетов показывают существенное влияние формы частиц на величину пороговой скорости разрушения, что согласуется с результатами экспериментальных наблюдений (Ю.А.Тадольдер, 1966).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В рамках структурной макромеханики разрушения развит подход, позволяющий определять предельные нагрузки для сред с «малыми» дефектами и строить двухкритериальные диаграммы разрушения.

2. Предложены модификации структурного критерия хрупкого разрушения, позволяющие корректно оценивать прочность тел с остроконечными и гладкими концентраторами напряжений произвольных размеров.

3. В динамической задаче о трещине продольного сдвига получены оценки пороговых скачков на фронте волны смещения при различных режимах нагружения среды. Пороговой скачок смещения дает возможность судить о динамической сдвиговой прочности материалов с трещинами. Установлено, что для реальных материалов величина порогового скачка смещения не превышает линейный размер структурной ячейки разрушения.

4. Доказано, что динамическая вязкость разрушения существенно зависит от истории нагружения. Показано принципиальное качественное различие

Рис.8.

в поведении динамической трещиностойкости материалов при пороговых и запороговых нагрузках. Дано объяснение неустойчивости поведения динамической вязкости разрушения.

5. Предложена новая пороговая характеристика динамического разрушения материалов с трещинами, - «количество разрушения». Установлена принципиальная возможность оптимизации процесса динамического разрушения материалов с макротрещинами путем подбора длительности нагружения.

6. Показано, что динамическая прочность материала в случае откола существенно зависит от формы импульса нагружения. а прочностные свойства материалов с различной внутренней структурой при быстрых динамических нагрузках отличаются в значительно меньшей степени, чем при статических.

7. Построены пороговые диаграммы откольного разрушения, позволяющие производить отбор наиболее прочных конструкционных материалов, работающих в условиях интенсивного динамического нагружения. В качестве критерия рекомендовано использовать максимум «количества, разрушения». Учет температурных условий эксплуатации конструкции позволяет подобрать материал с большей динамической прочностью за счет оптимального соотношения статической прочности и вязкости разрушения.

8. Предложена модель для определения пороговых скоростей эрозионного разрушения твердых тел. Установлено существенное влияние геометрической формы абразивных частиц на пороговые характеристики эрозионного разрушения. Показана принципиальная возможность хрупко-вязкого перехода при изменении размера частиц эродента. Показано, что пороговые характеристики дают возможность выбирать оптимальные режимы эрозионного износа.

9. Предложен новый динамический критерий текучести металлов, инвариантный к способу и истории нагружения. Показана взаимосвязь процессов откольного и эрозионного разрушения твердых тел, важнейшим следствием которой является возможность получения временных зависимостей прочности и текучести, необходимых для тестирования динамических прочностных свойств твердых тел.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Петров Ю.В., Смирнов В.И. Проблемы эрозионного разрушения конструкционных материалов транспортных систем // Транспорт: наука, техника, управление. 1996. № 8. С.б-9.

2. Петров Ю.В., Смирнов В.И. О пороговых скоростях эрозионного разрушения //Тр. науч.-тех. конф. "Новожиловские чтения". СПб. 1998. С.105-109.

3. Петров Ю.В., Смирнов В.И. Об определении контактной прочности хрупких конструкционных материалов // Транспорт: наука, техника, управление. 1998. № 10. С.16-23.

4. Смирнов В.И. Двухкритериальная модель разрушения хрупкого пространства с дисковидной трещиной /7 Тр. XXXV Междунар. сем. "Актуальные проблемы прочности" 15-18 сентября 1999г. 4.1. Псков. 1999. С.66-68.

5. Смирнов В.И.. Тарабан В.В. Двухпараметрические диаграммы хрупкого разрушения // Тр. III Междунар. сем. "Современные проблемы прочности" 20-24 сентября 1999, Старая Русса. Т.1. Великий Новгород. 1999. С.182-186.

6. Смирнов В.И. О прогнозировании долговечности железнодорожных рельсов // Транспорт: наука,, техника, управление. 1999. JY? 10. С.19-23.

7. Морозов Н.Ф., Смирнов В.П., Петров Ю.В. Об эрозионном разрушении твердых тел ,//' Механика контактных взаимодействий. М.: Физматлит, 2001. С.640-650.

8. Петров Ю.В., Смирнов В.И. Нестационарные колебания и поведение внутренней энергии одномерных тел. Препр. СПб.: ИПМаш РАН, 2002. 61с.

9. Морозов Н.Ф., Петров 10.В., Смирнов В.И. Хрупко-вязкий переход при эрозионном разрушении // ДАН. 2002. Т.385, № 1. C.G4-66.

10. Груздков A.A., Петров Ю.В., Смирнов В.И. Инвариантная форма критерия динамической текучести металлов /'/' ФТТ. 2002. Т.44, № 11. С.1987-1989.

11. Petrov Y.V.. Morozov N.F., Smirnov V.l. Structural macromechanics approach in dynamics of fracture //' Fatigue & Fracture of Engineering Materials

к Structures. 2003. 26, № 4. Р.363-372.

12. Смирнов В.И., Петров В.И. Откольная прочность рельсовых сталей // Сб. докл. междунар. конгресса "Механика и трибология транспортных систем - 2003". Т.2. Ростов-н/Д: РГУПС, 2003. С.277-281.

13. Смирнов В.И. О расчете на прочность материалов с малыми дефектами // Тр. VI Междунар. научно-техн. конф. "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте". СПб.: ПГУПС, 2004. С.352-356.

14. Petrov Y. V., Smirnov V.l., Krivosheev S.I., Atroshenko S.A., Fedorovsky G.D., Utkin A.A. Impact loading of rocks /7 Shock Waves in Condensed Matter: Intern. Conf., 18-23 July, 2004. St .-Petersburg. 2004. P.17-19.

15. Петров Ю.В., Смирнов В.И. О пороговых амплитудах волны смещения в динамической задаче о трещине продольного сдвига,// Вестник СПбГУ. Сер.10. 2004. Вып.3-4. С.133-139.

16. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Смирнов В.И. Об оценке предельной интенсивности импульсных динамических нагрузок в механике трещин // ДАН. 2005. Т.400, № 3. С.341-343.

17. Атрошенко С.А., Кривошеее С.И., Петров Ю.В., Смирнов В.П., Уткин A.A., Федоровский Г.Д. Импульсное разрушение горных пород // Тр. Междунар. конф. "VII Харитоновские тематические научные чтения", 14-18 марта 2005г. Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2005. С.390-394.

18. Atroshenko S.A., Fedorovsky G.D.,Krivosheev S.I., Petrov Yu.V., Smirnov V.l., Utkin A.A. The experimental investigation of rock fracture under pulse loading // Proc. of the XXXIII Summer School "Advanced problems in mechanics - APM'2005", June 28 - July 5, 2005. St. Petersburg: IPME RAS, 2005. P.9-20.

19. Атрошенко С.А., Кривошеее С.И:, Петров Ю.В., Смирнов В.П., Уткин A.A., Федоровский Г.Д. Экспериментальное исследование разрушения горных пород с различной структурой при ударно-импульсном и статическом нагружении // Тр. XXI Междунар. конф. "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов", 4-7 октября, 2005. С.-Петербург, ВВМ, 2006. С.53-59.

20. Петров 10.В., Смирнов В.И. О прочности материалов с малыми дефектами // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 4. С.165-177.

21. Смирнов В. И. О пороговых силовых импульсах при откольном разрушении материалов // ПМТФ. 2006. Т.47, № 5. С.97-106.

22. Смирнов В.И. О неустойчивости поведения динамической вязкости разрушения ,// ЖТФ. 2006. Т.76, № 11. С.134-136.

23. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Смирнов В.И., Кривошеее СЛ. Прогнозирование динамической вязкости разрушения горных пород // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород: сб. статей к 75-летию Е.И.Шемякина. М.: Физматлит, 2006. С.484-496.

24. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Иванов Б.А., Маров М.Я., Смирнов В.И. О прогнозировании пороговой энергии разрушения в механике ударного кра-терообразования // ДАН. 2007. Т.412, № 1. С.56-58.

25. Смирнов В.И. О влиянии геометрической формы абразивных частиц на пороговую скорость эрозионного разрушения // Проблемы прочности. 2007. № 1. С.69-78.

26. Смирнов В. И. Структурный подход в задачах предельного равновесия хрупких тел с концентраторами напряжений // ПМТФ. 2007. Т.48, № 4. С.162-172.

27. Петров Ю.В., Смирнов В.И. О температурной зависимости пороговой скорости эрозионного разрушения // ДАН. 2007. Т.416, № 6. С.766-768.

28. Смирнов В. И. Особенности применения структурного критерия хрупкой прочности // Вестник СПбГУ, Сер.1, 2008. Вып.1. С.126-134.

***

Исследования автора на различных этапах работы поддерживались грантами РФФИ. Минобразования РФ, программами РАН, контрактами с производственными предприятиями. Значительный объем работы выполнен в научно-исследовате.аъском центре «Динамика» (СПбГУ-ИПМаги РАН).

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 23.12.2008. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 2,25. Уч.-изд. л. 2,25. Тираж 150. Заказ 269.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.

Введение

1 Прочность материалов с малыми дефектами

1.1 О расчете на прочность материалов, содержащих малые дефекты

1.2 Двухкритериальная диаграмма разрушения

1.3 Оценка точности представления разрушающей нагрузки сингулярным членом асимптотического разложения-.

1.4 Сопоставление с экспериментальными данными.

1.5 Трехмерный концентратор напряжений.

1.6 Сравнение с другими критериями разрушения.

Выводы по главе

2 Структурный параметр разрушения

2.1 Дисковидная трещина.

2.2 Регулярный концентратор напряжений плоская задача.

2.3 Регулярный концентратор напряжений -пространственная задача.

2.4 Структурный параметр для бездефектной среды.

2.5 Структурный параметр в стесненных условиях.

2.6 Об экспериментальном определении структурного параметра разрушения.

Выводы по главе

3 Оценка предельной интенсивности импульсных динамических нагрузок в механике трещин

3.1 Определение волнового поля в теле с полубесконечной антиплоской трещиной. Постановка и решение задачи

3.2 Коэффициент интенсивности напряжений. Оценка предельной нагрузки в антиплоской задаче.

3.3 Оценка предельной интенсивности нагрузки для плоской и антиплоской трещины на основе асимптотического решения.

Выводы по главе

4 Динамическая вязкость разрушения материалов

4.1 Предельные характеристики динамического разрушения материалов с трещинами.

4.2 Запороговое разрушение.

4.3 О "неустойчивости" поведения динамической вязкости разрушения.

4.4 Об определении инкубационного времени в экспериментах по динамическому разрушению образцов с трещинами.

Выводы по главе

5 Откольная прочность конструкционных материалов

5.1 Временная зависимость прочности.

5.2 Откольная прочность рельсовых сталей.

5.3 Влияние формы импульса на откольную прочность.

5.4 Влияние температуры на откольную прочность.

5.5 О соотношении пороговых импульсов разрушения для материалов с различной внутренней структурой.

Выводы по главе

6 Исследование пороговых характеристик эрозионного разрушения конструкционных материалов

6.1 Моделирование хрупкого разрушения.

6.2 Формулировка критерия вязкого разрушения.

6.3 Моделирование вязкого разрушения.

6.4 Влияние формы частицы на пороговую скорость.

6.5 Сравнительный анализ эрозионной стойкости некоторых конструкционных материалов.

6.6 Оценка размеров фрагментов выкрашивания . , поверхности.

6.7 О температурной зависимости пороговой скорости эрозионного разрушения.

Выводы по главе

Структурный подход к определению пороговых характеристик хрупкого разрушения

При изучении хрупкой прочности элементов инженерных конструкций весьма важно знать минимально допустимые амплитуды механических воздействий, при которых начинается разрушение. Такие минимальные амплитуды будем здесь называть пороговыми. В статических задачах в качестве такой пороговой характеристики наиболее часто используется предельная (критическая, разрушающая) нагрузка или, - при наличии макродефектов, - предельный характерный размер дефекта. В динамических задачах механики разрушения пороговых характеристик насчитывается значительно больше: в частности, это пороговая амплитуда нагрузки, время до разрушения, пороговая амплитуда волны смещения, пороговый силовой импульс, пороговая скорость удара. Определение указанных пороговых характеристик, а также поиск новых, является одной из целей данного исследования.

Структурный подход к оценке прочности материалов в данном исследовании означает следующее: в критериальные соотношения в зависимости от типа задачи вводятся структурный параметр разрушения с/ и/или инкубационное (структурное) время разрушения материала т. Оба параметра являются константами материала и одновременно константами процесса разрушения и в общем случае не связаны со структурными физическими характеристиками материала (размер зерна, межатомное расстояние и т.п.). Такой подход, - структурный в статической механике разрушения и структурно-временной в динамике разрушения, - сформировался и получил развитие усилиями Ленинградской-Петербургской школы ученых-механиков (В. В. Новожилов-Н. Ф. Морозов-Ю. В. Петров).

Очевидно, что вопрос определения пороговых характеристик разрушения - это, в первую очередь, вопрос критерия разрушения. Накопленный к настоящему времени опыт применения структурного подхода к проблемам прочности материалов показал, что структурный/структурно-временной критерий является мощным и эффективным средством анализа подобного рода задач.

Разнообразие задач механики разрушения не позволяет дать однозначную универсальную трактовку критериальных структурных параметров <1 и т. Кроме того, оказывается, что сама формулировка структурного или структурно-временного критерия зависит от класса задач и часто нуждается в уточнении применительно к конкретному объекту исследования (статическая/динамическая задача, плоская/пространственная задача, материал с концентратором напряжений или бездефектная среда). Поиск адекватных формулировок структурного критерия и интерпретаций структурных параметров йжт также является предметом изучения в данной работе.

Стимулом к выполнению данного исследования послужило также то обстоятельство, что структурный подход в силу своей относительной новизны пока еще не вышел за рамки чисто "академической" фундаментальной науки и остается уделом ученых и исследователей. В данной работе предпринята попытка устранить образовавшуюся диспропорцию и по возможности довести решения задач до стадии применимости в инженерной практике. С этой целью в работе приводятся результаты расчетов для различных конструкционных материалов.

Далее представлен краткий аналитический обзор развития структурного подхода в механике разрушения. * *

Статические задачи

Одной из актуальных проблем механики разрушения остается построение достаточно простого и точного критерия хрупкой прочности, в частности, для сред с макродефектами. Известно, что классические критерии

Гриффитса и Ирвина неприменимы в области неустойчивых коротких трещин, так как приводят к неограниченной разрушающей нагрузке. Аналогичная ситуация имеет место в случае гладких концентраторов напряжений (отверстия, вырезы, полости), - коэффициент концентрации напряжений Kt при больших значениях (малый радиус кривизны выреза) оказывается непригодным для определения критической нагрузки. В связи с этим в работах Нейбера [94] и Новожилова [99] было предложено усреднять напряжения в зоне их высокой концентрации у вершины трещины на определенном расстоянии d. Соответствующий силовой критерий разрушения получил название структурного (часто именуется как критерий Нейг * бера/Новожилова, критерий средних напряжений, интегральный силовой критерий) и относится в настоящее время к классу нелокальных критериев прочности.

Присутствие в критерии параметра осреднения d означает, что процесс-, разрушения обладает собственной структурой, которая, в общем случае, не связана со структурой материала. Более того,'величина d не обязательно является параметром осреднения и'может рассматриваться как независимая характеристика размерности длины, необходимая для оценки прочности сред с концентраторами напряжений [154,190]. Таким образом, постулируется, что распространение трещины в упругохрупком теле происходит дискретно, скачками, соответствующими мгновенному последовательному разрушению элементарной ячейки с линейным размером d. Отметим, что в работе [20] в качестве элементарной ячейки рассматривается поперечный к трещине размер.

Первоначально структурный параметр разрушения d ассоциировался с межатомным расстоянием, а также с размерами зерен [99,100]. Такая интерпретация получила развитие в работах В.М.Корнева (см., например, [37-42]), в которых характеристика прочности дается в безразмерных переменных, что не позволяет судить о степени практической применимости теоретических выводов. Поскольку такие физические характеристики материала как радиус атома или размер зерна не являются справочными, подобный подход к оценке параметра й не получил распространения.

Так как трактуемый подобным образом параметр с? для полимеров не имеет физического смысла, то в [82] было предложено выбирать в, из условия согласования структурного критерия с критерием Гриффитса/Ирвина в простейших случаях. Таким случаем, в частности, является задача об одноосном растяжении неограниченной пластины с центральной трещиной длиной 21 напряжением р, приложенным на удалении. Структурный критерий разрушения в этой задаче записывается следующим образом где сгу{х) - распределение разрывающего напряжения на продолжении трещины (начало декартовых координат расположено в середине трещины, ось Ох направлена вдоль трещины), ас - предел прочности материала па растяжение, а структурный параметр й определяется из равенства в котором Kic - вязкость разрушения. При l,d —У 0 критерий (0.1) трансформируется в классический критерий критического напряжения для бездефектной среды.

Достоинствами структурного критерия являются простота, применимость как к сингулярным (трещины, угловые вырезы), так и к регулярным (отверстия, вырезы, полости) макродефектам, возможность использования приближенных и точных аналитических решений задач теории упругости. В последнем случае при последовательном уменьшении размера дефекта имеет место естественный предельный переход к бездефектному материалу (см. также [188]). Кроме того, в тех формулировках критерия, которые используются в данной работе, задействован минимум констант материала, l+d

0.1) а именно - предел прочности при растяжении стс и статическая вязкость разрушения Х/с. Существенно, что обе механические характеристики определяются по стандартным испытаниям.

Сравнение структурного критерия (0.1) с другими нелокальными критериями разрушения, - такими, как критерий минимального напряжения, критерий фиктивной трещины, критерий граничного напряжения, - дано в работах [26,158,164], в которых показано, что критерий (0.1) предпочтительнее в большинстве случаев. В работе [174,175] доказано, что критерий (0.1) может быть представлен как частный случай общего конечно-нелокального функционала прочности.

Критерий (0.1) в совокупности с равенством (0.2) впервые, по-видимому, был использован в работе [191] для оценки разрушающей иагрузки при растяжении пластин с круговым отверстием и центральной трещиной. Затем в работах [71,72,87] критерий (0.1) был распространен на угловые вырезы, для которых, как известно, критерий Гриффитса/Ирвина неприменим.

Начиная с 1988 года "индустриальный" [73] подход Нейбера-Новожилова получает' широкое распространение в исследованиях по механике разрушения [25,34,35,84], причем в работе [25] структурный параметр (1 интерпретируется как межатомное расстояние, а в работах [34,35, 84] определяется в соответствии с (0.2). Равенство (0.2) также используется в градиентном подходе к определению прочности тел с концентраторами напряжений [48-51,132-134,147].

В 1994г. А.Северин модифицировал критерий (0.1), распространив его на случай разрушения сдвигом [182] где г, - полярные координаты с началом в вершине концентратора напряжений, ап,тп - нормальное и касательное напряжения (нагрузка), тс - предел прочности материала на сдвиг. Критерий (0.3) применим как а

1/2

0.3) о для случая растяжения, так и сжатия. В последнем случае первое слагаемое в (0.3) исчезает и расчет ведется только по напряжениям сдвига. При этом остается непонятным, - какой физический смысл имеет такой процесс разрушения, при котором не образуются новые поверхности. При помощи критерия (0.3) А.Северином с соавторами были решены различные задачи по определению разрушающей нагрузки и направлению роста трещины, в частности, для У-образных и гладких вырезов [183-185]. Критерий (0.3) использован также в работе [193].

Существенный недостаток критерия (0.3) в том, что он содержит нестандартную механическую характеристику - предел прочности на сдвиг тс, количественное выражение которой для конкретного материала трудно найти в научной и инженерной литературе. В перечисленных работах [183-185] также не приводится примера численного значения величины тс для какого-либо материала. Возможно, поэтому практически все результаты расчетов в указанных работах представлены в безразмерной форме. Таким образом, на данный момент критерий (0.3) не имеет достаточного обоснования и нуждается в апробации с целью проверки практической применимости.

Более простой подход к определению возможного направления роста трещины из вершины концентратора напряжения в условиях совместного действия растяжения и сдвига состоит в том, чтобы найти площадку, на которой возникает максимум нормального разрывающего напряжения и далее применить структурный критерий отрыва (0.3). Таким образом были решены задачи определения направления роста трещины для луночного выреза [87], трещины в ортотропной среде [110] и трещины в анизотропной среде [89,90].

Важным достоинством критерия (0.1) является то, что он применим как к приближенным (асимптотическим) решениям, так и к точным, полученным в рамках линейной теории упругости. Это обстоятельство позволяет эффективно определять критические нагрузки для материалов с короткими трещинами, которые оказываются недоступными для критерия Гриф-фитса/Ирвина.

Впервые структурный подход к проблеме коротких трещин был сформулирован в работах [109,113,114]. В первой главе этот метод развит и обобщен на пространственные трещины (дисковидпая трещина), а также использован для оценки прочности упругой среды с гладким концентратором напряжений (круговое отверстие, сферическая полость). В связи с проблемой коротких трещин в этой же главе рассматриваются задачи построения двухкритериальных диаграмм разрушения.

Если одномерная формулировка структурного критерия в задачах о трещинах достаточно хорошо апробирована, то в двумерном случае возникают определенные трудности, связанные с необходимостью выбора конкретной величины структурного параметра <1. Это требуется для того, чтобы иметь возможность количественно оценивать размерные критические нагрузки. В первой главе предложена двумерная формулировка структурного критерия разрушения применительно к дисковидпой трещине нормального отрыва.

Трехмерная формулировка структурного критерия в общей форме предложена в работах [91,92], однако результаты, полученные в этих работах имеют скорее теоретическое значение, нежели прикладное, так не дают ответа на вопрос, - как определять критические значения нагрузок или размеров трещин. Отметим, что идея распространения структурного критерия на двумерный случай первоначально была высказана в монографии [145], но не была сформулирована в окончательном, пригодном для приложений виде.

На основе структурного критерия В.В.Новожиловым была построена теория равновесных трещин применительно к модели трещины с концевой зоной Леонова-Панасюка- [52]. Равновесная трещина по Новожилову определяется критическим состоянием, при котором сила взаимодействия между парой атомов, прилегающих к вершине трещины, достигает своего предельного значения. Таким образом установлено [100], что диапазон равновесных трещин I удовлетворяет неравенствам

Ь < I < ¿/V, где 1с, ¿дг критический размер трещины соответственно по Гриффитсу и по Новожилову. Теория равновесных трещин Новожилова получила развитие в работах [14,15,64,74,145].

В теории равновесных трещин структурный параметр в, чаще рассматривается как межатомное расстояние или как диаметр атома, причем I = 1с = ¿/V только при в, = 0. Это ограничивает сферу применения концепции Новожилова рамками теоретических исследований и не позволяет широко использовать в инженерной практике. На это косвенно указывает и то обстоятельство, что критические длины трещин (или диапазон равновесных нагрузок) оцениваются в большинстве из указанных работ в безразмерных переменных. Некоторые исследователи или вообще не дают никакой интерпретации параметру или принимают его согласно равенству (0.2), что в случае трещин с концевой зоной требует обоснования.

В данной работе ставится целью выяснение условий согласования структурного критерия с классическими критериями разрушения, - критерием критического напряжения (в случае бесконечного уменьшения размера дефекта) и критерием Ирвина/Гриффитса в случае достаточно больших длин трещин (без концевой зоны). Другими словами, в основу предлагаемого здесь подхода положено равенство (0.2). Выяснение упомянутых условий согласования составляет содержание второй главы.

Для трещин с концевой зоной сравнительно недавно был предложен и другой подход к интерпретации структурного параметра с?, входящего в критерий (0.1). В работе [171] было предложено отождествлять величину с1 с длиной зоны сцепления в модели Леонова-Панасюка, что в соответствии с критерием (0.1) приводит к следующему выражению для определения d

2К] , ч d =-f---- • (0.4) coh (P/Vcohf

В выражении (0.4) crco/l - напряжение сцепления, полагаемое постоянной материала и связанное определенным образом (см. [171]) с пределом текучести, Кj = рл/тг1 - коэффициент интенсивности напряжений для бесконечной пластины с центральной трещиной длиной 2Z, р — нагрузка (напряжение). Очевидно, что в данном случае параметр d не является константой материала и зависит от величины приложенной нагрузки. Таким образом, задача становится нелинейной со всеми вытекающими отсюда трудностями оценки предельных нагрузок. Отметим также попытку построения двух-критериальной диаграммы для гладкого выреза с помощью структурного критерия, сделанную в работах [59,172]. Для материалов с гладкими вырезами в работе [106] применительно к судокорпусным сталям структурный параметр разрушения предложено определять по эмпирической формуле d = 0.38 (350/О116.

Альтернативный подход к определению прочности тел с концентраторами напряжений, который также можно назвать структурным, предложен в работе М.Я.Леонова и К.Н.Русинко [54]. В модели Леонова-Русинко, также как и в модели Нейбера-Новожилова, вводится некоторый структурный параметр ро> имеющий размерность длины и позволяющий в расчетах на прочность наряду с искусственно сделанными концентраторами напряжений, принимать во внимание также неоднородность структуры материала. Влияние несовершенства структуры материала учитывается интегрально путем усреднения деформаций в пределах некоторого определенного объема, заключенного в сфере радиуса ро- К этим усредненным деформациям применяются зависимости, установленные при обычных механических испытаниях материалов. Во второй главе приводится сравнение результатов решения некоторых задач, полученных по обоим моделям.

Структурный подход В.В.Новожилова нашел также применение в контактных задачах, где для оценки величины разрушающей нагрузки вводится понятие коэффициента концентрации усилий [7]. В работе [103] структурный элемент вводится для прогнозирования устойчивого роста усталостных трещин. Условием разрушения такого элемента служит накопление работы неупругой деформации до критического значения.

Динамические задачи

Логичным обобщением структурного критерия (0.1) на динамические задачи механики разрушения является структурно-временной критерий. Впервые идея использования характерного времени разрушения и осреднения напряжения по времени была высказана в работе [117] Ю.В.Петровым и А.А.Уткиным (1987), а сам критерий сформулирован в [73,82,84,85,118] применительно к динамическим задачам теории трещин: t d J ds ^ J cr(x, s) dx < ac, (0-5) t-т 0 где t - время, a(x, t) - разрывающее напряжение, т - параметр осреднения, получивший название "инкубационное (структурное) время". Разрушение материала с трещиной начинается при достижении в (0.5) равенства.

В случае разрушения "бездефектной" среды, то есть материала, не содержащего заранее созданных (искусственных) макродефектов, критерий (0.5) принимает упрощенный вид t i J a(s) ds < ac. (0.6) t-T

Понятие инкубационного времени впервые было введено в работах [162,165,186]: в экспериментах по ударному разрушению образцов с трещинами было обнаружено, что старт трещины начинается не в момент достижения коэффициентом интенсивности напряжений (КИН) своего максимума, а с некоторой задержкой £г-пс, то есть на стадии убывания КИН. Соответствующий критерий, который, по мнению авторов, объясняет эффект задержки разрушения получил название критерия минимального времени, однако, формально он так и не был сформулирован.

На основе структурно-временного критерия (0.5) Ю.В.Петровым выдвинута концепция инкубационного времени (1991), которая к настоящему времени сформировалась как новый подход к решению теоретических и прикладных задач динамической прочности материалов и подробно изложена в монографии [78]. Первоначально инкубационное время т определялось в соответствии с соотношением [73,82,84,85,118] т — d/с j (0.7) где с - скорость распространения самых быстрых упругих волн в материале. Таким образом, величина т изначально трактовалось как время передачи взаимодействия от одного структурного элемента с линейным размером d к другому. Соотношение (0.7) позволило решить ряд задач по определению пороговых характеристик динамического разрушения, а также дать оценку возможной скорости распространения разрыва сплошной среды [56].

В более поздних работах (см. [107]) инкубационное время стало рассматриваться как самостоятельная физическая константа материала, характеризующая продолжительность подготовки среды к разрушению или фазовому переходу, то есть как независимая характеристика, определяемая экспериментальным или расчетно-экспериментальным путем. В [78] приведены различные способы интерпретации этой характеристики в зависимости от класса решаемых задач.

Здесь укажем лишь две возможные трактовки инкубационного времени г: наиболее простую и наиболее оригинальную.

Самая простая интерпретация инкубационного времени такова: инкубационное время разрушения т - это время до разрушения бездефектного материала t* при нагружении его импульсом напряжения в виде ступенчатой функции Хевисайда H(t) с амплитудой, равной статической прочности материала на растяжение ис. Покажем это с помощью критерия (0.6). Пусть cr{t) = <тс H(t). ' (0.8)

Подставим выражение (0.8) в (0.6) и определим время до разрушения t* как промежуток времени от начала воздействия до момента, когда впервые выполняется критериальное равенство (при т ф 0)

UH(U) - (U - t)H(U - т) = т.

Очевидно, что i* = т.

Наиболее оригинальная трактовка инкубационного времени т предложена в [107] и затем развита в [86]. В указанной работе приведены сравнительные результаты экспериментов для бездефектных образцов и образцов, ослабленных острым концентратором напряжений, которые показывают, что инкубационное время в задачах откола и эрозии составляет 0.5-1.0 мкс, а в задачах о страгивании трещин - 10-14 мкс для металлов и 18-20 мкс для полимеров. То есть наблюдается тенденция возрастания инкубационного времени т при переходе от бездефектной зоны к окрестности вершины трещины. Далее делается попытка подтвердить обнаруженную тенденцию, используя метод самосогласованных осцилляторов Эйнштейна.

Известно, что при положительной температуре для бездефектной среды эйнштейновская частота v конечна и не равна нулю. Для оценки эйнштейновской частоты г/* в зоне концентратора напряжений можно воспользоваться законом Грюнайзена и/и, = (y*/vy где V - текущий удельный объем, j Е (0,1) - постоянная материала. При приближении к вершине трещины V*/V —Уоои, следовательно, z/* —у 0.

Если принять, что г ~ 1/г/, то тенденция, обнаруженная в экспериментах, качественно соблюдается.

В главе 3 дается еще одна простая интерпретация инкубационного времени т на основе асимптотического решения динамической задачи о полубесконечной трещине в упругой среде, нагруженной волновым импульсом напряжения, имеющим временную форму в виде дельта-функции Дирака 5(£). Такая форма нагрузки, традиционно используемая в динамических задачах теории упругости, позволила также с помощью структурно-временного критерия (0.5) и соотношения (0.7) дать оценку пороговой величины скачка на фронте волны перемещения, то есть ответить на вопрос о возможности нарушения сплошности среды.

В работе [116] показано, что критерий (0.5) можно переписать в эквивалентной форме при помощи коэффициента интенсивности напряжений где К 1С - статическая вязкость разрушения.

Таким образом, к настоящему времени употребляются три различные формы структурно-временного критерия (0.5), (0.6) и (0.9), позволяющие определить две основные пороговые характеристики динамического разрушения - время до разрушения и пороговую (то есть минимальную) амплитуду нагрузки Р*. Время до разрушения, как показано выше, определяется при заданной нагрузке <т(£) = Р/(£) как момент времени, при котором впервые достигается равенство в каком-либо из перечисленных критериев. Начало отсчета времени, как правило, исчисляется от начала внешнего воздействия на материал, или, например, как в случае откола, - от начала отражения падающей волны от свободной поверхности, что более удобно в расчетах. Для корректного определения пороговой нагрузки Р* во всех критериальных соотношениях необходимо вычислить макси

Кт г

0.9) г-т малыюе по времени значение интеграла, то есть применить в левой части операцию max.

Критерий вида (0.9), как показано в [75,76,80,111] позволяет эффективно рассчитывать такую важную пороговую характеристику прочности материала с трещиной, как динамическая вязкость разрушения Kid■ В главе 4 с использованием структурно - временного критерия в форме (0.9) дан анализ поведения динамической вязкости разрушения горных пород и показано принципиально различное поведение величины Kid при пороговых и запороговых нагрузках. Также предложена новая пороговая характеристика динамического разрушения материалов с трещинами, условно названная " количество разрушения".

В главе 5 структурно-временной критерий используется в форме (0.6). Здесь исследуется взаимосвязь пороговых характеристик разрушения в условиях откола на примере рельсовых сталей. При этом, как и в материалах с трещинами, в качестве критерия отбора конструкционных материалов рекомендовано использовать новую пороговую характеристику "количество разрушения".

Еще одна важная пороговая характеристика, которая может быть определена с помощью структурно-временного подхода - это пороговая скорость эрозионного разрушения поверхностей твердых тел твердыми частицами. Здесь предметом интереса является лишь начальная стадия процесса разрушения, а именно критическая (пороговая) скорость удара частиц абразива при которой возникает повреждение поверхности. В такой постановке задачи достаточно рассмотреть падение одиночной микрочастицы по нормали к поверхности материала-мишени. Впервые эта задача с применением структурно-временного критерия (в форме (0.6)) была решена в работе [77]. В главе 6 эта задача расширена на случай вязкого разрушения поверхности, исследовано также влияние геометрической формы частиц на пороговую скорость удара, приведены расчеты для различных металлов. * *

Актуальность темы обусловлена необходимостью разработки эффективных средств оценки статической и динамической прочности материалов и элементов конструкций, а также поиска оптимальных режимов целенаправленного разрушения твердых тел.

Цель работы - разработка теоретических основ тестирования конструкционных и строительных материалов на динамическую прочность и трещиностойкость в рамках структурно-временного подхода к исследованию разрушения твердых тел.

В работе решаются следующие основные задачи:

1) формулировка условий предельного равновесия и разрушения хрупких тел при статических и динамических нагрузках на основе единого, -структурного, - подхода;

2) определение пороговых характеристик хрупкого разрушения материалов в условиях статического и динамического нагружения;

3) поиск адекватных формулировок структурного критерия разрушения и физически приемлемых интерпретаций структурных характеристик с? и т, образующих систему базовых констант для расчета прочности материалов;

4) разработка на основе доступных инженерно-механических принципов простых и эффективных расчетных схем и формул для оценки пороговых характеристик разрушения, пригодных для применения на практике.

Выводы по главе 6

• Предложенный подход к анализу процессов эрозионного разрушения материалов на примере удара единичной абразивной частицы свидетельствует о высокой эффективности структурно - временного критерия динамического разрушения твердых тел. Приведенные результаты показывают, что применение критериального условия, адекватного динамической специфике процесса, позволяет уже в простейшем классическом приближении контактного удара получать эффекты, наблюдаемые в экспериментах, но не имеющие трактовки в рамках моделей, использующих традиционные критерии прочности и текучести.

• Включенная в модель новая временная характеристика (инкубационное время) позволяет дать единую трактовку таким разным, на первый взгляд, процессам как процессы откольного и эрозионного разрушения твердых тел. Важнейшим следствием этой взаимосвязи является возможность получения временных зависимостей прочности и текучести, необходимых для тестирования динамических прочностных свойств твердых тел.

• Показана принципиальная возможность смены типа разрушения, - с хрупкого на вязкое и наоборот, - при изменении радиуса частиц эро-дента. Кроме того, сделан вывод о существенном влиянии геометрической формы эрозионных частиц на величину пороговой скорости разрушения. Предложены новые предельные характеристики эрозионного разрушения, являющиеся следствием структурного подхода, -пороговый силовой импульс удара и пороговый объем фрагмента выкрашивания. Данные характеристики позволили выявить некоторые закономерности поверхностного разрушения материалов, что в конечном счете дает возможность оптимальным образом управлять интенсивностью износа.

• На основе понятия инкубационного времени предложен новый динамический критерий текучести металлов, пригодный для случаев любого напряженно - деформированного состояния и нагружения произвольной длительности. Как частные случаи из него получаются критерии для одноосного растяжения и чистого сдвига. Динамический структурный критерий текучести в совокупности с аналогичным хрупким критерием позволяет уверенно предсказывать тип разрушения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполненное исследование позволяет сформулировать следующие основные результаты и выводы:

1. На основе структурного критерия разрушения развит подход, позволяющий определять предельные нагрузки в таких нестандартных статических задачах, как проблемы разрушения хрупких сред с "малыми" дефектами. Показано, что структурный критерий эффективно "работает" не только в плоских задачах теории трещин, но и в пространственных, и в совокупности с концепцией предела трещиностойкости дает возможность получать "двухкритериальные" диаграммы разрушения.

2. Предложен двумерный структурный критерий разрушения для тел с пространственными дефектами в одноосном поле растяжения с круговой границей раздела граничных условий. Установлено, что введение структурного параметра (с?) как в одномерном, так и в двумерном варианте критерия разрушения позволяет адекватно оценивать прочность материалов с сингулярными и регулярными дефектами любых размеров, в том числе и при их отсутствии.

3. Установлено, что с высокой достоверностью структурный параметр разрушения (1 может определяться через две стандартные механические характеристики - предел прочности при растяжении ас и вязкость разрушения Кхс по формуле (1.10). При этом для корректной оценки предельной нагрузки величина структурного параметра разрушения должны быть соответствующим образом пронормирована в зависимости от класса задачи (плоский/пространственный дефект, ограниченная/неограниченная среда). Показано, что конкретное значение величины в, определяется в каждой задаче из соображений сопоставимости с классическими критериями разрушения, - критерием критического напряжения и критерием Ирвина/Гриффитса.

4. Предложены расчетно-экспериментальные схемы для определения эффективного значения структурного параметра разрушения в, на плоских образцах с трещинами, которые при определенной тарировке могут быть сведены к стандартным.

5. Получены точные и асимптотические формулы для определения напряженно - деформированного состояния упругой плоскости с полубесконечной трещиной продольного сдвига, к берегам которой приложена импульсная нагрузка. Определены динамический коэффициент интенсивности напряжений и предельно допустимая нагрузка. Выявлены особенности поля напряжений в окрестности вершины трещины.

6. На основе приближенного (асимптотического) решения задачи о нагружении мгновенным импульсом упругой плоскости, содержащей плоскую или антиплоскую трещину, получена оценка порогового скачка смещения на фронте волны. Показано, что указанный скачок смещения не превышает структурный размер разрушения материала, что позволяет считать материал изначально неразрушенным, а постановку задачи - корректной. Получены конкретные количественные оценки пороговых скачков смещения для ряда конструкционных материалов.

7. Доказано, что динамическая вязкость разрушения существенно зависит от амплитуды приложенной нагрузки. Показано принципиальное качественное различие в поведении динамической трещиностой-кости материалов при пороговых и запороговых нагрузках. На основе структурно-временного подхода дано объяснение неустойчивости поведения динамической вязкости разрушения. В инженерных расчетах на динамическую трещиностойкость рекомендовано ориентироваться на минимальный уровень динамической вязкости разрушения, который может составлять порядка 1 /2 от соответствующего статического значения.

8. Предложена новая пороговая характеристика динамического разрушения материалов с трещинами - "количество разрушения". Установлена принципиальная возможность оптимизации процесса динамического разрушения материалов с макротрещинами путем подбора длительности нагружения. Оптимальная длительность нагрузки позволяет добиться минимизации одновременно двух важных предельных характеристик динамического разрушения, - пороговой амплитуды нагружения и времени до разрушения. Показано, что критерий минимума "количества разрушения" позволяет выбрать рациональную тактику целенаправленного разрушения материалов с учетом истории нагружения.

9. Исследована взаимосвязь пороговых характеристик разрушения в условиях откола. Раскрыт физический смысл инкубационного времени применительно к откольному разрушению. Показано, что динамическая прочность материала в случае откола существенно зависит от формы импульса нагружения, а временная зависимость прочности является не свойством материала, а следствием истории нагружения. Установлено, что прочностные свойства материалов с различной внутренней структурой при быстрых динамических нагрузках отличаются в значительно меньшей степени, чем при статическом нагружении.

10. Построены пороговые диаграммы откольного разрушения, позволяющие производить отбор наиболее прочных конструкционных материалов, работающих в условиях интенсивного динамического нагружения. При этом в качестве критерия рекомендовано использовать максимум "количества разрушения", который соответствует опреде

I1 ленной энергии, необходимой для разрушения материала в задаиное время. Показано, что учет температурных условий эксплуатации конструкции позволяет подобрать материал с большей динамической прочностью за счет оптимального соотношения статической прочности и вязкости разрушения.

11. Предложена модель для вычисления пороговых скоростей эрозионного разрушения поверхностей твердых тел. Моделированием установлено существенное влияние геометрической формы эрозионных частиц на величину пороговой скорости разрушения. Показана принципиальная возможность смены типа разрушения с хрупкого на вязкое и наоборот, при изменении радиуса частиц эродента. Развита методика расчета сравнительной эрозионной стойкости конструкционных материалов. Определено, что структурный подход дает возможность получать новые пороговые характеристики, в частности, силовой импульс и минимальный объем фрагмента выкрашивания, позволяющие устанавливать оптимальные режимы эрозионного износа.

12. Предложен новый динамический критерий текучести металлов, пригодный для случаев любого напряженно - деформированного состояния и нагружения произвольной длительности. Показана взаимосвязь процессов откольного и эрозионного разрушения твердых тел. Важнейшим следствием этой взаимосвязи является возможность получения временных зависимостей прочности и текучести, необходимых для тестирования динамических прочностных свойств твердых тел.

Полученные результаты могут быть использованы в расчетах на статическую и динамическую прочность и трещиностойкость элементов конструкций, для создания новых методик тестирования прочностных свойств материалов, а также для прогнозирования поведения материалов при разработке новой техники и технологий.

1. Анохин A.A., Козлов В.Н., Васильева А.Г. Трещиностойкость малоуглеродистых низколегированных сталей в присутствии коротких трещин // Изв. ВУЗов, Машиностроение. 1987. № 6. С.111-114.

2. Анохин A.A., Козлов В.Н. Экспериментальные методы оценки трещи-ностойкости в области малых трещин // Заводская лаборатория. 1990. Т.56, № 3. С.57-61.

3. Бареиблатт Г. И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Общие представления и гипотезы. Осесимметрич-ные трещины // Прикладная математика и механика. 1959. Т.23, № 3. С.434-444.

4. Бареиблатт Г. И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. Прямолинейные трещины в плоских пластинках // Прикладная математика и механика. 1959. Т.23, № 4. С.706-721.

5. Баско Е.М. Экспериментальная оценка трещиностойкости строительных сталей с использованием двухпараметрического критерия // Заводская лаборатория. 1987. Т.53, № 11. С.68-71.

6. Березкин А.Н., Кривошеее С.И., Петров Ю.В., Уткин A.A. Эффект запаздывания старта трещины при пороговых импульсных нагрузках // Доклады РАН. 2000. Т.375, № 3. С.328-330.

7. Васильев В.З. Пространственные задачи прикладной теории упругости. М.: Транспорт, 1993. 366с.

8. Васильев В.З., Каптелин Ю.П. Гипотеза физико-механической природы масштабного фактора при испытании на прочность материала нитевидных кристаллов и тонких нитей // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте. М.: Транспорт, 1990. С.38-49.

9. Васильченко Г. С. Критерий прочности тел с трещинами при квазихрупком разрушении материала // Машиноведение. 1978. № 6. С.103-108.

10. Васютин А.Н. Критерии упругопластического разрушения применительно к коротким трещинам // Заводская лаборатория. 1985. Т.51, № 4. С.71-73.

11. Васютин А.Н. О критерии прочности материала при наличии коротких трещин // Физико-механическая механика материалов. 1988. Т.24, № 3. С.68-74.

12. Воловец Л.Д., Златин H.A., Пугачев Г.С. Кинетика разрушения по-лиметилметакрилата в плоской короткой волне растягивающих напряжений // Проблемы прочности и пластичности твердых тел. Д.: Наука, 1979. С.35-42.

13. Германович Л.Н., Дыскин A.B., Устинов К.Б. О влиянии пор на ди-латансию и разрушение хрупких материалов / Препринт № 494. М.: Институт проблем механики АН СССР, 1991. 19с.

14. Греков М.А., Морозов Н.Ф. О дисковых равновесных трещинах // Прикладная математика и механика. 2000. Т.64, № 1. С. 172-175.

15. Греков М.А., Морозов Н.Ф. О равновесных трещинах в композитах, армированных однонаправленными волокнами // Прикладная математика и механика. 2006. Т.70, № 6. С. 1054-1066.

16. Груздков А.А, Петров Ю.В. О температурно-временном соответствии при высокоскоростном деформировании металлов // Доклады РАН. 1999. Т.364, № 6. С.766-768.

17. Груздков А А, Петров Ю.В., Смирнов В. И. Инвариантная форма критерия динамической текучести металлов // Физика твердого тела. 2002. Т.44, № 11. С.1987-1989.

18. Давиденков H.H., Ставрогин А.Н. О критерии прочности при хрупком разрушении и плоском напряженном состоянии // Изв. АН СССР, ОТН. 1954. № 9. С.101-109.

19. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 509с.

20. Ентов В.М. О роли структуры материала в механике разрушения // Изв. АН СССР, Механика твердого тела. 1976. № 3. С.110-118.

21. Жилюкас А.Ю. Деформационный двухкритериальный подход в меха- , нике разрушения // Заводская лаборатория. 1989. Т.55, JV5 4. С.86-89.

22. Златин H.A., Пугачев Г.С., Мочалов С.М. и др. Временные закономерности процесса разрушения при интенсивных нагрузках // Физика твердого тела. 1974. Т. 16, № 6. С. 1752-1755.

23. Златин H.A., Пугачев Г.С., Мочалов С.М., Врагов А.М. Временнная зависимость прочности металлов при долговечностях микросекундного диапазона // Физика твердого тела. 1975. Т.17, № 9. С.2599-2602.

24. Зорин И. С. О хрупком разрушении упругой плоскости, ослабленной тонким вырезом // Вестник ЛГУ. 1982. № 7, вып.2. С.11-16.

25. Зорин И. С., Морозов Н.Ф., Чернышева Н.В. О равновесных трещинах, выходящих на границу упругого тела // Физико-химическая механика материалов. 1988. № 3. С.63-68.

26. Исупов Л. П. Нелокальные критерии разрушения: сравнительный анализ и применение для слоистых композитов // Механика композитных материалов. 1998. Т.34, № 2. С. 198-210.

27. Капель Г.И., Разоренов C.B. Аномалии температурных зависимостей объемной и сдвиговой прочности монокристаллов алюминия в субмик-росекундном диапазоне // Физика твердого тела. 2001. Т.43, вып.5. С.839-845.

28. Капель Г.И., Разоренов C.B., Зарецкий Е.В., Херрман Б., Майер Л. Термическое "упрочнение" и "разупрочнение" титана и его сплава при высоких скоростях ударно-волнового деформирования // Физика твердого тела. 2003. Т.45, вып.4. С.625-629.

29. Карзов Г.П., Марголин Б.З., Швецова В.А. Физико-механическое моделирование процессов разрушения. СПб.: Политехника, 1993. 391с.

30. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. 324 с.

31. Качанов Л.М. О разрушении и росте трещин // Инженерный журнал, Механика твердого тела. 1968. № 1. С. 124-127

32. Ковчик С.Е. Некоторые экспериментальные исследования распространения трещин в стеклянных пластинах // Вопросы механики реального твердого тела, вып.2. Киев: Наукова думка, 1964. С. 172-176.

33. Ковчик С.Е., Морозов Е.М. Характеристики кратковременной трещи-ностойкости материалов и методы их определения // Механика разрушения и прочность материалов. Т.З. Киев: Наукова думка, 1988. 436с.

34. Кокшаров И.И. Двухпараметрический подход механики разрушения -силовой интегральный критерий. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1988. Препринт № 4. 16с.

35. Кокшаров И. И. Двухпараметрический подход механики разрушения -силовой интегральный критерий // Заводская лаборатория. 1989. Т.55, № 4. С.81-86.

36. Колесников Ю.В., Морозов Е.М. Механика контактного разрушения. М.: Наука, 1989. 219с.

37. Корпев В.М., Тихомиров Ю.В. О критерии хрупкого разрушения с трещиной при наличии дефекта атомной решетки // Изв. РАН, Механика твердого тела. 1994. № 2. С. 185-193.

38. Корнев В.М. Снижение прочности металлов при хемосорбции водорода в вершине трещины // Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т.39, № 3. С.173-178.

39. Корнев В.М., Кургузое В.Д. Достаточный дискретно-интегральный критерий прочности при отрыве // Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т.42, № 2. С.161-170.

40. Корнев В.М. Модификация критерия разрушения Нейбера Новожилова для угловых вырезов (антиплоская задача) // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т.43, № 1. С. 153-159.

41. Корнев В.М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Описание зоны предразрушения // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т.43, № 5. С.153-161.

42. Корнев В.М. Распределение напряжений и раскрытие трещин в зоне предразрушения (подход Нейбера-Новожилова) // Физическая мезо-механика. 2004. Т.7, № 3. С.53-62.

43. Кошелев П.Ф., Левин А.И. Обобщенный двухпараметрический деформационный критерий // Заводская лаборатория. 1987. Т.53, № 11. С.71-73.

44. Крагелъский И.В., Добычин М.Н., Комбалов B.C. Основы расчетов на трение и износ. М.: Машиностроение, 1977. 526 с.

45. Красовский А.Я., Вайншток В.А., Тороп В.М., Орыняк И.В. Применение двухкритериальных диаграмм разрушения для оценки несущей способности конструктивных элементов с трещиной // Заводская лаборатория. 1989. Т.55, № 4. С.89-92.

46. Кривошеее С.И., Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Шнеерсон Г.А. Проблемы разрушения хрупких тел при импульсном нагружении // Физико-химическая механика материалов. 1996. Т.32, № 3. С.34-45.

47. Леган М.А. О градиентном подходе к оценке прочностных свойств хрупких материалов в зоне максимальных напряжений // Динамика сплошной среды, вып.98. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1990. С.49-60.

48. Леган М.А. О взаимосвязи градиентных критериев локальной прочности в зоне концентрации напряжений с линейной механикой разрушения // Прикладная механика и техническая физика. 1993. № 4. С.146-154.

49. Леган М.А. Определение разрушающей нагрузки, места и направления разрыва с помощью градиентного подхода // Прикладная механика и техническая физика. 1994. Т.35, № 5. С.117-124.

50. Леган М.А., Колодзеев В.Е., Шеремет A.C. Анализ хрупкого разрушения пенополистирольных плит с отверстиями // Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т.42, № 5. С.226-228.

51. Леонов М.Я., Панасюк В. В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикладная механика. 1959. № 4. С.27-35.

52. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Илим, 1981. 236с.

53. Леонов М.Я., Русинко К.Н. Макронапряжения упругого тела // Прикладная механика и техническая физика. 1963. № 1. С.104-110.

54. Линьков A.M. Замечание к вычислениям предела прочности на сжатие // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1972. № 4. С.168-170.

55. Линьков A.M. О размере концевой зоны и скорости распространения разрыва смещений // Прикладная математика и механика. 2005. Т.69, № 1. С.144-149.

56. Маркочев В.М. Расчет на прочность при наличии малых трещин // Проблемы прочности. 1980. № 1. С.3-6.

57. Матвиенко Ю.Г. Двухпараметрический критерий разрушения в связи с упрочнением материала // Заводская лаборатория. 1986. Т.52, № 9. С.60-62.

58. Матвиенко Ю.Г., Приймак O.A. Диаграммы трещиностойкости тела с надрезом // Проблемы прочности. 2006. № 5. С.142-148.

59. Махутов H.A., Москвичев В.В., Козлов А.Г., Цыплюк А.Н. Расчеты на трещиностойкость и эффекты пластической деформации при наличии коротких трещин (обзор) // Заводская лаборатория. 1990. Т.56, № 3. С.48-56.

60. Мещеряков Ю.И., Диваков А.К., Кудряшов В. Г. О динамической прочности при отколе и пробое // Физика горения и взрыва. 1988. № 2. С.126-134.

61. Мещеряков Ю.И., Диваков А.К. О влиянии процессов на фронте импульса сжатия на откольную прочность материала и сопротивление высокоскоростному внедрению // Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т.44, № 6. С.25-34.

62. Мисра, Финни. Абразивное изнашивание металлов (литературный обзор) // Теоретические основы инженерных расчетов. 1982. № 2. С. 2939.

63. Мовчан А.Б., Морозов Н.Ф. К теории равновесных трещин // Проблемы механики разрушения: межвуз. сб. науч. тр. Калинин: Калининский гос. ун-т, 1987. С.93-96.

64. Морозов Е.М., Фридман Я. Б. Некоторые закономерности в теории трещин // Прочность и деформация материалов в неравномерных физических полях. Вып.2. М.: Атомиздат, 1968. С.216-253.

65. Морозов Е.М. Метод расчет на прочность при наличии трещин // Проблемы прочности. 1971. № 1. С.35-40.

66. Морозов Е.М. Расчет на прочность при наличии трещин // Прочность материалов и конструкций. Киев: Наукова думка, 1975. С.323-333.

67. Морозов Е.М. Предел трещиностойкости в нелинейной механике разрушения // Современные проблемы механики и авиации. М.: Машиностроение, 1982. С.203-215.

68. Морозов Е.М. Двухкритериальные подходы в механике разрушения // Проблемы прочности. 1985. № 1. С.103-108.

69. Морозов Е.М. Расчет допускаемых длин трещин // Физико химическая механика материалов. 1986. Т.22, № 1. С.72-76.

70. Морозов Н.Ф. Исследование разрушающей нагрузки для области, ослабленной вырезом в виде лунки // Доклады АН СССР. 1980. Т.253, № 6. С.1336-1338.

71. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256с.

72. Морозов Н.Ф., Новожилов В.В. Некоторые проблемы структурной механики разрушения // Физико-химическая механика материалов. 1988. Т.24, № 1. С.21-26.

73. Морозов Н.Ф, Паукшто М.В. Дискретные и гибридные модели механик разрушения. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского ун-та, 1995. 160с.

74. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Динамическая вязкость разрушения в задачах инициирования роста трещин // Изв. АН СССР, Механика твердого тела. 1990. № 6. С.108-111.

75. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. О структурно-временном описании скоростной зависимости динамической вязкости разрушения хрупких материалов // Изв. РАН, Механика твердого тела. 1993. № 6. С.100-104.

76. Морозов Н.Ф, Петров Ю.В. О пороговых скоростях эрозионного разрушения поверхностей твердых тел // Изв. РАН, Механика твердого тела. 1996. № 3. С.72-75.

77. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. С.-Петербург: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997. 132с.

78. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Семенов В.Н. О двойственном характере динамики разрушения твердых тел // Изв. ВУЗов, Технические науки. 2001. Спецвыпуск. С.1-3.

79. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Тарабан В.В. О немонотонных временных зависимостях динамической вязкости разрушения твердых тел // Доклады РАН. 2000. Т.371, № 2. С.186-188.

80. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Уткин A.A. Об анализе откола с позиций структурной механики разрушения // Доклады АН СССР. 1990. Т.313, № 2. С.276-279.

81. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Уткин A.A. К расчету предельной интенсивности импульсных динамических нагрузок в механике трещин // Изв. АН СССР, Механика твердого тела. 1988. № 5. С.180-182.

82. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Уткин A.A. О структурно-временном подходе при анализе динамического разрушения хрупких горных пород // Записки Ленинградского горного института. 1991, вып. 125. С.76-86.

83. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Уткин A.A. Об импульсной, трактовке динамического инициирования роста трещины // Вопросы долговременной прочности энергетического оборудования. Труды ЦКТИ, вып.246. Л.,1988. С.80-84.

84. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Уткин A.A. О разрушении у вершины трещины при ударном нагружении // Физико-химическая механика материалов. 1988. Т.24, № 4. С.75-77.

85. Морозов Н. Ф, Поникаров Н.В. Математические модели в механике разрушения // Проблемы механики сплошных сред и элементов конструкций: К 60-летию со дня рождения Г.И.Быковцева. Владивосток: Даль-наука, 1998. С.97-104.

86. Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. Применение критерия хрупкого разрушения В.В.Новожилова при определении разрушающих нагрузок дляугловых вырезов в условиях сложного напряженного состояния // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. № 1. С.122-126.

87. Мусхелишвили H.H. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707с.

88. Назаров С.А. Направление роста трещины по критерию Новожилова // Доклады РАН. 2004. Т.396, № 5. С.620-623.

89. Назаров С.А. Трещина на стыке анизотропных тел. Сингулярности упругих полей и критерии разрушения при контакте берегов // Прикладная математика и механика. 2005. Т.69, № 3. С.520-532.

90. Назаров С.А. Трехмерная формулировка критерия Новожилова для трещин нормального отрыва // Доклады РАН. 2005. Т.402, № 6. С.766-770.

91. Назаров С.А. О трехмерной формулировке критерия Новожилова квазистатического разрушения // Изв. РАН, Механика твердого тела. 2006. № 2. С.118-127.

92. Науменко В.П., Митченко О.В. Хрупкое разрушение пластины с отверстием при сжатии // Проблемы прочности. 1985. № 7. С.12-20.

93. Нейбер Г. Концентрация напряжений. M.-JL: Гостехиздат, 1947. 204с.

94. Никифоровский B.C., Шемякин E.H. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, 1979. 271с.

95. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872с.

96. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370с.

97. Новожилов В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // Прикладная математика и механика. 1969. Т.ЗЗ, № 2. С.212-222.

98. Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах // Прикладная математика и механика. 1969. Т.ЗЗ, № 5. С.797-812.

99. Панасюк В. В. Определение разрушающей нагрузки для тела, ослабленного внешней круговой трещиной // Вопросы механики реального твердого тела. Вып.1. Киев: Наукова думка, 1962. С.63-66.

100. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1968. 248с.

101. Пановко О.Я., Петинов C.B. Прогнозирование устойчивого роста трещин усталости на основе энергетического критерия. / Препринт № 39. Л.: ЛФ ИМаш, 1990. 20с.

102. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1985. 504с.

103. Патеюк Г.М. Влияние угла атаки, размера частиц пыли и концентрации запыленного потока на величину абразивного износа // Труды Томского электромеханического института инженеров железнодорожного транспорта. 1962. Т.34. С.41-49.

104. Петинов C.B. Основы инженерных расчетов усталости судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1990. 224с.

105. Петров Ю.В. О "квантовой" природе динамического разрушения хрупких сред // Доклады АН СССР. 1991. Т.321, № 1. С.66-68.

106. Петров Ю.В. Квантовая аналогия в механике разрушения твердых тел // Физика твердого тела. 1996. Т.38, № 11. С.3385-3393.

107. Петров Ю.В. "Квантовая" макромеханика динамического разрушения твердых тел. Препринт № 139. СПб.: Ин-т проблем машиноведения, 1996. 51с.

108. Петров Ю.В., Поникаров Н.В. О направлении роста трещины в ор-тотропном материале // Изв. РАН, Механика твердого тела. 1998. № 4. С.180-184.

109. Петров Ю.В., Ситникова Е.В. Прогнозирование динамической тре-щиностойкости конструкционных материалов на примере разрушения авиационного сплава при ударном воздействии // Журнал технической физики. 2004. Т.74, № 1. С.58-61.

110. Петров Ю.В., Ситникова Е.В. Температурная зависимость отколь-ной прочности и эффект аномальных температур плавления при ударно-волновом нагружеиии // Журнал технической физики. 2005. Т.75, вып.8. С.71-75.

111. Петров Ю.В., Тарабан В.В. О двухкритериальных моделях разрушения хрупких материалов // Вестник СПбГУ, Сер.1. 1997. № 2. С.78-81.

112. Петров Ю.В., Тарабан В. В. Двухкритериальный анализ хрупкого разрушения образцов с малыми поверхностными повреждениями // Вестник СПбГУ. Сер.1. 1999. № 1. С.78-81.

113. Петров Ю.В., Смирнов В.И. Об определении контактной прочности хрупких конструкционных материалов // Транспорт: наука, техника, управление. 1998. № 10. С.16-23.

114. Петров Ю.В., Уткин А.А. Структурное время в теории динамического разрушения твердых тел // Исследования по упругости и пластичности. Вып. 17. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995. С.94-101.

115. Петров Ю.В., Уткин A.A. О зависимости динамической прочности от скорости нагружения // Физико-химическая механика материалов. 1989. Т.25, № 2. С.38-42.

116. Петров Ю.В., Уткин A.A. Асимптотика напряжений у вершины трещины в динамических задачах теории, упругости: Учебное пособие. СПб.: Ин-т проблем машиноведения РАН, 2001. 39с.

117. Пинегин С.В. Контактная прочность и сопротивление качению. 2-е изд. М.: Машиностроение, 1969. 243с.

118. Полеоюаев Ю.В., Романченков В.П., Чирков И.В., Шебеко В.Н. Расчетная модель процесса эрозионного разрушения композиционного материала // Инженерно- физический журнал, 1979. Т.37. № 3. С.395-404.

119. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 328с.

120. Эрозия / Под ред. К.Присс. М.: Мир, 1982. 464с.

121. Производство упрочненных рельсов // Железные дороги мира. 1991. № 11. С.41-51.

122. Рафф А.У., Видерхорн G.M. Эрозия при ударе твердых частиц // Эрозия / Под ред. К.Присс. М.: Мир, 1982. С.80-138.

123. Романив О.Н., Ткач А.П., Вольдемаров A.B. Об одном способе комплексного повышения механических свойств низкоотпущенных конструкционных сталей // Физико- механическая механика материалов. 1979. Т.15, № 4. С.71-77.

124. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т2. Изд.З-е. М.: Наука, 1976. 576с.

125. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения // Разрушение /ред. Либовиц Г. Т.2. Математические основы теории разрушения. М.: Мир, 1975. 764с.

126. Слепли Л.И. Механика трещин. 2-е изд. Д.: Судостроение, 1990. 296с.

127. Смелтзер, Гулден, Комптон. Механизмы эрозии металлов при ударном воздействии частиц пыли // Теоретические основы инженерных расчетов. 1970. Т.92, № 3. С.225-238.

128. Суворова Ю.В. Запаздывание текучести в сталях (обзор экспериментальных работ) // Прикладная механика и техническая физика. 1968. № 3, С.55-62.

129. Сукнев C.B. О применении градиентного подхода к оценке локальной прочности // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т.40, № 4. С.222-228.

130. Сукнев C.B. Оценка прочности пластины с эллиптическим отверстием при растяжении и сжатии // Прикладная механика и техническая физика. 2000. Т.41, № 3. С.163-168.

131. Сукнев C.B. Критерий локальной прочности // Проблемы прочности. 2004. № 4. С.108-124.

132. Сукнев C.B., Новопашин М.Д. Применение градиентного подхода для оценки прочности горных пород // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1999. № 4. С.54-60.

133. Сукнев C.B., Новопашин М.Д. Критерий образования трещин в горных породах при сжатии // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2003. № 2. С.30-37.

134. Тадолъдер Ю.А. Влияние геометрии абразивного зерна на интенсивность изнашивания металлов в потоке абразивных частиц // Труды Таллинского политехнического института, Сер.А. 1966. Вып.237. С.15-22.

135. Тимошенко С.П., Гудъер Дою. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576с.

136. Урбанович JIM., Крамченков Е.М., Чуносов Ю.Н. Газоабразивная эрозия металлов и сплавов // Трение и износ. 1994. Т.15, N2 3. С.389-393.

137. Урбанович Л.И., Крамченков Е.М., Чуносов Ю.Н. Разогрев твердого тела в зоне удара эродирующей частицы // Трение и износ. 1994. Т.15, № 6. С.965-972.

138. Урбанович Л.И., Крамченков Е.М. Влияние режимных факторов на пороговую скорость соударения при газоабразивной эрозии // Исследования по упругости и пластичности. Вып.18. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. С.263-265.

139. Филин А.Н., Челышев H.A., Гулъняшкин В.Н. Исследование механических характеристик рельсовой стали опытно-промышленных плавок // Изв. ВУЗов, Черная металлургия. 1991. № 2. С.43-44.

140. Черепанов Т.П. Дифракция упругих волн на разрезе // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. С.615-622.

141. Черепанов Т.П., Ершов Л.В. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977. 224с.

142. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. JL: Изд-во Ленинградского ун-та, 1988. 256с.t,

143. Шелдон, Финпи. К вопросу о пластичности номинально хрупких материалов при эрозионном резании // Труды Американского общества инженеров-механиков. Сер.В. Конструирование и технология машиностроения. 1966. № 4. С.58-68.

144. Шеремет А.С., Леган М.А. Применение градиентного критерия прочности и метода граничных элементов к плоской задаче о концентрации напряжений // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т.40, № 4. С.214-221.

145. Яиг, Рафф. Определение эрозии металлов при ударном воздействии частиц // Теоретические основы инженерных расчетов. 1977. Т.99, №2. С.25-30.

146. Ярема С.Я., Ратыч Л.В. Исследование хрупкого разрушения образцов с концентраторами напряжений // Концентрация напряжений. Вып.1. Киев: Наукова думка, 1965. С.338-343.

147. Ando КKim В.A., Iwasa М., Ogura N. Process zone size failure criterion and probabilistic fracture assessment curves for ceramics // Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures. 1992. V.15, № 2. P.139-149.

148. Baratta F.I. Stress Intensity Factor Estimates for a Peripherally Cracked Spherical Void and Hemispherical Surface Pit // Journal of The American Ceramic Society. 1978. V.61, № 11-12. P.490-493.

149. Campbell I.D. The Dynamic Yielding of Mild Steel // Acta Metallurgica. 1953. V.l, № 6. P.64-80.

150. Carter B.J., Lajtai E.Z., Yuan Y. Tensile fracture from circular cavities loaded in compression // International Journal of Fracture. 1992. V.57, N53. P.221-236.

151. Cruse T.A. Tensile Strength of Notched Composites // Journal of Composite Materials. 1973. V.7, № 2. P.218-229.

152. Dally J. W., Barker D.B. Dynamic Measurements of Initiation Toughness at High Loading Rates // Experimental Mechanics. 1988. № 3. P.298-303.

153. Dally J. W., Shukla A. Dynamic crack behaviour at initiation // Mech. Res. Com. 1979., V.6, № 4. P.239-244.

154. Dowling A.R., Townley C.H.A. The effect of defects on structural failure: a two-criteria approach // The Int. Journal of Pressure Vessels and Piping. 1975. V.3, № 2. P.77-107.

155. Dyskin A.V. Crack growth criteria incorporating non-singular stresses: size effect in apparent fracture toughness // International Journal of Fracture. 1997. V.83, № 2. P.191-206.

156. Evans A.G., Gulden M.E., Rosenblatt M. Impact damage in brittle materials in the elastic-plastic response regime // Proceedings of The Royal Society of London. Ser.A. 1978. V.361, № 1706. P.343-365.

157. Green D.J. Stress Intensity Factor Estimates for Annular Cracks at Spherical Voids // Journal of The American Ceramic Society. 1980. V.63, № 5-6. P.342-344.

158. Harrison R.P. A Unified Approach to Failure Assessment of Engineering Structures / Fracture Mechanics in Engineering Practice / Edited by P.Stanely. London: Applied Science Publishers Ltd., 1977. P.69-82.

159. Homma H., Shockey D.A. and Murayama Y. Response of Cracks in Structural Materials to Short Pulse Loads // Journal of The Mechanics and Physics of Solids. 1983. V.31, № 3. P.261-279.

160. Hunter S. C. Energy Absorbed by Elastic Waves During Impact // Journal of The Mechanics and Physics of Solids. 1957. V.5, № 3. P.162-171.

161. Isupov L.P., Mikhailov S.E. A comparative analysis of several nonlocal fracture criteria // Archive of Applied Mechanics. 1998. Vol.68, № 9. P.597-612.

162. Kalthoff J.F., Shockey D.A. Instability of cracks under impulse loads // Journal of Applied Physics. 1977. V.48, № 3. P.986-993.

163. Knauss W. G. Fundamental Problems in Dynamic Fracture // Advances in Fracture Research. Proceedings of the ICF-6 (S.R.Vallury et al. eds.). Vol.1. Oxford-New York: Pergamon Press, 1984. P.625-652.

164. Lajtai E.Z. Effect of tensile stress gradient on brittle fracture initiation // International Journal of Rock Mechanics and Mining Science. 1972. V.9. P.569-578.

165. Lajtai E.Z. Brittle fracture in compression // International Journal of Fracture. 1974. Vol.10, № 4. P.525-536.

166. Lawn B.R., Wilshaw T.R. Indentation Fracture: Principles and Applications // Journal of Material Science. 1975. V.10, № 6. P. 1049-1081.

167. Marshall D.B., Lawn B.R., Evans A.G. Elastic-plastic indentation damage in ceramics: the lateral crack system // Journal of The American Ceramic Society. 1982. V.65, № 11. P.561-566.

168. Matvienko Yu.G. On the cohesive zone model for a finite crack // International Journal of Fracture. 1999. V.98, № 3-4. P.L53-L58.

169. Matvienko Yu.G. Local fracture criterion to describe failure assessment diagrams for a body with a crack/notch // International Journal of Fracture. 2003. V.124, № 3-4. P.107-112.

170. Meyers M.A. Dynamic Behavior of Materials. N.Y. e.o.: John Wiley &; Sons, 1994. 668 P.

171. Mikhailov S.E. A functional approach to non-local strength conditions and fracture criteria I. Body and point fracture // Engineering fracture mechanics. 1995. V.52, № 4. P.731-743.

172. Mikhailov S.E. A functional approach to non-local strength conditions and fracture criteria II. Discrete fracture // Engineering fracture mechanics. 1995. V.52, № 4. P.745-754.

173. Munz D., Rosenfelder 0., Goebbels K., Reiter H. Assessment of flaws in ceramic materials on the basis of non-destructive evaluation // Fracture Mechanics of ceramics. Vol.7. / Ed. by R.C.Bradt et. al. N.-Y., London: Plenum Press, 1986. P.265-283.

174. Nordgren A., Melander A. Influence of porosity on strength of WC-lOcemented carbide // Powder Metallurgy. 1988. V.31, № 3. P. 189-200.

175. Owen D.M., Zhuang S., Rosakis A. J., Ravichandran G. Experimental determination of dynamic crack initiation and propagation fracture toughness in thin aluminum sheets // International Journal of Fracture. 1998. V.90. P.153-174.

176. Petrov Y. V., Morozov N.F. On the Modeling of Fracture of Brittle Solids // ASME Journal of Applied Mechanics. 1994, V.61, № 3. P.710-712.

177. Petrov Y.V., Smirnov V.I., Krivosheev S.I., Atroshenko S.A., Fedorovsky G.D., Utkin A.A. Impact loading of rocks // Shock Waves in Condensed Matter: International Conference. Saint-Petersburg, Russia, 18-23 July, 2004. St.-Petersburg, 2004. P.17-19.

178. Ravi-Chandar K., Knauss W.G. An Experimental Investigation into Dynamic Fracture: 1.Crack Initiation and Arrest // International Journal of Fracture. 1984, V.25. P.247-262.

179. Seweryn A. Brittle fracture criterion for structures with sharp notches // Engineering Fracture Mechanics. 1994. V.47, № 5. P.673-681.

180. Seweryn A., Mroz Z. A non-local stress failure condition for structural elements under multiaxial loading // Engineering fracture mechanics. 1995. V.51, № 6. P.955-973.

181. Seweryn A. A non-local stress and strain energy release rate mixed mode fracture initiation and propagation criteria // Engineering fracture mechanics. 1998. V.59, № 6. P.737-760.

182. Seweryn A., Lukaszewicz A. Verification of brittle fracture criterion for elements with V-shape notches // Engineering fracture mechanics. 2002. V.69, № 13. P.1487-1510.

183. Shockey D.A., Erlich D.C., Kalthoff J.F. and Homma H. Short-Pulse Fracture Mechanics // Engineering Fracture Mechanics. 1986. V.23, № 1. P.311-319.

184. Sneddon I.N. The distribution of stress in the neighbourhood of a crack in an elastic solid // Proceedings of The Royal Society of London, Ser.A. 1946. V.187, № 1009. P.229-260.

185. Tirosh J. On the tensile and compressive strength of solids weakened (strengthened) by an inhomogeneity // ASME Journal of Applied Mechanics. 1977. V.44, № 3. P.449-454.

186. Tsai Y.M. A Note on the Surface Waves Produced by Hertzian Impact // Journal of The Mechanics and Physics of Solids. 1968. V.16, № 2. P.133-136.

187. Waddoups M.E., Eisenmann J.R., Kaminski B.E. Macroscopic Fracture Mechanics of Advanced Composite Materials // Journal of Composite Materials. 1971. V.5, № 4. P.446-454.

188. Whitney J.M., Nuismer R.J. Stress Fracture Criteria for Laminated Composites Containing Stress Concentrations // Journal of Composite Materials. 1974. V.8, № 4. P.253-265.

189. Wiederhorn S.M., Lawn B.R. Strength Degradation of Glass Impacted With Sharp Particles: I.Annealed Surfaces // Journal of The American Ceramic Society. 1979. V.62, № 1-2. P.66-70.

190. Yosibash Z., Bussiba A., Gilad I. Failure criteria for brittle elastic materials // International Journal of Fracture. 2004. Vol.125, № 3-4. P.307-333.

191. Ziliukas A. Two-Parametrical Fracture Criterion // Проблемы прочности. 2006. № 4. С.56-63.