Решение граничных задач для одного класса интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с авторегулированием в пределах интегрирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Г л а в а I

§ I. Решение интегральной граничной задачи типа Гурса для нелинейного и.-д.у. в частных производных со старшей производной смешанного типа и авторегулируемыми пределами интегрирования

§ 2. Решение интегро-дифференциальной граничной задачи типа Гурса для нелинейного и.-д.у. со старшей произ -водной смешанного типа и авторегулируемыми пределаш интегрирования

§ 3. Решение задачи Гурса для одного класса нелинейных и.-д.у. в частных производных со старшей производной смешанного типа

§ 4. Решение интегро-дифференциальной граничной задачи типа Гурса для нелинейного и.-д.у. в пределах интегрирования которого содержатся производные искомой функции

Г л а в а П

§ I. Приближенные решения интегральной задачи типа Гурса для нелинейного и.-д.у. в частных производных с авторегулируемыми цределами интегрирования

§ 2. Приближенное решение интегро-дифференциальной задачи типа Гурса для нелинейного и.-д.у. гиперболического типа

Многие задачи современной физики, механики, биологии и других наук 2; 8; 9; 10; II; 34; 43; 46; 5о] описываются интегро-дифференциальными уравнениями (и.-д.у.) в обыкновенных и частных производных с дополнительными начальными или граничными условиями точное решение которых либо невозможно выразить в замкнутом виде современными методами, либо эти решения выражаются в громоздком виде. По этой причине, установив условия существования и единственность решения рассматриваемых уравнений при заданных дополнительных условиях, прибегают к приближенным и численным методам решения таких проблем.

В настоящей диссертации изучаются некоторые воцросы корректности решений, строятся приближенные решения с изучением сходимости приближений и оценкой допускаемых погрешностей, дифференциальных граничных задач для нелинейных и.-д.у. в частных производных со старшей производной смешанного типа второго порядка и авторегулированием в пределах интегрирования.

В технических устройствах встречаются динамические системы, содержащие звенья с запаздыванием по времени. Так возбуждению колебаний в линейных системах с постоянным и переменным запаздыванием посвящены работы [ 2; 5; 36; 42/. В большинстве этих исследований запаздывание считается "чистым", т.е. не зависящим ни от мощности сигнала в обратных связях, ни от режима работы системы автоматического регулирования (авторегулирования). Такая идеализация дает возможность в более цростой форме исследовать процессы, происходящие в системе. Между тем, запаздывание, как правило, зависит от мощности сигналов в каналах обратных связей и его нужно считать не только функцией времени, но и функцией регулируемой координаты и её цроизводных. Такое запаздывание обычно называется неавтономным авторегулируемым запаздыванием. Если запаздывание зависит от времени и от регулируемой координаты или её производных, то оно называется авторегулируемым.

Автоколебательные режимы в системах с одной степенью свободы, колебания системы с авторегулируемым запаздыванием с нелинейным колебательным контуром, задачи терминального управления в системах с последействием, динамика подъемных канатов и другие процессы приводят к дифференциальным и интегро-дифференциальным уравнениям с авторегулированием.

Среди работ по колебаниям систем с авторегулированием можно указать работы Л.Т.Ащепкова [i; 2 J , О.А.Горошко и Г.Н.Савина II; 43 J , М.Ф.Глушко и А.А.Чижа [9; 50J , Д.Г.Кореневского 15; 16; 17] , Ю.А.Митропольского [5; 34; 39; 4l] , К.Ф.Теодор-чика [46J и других, где изучаются качественные вопросы поведения решений таких задач и уравнений.

В монографии К.Ф.Теодорчика "Автоколебательные системы", показанно, что уравнение лампового генератора с колебательным контуром в цепи анода (рис.1) описывается решением дифференциального уравнения с авторегулированием где Д = - авторегулирование.

В монографии О.А.Горошко и Г.Н.Савина ll] приводится й.-д.у. в частных производных гиперболического типа с авторегулированием в пределах интегрирования, которыми описывается механика деформации одномерных тел переменной длины.

I. Если изменение длины каната осуществляется путем передвижения опоры, то будем иметь и.-д.у. движения каната переменной

Рис. 1.

ДЛИНЫ tti) о о где о

11(0,^*0, и (х, о) Ч>(Х),

Е - модуль упругости каната, р - площадь поперечного сечения, - единица длины каната.

2. Если длина каната меняется путем навивки её на цилиндр (рис.2), а колебание осуществляется на плоскости, то и.-д.у. движения каната в этом случае имеет вид ещ рис. г. где 9 I s(e-x)/£f, S*X

КЫM t Xtf-Sj/ff, S>X ;

В работах Л.Т.Ащепкова [l; 2J рассматривается обыкновенное и.-д.у. с авторегулированием в пределах интегрирования uwjcls, с начальным условием X(±)-%0(l) » при ± L

6[ZW> Wftjj} и изучаются вопросы существования и единственности решения этой задачи; такое уравнение встречается в задаче терминального управления в системах с последействием.

В работах Д.Г.Кореневского £l5; 16; T?J рассматриваются локальные проблемы существования и единственности классических решений и принципы усреднения задачи Коши-Гурса для нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений с авторегулируемым запаздыванием где z s Ху uU> х), ul(i, х), ц'хС-Ь, %)).

В работах М.Ф.Глушко и А.А.Чижа [9 J , А.А.Чижа £50J приводятся и.-д.у. колебаний шахтного каната переменной длины при линейных и угловых перемещениях сечения каната.

В работах А. А Лижа [ 5о] , Г.Н.Савина и Я. Ф. Каюка [ 4з] , О.А.Горошко и Г.Н.Савина [il] и других авторов приводятся и.-д.у. в частных производных гиперболического типа с авторегулированием в пределах интегрирования, строятся приближенные решения этих уравнений с помощью асимптотических методов, пренебрегая в выражении nv-jyTcCva+u^dT слагаемым ц'х - малым по сравнению с единицей, и использованием закона изменения длины каната в виде

Ш) ^J[Tc(z)d€ о где верхний предел интегрирования.

В данной работе рассматриваются нелинейные и.-д.у. в частных производных гиперболического типа с авторегулированием в пределах интегрирования с условиями типа Гурса, обобщающего интегро-дифференциальную систему динамики бифилярного подъема [9; 10; II5 50J , а также некоторые задачи механики деформируемых одномерных тел переменной длины [43; 44J .

Настоящая диссертация состоит из введения и двух глав основного текста. Во всех задачах данной работы рассматриваются и.-д.у. с дифференциальным оператором гиперболического типа и

§3. Заключение

Из изложенного материала в § I и § 2, гл. 2, следзует, что метод невязок к итерациям проще применять к таким задачам и и.-д.у. разрешающие системы которых имеют простой вид вычислений. Разрешающие уравнения для задач (2.I.I), (2.1.2) и (2.2.1), (2.2.2) имеют вид

U (X,i)=Y[г, //V3 ft ds Щ * ф,ЦЧ ft), u(b Щ

Ъо а0

Itfh i, н kh ufo b), J N, (s, ь в, и (в, Ц ti ufo qjfa

Q„&> Qo i^t (*> t; Ъ UWy ^(WjdtfJt^ s (3.1 Л )

U(X^) = Yfrjfabb ъ0 a„

Xi dsdtiJ-Pi*/f Irfs^jcf^s s AM, (3.1.2) go

Шл) а>], s, ml KM, 0

MijAW)

A'McLi, U(x3i,k>№, №. (3.1.3) o

Как показано в § I и § 2 гл. 2 метод невязок можно комбинировать с методом простых итераций Пикара. В частности в методе аддитивных невязок к итерациям в пределах интегрирования можно брать в (3.I.I) и (3.1.3) пикаровские итерации функций

М^АШ) fi(tjWi.]); соответственно, а в остальном - пикаровские итерации с аддитивными невязками.

Скорость сходимости вышеупомянутых аппроксимативных процессов зависит, как от свойств заданных операторов, так и от выбора первоначального приближения: чем ближе первоначальное приближение к точному решению рассматриваемого уравнения, тем быстрее будет сходимость построенных итераций. Методы невязок есть смысл применять, тогда когда построенные вспомогательные уравнения имеют монотонные операторы. В этом случае добавка к пикаровской итерации выбирается так, чтобы она ускоряла сходимость аппроксимаций.

Из изложенного также видно, что оба процесса проще реализуются, когда граничные условия и и.-д.у. линейны относительно искомых функций.

Если построенные уравнения, отвечающие поставленным задачам, содержат линейные и нелинейные части, то для упрощения вычислений невязки можно вводить лишь в линейные части этих уравнений.

Во всех рассмотренных в настоящей работе задачах изучены условия применимости построенных аппроксимаций и непрерывная зависимость решений от заданных функций, приведены условия, обеспечивающие сходимость итераций к решениям поставленных задач, даны оценки допускаемых погрешностей решений этих задач и уравнений и указано число итераций, обеспечивающих заданную точность аппроксимаций; теоретические выкладки проиллюстрированы решением конкретного и.-д.у. при заданных граничных условиях.

Из построенных методов решения граничных задач для рассмотрен» ных и.-д.у. следует, что эти методы, применимы для построения приближенных решений обычной задачи Гурса для дифференциальных уравнений в частных производных со старшей производной второго порядка смешанного типа.

Если невязки тоздественно равны нулю то метод § I приводится к методу Пикара построения приближенных решений поставленных задач и уравнений.

§4. Пример

Рассмотрим и.-д.у. в частных производных гиперболического типа с авторегулированием в пределе интегрирования i xfiufaycLb о ti'Xi (Xjtj = 1- x¥+ujxi%(s,l)ds цри условии

1\{х,oj * ul<vt) = U(o,о) =0,

4.1.1)

4.1.2) функции о бМА)* 1-xV+lsfxSu'Js^jds, Ntix^s,^)i О определены в областях

Задачу (4.I.I), (4.1.2) решить приближенно. Из (4.1.I), (4.1.2) будем иметь i х i .о

U(x,i)=[f[l-s¥+U Wu'fatfclBjcltds^HM. (4.1.3) ос о i 4

Уравнение (4.1.3) имеет единственное решение

U(x,-t)eC' ft), так как, И - сжимающий оператор с коэффициентом сжатия I. Метод дополнительных операторов.

Приближенное решение уравнения (4.1.3) ищем в виде ifiiiiiWdz

Xi о

Ui+i(xA) f[l-SSjf+18}Stl{ + X 2/ft$)]'o/bJoI^ d.S) (4.1.4) 0 0 0 7 где

Л(х} Ui) к Л (x> й£) > Uiti (= Hfci+k Zi].

Пусть 1*0, Aa-i ; тогда из (4.1.4) имеем и,(хА) = H[ue-j lo] = H[j ню]]} где

Н[0] - f/( 1-sYj dt Js--Xi-^fо О

Поэтому 1 х * Sfrszdv и, (V)=H[f - ф-Jfa-sY+m Ш о о о

О о

51 xi зе 56ts>es) или ил*,*)* ' (4Л-5)

При L~ipUt(Xyk)*Xh ИЗ (4.1.4) получим

Ut(x,i) = HfUi-^zJ» H[j ui+jH[4i]], где i sjzsrdt о о 0

Xi S* dt js^ffi-sr+mVr- &IB% * m*

О о v 0 0

Тогда oci Sftstetr

00 - o«

SV iW \1J J , x,6is или

UJx,i) « xi - -—r—^ • (4.1.6)

Пусть

Тогда, skstdt п t Xi им I bedej^ds-j[(l-sY+im*qO О 0 0

52 X i f Iх) d lids =ff(i-sY+sY)o/t^=xi. о О

Итак, функция U(x^i) - OC-L является точным решением задачи (4.1.I), (4.1.2) в области t> о> i] х[0S i]x /7 [о ±/е£и г£] fa* г г2 = г^ о, 5).

2. Метод Ричардсона первого порядка. Приближенное решение уравнения (4.1.3) ищем в виде li(*,i) , (с* О, U,. J; (4.1.7) вдесь li(x,iUi(xJi)^H[Ui]f Л* сопи.

Пусть Ue(Xji)zOj A--J- • Тогда при 1=0, из (4.1.7) имеем utCx}i)~-i(- И[о]) * j HfoJ-j ff(t-sty dsо 0

- i/xl -■*'**) г 1 is ' ~ г

Итак, iljfoc^i) ^jXi- * J- . (4.1.8)

При L= I, &l(x,i)=xt, ИЗ (4.1.7) и (4.1.3) получим иг (x}-t) = U1(x,i) = j U, (X,i) H[U1])

H[Uil=f/fls\*+lЩJ <1 Wt (в, tfdejdt ds-jjfl~

О о о 0 0 i fftStcCt

-sY+mtJi(f-JS-x* **

36 о

Тогда иг (X,i) = f (4 W +H[Ut]) = £ (j p3

Xй-if). * xl. x'6-is т.е. з хЧ* х.'6-** i Tit з

4.1.9)

При L = 2, Ut(Xjt)=Xi . из (4.1.7) и (4.X.3) имеем

UJxj) = иг(Х}±) tMJoc^) ЦОД НСUi]j sfzstcft

Я/и j *H[ i ** - Ф - lhi-Ъ+тШ y эо о о о

JJI v 3*-92J г 3tjfff5 йтак,

3 г' * з* з'-г'-з-г и зык

ИЛИ

U3{X,tJ XI- ------

4.1.10) продолжая этот цроцесс, так и далее, получим последовательность функций

Uo(*ji), "J*,*); UjVj*), . (4.1.II) и убеждаемся, что последовательность (4.1. II) при ■-г» во сходится к функции Ц(Х;-Ь) s , так как, u.j^i) jrg

Замечание

Если используем метод последовательных приближений Пикара для и.-д.у. (4.1.3), т.е. i sjlllittVcLz i fo fi-Л*d9]dids^H[4i]J о о гт /лл itп f** i\ л А о имеем то тогда, при UilXji);, L-0, i* i/l

Uf(X;i) ~ H[u0] = H[o] = f f(±-s\2) d*i ds = о 0 1

Sjrstolt x { i

Ujxj) = H[Ui] = /Jfl -s\*+isjstг (в - dejcbi is=

0 0 о

I sf+18 J- ~)j ds = W

0 0 О J ' 1 sfestoLl

UM *ff[i-Sst\lllfao - ^dejdtds*

Sx3eif

-г *W

1. Об оптимальности особых управлений в системах с запаздыванием. Сибирский мат.журнал, 1973, 14, В 6, стр. 1180 - 1189.

2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-М. : Физматгиз, 1958, 404 с.

3. БЕРЕЗИН И.С., ВДЦКОВ Н.П. Методы вычислений, т. 2. М. :1. Физматгиз, I960, 620 с.

4. БОГОЛЮБОВ Н.Н., МИТРОПОЛЬСКИЙ Ю.А. Асимптотические методы втеории нелинейных колебаний. Изд. 4-е испр. и доп. М. : Наука, 1974, 504 с.

5. ВЛАДИМИРОВ B.C. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1981, 512 с.

6. ГАБАСОВ Р. Об оптимальности особых управлений. ДУ, 4,6, 1968, стр. 1000 I0II.

7. ГАБАСОВ Р., КИРИЛЛОВА Ф.М. Качественная теория оптимальныхпроцессов. М. : Наука, 1971, 501 с.

8. ГЛУШКО М.Ф., ЧИЖ А.А. О дифференциальных уравнениях движения шахтного подъемного каната. Прикладная механика, т. 12, I960, стр. 17 - 24.

9. Г0Р0ШК0 О.А., ЗЕМЛЯНАЯ Л.Н., ИЛЬИН Р.Ф. Интегро-дифференциальные уравнения динамики бифилярного1. АЩЕПКОВ Л. Т.2. АЩЕПКОВ Л. Т.3. БАНАХ С.С.подъема. Стальные канаты, в. 9, 1972 , стр. 295 - 299.

10. Г0Р0ШК0 О.А., САВИН Г.Н. Введение в механику деформируемыходномерных тел переменной длины. К. : Наук, думка, 1971, 224 с.

11. КАНТОРОВИЧ Л.В., АКИЛОВ Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М. : Физматгиз, 1959, 684 с.

12. КОЛЛАТЦ Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М. : Мир, 1969, 448 с.

13. КОЛМОГОРОВ А.Н., ФОМИН С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1981, 544 с.

14. КОРЕНЕВСКИЙ Д.Г. Автоколебательные режимы в системах с однойстепенью свободы. Прикладная механика, т. 2, № 12, 1966, стр. 119 - 121.

15. КОРЕНЕВСКИЙ Д.Г., ФЕЩЕНКО С.Ф. Теорема существования и единственности задачи Коши для гиперболического уравнения с авторегулируемым запаздыванием.- ДУ, т. 3, № 8, 1967, стр. 1299 1302.

16. КОРЕНЕВСКИЙ Д.Г. О принципе усреднения для гиперболическихуравнений второго порядка с функционально-возмущенным аргументом. УМЖ, т. 23, № 2, 1971, стр. 147 - 156.

17. КРИВОШЕИН Л.Е. Приближенные методы решения обыкновенныхлинейных интегро-дифференциальных уравнений. -АН Кирг. ССР, Фрунзе, 1962, 184 с.

18. КУТАНОВ А., КРИВОШЕИН Л.Е. Об одном методе приближенногорешения интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с отклоняющимися аргументами. Труды КирГУ, серия математ.наук, 1973, вып. 8, стр. 82 - 86.

19. KUionoiTA.,KZLWMnL.E.jLwrigKMjOqumzeeiM.H.jSaeandibpzoitems а'Са JwnUeze роиг te?icunes cfasses d!equations Lnietjwditfezenilelies поп faeaLies cLe Manqeuw.- BuM.JnsUi. potu. jasL (t^.S^19Ц, 20, 1-2, s.1, 111-115.

20. КУТАНОВ А. Об одном методе решения интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с запаздывающими аргументами. Труды молодых ученых, вып. 2, Фрунзе, 1974, стр. 45 - 50.

21. КУТАНОВ А. Приближенное решение одного класса интегродифференциальных уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. Труды КирГУ, серия математ. наук, вып. 9, стр. 69 - 75.

22. KuianovAktivoskein L£, Leung ИХ, QquuoieeiM.N.

23. Sysiemes difjeientutis possedm ta Miuauie COMptexe. PioiUmes a*Pa ^гопаш aux conditions initiates jonctione&ts роиг une ciasst of equations inltfjZDdLjjeientitMes de M motion am Initiates d'UiysohM.- 3uee.Soc.Maik. de Befyiyue,1. W5, 2Ь p. 151-1S5.

24. КУТАНОВ А. Приближенное решение интегральной задачи Гурсадля нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами. Труды КирГУ, серия математ. наук, вып. 12, 1976, стр. 40 - 44.

25. КУТАНОВ А. Решение интегро-дифференциальных уравнений вчастных цроизводных с авторегулированием.-Труды КирГУ, серия математ. наук, вып. 12, 1976, стр. 44 49.

26. КУТАНОВ А., КРИВОШЕИЙ Л.Е., МАНЖЕРОН Д.И., ОГЮЗТОРЕЛИ М.Н.

27. Исследование нелинейных интегро-дифференциаль-ных систем с авторегулированием в пределах интегрирования, обобщающих математические модели динамики бифилярного подъема. УМ, т. 29, № 3, 1977, стр. 392 - 397.

28. КУТАНОВ А. Приближенное решение одного класса интегро-дифференциальных уравнений в частных производных нейтрального типа. Интегро-дифференциальные уравнения и их приложения, вып. I, 1978,стр. 48 - 50.

29. KuianoirАKllvoskein LI.,Нщмпь,Ъ'АтШю ii.

30. Su una ciasst cLl ccjuaiLotLi LHttjjzo-iLf{eie.n2LcL& a\renii pez timiii dinieqiaiiM

31. CJJiotoniioltL tempozolBl t tccaii. -рибйЫе en Си Rwisid de & Rea£ Acadmia de hernias Exatitis, FlsU&s у Alatuzaies, de №diid,mu.tixm>d.4, P.521-529.

32. КУТАНОВ А. Решение граничной задачи для одного классанелинейных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа. Интегро-диф-ференциальные уравнения и их приложения, Фрунзе, вып. 2, 1979, стр. 84 - 87.

33. КУТАНОВ А. Решение нелинейного интегро-диффзренциального уравнения гиперболического типа. -Качественные и приближенные методы теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Сб.научных трудов, Фрунзе, 1983, стр. 42 47.

34. ЛЮСТЕРНИК Л.А., СОБОЛЕВ В.И. Элементы функционального анализа. М. : Наука, 1965, 360 с.

35. МАРЧУК Г.И. Методы вычислительной математики. М. :1. Наука, 1977, 456 с.

36. МИТРОПОЛЬСКИЙ Ю.А., ЛЫКОВА О.Б. Интегральные многообразияв нелинейной механике.- М.:Наука,1973,512 с.35. МИХЛИН С.Г.36. МЫШКИС А.Д.

37. Курс математической физики. М. : Наука, -1968, 576 с.

38. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М. : Наука, 1972, 352 с.37. НАЙМАРК М.А.38. НАИФЭ А.39.

39. Линейные дифференциальные операторы. М. : Мир, 1977, 526 с.

40. Методы возмущений. М. : Мир, 1976, 456 с.

41. Нелинейные краевые задачи математической физики (отв.ред.Митропольский Ю.А.), Изд. Ин-та математики АН УССР, К.; 1973, 245 с.

42. ПОНТРЯГИН Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

43. М. : Физматгиз, 1961, 332 с.

44. Приближенные и качественные методы теориидифференциальных и интегральных уравнений (отв.ред. Митропольский Ю.А.). Изд.Инст. математ. АН УССР, 1971, 307 с.

45. РУЕАНИК В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М. : Наука, 1969, 288 с.

46. САВИН Г.Н., КАЮК Я.Ф. Дифференциальные уравнения динамикинити переменной длины в случае физической и геометрической нелинейности. Механика деформируемых тел (Избранные труды Г.Н.Савина. - Киев, Наук, думка, 1979), стр. 432 - 440.

47. Стальные канаты (отв.ред. Глущко М.Ф.).

48. Киев, Техника, 1965, 462 с.

49. СТОКЕР ДЖ. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М. : ИЛ, 1952, 256 с.

50. ТЕОДОРЧИК К.Ф.Автоколебательные системы. М. : Гостехиздат,1952, 272 с.

51. ТИХОНОВ А.Н., САМАРСКИЙ А.А. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1977, 724 с.

52. ТРИКОМИ Ф. Интегральные уравнения. М. : ИЛ, I960, 300 с.

53. ЩЕТИНИН Н.И. Теория линейных интегральных уравнений. Изд.1. МГУ, 1968, 102 с.

54. Mantjezon frand О^ииогевс AJ.M Soundaiy yaiue andopiLmat соni го is concezmd vouh vazious types olt,poEy\rLGicdLnf equations.-Met

55. ГоВиме „Advances in dijieienuai and imeejzal equations'.'EcL.jokn A. Noketj 5JAM,

56. Pkieadeephia, pa.j№m> 20!p.