Построение и исследование асимптотических моделей нелинейных гидродинамических и диффузионных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Российская академия наук Сибирское отделение Институт вычислительного моделирования

На правах рукописи УДК 517.95

Захватаев Владимир Евгеньевич

Построение и исследование асимптотических моделей нелинейных гидродинамических и диффузионных процессов

01.01.02 Дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В.К.Андреев

Красноярск 1997

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ........................................................ 4

Глава I. Эффекты термокапиллярности и постоянного

электрического поля как факторы управления динамикой пленочных течений вязкой жидкости.

Асимптотический анализ ......................... 38

§1. Влияние термокапиллярных эффектов ............ 41

§2. Влияние постоянного электрического поля........ 62

Глава II. Эффекты термокапиллярности и постоянного

электрического поля как факторы управления динамикой двуслойных течений вязкой жидкости.

Редуктивный анализ ............................... 76

§3. Влияние термокапиллярности .....................80

§4. Влияние эффектов электрической поляризации и

проводимости......................................96

Глава III. Редукция математических моделей некоторых нелинейных процессов в диффузионных

системах с конвективным переносом ......... 114

§5. Движение локализованных диссипативных структур, индуцируемое слабыми эффектами

таксиса .......................................... 114

§6. Движение волнового фронта в бистабильной активной системе при наличии слабых эффектов

диффузии и конвективного переноса ............. 125

§7. Некоторые нелокальные преобразования эквивалентности систем эволюционных уравнений ... 134

Глава IV. Некоторые аспекты динамики, описываемой

уравнениями типа уизема ...................... 147

§8. Изучение аттракторов периодических

режимов и стационарных решений уравнения Бенни — Кавахары ............................. 147

§9. Об одном сценарии пространственно-временной

синхронизации. Феномен «подчинения» мод ... 164 §10. Ограниченность периодических режимов одного класса нелокальных диссипативных систем и механизм формирования конечномерной

динамики ....................................... 172

§11. Влияние малых возмущений на трехволновое резонансное взаимодействие модулированных

волн ............................................ 180

Литература .................................................... 188

ВВЕДЕНИЕ

Быстро развивающиеся возможности экспериментальной науки и вычислительной техники, задачи лабораторной и производственной практики порождают увеличивающийся со временем рост внимания к проблемам поиска путей, факторов и внутренних механизмов регуляции поведения нелинейных систем. Наряду с более традиционными задачами математического моделирования — описанием и прогнозом динамики, вопросы, связанные с изучением ее внутренней организованности и управлением ее основными характеристиками, находят отражение в многочисленных аналитических исследованиях.

Вместе с тем, особую значимость для современной нелинейной динамики приобретают задачи, связанные с теоретическим изучением реалистичных исходных математических моделей, имеющих конкретные и актуальные практические приложения (в таких областях, как биофизика, тонкие технологические процессы и т. д.), в непременном сочетании с адекватным учетом физики рассматриваемых явлений [92].

Оба этих аспекта сопряжены с применением, прежде всего, качественной (конструктивной) теории, связанной с изучением пространственно - временной структуры решений и дающей возможность наглядно описать их конкретные свойства, механизмы формирования динамики [46]. Вместе с тем, «... развитие конструктивной теории нелинейных дифференциальных уравнений математической физики немыслимо без использования методологии математического моделирования на ЭВМ и вычислительного эксперимента. ... в особой степз-ни это относится к результатам, непосредственно ориентированным

на приложения» [46] (с. 8).

Очень часто при теоретическом изучении явлений, представляющих интерес для современного естествознания, за основу берутся нелинейные многокомпонентные модели, в которых фигурирует множество определяющих параметров, — так что большинство из рассматриваемых математических моделей довольно сложны и труднодоступны для непосредственного анализа. Вместе с этим, хорошо известно, что даже сравнительно простые нелинейные распределенные системы могут отражать весьма сложное поведение, описать и изучить которое не так-то просто. Однако в большинстве ситуаций не все степени свободы равнозначны, и нередко лишь несколько из них (параметры порядка) имеют определяющее влияние на динамику, — что может существенно облегчить изучение многих важных ее аспектов [4], [34], [41], [49].

Одним из основных подходов, которые позволяют систематическим образом сводить исходные сложные многокомпонентные модели к простейшим формам, соответствующим достаточно специальным, но реалистичным физическим ситуациям, является редуктивиая теория возмущений. Редукция исходной задачи осуществляется с помощью обычного предположения о малости (и конечности) амплитуды возмущений, развивающихся на фоне основного состояния системы, ограничений на порядки определяющих параметров, а также с помощью выделения в динамике асимптотически различных пространственных и/или временных масштабов и преобразований растяжения соответствующих переменных. При этом в разных пространственно - временных областях масштабирование может быть различным, равно как и типы асимптотических разложений, которые в этих ситу-

ациях необходимо сшивать на границах рассматриваемых областей.

«Этот процесс редукции не вполне однозначен, поскольку подходящий масштаб приходится выбирать с помощью опыта или интуиции» [16] (с.259), и требует некоторых соображений, не всегда строгого характера.

Вышеупомянутые преобразования, основанные в каждой конкретной ситуации на специфических предположениях, позволяют существенно упростить исходную математическую модель и, во многих случаях, свести ее к единственному амплитудному уравнению, эффективно описывающему вторичные режимы в рамках используемых ограничений. При этом, что весьма важно, с достаточной ясностью можно отразить и понять соответствующий физический механизм, индуцирующий развитие возмущений.

Принципиально иной подход к упрощению описания динамики, выражаемой нелинейными математическими моделями, состоит в том, чтобы с помощью некоторых точных преобразований (эквивалентности) привести исходную систему к виду по-возможности более доступному и удобному для теоретического или численного исследования (например, провести линеаризацию). На этом пути можно получить точные решения, обнаружить некоторые симметрии, приблизиться к постижению внутренней природы задачи. Несмотря на многие достоинства данного подхода, вероятно, его возможности в плане объяснения механизмов формирования динамики и поиска путей ее регуляции относительно ограничены. Кроме того, его применение не имеет достаточно выраженного систематического характера и предполагает обычно наличие специфической структуры исходной математической модели. Существование точных соотношений между

параметрами, в известном смысле, также сужает область приложений. Тем не менее, в контексте поиска различных путей внутренней организации динамики данный подход может с пользой применяться как дополнение к другим аналитическим и численным методам.

Еще один аспект проблемы исследования сложного поведения нелинейных систем путем упрощения представления некоторых наиболее существенных (в определенных ситуациях или с определенной точки зрения) особенностей динамики, состоит в следующем. Как известно, поведение решений широкого класса диссипативных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сходно при достаточно больших временах с развитием процессов в конечномерных динамических системах. В частности, многие диссипативные эволюционные уравнения имеют глобальные аттракторы с конечными хаусдорфовой и фрактальной размерностями. В последнее время развиваются различные подходы к построению и изучению математических моделей асимптотического поведения динамических систем на (конечномерном) аттракторе, которое, как правило, существенно проще, чем эволюция произвольно выбранных начальных данных. Наряду с изучением разнообразных динамических и топологических свойств аттракторов, в частности, получением оценок их размерностей, целесообразно исследование и таких аспектов проблемы, как выяснение механизмов формирования конечномерной динамики предельных режимов, или определение возможности эффективного представления поведения системы с помощью конечного числа мод.

Основные цели диссертации

1. Основанный на рассмотрении вариантов самосогласованной редукции исходных полных математических моделей, выводе и иссле-

довании соответствующих эволюционных уравнений, теоретический поиск и изучение простых внутрисистемных факторов, конфигураций систем и физических механизмов, с помощью которых можно осуществлять регуляцию длинноволновой динамики пленочных и двуслойных течений вязкой жидкости. Именно, задачей является рассмотреть:

а) некоторые термокапиллярные эффекты, связанные с балансом напряжений на межфазной границе и переносом энергии через нее;

б) некоторые эффекты нормального к невозмущенной межфазной поверхности постоянного электрического поля.

2. Изучение слабых эффектов конвективного переноса и (взаимной) диффузии компонент нелинейных диффузионных систем как факторов управления модуляцией и перемещением волновых фронтов, формирующихся в средах различной природы.

3. Поиск преобразований эквивалентности систем эволюционных уравнений.

4. Численное и аналитическое изучение некоторых свойств периодических и стационарных решений простейшей модели нелинейных процессов в диссипативных системах с эффектами неустойчивости и дисперсии — уравнения Бенни — Кавахары.

5. Исследование вопроса о механизмах формирования конечномерной динамики предельных режимов нелокальных диссипативных квадратично - нелинейных систем.

6. Изучение некоторых аспектов проблемы резонансных и иных способов влияния на динамику с помощью факторов слабой и сверхслабой интенсивности.

7. Изучение некоторых аспектов динамики, описываемой уравне-

ниями типа Уизема — классе систем, содержащем многие упрощенные модели разнообразных явлений.

Основные асимптотические подходы

Подчеркнем, для достаточно глубокого изучения механизмов формирования и регуляции динамики нелинейных систем, на наш взгляд, наиболее целесообразно рассматривать процессы в становлении, в развитии. Исследование проводится в рамках следующих направлений: а) вывод амплитудных уравнений, асимптотически или приближенно описывающих динамику; б) получение асимптотических решений исходных систем; в) асимптотическое описание некоторых свойств динамики.

Упрощение рассматриваемых в работе исходных математических моделей проводится преимущественно на основе различных методик редуктивной теории возмущений (за исключением анализа, проводимого в параграфе 7, где рассматриваются точные преобразования эквивалентности). Выбор адекватных рассматриваемой проблеме пространственных и временных масштабов — одна из наиболее ответственных процедур в рамках данного подхода. В зависимости от физической природы и геометрии поставленной задачи, конфигурации системы, некоторых особенностей ее математической структуры, она основывается на весьма разнообразных соображениях.

Кратко обрисуем сущность основных подходов, используемых в работе, и взаимоотношения между ними.

I. Многие исходные математические модели допускают решения в виде синусоидальных волновых пакетов <р = а ехр{{(кх — со(к)1,)}

+к.с. в случае, когда амплитуда а = const достаточно мала; функция со (к) определяет линейное дисперсионное соотношение рассматриваемой системы, величина к представляет волновое число. Под действием фонового источника потенциальной энергии основное состояние системы может стать неустойчивым, когда один из ее параметров (скажем, ц) переходит через некоторое критическое значение /ic; в надкритической области энергия будет перетекать к эволюционирующему волновому пакету: (р = Aexp{i(kx — ut)}, где амплитуда А уже не является постоянной, но меняется в пространстве и во времени. Типична ситуация, когда решение уравнения Im и(к, /i) — О дает в пространстве (&,/i) кривую параболической формы: fi = R(k), точка минимума которой к = кс, /I = цс является критической точкой. Если волновое число кс достаточно велико, то в узкой полоске, соответствующей неустойчивым модам, (кс — б, кс + е), 0 < e(/i) <С 1, по мере отклонения бифуркационного параметра ¡1 от своего критического значения будет развиваться слабонелинейный вторичный процесс, временной масштаб которого определяется малостью инкремента в области слабой надкритичности, а характерный пространственный размер детерминируется малостью величины «интервала неустойчивости» А к = 2е. В простейшем случае описание вторичного режима в терминах новых масштабированных переменных дается (кубически нелинейным) обобщенным уравнением Гинзбурга — Ландау, которое возникает как условие разрешимости последовательности ап-проксимационных задач в третьем порядке [8], [16], [111], [119]. В чисто дисперсионном случае данный подход позволяет описать развитие медленно меняющейся огибающей, которая модулирует быстро осциллирующую несущую волну конечной амплитуды; результирую-

щим является нелинейное уравнение Шредингера или его обобщения [11], [16].

Некоторым обобщением и формализацией данного подхода является методика редукции динамики системы на центральное (центрально - неустойчивое) многообразие [79]. Этот метод позволяет свести изучение поведения системы в окрестности точки бифуркации к анализу ее эволюции на инвариантном многообразии, касательном к подпространству, образуемому (обобщенными) собственными векторами линеаризованной задачи, соответствующими собственным значениям с нулевыми (нулевыми и положительными) мнимыми частями.

II. Во многих ситуациях, однако, критическое волновое число кс равно нулю либо достаточно мало, так что А к ~ кс — кривая нейтральной устойчивости не имеет типичного «носика». В случае, когда характерная длина волны развивающихся вторичных режимов достаточно велика, подход (I) оказывается неадекватным [65], и используются иные методы редукции, в частности, длинноволновое приближение [16], которое естественным образом фиксирует характерный пространственный размер вторичных процессов; выбор соответствующего временного масштаба может быть основан на анализе линейного дисперсионного соотношения рассматриваемой задачи. Простейшими амплитудными уравнениями, получаемыми в рамках данного подхода, являются хорошо известные уравнение Кортевега — де Фриза (случай дисперсионных исходных систем) и уравнение Бюр-герса (диссипативные системы) [16], [112]. Несколько более сложными примерами (имеющими непосредственное отношение и к данной работе) являются уравнения Курамото — Сивашинского (Курамото — Веларде) [107], [108], [121] и Бенни — Кавахары [60], [86].

В области, где используется длинноволновое приближение, задача существенно упрощается в первых порядках. Часто конфигурация рассматриваемых систем такова, что целесообразно учитывать также влияние процессов в смежной области, в которой длинноволновое приближение, вообще говоря, неприменимо, однако в силу линейности аппроксимационных задач можно искать их решения с помощью интегральных преобразований, например, преобразования Фурье. В этом случае закономерно возникают нелокальные эффекты — результирующее амплитудное уравнение является интегродифференциаль-ным [23], [24], [100], [101], [103].

III. При изучении разнообразных аспектов динамики нелинейных диффузионных систем во многих случаях масштабы устанавливаются непосредственно из соотношений между управляющими параметрами без привлечения результатов линейного анализа. Специфические отношения между параметрами системы, выражающиеся как асимптотически малые величины в математической формулировке задачи, основообразуют динамику, которая характеризуется соответствующим различием пространственных и временных масштабов. (Примером подобного рода динамики является формирование и эволюция так называемых контрастных структур [7].)

С другой стороны, появление контрастных структур или таких особенностей, как слабая искривленность волнового фронта и т. п., могут быть обусловлены не только наличием малых параметров, характеризующих заданную извне конфигурацию системы, но и ее внутренней динамикой.

В любом случае, наличие таких особенностей основного не�