Приближенные решения начальных и краевых задач для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с авторегулированием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАздан, ел-ФАРАШ ашвдш ШШКЕШК УЛЩ УНИВЕРСИТЕТ!

Колжазба цуцынца

РАШБЕКОВ ШДОАИ Ж0НББ1Л "Ш

КЕИБ1Р ДШЕРЕЩАДЩ ОДЕРАТОРЛАРДЦН, K0PPEKTI ДОШОШРЦ WEH ЩЕКШЕР1 ЖАЙЛЫ

01.01.02 - дифферекциалдщ тевдеулер

Физика-математика гылыедарыныц кандидаты гылыми дэрехесхне 18дену диссертациясыньщ ABTOPESEPAIU

AJbíATU- 1993

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

Г Г о ОД

„ ,-ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализировашшй Совет Д 01.93.08

на правах рукописи

НАРМАТОВ ЖУНУС

ПРИБЖКЕНКЫЕ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНЫХ И КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНГЕГРО-ДИФФЕРЕНЦШЬНЫХ УРАВНЕНИИ С АВТОРЕГУЛИРОВАНИЕМ

01.01.02.- Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БИШКЕК - 1993

Работа выполнена в Кыргызском Государственном Национальном университете.

Научный руководитель : кандидат физико-математических наук, доцент КАМЫТОВ Т.

Официальные оппоненты :

Доктор физико-математических наук , старший научный сотрудник HAH К? АСАНОВ А. < ИМ HAH КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ). Кандидат физико-математических наук , доцент К.УТАН0В А- <ЬТК7;

Ведущая организация :

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

Защита диссертации состоится %ека.орЛ J933 г>

в 10_ часов на заседании Специализированного Совета

Л GI.S3.G8 по присуадению ученых степеней доктора и кандидата

наук в Институте математики HAH КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ.

С диссертацией можно ознакомится в ЦКБ HAH КЫРГЫЗСКОЕ

РЕСПУБЛИКИ.

Автореферат разослан "^f hu>s<Xf)&s_1993 г

/

Отзывы на автореферат просим присылать по адресу :

720G7I г. Бишкек-71 , Проспект Чуй 265 "А", Институт математики

HAH Кыргызской Республики, Специализированный Совет Д GI.S3.G3.

Ученый секретарь Специализированного Совета, кандидат физико-математических

ИСКАНЕАРОВ С.

зташий научный сотрудник „

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Многие задачи, встречающиеся з технике, з радиоэлектронике, в теории автоматического регулирования при расчете псевдолинейных корректирующих устройств, з регулируемых системах, включающих в себя как составцую часть длинные, тонкие трубопроводы с газом и жидкостью, давление в которых изменяется периодически или пульсирует, при исследовании процессов горения в жидкостных ракетных двигателях, при изучении колебания молотка электромагнитного прерывателя, встречаемся с дифференциальными и штегро-дифференциальными (и.-д.у.) уравнениями с отклоняющимся аргументом, зависящим от искомого решения и его производной. Отклонение аргумента, зависящее от искомого решения и его производной, иногда называют авторегулируемым, подчеркивая таким

называнием то, что в рассматриваемом случае величина запаздывания регулируется параметрами самого .уравнения.

3 настоящее время дифференциальные и интегро-дифференциаль-ные уравнения с авторегулированием (в дальнейшем кратко и.-д.у.а) принадлежат к числу сравнительно малоизученных разделов математики.

В этой связи представляет интерес качественные исследования л приближенные методы построения решений дифференциальных, интегральных и п.-д.у.а.

Качественные вопросы теории решения линейных и нелинейных дифференциальных, интегральных и и.-д.у.а. при граничных условиях изучались авторами: Азболии И.В., Драйвер ?.. Живото-вский Л.А., Драхлин M.S., Хасанов К.К., Федоренко Л.Г., Коре-кевский Д.Г., Зверкин A.M., поркин С.В., Байнов Д.Д., Плкшевс-кая Т.К., и др.

А построением приближенного решения начальной задачи занимались: Воронина К.В., Рекка P.A., Кривошеин Л.Е., Камытов Т., Кутанов А., Шабыкеез В.Ш., Жуковский E.G., и др.

Прогресс науки и тетки на современном этапе выдвигает математические задачи, точные решения которых получить весьма сложно или невозможно. Поэтому приближенные методы математического анализа приобретают исключительно важное

-ч-

значение. Дальнейшему развитию этого научного направления и посвящена настоящая работа.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Построить приближенное решение начальной

задачи для д.у.а. и и.-д.у.а. комбинированием методов шага,

разностных отношений, механических квадратур и сплайн-функций.

Доказать сходимость приближенного решения к точному решению

исходной задачи. Оценить погрешность полученного результата.

Доказать существование и единственность решения краевой

задачи для и.-д.у.а.

Построить приближенное решение краевой задачи для и.-д.у.а.

комбинированным методом шага, разностных отношений, механических

квадратур и сплайн-функций. Доказать сходимость приближенного

решения к точному решений исходной задачи.

Построить приближенное решение краевой задачи для и.-д.у.а.

Смешанным методом осциллирующих фукций и методом стрельбы.

Показать сходимость построенного процесса к точному решению.

Методом последовательных приближений построить приближенное

решение краевой задачи для и.-д.у.а., доказать сходимость

построенного процесса к точному решению исходной краевой задачи. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ.Метод настоящей работы представляет

собой применение комбинированных методов шага, сплайн-функции,

осциллирующих функций, метода стрельбы,последовательных

приближений и разностных отношений, Строится приближенное

решение начальных и краевых задач для д.у.а. и и.-д.у.а.

■ НАУЧНАЯ НОВИЗНАНаучная новизна диссертационной работы заключается в следующем: .

построено приближенное' - решение начальной задачи для дифференциальных уравнений с авторегулированием (в дальнейшем -д.у.а.) ме тодом сплайн-функции;

— s —

- построено приближенное решение начальной задачи для

и.-д.у.а. методом сплайн-функции и доказана сходимость приближенного решения к точному решению;

- доказана теорема существования и единственность решения краевой задачи для и.-д.у.а.;

- сочетанием методов стрельбы и осциллирующих функции построено приближенное решение краевой задачи для и.-д.у.а.;

- доказана сходимость приближенного решения к точному решению;

- дана оценка допускаемой погрешности полученного результата;

- построено иАсближенное решение краевой задачи для и.-д.у.а. методом последовательных приближений;

- доказана сходимость приближенного решения к точному решению..

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные результаты данной работы могут применяться в решении конкретных задач из теории автоматического регулирования, при изучении колебания молотка электромагнитного прерывателя, а также

могут использованы при чтении спецкурсов для студентов

математиков ВУЗов. Отметим,что некоторые результаты настоящей

работы вошли в учебное пособие, подготовленное учеными Пермского

Государственного Университета (Воронина Н.В., Рекка P.A.,

Фоминых Ю.А. Осциллирующие фукции и некоторые их

приложения.-Пермь : Пермск.гос.ун-т.-1981.-ч.2.-120с.>.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.- Основные результаты диссертации докладывались на 16-24-ой научных конференциях профессорско-преподавательского состава механико-математического факультета Кыргыз.ГУ,на заседании 1-ой научной конференции молодых ученых Киргизии (Фрунзе, 1981г.), на xxi-xxin-ой межвузовских конференциях Пермского политехнического института (Пермь, 19811983гг), на xxxxi-xxxxiii-ой межвузовских научных конференциях Латвийского Государственного Университета им. П.Стучки (Рига, 1983-1984гг), IV—ой Уральской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям (Уфа, 1987г), научном семинаре "Дифференциальные уравнения и их приложения" АН

1

Республики Казахстана (руководитель проф. Д.Умбетжанов), на заседаниях семинаров "Приближенное решение дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений" Кыргыз.ГУ (руководитель проф. Кривошеин I.E.),"Дифференциальные и интегральные уравнения и их

приложения "«руководитель академик М.И Иманалиев) в Институте

математики HAH Кыргызской Республики <Бишкек, 1993г>.

ПУБЛИКАЦИИ. Основное содержание диссертации опубликовано в 12 статьях автора, список которых приводится в конце автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 8 параграфов и списка цитированной литературы. Полный объем составляет 131 страниц машинописи. Библиографический список включает 115 наименований.

СОДЕРШИЕ РАБОТЫ

В работах Р.Драйвера впервые была доказана теорема существования и единственность решения начальной задачи для д.у.а., которая послужила началом для многочисленных дальнейших исследований.

В введении диссертационной работы дается краткий обзор работ примыкающих к теме диссертации, обосновывается актуальность тематики, а также кратко излагается ее основное содержание.

Первая глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе доказывается существование и единственность решенш следующего и.-д.у.а.

t

X'(t)=fft;X(t),/ Ktt.t.xct),X(t-a<T,X<t><D>>>сК ], (1.1.1) lo

с начальным условием

X(t)=(p(t), t£Eto=]-ooit0]. (1.1.2)

Относительно известных функций a<t,x,y)>o- монотонно возрастает

вместе с t; fit.x.u), K(t,i:s>!,v>

требуется выполнение следующих условий в замкнутых областях: D^jfto^t^lXH^; |u|«-25 ||v||<r3jJ;

D^ =| to<T<t<r;||xj|^i;||u||<r2;||v||<r3J

1. a<t,x,y>: f<t,x,u); Kit,i;,x,v) - непрерывны по всем

аргументом в области D=ci * Da,-

2. || f<t,X,u> - f(t,T,u> H^Qo ( ||X-a||+||u-u||) ;

3. |a(t,x,y)-a<t,y,7> ||<w< ||x-7||>+w°< |y-y|p;

4. ¡|K(t.T,x,v)-K(t,i:,T,v) ||x-Tjj>+G0ftfl-(JW< ||x-*'l> +

5. <pct> - ограничена на J-oo;to>;

|[9(52)-(p(si)||^(|sz-si|)

6. Существует непрерывно дифференцируемая функция

T)(t) ,r)ito>^p<to) .такая что

Г)' (t)^b(t,T](t) , max{sup|(p(s) | ,T]it) }) ;

В дальнейшем обозначим через:

xfx(t)J=x(t-avt,x«t).х'<t> >).

ТЕОРЕМА I. Пусть выполнены условия <i-6>, причем v<Т> = та:: Qo (t)L<t)Go <t„i;)Wo (t)<l.

[to^tiCY]

Тогда на fto;to+T7 существует решение задачи a.i.i>,(i.i.2.). Если R(p) функция Осгуда, то это решение единственно, где

- ъ -

рср>= ша>: /"Бср^и^иср^реос^г)Ж+сзср).

Во втором параграфе строится приближенное решение для д.у.а.

х* <-ь>=*/Ч,хт,хОс<<:> .7.7, ^о, <1.2.1)

с начальным условием

X ( Ь> =фС £) , (1.2.2)

Получено сплайн-решение вида:

2 — 2

52С'1:)==у<-(:к)+т(,С1:-'1:(.)+С..(1:-1:к) +с*и«1-Ьк+1>+ , (1.2.3)

где ск=о;ы—1), т,;,с(;,й1; -постоянные козффиценты сплайна, которые

определяется из условия а.2.2) ,ус*:к) - приближенное значение искомой функции в узловых точках.

Доказывается сходимость приближенного решения С1.2.3) к точному

решению задачи с1.2.1>, (1.1.2).

Оценивается допускаемая погрешность по формуле

¡¡х-52|КСьг,

где С>о - известная постоянная независящая от ь. В третьем параграфе рассматривается и.-д.у.а.

I

X' (1:)=т {4:,Х< О ,Х ГХ (г) ; ,Х{'Х(5) t>to (1.3.1)

ю

с начальным условием

ХСО=фС1), С1.3.2)

Приближенное решение задачи а.з.п, (1.3.2) построено в виде кубического сплайна

(t.-t)^(t-t. .) (t-t. ,)"(t.-t) j j-i J-I J

3—(t)=m - — m-

О J-l h2 j

J j

[Qlt-t. )z+h (t-t )] (t-t )[Pit -t)+h ]

j-i j j-i j-i j j

+Y. ,-,- -e Y.---- .

J i

(j = i ;M) .

Доказана сходимость s3(t) к точному решению x(t> задачи и.з.п, (1.з.2>. Оценка погрешности определяется по следующей формуле:

( i> ( i. > Z-i

¡|S, - X j<Cih , (i=0;l>

где Cj>o - известная постоянная независящая от h=ma>: н .

В четвертом параграфе сочетанием метода разностных отношений, квадратурных формул и сплайн функций строится приближенное решение начальной задачи

>:;t)=<p(t), tiSj. } (1.4.D

для и.-д.у.а. вида

t

X'(t)=Tft,X(t),XfX(t)},Jrft,s,XCs>,x tX(s)})ds]. (1.4.2)

l о

Получено приближенное решение

1 N-l 2

3 (t)=a +Ь i t-t )+-=- Vd (t-t ) .

2 О О О 2 z Z

Доказывается сходимость s2(t) к точному решению x(t) задачи (1.4.D, (1.4.2). Получена оценка допускаемой погрешности

2

¡|32-X||^3h ,

где з -известная постоянная величина, независящая от ь. В конце первой главы решен конкретный пример.

Во второй главе изучаются вопросы разрешимости краевых задач для

и.-д.у.а. Доказывается важная теорема для дальнейшего

исследования и.-д.у.а. с краевыми условиями. Строится приближенное решение и.-д.у.а. с краевыми условиями. Доказывается сходимость приближенного решения к точному решению поставленных задач. Вторая глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе изучены вопросы существования единственности и устойчивости решения относительно малого "возмущения" известных функций краевой задачи и.-д.у.а.

т

хит= ки<1,х(о,х{"х<ъ);>+£к<1:,б,хс5>,хсх(5>(2.1.2) с краевым условием

Г Х(0=ф(1>, <:<ЕЕЬо, [ X(Т)=0; (2.1.2)

где к(ъ,г,х,и), сх(<:,х) - непрерывные заданные функции в

замкнутой области т>2

кроме того удовлетворяет условиям:

2. ||К(1,5,Х,и)-К(1,5Д,й||< Ц Г||Х-7||ч-||и-й||7;

||а(*:,х)-а<1,х>< 1_а||х-х||;

т

4. (1,Х,и>+ра1:,5,Х,и)<15||< В;

1о

5. ) ]<1,

где (2+В 1-а>М; ^=1^(2+8 1_а>М; М^|Г<Х,5)

Г(Х,&) - функция Грина, для задачи

Íx"(t)=e7

Х(Т)=0.

ТЕОРЕМА 2. Пусть выполнены условия (1-5), тогда существует единственное решение поставленной

2

задачи<2.1.1>,(2.1.2> в пространстве С

т>

Во втором параграфе строится приближенное решение и.-д.у.а.

т

Х"(1:)=^1)+/]<и,5)ХОС(з) (2.2.1)

I©

с краевым условием

Х(Ъ>)=Х(Т)=0. (2.2.2)

Приближенное решение задачи (2.2.1), (2.2.2) получено в виде кубической сплайн-функции

(1-1. )3 т-и3

Э,(1:)=М-- +М -^-гг— + Гу.-М 1-

^ I оп оп. 1-1 I о -I

V

Доказана сходимость Ээс-о к точному решению хт задачи <2.2.1),

<2.2.2) относительно шага разбиения промежутка с^тЛ. Оценивается допускаемая погрешность.

В третьем параграфе сочетанием метода стрельбы и осцилирую-щих функций построено приближенное решение и.-д.у.а.

x"(t)=f [t,x^t) ,х{"х(« ,х{"х(5) (2.з. 1)

1о

с краевым условием

{Х(Ы=ф<Ы, Х(Т)=ХЫ .

(2.3.2)

Приближенное решение задачи (2.3.1), (2.3.2) получено в виде:

1

(1-1 >» -

Х,(1)=а,-^- + Ь, ^-Ь, >+с, , (к=0;Ы-1). <2.3.3)

к к к к к

где ак,ьк,ск- постоянные коэффиценты, которые определяются

с помощью условия (2.3.2) в участке <к=е7и-Ь.

Доказана сходимость полученного приближенного решения

к точному решению исходной задачи (2.3.1),(2.3.2), относительно шага ь:

3-1

||Х(;-Х|(<0(Ь ), (1=0,1,2).

В четвертом параграфе второй главы для и.-д.у.а.

т

Х"(Ь)^(Ь)+р<(Ъ,в)Р[в,Х(в),Х{Х(5) ^о , (2.4.1)

с краевым условием

\ Х(Т)=В. (2.4.2)

Предложено три варианта построения приближенного решения задачи (2.4.1), (2.4.2).

Доказывается близость приближенных решений к точному решению исходной задачи. Решается конкретный пример. Причем дл* построения приближенного решения задачи (2.4.1), (2.4.2) приводится к эквивалентному ей интегральному уравнению < авторегулированием вида:

X{t)=f1<t)+f ^ <t,в)F[в,X(в) ,Х{Х(в) }]с1в+ 1о

I I

£ <Ь,%,в)Р[в,Х1в),Х{Х<в) }]йвй%. (2.4.3)

(о 1о

где

г т т т

Т—I- 1о -» 1о

Т

к, (1,5>=---х,з)с1т:,

Т-1о (о

Итерационные процессы относительно <2.4.3) строятся следующими способами:

I. X (1)

•:а=т а) + г к а,гур;з,х <в),х {х

1 < О 1 П П Г>

I Т

- г г к,;1д,5)Р(5,!( <5),х (х (5).;>с1бсп;.

" ^ — п п п

.п Ьо

г. х (4) + г :< : = ,,.: (х <*) ;}о«

Г.+ 1 1*1 Г.+ 1 П*1 п

I т

ч' 1

Ю

Г> „ А •> А * * -с X * П^" 1*1

I т

? "-с,. (г),х_ = ; .^¿эст. ;2.4.о)

ю ю

где

f.;4)=Хо;1). 1

В.заключении автор выражает благодарность научному руководителю Токою Камытозу за постоянное внимание к настоящей работе и полезные советы при обсуждении результатов.

Публикации по основным результатам диссертации:

Х.Нарматов Ж. Решение краевой задачи для интегро-дифференциаль-

кых уравнений иша Фредголъма с авторегулированием /'/Тр.

Киргиз.гос.ун-т. Сер. мат. наук. - -Фрунзе, Киргиз.гос.ун-та.

т

-141577.- Вып.9.- С.37-42.

г.Нарматов Ж.,Камытов Т. Приближенное решение краевой задачи для линейного интбгро-диффервндаального уравнения с авторегулированием // Тр.молодых ученых Киргиз.гос.ун-та.- Фрунзе,1974.-Вып.2. - 0.50-57. '

3.Нарматов Ж. Решение краевой задачи для нелинейного интегро-

дифференциального уравнения с авторегулированием //Тр. Киргиз, гос.ун-т. Сер. мат. наук. - Фрунзе, 1976.- Вып.II. - С. 50-58.

4.Нарматов Ж.«Камытов Т. Решение начальной задачи для нелинейногс

штегро-дифференциального уравнения с авторегулированием /'/Интегро-дифреренц. уравнения и их приложения. - Фрунзе, 1978.-Вып. I. - С. 56-59.

5.Нарматов Ж. Приближенное решение краевой задачи для интвгро-

дифференциального уравнения с авторегулированием //Мат-лы научн,. кокф. молодых ученых Киргизии. - Фрунзе, 1981. - С. 29-30.

6.Карматоь Ж. Решение краевой задачи для штегро-дифференциаль-

ного уравнения с авторегулированием, методом последовательных приближений //Качествен, и приближен, методы в теории диффереш.

и интегро-дифференц. уравнений. - Фрунзе, 1932.- С. 37-41.

7.Нарматов Ж. Приближенные решения начальной задачи для дифференциальных уравнений нейтрального типа с авторегулированием -'/Тез. докл. молодых .ученых АН Киргиз. ССР. - Фрунзе, 1982. -

г\ "'"'^Т У"""»

•З.Нарматов Ж. Существование и единственность решения интегро-

дифференциальных уравнений с запаздыванием, зависящим от решения

и его производных //йсслед. по иктегро-дифференц. уравнениям. -Фрунзе,Илим, 1983. - Вып. 15. - С.121-131.

З.Нарматов Ж. Приближенное решение начальной задачи для диффере-

нииальных уравнений нейтрального типа с авторегулированием //'Там же.- 1384. - Вып.16. - С.87-94.

Ю.Нарматов Ж..Камытов Т.Решение начальной задачи для интегро-

дифференциальных уравнений с авторегулированием, методом сплайн-

функции // Качествен, и приближен, методы теории дифференц. и

иктегро-диффэренц. уравнений.- Фрунзе, 1585. - С. 41-46.

И.Нарматов Ж. Решение одного класса дифференциальных уравнений

с авторегулированием //Тез.докл.республ.научн.конф. - Фрунзе, Киргиз.гос.ун-т, 1383.- С.74-75.

12.Нарматов Ж.Решение начальной задачи для одного класса интегр-о-дифференциальных уравнений с авторегулированием /./Приближен, методы и качествен, вопросы теории интегро-дифференц.уравнений. - Бишкек, 1391.-С. 48-50.