Построение и исследование математической модели упрочняющегося упругопластического тела при малых деформациях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

А ~ л

На правах рукописи

ШИТИКОВ Сергей Александрович

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА ПРИ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

Работа выполнена в Комсомольском-на-Амуре государственном техническом университете и Институте машиноведения и металлургии ДВО РАН.

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор В.И. Одиноков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор A.A. Буренин, кандидат физико-математических наук, Тахтесв В. А.

Ведущая организация: Институт машиноведения УрО РАН,

г.Екатеринбург

Защита состоится _1998 года

в _часов на заседании диссертационного Совета

Д 002. 06.07 в Институте автоматики и процессов управления ДВО

РАН при Президиуме ДВО РАН по адресу:

690032, г. Владивосток, ул. Радио, 5, ИАПУ ДВО РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО

Автореферат разослан 1998 года

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физико-математических наук

М.А. Гузе]

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задаче построения математических моделей упругопластической упрочняющейся среды в последнее десятилетие посвящено множество исследований. Это связано как с необходимостью описания все более сложных технологических процессов, так и с внутренней логикой развития науки, с появлением новых подходов к решению этой задачи. Основными критериями оценки моделей можно считать: 1) адекватность описания достаточно широкого круга экспериментов; 2) использование возможно меньшего числа материальных констант, достоверность их определения; 3) простота и удобство.

Среди современных подходов к этой проблеме можно отметить подход, сформулированный Ильюшиным A.A., в основе которого лежит исследование требований, предъявляемых к построению функциональной связи напряжений и полных деформаций (условие однозначности, постулат изотропии, принцип запаздывания векторных и скалярных свойств, гипотеза о разгрузке и постулат пластичности). К другим направлениям в построении определяющих уравнений пластичности относятся: теории течения - Ишлинский А.Ю., Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В., Прагер В., Циглер Г., Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И., «физические» теории - Батдорф С.Б., Будянский Б., Линь Т.Г., Леонов М.Я., Лагздинь А.Ж. В некоторых подходах не вводится понятие поверхности нагружения, нет разделения полных деформаций на упругие и пластические. В то же время продолжает развиваться направление, основанное на введении этого понятия и разделении полных деформаций на упругие и пластические - Клюшников В.Д., Нагди Ü.M., Никкел Д.Дж., Хеллинг Д., Миллер А.К. и др. Для описания эволюции поверхности нагружения здесь, как правило, вводятся параметры истории процесса (как скалярные, например, параметр

Одквиста, так и тензорные). До недавнего времени уравнения, определяющие эволюцию параметров истории, обычно постулировались. Для построения определяющего соотношения пластичности в теориях течения также привлекались дополнительные постулаты - принцип максимума Мизеса, постулат Друкера, постулат Ильюшина и др. В последние годы развиваются исследования, в которых для построения определяющих уравнений привлекаются методы термодинамики необратимых процессов - Пежина П., Сидорофф Ф., Леманн Т., Дзй У.А, Мясников В.П., Гузев М.А. В систему уравнений при этом обычно включаются уравнения для внутренних переменных, с помощью которых делается попытка отразить реально происходящие на микроуровне процессы (при этом обычно возникает проблема определения диссипативной функции). В теориях, использующих концепцию регулярной поверхности нагружения, приращение пластической деформации ортогонально поверхности нагружения в пространстве напряжений (при этом пластические деформации отождествляются с остаточными). Изменить направление прироста пластической деформации на коротких отрезках пути невозможно, что приводит к неадекватным результатам при приложении подобных теорий к проблеме устойчивости. В связи с этим стали развиваться теории, где в качестве исходного закладываются положения об особенности в текущей точке поверхности нагружения в виде угла пластичности - Сандерс Дж., Койтер В.Т., Клюшников В.Д., Работнов Ю.Н.

В диссертационной работе используется: разложение полных деформаций 8 на упругие е и пластические р (б=е+р); понятие поверхности нагружения. В качестве инструмента для построения определяющих соотношений применяется вариационный принцип максимума диссипации механической энергии (МДМЭ). Этот принцип был предложен в работе Шитикова A.B. для построения определяющих

уравнений упругопластичности при конечных деформациях вместо использовавшегося ранее принципа Мизеса. Дело в том, что при использовании принципа Мизеса необходимо определение скорости пластической деформации, что при конечных деформациях неоднозначно. Различные определения приводят к существенно различным соотношениям пластичности. То или иное определение скорости пластической деформации (при конечных деформациях) вводят и в подходах, не использующих принцип Мизеса (Левитас В.И.). Вариационный принцип МДМЭ основан на предположении о том, что часть диссипации связана с изменением тензора внутренних переменных к, описывающего, в частности, эволюцию поверхности нагружения. Его применение позволяет получить систему уравнений упругопластичности, включающих уравнения для тензора к. Эта задача актуальна и при малых деформациях.

Цель работы - исследование возможностей вариационного принципа МДМЭ при применении его к построению моделей упру-гопластических упрочняющихся сред при малых деформациях.

Научная новизна. В работе с помощью вариационного принципа МДМЭ построены модели упругопластической упрочняющейся среды для изотермического и адиабатического процессов.

Исследованы ограничения иа вид поверхности нагружения, следующие из требования неотрицательности мощности диссипации механической энергии (Х)> 0) и независимости определяющих уравнений от пространства (напряжений или полных деформаций) в котором изначально задан процесс деформирования. Рассмотрены ограничения на модель среды, вытекающие из требования одновременного удовлетворения неравенству 0>0 и независимому от него неравенству Планка Р> 0, выражающему второе начало термодинамики.

Показано, что требование удовлетворения обоим неравенствам при произвольных путях деформирования приводит к необходимости различать пластические и остаточные деформации.

В случае изотермического процесса показано, что неравенство Р > О приводит к ограничениям на возможные значения угла наклона касательной к кривой ст — £ простого нагружения первоначально изотропного тела. Следствием этого неравенства является также уменьшение мгновенного модуля сдвига (по сравнению с его упругим значением) при ортогональной догрузке, которой предшествовал выход на поверхность нагружения путем простого нагружения.

Численно исследованы особенности кривых 0-е различных материалов при пропорциональном циклическом деформировании.

Практическое значение работы. Построенные модели могут применяться для описания реального поведения упругопластических сред при различных путях нагружения (в пределах применимости теории малых деформаций). Результаты аналитических и численных расчетов позволяют надеяться на достаточно высокую эффективность вариационного принципа МДМЭ. Практическое значение может иметь также то, что для построения моделей требуется сравнительно небольшое количество материальных констант.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всероссийской конференции «Проблемы механики сплошных сред и прогрессивные технологии в машиностроении и металлургии», (Комсомольск-на-Амуре, 1997г.), на 26-ой научно-технической конференции КнАГТУ (Комсомольск-на-Амуре, 1996г.), на II Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, апрель 1998г.) и на совместном семинаре ИММ ДВО РАН и КнАГТУ (1998г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в стать-*х[1]-[5].

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем работы - 132 страницы, 25 рисунков, список литературы состоит из 61 наименования. В приложения включены программы численных расчетов для пропорционального циклического нагружения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко рассмотрены основные направления исследований, связанные с построением определяющих уравнений упруго-пластичности, основные допущения, принятые в диссертационной работе и обозначено место используемого в диссертации вариационного принципа МДМЭ среди других подходов к проблеме. Приведен краткий обзор содержания работы по главам.

В первой главе излагается предложенный ранее Шитиковым A.B. вариационный принцип МДМЭ и рассматриваются две модели упругопластического тела в изотермическом процессе.

Рассматривается случай малых деформаций, когда справедливо

разложение полных деформаций Zy =0.5(diiJdXj + cuj jдх.j в виде суммы упругих е и пластическихр: г = е + р. Здесь и(х,/) = х(/) -х0, t - время, X, х0 - вектора текущего и начального положения материальной точки в декартовой системе координат. Для тензора р постулируется p(x,t) = 0 при разгрузке. Точка сверху означает материальную производную по времени. Под разгрузкой подразумевается, что для рассматриваемого материального элемента выполняется ф < 0, где ф = 0 - уравнение поверхности нагружения. В качестве параметров состояния среды принимаются тензоры е, р, энтропия на

единицу массы 51 и тензор внутренних переменных к, с помощью которого описывается часть мощности диссипации механической энергии, условно названная энергией, идущей на перестройку «внутренней структуры» элемента. Для этого тензора также постулируется к = 0 при разгрузке. В качестве математического выражения И начала термодинамики часто принимается неравенство Планка

Р = Т5+р-11~дч/дх>0 (1)

где Т - абсолютная температура, р - плотность, д - вектор потока тепла, I - единичный тензор, А-В - В рассматриваемом подходе, наряду с неравенством (1), требуется выполнение условия неотрицательности мощности диссипации механической энергии

0 = Р + Рг-к>0, Г(е,р,к,Т) = 1/(е,р,к,Т)~Т5 (2)

^ и и свободная и внутренняя энергии на единицу массы, =5(---)/ЭДу. Слагаемое /^••к = С/к--к - часть диссипации, идущая на перестройку «внутренней структуры» элемента. Из закона сохранения энергии р II = о • ё -1 --д({1 дх и требования Б = Р = О при разгрузке, следует связь напряжений а с параметрами состояния а = р1'е. Считая эту связь справедливой и при активном нагружении, имеем /) = - • -р. Для рассматриваемого в I и II главах случая пластически несжимаемой среды р = р, к = к, где А - А- А--1/Ъ. Разложение свободной энергии и связь а = о(е,к,Г) записаны в виде

+ алр ■ -к +Ц- к ■ -к + Ц- (Т- Т^ 4- ап ( Т- %) I ■ -е + я8к • ё (3)

<3 = р[а{(1 • -е)I + а2ё + а^Т- 7^)/ + й8к] (4)

Из (4) видно, что в общем случае нет совпадения пластических деформаций с остаточными, т.к. при ст = 0 имеем гос =—(а^/а2)к+р. Уравнения упругопластичности при изотермическом процессе строятся из требования максимума функционала Лагранжа

>2 ¡2

¡Ы1=\[В-(5)

и

Ь- Цр-К ,рЛ), X - неопределенный множитель Лагранжа. Экстремаль функционала (5) ищется варьированием по р и к при фиксированных = р{, Рг' произвольных к(?,) и к(?2). Считается заданным путь в пространстве напряжений или полных деформаций. Условия трансверсальности при этом выполняются автоматически. Уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала (5) дают

= «4к = Хур (6)

где задавался путь в пространстве напряжений, ср(о,/?,к). Для задания модели требуется определить вид поверхности нагружения и множитель X. Условие ф - О при активном нагружении имеет вид

(фк+Я4РоФа)-^ = ° - (7)

Если потребовать

ф(а,р,к) = ср(а/р0-й4к,р) (8)

то условие (7) выполняется тождественно при любых направлениях догрузки. Параметр X при этом остается неопределенным. Задача его отыскания - самостоятельная проблема. Ясно только, что из требования независимости уравнений пластичности от масштаба времени X должен быть однородной функцией 1-го порядка от ё (или ё, или сг). Из (8) и (6) следует принцип градиентальности р = Лр0фа.

В I главе показано, что требование независимости определяющих уравнений от пространства (напряжений, полных деформаций, упругих деформаций) в котором изначально задан процесс деформирования, приводит к необходимости выполнения условия (8). Во II главе из общих соображений показано, что параметр X может быть найден в рамках рассматриваемого вариационного принципа МДМЭ лишь с точностью до некоторой неотрицательной функции п(е,р,к). Конкретизация этой функции требует дополнительных соображений.

В I главе сделана попытка полного определения параметра Ла-гранжа X с помощью введения неголономной связи параметров состояния. Рассмотрены две модели. В первой из них в качестве такой связи принято соотношение (7), при этом изначально не требовалось выполнения условия (8). Из (7), (6) однозначно находится параметр X. Уравнение поверхности нагружения записано в виде

Ф(а,р,к) = (ро'а -с4к -схр)2 - с2р2 - с3к2 -2с5к-р-~к20^ц>(ё,р,к)^Щё,р, к)=0, (■■■)■ •(•••) (9)

Приняв за условие активного нагружения \|/е ■•£>(), из требования Л > 0 при любых процессах деформирования, было получено

1)>0 => с3 = с5 = 0, а4=с4> а2+а8с,/а4>0 (10)

Выписанные в (10) равенства уже из других соображений означают ограничение (8) на вид поверхности нагружения. В выражении для X при этом возникает неопределенность, после устранения которой Х = ~а2а^ъ ••£)Д<Р5'"(я2Фг + а8Фр))- Потребовав дополнительно Р> 0 при произвольных процессах нагружения, получено

Р>0 => с, = -я4а2/а8, а5 = (а8-а4)а8/а2 (11)

и • . , ,

Первое из этих равенств противоречит неравенству (10). Это

означает, что в данной модели при рассмотрении произвольных путей нагружения невозможно удовлетворить неравенствам В>0 и Р> 0 одновременно. Показано, что если из рассматриваемых путей нагружения первоначально изотропного тела исключить разгрузку, то для одновременного выполнения0>0 иР>0 к условиям (10) достаточно добавить а^ = я5 = 0, с, > 0.

Во второй модели I главы изначально считался заданным путь в пространстве упругих деформаций. Из ф = 0 однозначно находился параметр X. Из /) > 0 в качестве необходимого было получено съ = с5 = 0, <я4 = с4, а в качестве достаточного съ = с5- 0, ал = с,,

с2 >{а3 - с,)2 => В > 0. При этих равенствах в выражении для А. возникала, как и ранее, неопределенность, после устранения которой

^ = О2)

Если при выборе поверхности нагружения сразу потребовать с3 = с5= 0, а4 = с4, то для определения множителя Я требуется введения дополнительной связи параметров состояния. Выражение (12) соответствует требованию ортогональности приращений упругих деформаций и нормали к поверхности нагружения фст ••ё=0 (фст, (ре, 1; сонаправлены). Потребовав дополнительно выполнения неравенства Р> 0 при любых путях нагружения, было получено

Р>0=>с1 = - а4аг}а%, а5 = (а8 -аА)ач/а2, а8/(а8-а4)> 0(13) в качестве необходимых условий. Отсюда следует аЕФ 0, т.е. Эти же условия становятся достаточными, если к ним присоединить

неравенство сг > ((а3 -с,)(а8 -а4)/а8 + с2/а2)\ В данной модели

требования 0> О, Р>0 совместимы при любых путях нагружения. Определяющие уравнения упругопластичности записываются в виде

р=2Хк, к =-2Х(аА -¿¡^"'[(^ +а2)к+сгр]+а2(а4 -о^)~1б(14) (р(ё,р,к)-к~к-с2р--р-кц =0, к-сцг-{а^-а^к-с^р (15) где для второй из рассмотренных моделей При

/с • >0 имеем активное, а при к ■ -г =0 - нейтральное нагружение {р-0, к^О), при к--е<0 - разгрузку. Для второй модели аналитически решена задача по простому нагружешпо первоначально изотропной среды. Рассмотрены случаи простого растяжения (сжатия) и кручения. Из этого решения следует, что кривая т—у при кручении

(т - касательное напряжение, у - угол сдвига) имеет вид: <»х / Направление выпуклости на уча-

стке, соответствующему активному нагружению, всегда направлено вниз. Угол а.] меньше ао, угол наклона асимптоты сх, <(хп, если

»V

рис. 1 аз - сг ■

Во второй главе диссертации вводится функция параметров состояния п, определением которой служит равенство £> = т}/с ••£. Из

условия активного нагружения \|/6 --е >0 следует, что для выполнения неравенства диссипации £) > 0 необходимо и достаточно п>0.Х однозначно выражается через п: Х = агп{у?1

Отсюда видно, что уравнения упругопластичности (6) удовлетворяют требованию инвариантности относительно масштаба времени, если функция п является однородной нулевого порядка относительно ско-

ростей параметров состояния. В работе считалось, что п является функцией (или функционалом) только параметров состояния и не зависит от их скоростей. Далее вводился параметр Цст по определению:

= (р0а2) ' ■ • •г). [ао связан с углом наклона касатель-

ной к кривой а-г при простом растяжении (сжатии), кручении. При цст=1 этот угол совпадает с углом наклона упругого участка, а при ца =0 равен нулю. Для выполнения неравенства Р> 0 при любых путях нагружения, необходимо и достаточно к условиям (13) добавить

(1+т](1-Э))*х„ <1-лР, Т1=«2(«з-£|)А2> Э = «4/Ч<1(16) (13), (16) не зависят от конкретного вида п. Из (13) следует, что число независимых материальных констант уменьшается на две единицы (с, и а5 выражаются через другие константы). При этом снова отсутствует предельный переход д8 —>0. Более того, в определяющие уравнения константы а4и а8 входят только в виде комбинации (3 = Д,/я8, что является следствием возможности изменения масштаба тензора к. Из (13) следует также условие Р<1. Неравенство (16) ограничивает возможные значения Представлены соображения, из которых следует, что область изменения (3 должна быть ограничена условием Р < 0. При этом условии угол наклона касательной к графику су - е простого нагружения первоначально изотропного тела в начальный момент активного процесса (тст0 =(ЗДр~1) больше нуля, но меньше упругого значения. Ограничение (16) представлено на рис.2. На плоскости |х0 - Г) выделяются три разрешенных квадранта (IV квадрант запрещен из-за возможности стягивания поверхности нагружения в точку). Каждому из них, при простом нагруже-

нии первоначально изотропного тела, соответствуют свои интервалы изменения г| и с2. В I квадранте - л > О, сг > 0, во II - т] < 0, с2> О,

в III — Т| < 0, с2 < 0. Материалам, соответствующим разным квадрантам, отвечают разные ограничения на возможные значения

Существует область значений л» с2, где 0< |до < 1 (I квадрант и

часть Ш квадранта). Обычно подобное ограничение получают исходя из не имеющего термодинамического обоснования постулата Друке-ра. В другой части Ш квадранта допускаются значения цо<0, соответствующие наличию падающих участков на кривых с - е. Показано, что при ортогональной догрузке, которой предшествовал выход ка поверхность нагружения путем простого растяжения, мгновенный модуль сдвига становится меньше упругого, что совпадает с выводами теорий сингулярной пластичности. Дальнейшее исследование потребовало конкретизации вида функции п. В работе принято

простого нагружения считалось п'-С0№1> 0. Такой выбор устраня-

и означает не более чем одну из возможностей конкретизации модели. Вторая модель I главы отвечала другой возможной конкретизации функции п. Найдены ограничения на я'; 0<и'--аТУ^ТУ,

Рис.2.

При исследовании кривых

ет неограниченный рост параметра X, в случае, если -->0

Dt e[0;l], обеспечивающие выполнение неравенств P> 0, < 1 при побых процессах деформирования. N выражается только через аг, с2, т|, р. В некоторых областях значений материальных констант шйденные ограничения обеспечивают выполнение условия > 0. В других случаях это условие выполняется при дополнительных ограничениях на N. При численном исследовании циклического нагруже-пия в п' вводилась зависимость от аналога параметра Одквиста R: а =а0 - ¿T^j, R = л/к • -к . Это позволило описать циклически упрочняющиеся и разупрочняющиеся материалы. На рис.3-7 приведены некоторые результаты численных расчетов. Качественные особенности кривых в диссертации пояснены аналитически. Показано, что I квадрант рис.2 можно разбить на три зоны. В первой из них на кривой простого растяжения о - s (кривая 1 на рис.3) выпуклость на участке активного нагружения направлена вниз. Для материалов второй зоны (кривая 2 на рис.3) существует точка перегиба на графике о — £, но предел при Е—><х> больше fia0. В третьей зоне

(кривая 3 на рис.3) limMa = Мао и пластические деформации ограничены. Графики циклического растяжения-сжатия показывают существование предельного цикла как для циклически упрочняющихся, так и для циклически разупрочняющихся материалов. Для материалов первой зоны I квадранта предельным циклом является отрезок прямой, проходящей через начало координат (рис.4). При достаточно малых значениях амплитуды продольной деформации первые циклы практически повторяют друг друга и лишь затем начинается циклическое упрочение. Такое упрочение наблюдается и при п' = const.

Графики простого и циклического нагружения для материалов, соответствующих II квадранту рис.2 качественно напоминают графики для материалов первой зоны I квадранта.

О 0.001 0.002 О.ООЗ I 0.004 0.005

Е ''

Рис.3. Графики а-е, ца-£, при простом растяжении (I квадрант рис.2,). р0=1, к0= ЮОМПа, а,=1.3-105МПа, я2=а4=1.6-Ю5МПа, |3=-0..02г.с2=(10С|)23 а=1, ц=(а2/]с 2)s¡: s^O.25, s2=0.75, s3=2.

ь о.

-- -

\ i

>x2¡

ex2^

Рис.4. Графики a-E, p-t. 10 циклов. p0, k0, a¡, a2, a4 соответствуют

;рис.З, Г|=0,1 (a2/„|c2) - первая зона I квадранта рис.2, c2=(0.2ci)2,

Р=-0.7, (Л'~7.2), cr=500, а0=0.2, а (=0.8, егаах=0.0015.

Ha рис.5 показан график а-е циклического растяжения-сжатия для циклически упрочняющегося материала второй зоны I квадранта рис.2.

Рис.5. График ст-е. 6 циклов. г|=0.75(«2А]с 2) ~ 2 зопа I квадранта рис.2, р0, к0, а\, а2, Д4 соответствуют рис.3, С2~(С\)'2-, $=-0.03,

(N=7.5), сК=2-103, ао=0.2, О1=0.8.

Кривые простого растяжения для материалов, соответствующих III квадранту рис.2 показаны на рис.6. Для этих материалов возможно наличие падающего участка на кривых ст-£; пластические деформации ограничены.

У

О 5-ю 4 0 001 0.002 0.002 0 0025

Рис.6. Графики С-е (Ш квадрант рис.2). р0, к0, аи а2, а.\ соответствуют рис.3, а=1,т|=-1, с2=-(0.5с1)2, Р=-5; :в1=1, в2= 1.5,53=0.5. На кривой циклического растяжения-сжатия, после прохождения упругого участка, выпуклость направлена во внешнюю сторону от центра а=0, Е=0 (рис.7).

Рис.7. Графики ст-Е. 5 циклов. р0, к0, а\, аъ а4 соответствуют рис.3, т]=-3, Сг^-СО^С])2 - III квадрант рис.2, ß=-0.33, (iV=3), а0=0.4,

ai=0.6, cR=1.3-103.

Показано, что если ограничить класс путей деформирования

случаем пропорционального циклического нагружения, то возможно построение модели, где пластические деформации совпадают с остаточными (а8=0) и удовлетворяются термодинамические неравенства Р> 0, D> 0. В такой модели параметр Лагранжа X выражен непосредственно через ¡ла = -лу-),

+ + Аналитиче-

ски рассмотрены условия, обеспечивающие выполнение D > 0. Неравенство Р>0 проверялось численно. Здесь также из результатов численного счета следует существование предельного цикла и возможность описания как циклически упрочняющихся, так и разупрочняю-щихся материалов (рис.8-9). Использовавшийся вид функции позволяет избежать изломов на графике а - £ при переходе от упругости к пластичности. Существуют участки активного нагружения, следующие непосредственно вслед за упругими, на которых угол наклона касательно к кривой а - £ совпадает с наклоном упругой области

ц0=1). На этих участках р—0, по тем не менее происходят необра-гимые процессы (к фО => Р>0).

°х2,

-20J

/ / // // ft

|°xl, о

7

//

0 001 О 002

-0.002 -0.001

■х2,

о

О 001 0.002

Рис.9. График а-8. Отличия от рис.8: Hi=|i2=2000;CR=1000, ц3=-0.5

Рис.8. График а-г. 4 цикла., р0, k0, a¡, 1Ъ а4 соответствуют рис.3, с2=0, цо= 1, :1=аз=0.1а2, ц,=ц2=500, CR=1000, Ц3=5.

Помимо большей общности первой модели данной главы [ag Ф 0) по сравнению со второй (а% = 0), она имеет еще и следующие преимущества: 1) при п' = const описываются достаточно сложные кривые простого нагружения, в то время как во второй модели при аналогичном условии = const график а - в состоит из участков прямых; 2) если отвлечься от необходимости введения дополнительных материальных.констант для функций |1Я и л', то их число в первой модели на две единицы меньше. Общее число материальных констант в первой модели, необходимых для описания неупругого поведения материала - пять: т|, |3, с2, N, к0.

В третьей главе диссертации вариационный принцип МДМЭ применен для построения уравнений упругопластичности в случае отсутствия теплообмена между элементами. Отказ от условия изо-термичности приводит к существенному усложнению определяющих

уравнений, поскольку в этом случае требуется включение в функционал Лагранжа дополнительной неголономной связи параметров состояния — закона сохранения энергии. В отличие от моделей, рассмотренных ранее, здесь вопрос о следствиях неравенства Р> 0 не исследовался. Определяющие уравнения построены из условия равенства нулю первой вариации функционала Лагранжа Ь—В-Х^-уШ--А--Ф, 1Р=0 - закон сохранения энергии; условие Ф=Д/)-(о/р+|а£)=0 отражает задание пути в некотором комбинированном пространстве напряжений о и полных деформаций г. Тензор Л и параметры X, V — неопределенные множители Лагранжа. Включение в число заданных связей условия Ф=0 позволяет выявить ограничения на вид поверхности нагружения, обеспечивающие выполнение требования независимости определяющих уравнений от пространства (напряжений или полных деформаций) в котором задан процесс (для этого необходимо и достаточно, чтобы Л=0). С другой стороны, это условие обеспечивает равноправие всех параметров состояния в том смысле, что варьирование функционала производится по всем этим параметрам. Рассмотрен частный случай пластически несжимаемой среды. Такая среда получается в качестве предельного случая пластически сжимаемой среды при равенстве нулю соответствующих коэффициентов разложения внутренней энергии и уравнения поверхности нагружения по инвариантам параметров состояния. Показано, что в этом случае в определяющие уравнения упругопластичности входит только девиа-торная часть тензора к. Найден общий вид регулярной поверхности нагружения для пластически несжимаемой среды (в низшем приближении по малым деформациям), удовлетворяющий вышеприведенному требованию независимости определяющих уравнений от пространства, в котором задан процесс деформирования. Определяющие

/равнения существенно упрощаются при «слабой» зависимости поверхности нагружения от энтропии. В этом случае уравнения для тензоров р и К не зависят от энтропии и модель применима не только для адиабатического процесса. Уравнения упругопластичности для этого простейшего случая имеют вид

где а\ - константы материала, входящие в разложение внутренней энергии, V,, - начальное значение параметра V. Температура (и энтропия) рассчитываются независимо после решения упругопластиче-ской задачи из закона сохранения энергии. Требование А=0 приводит к неопределенности множителя X. Показано, что X определяется с точностью до неотрицательной функции параметров состояния. Недостатком классической теории течения является то, что изменить направление прироста пластической деформации на коротком отрезке пути в пространстве напряжений невозможно. Этот недостаток при применении теории к проблеме устойчивости приводит к неадекватным результатам. Построенная модель допускает возможность изменения направления с1р на коротких отрезках пути даже при регулярной поверхности нагружения. В моделях I и II глав такая возможность имела место по отношению к остаточным (но не к пластическим) деформациям. Из модели (17)-(20) могут быть получены модели главы II в частном случае У0 = 0. Как и в первой модели II главы, при ортогональной догрузке, которой предшествовал выход на поверх-

(а[ -а^)к = -ХЭср /дё+а'2{1- у0)б а = р[а£ (£ - 50) / + д,'(/••<?)/ + а'^е + а'% к]

(17)

(18)

(19)

(20)

ность нагружения путем простого растяжения, мгновенный модуль сдвига становится меньше упругого, что совпадает с выводами теорий сингулярной пластичности.

В заключении приводятся основные результаты работы, которые состоят в следующем:

1. Предложенный ранее вариационный принцип МДМЭ подразумевает необходимость удовлетворения двум независимым термодинамическим неравенствам: требованию неотрицательности мощности диссипации механической энергии Т> > 0 и неравенству Р> 0, выражающему второе начало термодинамики. Одним из основных результатов работы является исследование следствий одновременного выполнения обоих неравенств.

2. Требование Б > 0 при любых процессам деформирования существенно ограничивает вид поверхности нагружения ф(а,р,к) = ф(а/р-а4к,р). Это же следует из требования независимости определяющих уравнений от пространства в котором изначально задан процесс деформировалия. Аналогичные ограничения (в более сложном виде) имеют место и при рассмотрении адиабатического процесса. Они приводят к тому, что множитель Лагранжа X задающий, в частности, модуль скорости пластической деформации, остается неопределенным. Модели среды, рассмотренные в I и И главах диссертации, отличаются, в основном, способом определения X. Предложены различные подходы к устранению неопределенности множителя Лагранжа X. В главе II эта задача сведена к задаче отыскания неотрицательной функции п'(е,р,к).

3. Показано, что требование одновременного удовлетворения неравенствам В>0, Р> О при любых процессах нагружения приводит к необходимости различать пластические и остаточные деформации.

. Некоторые ограничения на модель среды и следствия этой модели ie зависят от вида п'. В частности (при as ^ 0), из неравенства Р> О ледует |3 = аА/а% <1, что означает уменьшение мгновенного модуля двига (по сравнению с его упругим значением) при ортогональной югрузке, которой предшествовал выход на поверхность нагружения 1утем простого растяжения. Этот вывод совпадает с выводами теорий сингулярной пластичности. Другим, не зависящем от вида п', следствием неравенства Р> 0, являются ограничения возможных ¡начений ¡1 - тангенса угла наклона касательной к кривой а - в для простого нагружения первоначально изотропного тела. Эти ограничения существенно различны для разных областей значений двух материальных констант ц и сг- При г| > 0, с2 >0 0<<(i < u2, где ц2 соответствует упругому деформированию. Обычно подобное ограничение получают исходя из постулата Друкера. В другой области допускаются значения ц<0, соответствующие наличию падающих участков на кривых и - s, но при этом ц < j_i2.

5. Найдено ограничение n'<N (где N—функция материальных констант), достаточное для выполнения неравенства Планка и условия |i<|i2 при любых процессах нагружения. При численных расчетах

кривых простого растяжения считалось п' = const. Даже в этом простейшем случае получены кривые, обладающие различными качественными особенностями в зависимости от значений материальных констант Г) и Ci. Эти особенности пояснены аналитически.

6. При численном решении задачи пропорционального циклического нагружения вводилась зависимость функции и' от аналога параметра Одквиста. Наличие такой зависимости позволило получить кривые, соответствующие циклически упрочняющимся и разупрочняющимся

материалам. Эти кривые также имеют качественные особенности в зависимости от значений материальных констант Г] и с,2.

7. Для модели среды, предполагающей совпадение пластической и остаточной деформаций (а8 - 0) также найдены численные решения задачи пропорционального циклического пагружения. Для данной модели могут существовать участки «квазиупругости» (р-0, К^О) на кривой пропорционального циклического нагружения.

8. Одним из возможных подходов к определению п' является введение дополнительной неголономной связи параметров состояния. Такая модель была рассмотрена в §4 главы I.

9. Исходя из вариационного принципа МДМЭ определяющие уравнения получены также при отказе от условий изотермичности и пластической несжимаемости, но при отсутствии теплообмена между элементами среды. Здесь также рассмотрены ограничения на вид поверхности нагружения обеспечивающие выполнение условий независимости определяющих уравнений от пространства, в котором задан процесс деформирования. Рассмотрен4 частный случай пластически несжимаемой среды. Показано, что в этом случае в уравнения упру-гопластичности входит только девиаторная часть тензора к. Система определяющих уравнений упрощается при «слабой» зависимости поверхности нагружения от энтропии. В данной модели снова возникает неопределенность множителя X. Предложен подход к устранению этой неопределенности. В отличие от моделей предшествующих глав (где йа т^О), данная модель допускает изменение направления приращения не только остаточных деформаций, но и пластических деформаций на коротких отрезках пути деформирования.

Результаты, полученные в работе, позволяют надеяться на достаточно высокую эффективность применения вариационного принципа МДМЭ для построения моделей упругопластичности.

Личный вклад автора состоит в следующем: I) проведены конкретные аналитические расчеты по построению и «следованию представленных в диссертации моделей среды; 2) предложены подходы к выявлению следствий требования одновременного зыполнения неравенств D > О, Р> 0 и проделаны все соответствующие расчеты; 3) проведены все численные расчеты по простому и тропорционалыюму циклическому нагружению, представленные в шссертапии, включая составление и отладку программ для ПК.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих заботах:

1. Шитиков A.B., Шитиков С.А. Малые деформации упругопла-;тических упрочняющихся сред//Профессионально-педагогическое образование. Сб. научн. трудов. Часть2: Исследования в предметных i методических областях. Екатеринбург: Изд-во Уральского государственного профессионально-педагогического университета, 1996,

37-44.

2. Шитиков A.B., Шитиков С.А. Модель квазиидеальной пластич-юсти//Технические науки. Материалы 26-й научно-технической конференции Комсомольского-на-Амуре государственного технического шиверситета. Часть1. (Комсомольск-на-Амуре, 4-26 апр., 1996). Ком-;омольск-на-Амуре: Редакционно-издательский отдел Комсомоль-:кого-на-Амуре государственного технического университета, 1997,

16-24.

3. Шитиков A.B., Шитиков С.А. Определяющие уравнения упруго-шастического упрочняющегося тела при малых деформациях в изо-

термическом ироцессе/Шрикладные задачи механики деформируемого твердого тела и прогрессивные технологии в машиностроении: Сб. научн. тр. ИМиМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1997, С.80-88.

4. Шитиков A.B., Шитиков С.А. Определяющие уравнения упруго-пластичности в адиабатическом процессе //Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела и прогрессивные технологии в машиностроении: Сб. научн. тр. ИМиМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука,1997, С. 89-99.

5. Шитиков A.B., Шитиков С.А. Модель упрочняющегося упруго-пластического тела//Проблемы механики сплошной среды, 4.1: Материалы трудов международной научно-технической конференции (Комсомольск-на-Амуре, 15-19 сент., 1997). Комсомольск-на-Амуре: Изд-во Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета, 1998, С.59-62.

Г. Екатеринбург 8 марта 62 Уральский государственный экономический университет 1,6/п/л Зак. №244. Тираж 100