Построение лангражиана и гамильтониана по заданным свойствам движения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ. ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ШШИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУКШ НАРОДОВ

На прают рукишки

Маявряхова Ваанткна Вдадаотровна

ПОСТРОЕНИЕ ЛАГРАНЗИАНА И ГАШИЬТОЯЯАНА Ш ЗАДАНИИ СВОЙСТВА!! двстзпя

(01.02.01- теоретсггэсхая юташка)

Автореферат дассвртвдта на соисканиэ учэноа сто и» ей каададзта {£г:ао-«атеяа'тчяаиц наук

Москва- 1602

Рабата выполнена не кафедре теоретичесхож механики ордене ДрумЗы народов Россижского Университета .цружбы народов.

Научный руководитель -васдуяенныв деятель ваухи и техники РОвСР. доктор технических ваук, профессор А.С.Галиудлин.

п^иуимш опповента : доктор фюяхо-иаггешпичесхих ваук« профессор В.В.Кре»ентуло, кяцдкттг фмэико-матеиатичесхнх ваух, доцвп В.Н.Оерегкн.

Ведутая организация - Санкг-Петер0ургсхи> государственны« Университет.

Защита дассертации состоится "24" декабря 1992 г. в/9 часов ва васеданив специализированного совета К 053.22.03 по Тфасувдвнш учено! степени кандидата фюнхо - иатеиатичесхих ваук в Россиясхоа Университете дружЗы народов по ° «фесу: 117302 , Москва, уд. Ордюниккдэе 3.

С джсертамв! можво ознахоикгься в научно« биЗлштеве Росаасхого Университета фуяйы народов по адресу: 117198, Москва, уд. Михлухо-Маклая в.

Аитореферуг разослав " ноявря 1992 г.

Уши секретарь специализированного совета кандидат фвдихо-ютвшпя -чесхих ваух

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАЬОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ»

В последние десятилетия б аналитической механика Лагранжа-Гакильтона наряду с задачами о построении силовых функция (задача Суслова) ставились и росались задачи об определении функционалов, принимавших стационарное значение в процессе движения механической системы (задача ■ Гельмгольца), задачи восстановления и построения уравнения по заданны-^ свойствам дашэния (задачи Горячева, Цуанкаре-Картана).

Реаюниэ этих задач с дальнейшим обобщением их физическоа интерпретации раскрыли новью положения и явлен™ в естестЕошшх науках, некоторые из них оказались исходными задачами в становлении и развитии современных отраслей науки об управлении движениями материальных систем.

Так, например, обратные задачи о построении силовых полэа и обратные задачи динамики тела гоременной массы стали исходными в космонавта э, ракэтоданамике и теории построения систем программного движения.

Развитие исследований в области обратных задач динамики било вызвано необходимость» рокения исходных задач при аналитическом конструировании систем с заданными свойствами движения.

С другой стороны, 'развитие тдоргл управления движением механических систем вызвало необходимость решения обратных задач динамики в различных постановках. Все это привело к тому, что обратные задачи классической динамики оказались своего рода направляющими и исходными задачам? современной науки об управлении движением материальных систем раз^лчлоа физическоа природы.

Одной из актуальных обратных задач динамики является задача построения по заданному интв1ральному многообразии гамильтониана и лагранжиана рассматриваемых систем и их уравнения двгакония в форме уравнении Гамильтона и Лагранжа. Интерес к зтоя задача обусловлен наличием действенных методов интегрирования этих уравнения (метода Гамильтона-Якоби, Пуассона, Нетер и др.), глубокой внутренней взаимосвязью формализма Гамильтона с различными дифференциально-геометрическими и алгебраическими структурами, возможностями использования этой взаимосвязи при изучении и интерпретации движения механических систем, а таюка стремлением к унификации

катодов исследования с истом различной физичаскоя природа. Роаюшш задачи построения обоб-цсишого гамильтониана и лагранжиана расаирдат позмоишость рзспространония известных методов исследования гамилътоношх систом ка случая еопотонцизльеьпс сил.

Понятно, что для распространения иотодоа исследования гамильтоношх систом на каиболоо обвио системы необходимо прсздо всого построить функционал дэаствия, из условия стационарности которого получились бы уравнения, огксываюэдэ процэссы в этих системах. А для этого нообходимо по имеющимся свойствам дзижония построить гамильтониан - такой динамически^ показатель, которда как-то характеризует состояпиэ системы, используя который можно получигь уравнения двкйешия механических систем.

Таким образом, задача построения лагранжиана и гамильтониана по заданным своасвам движения, рассмотренная с этоа работе, ладнотся одним из возможных направления развития теории обратных задач динамики.

Поль работы. Цоль настоящей работы заключается в дзльноаг;ом развитии мотодз Пуассона, Гамильтоза-Якоби, преобразования Лэжлздра, прижшошм этих мотодов для резекия обратная задачи механики построения лагранжианов и гамкльтонизнов различных структур по заданным свойствам движения.

Vo toj;,i исслодшзегия . Б исследованиях, проводэнных а диссертапжншоа работа, примоннытся котоды анздигпчоског механики, котоду теории диХоронциалъных уравнении.

Научная новизна. Ка основа обращения метода Пуассона, Гамильтока-Ккобм и применения преобразования Ложандра росона задача пострсоиия гамильтониана и лагранжиана различных структур1 по заданным свойствам дзийокил. Пэлучэ:ш услов/л су;ио отозвания лаграняша мохзничосхог систома ггри наличии дополнительных евнзоа. По уравнениям Лагракяз II родз построены лагрзнжиэ'ш систем по заданным свойствам при наличии дополнительна связоа, догствуших нз систем, построен лаграгжнзн системы, находящаяся под доастююм обсбгршал; сил и построе:ш связи скотомы г;о заданным сбобзднньм силам, дргствухгцим на систему.

Практическая понпость рзботы. Результаты дизссртз:;ионноа рг.боты могут быть непосредственно применены при построонии гамильтонианов и лагранжианов различных структур, при изучении

л

систем различной физичоскол природы, при рокопии nptiw.n ¡шдачи динамики, в частности, • для построония лнняр.них уравнении Гзуильтонп-ЯкоСи с послодукцим оггродэлонигм юггогрАЮ» ур «шоииз движения » могут применяться в области развития теории обибй^мьа гамильтонопых систем, а такие щгл чтении соотеотстпут«* jrjawjm» курса ЧН.Ч.Т.П'ИЧОСКОЙ динамики.

Ллроб.иг.'я работы■ Результаты диссертационной р-ч-ЛиШ л--кл1№-валкь и обсуждались h:i XIII кон^шцни молода* учош.ч ф'шу.млхггя 4и1«г.га-катеи<тг4(,сккх n естественных наук Российского Ункк^хигоы д^укйм пчродчв (Москва, 1090 г.), на XXVI научной факультета (язик1>-гпт>м.чткчэских и естественных паук РУЯН (Kocst»w, 1090:-.), ка ?<?сцуй.г.лка!1сксл кон^орешрм "¡¿пдялир'. шгл с w;wx механических систем" (Тааконт, 1091 г.) и а XXVIII изучиоя факультета флзико-гэтеннтичоских и еигогтасчших нуук РУЛИ (Москва, 1992 г.), па заседаниях научного сссинир-! lt.^^iifw теороТЯЧЭС! 02 V.px:i.!\ni:i РОССИЙСКОГО УНШОрСИТвГЯ ДруНЙЦ НЗроД.Л1 под руководствам проф. Л.С.Галиуллина.

Публикации. По теме диссертации опубликовано-в работ (1 61. Структура и одюн работы. Дисеоргация состоит из внодоная, трех глав, заключения, списка литератур.! im 76 наяодивашга. приложения и изложена на страницах машинописною текста.

СОДЕ!''¡(АНИЕ РАБОТЫ Во введении приводится обзор литературы но тшлэ дщссир-пцш», обосновывается актуальность темы, формулируется голь «солод-ташм и кратко излагается содэркзниэ работа.

В первой главе рассмотрена обратная задача гами. плановой механики построения гамильтониана по свойствам движения, заданным в вида совокупности первых или частных интегралов системы rtJ(q,p.t) = {и^ с- С1, р-1.....ш>.

где I*' - независимы, совместны, С^ - произвольная константа.

В исследуется задача построения гамильтониана механической системы, квадратичного относительно обобщенных импульсов

n n

H(t.q.p) - j) Cij(q.t)pipj + y^B^q.Dp. -» P(q,t) (1)

1,j=i 1 по заданным m независимым и совместным постоянным движения

м - 1.....ш

n N

Г^<1.я.р>= А^(дЛ)р^-+У""р?(д,г)рх + С^(дД)= (2)

177-1* 1-1

Получена система линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно искомых функций

с^я.о.в^я.о. г<я.г>. I = 1.....N1

выделен рад частных случаев, имеющих прикладной значение, получены ншшо фо^улы для построения гамильтониана некоторых механических систем.

Тек например, получены уравнения для построения гамильтониана

вида

N

Н(ч,р> - ^ р* + в1р1 + Г(д). (3)

который имеет место при рассмотронии модели механической системы с кинетической энергией

1-1

и силовой функцией при изучении двюиония частицы в

элоктроматаитаом поле и других моделей .

Строится силовая функция системы по построенному гамильтониану вида

N

Н(Ц,р) = Р1 ~ ^'Ч)» <4>

1-1

А также получены уравнения в частных производных для построения гамильтониана высшего порядка относительно обобщенных импульсов системы по заданным постоянным движения некоторого порядка г. Эту систему уравнений, как и ее частные случаи, можно использовать для реиония прямой задачи интегрируемости мохакичоски1 систем.

В §2 для решения поставленной задачи строится система дифференциальных уравнений, допускающих движение с заданными свойствами. . Условия каноничности полученных уравнений рассматриваются как системз дифференциальных уравнений в частных произодных относительно искомой ■ функции Н(д,рД). Делаются

б

сувдэния об интегрировании полученных уравнения.

В §3 установлена методика построения гамильтониана стационарной механической системы по заданным свойствам движения с помощь» теоремы Цуассона. При этом задача сводится к отыскания частного решения системы однородных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и решается методом Якоби. Приведен алгоритм репения поставленной задачи и дано описание результатов расчетов па ЭВМ, прсведонных с помодыо системы аналитических вычисления "reduce" в случао, "пгдэ число заданных частных интегралов на единицу меньше числа степеней свободы стационарной механической системы. Указана возможность обобщения предлагаемого алгоритма на сличай произвольного числа частных интегралов. j

Вторая глава посвпцена решению задачи построения лагранжиана системы по заданным уравнениям движения &ри наличии дополнительных связей,девствующих на систему.

В §1 рассматриваются условия существования обобщенной функции Лагранжа l*(q,q,t) в ввдэ

L*(q.q.t) = Kq.q.t) + ^F^q.^.t), (5)

которая бы полностью описывала динамику системы с учетом дополнительных связей.

В §2 предполагается, что на систему действуют некоторые

обобп(енпыз силы Qi. Тогда уравнения движения системы имеют вид

= 1 = 1.....• (в>

Строится обобщенный лагранжиан I*(q,q,t) в виде (5) по известным уравнениям Лагранжа II рода (6) с лагранжианом L(q,q,t) и ненулевой правой частью (задача Гельмгольца), такой чтобы оти уравнения совпадали с уравнениями двккения Эйлера-Лагранжз

- ^--0. «-1.....<7>

В §3 рассматривается построение по заданным обобщенным силам некоторых связей и формальная замена обобщенных сил голономными связями.

В §4 строятся уравнения Эйлерз-Лагранжа обращением теоремы Хоймана по заданным постояннным движения механической системы.

7

Решеши этой задачи позволяет также строить некоторый лаграп-кпзн рассматриваемое системы, Б - оквивашнтныя ужо известному лаграамацу <в смысле зивизалоиткости роняниа соопьотстпувдил даЗФорзнциашшх уравнения хдааоаин), а, следовательно. и связи система по заданным н-глаграашиьм уравнениям движения.

В третьей главе рассматривается преобразование Лмандра и сингулярные системы.

В 01 образен:»:.; кэтодэ Гамильтона-Якоби строится гааильтони-ш и лагроваиая ск-угомы по задании свойствам дааюиия.

В 42 прил-опя^-! ся щнсс'^здованш Лэжзвдра для костроотш квадратичного и линейного атэсхшлшо обо&ршшх кмцульсоэ гамильтонианов мохышгчоскол системы по заданному вырожденному (сингулярному) и новыроздапнему лагранжианам сиотсг.и. Гмазтся таким задача построения соответствувздя л.аграшиинов, линейкых и квадратичных отаоситолыю обобщенных скоростей, по эядяшшм выроздонному или невырожденному гамильтонианам к-^хакичоскоа системы.

Получению результаты иллюстрируются на конкретных призерах.

В приложении пр.таодэтел листки- программ определения гамлль-тониана по заданным свойствам механической системы, реализованный в сродо аналитических вычисления "РЛ)иС1".

По томо диссертации опубликованы слодуыдио работы■

1. Мещерякова В.В. Построонга гамильтониана механической система обрацзшжм метода Пуассона // Проблемы механики уязвляемого дцижониж Маодузавский сборхиас научных трудов, Пермь, 1991.С.70-83.

2. Ко!£эрякова В.В. Построен!» гамильтониана мохяническоа систош по заданным свойствам движения " Иэт. 13 конф.мол.уч.Ун-та друайы пар. «мат. ,физ. ,хим., (24-25 ост. 19301". )-Дея1. в ВИНИТИ АН ССы> 13.02.01, м 74&-В91.С. 70-73.

3. Мо^ррикова В.В. Об одном метода построония гамильтониана моханичэскоп системы " Тез. док.:. ХХУ 1 науч. конф. 4»-та физ.-мат.и ост.наук РУДН (11-19 пая 1990 Г.)- М..19Э0 г.,с.94.

4. иощэряхоаа В.В. Построонио лагранжианов различных структур по заданному гамильтониану механической системы //Тез.докл.науч.коиф. (24-2в септ.1991г.)-Ташкент, 1991 ,с.33-34.

5. Цосррякова В.В. Построонко гамильтониана и лагражизна мохани-

е