Точные искусственные граничные условия для некоторых задач аэродинамики и дифракции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение: Проблема искусственных граничных условий

Краткий обзор предшествующих результатов.

I. Приближенные искусственные граничные условия

II. Искусственные граничные условия, основанные на методе разностных потенциалов.

III. Точные искусственные граничные условия

I Точные линейные искусственные граничные условия для задач стационарного трансзвукового обтекания

Вводные замечания к

главам 1,2.

1 Плоская задача обтекания

1.1 Вывод искусственных граничных условий.

1.1.1 Исходные уравнения в дальнем поле

1.1.2 Линейная модель течения в дальнем поле

1.1.3 Искусственные граничные условия.

1.2 Применение построенных ИГУ в численных методах

1.2.1 Декомпозиция течения и итерационная схема

1.2.2 Дискретные ИГУ

1.3 Результаты тестовых расчетов.

2 Трехмерный случай

2.1 Вывод искусственных граничных условий.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Основные уравнения и свойства решения.

2.1.3 Параметризация общего решения.

2.1.4 Искусственные граничные условия.

• 2.2 Численная реализация ИГУ.

2.2.1 Квадратурные формулы.

2.2.2 Вычислительные затраты

2.3 Численное тестирование.

II Точные нестационарные искусственные граничные условия

3 Условия полной прозрачности для двумерного и трехмерного волнового уравнения

3.1 Вводные замечания.

3.2 Формулировка проблемы.

3.3 Вспомогательная задача.

3.3.1 Двумерный случай.

3.3.2 Трехмерный случай.

3.4 Оператор условия полной прозрачности .НО

3.5 Использование условия полной прозрачности для численных методов

3.5.1 Трехмерный случай.

3.5.2 Двумерный случай.

3.5.3 Вычислительные ресурсы, необходимые для УПП

3.6 Устойчивость вычислений при использовании УПП

3.7 Эквивалентность условий Гроте-Келлера трехмерным УПП

3.8 Численные примеры.

3.8.1 Тесты для отдельных Фурье-гармоник.

3.8.2 Трехмерные тестовые расчеты.

3.8.3 Двумерные тестовые расчеты.

4 Прозрачные граничные условия для задач нестационарного трансзвукового обтекания в аэродинамической трубе

4.1 Вводные замечания.

4.2 Формулировка задачи.

4.3 Условия на передней (входной) границе.

4.3.1 Вспомогательная задача для потенциала скорости

4.3.2 Решение вспомогательной задачи.

4.3.3 Граничные условия.

4.4 Условие на задней (выходной) границе.

4.4.1 Вспомогательная задача для давления.

4.4.2 Граничные условия.

4.5 О численной реализации ПГУ.

4.5.1 Дискретизация по пространственным переменным

4.5.2 Локализация по времени.

4.5.2.1 Использование представлений Пуассона

4.5.2.2 Использование техники рациональных аппроксимаций

4.6 Тестовые расчеты.

Численное решение внешних краевых задач сеточными методами имеет дополнительные сложности, связанные с необходимостью задания граничных условий на внешней границе расчетной области. Эти граничные условия не содержатся в исходной постановке задачи и поэтому называются искусственными граничными условиями - ИГУ. Основное требование, предъявляемое к ИГУ, состоит в том, чтобы решение задачи в ограниченной расчетной области аппроксимировало решение исходной задачи в неограниченной области. В том специальном случае, когда оба решения совпадают в расчетной области, искусственные граничные условия называются точными.

Приведем поясняющий пример. Рассмотрим в области 0 < х < оо краевую задачу для функции у(х): где а > 0, а /(х) - некоторая заданная непрерывная функция с носителем в области 0 < х < 1. Пусть расчетная область - отрезок 0 < х < 2. х(ху')' -а2у = $ у\х=о = О 2/|ж=оо - О?

0.1) (0.2) (0.3) и

Опираясь на тот факт, что при х > 1 решение имеет вид у(х) = сх а где с - некоторая константа, легко можно показать, что решения задачи (0.1)—(0.3) и задачи совпадают на рассматриваемом отрезке. Условие (0.6) является точным ИГУ для задачи (0.1)—(0.3). В то же время, например, условие является одним из возможных приближенных ИГУ.

Проблема поиска точных ИГУ или их приближений возникла в вычислительной математике одновременно с началом развития сеточных методов (метода конечных разностей, метода конечных элементов, метода разностных потенциалов и др.) и давно уже стала классической. Многочисленные теоретические и практические исследования позволили накопить ряд рецептов построения приближенных ИГУ, известных под названиями радиационные, неотражающие, открытые, характеристические, поглощающие и др. условия. Однако, как правило, такие условия являются приближенными и обладают достаточной точностью лишь на каком-либо подклассе решений исходных уравнений. Что касается построения точных и в то же время эффективных с вычислительной точки зрения ИГУ, эта область является пока что слабым местом численного моделирования, особенно в случае нестационарных задач. х(ху')' - а2у = /, 0 < х < 2 2/|а:=0 = 0

0.4) (0.5) (0.6)

Ы + -у) |*=2 = о, X

У\х=2 = 0

Последние два десятилетия много усилий в вычислительной математике было направлено на построение ТУБ, ЕРЮ и др. разностных схем, позволяющих получать высокую точность численного решения уравнений в частных производных. Однако при моделировании внешних задач приближенные ИГУ вносят в решение некоторую неустранимую и, как правило, неконтролируемую погрешность. Поэтому необходимы соответствующие высокоточные (в идеале - точные) ИГУ, чтобы избежать возможных потерь точности решения, даже если это ведет к усложнению алгоритмов. Известны примеры, когда из-за отсутствия подходящих двумерных формул вычислители применяли при решении двумерных задач точные ИГУ для трехмерных задач (основанные на формуле Кирхгофа), см. [67], [94]. Важным достоинством точных ИГУ является также и то, что они позволяют использовать расчетные области минимально возможного размера (в рассмотренном выше примере расчетную область в задаче (0.4)-(0.6) можно сузить до отрезка О < х < 1, т.е. до носителя правой части уравнения). Это ведет к существенной экономии вычислительных затрат, особенно для нестационарных задач, где, как известно, сетка должна быть достаточно мелкой повсюду в расчетной области, чтобы обеспечить необходимое разрешение волн, генерируемых в процессе решения.

Точные ИГУ для задач с двумя и более пространственными переменными являются нелокальными граничными условиями. Это обстоятельство может препятствовать их применению на практике из-за чрезмерных вычислительных затрат. Поэтому проблема построения точных ИГУ заключается также и в том, чтобы предложить такие ИГУ, которые допускают эффективную численную реализацию. Эта проблема, предполагающая фундаментальные исследования в теории решения внешних краевых задач, теории численных методов и теории приближений, является интересной сама по себе и существенна для развития надежных методов моделирования физических процессов в неограниченных областях.

В диссертации впервые решены вопросы построения эффективных высокоточных ИГУ для задач стационарного трансзвукового обтекания, нестационарной дифракции, нестационарного трансзвукового обтекания в аэродинамической трубе.

Краткий обзор предшествующих результатов

По своей сути искусственные граничные условия на внешней (искусственной) границе расчетной области должны заменять в некотором смысле то условие, что неизвестные функции удовлетворяют как исходным уравнениям в отброшенной части пространства, так и предписанному поведению на бесконечности. Разнообразие известных ИГУ можно различать по тому признаку, что имеется в виду под указанным смыслом. Специальный случай эквивалентной замены, то есть точных ИГУ, привлекает все возрастающее внимание вычислителей. Одна из причин этого состоит в том, что в последние годы получено существенное продвижение в надежности и точности численных методов для уравнений внутри области и, поэтому необходимо устранить возможные источники погрешности моделирования, возникающие из-за неточности применяемых ИГУ.

Обзор состоит из трех частей: приближенные ИГУ; ИГУ, основанные на методе разностных потенциалов; точные ИГУ. По первой части приведена лишь небольшая часть результатов многочисленных исследований, но все же описаны, по мнению автора, основные подходы. Вторая и третья части содержат достаточно полную картину результатов, полученных на сегодняшний день - по крайней мере все, что известно автору.1 Специально написанные обзоры по проблеме ИГУ имеются в статьях Givoli [69] (1991), Цынкова [44] (1991), Lyrintzis [97] (1994), Ryaben'kii и Tsynkov [109] (1996), Tsynkov [127] (1997).

I. Приближенные искусственные граничные условия

Широко используемые при решении задач обтекания характеристические искусственные граничные условия выводятся из теории краевых задач для систем гиперболических уравнений для временной и одной пространственной переменной. Одно из первых описаний таких условий содержится в книге [4]. Различные варианты в применении к алгоритмам для решения газодинамических задач можно найти в работах Atkins и Casper [48], Giles [68], Hedstrom [85], Thompson [121], [122], и др. В частности, граничные условия, описанные в [106] для системы уравнений Эйлера, были использованы автором при построении быст-росходягцегося метода расчета задач невязкого обтекания [34].

Enquist и Majda исследуют в [60] трансзвуковые течения, описываемые уравнением потенциала для малых возмущений. Их подход [61], [62] для получения ИГУ основывается на представлении решения линеаризированного уравнения в дальнем поле через суперпозицию волн, уходящих из расчетной области на бесконечность. Предлагается семейство локальных граничных условий по порядку дифференциального оператора. Способ вывода неотражающих искусственных граничных условий состоит из следующих двух этапов: а) вначале точное решение в дальнем поле представляется с помощью псевдодифференциального оператора путем использования техники преобразования Фурье; б) за

1В третьей части очерчивается также связь между результатами, полученными ранее, и в диссертации. тем символ этого псевдодифференциального оператора аппроксимируется приближениями Тейлора или Паде, чтобы получить в физических переменных локальный оператор граничных условий. Эта идея использовалась различными авторами: Gustafsson [77], [78], Jiang и Wong [90] для гиперболических систем; Blaschak и Kriegsmann [56] для волнового уравнения; Johnsen и Lynch [92], Higdon [88] для волнового уравнения с дисперсией; Halpern [84] для линейного уравнения адвекции-диффузии; Giles [68], Kröner [95] для двумерных нестационарных уравнений Эйлера; Jin и Braza [91] для нестационарных, несжимаемых уравнений Навье-Стокса и др. В работе [83] Hagstrom доказал сходимость рациональных приближений, используемых Engquist и Majda, к исходным псевдодифференциальным операторам на конечном временном интервале. Higdon [87] показал, что ИГУ, основанные на рациональных аппроксимациях, могут обеспечить прозрачность выходной границы лишь для волн с определенными углами падения. Точность таких ИГУ зависит от порядка дифференциального оператора в их формулах: чем выше порядок аппроксимирующего оператора - тем точнее описываются нелокальные граничные условия (в пределе возникают условия бесконечного порядка). Краевые задачи с граничными условиями, в которых имеются дифференциальные операторы высокого порядка, ведут, как правило, к плохо устойчивым численным алгоритмам; на практике такие ИГУ с порядком дифференциального оператора выше второго не применяются.

Другой, широко используемый подход для построения приближенных ИГУ основан на разложении решения в асимптотические ряды в окрестности бесконечности. Так в работах Bayliss и Türkei [50], [51], [52], Hagstrom [79], [80], [82], Hagstrom и Hariharan [81] предлагаются специальные дифференциальные операторы на искусственной границе, ядра которых состоят из нескольких первых членов заданного асимптотического разложения. Порядок операторов пропорционален числу учитываемых членов разложения.

Berenger [53], [54], Abarbanel и Gottlieb [46], Qi и Geers [103] и др. развивают метод построения ИГУ на основе идеи поглощения уходящих волн. Они окружают расчетную область слоем среды, обладающей высокими поглощающими свойствами для плоских волн. Численные эксперименты показывают, что можно подобрать управляющие параметры внутри слоя так, чтобы он действительно обеспечивал хорошие неотражающие свойства искусственной границы.

Отметим работу Безменова [5], где для уравнения Гельмгольца конструируется специальный функционал на искусственной границе, величина которого пропорциональна полной энергии волн рассеяния, отраженных вовнутрь расчетной области. Условие Зоммерфельда в исходной задаче заменяется на условие минимизации предложенного функционала.

Приближенные искусственные граничные условия предполагают, как правило, использование расчетных областей сравнительно большого размера; кроме того, при моделировании могут возникать неконтролируемые погрешности, вызванные заменой уравнений в отбрасываемой части пространства на некоторые упрощенные соотношения на искусственной границе.

II. Искусственные граничные условия, основанные на методе разностных потенциалов

Концепция точных ИГУ на основе метода разностных потенциалов [27] была предложена B.C. Рябеньким в [28], [29]. В ее основе лежит идея сведения некоторой исходной разностной (дискретной) задачи, рассматриваемой на сетке 5, к задаче на некоторой сеточной подобласти ¿>1 С 5 с такими дополнительными (искусственными) разностными граничными условиями на границе Г между 51 и , что решения обеих задач совпадают в 51. Сетка 5 может быть как ограниченным, так и неограниченным множеством (внешние задачи). Эти граничные условия можно записать в матричном виде где и - вектор значений искомой дискретной функции на искусственной границе Г, а £ - возможная неоднородность в условиях.

Очень важным с алгоритмической точки зрения является случай, когда (0.7) удается записать в так называемой разрешенной форме, а именно где Р - проекционная матрица, то есть РР = Р. Тогда ИГУ (0.8) можно легко внедрять в различные итерационные схемы решения уравнений в 51.

Метод разностных потенциалов дает теоретическую и практическую основу для построения таких операторов Р. Отметим, что зачастую матрица Р не вычисляется в явном виде (как правило это слишком дорого); достаточно лишь предложить эффективный алгоритм вычисления действия Р на вектор.

В работах Зуевой, Михайловой, Рябенького [15] и Брушлинского, Рябенького, Тузовой [8] граничные условия вида (0.8) построены для уравнения Лапласа в различных системах координат в приложении к задаче о диффузии магнитного поля. Уравнение Гельмгольца в стратифицированной среде рассмотрено Мишковым и Рябеньким в [21];

В и = Г

0.7) и = Р и + g

0.8) здесь предложен алгоритм вычисления матрицы Р для случая прямоугольной расчетной области. В работах Цынкова [43], [44], Софронова и Цынкова [40] рассмотрено линеаризированное уравнение потенциала вне некоторой расчетной области и построены однородные граничные условия вида (0.8) для моделирования задач невязкого обтекания. Рябенький и Цынков в [108], Цынков в [123] предлагают алгоритм эффективного вычисления Р для случая линеаризированных двумерных уравнений Навье-Стокса. Данный подход затем обобщается на трехмерный случай Цынковым в [125], [126].

III. Точные искусственные граничные условия

Точные искусственные граничные условия являются нелокальными и выводятся из представления решения для линейных уравнений вне расчетной области в аналитическом виде. Для нелинейного случая исходные уравнения предварительно линеаризируются на каком-либо подходящем решении; именно в этом смысле мы используем термин точные

Классическим примером точных ИГУ может служить условие Со-хоцкого - Племеля на некоторую функцию ф(г), удовлетворение которому означает, что 4>(z) является следом на Г некоторого ограниченного решения системы Коши - Римана, равного const на бесконечности (контур Г обходится по часовой стрелке). Отметим, что в [26], см. также [27], Рябенький рассматривает общие конструкции граничных уравнений с проекторами, являющимися некотроыми обобщениями многомерных сингуляр

ИГУ. ных интегральных уравнений, в том числе условий Сохоцкого - Пле-меля.

Гордин рассматривает в [11] задачу Коши во всем пространстве для эволюционного линейного дифференциального уравнения общего вида с постоянными коэффициентами и выписывает псевдодифференциальные краевые условия на гиперплоскости такие, что соответствующая смешанная задача в полупространстве эквивалентна исходной задаче.

Практические примеры построения точных ИГУ для стационарных уравнений Эйлера в канале предложены в работах Gustafsson [77], [78] и Ferm и Gustafsson [65]. Здесь используются линеаризированные уравнения Эйлера вне расчетной области для получения точного решения методом Фурье. Ferm в [64] развил данный подход для задачи обтекания профиля в расчетной области с эллиптической внешней границей (в главе 1 диссертации решается эта задача для произвольной границы методом функций комплексного переменного; в главе 2 решается трехмерная задача). Verhoff, Stookesberry и Agrawal исследуют в [128] уравнения Эйлера в характеристических переменных и предлагают итерационную процедуру построения приближений первого и второго порядка для точных ИГУ в областях типа С с внешней границей, составленной из параболы (вход) и отрезка (выход). Представление модели изэнтропийного течения в дальнем поле (то есть там, где используется линеаризация) на основе решений уравнения Прандтля-Глауэрта используется Berger, Warnecke, Wendland в [55] для вывода точных двумерных ИГУ с помощью классических потенциалов.

Другие примеры точных искусственных граничных условий относятся к уравнению Гельмгольца. Федорюк рассматривает в [42] уравнение Гельмгольца в волноводе и выводит операторное краевое условие на некотором сечении, которое эквивалентно условию ограниченности решения на бесконечности. Константинов, Маслов, Чеботарев развивают в [16] процедуру гамильтонизации краевых задач для уравнений с частными производными и предлагают для уравнения Гельмгольца и бигармонического уравнения псевдодифференциальные краевые условия, эквивалентные условиям излучения. В [2] для точного переноса условия излучения из бесконечности используется теория потенциала; получены уравнения на границе для символов псевдодифференциальных операторов. Olsen и Hwang [101], Shaw [111] применяют вторую формулу Грина для внешней задачи, чтобы выписать точное ИГУ для задачи рассеяния волн соответственно в бухтах переменной глубины или на круглых островах, окруженных областью переменной глубины. В работах Fix и Marin [66], MacCamy и Marin [98], Marin [99], Goldstein [72], Lenoir и Tounsi [96] Canuto [57], Keller и Givoli [93], Givoli и Keller [71] искусственные граничные условия имеют вид где М - некоторый нелокальный оператор, получаемый путем применения метода Фурье для решения уравнения Гельмгольца в полярных или сферических координатах и выписывания условий вида (0.6), то есть парциальных условий, для каждой гармоники. Оператор М в (0.9) - пример оператора типа Пуанкаре - Стеклова, см. [19], [18]; отметим, что для него в западной литературе часто используется название БшсЫе^о-Кеитапп оператор. Идея использования парциальных условий вместо условий излучения в стационарных задачах дифракции является известным приемом, см., напр., [31], [14].

Для трехмерного волнового уравнения "точные" дискретные ИГУ можно вывести на основе формулы Кирхгофа. Пусть х), х = (ж, у, г) du = Mu на i on

0.9) некоторое решение волнового уравнения

11ц У>хх У'уу ^гг = О вне области I), см. Рис. 0.1. хг

Рис. 0.1: Схема построения точных ИГУ на основе формулы Кирхгофа

Тогда, как известно, это решение и в точках поверхности Г можно выразить через значения и и ее производных на поверхности Гх следующим образом: и \ 1 г 1 г Лдг 1 1*1 ди дп 1 -г ди т дг дп

Хг15

0.10) где г = |хг — Хгх |, [/] = —г, х). Дискретизация представления (0.10) позволяет получить формулы досчета значений искомой функции на искусственной границе Г по найденным значениям внутри расчетной области, то есть замкнуть вычислительные формулы какого-либо алгоритма интегрирования волнового уравнения внутри Г. Чтобы оценить вычислительные затраты для реализации (0.10), предположим, что Г -поверхность сеточного куба, состоящего из Ж3 ячеек равномерной сетки с одинаковыми шагами по всем направлениям. Тогда при пошаговом интегрировании какой-либо явной разностной схемы для волнового уравнения затраты составят (9(Л/"3) операций на один шаг по времени внутри расчетной области и 0(Л/"4) операций на досчет значений и на

Г согласно формуле (0.10). То есть ИГУ, основанные на (0.10), довольно дороги. Тем не менее этот подход находит широкое применение в инженерных приложениях, см. обзор Lyrintzis [97]. Имеются обобщения применения формулы (0.10) для случая движущихся и изменяющихся поверхностей Гх и Г, см., напр. работы Farassat и Myers [63], Morino и Tseng [100].

Заметим, что для двумерного волнового уравнения соответствующая формула Пуассона не используется; причина состоит в ее большой относительной вычислительной стоимости.

Построить существенно более экономные точные ИГУ для волнового уравнения удалось с помощью метода Фурье. Впервые это было предложено автором в 1992-93 гг. [36], [37] (глава 3 диссертации). Затем в 1995 г. Гроте и Дж. Келлер опубликовали другой подход [73], более частный и ориентированный на специфику трехмерного волнового уравнения (см. § 3.7 диссертации). В 1996-98 гг. подходы, близкие к [36], [37], получили развитие в работах Радвогина и Зайцева [104], [105], и Alpert, Greengard и Hagstrom [47].

Дальнейшее непосредственное обобщение методологии для волнового уравнения в применении к системам Максвелла и упругости было сделано Grote и J. Keller в работах [75] и [76].

Еще одним примером построения точных ИГУ являются исследования Свешникова, Якунина, Майкова [32], и Поезда, Якунина [24], [25] по расчету распространения электромагнитных волн в волноводах. Условие, предложенное для волнового уравнения и исследуемое в этих работах, включает в себя преобразование Фурье на сечении волновода и операторы свертки по времени с некоторым, слабо убывающим на бесконечности ядром для каждой гармоники. Непосредственная дискретизация этого нелокального условия ведет к относительно "дорогим" расчетным формулам, причем число операций на каждом шаге по времени растет пропорционально временному интервалу. При расчетах выявлено, что обрывание временного интервала вычисления сверток (с целью экономии вычислительных ресурсов) может приводить не только к заметному ухудшению точности счета, но и к неустойчивости. Отметим, что другое решение этой задачи имеется по сути в главе 4 (как частный случай Mqo = 0 для потенциального уравнения). Благодаря специальной локализации расчетных формул по времени соответствующие дискретные ИГУ уже не требуют больших вычислительных затрат, не "дорожают" с увеличением временного интервала, но остаются в то же время "точными".

Последним (известным автору) замечательным примером построения точных ИГУ является случай уравнения Шредингера

П2 ihif)t = -—фхх, X > 0. (0.11)

Оно возникает в квантовой механике, сейсмологии, оптике, физике плазмы, океанологии и др. как само но себе, так и при "параболической" аппроксимации уравнения Гельмгольца. Точные ИГУ для одномерного уравнения Шредингера были предложены независимо многими авторами, специализирующихся в разных приложениях, см., напр., Baskakov и Popov [49], Papadakis [102], Heliums и Frensley [86], и имеют вид (т.е. заменяют (0.11) на соотношение при х — 0):

Ь> \ , ч dr

0.12) о

Отметим также, что Насибов в [23] рассматривает нелинейное уравнение ди д2и 1 ди . .о + + МХ 0 < г,г < оо, ох огг г ог и получает уравнение многообразия ограниченных решений при г —» оо, первое приближение которых имеет вид, аналогичный (0.12). Еще

Краткий обзор предшествующих результатов 25 один пример условия типа (0.12) приведен в работе Абрамова, Конюховой, Балла [1], где оно выписано для одномерного уравнения теплопроводности.

Часть I

Точные линейные искусственные граничные условия для задач стационарного трансзвукового обтекания

В этой части рассматривается проблема получения искусственных граничных условий на внешней границе расчетной области для задачи стационарного трансзвукового обтекания. При решении задачи предполагается, что течение вне расчетной области описывается системой уравнений Эйлера, линеаризованной на постоянном и однородном дозвуковом потоке. Для построения искомых нелокальных граничных условий, являющихся точными в рамках рассматриваемой модели течения, используются методы теории функций комплексного переменного и теории потенциала. Двумерный случай рассмотрен в главе 1 трехмерный - в главе 2.

Вводные замечания к главам 1, 2

Разработка численных алгоритмов решения трансзвуковых задач обтекания включает в себя вопросы постановки граничных условий на внешней границе расчетной области. Эти условия, называемые обычно искусственными граничными условиями (ИГУ), должны моделировать предписанное поведение искомых функций на бесконечности. Другое требование к ИГУ, носящее скорее вычислительный, чем математический характер, состоит в том, что эти условия должны быть неотражающими, то есть они должны давать возможность выходить почти без отражений волнам, генерируемым в расчетной области в процессе нахождения решения; в противном случае итерационный процесс может сходиться слишком медленно.

Хорошо известные характеристические граничные условия, см., например, [4], основанные на описании течения вдали от тела локально-одномерными уравнениями Эйлера, являются простыми, но в то же время широко используемыми ИГУ при расчетах стационарных трансзвуковых течений, см., например, [89]. Однако вышеупомянутые требования могут вступать в противоречие друг с другом в такого рода условиях. В самом деле, можно показать, что значение функции Я{ = Р/(рс) — и, задаваемое на дозвуковой выходной границе расчетной области, является неизвестной величиной, так как в области следа (то есть области за телом, где возникают завихренность и переменная энтропия) плотность и скорость не стремятся к значениям Роо,и<х> равномерного дозвукового потока на бесконечности 1. Поэтому значение := Р00/(/900с00) — гбоо, обычно предписываемое этой величине, ведет к неустранимой погрешности в граничных условиях; хотя сами граничим. подробнее теорему 1.2 ные условия могут оставаться неотражающими. В то же время, если в качестве предписываемой величины взять давление и положить на выходе Р = Роо, что соответствует асимптотическим свойствам решения, то могут возникать нежелательные отражения волн от границы, см. например [89].

Ясно, что более точные варианты ИГУ могут быть получены только из анализа более сложных моделей описания течения вдали от тела (в противоположность локально-одномерному подходу в случае характеристических граничных условий). Много исследований в этом направлении было посвящено двумерной задаче трансзвукового обтекания профиля. Можно отметить результаты работ [45], [44], [40], [55], где рассматривается линейное уравнение потенциала в качестве модели дальнего поля; результаты [64], [128], [113], [58], для линеаризированных уравнений Эйлера; наконец результаты [123] для линеаризованных уравнений Навье-Стокса. Подробный обзор этих и других работ имеется в статье [127].

Каждая из трех упомянутых выше моделей дальнего поля имеет ту же размерность, что и исходная задача и, кроме того, учитывает сжимаемость газа. Поэтому полученные на их основе ИГУ позволяют проводить расчеты в достаточно малых по размеру расчетных областях (обычно со средним радиусом 2-4 хорды профиля). Две последние модели являются наиболее интересными с точки зрения приложений, так как они могут описывать течения со следом.

Из-за наличия вязких членов в линеаризированных уравнений Навье-Стокса искусственные граничные условия в [123] строятся численно. В то же время для анализа линеаризированных уравнений Эйлера можно с успехом применять теорию функций комплексного переменного, так как эта система расщепляется на уравнения Коши-Римана и два одно

Вводные замечания к главам 1, 2 29 мерных уравнения переноса. В главе 1 мы строим оператор V точных граничных условий для системы линеаризированных уравнений Эйлера. Он имеет аналитический вид и представляет собой проектор, то есть оператор, проецирующий произвольный вектор газодинамических функций, заданный на внешней границе расчетной области И, в след некоторого решения линеаризированных уравнений Эйлера из Н2\.0. Причем, вычисление действия V состоит в основном из вычисления интеграла типа Коши на границе области И. Обобщению данной идеи на трехмерный случай посвящена глава 2.

Заключение

В рамках линейных уравнений Эйлера, описывающих течение вдали от тела, в главе 1 предложены точные аналитические искусственные граничные условия для задачи стационарного обтекания с дозвуковым набегающим потоком. Эти ИГУ основаны на формулах, выражающих общий вид решения рассматриваемой линейной системы, главным элементом которых является интеграл типа Коши. Проведен анализ полученных формул; в частности показано, что решение в дальнем поле стремится к набегающему потоку со скоростью -, где г - расстояние от г обтекаемого профиля, за исключением области следа, где возмущения 1 плотности и продольной компоненты скорости стремятся также как -, г но к некоторым своим предельным значениям, имеющих порядок приращения энтропии и изменения интеграла Бернулли внутри расчетной области.

Предложена дискретизация построенных ИГУ. Основным элементом расчетных формул является вычисление для каждой точки линии сетки искусственной границы некоторого сингулярного контурного интеграла. Соответствующая квадратурная формула выписана со вторым порядком точности. Показано, что оператор дискретных ИГУ ограничен в С-норме константой, не зависящей от шага сетки.

Вычислительные затраты для применения построенного оператора имеют порядок величины, соответствующей вычислительным затратам явной схемы интегрирования уравнений внутри расчетной области; при проведении конкретных расчетов с использованием алгоритма [34] они составили 15% общего времени счета. Тестовые расчеты до- и закритического обтекания профиля показали, что предлагаемые ИГУ позволяют использовать очень маленькие расчетные области со средним радиусом 0.7-2 хорды профиля. При этом время счета сокращается почти на порядок по сравнению с расчетами в областях со средним радиусом 4-16 хорд (типичные размеры расчетных областей при использовании характеристических граничных условий могут достигать 20 - 40, см. [89]). Сокращение времени счета происходит как за счет уменьшения числа ячеек сетки, так и за счет ускорения сходимости к стационарному решению. Отметим, что маленькие расчетные области дают возможность обоснованного использования сеток типа О для расчетов со следом (обычно используемые в подобных случаях сетки типа С имеют примерно в 1.5 раза большее количество ячеек и большую вытянутость ячеек в разных направлениях, что неблагоприятно сказывается на скорости сходимости).

В главе 2 данный подход обобщается на трехмерный случай. Здесь предложен анализ линейных трехмерных уравнений Эйлера, позволивший получить аналитическое представление общего решения во внешности некоторой (расчетной) области через значения функций на границе. Система распадается на две подсистемы: эллиптическую для возмущений давления и поперечных компонент скорости, и гиперболическую для возмущений плотности и продольной компоненты скорости. Для учета ненулевой продольной компоненты вектора завихренности в следе, мы добавляем к эллиптической системе еще одно уравнение, которое содержит эту компоненту в явном виде; система принимает вид неоднородных стационарных уравнений Максвелла. Используя методы теории потенциала, разработанные для системы Максвелла, мы находим интегральное представление общего решения. Показано, что реше1 ние убывает со скоростью на бесконечности всюду, за исключением области следа; в следе убывает только возмущение давления (с той же скоростью), а ненулевые возмущения поперечных компонент скорости имеют порядок величины завихренности. Для приложений существенно то, что оператор этого интегрального представления является проекционным, то есть имеется полная аналогия с интегралом типа Коши в двумерном случае. Поэтому данное представление, формула (2.40), непосредственно может применяться в качестве решателя уравнений в дальнем поле, то есть в качестве процедуры доопределения искомых функций на искусственной границе для алгоритмов расчета задач обтекания.

Предполагая, что граница расчетной области принадлежит классу поверхностей Ляпунова, с помощью предельного перехода в формуле (2.17) мы выводим искомые соотношения для функций на границе; они являются аналогом условия Сохоцкого-Племеля для двумерного случая. Доказано, что эти соотношения вместе с соотношениями, диктуемыми гиперболической частью системы линейных уравнений Эйлера, то есть условия (2.35), (2.36), являются точными искусственными граничными условиями.

Формула (2.40) состоит из двух сингулярных интегралов; поэтому применение ее для вычисления функций в точках искусственной границы требует аккуратного рассмотрения, поскольку расстояние до поверхности интегрирования есть величина порядка шага сетки. Мы используем здесь процедуру точного вычисления данных интегралов на классе кусочно-линейных функций, заданных на триангулированной поверхности. Такая процедура обеспечивает второй порядок точности при дискретизации формулы (2.40). Отметим, что программирование вычисления необходимых для этого коэффициентов {сЦ,.,^} в формуле (2.42), общим числом 18, хоть и кропотливое занятие, но делается один раз и может являться некой стандартной процедурой. Это было реализовано, и данная процедура была протестирована на модельной задаче с целью проверки правильности программы.

В главе 3 предложены точные искусственные граничные условия, названные условиями полной прозрачности (УПП), для двумерного и трехмерного волнового уравнения. Они позволяют эквивалентно сводить внешние задачи дифракции к задачам в ограниченных подобластях. Соответствующие операторы граничных условий на сферической границе выписаны в явном виде и являются нелокальными по пространству и времени. Нелокальность по пространству связана с необходимостью вычислять прямое и обратное преобразование Фурье по синусам и/или косинусам (двумерный случай) и сферическим функциям (трехмерный случай) для граничного значения искомой функции на сфере. Нелокальность по времени выражается в вычислении сверток для каждого коэффициента Фурье. В трехмерном случае найдено представление ядер свертки в виде сумм экспонент; коэффициенты, входящие в эти суммы, вычисляются через корни полиномов Лагерра. В двумерном случае к сумме экспонент добавляется еще интегральный член, представляющий собой преобразование Лапласа некоторой вычислимой функции.

Для эффективной численной реализации УПП разработан метод, заменяющий прямое вычисление сверток по времени рекуррентными формулами с любой наперед заданной точностью. В результате вычислительные затраты для дискретного оператора УПП не превышают вычислительных затрат для простейших явных интеграторов исходных уравнений внутри расчетной области. Доказана устойчивость вычислительных формул.

Этот метод, возникший первоначально довольно естественным путем в трехмерной задаче как некий вычислительный прием (трюк), см. [36], удалось обобщить и для локализации расчетных формул по времени в других задачах, рассмотренных в диссертации, поскольку в его глубинной основе лежит идея использования рациональных аппроксимаций вместо некоторых изначальных функций, входящих в формулы точных ИГУ.

Доказана эквивалентность УПП и граничных условий, предложенных (независимо и чуть позднее) в работах [73], [74]. Отметим, что в отличии от [73], [74], построенные дискретные УПП "работают" в двумерном случае и, кроме того, они охватывают случай несферических (то есть общего вида) искусственных границ.

Тестовые вычисления, представленные в главе 3 и в работе [74], демонстрируют существенное превосходство точных искусственных граничных условий над обычно применяемыми приближенными условиями в практических задачах.

Оценки вычислительных затрат, необходимых при использовании УПП и искусственных граничных условий, основанных на формуле Кирхгофа (трехмерный случай), также показывают преимущество условий полной прозрачности.1

В главе 4 рассмотрена задача постановки ИГУ для нестационарной системы уравнений Эйлера на входной и выходной границах расчетной области, являющейся частью бесконечно протяженной аэроди

1В двумерном случае формула Пуассона (аналог формулы Кирхгофа) вычислителями не используется, так как является чрезмерно "дорогой". намической трубы постоянного (круглого) сечения. В качестве математической модели течения в дальнем поле, то есть за пределами расчетной области, исследуются нестационарные уравнения, полученные линеаризацией исходной системы на однородном и постоянном дозвуковом набегающем потоке. Оказалось, что уже в рамках этой модели удается найти аналитические выражения для точных ИГУ. Чтобы получить их на входной границе, система сводится к скалярному уравнению для потенциала возмущений скорости (такое сведение возможно благодаря тому, что набегающий поток изэнтропичен и незавихрен). Применяя разложение по собственным функциям оператора Лапласа в круге, мы находим явное представление общего решения для потенциала в виде ряда Фурье. Функцией-параметром в этом представлении служит значение потенциала на правой границе полубесконечной трубы (то есть на входном сечении расчетной области). Вычисление нормальной производной этого решения на сечении дает искомое граничное условие для потенциала. Условие является нелокальным как по пространству (Фурье разложение), так и по времени (интегралы типа свертки с ядром ^ (£)/£). Это условие затем записывается в терминах исходных газодинамических функций, и к нему добавляются еще два дифференциальных и одно алгебраическое соотношения, полученные из условия потенциальности течения. Доказано, что эти четыре соотношения являются искомыми точными искусственными условиями для системы линейных уравнений Эйлера.

Чтобы найти точные ИГУ на выходной границе расчетной области, мы выводим из исходной линейной системы скалярное уравнение для возмущения давления. Это волновое уравнение имеет вид, аналогичный уравнению для потенциала, что позволяет применить уже готовые формулы. Доказано, что полученное (единственное) граничное условие является точным.

Данные граничные условия, названные прозрачными граничными условиями (ПГУ), предлагается использовать при расчетах нестационарных трансзвуковых течений, описываемых уравнениями Эйлера. Отметим также, что исследуемое здесь волновое уравнение встречается и в других приложениях, в частности, в задачах об электромагнитных и акустических волноводах.

Для получения рекуррентных расчетных формул по времени построены высокоточные представления ядра свертки Jl(t)/t в виде суммы экспонент. В результате дискретные ПГУ являются локальными по времени и, следовательно, очень экономными с точки зрения вычислительных ресурсов.

Проведены тестовые расчеты до- и закритических течений в канале, показавшие, что ПГУ, в отличии от обычных характеристических граничных условий, могут обеспечивать высокую точность даже при достаточно малых размерах расчетной области.

Сформулируем кратко основные результаты диссертации.

В диссертации впервые решены некоторые актуальные проблемы вычислительной математики по нахождению высокоточных и эффективных искусственных граничных условий в применении к внешним задачам аэродинамики и дифракции, а именно:

• Получены точные аналитические ИГУ для двумерной стационарной линейной системы уравнений Эйлера. На их основе построены эффективные и высокоточные дискретные ИГУ для расчета внешних задач обтекания профилей в произвольной расчетной области.

Проведены тестовые расчеты до- и закритических режимов, показавшие, что данные ИГУ сокращают необходимые вычислительные затраты в среднем на порядок.

Найдены точные аналитические ИГУ для трехмерной стационарной линейной системы уравнений Эйлера. Полученные формулы являются непосредственным обобщением результатов для двумерного случая. Предложены соответствующие дискретные ИГУ для расчета трансзвуковых трехмерных задач обтекания. Расчетные формулы протестированы на модельной задаче.

Построены точные ИГУ для волнового уравнения в двумерной (окружность) и трехмерной (сфера) геометрии методом Фурье. Предложены рекуррентные по времени устойчивые расчетные формулы, резко сокращающие требуемый объем вычислительных ресурсов. Проведено численное исследование ИГУ на различных тестовых задачах. Рассмотрен подход к применению данных ИГУ для случая несферических границ.

Выведены точные аналитические ИГУ для нестационарной системы линейных уравнений Эйлера на входе и выходе аэродинамической трубы. Проведена локализация расчетных формул по времени с сохранением необходимой точности дискретных ИГУ. Обнаружено существенное преимущество точности тестовых расчетов с данными ИГУ по сравнению с обычными характеристическими граничными условиями.

Следствием двух предыдущих результатов явилась разработка метода локализации расчетных формул по времени, открывающего возможность построения аналогичных экономных и высокоточных ИГУ для многих других нестационарных задач.

1. А. А. Абрамов, К. Балла, Н. Б. Конюхова, Перенос граничных условий из особых точек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. // М.: Сообщения по вычислительной математике, ВЦ АН СССР, 1981.

2. М. С. Агранович, Спектральные свойства задач дифракции. // Н. Н. Войтович, Б. 3. Каценеленбаум, А. В. Сивов, Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М.: Наука, 1966, 289-416.

3. К. И. Бабенко, Основы численного анализа. // М.: Наука, 1986.

4. К. И. Бабенко и др., Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. // М.: Наука, 1964.

5. И. В. безменов, Новый метод переноса условий излучения Зоммерфельда на искусственную границу области, основанный на вариационном принципе. // Доклады РАН, Т. 330, № 2, 1993, 137-139.

6. Г. БЕЙТМЕН, А. ЭРДЕЙИ, Высшие трансцендентные функции. Том 1. Гипергеометрическая функция и ее обобщения. Функция Лежандра. // М.: Наука, 1965.

7. Г. БЕЙТМЕН, А. ЭрдеЙИ, Высшие трансцендентные функции. Том 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. // М.: Наука, 1966.

8. К. В. Брушлинский, В. С. Рябенький, Н. Б. Тузова, Перенос граничных условий через вакуум в осесимметричных задачах. // ЖВМиМФ, Т. 32, 1992, 1757-1767.9. в. С. владимиров, Уравнения математической физики. // М.: Наука, 1976.

9. С.К. Годунов и др., Численное решение многомерных задач газовой динамики. // М.: Наука, 1976.

10. В. А. Гордин, О смешанной краевой задаче, имитирующей задачу Коши. // М.: Успехи матем. наук, Т. 33, № 5 (1978) 181-182.

11. Н. м. гюнтер, Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. // М.: Наука, 1953.

12. В. А. диткин, А. П. Прудников, Интегральные преобразования и операционное исчисление. 11 М.: Наука, 1974.14. в. Ю. завадский, Методы конечных разностей в волновых задачах акустики. // М.: Наука, 1982.

13. Н. М. Зуева, М. С. Михайлова, В. С. Рябенький, Перенос граничных условий из бесконечности на искусственную границу для разностного аналога оператора Лапласа, // М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 110, 1991.

14. А. А. Константинов, В. П. Маслов, А. М. Чеботарев, Снос краевых условий для уравнений с частными производными. // ЖВМиМФ, Т. 28, № 12 (1988) 1763-1778.

15. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике. // М.: Наука, 1970.

16. В. И. Лебедев, Метод композиции. // М.: Издание Отд. выч. матем. АН СССР, 1986.

17. В. И. Лебедев, В. И. Агошков, Операторы Пуанкаре Стек-лова и их приложения в анализе. // М.: Издание Отд. выч. матем. АН СССР, 1983.

18. К. Миранда, Уравнения с частными производными эллиптического вида. // М.: 1957.

19. М. Н. Мишков, В. С. Рябенький, Искусственные граничные условия для уравнения Гельмгольца в стратифицированной среде, // М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 70, 1992.

20. Н. и. мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения. // М.: Наука, 1968.

21. Ш. М. насибов, О численном выделении ограниченных решений систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных эволюционного тива. // ЖВМиМФ, Т. 17, № 1 (1977) 119-135.

22. А. д. поезд, С. А. Якунин, Нестационарные нелокальные по времени граничные условия для полуоткрытых волноводных систем, // М.: Вест. МГУ. Сер. 15. Выч. Матем. и Киберн., № 3 (1988) 16-21.

23. А. Д. Поезд, С. А. Якунин, Дискретные нестационарные граничные условия типа условий излучения для цилиндрических волноводов, // М.: Вест. МГУ. Сер. 15. Выч. Матем. и Киберн., № 3 (1989) 69-71.

24. В. С. РЯБЕНЬКИЙ, Граничные уравнения с проекторами. // М.: Успехи матем. наук, Т. 40, № 2 (1985) 221-249.

25. В. С. РЯБЕНЬКИЙ, Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. // М.: Наука, 1987.

26. В. С. РЯБЕНЬКИЙ, Точный перенос разностных краевых условий. // М.: Функц. анализ и его прилож. Т. 24. Вып. 3, 1990, 90-91.

27. В. С. РЯБЕНЬКИЙ, Точный перенос краевых условий. // М.: Вычислительная механика деформируемого твердого тела. Вып.1, 1990, 129-146.

28. В. С. Рябенький, И. Л. Софронов, Разностные сферические функции. // М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, № 75, 1983.

29. А. Г. СВЕШНИКОВ, Проблемы математической физики и при-, мыкающие к ним вопросы вычислительной математики и дифференциальных уравнений. // М.: Наука, 1977.

30. А. Г. Свешников, С. А. Якунин, А. Р. Майков, О численном моделировании физических процессов в плазменном СВЧ генераторе // Доклады АН СССР, Т. 288, № 3, 1986, 597-601.

31. И. Л. Софронов, Быстросходящийся метод для нахождения стационарных решений уравнений Эйлера. // М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, № 48, 1988.

32. И. Л. Софронов, Быстросходящийся метод решения уравнений Эйлера. ЖВМиМФ, Т. 31, № 4, 1991, 575-591.

33. И. Jl. СОФРОНОВ, Искусственные граничные условия, адекватные волновому уравнению. // М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 42, 1992.

34. И. Л. СОФРОНОВ, Условия полной прозрачности на сфере для трехмерного волнового уравнения. Доклады РАН. Т. 326. № 6,1992, 453-457.

35. И. Л. СОФРОНОВ, Условия полной прозрачности для волнового уравнения. // М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 76,1993.

36. И. Л. СОФРОНОВ, Прозрачные условия на переднем и заднем сечениях аэродинамической трубы для задачи нестационарного дозвукового невязкого обтекания. // М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 81, 1994.

37. И. Л. СОФРОНОВ, Нелокальные искусственные граничные условия для задач трехмерного стационарного обтекания. // Матем. Модел. Т. 10. № 9, 1998, 64-86.

38. И. Л. СОФРОНОВ, С. В. ЦЫНКОВ, Применение модели потенциального обтекания к постановке условий на внешней границе для уравнений Эйлера, Часть II. // М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, № 41, 1991.

39. А.Н. Тихонов, A.A. Самарский, Уравнения математической физики. // М.: Наука, 1972.

40. М. В. федорюк, Уравнение Гельмгольца в волноводе (отгонка краевого условия от бесконечности). // ЖВМиМФ, Т. 12, № 2 (1972) 374-387.

41. С. В. Цынков, Граничные условия на внешней границе расчетной области для дозвуковых задач вычислительной газовой динамики // М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, № 108, 1990.

42. С. В. Цынков, Применение модели потенциального обтекания к постановке условий на внешней границе для уравнений Эйлера, Часть I, // М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, № 40, 1991.

43. П. И. чушкин, Расчет обтекания произвольного профиля и тела вращения в дозвуковом потоке газа, // М.: Вычисл. матем., ВЦ АН СССР, № 3 (1958) 99-110.

44. S. Abarbanel and D. Gottlieb, A mathematical analysis of the PML method, J. Comput. Phys. 134, No.2 (1997) pp. 357-363.

45. V.A. Baskakov, A.V. Popov, Implementation of transparent boundaries for numerical solution of the Schrodinger equation, Wave Motion, 14 (1991), 123-128.

46. A. bayliss and E. Turkel, Radiation boundary conditions for wave-like equations, Commun. Pure Appl. Math. XXXIII (1980) pp. 707-725.

47. A. Bayliss and е. Turkel, Outflow boundary conditions for fi dynamics, SIAM J. Sci. Statist. Comput. 3 (1982) pp. 250-259.

48. A. Bayliss and E. Turkel, Far-field boundary conditions fo compressible flows, J. Comput. Phys., 48 (1982) pp. 182-199.

49. J.-P. berenger, A perfectly matched layer for absorption of electromagnetic waves, J. Comput. Phys., 114 (1994) pp. 185-200.

50. Blaschak, J. G. & Kriegsmann, G. A. A comparative study of absorbing boundary conditions. J. Comput. Phys. 77, (1981) 109-139.57. c. Canuto, S.I. Hariharan, l. lustman, Numer. Math. 46 (1985) pp. 505-521.

51. D. colton, R. Kress, Integral equation methods in scattering theory. John Wiley & Sons, New York, 1983.

52. В. Engquist AND A. MAJDA, Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves, Math. Comput. 31 (1977) pp. 629-651.

53. B. Engquist and A. Majda, Radiation boundary conditions for acoustic and elastic wave calculations, Commun. Pure Appl. Math., XXXII (1979) pp. 313-357.

54. B. Engquist and A. Majda, Numerical radiation boundary conditions for unsteady transonic flow, J. Comput. Phys., 40 (1981) pp. 91-103.

55. F. Farassat and M.K. Myers, Extension of Kirchhoff's formula to radiation from moving surfaces, Journal of Sound and Vibration, Vol. 123, No. 3 (1988), pp. 451-460.

56. L. Ferm, Open boundary condition for external flow problems, J. Сотр. Phys., 91 (1990), 55-70.

57. L. Ferm and B. Gustafsson, A downstream boundary procedure for the Euler equations, Computers and Fluids, 10 (1982) pp. 261276.

58. G.J. Fix and S.P. Marin, Variational methods for underwater acoustic problems, J. Comput. Phys., 28 (1978) pp. 253-270.

59. George, A. R. к Lyrintzis, A. S. Acoustics of transonic blade-vortex interactions. AIAA Journal, 26, No. 7 (1988) 769-776.

60. М.В. Giles, Non-reflecting boundary conditions for Euler equation calculations, AIAA Paper 89-1942, June 1989.

61. GlVOLI, D. Non-reflecting boundary conditions. J. Сотр. Phys. 94 (1991) 1-29.

62. D. Givoli and D. Cohen, Nonrefleeting boundary conditions based on Kirchhoff-type formulae, J. Comput. Phys., 117 (1995) pp. 102— 113.

63. D. Givoli and J. B. Keller, A finite-element method for large domains, Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg., 76 (1989) pp. 41-66.

64. C.I. Goldstein, Math. Comput. 39 (1982) pp. 309-323.

65. M. J. Grote, J. B. Keller, Exact nonreflecting boundary conditions for the time dependent wave equation. SIAM J. Appl. Math. 55, No. 2 (1995) 280-297.

66. M. J. grote, J. B. Keller, Nonreflecting boundary conditions for time-dependent scattering. J. Сотр. Phys. 127 (1996) 52-65.

67. M. J. Grote, J. B. Keller, Nonreflecting boundary conditions for Maxwell's equations, J. Comput. Phys. 139 (1998), 327-342.

68. M. J. Grote, J. B. Keller, Exact nonreflecting boundary condition for elastic waves, SIAM J. Appl. Math., to appear.

69. B. Gustafsson, Far-field boundary conditions for time-dependent hyperbolic systems, SIAM J. Sci. Statist. Comput., 9 (1988) pp. 812— 828.

70. B. Gustafsson, Inhomogeneous conditions at open boundaries for wave propagation problems, Appl. Numer. Math., 4 (1988) pp. 3-19.

71. Т.М. Hagstrom and S.I. Hariharan, Accurate boundary conditions for exterior problems in gas dynamics, Math. Comput., 51 (1988) pp. 581-597.

72. T.M. HAGSTROM, Asymptotic boundary conditions for dissipative waves: General theory, Math. Comput., 56 (1991) pp. 589-606.

73. T.M. Hagstrom On the convergence of local approximation to pseudodifferential operators with applications, NASA Technical Memorandum No. 106792, ICOMP-94-29, NASA Lewis Research Center, Cleveland, OH, U.S.A., November 1994.

74. L. HALPERN, Artificial boundary conditions for the linear advection-diffusion equation, Math. Comput. 46 (1986) pp. 425-438.

75. G.W. Hedstrom, Nonreflecting boundary conditions for nonlinear hyperbolic systems, J. Comput. Phys., 30 (1979) pp. 222-237.

76. J.R. hellums, W.R. Frensley, Phys. Rev. 49 (1994) 2904-2906.

77. R.L. HlGDON, Absorbing boundary conditions for difference approximations to the multidimensional wave equation, Math. Comput. 47 (1986) pp. 437-459.

78. R.L. HlGDON, Radiation boundary conditions for dispersive waves, SIAM J. Numer. Anal., 31 (1994) pp. 64-100.

79. C. HlRSCH, Numerical computation of internal and external flows, Volume 2: Computational methods for inviscid and viscous flows. John Wiley & Sons, Chichester, 1990.

80. H. jiang and Y.S. Wong, Absorbing boundary conditions for second-order hyperbolic equations, j. Comput. Phys., 88 (1990) pp. 205-231.

81. G. Jin and M. Braza, A nonreflecting outlet boundary condition for incompressible unsteady Navier-Stokes calculations, J. Comput. Phys., 107 (1993) pp. 239-253.

82. M. Johnsen and D.R. Lynch, A second-order radiation boundary condition for the shallow water wave equations on two-dimensional unstructured finite element grids, Int. J. Numer. Meth. in Fluids, 18 (1994) pp. 575-604.

83. J.B. Keller, D. Givoli, Exact non-reflecting boundary conditions, J. Comput. Phys., 82 (1989) 172-192.

84. S. korber, j. ballmann, Mechanisms and acoustics of blade-vortex-interactions. Z. Flugwiss. Weltraumforsch., 19 (1995) 397406.

85. D. Kroner, Absorbing boundary conditions for the linearized Euler equations. Math. Comput., 57 (1991) pp. 153-167.

86. M. Lenoir, A. Tounsi, SIAM J. Num. Anal., 25 (1988) pp. 729734.

87. A.S. Lyrintzis, Review: The use of Kirchhoff's method in computational aeroacoustics. Journal of Fluids Engineering, 116 (1994) No. 12, 665-676.

88. R.C. MacCamy, S.P. Marin, Int. J. Math. Math. Sci., 3 (1980) pp. 311-317.

89. K. Olsen, L.S. Hwang, Oscillations in a bay of arbitrary shape and variable depth. J. Geophys. Res., 76 (1971) pp. 5048-5064.

90. Q. Ql and T.L. Geers, Evaluation of the perfectly matched layer for computational acoustics, J. Comput. Phys. 139, No.l (1998) pp. 166-183.

91. Yu.B. Radvogin, N.A. Zaitsev, Adequate boundary conditions for unsteady aeroacoustic problems. Proceedings of Second Сотр. Aeroacoustic Workshop on Benchmark Problems. C. Tam and R. Hardin Eds. NASA CP-3352, 1997, pp. 179-189.

92. Yu.B. Radvogin, N.A. Zaitsev, Absolutely transparent boundary conditions for time-dependent wave-type problems. Proc. of the Seventh Int. Conf. on Hyperbolic Problems, Zurich, 1998 (принято к печати).

93. A. RlZZl, A damped Euler equations method to compute transonic flow around wing-body combinations, AAIA J. 20, No.10 (1982) pp. 1321-1328.

94. V.S. Ryaben'kii and I.L. Sofronov Difference potentials for the Helmholtz equation in exterior domains ICOSAHOM-98, Special Issue of Appl. Num. Math, (принято к печати).

95. V.S. Ryaben'kii and S.V. Tsynkov, Artificial boundary conditions for the numerical solution of external viscous flow problems, SIAM J. Numer. Anal., 32 (1995) pp. 1355-1389.

96. Second Computational Aeroacoustics Workshop on Benchmark Problems. Held 4-5 November 1996 in Florida State University, Tallahassee, Florida.

97. R.P. Shaw, An integral equation approach to acoustic radiation and scattering, in: "Topics in Ocean Engineering", vol. II (C. Bretschneider, ed.) Gulf Publishing Co., Houston, Texas (1970), p. 143-163.

98. I.L. Sofronov, Transparent boundary conditions for unsteady transonic flow problems in wind tunnel. Preprint 95-21 of Mathematical Institute A, Stuttgart University (1995).

99. I.L. sofronov, Generation of 2D and 3D artificial boundary conditions transparent for waves outgoing to infinity. Preprint 969 of Mathematical Institute A, Stuttgart University, (1996).

100. I.L. sofronov, Coupling of Potential and Euler Equations to Describe Far Field in 3D Transonic Flows, Book of Abstracts of the Seminar "Euler and Navier-Stokes Equations" held in Prague, April 3-5, (1996).

101. I.L. sofronov, Artificial boundary conditions of absolute transparency for two- and three-dimensional external time-dependent scattering problems, Euro. J. Appl. Math., 9, No. 6 (1998) 561-588.

102. I.L. sofronov, Non-reflecting inflow and outflow in a wind tunnel for transonic time-accurate simulation, J. Math. Anal. Appl., 221 (1998) 92-115.

103. I.L. sofronov, Highly-accurate artificial boundary conditions for the two-dimensional wave equation. Proc. of the Seventh Int. Conf. on Hyperbolic Problems, Zurich, (1998) (принято к печати).

104. L. tlng, M.J. Miksis, Exact boundary conditions for scattering problems. J. Acoust. Soc. Am., 80 (1986) 1825-1827.

105. K.W. thompson, Time-dependent boundary conditions for hyperbolic systems, J. Comput. Phys., 68 (1987) pp. 1-24.

106. K.W. thompson, Time-dependent boundary conditions for hyperbolic systems, //, J. Comput. Phys., 89 (1990) pp. 439-461.

107. S.V. TSYNKOV, An application of nonlocal external conditions to viscous flow computations J. Comput. Phys., 116 (1995), 212-225.

108. S.V. TSYNKOV, Artificial boundary conditions based on the difference potentials , method. NASA Technical Memorandum No. 110265, 1996, Langley Research Center, July.

109. S.V. TSYNKOV, Numerical solution of problems on unbounded domains, Appl. Numer. Math., V. 27 (1998) pp. 465-532.

110. A. Verhoff, D. Stookesberry, S. Agrawal, Far-field computational boundary conditions for two-dimensional external flow problems, AIAA Journal, 30 (1992), 2585-2594.

111. G. N. watson, A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge, 1944.