Построение и исследование дифференциальных систем с законом площадей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Список обозначений

Введение

ГЛАВА I. Дифференциальные системы с законом площадей.

§ I. Секторная скорость вдоль траектории

§ 2. Уравнения с решениями, обладающими нулевой секторной скоростью вдоль траекторий

§ 3. Закон площадей и его критерий

ГЛАВА II. Построение систем с законом площадей

§ I. Преобразование систем

§ 2. Полиномиальные и рациональные стационарные системы с вырожденным законом площадей

§ 3. Полиномиальные и рациональные стационарные системы с невырожденным законом площадей

§ 4. Классы нестационарных систем с законом площадей

Общенаучное значение дифференциальных уравнений связано с тем, что такие уравнения являются основным аппаратом математического моделирования естественных, общественных и технических процессов (см., например, Тихонов, Васильева, Свешников ¡^1, с.13-23, с. 108-110, с. 226-230 3 ). Одной из фундаментальных задач всей математики является всестороннее комплексное и систематическое изучение дифференциальных уравнений во всей их общности и конкретности (см. Еругин [3, с. 369-3811 , [4, с. 191-2251 , Еругин, Штокало и др. [I, с. 393-425).

Дифференциальные уравнения принадлежат к уравнениям инфини-тезимального типа (см. Богданов [з! ). Характерной чертой таких уравнений является связь значений искомой функции в отдельных точках со свойствами функций в бесконечно малых окрестностях этих точек. Каждое уравнение задает семейство функций. Общая задача теории дифференциальных уравнений состоит в изучении семейств решений в целом. Решение этой задачи связано, как правило, с преодолением принципиальных трудностей, вызванных резким отличием аналитического типа решения от аналитической формы уравнения. При исследовании уравнений используются асимптотические и качественные методы, созданные Ляпуновым и Пуанкаре и интенсивно развиваемые в настоящее время ( см. Еругин [2 , с. 89-987 » С3» 453485 ).

Отсутствие единой методики детального изучения дифференциальных уравнений различных типов выдвигает на первый план проблему исследования тех типов уравнений, которые имеют особенно важное прикладное (в широком смысле слова) значение. Одним из примеров успешного развития теории уравнений в указанном направлении служит построение теории изохронных колебательных систем, определившее в идейном отношении и тематику настоящей диссертации. х х х

Отправным моментом в истории проблемы изохронности являются исследования круговых маятников, проведенные еще Галилеем. Эти исследования были продолжены Гюйгенсом и привели его к изобретению циклоидальных маятниковых часов. После Гюйгенса задачей об обеспечении изохронности в колебательных устройствах занимались, например, такие ученые, как И.Бернулли, Д.Бернулли, Эйлер, Даламбер, Лагранж, Абель, Бертран, Дарбу. Особое значение эта задача приобрела в последнее время, в частности, в связи с созданием стационарных искусственных спутников Земли.

Непосредственными предшественниками современных работ по изохронным системам являются исследования Куклеса и Пискунова » [2] по изохронности нелинейных колебаний. Эти исследования нашли продолжение в работах Назарова [II , Абдуллаева [1-2] , Куклеса [1-2! , Чемоданова [1-41 , Чемоданова и Яковлевой [1] .

Важнейшее значение для развития теории изохронных систем имело привлечение методов Ляпунова и Пуанкаре, разработанных в связи с проблемой различения особой точки типа центр (см. Сахарников [1~] , Плисс [I, с. 9-231 , Сибирский [2, с. 131158] , [з, с. 126-136] , Андреев [I, с.107] , Амелькин, Лукашевич, Садовский [I, с. 75-1151 )•

Синтетическая алгеброико-аналитическая методика исследования полиномиальных систем дифференциальных уравнений, развитая в Кишиневском центре по исследованию дифференциальных уравнений под руководством К.С.Сибирского, позволила произвести комплексное исследование не только изохронных алгебраических дифференциальных систем, в том числе и систем степени выше второй (см. Лункевич, Сибирский [1-41 ; Плешкан [1-4"] ; Плешкан, Сибирский [1-в] , но и систем с разрывными правыми частями (см. Лункевич [1-4] ; Плешкан, Сибирский [41 ; Лункевич, Плешкан, Сибирский [ I] ; Плешкан [ 5-б1 ).

Под руководством Н.П.Еругина ведется работа по исследованию различных проблем изохронности в связи с общей теорией колебательных систем. Замеченная зависимость поведения периода циклов от геометрических свойств области центра (Сахарников [ 2~] ) позволила вывести основные свойства периода как функции начальных данных решения (Богданов [21 ; см. также Опяль [II ; Урабе С^-з! » ^ауд )• Для аналитических систем были построены условия изохронности и проведено качественное исследование изохронных систем (Воробьев [ 1-5~] ; Лукашевич [ II , Амелькин, Лукашевич [1-21 ; Амелькин [1-2] ; Пыжкова [ 1-41 ; Пыжкова, Садовский [1] ; Руденок [1~] ; Аль-Хайдер £1-3] ; Амелькин, Аль-Хайдер [1! ; Амелькин, Лукашевич, Садовский [II ; Левин, Шатц [II).

Упомянутые здесь работы по изохронным системам инспирировали исследования сначала эквихронных дифференциальных систем (Черепкова [ 1-41 ), затем - систем с законом площадей, который и рассматривается в настоящей работе. х х х

Подобно тому, как исходной для проблемы изохронности послужила задача о колебании математического маятника , отправной для изучения систем с законом площадей является задача о свойствах движения материальной точки И = С*^) под действием центральной гравитационной силы. Указанное движение описывается дифференциальной системой

Ы^У Vх

У* v*, '

-ГУ

I) где у некоторая постоянная. Система (I) обладает первым интегралом

X ¿X - у &т с1т С

II) т.е. для этой системы справедлив закон площадей, равносильный второму закону Кеплера (см., например, Аппель [I, с. 271, 327, 335, 351 ] ). Наличие первого интеграла (II) существенно упрощает исследование системы (I).

Система I с помощью введения вспомогательных искомых функций X , *2. = v , у1 = с1х сСг ос у о1т приводится к системе в нормальной форме с1х1

Ы г с£ у1 v с1 Уд, сстт V

- У,

- 1Г*1 X * + ) 3/2 >

1\Ъ/1 1 обладающей интегралом

- Х2У, - С.

Естественное обобщение описанной ситуации приводит к задаче исследования систем вида

С ¿х* сСг ^к (Хь . , X*. У»,) , гъ, у; , , (У) = ^ с*«,., у«,. ,у»,) , . обладающих интегралом, аналогичным интегралу площадей (1У). Поставленная задача распадается на две части:

1) описание систем (У) с законом площадей и исследование таких систем;

2) построение систем с законом площадей для заданных классов функций и ^ . х х х

Первая глава диссертации посвящена выявлению общих свойств систем с законом площадей.

Основным объектом исследования является векторное дифференциальное уравнение I г ^

•у— = п- с г, г; , сСг ' (У1) заданное в области %То + и обладающее свойством однозначной разрешимости в этой области. Обычным образом вводится понятие фазового графика решения 2. = ст), Те Ь в Сп + ш-м)- мерном пространстве. Далее, в соответствии с рассмотренной выше ситуацией (I) и (III), в пространстве

-г-» n-tm + 1 lit выделяются основные координаты х, , в задаче о движении точки М под действием центральной силы им соответствуют координаты точки М ) и вспомогательные координаты у, } yif (ii j у^ (соответствующие компоненты с1+/d-T и d у/etc скорости движения М ). Векторное дифференциальное уравнение (У1) равносильно системе двух векторных уравнении id; rtr = С*,у) = I, СУП) а также системе скалярных уравнений (У). Проекцию фазового графика уравнения (У1) на подпространство = О, } называем движением, а на подпространство /ЯЛ - {*} - траекторией уравнения (У1).

Вдоль траектории определяется угловая скорость р движения г - £ (т) ~ ( ос (-с) , ус?) ) , описываемого уравнением (У1) (см. с. 29 ). Получены формулы для вычисления угловой скорости. В частности, при ос сд Ф имеем = Цпхтн*- £(2Ст),т) - (хст), £с2ст),г)) хсг)Ц^

Ц эсСг)П3 или cr) (И^С^тЗ/^-НХСг)!^- (осCr),

А,

I occz)((b

Угловая скорость связана с углом по развертке траектории (см. с. 37 ).

Секторная скорость иУСт) на траектории -осС') фазового графика в момент Т определена, исходя из обычной геометрической схемы, как производная от площади криволинейного сектора по времени. Секторная скорость может быть вычислена по формуле ^ иг(г) = ци$асг),г.««<*)«*-<=сс*>, ^сгсг>.т)>*)^

Считаем, что при прохождении осСг-) через О^ секторная скорость и/~(т) представляет собой многозначную функцию и/" , € [о, + оо] ).

Если траектория ос(•) лежит на прямой, проходящей через начало О^ , то секторная скорость и/'Сг) равна нулю при всех значениях т , для которых ос Ст) 4= От. . Обратное утверждение неверно: построены примеры ( точнее - в геометрических терминах изложена идея построения примеров), когда игсъ) = о при всех значениях Т , осСс) Ф , но траектория эсСО не лежит на одной прямой.

Доказано, что для обращения секторной скорости в нуль вдоль траектории ос СО необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая траектория лежала на не более, чем счетном множестве лучей из с общей вершиной , т.е. на связке лучей. Если же функция ^ ограничена в некоторой окрестности точки Оп+ш и выполнено условие ыГСг) = ъСГ0 вдоль траектории ос О) , то эта траектория лежит на связке лучей.

Если секторная скорость вдоль любой траектории ос С' , 6 2хТ 7 УР^нения (У1) сохраняет постоянное значение ¿¿^ , то будем говорить, что уравнение (У1) обладает законом площадей относительно основных координат). В частности, если и^ =• хлГ^ (не зависит от £ ), то скажем, что уравнение (У1) обладает вырожденным законом площадей. Если же секторная скорость принимает различные (но постоянные) значения вдоль различных траекторий, то закон площадей называем невырожденным.

Показано, что при ограниченной функции ф система (У1) является системой с вырожденным законом площадей и нулевой секторной скоростью тогда и только тогда, когда ^ представима в виде г/г) г) е ИТ, где у скалярная функция.

Выведена формула для вычисления секторной скорости иО~Ст) вдоль траектории ос (•) в момент времени Т : иГ(г) = гС^Сгсг),^)^, где

Доказан ряд критериев закона площадей с использованием функции Р :

1) при дифференцируемой функции ф наличие вырожденного закона площадей у системы (УН) равносильно выполнению тождества

Г и \/сг,г) е ZT ;

2) уравнение (У1) обладает невырожденным законом площадей в том и только том случае, если функция Р* является интегралом этого уравнения;

3) при функции Р1 , отличной от тождественной постоянной на 2>Т , критерием наличия у системы (УН) с дифференцируемой функцией £ невырожденного закона площадей служит выполнение соотношения: при ЛЮбЫХ (2(г)£ 2Т

Если система (УН) стационарна, т.е. ^ - /о,у), сбг Г

УШ) и составляющие векторной функции ^ - полиномы от хк , у . , 7 то необходимым условием наличия у этой системы невырожденного закона площадей является существование стационарного полиномиального интеграла.

Наряду с системой (УШ) рассматривается система = I . = да)

Г ' УС*) - скалярная, дифференцируемая и положительная функция). Для (IX) показано, что наличие невырожденного закона площадей равносильно существованию интеграла ¡2 (2.) такого, что р(г) ^Щи , г. 1 ^ ; Р - аналог функции р для уравнения (IX)). Идея рассуждений, приводящих к последнему утверждению , принадлежит рецензенту первоначального варианта статьи Богдановой и Наумовича [II .

Теория систем с законом площадей тесно связана с теорией алгебраических интегралов (см. Сибирский ["1-з"] )•

Вторая глава диссертации посвящена построению дифференциальных систем, обладающих законом площадей, и исследованию некоторых простых случаев преобразований временной переменной Т и пространственных координат г уравнения (У1).

Рассматривается сужение уравнения (У1) на область = к(г,т) , (» такое, что все решения (X) продолжимы до гиперплоскости т = <г . Решение уравнения (X) с начальным значением ТСС6") = ^ обозначено 2 С* > • Из соотношения 1. - однозначно определяется нормированный базис интегралов из (г,т) - $ уравнения (X).

С помощью непрерывной положительной скалярной функции У С2 Г) в уравнении (X) можно произвести замену аргумента Т на аргумент Т по формуле т - , (г,т) е гТ*" т.е. Г — Г Л л

Г = Г(г,зО ;; = -—-- + (Г .

Для функции г = у(г, существует обратная функция

Т - , $ е о- , ^ е ¿с*).

Соотношение же

2. = 2 ( ус г е -ь о) определяет функцию

XI) $ - со С г) , (£}т) а z,r* такую, что зьс^ст, и>ст-,т)) = л- ч

- г)) = $ , С г, г,) гг*

Преобразование (XI) переводит уравнение (X) в уравнение такого же типа - , 6 гт*с я"*"*' (хп) с/т 9 причем функции I и I связаны соотношением

Показано, что уравнение (XII) обладает невырожденным законом площадей в том и только том случае, если функция и,?) 6 ИТ* является интегралом этого уравнения.

Далее рассмотрено преобразование пространственных координат 2. = (х^)^ уравнении (У1) по формулам

X = Э£ с* ; (XIII) у = У случае, когда это преобразование является диффеоморфизмом. Показано, что преобразование вида (XIII) переводит уравнение (У1) в в уравнение такого же вида и получены условия, при которых преобразованное уравнение будет обладать невырожденным законом площадей.

Далее, с помощью теории изложенной в первой главе диссертации, производится построение систем, обладающих законом площадей, с полиномиальными и рациональными правыми частями.

В частности, выделены следующие виды систем с вырожденным законом площадей: уп п к = 2 0>кС*С + 21 + ? /С - У, 2, ,., э ^ } о

2 1 . х/х^1 ,

1^0 ¿=о о

1 С ^ т ;

•V т. ги ууь п , | = 2 2 < » ¿ = 0 ¿=0 п. т Р I к = К/х/У, , л о к=о * ^ 4 4,4 р. ; < — о о'го * е ¿е3; t

1 2 2-1. , п. ^ .

1 х ¿ = о ¿—о J =о г 2-6

X,2

4 с. ¿"I

2. ^о д-0 0 : О Л = т т-с

-+ ЕИ ¿ы Х1 > X,1 + хО т т-о п. с-о , -о О 1*0 4=0

ХЦ * * . с ^

СХ1 1

Всюду <хс • » ^ . оС^ , - числовые постоянные.

Кроме того, выявлены системы с невырожденным законом площадей следующего вида а, + + , х/ = : сц ^ у/ < = с, X,

X,

Х^н-Ха.

-О г 2.-6 л •

Г X к * ** '>

4« = о ¿-о 2 г-6 У

-о ¿«о

Х2

2 2-<

-о ^О

Г а г-«. • ; х/ = 2 X л?- х/х/ ,

-О J — о 2. 2-й

Хг' - Е Е Ц X/ х1. 0

В заключение рассмотрены два класса нестационарных систем: х/= а, х, + <га х., + £ (г) , С е х/ = £ х1 + х2 + $ (?) , г е и^, -4Г, где , - числовые параметры, ^ , ^ - дифференцируемые на И , "¿а. С функции, х/ = сц сгЗ х1 + (т) ) ( хь х^) б /Л2, где СГ) > О-д, 00 , ^ (г) , - дифференцируемые на функции.

Для этих классов выделены системы обладающие законом площадей. х х x

На защиту выносятся следующие результаты: I. Эффективный способ вычисления угловой и секторной скорости вдоль траекторий любого движения, определяемого дифференциальным уравнением общего вида в конечномерном пространстве.

2. Критерий наличия у дифференциального уравнения закона площадей, означающего постоянство секторной скорости вдоль траекторий любых решений данного уравнения.

3. Конкретизация результатов, относящихся к произвольным уравнениям с законом площадей, на случай уравнений с вырожденным законом площадей, в частности, для уравнений с нулевой секторной скоростью.

4. Построение классов систем дифференциальных уравнений с полиномиальными и рациональными правыми частями, обладающих вырожденным законом площадей.

5. Построение классов систем дифференциальных уравнений с полиномиальными и рациональными правыми частями, обладающих невырожденным законом площадей.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на третьем республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям (Одесса, 1982 г.), на конференциях Белорусского государственного университета им. В.И.Ленина, на Минском городском семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям, на семинаре кафедры дифференциальных уравнений ЕГУ им. В.И.Ленина

Основные результаты диссертации опубликованы в работах Богданова, Наумович [ 1~] , Наумович [ 1-5 Ц .

Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность и глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Ю.С.Богданову за постоянную поддержку и внимание при выполнении этой работы.