Построение искусственных граничных условий с использованием обобщенного предельного поглощения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

о* ^

О-

о

<5^. РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

^ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

N7-

«V

На правах рукописи

МИШКОВ Михаил Николаевич

ПОСТРОЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОБОБЩЕННОГО ПРЕДЕЛЬНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математическчх на} к

Москва 1997

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской Академии Наук.

доктор физико-математических наук, профессор В. С. Рябенький.

доктор физико-математических наук, профессор Л. А. Чудов, кандидат физико-математических наук Ю. Б. Радвогин

кафедра вычислительной математики Московского физико-технического института

__ 1997 г. в _ час. _ мин.

на заседании шециалгоирванвого Совета К003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: Москва, 125047, Миусскаа пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан " "_1997

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита состоится " "

Ученый секретарь специализированного Совета, к. ф. - м. н.

ВЛ. Похилко

Общая характеристика работы

В диссертационной работе рассматриваете« проблема построения некупленных граничных условий (ИГУ) для некоторых классов задач математической физнхи с помощью метода разностных потенциалов. Проводится исследование одного способа построенн* ИГУ, предложенного ранее В.С.Рябеньким и С.В.Цьщковым для численного решения додач обтекания. Этот способ был предложен на эвристическом уровне строгости и показал свою эффективность', что вызвало необходимость более детального его изучения и более строгого обоснования. Такне изучение ц обоснование проводятся в данной работе на модельном примере, позволяющем понять механизм действия этого способа и дать рекомендации при иотользова-шга его в различных задачах математической: физжхи. В работе также рассматривается разностный аналог плоской задача о распределении амплитуды установившихся колебаний, вызванных, гармоническим источником постоянной частоты, в стратифицированной среде. Для этой задачи предложен и реализован алгоритм переноса граничных условий из бес-• конечности на удобную для дальнейших вычислений. искусственную гра- • ницу некоторой ограниченной подобласти. Построенные ИГУ учитывают условия излучения Зоммерфельда- и потому позволяют выделить нужное решение" уравнения Гельмгольца. Кроме того, в работе рассматривается задача на- сфере, решение которой интересует вас лщпь в некоторой малой подобласти, вне которой задача описывается разностным аналогом уравнения Бельтрами. На искусственной границе расчетной подобласти строятся ИГУ, заменяющее уравнение Бельтрами во внешности этой под- . области. ' ! '

Все эта задачи объединяет то, что, во-первых, ИГУ для них стро-. ятся с помощью метода разностных потенциалов (МРП)', а во-вторых, при построении ИГУ используется малый параметр: доя задачи с уравнением Гельмголца — согласно принципу предельного поглощения, для других задач — согласно изучаемому способу, названному обобщенным предельным поглощением. '

В диссертационной работе содержатся доказательства'всех основных ее результатов я приводятся данные соответствующих численных экгпе- .' риментов. - ^

Актуальность работы. Для численного решения внешних крагвых задач математической физккж характерны трудности, связанные с учетом япиагр« искомой функции на бесконечности. Одним аз эффективных методов, преодоления этой трудности является введение ж«.куотвен-

пых транш и постановка на них искусственных краевых условий. При таком подходе решение задачи вычисляется лишь в некоторой ограниченной подобласти Исходной неограниченной области, а краевые условия на искусственной границе этой подобласти ставятся так, чтобы полученное решение было максимально близко к соответствующему фрагменту , решения исходной задачи. Кроме того, ИГУ целесообразно использовать не только тогда, когда задача поставлена в неограниченной области, но и в тех случаях, когда решение достаточно знать не всюду, а лишь в некоторой ограниченной подобластп. В' настоящее время широко разрабатываются методы построения ИГУ в различных областях вычислительной физики: в теории упругости, акустике, электродинамике, динамике жидкости и др.

• Один из методов численного построения ИГУ для внешних задач, которые в некоторой окрестности бесконечности описываются линейными уравнениями (системами ллнепных уравнений) с постоянными коэффициентами — метод разностных потенциалов (МРП). Он позволяет для опре-. деленного класса разностных задач построить точные ИГУ, то есть такие, что решение разностной задачи в искусственно ограниченной подобласти совпадает с сужением решения исходной задачи на эту подобласть. При ■ использовании МРП для построения ИГУ наиболее трудоемкой частью с ' вычислительной точки зрения является многократное решение так называемой разностной вспомогательной задачи. Поэтому очень важно, пользуясь заложенной в методе свободой, выбрать такую вспомогательную, задачу, к которой можно применить какой-либо способ быстрого вычисления. Для этого удобно иметь вспомогательную задачу в односвязной области правильной формы:.в прямоугольнике, бесконечной полосе, на поверхности тела вращения и т.д. Однако для некоторых уравнений и систем решение вспомогательной задачи, которую можно было бы поставить в таких областях, не существует или не единственно. Эта проблема возникаете таких практически важных случаях, как, например, внешние задачи обтекания, задачи упругости и др. В таких случаях приходится искать возможность приближенного вычисления ИГУ путем использования "неточной", во удобной для вычислений вспомогательной задачи, зависящей от параметров. Причем зависимость должна быть такой, чтобы при гт)*мленив параметров к пределу, мы, не теряя удобства вычислений, получали ИГУ близкие х точным ИГУ с заданной точностью в интересующей вас норме.

Исследуемые в данной работе способы приближенного построения ИГУ ш'раз позволяют использовать удобную для вычислений вспомо-

гательную задачу и, тем самым, не просто ускоряют процесс вычисления ИГУ, а расширяют класс краевых задач, Для которых на практике возможно построение нелокальных ИГУ.

Таким образом, актуальность данной работы определяется актуальностью самой проблемы построения ИГУ для решения различных задач математической физики, а также возможностью эффективного .практического использования новых результатов, .полученных в данной работе и имеющих довольно общий характер, выходящий за рамки конкретных, задач.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование и получение более глубокого понимания механизмов и характерных особенностей некоторых новых способов построения ИГУ, опирающихся на использование МРП. В рамках достижения этой цели ставятся следующие задачи: изучение и обоснование способа построения ИГУ, предложенного

B.С.Рябеньким п С.В.Цинковым для задач обтекания; создание в реализация алгоритма построения ИГУ для внешней краевой задачи ва плоскости, которая вне расчетной подобласти описывается уравнением Гель-мгольца со стратификацией; построение ИГУ для задачи, которая поставлена на сфере и вне расчетной подобласти описывается разностным аналогом уравнения Бельтрами; исследование зависимости полученных

ИГУ от различных-параметров. -

>

Научная новизна. В работе впервые предложен и {Реализован алгоритм построения точных ИГУ дая внешней краевой задачи на плоскости, которая вне расчетной подобласти описывается уравнением Гельмголь- . ца со .стратификацией. При этом указан способ выделения единственного решения, удовлетворяющего требуемым условиям излучения Зоммер-фельда. Этот способ для задачи в разностной постановке позволяет использовать принцип предельного поглощения' только на аналитическом уровне, так что в вычислениях малый параметр не участвует. Впервые ' проведено математически- строгое исследование н-обоснование на модельном примере способа построения ИГУ, предложенного В.С.РябенЬким и

C.В.Цынховым для задач обтекания. Получены соответствующие опенки точности исследуемых ИГУ. Построены ИГУ для задачи, которая поставлена на сфере и вне расчетной подобласти описывается разностным аналогом уравнения Бельтрами. При этой предложен а обоснован некоторый новый способ, который делает возможным и эффективным использование МРП для этой пели. Построение этих ИГУ может расскатришп м-« п

качестве примера дин некоторых других задач, поставленных на многообразиях, в частности, на поверхностях тел вращения.

Практическая в научная значимость работы. Практическая и научная значимость работы определяется решением общих вычислительных вопросов, относящихся к проблеме построения ИГУ. Исследование новых способов построения ИГУ, проведенное в данной работе, позволяет строить ИГУ на искуственной границе достаточно произвольной формы для более широкого класса задач, чем прежде, н тем самым расширяет возможности численного исследования физических процессов. В результат те работы получены теоретические оценки точности приближенных ИГУ н расширена область применения метода разностных потенциалов.

На защиту выносятся:

1. Вопросы теоретического исследования и обоснования на модельном примере метода построения ИГУ, предложенного 3.С.Рябеньким и С.В.Цинковым для задач обтекания:

(а) зависимость точности получаемых приближенных ИГУ от величины периода, вводимого в исходную задачу,.

(б) зависимость точности получаемых приближенных ИГУ от величины малого параметра, вводимого в исходную задачу.

2. Алгоритм построения ИГУ для плоской задачи, которая вне расчет-нон подобласти описывается разностным аналогом уравнения Гель-мгольца в стратифицированной среде; способ учета условий излучения Зоммерфельда для этой задачи.

3. Способ и алгоритм построения ИГУ для задачи, поставленной на по' верэшоств тела вращения и вне расчетной подобласти описываемой .разностным аналогом уравнения Еельтрами; теоретическая оценка точности полученных приближенных ИГУ.

4. Результаты численного всследованкх зависимости ИГУ, построен. ных рассматриваемыми способами, от различных параметров.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на VIII Всероссийской конференции памяти К.И.Бабенко в 1990 г., на Между—ратной конференции Optimization of Finite bflement Approximations (OFEA - 95) в 1995 г., на научном семинаре в Институте математического моделирования РАН ж 1997 г. -

Публикации. Проведенные в данной работе исследования п полученные результаты опубликованы в 7 работах (публикации |1-7] по списку).

Структура и объем работы. Диссертация состоит аз введения и трех глал. Первая глава содержит три параграфа, вторая — три параграфа, третья — четыре параграфа. Общий объем диссертации составляет 109 страниц, ш них 4 страницы занимают таблицы н рисунки, а 3 страницы — список литературы, который содержит 25 наименований.

Содержание работы

Во введении сформулировала цель работы, показана ее актуальность, перечислены основные полученные в ней результаты, изложена структура диссертации.

В первой главе предложен, теоретически обоснован и численно реализован алгоритм построения ИГУ для задачи, которая поставлена на плоскости и вне расчетной подобласти описывается разностным аналогом уравнения Гельмгольца в стратифицированной среде. Предложен и пспоЛиЗоаан способ учета условий -излучения Зоммерфельда, который позволяет использовать црицщщ предельного поглощения только на аналитическом уровне, так что в вычислениях малый параметр' не участвует! Полученные при этом ИГУ являются пределам приближенных ИГУ, вычисленных при участии малого параметра предельного поглощения, при стремлении этого параметра к нулю с нужной стороны (с положительной или с отрицательной).

В § 1.1 приведена постановка исходной разностной краевой задачи, указан ее дифференциальный аналог, введены основные понятия и обозначения.

На плоскости фиксируется ограниченная область 2?, моделирующая источник гармонических колебаний и вводится равномерная сетка с' шагом Л. Рассматривается полуполоса {(г,у)| — £А < х < £Л, у > 0}, где I, б Л/" — достаточно большое число, чтобы участки границы х = ±1Ж моделировали бесконечность. Ставится следующая разностная краевая задача. В узлах сетки, лежащих в полуполосе н не лежащих в заыыха-. шш 27, рассматривается разностное уравнение

• + + «'£)«„ = 0, ' *

где А к — разностный аналог оператора Лапласа на пятиточечном шаг блоке типа "крест", » — мнимая единила, е > 0 — малый параметр.

вводимый в задачу согласно принципу предельного поглощения для правильного учета условий излучения на бесконечности, а /< — вещественный коэффициент, учитывающий стратификацию среды:

"[ Рь п<щ

/*2 = &' = ] п = щ

1^2,- п>щ

щ — некоторое фиксированное натуральное число, такое что линия у — гцЛ'есть линия раздела двух сред (линия стратификации). Ставятся следующие краевые условия. В точках сетки на отрезке {(х,у)| — Lh < х < Lh, у = 0} — однородное.краевое условие третьего рода, на лучах {(г,»/)| i = ±L, у > 0} — условие = 0, а при у —» оо — условие . стремления решения к нулю. При этом подразумевается, что на границе области D тоже заданы некоторые условия, так чтобы вся задача вцелом имела единственное решение.' Однако конкретный вид этих условий нас не интересует, так как они не играют роли при построении ИГУ. Эта задача является разностным аналогом задачи о .распределении амплитуды установившихся колебаний, возбуждаемых источником D, в стратифицированной среде. . * •

Вводится некоторый прямоугольник П, содержащий область D. По его периметру строится двуслойная сеточная граница у, на которой впоследствии строятся ИГУ. Внутренний слой этой границы обозначается у~, а внешний — 7+, 7" U 7+ = 7.

В § 1.2 изложен и теоретически обоснован способ'построения ИГУ для рассматриваемой задачи, т

Вводятся некоторые функциональные пространства сеточных функций. В трех леммах доказываются вспомогательные утверждения. Далее доказываются 5 теорем, касающихся вопроса существования и единственности решений соответствующих разностных краевых задач. Эти теоремы дают нам право воспользоваться МРП для того, чтобы всю внешнюю по отношению к прямоугольнику П часть исходной задачи заменить на некоторое операторное уравнение _ -

— = 0,

записанное на искусственной сеточной границе у. Это равество рассматривается как уравнение относительно следа щ* решения исходной зада- • чи на внешний слой у+ двуслойной сеточной границы у. Это уравнение является переопределённой системой линейных разностных уравнений. Опое доказанные теоремы позволяют выделить уравнения, соответ-1 главному минору этой системы, и разреши ! ь их относительно

о,*, то есть вычислить матрицу такую что соотношение

является требуемыми ИГУ. Эти ИГУ позволяют по значению щ- решения исходной задачи на внутреннем слое у~ искусственной сеточной границы 7 определить значения щ* решения этой задачи на внешнем слое 7+ сеточной границы 7. Построенные ИГУ не зависят от разност- . пых уравнений исходной задачи внутри прямоугольника П, в том числе от условий на границе области Р н от формы этой границы.

В § 1.3 изложен алгоритм вычислений ИГУ,-указан способ учета условий излучения Зоммерфельда, представлены результаты численного эксперимента.

Для вычисления матрицы С7+7- требуется многократное решение так. называемой разностной вспомогательной задачи, которая поставлена во

всей полуполосе в описывается уравнением: ,

- = • . -

■ где правая часть отлична от'нуля всегда только в какой-либо одной точке, и граничными условиями такими же, как у исходной разностной - задачи. Пользуясь разложением в конечный ряд Фурье, можно разделить . переменные, и свести .вспомогательную задаче к* конечному множеству' 1 обыкновенных разностных уравнений второго порядка: •

- + = ^ (1)'

с условием стремления решения Щ к нулю при Н —* оо, что соответствует у-*0. ■ • '

Так как коэффициент при любом фиксированном к есть кусочно-постоянная функция, то существует такая точка п*, что при п > »»*, — константа; а 0. Тогда при п> п* условие стремления функшш , Щ к^нулю при п —»оо равносильно следующему равенству: ■

0,- (2)

где Чк — меньший по модулю, корень характеристического уравнения, соответствующего уравнению (1). Отметим, что при е > 0 один из корней -• этого характеристического уравнения всегда по модулю меньше единицы, а другой больше. Но при е = 0 для некоторых гармоник корни ха- ' рактеристического уравнения оказываются комплексно сопряженными и

по модулю равными единице. Однако именно эта, казалось бы, неприятность позволяет проводить расч"~ г,г к получать правильные результаты при е = 0. Для этого в условии 2) слэдует использовать тот корень характеристического уравнения • .рп е = 0, к которому стремится меньший по модулю корень при е —> +0. Такой отбор корня прп е — 0 соответствует предельному переходу при £ —> +0. Аналогично следует поступить s В случае, когда нал интересует е < 0. Таким образом, правильный ©тбггр корпя характеристического уравнения позволяет получить требуе-lLCiS предельное решение вспомогательной задачи, а значит, и предельное значение матрицы С7+7-, тс .сть точные ИГУ, учитывающие условие п> лучещш па бесконечности. При этом в вычислениях не участвует малый параметр предельного поглощения.

Во второй главе предложен, теоретически обоснован и численно реализован способ построения ИГУ для задачи, которая поставлена на сфере и вне расчетной подобласти описывается разностным аналогом ур&атасия Бельтрамп.

В § 2.1 приводится постановка разностной задачи, пример соответствующей ей дифференциальной задачи и вводятся некоторые обозначения.

На единичной сфере фиксируется подобласть D н вводится разностная сетка, образуемая параллелями и меридианами, с постоянными по углу шагами hv и hg. Множество точек сетки,' лежащих строго внутри подобласти D, обозначаются М+, а множество остальных точек сетки — М~. Вводится пятиточечный шаблон N„, типа "крест" с центром в точке т = (i, j) и двуслойная сеточная сеточная граница у соответствующая границе подобласти D: "внутренний" ее слой — f+ G М+, а внешний — 7~ € М~. Рассматривается задача об отыскании сеточной функции u„, n = (i,j), которая в точках множества М~ удовлетворяет разностному аналогу уравнения Бельтрами на шаблоне Nm:

Е От.»«" = о, те АГ, (3)

п ели

и граничным условиям

«7+ = VV> (4)

где <Ру* — заданная на 7+ функция. Наша цель — найти такой оператор (матрицу) Су*у-, который всякой функции Uy+ = to^ стдвит в соответствие след и,- на -у~ решения задачи (3), (4), совпадающего на f+ с ifiy*'-

Щ- = Ci*r*h+- ' (5)

Таким образом, если в точках множества М+ записаны некоторые разностные уравнения, которые вместе с уравнением (3) составляют разностную задачу, и решение такой задачи интересует нас только на множестве М+, то соотношение (5) можно использовать как ИГУ, адекватно заменяющие уравнение (3). Особенно эффективны такие ИГУ в случае, когда уравнения в точках множества М+ включают в себя дополнительную переменную — время, так как эти ИГУ не зависят от времени, а также позволяют использовать явную схему расчета нестаппоцараш задачи на М

В § 2.2 обсуждается проблема, возникающая при попытке вычислить матрицу Су+Т-, и предлагается способ ее решения — введение палого параметра е.

Для вычисления матрицы Су*7-, согласнр общей схеме МРП, необходимо выбрать удобную для решения разностную вспомогательную задачу. Такой задачей, на первый взгляд, могла бы быть задача об отыскании функции, удовлетворяющей на всей сфере уравнению:

X) «тп«п = /т, (6)

п€Ыт

где fm отлична от нуля всегда только в одной какой-либо точке. Однако не при любой правой части решение такой задачи существует и единственно. Поэтому задачу (6) нельзя использовать в качестве вспомогательной. Чтобы исправить такое положение, вычтем из левой части уравнения (6) од,, где е > 0 —; малый параметр. Полученная задача имеет единственное решение при любой правой части /т и допускает быстрое решение с помощью метода разделения переменных. Используя эту "возмущенную" задачу в качестве вспомогательной, можно вычислить матрицу Су*г(е), зависящую от е как от параметра. В работе доказывается, что несмотря на ухудшение обусловленности вспомогательной задачи (6) при е —»0 для любого достаточно малого е > 0 справедлива оценка:

||С^7-(е)-<7^(0)11 <еЯ,, (7)

где константа Hi не зависит от е при с € [0, £о]> » норма матрицы согласована с норной вектора — максимальным абсолютным значением его элемента.

В § 2.3 привадятся результаты расчетов, подтверждающее оценку (7), и делается некоторое обобщение.

Рассмотренная задача является модельным примером ■ вимнмгг мве-периментальао проверять оценку (7), вычислив матрацу С<г*г~(0 Щ»

£ = 0 и при е > 0. Приводятся результаты таких расчетов. Делается некоторое обобщение полученного результата. В частности приводятся предположения, при выполнении которых становится целесообразным и возможным использование малого параметра при построении ИГУ для разностных задач, поставленных на конечном множестве точек. В этом случае опека (7) остается истинной.

В третьей главе проведено строгое исследование и обоснование на модельном примере способа построения ИГУ, предложенного В.С.Рябеньким и С.В.Цынковым для задач обтекания, и представлены результаты численного эксперимента.

В § 3.1 дается постановка исходной задачи. А именно, рассматривается плоская задача, которая .¡не единичной окружности описывается уравнением Лапласа и содержит требование ограниченности решения на бесконечности. Построение ИГУ для этой задачи трактуется как построение оператора Пуанкаре-Стеклова, который на единичной окружности значению решения данной задачи ставив в соответствие значение нормальной' производной этого решения. Такие ИГУ в данном случае несложно построить аналитически, используя полярную систему координат. Именно -с эими мы ^ сравниваем ЦГУ, полученные рассматриваемым способом.

> При построении ИГУ исследуемым способом мы переходим в декартовую систему координат с тем, чтобы полученные результаты можно было обобщить и на такие уравнения и системы уравнений, для которых не имеет места разделение переменных в полярных координатах. Применение МРП предполагает использование вспомогательной задачи, решение которой и составляет наиболее трудоемкую часть вычислений. В нашем случае, когда исходная задача сформулирована в неограниченной области, было бы удобно поставить вспомогательную задачу на всей плос-" кости. Однако здесь мы сталкиваемся с тем, что уравнение Пуассона на всей плоскости может не иметь ограниченного решения: Чтобы исправить такое положение, к левой части .уравнения Лапласа

ДЦя.у) = 0

. добавляется член у) с коэффициентом £ > 0 ■— малым параметром. Для такого уравнения можно поставить вспомогательную задачу на всей плоскости. Причем при стремлении малого параметра к нулю вспомогательная задача вырождается, но оператор Пуанкаре-Стеклова стремится £ аналогичному оператору исходной задачи. Однако в общем случае это ° стремление очень медленное, а именно, порядка ~ —1/1пе, что в силу конечной разрядности вычислительных машин ведет к тому, что мы не

мож«>м добиться достаточной точности ИГУ, вводя малый параметр. В дальнейшем мы разрешаем эту проблему.

В § 3.2 лля возможности приближенного вычисления вводится периодичность, то есть задача на всей плоскости хОу заменяется на периодическую по у с периодом 2Y задачу. Для е = 0 показано, что при Y -* оо нормальные производные решения периодической задачи на единичной окружности стремятся в норме С к соответствующим производным исходной задачи как К-'".

В § 3.3 показано, что для любого фиксированного периода при е —* О нормальные производные решения периодической задачи с е > 0 на единичной окружности стремятся к соответствующим производным периодической задачи с е = 0 как у/ё, а не как — I/lile, то есть принципиально лучше, чем на всей плоскости. Этот последний факт дает возможность вычислять ИГУ с достаточной точностью путем введения в'исходную задач}' периодичности и малого параметра. Кроме того он -имеет весьма общие основания, и потому объясняет хорошие результаты, полученные при использовании такого способа построения ИГУ в задачах обтекания, и позволяет расчитывать на применимость этого способа к задачам с другими линейными уравнениями или их системами.

В § 3.4 производится обсуждение полученных результатов, и делаются некоторые выводы, которые могут быть полезными при построении рассматриваемым способом ИГУ для задач с другими* линейными уравнениями или системами. Приводятся результаты численного эксперимента, показывающие зависимость погрешности приближенных ИГУ, построенных изучаемым способом, от величины периода и малого параметра.

Основные результаты диссертации.

1. Проведено исследование и обоснование одного способа построения ИГУ, предложенного В.С.Рябенысим и С.В.Цынковым для задач <ш-текания. На модельном примере изучены следующие зависимости:

(а) зависимость точности получаемых приближенных ИГУ от в с личины периода, вводимого в исходную задачу,

(б) зависимость точности получаемых приближенных ИГУ от веч личины малого параметра, вводимого в исходную задачу.

2. Предложен, теоретически обоснован и численно реализовав алгоритм построения ИГУ с помощью МРП для внешней краевой задачи на плоскости, которая вне расчетной подобласти описывается уравнением Гельмгольца в стратифицированной среда. Лля этой задачи

' предложен и. реализован способ учета условий излучения Зоммер-

. фельда, который .позволяет использовать принцип предельного поглощения только на аналитической уровне, так что в вычислениях

• малый параметр не участвует. .

, 3. Предложен, теретически обоснован и численно реализовав способ построения ИГУ для модельной задачи, поставленной на сфере и вне расчетной подобласти описываемой разностным аналогом уравнения Бельтрами. Дана теоретическая оценка точности полученных приближенных ИГУ. Сделаны возможные обобщения.

Публикации автора по теме диссертации. -

1. Мишков М.Н., -Рябенький B.C., Искусственные граничные условия для уравнения Гельмгольца в стратифицированной среде. Препринт N 70. М.: ИПМатем РАН, 1992

2. Мишков М.Н., Об искусственных граничных условиях для разностного аналога уравнения Гельмгольца. Препринт N 92. М.: ИПМатем РАН, 1995 ■ • ' .

3. -Мшпков М.Н., Искусственные граничные условия на сфере, заменяв юпше разностный аналог уравнения Бельтрами. Препринт N 111. М.: ИПМатем РАН, 1995

4. Мишков М.Н., Использование малого параметра при построении искусственных граничных условий методом разностных потенциалов.' Препринт N 129! М.: ИПМатем РАН, 1995

5. Мишков М.Н., РябенькийВ.С., Исследование одного способа построения искусственных граничных условий (часть I). Препринт N 55.

" М.: ИПМатем РАН,1997

, 6. .Мишков М.Н., Рябенький B.C., Исследование одного способа построения искусственных граничных условий (часть II). Препринт N 56.

.' М.: ИПМатем .РАН, -1997

7. Мшпков М.Н., Рябенький B.C., О замене внешней краевой задачи на

периодическую. // Математическое моделирование, 1997, т.9, N 11 .

' ' • • ■ ' . . "■ /

• . - ' ' - ■ Л«^ ■