Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных третьего и высокого порядков с действительными характеристиками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ,.-.

ГЛАВА I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

ТРЕТЬЕГО И БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯД-.

КОВ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ. ОБЛАСТИ.

§1. Задача I.*.*.

Задача 2.

§ 2. 3 а д а ч а

§3. Задача

ГЛАВА П. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКОВ.

В СМЕШАННОЙ ОБЛАСТИ ■.

§ I. 3 а д а ч а I

Задача

§ 2. 3 а д а ч а

§ 3. 3 а д а ч а

§ 4. 3 а д а ч а 5.

В зависимости от того имеет ж характеристическое уравнение действительные и комплексно сопряженные, действительные различные или действительные кратные корни, дифференциальное уравнение третьего порядка с двумя независимыми переменными приводится к уравнению составного типа, либо к уравнению с действительными характеристиками, либо к уравнению с кратными характеристиками.

Первый тип уравнений рассматривался многими математиками. Достаточно подробные его исследования приведены, например, в монографиях М.С.Салахитдинова (JE] , Т.Д.Джураева [2] . Последующие два типа объединим одним названием - дифференциальные уравнения с действительными характеристиками, которые будут предметом наших исследований.

Если в одной части рассматриваемой области уравнения с кратными характеристиками, а в другой с действительными характеристиками и эти части разделены линией перехода, на которой уравнение или не определено или вырождается, то такое уравнение будем называть уравнением смешанного типа.

Уравнения с действительными характеристиками находят широкое применение при моделировании задач механики и техники, в частности, в задачах магнито-гидродинамики L33, 34] , в задачах тепломассообмена t32, 36] и фильтрации 131] , в задачах динамики арок и колец 1221 , в задачах аэродинамики [21] , и т.д.

В настоящее время имеется большое количество работ отечественных и зарубежных математиков, посвященных исследованию краевых задач для этих уравнений.

Т.Д.Джураевым [2^ , Я.С.Шарифбаевым ]б\ А.С.Рустамовым , а также итальянским математиком B.Pinl Х19] были изучены различные краевые задачи для уравнении третьего порядка с оператором теплопроводности в главной части.

Работы R.Nardini ^33,34^ О.М.Тверитина \j30l , Takahashi Tadaysi, Iwamiya Tashiyki L37} , Bona Jerry L,

Daugalis Vassilios А.^38), М.Х.Шханукова 123-25^ , B.A.Ba-даховой 126-28*1 , i.CaBcante L20I, также посвящены изучению уравнении с действительными характеристиками.

Можно назвать еще работу С.Елубаева 135^ в которой рассматриваются краевые задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа.

Продолжается исследование краевых задач для смешанных уравнений третьего порядка, содержащих параболо-гиперболиче-ский оператор. Среди других назовем лишь работы,М.С.Салахит-динова, Т.Д.Джураева \3] , М.С.Салахитдинова, А.М.Нагорного , Т.Д.Джураева, М.Мамажанова 151 , Я.С.ШарифбаеЕа 17}, А.Сапуева \8l , Б.Байменова 129^ , М.Мамажанова t9l.

И все же, уравнения с действительными характеристиками третьего и более высокого порядка остаются мало изученными.

Настоящая диссертация посвящена постановке и исследованию корректных краевых задач для отдельных классов уравнений третьего и более высокого порядков с действительными характеристиками и смешанных уравнений, составленных из них.

Она состоит из введения, двух глав и списка литературы. Приведем полученные основные результаты.

Первая глава содержит четыре задачи» Пусть

0<ot<Wi, о<

- односвязные области плоскости XQU ,где л 1

• — - -3

3 а д а ч а I. Найти функцию удовлетворяющую уравнению

U.^ (I) в области Л и краевым условиям

Исследование этой задачи начато с построения решения задачи I для однородного уравнения (I), затем построено решение однородной задачи I для уравнения

С помощью их, решение исходной задачи I сведено к решению интегро-дифференциального уравнения, которое реализовано методом последовательных приближений.

Единственность решения задачи I доказана с помощью неравенств, полученных при построении решения.

Задача 2.Найти функцию удовлетворяющую уравнению в области и краевым условиям u u

UxO J-0

Единственное регулярное решение этой задачи построено в явном виде. ^

Задача 3. Найти функцию удовлетворяющую уравнению хххх в области и граничным условиям

2)

Ч)-<Г^ ' Oi^iW. (4)

Решение задачи 3 найдено в виде суммы

Функция "W^ - решение уравнения удовлетворяет неоднородным условиям (2), (4) и однородным условиям (3), a - решение уравнения удовлетворяет однородным условиям (2), (4) и неоднородным условиям (3),

Решение обеих задач эквивалентно сведено к решению системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода с ядрами имеющие интегрируемые особенности. Задача 4. Найти функцию

Щх.теС. IVI Г\ С. ^^ еоли и. - четное,

С et fit iTty

- если

VI - нечетное) удовлетворяющую уравнению

VL

О*

П)и+1ы

О) х:

О) ОС

И + 1; и краевым условиям u для четных Vt , и

VL г a ы U

H+d для нечетных VI •

С помощью специально построенной функции Грина

7 ^ , Vj^ получено решение задачи 4 для уравнения .VL которое для четных VI , имеет вид

О ^ Т4 * й h Ovi Гт о К г d

•V

5 * ЪА

Это дало возможность сведению вопроса существования ре

О О А шения нелинейной задачи 4 к существованию решения интегро-дифференциального уравнения.

Единственность решения задачи 4 доказана методом последовательных приближений.

Вторая глава состоит из пяти задач. Пусть ^ - треугольная область, ограниченная прямыми ~ 0 , -'X., , а ^ - промежуток

0<Х<1 прямой . Совокупность областей ,

3 обозначим через П^ •

За дача I. Найти функцию Ц(,Х,\р , которая

1) непрерывно дифференцируема в замкнутой области П^ ;

2) является решением из клдсса R. в области и регулярным решением в области П^ уравнения a^u^x^vy t^x^u, >о, при IJ ^ 0

3) удовлетворяет на отрезке непрерывным условиям склеивания

4) удовлетворяет краевым условиям

I -V,^» ft) VL \Vj--X 1

Через R. обозначен класс функций, представших посредством Функции Римана [17"] •

Решение уравнения (5) в области , удовлетворяющее условиям (7), имеет вид О

Отсюда, при Ц—?-0 , найдено соотношение xd о

Второе соотношение между X и ^ (X) получено интегрированием уравнения (5) при > 0 по переменной X в пределах от 0 до X и последующим предельным переходом при --V 0 :

3L

Ьсх). о

С помощью найденных из этих соотношений ^ (Д.) , решение задачи I в области ^ выписано явно.

Задача 2. Определить функцию \1 , которая

I) непрерывно дифференцируема в замкнутой области TJ ;

2) имеет непрерывную производную VI ц при переходе через промежуток ; ^

3) является регулярным решением уравнения <Т\

Г uy aix^u^U^u^ c(x,u)u

8) И х N хх где в области q^ лпри Ф 0 ); 4) удовлетворяет граничным условиям

Преобразуя уравнение (8), для определения неизвестных t [X)» ^ получены два соотношения

Ч*} [АЛ, о^ ex-l dt *

•V о

Из них, с помощью граничных условий определены искомые Т , ^ » Н ^^ » К '

В результате, решение задачи 2 в области ^^ сведено к известной задаче, исследованной в \j-d\ , а в области оно выписано явно, 1

Задача 3. Найти регулярное решение уравнения о= ч U V0'

XX'

ЛГа'т ' М в области (при ^ Ф 0 )» непрерывно дифференцируемое в замкнутой области » удовлетворяющее граничным условиям

ГШ

4 <0

U CX^ ,

0)4 l^-X условию склеивания (6) и условию

Решение задачи 3 в области Ti 3 а д а ч а 4. Определить функцию ^ДАХ,^), которая выписано в явном виде.

I) непрерывно дифференцируема в замкнутой области П^

2) является регулярным решением уравнения а>г о= о>ес.1 >0 в области Hi (при lj ф 0 );

3) удовлетворяет условиям склеивания (6);

4) удовлетворяет граничным условиям а>п>

-4-iu to.

Общее решение уравнения (9) в области Фл имеет вид do)

С помощью (Ю), при Vj—>-0 найдено соотношение

- 14

- s КX'V5CO) + >[? ос V 0)

Второе соотношение получено из уравнения (9) при IJ > 0 » путем интегрирования по переменной X в пределах от О до X и последующим предельным переходом при ^ * Посредством граничных условий найдены неизвестные функции Т

В результате, решение задачи 4 в области ^ сведено к решению задачи 4 главы I (случай VI), а в области оно выписано явно.

Задача 5. Найти регулярное решение в области ^ (при -ф 0 ) уравнения u. ОЛ*^u ^ fc №, у) а ос + ц (П) дважды непрерывно дифференцируемое в замкнутой области , удовлетворяющее условиям склеивания (6) и граничным условиям

CK 1 , 0 TJ ik , u

0)11

IL го И.

Для определения значения искомой функции 1/Цх,1|)и ее производной на отрезке *3 первое соотношение между перенесенное из области найдено в виде

Второе соотношение получено из уравнения (II) при ^>0 > после некоторых преобразований и яредельного перехода при :

X о л- Wx-Л.^^,oytXV)Л-*

-'о

-зс.

- 16

Из этих равенств, используя условия определены значения СХЛ , ^(^с) • в результате этого, решение задачи 5 в области ^ сведено к решению . задачи 3 главы I .В области оно выписано в явном виде.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора ^39 - 41 ^ и докладывались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными и математические вопросы механики" Института механики и сейсмостойкости сооружений им; М.Т.УразбаеваАН УзССР (руководитель - член-корреспондент АН УзССР Т.Д.Джураев), на семинаре. отдела дифференциальных уравнений Института математики им. В,И,Романовского АН УзССР (руководитель - академия АН УзССР М.С.Салахитди-нов), на Всесоюзном коллоквиуме по теории кубатурных формул и дифференциальным уравнениям с частными производными, г.Бухара 1983 г., на Всесоюзном семинаре по аналитическим методам исследований эллиптических уравнений, г. Уфа,1984 г.

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю, члену-корреспонденту АН УзССР, доктору физико-математических наук, профессору Тухтамураду Джураевичу Джураеву за постановку.задач, многочисленные ценные советы и постоянную поддержу.

1. С а л а хи т.дин о в М.С, Уравнения смешанно-составного типа, Ташкент, "Фан", 1974. - 156 с.

2. Д ж у р а е в Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент, "Фан", 1979. 238 с.

3. Салахитдинов М.С., Д ж у р а е в Т.Д. Ободной смешанной задаче для уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа. Ташкент, "Изв. АН УзССР", серия физ.-мат.наук, 1971, Ш 4, с.26-31.

4. Салахитдинов М.С., Нагорный A.M. Ободной краевой задаче для уравнений третьего порядка, параболо-гиперболического типа. Б сб. "Краевые задачи для уравнений математической физики", Ташкент, "Фан", 1980, с, 3-13.

5. Шарифба ев Я.С. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка с оператором теплопроводности с главной части, Ташкент, "Изв. АН УзССР", серия физ.-мат.наук, 1975, IP. I, с. 45-48.

6. Ш a p и ф б аев Я.С. О корректных краевых задачах дляуравнения с частными производными третьего порядка . составного.и гиперболо-параболического типа. Автореферат канд. дисс, Ташкент, 1975.

7. С о п j 6 в А. Краевые задачи для уравнений смешанногои смешанно-составного типа, содержащих параболо-ги-перболический оператор. Автореферат канд. дисс; Ташкент, 1982.

8. Трик.оми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных", М.:. Изд. ИИ., 1957, 443 с.

9. Г у р с а . Э. Курс математического анализа. Гос.техн.теорет. изд. 1933, т.З, ч.1, 276 с.

10. И л ь.ин A.M., Калашников А.С., 0 л е й н и кО.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. М.:.3№, 1962, т.17, вып. 3, с. 3-I4I.

11. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: "Мир", 1968, 427 с.

12. Д в а й т Г.Б. Таблицы интегралов. М.: Наука, 1964, 228 с.

13. П у л ь к и н П.С. Задача.Трикоми для общего уравненияЛаврентьева-Бицадзе, М.: ДШ СССР, 1958, т.П8,Д 4, с. 38-41.

14. Cascante Joaguin M.A. Aprioximacionessucesivas de las soluciones de equaciones en deriervadas parciales de 3 orden. "Collect.math.",1961, 13, No 1-2, 89-167.

15. Богданов E.B.O линейной задаче обтекания вибратора сверхзвуковым потоком вязкого газа', М.: ШМ,1981, т. 45, вып.4, с. 645-650.

16. Пи липч ук В.Н. О существенно нелинейной динамике арок и колец. М.: ШМ, 1982, т. 46, вып.З, с. 461-466.

17. Ш х а н у к о в М.Х. О некоторых краевых задачах дляуравнения третьего порядка, возникающих при.моделировании фильтрации жидкости в.пористых средах. М.: ДУ,1982, т.18, Я 4, с. 689-699.

18. В а д а х о в.а. В,А, Краевые задачи с нелокальными условиями А.М.Нахушева для одного псевдо-параболиче-ского уравнения.влагопереноса, М,: ДУ, 1982, т.18, Ш 2, с. 280-285,.

19. Б а д а х о в а В.А. Об одной краевой задаче для уравгнения третьего порядка с нелокальными условиями A.M. Нахушева. М.: ДУ, 1983, т.19, J« I, с. 163-166.

20. Б а д а х о в а В.А. Задача Гурса для обобщенного уравнения влагопереноса. Сб.: САПР и АСПР в мелиорации, Нальчик, 1983,.с. 74-80.

21. Байменов Б. О краевых задачах для уравненийсмешанно-составного типа. М.: ДУ, 1981, т.17, IS I, с. 13-17.

22. Тверитин О.М. Математическое рассмотрение задачи о продольном ударе по упруго-вязкому стержню со свободным концом, Киев: ДАН УССР, 1953, Л 5, с. 307-312. . .

23. Баре нб лат Г.И., Ж е л т о в Ю.П., КичинаИ.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиновидных породах. М.: ПММ, т.24, вып.5, I960, с. 852-864.

24. Ч уд н о в с к и й А.Ф. Теплофизика почвы. М.:Наука,1976, 365 с.

25. Nard.Ini Renato. Soliizione di un problema al contorno della magneto-idrodinamica.Ann. mat. pura ed appl. 1953, v.35, 269-290.

26. Рубштейн М.М. К вопросу о процессе распространения тепла в.гетерогенной среде. М.:"Изв.АН СССР", серия географ. 1948, iS I, с. 27-45.

27. Takahashi М a d а у а в i, Iwamiya Tashiyki. On the non linear groupassociatedwith a non linear dispersive equation, "KokyMechn. Rept, Nat., Aerospace Lab, 1980, No 626, T. 15

28. Bona Jerry L. ,Daudalis Vassi1 i о s A. An initial and bondary vallue problem for a model equation for propagation of lond waves. "J.Math. Anal, and Appl.", 1980, v.75, No 2,503-522.

29. С а л и x о в Ш.Н. О краевой задаче для одного нелинейного уравнения третьего порядка с действительными характеристиками. "Изв. АН УзССР", серия физ.-мат. наук, 1983, Ш 2, с. 19-24.

30. Салихов Ш.Н. О краевой задаче для одного дифференциального уравнения в частных производных с действительными характеристиками."Изв.АН УзССР", серия физ.-мат.наук, 1983, IS 5, с. 29-33.

31. С а л и х о в Ш.Н. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с действительными характеристиками. Б сб. "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения", Ташкент,"Фан", 1984, с. 123-128.