Построение и оптимизация омега-предельных множеств управляемых релейных систем при действии возмущений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

1 ?. оит с:

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ыа правах рукописи

Кирлн Борис Ефимович

ПОСТРОЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ со-ПРЕДЕЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ УПРАВЛЯЕМЫХ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Пе гербурт 1998

Работа выполнена в Вятском государственном техническом университете на факультете автоматики и вычислительной техники.

Официальные оппоненты:

• доктор физико-математических наук, профессор Камачкин A.M.

• кандидат физико-математических наук, доцент Рожков Ю.С. Ведущая организация:

Мордовский ордена Дружбы народов государственный университет имени Н.П.Огарёва

Зашита диссертации состоится OtebStyA^ 1998 г. в 4G часов на заседании диссертационного совета К-063.57.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, В.О., 10-я линия, д.ЗЗ, ауд. 4 (.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9. Автореферат разослан «2.Sr> СЛ^Э^Ц 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физ.-мат.наук, профессор В.Ф.Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Анализу систем автоматического управления с разрывными характеристиками посвящено немало работ, в которых исследуются вопросы корректности модели в форме систем дифференциальных уравнений или дифференциальных включений, асимптотика поведения и построение оптимального управления в таких системах и т.п. Важное место в теории и приложениях занимают работы, где изучается влияние возмущений на траектории управляемых и неуправляемых систем. Чаше предполагается, что эти возмущения носят случайный характер. В меньшей степени исследованы задачи с учетом незатухающих неопределённых на бесконечном временном интервале возмущений. Задачи экстремального управления с такими возмущениями иногда интерпретируются как игровые. Однако, несмотря на имеющиеся универсальные подходы, конструктивный аппарат анализа таких задач развит недостаточно.

Диссертация посвящена исследованию релейных управляемых систем с учетом возмущений в канале обратной связи, порождаемых произвольно переменными ограниченными погрешностями в измерениях фазового состояния системы. Такая система трактуется как управляемое дифференциальное включение. Целью невозмущенного управления является стабилизация заданного режима (состояния равновесия), а при наличии возмущений - минимизация уклонений предельных траекторий ( ю-предельного множества ) от упомянутого стационарного режима.

Цель работы состоит в получении конструктивных методов оценивания или построения ©-предельных множеств управляемых систем указанного выше типа, а также оптимизации параметров управления по геометрическим характеристикам ©-предельного множества.

Методы исследования, использованные в работе, опираются па классические средства математического анализа решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, теорию прямого метода Ляпунова в задаче об устойчивости движения и математическую теорию управления.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1.Для автономных систем дифференциальных включений общего вида прямым методом Ляпунова установлены конструктивные теоремы об оценивании множеств со- предельных точек траекторий таких систем.

2.Разработана методика построения о-предсльных множеств управляемых систем второго порядка с линейной частью и аддитивно входящим релейным управлением при наличии произвольного ограниченного незатухающего возмущения в сигнале управления.

3. Решена задача оптимизации параметров релейного управления

в указанных системах второго порядка по критерию минимума максимального уклонения траекторий возмущенной системы от идеального стационарного режима. Установлены области грубости параметров оптимального управления.

Научная и практическая значимость работы. Теоретические результаты диссертации могут быть использованы при дальнейшей

разработке методов анализа асимптотики решений дифференциальных включений. Полученные для систем второго порядка зависимости параметров оптимального управления от параметров неуправляемой части системы и уровней возмущений могут найти применение в решении конкретных инженерных задач синтеза регуляторов с элементами типа реле и эффектом гистерезиса.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах в Ленинградском педагогическом институте (1980, кафедра математического анализа) в Ленинградском госуниверситете (кафедра высшей математики, 1984), Ленинградском политехническом институте (1988, кафедра высшей математики), Горьковском государственном университете (1987, кафедра дифференциальных уравнений), в Вятском государственном политехническом университете ( 1980 - 1990, кафедра высшей математики), в Санкт-Петербургском государственном университете (1997, кафедра теории управления).

Публикации. Основные результаты отражены в четырёх публикациях, указанных в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 56 наименований. Объём работы 87 стандартных страниц машинописного текста, исключая 17 страниц с рисунками.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В кратком введении мотивируется актуальность темы, указываются примыкающие исследования и основные результаты данной диссертации.

Первая глава посвящена общим методам конструирования оценок а-предельных множеств дифференциальных включений с помощью функций типа Ляпунова. Теоретической основой этих построений служит известная теорема Барбашина-Красовского*' об асимптотической устойчивости в целом.

В области D=GxT (GcRn, T=(a,p)cR) рассмотрим дифференциальное включение

x'eF(x,t), (х, t)e D (1)

Здесь х - x(t) - n-мерная абсолютно непрерывная вектор-функция (решение дифференциального включения), х' = x'(t) - её производная по времени t е (a,P), F(x, t) - множество в R" при каждой паре (х, t). Доопределим включение (1) дифференциальным включением

х' е со F(x, t), t е Т\ (2)

следуя общему способу доопределения^ приведённому в монографии А.Ф. Филиппова **со F(x, t) - выпуклое замыкание множества F(x, t), дополненного предельными точками многозначного отображения F(x*, t*) при х*-»х, t*—И, Т'- множество полной лебеговой меры в Т. Такое доопределение позволяет установить**', что в случае равномерной ограниченности множеств F(x, t), (x,t) eD поточечные пределы решений включений (1) и (2) являются решениями включения (2) (лемма 1.1).

Далее будем считать включение (2) стационарным:

x'eco F(x,t) -F(x) (3)

*) Барбашин А.Е. Функции Ляпунова. М., 1970.

* ♦)

Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.,

Будем также считать, что Т=[0,+<с) и через любую точку (xo,to)ED проходит хотя бы одно решение x(t) = x(t, xo,to), ггродолжимое по t на промежутке [to,+°o). Множество ю-предельных точек таких решений обозначим Q = Q(G).

Пусть v =v(x) - непрерывная функция - v: G —>R . Введём в рассмотрение множества

Vc={x е G: v(x) < с}, Vcd ={х е G: с < v(x) < d} Здесь end (c<d) - произвольные вещественные числа. В диссертации установлены следующие теоремы (§2).

Теорема 2.2. Пусть с < d и для некоторой функции \(.) множество Vc4 - непустое ограниченное множество в G. Пусть также множества F(x) при х € V/ включения (3) равномерно ограничены и на каждом решении х =x(t) включения (3) при почти всех t >0 существует неположительная производная

(v(x(t)))'<0, x(t)eVcd, причем множество W» точек х = x(t), где (v(x(t)))'=0, не содержит целых полутраекторнй в Vcd. Тогда в Ved нет ш-иредельиых точек решений включения (3) и любая ю-предельная точка полутраектории в Vcd содержится в множестве Vе.

Данная теорема идейно опирается на упомянутую теорему Барбашина-Красовского.

Теорема 2.4. Пусть при любом начальном векторе XoeG существует полутраектория x(t) = x(t,xo), t е [t0 +,<») включения (3). Пусть также существуют непрерывные функции v=vj(x), j=l,...,J, определённые в G, и - соответствующие им числа Cj, такие, что для каждой функции Vj и любого числа dj€(Cj,dj-+), dj+ = sup {Vj(x): xe G},

выполнены условия теоремы 2.2. Тогда множество со-предельных точек включения (3) содержится в пересечении множеств Vj=Vcj:

Q(G)<=rv,JV^Vc. (4)

Здесь с =(ci,c2,...cj) - мулътниндекс.

Отметим, что если в условиях теоремы 2,4 фиксировать некоторые числа dj5 j=l,...,J, то объединение множеств Vdj представит часть области притяжения множества Vе на траекториях включения (3).

Следствие 2.2 Если каждая точка пересечения (4) является точкой покоя или точкой замкнутой траектории включения (3), то указанное пересечение является его га-предельным множеством:

Q(G)=VC. (5)

Ясно, что в условиях данного следствия числа Cj - минимальные из тех, которые удовлетворяют условиям теоремы 2.4. Это оправдывает следующий способ отыскания чисел c,d для любой фукции v(.) в условиях теоремы 2.2.

Пусть G=Rn, £2(G) - ограниченная окрестность точки 0 (нуль) в R". Рассмотрим гладкую функцию v(.) в R", для которой каждое множество Vе, c>v(0), - звёздная замкнутая область относительно точки 0, причем на каждом луче Lq ={nq. ц>0} функция v(.) строго возрастает с ростом ц. Тогда всякий луч Lq пересечет поверхность уровня v(fi) ={х: xeR": v(x)=P} лишь в одной граничной точке |i(p)q множества Vp. Для каждого направления q найдём числа c(q) и d(q) как решения следущей задачи

d(q) -c(q) = sup{d-c: v'+(x)<0 при x = n(p)q, p e (c,d)}, (6)

где

v'+(x)= sup {dv(x>y: у e F(x)} (7)

Под знаком последнего супремума изображен дифференциал функции v(.) в точке х по направлениям у. Экстремум (6) по с и d отыскивается независимо. Далее найдём

с = c+(v) = sup c(q). d = d_(v) = inf d(q) Здесь экстремумы берутся no q e R™. Именно такие величины c=cj следует использовать для каждой функции v=-vj в пересечении (4).

В случае гладкой функции v(.) множество Vе имеет гладкую границу, но, следуя Е.А.Барбашину, в задаче (7) можно использовать непрерывные функции v(.), имеющие производные лишь в силу включения (3) или (1). Изложенный способ предлагается реализовать, задавшись подходящим способом представления функций v(.) в виде, например, гладких параболических или кусочно гладких линейных сплайнов (§3). В главе 2 этот способ использован для специальных функций v(.), поверхности уровня которых являются отрезками интегральных кривых дифференциальных уравнений, содержащихся во включениях (3).

Вторая глава посвящена построению и оптимизации сопредельных множеств управляемых систем вида

х'= Ах -+bu, (8)

где x=x(t) - n-мерная вектор функция (столбец), х' - её производная по независимой переменной t, А - постоянная квадратная пхп матрица, b -постоянный вектор-столбец, и - управляющий сигнал следующей структуры

u = sign ф( х + iy), (p(x) = (k,x) = kiXi+k2X2+...+knXn (9)

Здесь к = (ki,k2,...kn)- коэффициенты усиления, r| = (r|i(t),ii2(t),...r]n(t)) -произвольная измеримая вектор-функция (погрешность измерения фазового состояния х), удовлетворяющая ограничению

1л,(01 <V. i=l,...,n. (10)

В этих условиях уравнение (8) заменяется дифференциальным включением типа(З):

х'е Ax + bsign(x + H), (11)

где Н - [-rii *,ni *]х...х [-11п*,Пп*] - n-мерный координатный промежуток.

Ставится задача 1 построения ограниченных со-предельных множеств il-O(G) включения (11) при различных фиксированных коэффициентах к в зависимости от параметров системы (8) и пределов rji* в условиях (10), а также - задача 2 минимизации по коэффициентам к диаметра d(Q) этого множества. В силу симметричности относительно нуля в R" множеств fi(G) при всех рассматриваемых значениях к (множество G предполагается симметричным) последнюю задачу минимизации можно интерпретировать как задачу построения управления (9) оптимального по точности вывода фазовой точки системы (8) в точку 0 пространства Rn (в минимальную окрестность нуля Rn). Соответствующее оптимальному управлению со-предельное множество Q = Qo будет наименее уклоняющимся от нуля в Rn среди всех возможных со-предельных множеств включения (11).

Поставленные задачи решались в диссертации при n=2, Ь-(1,1)' для канонических структур матрицы А:

а) я, 0 б) "л 1 " в) -ч X (0

0 0 X -со X

В рамках этих структур выделялись условия, в которых ©-предельные множества ограничены и среди последних отыскивались минимальные по диаметру. Задачи решались путем исследования фазового портрета системы (8) и методов оценивания ш-предельных множеств включения (11) по схеме, изложеной выше (в главе 1).

Введём зону Ф£Т) неопределённости (неоднозначности) сигнала управления системы (8) вследствие произвольности возмущений Т]1=е> г]2=т] в пределах типа (10) - | е {<£*, | ?] | < ц*:

Фщ = {х£Тв: |ср(х)|<с*}, (13)

где х=(х1,х2)', ф(х) = -к1Х1 -кгх2, с*=1к]|е*+|к2|т1*. Установлены участки скользящего режима системы (8) на границе зоны (13) - дФ„, ={х: |ф(х))=с*} с точками притяжения ¿у*, которые являются асимптотически устойчивыми точками покоя включения (И).

Вводятся в рассмотрение две системы дифференциальных уранений

х' = Ах±Ъ, (14)

полученные из системы (8) соответственно при ие1ии = -1.

В случае, когда система (8) имеет матрицу А вида (12) - а), строился координатный прямоугольник Р, две симметричные относительно нуля ( точки (0,0) в Я2) вершины которого являются точками покоя систем (14) - у+ = (у1+,уг+) и у' = (уГ,Уг~) - Затем в Р

строилась (основная) функция Ляпунова у(.), каждая поверхность уровня (кривая) которой состоит из двух симметричных относительно нуля дуг траекторий семейства (+) и семейства (-) систем (14). Указанные дуги образуют замкнутые траектории (простые циклы) включения (11) в пределах зоны Ф^ и стыкуются на кривой Г (кривая вершин циклов), определённой в явном виде:

х2=у2+{(уЛ + х,Г- (у,+ - хОЧ {(у1+ + х,) у+(у,+ - х,П = уСх,) (15) Здесь показатель степени V - \г!М, 12

Для указанной (основной) функции Ляпунова у(.) получено уравнение и построены области знакоопределённости ее производной на решениях включения (11) для построения оценки типа (4), в которой использовались также координатные функции ^=|Х)|, .¡—1,2 и Уз(х)=|(р(х)|. Этих функций оказалось достаточно для того, чтобы воспользоваться следствием 2.2 теоремы 2.4 и установить значения параметров к, при которых существует ограниченное ю-предельное множество Г2 с областью притяжения в равной всей фазовой плоскости или некоторой её части в зависимости от знаков собсвенных чисел матрицы А. В основных случаях, представляющих интерес для решения задачи 2, множества П имеют вид пересечения типа (5):

П=ФЩПУС\ (16)

где с*=у(у*), у* - одна из упомянутых выше точек притяжения траекторий включения (11), составляющих пересечение границы 5ФЩ с прямой, проходящей через точки у+ , у".

Затем среди коэффициентов к в зависимости от расположения точки (£*,т|*) на фазовой плоскости найдены явно или представлены

уравнением те к, которым соответсвуют минимально уклоняющиеся от нуля множества Л. При этом управление и(.) системы (8) для п=2 рассматривалось в следующих основных формах:

а) и= -^п^ +к*Х1), б) и = 5^п(хг - к*хО, к* = к]/к2. (17)

Найдены оптимальные (решающие задачу 2) значения коэффициента к*-к*о при указанных ниже связях между параметрами управляемой системы.

I. Случай устойчивого узла (Хг<^{<0).

1) Если л2)1 *>с*ль то к*0 = 0 ив (17) - а) ио = -

2) Для положения точки (г*,!]*) ниже кривой (15) , т.е. { г)*<у( е*)}, и при условии т)*Х2 < оптимальный коэффициент к=к*о в управлении (17) -а) находится численно решением системы:

сУ, _ г+1|У+ к*2+; +-у+2 =Т1* +к*е*,

= + (18)

(у- 01 + {г 2)2 = (X,2 Ч22)( Ч*+к*в*)2 (X, + к*

где с+ = (у*2 + у+г)|у*1 + у+1| у*= (у*ьу*г) - одна из угловых точек множества (16), упомянутых выше, определяемая равенствами |ср(у*)|=с*, А,!у*1=А.2У*2- Решение системы (18) сводится к численному поиску минимума унимодальной функции аргумента к*.

3) При выполнении неравенства

Л* > У+2 + с+(£*)|е* - у\\\ с+(г*)= - (у+2^ЫЬУ])\у\+г*С (19)

оптимальное управление ио= -81^п(х1) получается при к*—»+со из формы (17)-а).

П Случай седла (22<0<Л1).

Установлено, что ограниченное ю-предельное множество возможно для области С начальных точек х=(хьх2) в полосе { |х1| <1/2.\} при условиях, когда точки у+,у~ находятся в зоне Ф^, и А,] +к*Х2<0, к*>0 в управлении (17)-а) или к*л2 > 0, к*>1 в управлении (17)-б). При этом сохраняется уравнение для основной функции Ляпунова и представление (15) кривой вершин циклов. Оптимальное управление находится в форме (17)-а) при £*/.1<1 по условию (19) (к*о = +<о). При выполнении неравенства противоположного (19) к*0 находится из системы типа (18).

III. Случай центра.

Для матрицы А вида (12)-в) при Х=0, ¡х >0, установлено следующее.

1) Если г|* > е* и е*р.< 1, то к*о=+°° в управлении формы (17)-а).

2) Если <8*, £*р,<1, то оптимальный коэффициент к*о>ко находится численно путем решения одномерной задачи о минимуме функции, неявно заданной системой типа (18), ко определено как положительное решение кубического уравнения:

(1+чХ1 * Ч2) =2Ч(е*+Ч,,*)ц, ко=1/Ч.

3) Для случая е*ц > 1 построена функция 11 = Г(е), е* > 1/ц, по которой определено: если ц* < Г(е*), то управление (17)-б) при дает меньшее по диаметру ©-предельное множество, чем управление (17)-а) при к*=+<ю и наоборот - в случае т|* > Г(е*).

1 У. Случай вырожденного узла.

Для матрицы А вида (12)-б) при ЯНЗ и Ь =(0,1)' найдено оптимальное управление в форме (17)-а) при к*о- 2/г*2, г*2=ч}*/2 +((г|*/2)2+2е*)ш. При этом установлено, что соответствующее сопредельное множество По содержится в со-предельном множестве С1", полученном при управлении оптимальном по быстродействию в точку (0,0) в той же системе и при том же уровне погрешностей е*, 11* в определении текущего фазового состояния и, если б*> 0, г\*> 0, то диаметр (3(<Г>о) строго меньше диаметра с1(Пп) , в частности,

с1(Оп) - с!(Оо) = г|*"/2е*(т|*+2-~1(г\*)2+&£*))~' > 0 _

при

сШп) - <1(По) = 4 г| * (3 е *+т|^¡2е*)(4л/2е* +7,у] >0 при ъ = г|* +^/г|*2 +8&* > 4.

В заключение (§9) рассматривается техника построения алгебраических сплайн-функций первого и второго порядка для получения оценок типа (4) для систем (8) с матрицей А вида (12)-в).

По результатам проведённого исследования можно сделать вывод о том, что предлагаемая техника оценивания со-предельных

множеств конструктивна в широком классе управляемых систем с учетом возможных возмущений в параметрах и сигналах управления.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.КиринБ.Е. (О-предельные множества управляемых систем //Качественная теория дифференциальных уравнений в теории управления движением. Саранск, 1985. С.4-11.

2.Кирин Б.Е. Минимальные ©-предельные множества в системах с зоной неопределённости. Деп. В ВИНИТИ 26.03.86. №2036-В. М., 1986. С.1-8.

3.Кирин Б.Е. Об асимптотической устойчивости множества в многозначном векторном поле //Методы сравнения и методы Ляпунова. Саранск, 1990. С.40-46.

4.Кирин Б.Е. Анализ со-предельного множества управляемой системы второго порядка. Деп. в ВИНИТИ 15.06.98. №1795. М.,1998. С. 1 -4.

ЛР№ 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 21.09.98 Усл. псч. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 478. НИИ химии СПбГУ. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИ химии СПбГУ 198904, Санкг-Петерб}рг, Старый Пстсргоф, Университетский пр., 2.