Порождающие элементы простых групп и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГБ ОД

1 7 ОКТ ЮУ6

На правах рукописи

Нуж:ш Яков Нифантьсшп

ПОРОЖДАЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРОСТЫХ ГРУПП И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

(01.01.06 —математическая логика, алгебра п теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соисгсаятге ученой степепа доктора фпзшсо-математических паук

КРАСНОЯРСК

1996

Работа выполнена б Красноярском государственном техническом ¡университете.

Официальные оппоненты —

доктор фнз.-мат. наук, профессор МАЗУРОВ В.Д. дохстор фш.-мат. наук, профессор МИХАЛЕВ A.B. доктор фш.-мат. наук, профессор ЯКОВЛЕВ Б.В.

Ведущая организация —

Институт математика и ыеханнкы УрО РАН.

Защита состоится п ЪЗ-/)с1\ 19Э5 г. в часов па за-

седашш Специализированного Совете. Д.064.61.02 прн Красноярском госуцарсгвеншш ушверептете по адресу, проспект Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан ” х/» 0?« г г.

Ученый секретарь Специализированного совета

каидццат фнз.-мат. наук <_____•" ^ ' С.В.Вабеїшшев

Актуальность темы. Многие задачи теорщсгрупл п смежнйх разделов математики редуцируются к нахождению порождающих элементов, удовлетворяющих некоторым снойспаш. Хородао ¿}ве<штс>; что классические группы порогчцгаются своими простейшими элементами: так, например, ашиетрпческпе группы порождаются транс-декцпяьш, а яростна классические линейные группы пот,' более обобщенно, простые группы плева типа порождаются корневыми элемен-тают (см. [3, 2, 14, 28]); в обоих случаях мощность порождающего множества растет вместе'с ростом мощности самой группы. Для конечных простых групп л близких к шш особый интерес вызывают поролсдаюодие множества млшшалюон мощности относительно некоторых свойств. Первые систематические исследования в этом: направлепш; датируются началом ныдешдего столетия.

Л.Диксон в своей гашго ’’Linear Groups with ад Exposition of the Galois Field Theory”, вышедшей в 1901 г., доказал, чтоддя любо* го нечетного q ф 9, являющегося степенью простого числа; группа SLi(q) порождается двумя матрицами ,

0?) - (»О-

если t порождает основное ноле [17]. Это утверждение обычно называют теоремой Диксона. В этом же 1901 г- Г.Мпллер [33] показал, что любая простая знакопеременная группа А„ порождается двумя элементами, а если п отлично от б, 7, 8, то порядка этих порождающих могут быть 2 п 3. В 1952 г. Р.Стейнберг [38] указал пары порождающих элементов для всех конечных простых групп лиева типа. Существование пар порождающих элементов, один из которых — инволюция, для спорадических простых групп вытекает из результатов М.Ашбахера и Р.Гуральннка [13] (1984 г.).

Выше перечисление работы главным образом былп посвящены решении» следующих двух проблем.

(А1) Всякая ли конечная простая неабелева группа порождаете* двумя'элементами ?

(А2) Всі¡кая ли конечная простая неабелева группа порождается двум элементами, один из которых- — икаолюция ?

Классификационная теорема о конечных простых группах утверждает, что они исчерпываются следующими группами: циклические группы простого порядка, знакопеременные гру-шшг, группы лиева типа пал конечными потами п 26 спорадических групп. Такті образом, в указанных выше 'работах .• положительно решается проблема (А1). . .

Проблема (А2) была решена Г.Маллсром {33] для знакопеременных групп, А. Альбертом п Дзк.Тоидсопом {И] для РБЬ„(^), Т.Руыом {35], Т.Румом в Р.Смитом {34] в Ц.Стенаком [37] для РЗр2П{(])-, М.Ашбахе-ром п Р.Гуральником [13] для спорадическихгрупп, п также частич-По решена для некоторых других лппепішх классических групп, см. обзор Л. Дп Мартино и М.Тамбурпни [18]. В.М.Лсвчук [4, 5] описал с точностью до равенства все подгруппы-гошенных групп степени < 3 над конечными полями-, содержащие задашіуіо ішагонильиую матрицу, в частности, это описание позволяет просто гыбпрать пары порождающих элементов, одни-из которых— инволюции, для указанных групп. .

В силу известного результата У.Фейта п Хик.Тсмпсояа л:обаа конечная груша нечетного порядка разрешима. Поэтому конечная простая неабелева груша содержит шшояющт и порождается любым классом сопряженных щпгошошш. Каково минимальное чпело шшо-ЛІОДЯН (необязательно сох^>яжендых), поролідаюншх конечную простую пеабелеву грушу? Б 1978 г, А.Вагпср [47] заметал, что для группы Р317}(9) оно равно 4. Естестиишс» возникает следующая проблема.

(ВО Какие конечные простые группы порождаются тре.ш'инеи-люциями ?

Порождающие трояки инводюдщ! ковечныгх простых груди Оыдя предметом пссдгдолхиня шюшх авторов.. Г.Мпллер [33] ’палдел такие порождающие для зпакоперемеппых групп, Ф.Далла Б о.тт. та [15]

— для спорадических групп п сорп.т работ била деевзппенп. 1>епЕхетио проблему (В1) ДЛЯ некоторых лппешшх 1;ЛЙС(Ц'!еСК!13£ групп, СИ. обзор [18], где обсуждается состояште этой пр> |(5л<!мн.

В 1980 г. В.Д.Мазуров поставил следующий вопрос; {’’Коур<>зская тетрадь'’, вопрос 7.30):

(В2) Какие конечные простые группы порождающее тремя иипо-люцпями, две из которых перестановочны :

Из положительного рещешхя проблемы (В2) следует плложктель-иое решение пробяег.ш (Л2) (и, конечно, проблемтд (В1)). Тройки порогкдатощпХ галзолюшш; две го которых перестановочны, предста-влягат интерес, как отмечает В.В.Яковлст», также п езязп с вопросами решеточной определгемостя прост?« групп.

Отмстим, что в Едассотесгап; рябота?; Б.Фгапера [?0, 21, 22] о р-трапспозшвхгх фляп гтеглэдетзатш копешшо абстрактные группы; по^ роядаппыесоярягкеппым классом пгшолюдпи с определенными свойствами, и па этом пути были; получены целые простке грушш.’ Эти исследования были продолжены М.Ашбахером [12] и Ф.Тньшесфельдсм [39, 40, 41}, которые охэроктязозалл значительную часть сзвестигос конечных простих групп а тер?.пптхч поро:адй»а*я:< япролюипй.

В досдеязяз годы ггруг проблем й задач о порождающих о лег гейтах конечных просты?: групп япиотло рассЕпхрияеа, в значительной степени, в езгггд с прпложеппяип. Яркпм примером здесь служит работа Г.В.Белого [1], п тютороЗ следующая хорошо известная проблема сселена для допечпш: просты:: групп п б.тазшгх к пкд к пахазщетпа пары порождающих элементе» с определенными ссойстиами.

. (С1) (Обратная задала теории Галуа)Всякая ли конечном группа молкет быть реализована как группа Галуа над полем рациональных чисел f

В 1954 г. Н.Р.Шафаревпч [10] решил обратную задачу' тсорнп Галуа дня разрешимых групп. Для конечных простых неабелевых групп (положительный) ответ получен только для знакопеременных , групп (Д.Гпльберт, 1892 г., [25]), для спорадических групп (исключая_ группу Матьс з), для некоторых классов групп лиева типа пад простым полем GF(j)) с додолшпгельш^ш ограничениями па простое число р и для PSLiip2), р ~ ±2(mod5). Достаточна полпыц обзор результатов можно оайтд в статье {9] (см. также [21\, стр. 11-13).

Последние достпжсшга в решении обратной задачи теории Галуа главным образом саязалы с методом, предложенным Г.В.Велым [1] в 1979 г., а затеи развитым М.Фрядом {23J, Е.Матцахом {31, 32] и Дж.Томпсоном [43], который сейчас обычно называется методом жесткости. В дейстоителышста, этот метод позволяет устанавливать более сильное утверждсцде, чем требует (классическая) обрат-пал задача теоршх Галуа. А пмешво, он позволяет решать следующую проблему. _

(С2) (Усиленный вариант обратной задачи теории Галуа,)

Des кал ли копсчкаи групп & может быть реализована кж группа Галуа, некоторого регулярного pacuiupcunz Галуа полг рациональных функций над полем рагципимьта чисел ?

Метод жесткости детально обсуждается в статье >К.-П.Серра [9], где xaicscc указал список грущх для которых сроОлсиа (С2) решена.

Цель работы. Основные результату: работы связалы, гласным образом, с решением проблем (А2), (131), (В2), (Cl), (С2).

Общая методика исследований. Прсмеаяются методы теории групп п теории Галуа.

С

Главными результат а;.ш являются следующие.

1) Но модулю спорадических групп цад ответ па аолрос В.Д.Ма-

зурова о пороаутющпх тройках пагодюош (проблема (В2)). Kaie следствие получается решение проблем (Л2), (В1). .

2) Разработан метод выбора порождающих элементов групп япс-ва типа над конечными полями, основанный на систематическом ес-пояьзоиашш подгруппового описаний грунц лпева типа ранга 1. Этот метод представлен теоремами 1 п 2.

3) Доказано, что группы PSLn(p)t п > 5, г;>2—ирсстоо число п (п,р — 1) -= 1, и группы Вейля тага, отяцчиого о? Fi, реализуются как группы Галуа некоторого регулярного р^епшргддя • Галуа поля ргдаональлых фушасш сад доле:.* раздоссйздаис чисел, то есть для эти;: групп получено сололдтеяьшо ретпеспо' ьробдемы (С2), а следовательно, и (С1).

В. М.Леичуд [о, /| 1л aüxcp [1 3 ^ ушах групп-лас-

ва типа над кезечяьзп! дрлз&дх, ш!о;айгвг« керееечеевя

со веема корневиг.ш подгруснам::. ,2XQ'f/,:,,Ci'z;zs сапргзтся па отьм-ч&вшухосй вьшк хеорзму [3J п со адаяоп: .для

остальных трос спгссоа rjijiax дссцс» ?йгз- рапга! 149]. Осеозздезйсь HG. ЭТО*Д ОТШСГ^ХШДХ* Xi 1 ’ib•.• :^ТС»I теергиа I, догорая дает сстестоешша керодднкетз tz&cscsiz. р:а.модтоз козщосте 2,3 ш 4, в зааххспмостд от о xtii-aj v.дера*^ьД~*^а1Хуаз%.

шгомпальный, с остальные кордсвиа. -. Теореыа 1 сущестсешга псгадьзустса при шСоре пар исро^сдскгя гдзиедтез с зодахаааа свойствами. В частсоста, теорема 2 дает для груш хшегатппа ранга I > 3 пари порсзздгиопгас элемаитоз со сяодугкцдня сасЛстаами: а

ухсидотоптнан^ злемспх пор>хдпа j min р*, где р /сара1стср«^г»хка öcHOüiiOi'O ii'.büi, и гiO.iс*— t*jju’iu ^ji^пт парадка iic бол^м.'»Д. **

— число Копстсра пссоцпцрсаалпой системы ьораей. Тамш обрзчхи,

s

иОрЯ’ЛШ ОТПХ КОрОЖДаХОЩГОС ПЛиМйіІІС'Д а Я Ь ЗаРЛІСЛГ Т0іЛ»:-'0 ОТ р 1!

/, в отшгаїе'от порождающих здсіісптоп, указанных Р. Стейнбергом

[32]. ■

Глади Й, 3 п 4 госпягаетш, п остїси:о:і) уїсатішо^у пите кягрссу

В.Д.Мазур.спа о иорождглстгг:: трой::пч »швялвкай '■ просты: груп па:с, Рс'-.у.тхл'аті.т резьигируоі'

тппрбмл. г1. }їм:гчь (т — простиг -іррпні л~'*:оп тії па 'лид '<:о-кегикл -поле:.', ■’■..ги і'часта.а згтягг.срсясшхг груг/.'.я. Тогда О по-роо;-;Ра^,,гг.2 ’.приа \г-’.г,г, -.•уц'иіма, £?:;;■

тогда и только тотЪ, ;:о?ди ‘У-,п чылкчш от емдртцчх групп;

1) з*іакоі>пгіемепппе груяпи

Лз, -1:. А«\

2) грі)і::\іг ¿игча йшіи паї) полі-і хпр.-рте^н/сюпт 2

РЗЩо), РЯЬУ/і), РЗІІІЛ -Р5ВД;

5) группы, лига а типа над полем иечетпоії ^арактерг'.апша Р5ІЗІ?), Р5ВД, РЭД7), РбР^І), Р5л(3).

Из простоты группы О легко еяедуег, что *-сли € порождается тремя пззодг.тоымп а, ,0, 7 ц а/3 « /За, то її пс-рогдается іптполюцлей а п элементом /?7. Таюп.і сСра'зкл, іесрена. 6 д іет также пары перо-гклялглшіх элеиоптег. гоулпы О (исключай ненлючвтелыше группы .із телпіпг.т и), один пз котерглх — ;шполтопия. Для пс:глзотппелышх групп пз теоремы 6 ТГ.ГСІЗ пари поро:адпюі!иіх элементе« указаны в тех разделах, где рассматриваюгез эта груплы. Волае того, еедп С — группа лтгега тлпа п ее яясасклЛ рянг больше 3, то второй цорожла-хопзій элемент ішсст порядок не больше 2к, ще /і плело Кокстсра

оссочшровслпс-д системы ісорасй. Таксл образом, тсореіга С шн>сте

З

r, ,/д„ і':іті\їпі ;.ї..-\ллУіх -р.ч а i\fур^льниьп [ І-’’»!, )->, ч ¡;. -,;:л;.ла,

Л;< к ><Ч-; Ciií'j Vi-. I :-l ЧССі. !|’\T»T;'', Г. ї г* J і і і [ і .і * “Г і .1

UV;1; >'Ч їл Л Г'їіМл •• ПЬ.ЬиЛкНлі'Л, д;.-сг

О : - И NCTJi!- "Ли ¡l-me.i. iHh.ii,, ¡¡.one'-; ,íq>: ¡--ich:-; r¡ ■- >.

:,;b opuj •іЛ.гЛгс..; JbV-: f ..«„ir ¡;, r.-hii:. j j кои.ч. -■ r.r,<-

Г> o.,nn,ui, r.c.iu O — Cpyi1 i>.o. ,u:¡ ¡í; ііїїїіі-'і т ;.r j

■:-¡i b¡:ic ti Ti-v aviopoü vop¡j,.:.‘)c.h,i¡,: агсдк^а .яхало ( ^

■ C O > 'Al Ul C 2/¡ . Лі)с h ~ ' число -.'і V- ;..-. ; ■і ' ri і ií .

KOI'-I'CÍI.

Слецсз.-ше 4.2,2 даєr U'W-Kim’.’íbiK'e pm<:n«c лр.<о:;оми (A2).

Порога даіоішн: трі.икл кпг.олюиии <кг. уояоаїш персстшіояочсйстк дпух ;іг< ких укяглшл ь днс<ч*рг?,иоті и ;<ля аскл-тлтс.чыо гс груал кг, Tcopt&íM fi, пскикрір? rpj ніш'Píil'ziq), -¡ нечетно. Ta feue иурчждлю-щпс для снордднчйскмх групп бь;лн па»,ї;;ліьі .« статье ФЛклпа Вольта [15]. а АЛЗалгср ¡'37] доказал., что группа P,SUs{q) a or да и только тогда nojnwmexœ: тремя шеолюшшмц, ьогдэ. i/ 9. Тоорс-ма С вместе с результатами А.Вэтнсри п Ф. Диала Вольта дает

'СЛЕ-ДСТПЇЇЕ- 4.3,3 Повестки* коке кпаг проста:!- шаоысса грук-¡¡и ьшгоа '¡польки г,нкда 'мгро^сйистсм траля инвс.иоцилма, y.ovàa она отлична от Р511з(0).'

Саедстила 4.2.3 рзшаит иробвсігу (133 )» Осиоглые результаты глі-тора по пробиоіпш (À2) и (Bl) Cw :;ш лзцуСашкшшл в работах {&{»¡-[55j. Несколько подае Г.Ыалле, Дж.Спксл л ТЛЗгпгсль [30] ток/го слублп-яспали рошенім ироблсм (/l2) и (151). В дедстзктогшюсги, <>а« ио-казалп, что любая лрйсхая: грулла ліі"ізл хааа кал коц^ишп ;іон;;:.і, отлачізал от PSU-'ï'ifi), ¿ícíkct ксро:хлаться ипвелющ'ой п сарэго ве-1П;:схЕ1:1лтьь- сл;;л:єіїто:.;; откзіда лс; j;o следует, чао она. лорсы/лпото;; л уредігї анполюїшїііш. ‘

J Í- О'Т'Ч'. . ГЛ. ' і,..-ч-.-;; . ■ . 'уч,'] - і’ ".j :v;'îi-;:r Г:і?у> ('їп.ч

-- : r; (CM) ’S /. Пі il!' ;v pu,; і і : у ‘ і;:; Гі г п і

К '■< у; « ¡ I'í. -і - г - • ; ■ • ■ г'і'і ¡ Чи1, "і !<"/ 'г ;-г. ~Ч':ї ■■■'і i;Gp 's"

і:- :■ Mjr.-.'iï! г.чу^ч L•. і і !■.'"}■ г і ;>.(-•; j о : і Г-.і;ї; •' «, ТИ'■ -

;■ г і -г ; il], тч.р-: ¡І! < cv. о. і: '■,■■■ - т.’-і ■т,

: - IL. i'- :y '.го ! ' ■" I г'.¡ і!'"-Vі г , .і;- - ■ í, -

; <KíbTio-, . и"-; ’■ ¡-< >'y(p .r;?- r-y. ' --- -

i "P'. 'i.. CpPP 2:p;y.¡. Л Г ' ;• ; ‘i <: 'T- m¡i м .г<н. ., ¡-

, i'/iCK,".; СьОІСіno f..;л,” гурпк G: ir;.-;' - y p: •

jhílj» ¡и;;.’ Гатіун гсо.пч ¡і;>.'і.п.''Ш>г!ьіп г: цг.чкаеч QCC) ;г.-т !«

- ïin-дт.-ятлх ’птг.'Т О груїііР і‘> Гру.. Çi. О V ..»;<> omSer«; 'р’-

ip-. ..tji/іісрна (Oj сродует х-рігі-рг/к;-.; р.-ш-'н;к>

р'уг.шоГг за,і«чп теории Г;\тлі.

Ук.;”. ом сичсої: іт] '■-> і НХ я*' групи Д’ія '.OTí-ры:;

СііСІІСГііО (:raíj((.r) ус'ГГШии грр.

Зіи-хопе}*:!ieapp« і pyjíirn Л,., n > 5 ; /|.Г;':и-.Г>-’рт Í2íiu 1202 i\

СпОрГіЛІРїОРРІМ ГпурПК і ',tO-;.'7'Vtf‘niïO!1 rpyuprt Mppp-Ï Д ly\ \

То'їпсоїт Ми], I г.. Л.л-шт [27], і050 '.г nn. (or. [2-1, fi]).

P$Lî{p), р > Г), і'слп (•*) =- --1, ;rnr (~) гг —3 ; К.ПТтї

[?(]],-197-3 v. ' ■ ^ ''

PSL-t(p). рі~ 1 (-по-:Н) : Hn.'.Ta'nwfr í í-i], П:И г.

Р5р\(р), р > .і, ,ч “ 2. 3(n>'?tñ) : і!.!1с;7, іг :y¡ flOj, і047 г,

Р h ■"* : Л-':-'ї'омГГ!"і;;! ! 12, :¡)j, ?i)3.V.ví Г., І! .'-'Viviii' :r iT.t;Vf¡n’ [ID], U)3 Í г.

Í40v),p-;2,G;7/ilO/v > H) : Г.Мнлл-î [20], r^Sr,

P ~ “'Л/ЛЗО, 1 ./> ]27 : Г.2Л"г,j/;;c îOG.->r,

2;r -j- î h] f.cг/і > 2 ü 2 •— ггргм-сГр'-пт-" n'r -op':;'!, ';o

ü

ьгонулгэ 2ííí+ 1 : Ф.Хаф-iejj {2¿}, r.

Oím(2}, 2m — 1 простое, rn >' 4 и 2 — псргообризипіі корень ко модулю 2т -- і : Ф.Хафнс;) [25], 1G92 г.

ОсЫ, Р s 13,17(madZO) ти р s 3,23,27,83,127,Ш, 107,207,243, 2s7,2G3(î«cd2£0) : Ф.Хафаер (23], 1992 г. :

Оі(р), р s 3,ü(woíil4) и слредсясііИьій ьшогоалед ьосьмоіі стеяс.щ и.леет корень в поле GF(r¡) : Ф.Хаф'іер [25], 1992 г.

Здесь 20 £ссу. асречислсіїтгіїх случаях р — просто; часдо п групдц juíceu тппа, для когсрьа: своГмхво Galy(G) устгшсслесо, еяродслеви пад простым поком.

Б глаііе 5 доказывается, что г.волство Ga¡T(G) сарааедпггсо для PSL,t(p), п > 5, р>£-щ>остое. чпско'и (п,р — 1) — 1, к для грудіа.і ВеЙяя тааа, отлп'длсіо ох Д (тьорсідд 8, 9). В доказательстве те о-. реи! 8 и 9 пспользуы-са метод ікєсткскггі: ы р-зьупьтаты из гкгхы'1 о поромсдгіоща?: элз.меытах групи Вейся к груда лиева тпао..

Литература

[1] Белый Г.В. О рьешкреппах Галуа «ашдакіальііого щшаотош* чесного соля // іізя. А.Н СССР, Сср.гіатш., 1079, Т. 43, С. ?»7-

.270. .

[2] Дьедоиие Ж. Геометрий кий-ссячь-ашх груш, М.: Мир, 1S74.

[3] Ксхсстар Г.С.ГД., Мсзйр У.О.Дг:;. Шрохцгкэицм злзиевти л опрсдолякшис соогиошеїшії ддскрогщдх rpyim, М.; Наука, lt!S0.

[4] Левчук В .М. О парах порождавших элементов //В сб.: 1-й

Всесоюзный сомпозпум по теории групи, Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1973, C. 117-119. ' ~

[5] Лезчук В.М. Аппрскслмаппя свободных групп полупростгот факторами групп GLi(q) ¡/її с5.: Некоторые вопросы тсорпд групп а колец, Красноярск: НФ СО АН СССР, 1973, С. 123-149.

[6] Левпук В.М. Заыечаше к теорема ЛЛшхопа // Алгебра я до* -

гпха, 1983, Т. 22, I'M, С. 421-43 І. ■ '

[7] Лсзчук В.М. О порояздагащпх ьшкяастпах корневых элементов групп Шезаляе над полем // Алгебра п логика, 1083, Т. 22, №5,

С. 504-517. ■ ' ' ' '

[S] Нерешенные вогроси-теория груші. Коурспскзя тстрэдь, Изд.

' 13-е, дозолЕэнпое // Новосибирск: ИМ СО РАН, 1GS5. • .

[9] Ссрр Ж.-П. Группы. Галуа пз.я Q fj В кн.: Труды сешясра П.Бурбзка за 1983 г., М.і Mirp, Д9С0.

ПО] Шк.-’гэреугпт ¿Ї.Р. Постростгс долей алгеСратгеюг: тисел, тт-'.аяявх датпг~<? ра»рстп»'*уго группу Галуа /¡ЛЪг. АН CCCÎ5, ÎC’i, Т. 13, С. 523-57сст ■’ ■ / •

(llj- Albert А.А*., Thompson J.G. Tv,-a element generation of Hie projsctivo uniiaoduîar group // Illinois J.?.Îa!h., 1559, p. 421-

•iS'X- ; ' - ’

[12} AccLÎî2cT;ov ГЛ. Ö fnits groups generate;! by odd iranrpodtioas:

І, ЇЛ, IR, IV // Meth. Z., 1072/Vol. 127, tèl'p. -IS-’iO; J.AIgebra,

.107?, Vol. 25, m, p. 451450,. 4GO-473, 479-19?.

•13} Acshbaeltcr M. впгаЫсГ: -R.. Some applications ef the first cohomology grotfp // J.Algebra 1934, Vol. 20, p. 443-460.

[14] Ch-svniîcy C« Sur ccrtnin groupes rircplcs // Tchoku Math. J., 1955,

. Vcî. 7, p. 144ft. .

ÍQI Ч)1і 77. '¿Gol :'7-'V?'r // ;о,и7^?7''7 •

,,-j >f j -i í ¡7 -j

• 7Í V- Y;7 'j<\\ 7(7 í 1 ’’’'У ó ! -'¡”

i::; ч-<Ч-:'г> r:

-, i

- : • • i

'V'}- i 7 ''I ' г Vi <r'7U '-''-í;;'!!:1 T [MOínv

. ?Л .;5„n // V,J ;: j

■ ■:rí;i_ 'rHíb:.; 7'"”i í r::;lll "■]

■ •" ’ ■ г1 1 T • p: : л7і?7! 7‘> Г7-^ ч:7

/7 : - ,1 ;• V '; >'• -і .1 і' ■ J -1:

:-л: ■! V- -і '• ' :

7 ‘77! // *’7^< :? •7' - ■ - ■ ! '-'.і

! '

- • І - - 1 •

''71 Г !' V’'

7 м " 'V;. |îî ? Ч

« і ' г‘--. -17 -;.-у. - "• 7 v-7

•i?;.-:*

Ц!і

' Í ' 7

■ -і ' [і? ”

; і '"'v T7v^rr;¡

‘ ’ ’ ' У ^' i ~ ' i 1

■ r *■« '.;u - -- f

.1.« • • .4 Tí T ГУ

(27] Hunt D.C. Rational rigidity and the sporadic groups // J. Algebra, 1SS6, Vol. 99, p. 577-592.

(28] Jordan C. Itaite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauthier-Villars, 1870.

(29] Malle G. Exceptional groups of Lie type as Galois groups // J.Reine Angew. Math., 1988, Vol. 392, p. 70-109.

(30] Malto G., SaxI J., Weigel "T. Generation of classical groups // Gecm. Dedicata, 1994, Vol. 22, Nj2, p. 675-635.

(31] Matzai, B.H. Zur Konstruktion von Zahl-und Funktionenkor-pem mit vorgegebener Galoisgruppe, Habilitationsschrift, Karlsiuhe, 1980.

(32] Mafczaü В.Ei. Kostruktive GaJoistbeorie, Lect. Notes in Math. 1284, Sringer-Verlag, 1987.

(33] Milfer G.A. On the groups generated by two operators // Bull. Amer. Math. Soc., 1901, Vol. 7, p. 424-426.

[34} Itoom T.Q., Smifib R.J. A generation of the symplectic group // Quart. J. Math., 1Ö5S, Vol. 9, p. 177-182.

[35] Ппэга T.G. Ths generation by tv<o operators of the symplectic group over GF(2) // J. Austi'al. Math. Soc., 1959, Vol. I, p. 38-46.

[3G] Shih K. On the contraction of Gnlois cxtnudons of function fields and number ilelds // Math. Aon., 1974, Vol. 207, p. 09-120.

[37] Stanelc P. Tv/c-element generation of the symplectic group // IVans. Amer. Math. Soc., 1253., Vol. 103, p. 429-435.

[33] Gtolnborg П. Genera ter:] for simple groups // Canad. J.Math., 1062, Vo!. 14, p. 277-233.

[39] Tinintcofe’d R.Q. Else Kennzeichung der linearen Gruppen über

C,F{2) U Math. Ляп., 1970, Vo!. 189, Ш, p. 134-160.

(10f Timmesfehi F,G. A cliaracterization of the Chevalley- and Stamberg-gi-oups over F% // Gcom. dedic., 1973, Vol. 1, N;3, p,,269-321. ’

¡41) Timmesfeld F.G. Groups generated by root-iuvolutions.l. j/ J.Algebra, 1975, Vol. 33, №, p. 75-13-1. '

[42] Thompson J.G. Some finite groups of type Gi which appear as Galois groups over Q, Preprint, 1983.

[43] Thompson J.G. Some finite groups which appear as Gal(LfK), where K C Q{l+n) 11 J. Algebra, Vol. 89, p. 437—199.

¡44] Thompson J.G. PSLi and Galois groups over Q // Proceedings of the Rutgers Group Theory Year 19S3/1SS4 (M. Aecbbacher et at., eds.), Cambridge Univ. Press, 1934, p. 309-319.

[45] Thompson J.G. Primitive roots and rigidity // Proceedings of the Rutgers Group Theory Year 1983/J.931 (M. Aschbacher et ah, eda.), Cambridge Univ. Press, 1984, p. 327-350.

[46] Thompson J.G. Rational rigidity of <?i(5) // Proceedings of the Rutgers Group Theory Year 1983/1984 (M. Aschbacher et a!., eds.), Cambridge Univ. Press, 1984, p. 321-322.

[47] Wagner A. The minimal number of involutions gererating some three-dimensional groups // Boll. Un. Mat. Ital., 1978, Vol. A 15, Ш, p. 431-439.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[48] О группах, заключенных между группами лиева типа, под различными нолями // Алгебра с логика, 1933, Т. 22, №5, С. 526541.

[49] О строении груид лиева типа ранга 1 // Математические замет-кл, 1984, Т. 36 N¡2, С. 149-158.

[50] Порождающие элементы групп Шепалле над конечным полем //

В сб.: XI Всесоюзный симпозиум да теорпп групп,посззящелный СО-летшо М.И.Каргаполова: Тезпсы сообщений, Свердловск,

УрО ЛИ СССР, 1989, С, 88-89.

[51] Порождающие элементы простых групп // В сб.: Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И.Мальцева: Тезисы докладов по теорпп групп, Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1939, С.83.

[52] Иоролсдающае множества элементов групп Шевзлле чад копеч-1шм полем // Алгебра п логика, 1939, Т. 23, Г66, С. 670-686.

[53] Порождающие тройки пниолюнпй групп Шепалле зтад конечным полем характеристики 2 // Алгебра л логика, 1920, Т. 29, Л'2.

С. 192-206.

[54] Переиздающие тройки ипволюшш знакопеременных групп // Ма* те-.татпчеекпа заметит, 1530, Т. 51, Г-64, С. 01-93.

[55] Порождающие трейхл-шыолюппй групп Шевалле над кспеппым полем нечетной характеристика // В со: Международная конференция по алгебре: Тезпсы докладов по теорпп групп, Барнаул, ИМ СО АН СССР, АГУ, МГУ, 199!, С.#75.

[56] Порождающие элемепты.простых групп п их применения к некоторым задачам // Третья международная конференция по алгебре Памяти М.И.Каргаполова: Тезпсы докладов, Красноярск, ШЮПРОФ,-199Э, С. 462.

[57] Группы Р5.^;+і(р) как группы Галуа лад @ //Доклады Ахаде-шш Наук, 1304, Т. 339, М, С. 18-20.

[58] Группы В снял как группы Галуа некоторого регулярного расширения поля // Алгебра а логика, 1995, Т. 34, №3, С. 311-315.

[59] Об одном вопросе 3.Д.Мазурова, Препринт, №5, Красноярск.: ВЦ РАН, 1995.

[60] Generating elements of simple groups and their applications // Proceedings of ÏH International Conference on algebra of memory M.I.Kaigapolov (23-28 August, 1933), Berlin -New-York.: Walter de Gruyter, 1996, p. 101-120.

[61] Generators of simple groups and their applications // ’96 Beijing International Symposium <?n Group Theory, May 27-31, 1996, p. 111-112. '

PoTanpHHT KTïy. 3ana3 1090. T. 100.