Построение и оптимизация ω - предельных множеств управляемых релейных систем при действии возмущений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПОСТРОЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СО -ПРЕДЕЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ УПРАВЛЯЕМЫХ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЖ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

Специальность: 01»01.09 - математическая кибернетика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

КИРЙН Борис Ефимович

КИРОВ 1998

ВВЕДЕНИЕ

Анализу систем автоматического управления с разрывными характеристиками (обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) с разрывной правой частью) посвящено много работ общего и частного плана, в которых исследуются математические вопросы корректности модели, понятия решения соответствующей системы ОДУ , асимптотики поведения, оптимального управления и т.п. [2,6,10, 13,19,20,23,31,32,36,39,41,43,48-52,53,54,56]. Большое внимание уделяется моделям, в которых учитываются не только типичные разрывные характеристики, но и отражаются физические эффекты, приводящие к неоднозначности правой части исследуемой системы ОДУ. Это прежде всего модели, содержащие релейные характеристики (релейное управление с учетом эффекта гистерезиса) [2,3,5,19,22, 24,25,41,43,51,52]. Важное место в теории и приложениях занимают работы, где изучается влияние возмущений помех на поведение траектории управляемых и неуправляемых систем. Чаще предполагается, что эти возмущения носят случайный характер или являются асимптотически исчезающими величинами. Заметно меньшее число работ посвящено исследованию незатухающих неопределенных на бесконечном временном интервале возмущений. Отметим здесь работы [7,15,45,55] этого направления,, В качестве характеристики таких возмущений обычно принимаются некоторые "геометрические ограни** чения" - пределы их возможных значений в каждый момент времени. Задачи экстремального управления с такими ограничениями нередко интерпретируются как игровые (например, задачи о гарантированном результате [33-35]). Однако конструктивный аппарат построения таких управлений развит недостаточно, несмотря на имеющиеся универсальные подходы такие, как решение уравнений Айзекса-Беллмана.

Данная работа посвящена задаче построения и исследования асимптотики со -предельных множеств систем с релейным управлением, в котором возмущение порождается неточными измерениями фазового состояния в сигнале обратной связи, причем погрешности измерений предполагаются произвольными интегрируемыми функциями со значениями в заданных пределах (незатухающие неопределенные помехи). Целью невозмущенного управления является стабилизация заданного режима (состояния равновесия), а при наличии возмущений - минимизация амплитуды возможных колебаний в окрестности заданного идеального режима (нуля фазового пространства). В последнем случае при указанном типе возмущений возможно как множество состояний равновесия, так и множество периодических движений, наличие скользящих режимов . По этой причине данная постановка задачи примыкает к задачам об устойчивости интегральных многообразий [17], устойчивости нереализуемых движений [22] или устойчивости систем с множеством состояний равновесия[14,3^,а также к задачам о практической устойчивости [1].

Для математического исследования поставленной задачи, учитывая неопределенность возмущений в разрывной правой части ОДУ, необходимо прежде всего уточнить понятие решения таких 0ДУо Это делается путем рассмотрения такой системы как дифференциального включения с последующим доопределением правой части по одному из способов, указанных в монографии [50](выпуклое замыкание многозначного поля направлений). Далее на решениях построенного дифференциального включения можно перейти к анализу асимптотики движений. Зто делается с помощью прямого метода Ляпунова, отправной точкой в котором взята теорема Барбашина-Красовского об устойчивости в целом [8,9].

В первой части настоящей работы рассматриваются общие вопросы, связанные с модификацией теоремы Барбашина-Красовского для дифференциальных включений. Выделяется основная конструктивная идея этой теоремы, позволяющая по знаку производной некоторой функции на решениях дифференциального включения устанавливать множество в пространстве состояний, в котором отсутствуют 60 -предельные точки решений данного дифференциального включения. Следовательно, СО -предельные точки могут оказаться разве лишь в дополнении установленного таким образом множества. Пересечением подобных дополнений можно получать оценки искомого со -предельного множества,, Отмечается возможность в качестве функций Ляпунова, кроме традиционных полиномиальных конструкций [и, 19-21,40], использовать линейные и параболические сплайны при переходе к сферическим координатам в фазовом пространстве.

Во второй главе общая теория первой главы реализуется для управляемых систем второго порядка. Здесь для каждого фиксированного типа структуры линейной правой части ОДУ управляемой релейной системы путем анализа фазового портрета удается сформировать кусочно-гладкие функции Ляпунова, позволяющие дать точное описание границы искомого СО -предельного множества и на этой основе указать способы оптимизации параметров управления по упомянутому выше критерию точности - минимизация амптитуды предельных колебаний . Интересно отметить, что оптимальные управления рассмотренного класса приводят к существенно меньшей амптитуде предельных колебаний по сравнению с колебаниями при синтезе оптимального по быстродействию при том же уровне управляющего сигнала и типе (и уровне) возмущений „

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Для обыкновенных дифференциальных включений установлена

теорема типа Барбашина-Красовского об отсутствии СО-предельных точек в данной области задания дифф. включения (теорема 2.2). На основе этой теоремы предложена общая схема конструирования оценок Со -предельных множеств дифф. включений,

2. Построены сл -предельные множества в управляемых системах второго порядка с линейной частью и аддитивно входящим релейным управлением при наличии незатухающего возмущения в аргументе разрывного сигнала управления.

3. Для .описанных выше управляемых систем второго порядка указаны оптимальные по точности управления (в данном классе релейных управлений), параметры которых выражены через параметры линейной части системы и параметры характеристики возмущений. Установлены области грубости (нечувствительности) оптимальных параметров управления в пространстве параметров возмущений.

Результаты работы отражены в публикациях [26-29].

ГЛАВА 1. Метод Ляпунова в оценивании 60 -предельных множеств .дифференциальных включений.

Цель этой глнвы дать модификацию теоремы Барбашина - Кра-совского об устойчивости в целом [8,93 на случай обыкновенных дифференциальных включений. Эта задача мотивируется тем, что управляемые системы с учетом неопределенных возмущений удобно рассматривать как дифференциальные включения и тогда классическая задача о стабилизации невозмущенного движения точки покоя преобразуется в задачу о стабилизации множества, содержащего СО -предельные точки траектории движения.

Для уравнений с неопределенным разрывным возмущением принимается одно из доопределений дифференциальных включений, состоящее в том, что к многозначному полю направлений дифференциального включения в каждой точке области задания добавляются предельные направления, по которым строится выпуклое замыкание. Если далее решения дифференциального включения принимать как абсолютно непрерывные вектор-пункции (по Каратеодори [313), то данное доопределение позволяет при некоторых дополнительных условиях делать предельные переходы по начальным данным в решениях дифференциального включения» Для таких дифференциальных включений устанавливается теорема Барбашина - Красовского, которая по знаку производной некоторой функции \Л-> на траекториях дифференциального включения позволяет характеризовать множества, где нет (О -предельных точек решений включения (теорема 2.2). Через пересечение дополнений таких множеств дается оценка СО -предельного множества исходной системы д.у. (теорема 2.4). Конструирование такой оценки можно интерпретировать как построение кусочно-гладкой функции Ляпунова по отношению к СО -предельному множеству дифференциального включения.

§ 1. Управляемые дифференциальные включения.

Пусть G - область в R* , Т = - интервал в R .

В области D = G*T пространства Rn+< рассмотрим дифференциальное включение

-Jjr s ¿Ci) € F(acc±),0 С1Л)

Здесь Jc=3cci) -n-мерная вектор-функция, x-x^-t) - ее производная по независимой переменной t (времени), F(a:(i),i) -

п, R*1

- множество в R , т.е. FCO : D = G- 2, . Следуя работе [50] , для определения решения включения (1.1) расширим множество Р(асД) до замкнутой выпуклой оболочки conY F(:r,i) , как минимально замкнутого выпуклого множества, содержащего F(oc,t ) и пределы (J всех сходящихся последовательностей {j/**} вида :

а)д=£ту<к\ y<h>eF<x,i>; (1.2)

d) Пп, ^Fia^t,),*^*,^

° К**«3

Объединение множества F(x,i)c такими пределами обозначим Г(а:Д) .

Теперь решением дифференциального включения (1.1) на промежутке T=(oi,£) назовем абсолютно непрерывную вектор-функцию

X - £ (i) , t б Т , производная которой почти всюду на Т удовлетворяет включению

dcrt)€ corivF(acrt>,t)t téT* (1.3)

Здесь Т - некоторое Лебегово множество в Т , mes Т = mesТ . Данное определение означает, что решение rr = XCi) эквивалентно решению интегрального включения

3C(±)éJ conv F(x(i),i)dt +x(t.) (1.4)

■Ьо

при \оЛ из Т , интеграл в (1.4) понимается как интеграл по

однозначным суммируемым ветвям многозначного отображения t Ccnv F(x(i\i) f tel.

Рассмотрим пример•включения вида (1.1)

+ + i¿eH,£e2 , (1.5)

где А - матрица размерности п*п , ё - а -вектор, éСэс) -непрерывная функция в R" , Н и Н - некоторые множества соответственно в ЯЛ и R . Под SLgn.<¿ понимаем известную функцию:

súg*ic¿ = i при оС>0 , sigric¿=-i при оС<0 , signo - О Тогда решением на Т включения С 1.5) будет любая абсолютно непрерывная вектор-функция , удовлетворяющая при каддом X-X(t') t"téT* условиям

хе

Ах + é Ах + [Ф, &]

< Ах + [-6

V

при siga é(x) >0

при sigM"é(ac) = о

при signé(x)<o<sti¡n*é(x) (1.6)

Аа + [- 6, О] при sígri+é(x) = о Ах - 5 при ó Сое) <о

Здесь

з1дп+6(х) = $ир{ з£дл(беж +

Скобками Го,, £] Д-£,о] в (1.6) обозначены векторные отрезки вйЛ с указанными концами, О - нулевой вектор в "К"- .

Из данного определения при Н= = ^ получается опреде-

ление скользящего режима в уравнении с разрывной правой частью

X = Ах + 6 ) (1.7;

В случае линейной функции 6сх) = 8'х скользящий режим х = .2(±) определится решением уравнения

х = Ах + 6з(х,1,р , (1.8)

где S = s(ct, p находится из условия движения по плоскости e'et+rp^ =0 : eVsoD + fp + l =0,

0^'Ь e'iAx + is') s = =sC30e[-i,+i] (1.9)

Последнее включение не зависит от и тем самым определяет

замкнутые области на плоскостях вида

= о , ci.io;

в которых проходят такие режимы. Отметим, что доопределение уравнения (1.8), проведенное согласно общему доопределению

(1.6), приводит к движению (1.8),(1.9) по плоскости (1.10} независимо от того, будут ли знаки функций 6 и ё в силу системы одинаковы или противоположны вблизи плоскости. Такое доопределение оправдано соображениями приближенного "восприя^им" функции ¿(х) как сигнала управляемой возмущаемой системы

(1.7).

Дифференциальное включение вида

X € i(2C, IX,i ) (1.11)

назовем управляемым, если а^ц(зсД) числовой или функциональный параметр управление , принимающий значения в заданном множестве UcRm и допускающий произвольный выбор с соблюдением этого условия. Управление и назовем допустимым на промежутке Т в области & с R.*1 , если для любой точки (х0,-к0)е G*T существует продолжимое до границы множества G *Т

решение включения (1.11) в смысле доопределения (1.4):

t

x(i)e + i coav i(xci)?U(3ca)^),i)d-t (1.12) t0

Включение вида

, ц. = 51дпё(х) С1.13)

является примером управляемого включения, если считать, что

функции ёся) можно выбирать из некоторого заданного класса функций. Из приведенного выше доопределения ( 1.8) следует, что при любой линейной С глндкой) функции бсх) управление и = = ¿О) будет допустимым для включения (1.13) на любом временном промежутке Т .

Приведем необходимые для дальнейшего условия замкнутости множества решений включения (1.3)£50],

Лемма 1.1. Пусть х=х(кН), , к-1,2... после-

довательность решений включения (1.3) , причем

хС±) , (1.14)

Если Р(зсД) -равномерно относительно С *Т ограни-

ченные множества и Ь>0 - такая константа, что почти всюду на Ык, >к)

1х(к)С-Ы (1.15)

то предел эс(-Ь) - решение включения (1Л) с доопределением (1.3)

Доказательствоо Условие (1.15) обеспечивает равностепенно абсолютную непрерывность функций : по любому ¿>о

существует число такое, что для любой конечной системы

непересекающихся интервалов , -Ь^) , 1-1,Т0 , (Ь^, ^^ с будет

И.|ха1к)-ха1к)| < £ ПрИ (ыб)

1=1 1-1

Это неравенство следует из оценки - следствия (1.15):

! Х() - X)И 11 I * ЬII,; - £Гк 1

По последнему неравенству видно, что в (1.16) достаточно взять

5"=г/ь 0

Покажем, что предельная функция эсо) в (1.14) также абсолютно непрерывна, т,е. любому £>о соответствует £>о такое, что для конечной системы непересекающихся интервалов Ci\Xi ) будет

72 * I < ё при I < $ (1.1?)

L L

Действительно, чтобы получить (1.17) достаточно в (1.16) взять £ ~ <S/ä = при достаточно больших номерах fc и перейти к пределу по к 00 *

Как известно, абсолютно непрерывная функция почти всюду в интервале определения дифференцируема [42 1. Поэтому остается показать, что предельная функция зс(-) в (1.14) удовлетворяет включению (1,3).

Пусть в точке ±e<ÄjS) существует производная

¿ct) = ¿im «С*+К)-хсО С1Л8)

В силу (1.14) и теоремы о среднем для интеграла Лебега [42.] имеем acg+h)-gü) .. £1лъ 3Cck)(-fc+ft)- x(jc)(-fc) _

h, je oo h

Здесь ¿П^) е CoaVF(x(4jKk),|Î). Очевидно ^-»t при h-» О .

Тогда предельный переход по h.-*О в (1.19) даст

зс(±) = ¿¿m, e:m

h. ^»О К.-*00 ^

В силу доопределения (1,2) б) последний предел принадлежит сonv F(a:c4:),t) „ Лемма доказана.

Следствие. Из доказательства леммы фактически вытекает такое утверждение: если последовательность решений [зс^СО, -Ь включения (1.3) равномерно ограничены и имеет

равностепенную ограниченную производную (см. (1.15)), то (по

теореме Ариела - Асколи) существует сходящаяся подлоеледователь-

( к» 1 — — ность{эс Ч-)], предел которой на непустом интервале (<¿>^0 будет также решением включения (1.3).

§ 2. Множества Сд -предельных точек дифференциального включения и метод функций Ляпунова.

В этом параграфе будет дано распространение теоремы Барба-шина - Красовского [8,9] на случай дифференциальных включений. Рассмотрим автономное дифференциальное включение

X ^ Г(зс) С2о1)

с областью определения Ос Я и его доопределение

х € СОПУ Гсх) (2,2)

Положительной целой полутраекторией (кратко: полутраекторией) решения х=х(Ьухс Лъ), с начальным условием Х0= Хс^-Ьо) , продолжимого на временном промежутке [-и, + "°) * назовем множество в "Я* вида Х(х0>^)={х = ос(1):

1, где произвольно фиксированное число. Указан-

ную полутраекторию будем обозначать еще так х([1с, + , или

Множество с & назовем устойчивым на решениях включения (2.1) ((2.2)) , если любая полутраектория Х(-Ь) = з:0) решение включения (2»1) с начальным условием хИ0) = Х0 е не покидает множество С0 при £ >~ЬС и по любому £ >о существует "э -окрестность &0 множества такая, что при Хй £ ¿^

с &

будет хСЬ е 0о для всех ~Ь С - £ -окрестность

множества . Множество Оса назовем асимптотически устойчивым на решениях включения (2.1) , если оно устойчиво и, кроме того для некоторого &>о будет Ос при -Ъ,

£ Сга в Наконец, множество назовем асимптотически

устойчивым в Сх на решениях включения (2.1) , если оно устойчиво и

хоЬ,^) при + (2.3)

для любого начального состояния Х0е £ .

Достаточные условия асимптотической устойчивости в целом (т.е. в К ) нулевого решения я>0 уравнения

X = , $(<>)* О (2.4)

даются известной теоремой Барбашина - Красовского [ 3,9 3 .

_ п.

Теорема 2»10 Если в к существует бесконечно большая

определенно положительная функция гг = и(х) такая, что ее про-

%

изводная в силу системы (2„4) неположительна (и*¿С) , причем гг=0 на множестве, не содержащем целых траекторий, кроме х- О , то нулевое решение х= О системы (204) устойчиво в целом»

В условиях этой теоремы,по введенной выше терминологии, устойчивым вИп мы назвали бы множество £о , состоящее из одной точки - Л= О .

Прежде чем переформулировать эту теорему на случай дифференциального включения (2о1), уточним ряд понятий.

Пусть V = "1Г(х) - вещественная непрерывная функция, определенная в & „ Производной функции ис-) по решению (траектории) [зе-=а:(±)} включения (2.1) в точке Х=ХСЬ) называют предел

гг=гг(хш) = Ит (1Г(сса+Ю)-гт(ха))) (2.5)

п

Введем в рассмотрение множества V* : с<гх(ос)< <1} ,

(2.6)

ус = 1 зс ^ Сг: тГСх)> с} ?У= 6 От: И(х) £ с], У(с)=(зсе С*: г/(а)= с]

Точку 3CéRn назовем 60 -предельной точкой полутраектории X(х0 ,t0) решения х= хCi, х0 Д0) , ± ъ té включения (2.1), если существует числовая последовательность ,

■Ь»с + 00 при к-- такая, что (С44Л)

X® ac(-ttef X0,i0) С2о7)

к-* 00

Множество всех со -предельных точек х полутраектории X (X>,to) обозначим Q(3C0) , а их объединение по всем полутраекториям включения (2,1) в области £ будем обозначать Q(G) или просто Q. и называть со -предельным-; множеством включения (2.1). Из вв