Построение структуры матрицанта уравнений движения изотропных и анизотропных упругих сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Тлеукенов, Садритен
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Алматы
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
I и V ••
• 8ЛМ №95..
НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
Институт механики и машиноведения
На гіравах рукописи УДК 539.3 : 534.2
' ТЛЕУКЕНОВ САДРИТЕН
ПОСТРОЕНИЕ СТРУКТУРЫ МАТРИЦАНТА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ИЗОТРОПНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ УПРУГИХ СРЕД
Специальность -
01.02.04 - Механика деформируемого твердого тола
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физики — математических наук
Алматы — 1995
ІВедуцщжївшнштаздаи— Шддтаяя
шшдк
— ДРЦЧТР'ЦТ—Г*1** — «тимипмнптг Krayg
— jjçjjûnojp'
Jeeja,, иршфешар
«
і saoідашв
і назвеш JpSIS іщш ІНтяипіуюе мржаиижш ш ~ І. sc.,Гаявше» !Ж$і.,&И5евш„ ЗЯ)) .
(С дапж*дхгацийй тині» і
DB іЯй^мдилчм» НАН 1%
№нный ссшуіетарь (Специаашіцрвввдшнго ®стегга ._
жсф.—ім.ш„с.аіас
Баймухашлыв
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. Неоднородность, анизотропия и поглощение являются наиболее распространенными свойствами упругих реальных срсд. Развитие методов исследования волновых процее-con п неоднородных изегфонпых н анизотропных средах с учетом механизмов поглощения необходимо для решения широкого круга теоретически* и прикладных задач в различных областях науки и . техники, прежде всего п сейсмологии, геофизике и механике ком-поятя« материалов. .
Успехи теории распространения голи в изотропных средах связаны прежде всего с возможностью потенциального представления лектора смешения, позволяющие привести уравнения движения однородной изотропной среды к независимым волновым уравнениям. Однако такое представление неприменимо уже я случае нсодноро,, иых изотропных сред. Наглядный Я эффективный для однородных изотропных сред метод плоских воли в случае аиихлронных сред (изываися совсем не простым. Существующие аналитические методы исследования волновых процессов я анизотропных средах либо fie приводят к необходимым количественным и качественным ре-зул .гагам, либо полученные па и ; основе р1 темня практичсск:! не обозримы к малопригодны. Именно поэтому развитие четодоп исследования и <|юрмированис нредстаиленнО о поведешши поли в анизшронпмх средах является одной из актуальных проблем механики дс(|)0рчирусмо|0 твердою тела.
Огмстнм, НСКОюрМС аспекты постановки ЭТоЛ и ¡блсмы, принятые и предлагаемой раб«не. Естественно, что проблему должно Hiynun, 1Ы1 Г'-це возможно более ностмх поли .шхляшчно обшей природы. К этим последним следует относить гармонические волны и,» частости, плоские волны, систематическое изучение которых на основе ■•чадит ических метод«'" практически не проподилось.
Уравнения движения в ;иш зотронных средах отличь-пся сложностью и обилием параметров. Поэтому, Наиболее конструктивным я ut н с си noi avioiiiiiv.’ii.ii'v и четлыюе 'учение свойств их рс-iiuiiH в дооаючцо широком классе ашиотропных сред с тем, чтобы УСТАНОВИТЬ ЫИИсИМОСТЬ TVX ИЛИ ИНЫХ ВОЛНОВЫХ .1ПЛСИИЙ от структуры ynpyiих параметров, определяющих анизотропию средь.
Друтим аспектом работ«« является вывод |раничпых нежестких условий контакта. Наличие в средах прослоек с линейными и не* :мнеИными реологическими свойствами зачастую нринодиг к гро-мо1дкнм численным расчетам уравнений движения. Несомненна также дажлоечт* разам him подходов, но шоляющих существенно упростил. ап.гптичсскне исследования, численную качсст,..мпум и количественную опенку лхно влияния, сохраняя влияние физико-механических С1К1ЙСТН ЭП1Х прослоек.
Изучение волновых процессов в периодических структурах привлекает приборостротслеП материаловедов для решения разнообразных вопросов - о анали и динамических процессов о слоистых композитах до сошния и применения приборов и устройств, »»снованных на волновых э<1«!к'1сглх в регулярных структу-
pax. Основные проблемы связаны з; сь с развитием эффективных метлой анализа волновых процессов п конечных регулярных структурах, построением и исследог-міием ураішешп'і дисперснії.
Ибо сушсспіумщис методи основаны либо па теореме Флокс ; ш ас-ограниченных структур, дибо используют слоисто-однородные модели її сочсгатш с численними расчетами.
Цель раГкт.і: 1. Построение структуры матрнцаит.. уравнений дпнжсиия, описываюпшх раенространеиис гармонических події о средах неоднородных но одной из пространственных координат анизотропных всех снпгший при объемном распространении вели, при распространении поли идоль координатных плоскостей и координатных осей; изофопных, тлзокристаллах гексагональной и кубической сиигопий; и ортотронных пластинах, стержнях и бал- • ках на уирушм осномнии; п акустических средах.
2. ІЗміюд граничных условий нежесткою контакта упрупіх сред, уппинатишх шшяпис иг типовые процессы тонких пр<-слоек С ЛИПСЙНЫМИ и нелинейными определяющими СООТПОШС1ШЯМИ.
3. Раіраікггка метода исследования распрост, анспия поли в периодически неоднородных средах, основанного на структуре матрипанта уравнений движения. .
Достоверность основных научных положений и результатов раГнгш обоснова нримсиепнсм общих методов и нршпшпоо механики сплошной среды, построением точных решений, сопоспшлсписм и согласованностью получении* результатов с суїнестуюишми дапиы-ми. Шлтд структуры матрицинпш матсмап ісски сірого обоснован И дока іап. Рассматриваются классические модели сред механики Лс<|к>рмирусмоіо тпердою тела.
М-чол исслелопаиия: аналитический, исш лший на классическом прелапилении маїрииапіа системы ураинеиий перших) порядка с переменными к<»|к|іііішсіп:імн и ijxip-'ic экспоненциального маїрнчноіо ряда, и матричный метол исследования динамики унру-ІИХ слоистых структур.
Научная повита:
1. Ііііерш.іе сі|к>рмулироиана ц решена проблема построения структуры маїринант.і уравнений движения, оі, ¡сывак'мшх распрост-рапсним іармчинческих волн в yirvntx неоднородных по одной »и пространствен их коордииаг. аиииггропних средах всех синншнй
в оГь.емном случае распространения иодп, при распространении волн вдоль каждой из коорлшіаіних плоскостей и координации осей; нзофоппых сред . г .е іокристаллах іексагональной и кубической сишоний, оріоіроипих и изотропных пластинах, стержнях л балках п.. упруюм основании, акустических средах.
2. Нперные подучены ишариантные ccxriношения, связывающие
элементы магрицанток. Исследована зависимость структуры матри-капта or структуры магрп'' упругих и-.-амсфо» сиетсм уравнений движения апи ипронных сред всех СИНГОШІЙ II O&UMIIOM. плоском и одномерном случаях. .
3. Пре.чложешл граничные условия нежесткого контакта, оии-сыиаюише влияние топких прс^поск с анизотропным, вязкоупругими. нелинейно-вязкоупругими, упруго-низко-пласт нчсскими опрс-
дсдяющими соотношениями; определены величины разрыва лектора смещения и ноглашенпя энергии; получена мафичная формулировка различных линейных моделе!'! сред.
4. Впервые получены аналипіческие ирел< : тлении матрицан-топ уравнений дни;Кения ішр”одическп неоднородных изотропных И анизотрош,.ах сдоев относчпельно мафшы монодроу и на основе полиномов Чебышева-Гегенбаузра; построены матрицапты усредненных перНО тчееки неоднородных изотропных и яшиопгропных слоен. Пре южепа модифицированная сіюрма ус/гопиГі определения корней матриц монодроміш, нозтодіі-онш iwboc понизить степень характеристического уравнения.
3. Получены раздельные уравнения дисперсии в неограниченной їіерни; ¡-.ческой структуре при распространении поли и координатных ПЛОСКОСТЯХ неоднородной изотропно?! среды, кубической, гексагональной, тетрагональной н ромбической сингоний ани* г-роннмх сред; при объемном распространении волн в неоднородных изотропных средах, и неоднородных анизотропных средах кубнч-нескои, гексагональной сишопші.
6. 13 явном виде построены матрицантм однородных анизотропных''рсд ромбической, тетрагональной, гексаі опальной и кубической еннгопий, описывающих распространение волн в координатных плоскостях идоль осп симметрии четного порядка П0СТр<-ен катринааг скалярного уравнения движения при наличии зі]іфокга двойного преломления воли поперечной поляризации. Получены уравн шя дисперсии і>олн без изменения поляризации.
7. Для общего вида неоднородности исследовано формирование зон прозрачности и непрозрачно«., обьемш.к, каналовых, поверхностных и нормальных волн в пері, дачеекнх струмурах в случае скалярного уравнения дпнжени .. Выявлена изанмоевязь между зонами пропускания уравнения дисперсии в неограниченной периодический структуре, коз(1>ф!щиентами отражения и преломления периодически неоднородным слоем и корнями уравнений дисперсии каналошх, поверхностных и нормальных волн в периоди-че. .сих волноводах.
8. Решены задачи отражения SH волн неоднородными полупространством при нежестких условиях контакта; отражения и преломления ноли с учетом двойного преломления; отражения-и преломления волн анизотропной прослойкой трию "іте’"< сиш'ошш: об определении условий сущеетг жания пг -її Стоунлн и Релшгна границах с нежестким контактом; построении- матрнцанта и* уравнений дисперсии в периодической структуре,- остоянгеЛ из системі» оді-неродных слоев жидкости и изоГротШ? iV анизотропных пластин.
Научные положения, BMifociüíw'e fra Защиту. Метод построения матршушшв, основанный на йсследовапии матричного экспоиенци-алыюго ряда. Он включает:
- структуру матрпцантов уравнений чвижения, описывающие распросфание гармонических волн, в неоднородных, вдоль пространственной координаты анизотропных сред всех сингопий, изотропной среды, пьезокрнссталов гексагональной и кубической син-гоний, изотропной и ортотронной пластины, стержней и балок па
упругом основании, акустических сред;
- исследование структуры матрицантов в зависимости от структуры матрицы коэффициентов уравнений движения анизотрои-иых сред;
- шіварнаїтше, по отношению к характеру неї шородности среды, соотношения между элементами матрицантов;
- граничные условия нежесткого контакта, описывающие влияние тоню» прослоек с линейными И нелинейными определяющими соотношениям));
- метод исследования распространения волн в периодически неоднородных средах, основанный на построении и нримеиенин структуры матрицантов;
- результаты исследовании но определеші'о эффективных пара-ыетров усреднении* сред при жестком н нежестком контактах и построение матрицантов усредненных регулярных структур;
- решение задач об отражении и преломлении упругих воли неоднородным полупространством при нежестких условиях контакта, анизотропным слоем с двойным преломлением, анизотропной прослойкой триклинний синтонни;
- условия существования воли Стоунли и Релея на границах с нежестким контактом;
- результаты исследования о формировании зон прозрачности а непрозрачности объемных , каналовых, поверхностных и нормальных волн в периодических структурах и волноводах.
Практическая иепность-Диссешаиионная работа является составной частью завершенных научно-исследовательских работ Института сейсмологии НАН РК и Но Фонду науки Министерства науки н новых технологий РК г
-изучить взаимодействие линейных води с тектоническими разломами И распространив сейсмических всиш в стр> ктурнонеод-нороных средах (1973-1980 гг) (И Гос. регистр.78033492).
• распротранеиие волн напряжения в массиве горных пород (1976-1980 гг.Ы Гос.регистр.78033494).
- провести научные исследования по учету влияния неодно-роднестеЯ геологических сред на степень сейсмической опасности территории сейсмошікрирайонирования КааССР (1981-1933 гг. N Гос.регистр.018115002Г8).
- разработать методику оценки динамических характеристик колебаний грунтов И систем “ грунт-сооружение” для прошоза их реакции на сильные емлетрясения для сейсимческих районов Каз.ССР (1986-1990 гг. N Гос. регистр. 018870048096)
- исследование волновых процессов в іриодически неоднородных анизогг'шных средах с пьезоэффектом. (1994 г. N Гос. реги<-гр. 0195Рк00374).
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семина,,л Института сейсмоло ш ,Л Каз.ССР и Института механики и машиноведения НАН РК под руководством академика НАН и ИА РК Ержанова Ж.С. (1976-1995 гг.); семинарах ЛОМИ им. В.А.Сгс ова под ру* юдством профессора В.М.Бабича (1982-1989 гг.); республиканских конференциях по математике и
механике (1976-19X9 ¡т.); но ((»пике твердого тела и косим областям се применения (Караганда, 1990г.); всесоюзных и международных конференциях, семинарах I; симпозиумах (1978 г. Душанбе; 1982 г. Б: 'урианн; Ь , 1 г. Фрунзе; !9Я0 г, 1984 г. Новосибирск; 1980 г. Леиншн; 1 У.Ч9г. Кур; кшетра, Инднл); ІОбшісПной конференции КазНТУ (1994г. Ал.маш).
Публикации. основное содс-ржаине диссертации опубликовано в 25 научных-статьях и одной мшіиірлфлп.-
Структур:! и оГи.см ра(Т«п.і. Диссертация состоит ни писдс-ния, 8 глав, заключения н библиографии, включающей 201 наименование; работа изложена на 201 странице машинописного текста.
Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту академику НАН и ИА РК, ирех^-ссору Пржлнову Ж. С. за привлечение интереса к данной проблеме н научные консультанті.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ: РАБОТЫ
Ви.ш)сдсі'іш дано обоснование актуальности темы, дан обзор работ, посвященных рассматриваемым-в работе вопросам, изложено краткое содержание работы.
Ц перноі) главе оиределнеті.і структур., матриц коз<І>фншісц-ТОВ Ур...ШСШ1И ЛВНЖСННН .ИМПШрОИИЫХ сред
<Г,-- ■ - ри;,^( (1)
0 ''
ГЛС
^ = С ¿'і к * <£*с; 2 6 КС - и»-,«+ (2)
На основе метола разделения и.ремепиых
ЦіЛ-мг-Уіу) .
І аі (і <3>
Сискма уравнений (1), и) и; ¡ш.ишел к системе нерпою норочка
(•»)
Нек'юр у? имеет комнонсі. :».*
[і* і , ^ 4 е( | * (5)
6= 6ii.j-.ee, Ч »Vі,
в (5) входят величины.п' 'дяшнс в граничные условия.
Неоднородность среды предполагается вдоль оси 2.При построении магрипы коофициентоп 1) исполыуется представление решения и виде (3).из системи уравнении (1),(2) выделяются производные по X и исключаю ген компонента тензора напряжепн ( не
е
входящие о граничные условия,при слоистой неоднородности вдоль оси г.Миожитсль схр!(чл-тх-пу) всюду onyiui.it.
В результс.для анизотропной ср. ды трнклиниой сиигонии матрица коэфшшетоп В системы уравнений (4) получена в следующем виде- . ,
ю ¡а (< г #**
!Ск о о ¿¿ч о (¿1 ! ¿¿у {'* 4м ¿)Т Си (6)
| С (а (\п 1ц Сч I ¿4 {<Ь Су* ¿Л (я Сп ;
I о £>г (*т Си (ы Лх1
Элементы Ь,-в явном виде определены через упругое параметры ¿¿-.Структура (6) является общей для анизотропных сред всех
С1ШГОНШ1.
13 анизотропных средах моноклинной сингошш существует ось снммстр; и второго порядка.Пели Т1\\\ неоднородность вдоль оси 2, то: . .
]0 «а 6ч о е/г О
^¡и С О (¡ч 0 (¡ь
! С С (:ч 0 Си
В- с ¿и ¿4 с С (7)
6ц О С С и, С ¿п, '
' о Лг С ¿»г о I
Сфуктура матриц коэфиииснтов (7) является общей для анизотропны» ерел.имеющие оси симметрии четного порядка и при неоднородности Сре.ЧЫ ВДОЛЬ ЭГОЙ «хи.
Ц анизотропных ереллх,прост гишлвешше коор.шнаты связывают с симметрией рассмафиваемых срел.Всдедстшш этого.наряду с уравнением (А) рассматривание» уравнения относительно соитпс .т-пумшнх осей,вдоль коюрых предполагается неоднородность.
Для моноклинной сшнопии при х 1 г | А,,матрица О зравпения : ( здесь опушен мнижшель ехр^ил-иу-!/)).
Й а в I?$я Iи*. Ъ*. 4?, ^з, ч*, «г« ].
ИМССТ вид
В =
: о
; 6* 4
I Сгч ; с I (¡ь
''с
¿и (‘1 4«г/м[
О
г
к 1ч
1,1
с
Л г
< ».-у С !
¿И (¡4 С^ГС | ¿а
<"»* С {¡г (н № ¿♦г (>'
Как вндно структура И (X) эквивалентна структуре (6).
К анадшичной структуре В приводят уравнения движения анизотропных сред тетрагональной сипгонин нрн х|Ау, если ось симметрии второго порядка окутству. ынПо в случае х | А ^ И Апсели существует ось вгорои) порядка.
Такую структуру (6),(К) имеет матрипа коэфиииснтов урав-
— нения движения анизотропной срслы тригональной сннгоини вдоль всех координатных OCCft при ОТСУТСТВИИ ОСИ СНММСТрНИ ВТОроГО порядка,либо,при ее налипни , вдоль координатных осей перпендикулярных оси симметрии второго порядка -
Структура матриц коэффициентов В в форме (7) имеет место для анизотропных сред ромиической ,тст] .тональной трнгональ-иой,гексагональной , кубической сингошш при наличии осей симметрии четного порядка и неоднородности параметров среды вдоль эти" осей.
Таким образом,устапоал-но.тго уравнения движения упругих аннзотрмшых срсд,описывающих распространение в неоднородных по одной из координат анизотропных средах,приводят к двум характерны; структурам матриц коэффициентов (8) и (7).Следует отмстить,что в целом, структура (7) следует из (8) при упетс соответствующе!"! симметрии,Однако выделение или введение этого различия связано с принципиально разным проявлением закономерностей волновых процессов,описываемых этими структурами.Структура матриц коэффициентов эквивалентная (6) приводит :: эффекту двойного прело.мления.Другнмн словами,если матрица коэффициентов имеет дополнительные,отличные от нуля элементы , в сравнении,со структурой матрицы (7),то это связано с проявлением эффекта двойного преломления.
При распространении волн в координатных ¡лоскостях четыре характерных случая.Они непосредственно следуют из выше приведенных структур н свойств симметрии анизотропной средь;.
П средах триклнинои еннгонии по-прежнему матрица В сохраняет вид(6).
Для сред моноклинной еннгонии из (7) для плоскости XZ
имеем: , „ / , , '■
<0 ¿гг 0 О ■
Сц О G £14 Q О
hs 0 0 ё$ч с Ьь
IО ¿и &п о ¿чг о
О С О ¿а, о ¿а ■ ■
IО bit ivf О ¿ьг О
В то же время для плоскости (ху) п (8) следует
6 =
О in йг< О $г</ in С its О О .
Си С С
О б о
¿Si с о
hs £31 Р о ,
О О 4%% 4п
ОООО (if
(10)
Во всех остальных случаях анизотропных сред с более высокой симметрией,либо приходим к (9),(10),либо к структуре В в виде:
о*
б (а /<1 О 1
(ч о с Ь*/'
¿11< С О (ьч'
. й (ц (ц о\
ь*
I С А*,; */ ' >г о
(И)
Из (10) видно , чтс волны 2 поляризации распространяю 1ся независимо. С другой стороны, из (10) следует принципиально важный вывод, что, как независимая поперечная волна поляризации, так н связанные волны продольной и поперечной поляризаций (х,у) проявляют эффект двойного преломления.
Этот эффект отсутствует 0(1!). Структура матрицы (11) эквивалентна структуре р. описывающей распространение упругих волн в неоднородной изотропной среде вдоль любой из координатных плоскостей.
При одномерном распространении гармоь.песких волн вдоль оси неоднородности совпадающей с осью симметрии четного порядка все волны разделяюты а описываются матрицами второго порядка с нулевыми диагональными членами. Это относится к средам кубической, гексагональной, трнгоналыюн, тетрагональной и ромбической еннлшй. За исключением тригоналыюй еннгошш при Ш,и неоднородности вдоль ц.
В сред, триклшшон спигошш при одномерном распространении имеем
0 ё а 0 $»¥ О Ьь (ц С с С о V
с Си с ¿¡у о ¿и.
@ ” О О ¿х4 сой (12)
0 ¿н с с &•>
О С О 'о о
Как видно все три поляризации по-прежнему связаны. В случае сред моноклинной сингошш матрица коэффициентов следует из
(12), если при распространении вдоль осиг/(12) положить ¿а,-о, 1н,-й При неоднородности вдоль % и одномерном распространении вдоль ¿гой оси 6совпадает с (12) при ¿а - о, ¿,4 -С.
" Во тпопстй ттгаге-рассмсггртатд тааттента ^ашияня таигрипиой среды, ньезокрис -ДЯой Гексагональной й кубической сИнгоний, изгибные волны, акустические среды и электромагнитные Волны в диэлектриках. , , .
В случае юотропнЫх сред при объемном распространении имеем структуру В в форме (7) Ири 'распространении в координатных плоскостях (11) и ” одномерном случае матрицы второго порядка. ' ; •
О *п о ¿а о ¿ч г
8° 6г, О 1 и о Й' С 03)
к структуре и шше'(13) приие.-пы урлписшст распространения иола и акустических средах к элолромаппгты: ваши.
В случае изтОних воли общая струстура матрицы коэффяиеи* топ имеет вид:
О £и О С 6к 0 ¿а О ^~ О (п ь
С (*Ъ0 (14)
Вектор V/ уравнения: ( опушек множится: гДрIГ***^' "¿1) .
(¡5)
имеет ша.
^ Г 1}( --- - и±1( ;
* а*
и= с«*
^ X ^л*гм I'- "У^.
В случае шдмокрнетшпш структура В получена и шшс:
б Ь(1 1 »(1 { с с ¿а
¡*•¿1 1 Г '■!'< ,* Цс С
,; га/ Г *>ч С / с с с
! С ¿г-, ггу» • С с »»г
\(п 0 С {. г СГ<- ¿М С
и ¡'/Г *1Г С ’С < 115
\о ¿11 ¿»; С п Г с с (44
1 0 с С С с * . 4 * * ( V
-о 12
Неетор V/ имеет следующие компоненты
№ цг, '^,Г1{П)
С*- компонента «сктора электрического смешения; потенциал электрического поля. •
Ь трсплй гланс изложено построение структуры штрицаита уравнения движения анизотропных срсд всех сшпокий. Основные математические сведения, определения свойства шиты из монографии Гантмахера Ф.Р. (“Теория матриц", 1988г., Наука, гл. 15,
5).
Построение структуры матринанта осиошню на его нрсдстав-лсинн и (¡юрме экспоненциального матричного рада «■ г
(13)
О О О
И аналошчном иредстаилсиин Т"1
-I * * г< , ,
Т ^ е,.ад(19)
о г о
Матриць! В,и Р 4йс коммутируют в общем случае.
В нервом приближении ; ¿:- * сравнение элементов второго приближения дает следующую аавис!'Мостъ между элементами Матрипаптов Ти Т:
Ли Лд ¿и 1гг > I? 1« -¿У/ *4 4ц 4г4
<<у ¿гу ; ¿11 ¿<5 Аз *¡1 ¿П | 'Сч (/к ^У* *-’Л <*<• (20)
I <.т ^ #г <:г <*!) сг)
Здесь и ла гсе ¿•¿■яшншлея элементами прямого матршшпп.
Инл ко (2) (миачаетшорое приближение. Дпалошчио сравниваются элемеигм третьею приближения. Затем применением метода ма-тематчсскои иплукии ■ но» ллиется сохранение структуры четных и нечетных приближении, таким оораюм, в случае уравнений движения аии и яр« иной среды фиклшшоН сингошш. проведя суммирование получим:
Т*Е*1 Т‘в>; Т^Е* :(-(.|ИТ-'‘ (21)
ц*1 *»г«
ИЛИ -
I - ~Т% * ~Ы г ) Т г I г 1 *
. - гз
І7?е /ї.иІСуММа ПСТ11ЫХ И НСЧСТ11ЫХчленов рялоа (ІГ.), (¡9) При атом
;^ а (и •¿«і с;; -¿г; 1
1« іи <ч ¿я
- - 2 / 1
¿її *п Чч **у ^ 1
Т.
(23)
*/;і -¿«і і
1 ~ > 6 ^ ^ ^ 7»
< 1
игг ІІГ -І¡7 и: ¿.у *гг;,
‘ їх. сумм я аюмснтоп ч ста их н нечетных членов прямого н обр т-поїо иатринаитсн непосредственно и однозначно евлзаїш между собиіі в «йде (23), поскольку ¿.^-являются элементами прямой ма-
ТрНИЫ.
В частноспі:
і гг.
¿п
її)
*12 ~ <4 ■
(24)
В формуле (23) (+) относится к четой члеги, - нечгтоД. Ряды (13), (18), (19) абсолютно и равномерно сводятся в любой замм./гон части интервала (а,і);-, г и определяют решение рассматриваемых уравнении движений.
Определение: структура матр:щз:иа есть зависимость ме;кду элементами прямого и обратного матрицанта в ферме (23),а гакже зависимости между элементами Т и Т следующие из тождества
(25)
Структуру аналогичную (23), как это сле~ует из структуры магрии коэффициентов В, имеют среды:
- моноклинной СІШГОШШ. вдоль координапплх осей псрепсн-дшсулярИЬ'Х оси симметрнг пороге порядка;
- тетрагональной сингсннн, вдоль координатной оси, Пер-
пендикулярной одновременна* АгІІ А,(осям СИММСТрИИ второго її четвертого порядка); . •
- тригональной сиигоиии вдоль коордннапплх осей нерг.сн-дикул5.риых оси симметрии второго порядка.
Из структуры матрішашл (23) .непосредственно «следуют структуры матрннаитои уравнений движения анизотропных сред всех остальных сингопин.
В случае неоднородности вдоль оси четного порядка структура магрии коэффициентов имеет ввд (У). Ее основная особенность заключается в гом, элементы четных и нечетных ..риб-ліг.кеииц имеют альтернативную структуру, т.е. нули элементов матрицанта четных приближений, заполняются элементами матрн-цанта нечетных приближений. Используя представление (22) и
структуру (23) получим, что в рассматриваемом сл^ае:
' (гг. - ¿и. -¿и **г^г.
• {г< •&* '^г*
-■(гу ¿»V А, --(¡у ^I *Л>
6,5 -¿С -Лз ¿Л-¿и ^
-4гь -{ц -¿»^ -6е 'Ну
. -¿¿г - ¿*г -^>г -<?|г -‘‘к ^
Т =
(26)
Структура Т (26) спраг'длина для сред кубической, гексагональной, ромбической сшн-опий, при неоднородности среда вдоль любой из осей координат. Кроме того (26) справедливо в случае сред тригональней, тетрагональной, моноклинной еннгоний при неоднородности вдоль координатных осей параллельных осям четного пор"пка. ' •
Далее, п третьей главе рассмотрены структуры матрицаитов уравнений движения вдоль координатных плоскостей к координатных осей.
При распространении волн в координатных плоскостях анизотропных средтриклшшпЧ отпиши структура матрицаитов имеет вод (23).
В случае сред моноклинной еннгошш структуру (26) имеют матрица» ш уравнений движения при распространении воли в плоскостях (и), (уг). В плоскости (ху) одна пз волн поперечной поляризации {г - поляризация) распространяется независимо. Структуры, < 'отатствуюших матрицаитов имеют вид:
’Ьгг 4ч 4нг ^г( ¿п ¿Я
¿1>/ 1 у {л
¿гг 4у} •£ \
’■¿té ¿гь U? -ésr,
S(«i
(27)
•fc, Ht-
_ Структуру (21) и плоскости (ху) При х ’ Аг и X J.A,, , либо при отсутстйЯй ос;! AjtttieKrf уравнения движения сред тетрагональной сингоинн. Однако, независимая поперечная поляризация
- ¿ъ
*. лунном спучас, описывается магрпцлпгом
т*
■ ¿и, ~ ■<Ч •
-**г <гг
(23)
Для сред тригональпоП ошгошш о плоскостях (ху) н (хг), сслн г|А , хЦЛ то матрипаст имеет структуру (26), одаасо, если Л.сггсугслуст, то мат рпцакгп плоскости (хг) имеет структуру
;23).
Во исех остальных случаях срсд ромбической, гсксагонвль-пой п кубический сппгошсП Т'кмест ппд:
г-С 2. , - ч’г.'. <а
V // <г -<;<
| * . * V' V г,- •?>
1, ^ 1 ■ ->'п ■ . Л.} <;1
, '’¿и ■ ^ г|
Т' ' 1—' <чг;
С9)
При одномерном распространении ,! шы вдоль любой из ¡ссор* Д1Ш.Ш1ЫХ оссп триклинием сингошш Т'получсиа и виде:
1
Г¿г< ■<»< *и <■•! ;
1 V}* ■<!•, /,,, -<;у и, - (Гу I
(30)
В !гх случаях, когда оГп.смпн»'* случай оипсиг.ащп структурой ) (23) п одномерном случае сред -мттоклпшгой, тстрягспкзяьисй епчг.-чнш Г''имс«»г мил: •
; . ¿с -¿чг -■(¡л
-I " ■<»' • {} I
- ■'. ■ .
1 ~ ! Ч* * ♦ V 4 ♦ V ♦ С -1/
I
В средах моноклинной еннюнии при распространении вдоль оси симметрии второго порядка и тригоналыюй сингонии при распространении пдоль оси х£А, независимой является продольная волна, а поперечные связаны. Структура Т эк. 1 валентна (31) с соответствующей заменой индексов.
Во всех остальных случаях приходим к матршкштач второго порядка, со аруктурой, совпадающей с Т в (29) и (31) мат; щ второго порядка.
В четвертом параграф« третьей главы приведены инвариантные соотношснич, полученные из условия
ТТ» т'т “Е (32)
В частности, из структур I матрниантов (4*4) (29) следуют равснстпа:
л* №
и в объемном случае из (26) имеем:
! {<», «и]| [. 1^1 М]
(33)
(34)
Г I ,[ ит 4ч 11 ~ .
Н т.д. I ¡- "
Инвариантные соотношения (33), (34) анолшичные им не совпадают с условием ¡и Г-* и дополняют его, ифлж;ш ииуфсннюю структуру н свойства решении уравнений л»иження неоднородных анизотропных сред. Глаппая особенность эшх соотношений и .IX инвариантности огиосшелыю конкретного вида неоднородности
Ср 114.
Аналогичные инвариантные соотношения имеют место также ллл уравнении шпт'чх ■> >.тсГ>апий, во.тн в т>сзокристаллах. В связи с этим более детальное изучение лих соопюшеннй, но-пи-лимому, мож( быть основой для р.ипигш; качественных методом исследования решений сисгем уравнений с переменным коэффициента. и и разработки э<|)фс'кт1тных методов построения этих решений.
Впствсртой главе нотроены «5 . ктуры мафииангов равнений движения изотропных сред, ш-сзокрнсталлов, акустических сред и уравнений изгибных волн.
Для изотропных сред в обьемно’м -лучае распространения совпадает с (26). В плоском счучае Т имеет вид (29), И и одномерном вид, эквивалентный (2«) для всех типов > оли.
--------В случае- ггьсзокристаллоп гексагональной сишоннн при объ-
мном распространении структура Т'получсна в виде:
^ ■¿и - ін ■ си і г і и 2 -'¿іі і
- йі -¿ц і.< -іц -¿л ;
-¿т ¿4 ¿11 -Ііі '•!< ■ -У ‘¿»У ^-»Г | .
■¿гі -<іі -ІЦ -'»і їп -йі І
-•^гі "¿і; ^*4 І
І ^;г -іі>- {,у Ііт І.-, і'..- і
■^г -г<£> -V,, -(,5 і;і (35)
-<¿■1 .1% -т;з ^ -/2.| <}^|
7-
Распростраиемие поперечной волны в пъезоактнвной плоскости (ху) в пьезокристаллах класса (бшш), описывается матргнштом со структурой Т'1:
Т' г
•¿гг - ї іі - «,г
- ¿її ¿и 4.Ц ~і-л
■Сіу -¿<У Хіту -¿.Гу
і- -ігт, -¿Іі -ііі
(36)
Уравнения нзгибиых воли приводят к структуре матрицанта:
| -¿уу - І ¡У -¿¿у - У
1 -^уі ііі -*гі ¿<3
~ -¿у2 ^гг "‘^,г
- їЧ/ "¿л
(37)
В случае апчии-ческих срег структура матрицанта имеет вид (28) Наряду с построением матрицантов уравнения движения упругих сред, рассмотрен вопрос о структуре матрицантов, матричных, уравнений, относительно вектора , состоящего из амплитуд отраженных н преломленных волн. В одном случае матрицант ст[ тлея на оспо-е матричного ряда предельным переходом атяиаехы однородных слоев к Непрерывному однородному слою. Тайм образом были получены матрицанты для волн 8Н поляризацші и Р, волн.
В случае волн горизонтальной поляризации матрнцанты М1(!и Му имеют структуры:
- М«г
~Нц
*,-[ Н к;'- Г-
I и«» г |_м<
Для натрицантов М^н М*-, описывающих распространение Р.БУ Е0Л1! в неоднородной среде, ошоагтельио сектора Л Г Л,у'1.,г,,*-]; ■й.гг амплитуды потенциалов отраженных и преломленных волн}получена следующая структура:
1ч„ ■
-К«
М„ ^ »<л м..
<л~ <> ,
Ын
4 4
<3 •'••Ъ И<* 1Ч;3 "1«5у
*«» ^*414 ■ Ч>У
(39)
Аналогичная структура определена и п случае объемных поли ь одномерно-неоднородных изотропных средах. Вышеизложенный путь несколько громоздок. В работе предложен... определение мат-рипантопМ .и М**на • сновс матр1иантов Т н Т\‘ Необходимость построения матриц М|Связана с постановкой и решением задач на отражение и преломление неоднородными гпояук. На основе Т этого сделать нельзя, поскольку они связывают компоненты вектора смещения и тензора напряжений. В однородной изотропной среде справедливо представление
(40)
На основе (40) вектор \У Можно представить как.
- I V/
(41)
На границе сред У/, = У/г , следовательно Мр= Г'ТЬ ; Н?'= Г'Т'Т,. (42)'
Явный вид Ь ^"'получен для плоского и объемного случаев.
Представление (42) применимо и для решения задач отражения преломления неоднородными анизотропными слоями, находящимися в изотропных средах.
Подробно рассмотрен скалярный случай. Выявлен частотный класс неоднородности.
' -кого элементы тп*.т1 нЕтчпсаяюггся квпо.т ластиостп:
% = & е? - |'и(й1?]^ ^
* , (44)
, , .* ~й!*А, 2
СоГ<«'м I £ & а I д. ^
- Этот класс иеодиок диости содержит в себе как частный случай степенную зависимость параметров среды ап
. О' ^ р'р* (" 4*1 *' " (.15)
пр” Ъ- { С?< О с' /^¡. •
^ГШто^ШВпс: исследуется вопрос о гра. .иных условиях не-жест7ГОГО к'ОКТЯКТа. П (ГерВОНачЛЛМЮМ парплпте зтн услоилл рассматривались как возможность описания промежуточного состояния между жестким контактом » н^чти полним гсрасиалииилшом. т осг.'рзс закоиой иязш’о и • ухою гренки. П раГмггах автора,
«арилу с разшггнсм первоначальной плен, дастся другая трактовка граничных условий нежесткого контакт;», имеющая более »ажшле еле. л’йи:-!.
Анализ волновых процессов о реальных средчх нередко приводит к необходимости построения уравнений ДСИЖС11ИЯ СЛОИсЛЛХ сред, когда отдельные слон описываются различными определяющими соопшшениями. В подобных случаях,ис только аналитические исследования, по и численный анализ зачастую становится необозримо громоздким.
Для решения Г1.1Х трудностей предлагается заменит!» слои па тонкие прослойки , влияние которых при опрелелепных условиях лзгружешш могут быть описаны граничными условиями контача двух упругих сред. При этом, во-первых, нет необходимости строить решения уравнений движения самой прослойки; по-пторьгх, может оыть использовано преимущество простоты построен. ;я решений и упругих средах. Однако, соотвестсвующие граничные условия позволяют сохранить качественные и количественные влияния этих прослоек на волновые процессы в упругих средах
В р:1боте,граш1чпыс условия нежесткого контакта, описывающие влияние тонких прослое!- выводятся нз. преположеаия о том, что тонкие слои находятся в состоянии кьазистати^-яеского нагружения. Это предположение исключает необходимость анализл волновых процессов в самой прослойке, учитывать динамические процессы в самой прослойке. ., .
В случае гармонических воли условием Квазистапь-лЧеского иагружешь. является \»к (I - длина волны в упрупа средах;
1\ - толщина прослойки). При нестационарных процессах получено следующее условие:
А — 1 '! ■ - /
V* !%;:! / ^ /*“■ • (4б>
У<г характерная скорость распространения возмущения в прослойке.
Гранитные условия, описывающие пяияННе тонких прослоек, состоят из двух частей. Первая часть относительно компонент тензора напряжений следует из общих уравнений движений оплошных сред и не зависит от реологических свойств прослоек;
У<і * * ■
Вторая часть условии связана с определяющими соотношениями пр'Ьлоск. Для анизотропных прослоек прнь, = 5, имеем
/» ¿2« кч Ссё; "
,1и ! л I „
- и • (48)
В случае вязкоупругих прослоек, когда
£:■ « /ii.il «**<*) ^ получим
иГ* иГ’'г^к*<)с^и<° ^ * "¿**
|Ч*> ,1» / 1 . , _Н; У
(49)
При нелинейно-вязкоупругом определяющем соотношении
С-<*‘^П«1Г'4д.
1 (50|
Для уравнении состояния Малверна-Пэжнны
1*1*1 ~ 4 -£ ^г»,* * ^ ^ ^
*•+'«>.; г.‘. ] «... ; «■,, г,.. ■ V». {°
и - коэ(|к])иЦС1ГГ вязкости, с; сгати-ческлй вреди текучести.
В более общем слу ас упруп>ш«зш№сг&Ь'г6 тела |(,>. и1,>+1 /. и.. 1. к./*б-> £(1." М1
. . * ^9
л!|>
.о\ «4} ■ (1) > ¿¿х
и^*а^*1ки*е (52)
М.^£- тензор четвертого р<шга с постоянными коэффициентами. В формулах (47-52) индек.гы (2), (1) означает значение величин на границах прослойки с упругой средой (1) и (2).
Далее, в пятой главе подробно рассмотрено влияние тонкой прослойки из вязкой ^дикости, тела Келышна-Фойхга; тела ■■ Ыт~маяйу£ШШр1иог)ЗРш. Ощижяшы д общем случае, .величины разрыва смещений И поглощен!« эПс^НпК Исследована задача отражения волн эт Границы о Породного и неоднородного полупространства йри вязкоупругих услот1ях нежесткого контакта. Приведены результат пислен”ых расчетов.
В м&грШостй; ¿гг угла падения волны для различных значений коэфф11Ш1С1ггй йежесткого ко1ггаКта й параметра неоднородности Полупространства приведены коэффйЦей-т отражения, от-поаггельные Ьел1гчш1ы разрыьа смещений и поглащення энерпш.
В заключительном параграфе пятой главы приведена натр отпал формулировка граничных условий нежесткого контакта о слу-
• 1с анизотропных и вязкоупругих прослоек.
В случае ПНИЗОТрОШГ X прослоек ЭТИ УСЛОВИЯ имеют П!!Д:
1,
И?, = [ £ I С а>А I \У/, ■ ¿о'; 7
' *■ ’ ' ° (53)
Здесь И является усредненной матрицей коэффициентов егчгг-вегстпуюншх анизотропных сред.
Длл вязкоупругих прослоек
К,'Сб-\
iAc
Ci, с
IK = [в ' ¿IJ
[С С Ч'.,' llr*- ‘ L 1 ’ u~n i ■ (54)
Получена матричная <|юрма граничных условия относительно пскго* pay. Рассмотрен случай тонкой прослойки трик-ишной еннгошш. Прш лена матричная фо, ма условий нежесткого контакта (50).
[3I hicctoi. главе, рассматрнвасгся приложение получени х о третье!) и четверти i;i;iiwx структур матрннзтноп к изучению
I ’ЛНОИЫХ нрпнеесон II И ■!Гра1,ЧЧСННМ\ г -пиодическн неоднородных срсд.-i . Ociumw '( хлрпт-рисшкоП таких сред пилятся уралнення дисперсии. Знание «прхктурь! магркнаптои ¡юзиолило полуигп. ись дифнинронапнум t|x>pvty для определения корней матрицы моноро-ii!)i.x'<rr<'p;s>,' п ,vtoz понижает степень х •’лктсрнспггссксго Ур2!1-неним. Кори», чаракгерт нческого уравнения '"чределяю! закон дисперсии.
Hi iei'-"MU Флокс следует, что: (!i- период неоднородности)
-> ( С •!
it? ¡4,, </ (55)
с лругон стороны
к-У. г Г у’“‘ (56) '
Hi (55) и (56) получим
7)
I
(i
I'.ii cucniu нулю лекрмимлшл Maipimu 'Г-1 1 классическое ye-,it 'tniс ,lih iw.iyu'tiuu x.ip ih ристнческого ур.шиспил. Однако, насилу с (У1 мы молем >.:'шсап.
-> ^ 'Л .
wir) - г *’if - г < >•><<. (5S1 ,
¡1ЛИ
¡£">--0 т
г-»/"'* ’
равенстпо нулю легермннаша мшрины 1 * <■ определяет тот же
закон дисперсии, что и (57), пслелстш независимости закона дисперсии волн о неограниченной период!. .сскоП структуре от напрапления (+). Складывая (57) и (5") получим услоиис
Ji J ; f - Є Ui к k j = 0; 60)
О случае скалярных волн из (60) следует .
¿*í к!<-'(> і |îr 2 [іці iti j. (61)
Для связанных воли в координатных ші ос к остях структура матрицы р имеет вид:
і pu С [><i J’iv !
л. і " pu pis !
Ґ - ?іч рч \ч I С I (62)
j pti -fu С r-j ■
Из (60) на основе (62) получим: cci it, ¡i - ; c+s к, U • fi. ■ (63)
p»i 1.1 /’іЧ/ь
При применении формулы (tíü) а случае іппіСішх іюліі имеем:
J><i p,> o '
p- |> c f'1 ! (65) :
I I pji ¿ I'jí -[•<>■ !
[ í />* ///, •
Из (65) h (60) следует следукпцші іпід vpamicmiíí иісиерсші iu-тиГшых воли в неограниченно)! периодической структуре
■ ,К,1‘ ¡4 і*ь £ ¡’ * ¡i . (ftb/
h i ?¿ r ZL fu 1 f’1' - '■
; ■ (67)
!3 обіА-миом случае .сіл м.'фш;апті);> со структур .olí (26) получено характеристическое уравнение треіьсії сіснспп. Отмочим, что и этом случае матрица монолримии имеет iuccwíi порядок. ’
Рассмотрим случал ¡нчтроеии" vpainieiiml дисперсии в регулярной структуре с эффектом лгошюю нретомлен. л. Hj матрицы МОНОЛрОМИіІ второю порядка и (27) следует
/W' ' f*' ' i f + rur« ■
m
Урашісшш (68), (69) оппсыпают ззкои дисперсии упругих поперечні'X волн с учетом двойного преломления без изменения пот.,)11зтшн.
В формулах ’(&$) и (її1) )
. {‘гЛ
р - •¡(<‘~гХ»ч і і’1' *Чі, (70)
- ■ irr- C«./ ■ Uг .
Кроме приведенных выше случаев,в данной главе получены уравнения дисперсии пьезоупрупос волн в коордіпіатаьіх плоскостях, в периодической системе “пластина-жидкость". Получены раздельные уравнения обьемных уппупгх волп в пеодноро^.ой по одной нз координат изотропноГі среды.
Огмечепо, что наряду с формой (60) для построения уравнений дисперсии может быть использована эквивалентна;? форм
. ¿‘К (71)
Рассмотрен пример построения уравнений дисперсии исходя m формул (71). Вследствии нечетности функции синус (71) приводит к более сложным вычислениям, нечетность синуса не отражает эквивалентность прямых и об, иных волн в неограниченной регулярной структуре.
В седі.моі. главе рассмотрело приложение структур матрн-цантов к исследованию закономерностей распространения волн в конечных регулярных структурах. Если периодически неоднородны . слой толщины Н имеет п периодов, т.е. L=nh, то вьписле-нич матршшта приводится к вычислению матрицы моподромии в степени п,
ТШ = Т*(Ц (П>
Введение матрицы р (60) на основе известной структур« Т"' низводило получить аналитическое представление для Т(Н) через матріпіу моподромии Т (Ъ) исходя из рсисурентпого соотношения
т* с *73>
. Т = г рТ-Е.
Из (73) следует
T^i.cpT-
Полиномы Р ф) являкг 'я матричным аналггом полиномов Чебышева. В случае скалярного уравнения из (74) сразу же следует
В плоском и обымном случаях п начале необходимо вычислить р.”
Анализ показал сохранение структуры р.и В частности, в плоском случае структура р"имеегт вид
[■¿ц Е гч г р,. ¡>„ I
> ^;р ^1:
I. -1 (76)
п1*-
Г I ъ*, ¿¡г
$1=
- Р*¥ Р<У Рн-Р»
; <4< ¿г ‘ ¡'а р'м £
Сохранение структуры р позволяет получить реюсурентнуго формулу относительно коэффициентов?,, (1„ исходя из тождгства
кмею-дал вид:
(77)
(</*♦( & р«-4 Л
Откуда получим
^1-
” Щ'
¡>,<
[,’п
■
(79)
* :
[ иа 0СИ01
Вычк-ление (79) проводится на основе (75). Окончательно имеем: . л
ти --1(80)
Аналогичный вид имеет предстахшение Т в случае матрицан-тоа в обьекцом случае (26)
2
(81)
Р|‘
■ л- ~ ‘V; <^*; и*-
Р| I Р()' р Ы - корни хараетеристич- жого уравнения. Рассмотрено определение усредненных характеристик. Исхо-
дя из низкочастотных рПЗЛОЖСННЛ учинений дисперсии (64), (67) и других уравнений получены ураїшсішп шишкатрисс еко-р-.^теи. Показано, что урапиени. шіді атрнсс могут быть определены из уел чин
/<.<■ „г ч. Ь> - К- і ^ - С.
Индекс (7) означает сохранение б р ы-исмых не выше ПТсроП стсііїіні но частоте.
Рассмофсно определение усредненных параметров при наличии услопші нежесткого контакта, описывающих тонкие прослойки. Прнпсясны конкретные случаи.
Показано, что усредненная дт черно неоднородная изотропная среда прошишет сіюіістш аішзогрошюіі среды ромОнчес-кої'і еннгошш. На основе споЛста ііолнмоиоо ЧеСишсва-Гсгснбау-эра при услогош Ь>>1і (Ь-дтша полны, Іі-псриод исодиородт'ос-
та) „
В скалярном случае ураішеиия лпижсиия Т имеет ВІЩ (74).
П,:И 1' ( г,} ! ■ .у, ^ і 0 . , ІП (7-І) следует
(КЗ)
ч "С = V ■
> «.-».с ■
В оГн.смпом случае:
Ті- -І V : (*4)
’ (; - - • . ■ < 1 • I. -
1 ¡п.к'кс (2) означает сохране; ;(е члснші не пмше итороіі сіснеші И чаеппе. ( + ) оиіач.іі і, чн' (НЗ) н (84) ддір" од» иопременио прямой н оГір.іпкпі маїрні'.'іііп.і.
I) тчч.м«’') мар!? п пер"пч Н т-промп.ірлірафах-рассмотрены 1>фа,».снн>1 по'ш пертми'нек п.'одиори.шмм слоем » ззшісіімости ог 'іік.м першит і число кормен урлішепші днсін'-'сші нормальных, понсрхностных а каиалоных поди и периодически исог-н. родном с;ик\ гакже п «ишсимосги от чист периодо». Похапно, чго как отражение і ;ш, пік и корни )рліінспн(1 диспер-' III расположены н пО/си-п*
І (‘I <■ і (*5)
чго «чіредслмсі оГі іасіь нрічрачігосіи урашіеиіш дисперсии «олн п неограниченно» периолн': :ко(і еіруктуре. П, її апалі. - страчений іи' ііі раесматриішаеі, точка на трапіте между зоной і.,;оірачп<чті н неирозрачиост" п получены (¡«’рмула:
ІКІІ ^ • у!, Гі <*>
при И *> то . При ^«(формируется зона прозрачности » а -* о ..
при Ір 111 непрозрачности. ■
Уравнения диснсрсии нормальных, поверхностных и капало пых олн в периодически неоян родных слоях приведены к виду:
(87)
Л'*Ч>г
При аиші«' коэффициента отражения, уравнения (87) использовалось сиойспю Чебышева-Гсгепбарра, о том, >гго эти полином)' имеют нули только в области 1|>и 1н то, что между двумя соседними нулями находится один ноль .р). Качественный анализ (87) показал, что все сто корни лежат в области ІрНін их не менее (п-2). Это значит, что нули коэффициента < .ражеНия и корті уравнений днеперенн (87) лежат в одной област и и с увеличением п «¡нормируют зону прозрачности.
В третьем параграфи: рассмотрено отражение волн поперечной .юляризацни с учетом э<|х|>екта двойное преломления. Построен матрннант уравнений движения о явном виде для однородной анизотропной среды:
-$>/*
на основе преобразования
-у ->
I» = г ■
бчла построена матріїиаГЬі получены ко <|>фициены отражения и преломления.
В четвертом параірафе прицелены уравнения дисперсии волн Стоуили и Редея на нежесткой низкой и вязкоупругой Гранине контакта однородных полунросіранспі. Приведены "слученные уравнения дисперсии ноли в периолическл» структуре с нежестким контактом. Получены усредненные скорости вдоль и поперек структуры.
Уравнения дисперсии упр: их волн в системе "пластина-однородна.! жидкость.
В питом параірафе получено решение задачи «О отражении преломлении продольной полни тонкой анизотропной прослойки триклинний сніп, .ши. Показано, чп>даже в случае нормального падения тоской полны па юикую прослойку порождают) преломленные и офажепные поперечные волны. Определены нх амплитуды.
В шестом параірафе в явном пиле построены магриианш, описывающие расщ .>странсине независимых поперечных воли, прямой и обратной матрннант при з<|и|>скте двойною Преломления. И матрниант, описывающий снизанные полны в координатных плоскостях анизотропных однородных сред ромбической, тетрагональной, гсксаюналын і я кубической ешпоиш!
матрицы В и гг удовлетворяют равенствам л 1 — / (91)
7}1>-£Г- 77 - у£; //,*> и„ -- у . '
Показано, что (89) с учетом (91) является решением г^от-ветсвуюших уравнений движения.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1. Предложен метод исследования и построения структуры матрицантов систем уравнении первого торядка с пер меншлми коэффициентами, основанный на изучении матричного экспоннциаль-ного ряда.
2. Построена структура матрицанта уравнений движения, описывающих распрост ранение гармошггсских волн а Неоднородных по гщной из пространственных координат
- анизотропных средах всех сингоний при объемном, плоском и одномерном распространении волн;
- изеггрипных средах; ,
- изотропной и ортотрошюй пластинах, стержнях и балках на упругом основа кии;
- пьезокристаллах гексагональной и кубической сингоний;
- акустических средах; 1 .........
3. Исследована зависимость структуры матртигга от струк-
туры матриц упругих параметров систем уравнений движенш анн-зотроттых сред всех спнтопий ъ объемном, плоском тт одномерном случаях. , ,
4. Определены соотношения между элементами Матрицанта,
инвариантные относительно коикретУоНз вида неоднородности рассматриваемых сред. ; ^ ; . .
5. Предложены граничные условия Нежесткого контакта, опи-
сывающих влияние тоник прослоек с определяющими соотношениями: '
* анизотропных срс.г
- вязкоупругих сред различных моделей;
- нелннейно-вязкоу^угих сред;
- упруго-вязкооластнческнх сред;
- упруго-вязкопластической модели Сокодопского-Малвер-на-Пзжнны.
6. Граничные условия нежесткого контакта, опне..шающне влияние тонких прослоек с линейными определяющими соотношениями анизотропных сред л различных моделей вязкоу'ругах тел, приведены к матричной форме, позволяющей на основе нхюжениого в диссертации матричного аппарата конструировать и исследовать волновые процессы в моделях сред с разнообразными задапымн фи-зико-механическимн свойствами.
7. Для различных моделей вязкоупругих сред определены величины разрыва иектора смещений и поглощения энергии на границе нежесткого контакта.
8. Получено аналитическое представление матрииапта уравнений движения периодически неоднородных изотропных и анизотропных слоев относ ггелыш матрицы монодромии с применением полиномов Чебышсва-Гегенблррп.
9. Построены матрнцанты уравнений движения усрсд. ценных периодически неоднородных изотропных н анизотропных слоев.
10. Предложена модифицированная форма ч'словий определения корне I матриц монодромии, позволяющей в два раза понизить степень характеристического уравнения.
11. В случае анизотропных сред гексагональной и кубической сингоний и изотропных сред для объемных полн в периодически неоднородной неограниченной структуре получены раздельные уравнения днспсрсн.1; раздельные уравнения дисперсии получены для сред ромбической енцгошш при распространении волн в координатных плоскостях.
12. Определение уравнений дисперсии объемных волн ч периодических структурах моноклинной, ромбической, тетрагональной н тригональной сингоний при неоднородности среды вдоль осей симметрии четного порядка приведено к решению характеристического уравнения третьей степени.
13. Рассмотрен во ;рос об определении упругих параметров эффективных сред исходя из матриц коэффициентов уравнений движения с учетом существования условий нежесткого контакта. На основе низкочастотного разложения раздельных уравнений дисперсии объемных волн в неограниченной периодической структуре,определены уравнения индикатрисе скормлен и усредненные параметры эффе* ППГЫХ сред.
14. В явном виде Подучен матринант однородных анизотропных
сред ромбической, тетрагональной, гексагональной, кубической сингоний и изотропные среды, описывающие распространение вот в координатных плоскостях. .
|5. Построен м-чрйцаНт «к?"«рного уравнений движения при наличии эффекта двойного лучепреломления упругих волн поперечной поляркза пни. Получены уравнения Дисперсии обеих волн.
Иі. Дли оС'шею тіла неоднородности исслсдоімпо (¡юрмиропа-инс зон про ірач поемі и пепропускания, оОимпых, каналопых, ио-
I фчиостых її нормальных поли п нсргоднчсских структура я случае скалярно'о урашіет.и лтіжсіікя. Ііі.іншкиа ншімоспязь межлу лчіами пропускания урашісниіі ''ісперсин типі м неограниченной периодической еірукгуре, кол|и)шішспгамк (гфажения, преломления поли І рИОДИЧССКП нсолноролном СЛОСМ II корнями ураі. псміїіі дисперсии каналопых, поперхмостпых н нормальных поли п периодически неоднородных слоя.ч.
17. Решены задачи:
- оір.іж-1шя полп SH долярн іаїшн неоднородным полупространством при паличнії іш ікоунрупіх услоїшП нежесткою контакта; ИсСледоіі.іпі.і коз(|и|іішнепт отражения, раїрмп смещения II потлащс-1ІШІ опері ми на гр.і.нше нежесткою контакта;
- оіражепия и преломления поперечних ноли с учетом д полнот ирелочлеїшя. гтзучеиы Koj(|x|ii(niieimj ігіражения н преломления;
- отражение и преломления події ани міроінюІІ проелоіїхі,! триклинної) сішюііии и случае нормальною падения продольной полі".і, покаїаиа іенерания чолн поперечных Мол причині!; определены амі"ііітуди офажепних и преломленных luviii:
- оГ> yc.lommx сушссіитиіїня ноли Ступні н Гелея на границах с не* ссюкн.м копіактч, ур.пшепни дненерсин поли п периодической сірукгурс, состшпсП їм сисіе,'м однородных слоен ЖНДКос'ІИ H iliolp -IIUI.1X И .1111' ЮфоПНЫЧ н.і.ісіни.
Пострічп ч.ііріпі.пм -j<|bjn. к і т nul среды. -
1К Покампо, чю дпухчерно неоднородная и кн рої тая среда при уіредії' т.д оСіладасі ани кчропнмчи смоИстамп ромПичсскоП ениюипи Ио.іуніїм соошсттюшне парачсіри.
1‘) При усреднении ашпофо.,т.1\ неоднородных сред »дачі, осей ЧСІІЮІ порядка диГн» не чшжі сичсірим среды, |Ги> llo-НІІЖ.ІСІ норм ЮК НерсНСПДИКУЛЯрНМЧ 114 осей ЧСІНОІО порядка симметрии до оси симметрии іоорою порядка •
• 'спотіос содержание дисссріапнп оіражеію и следующих публикациях:
І. Гржаїкт Ж С.. ЖуГ'лсн 11.Ж., Тлеукенои С.К. Сейсмические полни и неоднородной среде. Ллча-Ліл, Наука, 1985, 176 с.
2 Грж.шои Ж ЖуГі.ип h А , I icsKciioii С К. К пссдедоил-нию 1111. ні її і j ІЧСІ кич і" ми на p.і і[н ХСНЯІКИМ фсіпн'і. Из». AM Kai Cl Г, icji фи i-ч.її. I'iSi). N1. С.32-Л7.
^ Гржаном Ж.С., Жуґмсн М.Ж , Т.іеукеноіі С К., Raftf • mita Г’.Л К корим р.нир'н ір.нкнин сіисчнческіїх полп черезтектони-чс< ии р.июч Пссіїшк ЛІ ! К,і і ССР, 14.4(1. N10, С.1Н-25.
•4. Тлеукенои С.К. І’лсі'посір.нісние поли при налігши слоев е неіір ’і'Піііі.ічн иімспениячн парачсфои среды. Рукопись ден. В ЬИНИТИ. К) апреля I')S| і. N 15%-SI. Ден. 20 с.
5. >-'оііпіапГі;к и М.К., Тлеукенои С.. . Отражение SH - пол г I or
зо
неоднородного полунространста Изо. АН Каз. ССР. Сер. физ*мат., N 1, 19X1, С.72-75.
6. Жубасв Н.Ж., Тлсуксиов С. К. Периодическая неоднородность и особенности распространения волн. Прогноз земле фясе-ння. Душанбе, 19X2, N 2, С. 57-64.
1. Тлеукспоя С.К. О поглощении энергии и разрыве смсхдений на границах с нежестким контактом. В кн.: Математические поп-росы теории распространения волн. Зап. научи, ссм. ЛОМИ АН СССР, 1983, т.128. С.166-171.
8. Тлеукснов С.К. Об определении нолей БН волн в неоднородной среде при существовании точек попорота. В кн.: Механика тектонических процессов. Алма-Ата, Науха, 1983. С.105-П4.
9. Байгопыс' т О., Тлеукснов С.К. О существовании обобщенных волн Рэлея и Сгоупли. Тезисы докладов VIП Республиканской межвузовской коиференш(Н по мат. и мех. Часть 3, Алма-Ата, 1984, С.бО.
10. Блпгопысоп О., Тлеукснов С.К. О метоле решения некоторых задач распространения упругих воли при наличии периодической неоднородности. В кн.: Математические вопросы теории распространения волн. 15. Зап. научи, сем. ЛОМИ АН СССР, 1985. Т. 148. С. 30-33.
П. Ержанов Ж.С., Жубаев Н.Ж., Байгомысов О, Тлеукснов С.К. К исследованию динамики периодически неоднородних сред. Прикладная механика, 1987. Т.23. N 6. С 3-9.
12. Тлеуксиоп С.К. О характеристической матрице периодически неоднородного слоя. В кн.: Маїематическне вопроси теории распространении волн. 17. Зап. научи, ссм. ЛОМИ АН СССР. Т.І6., 1987. С. 177-181.
13. Тлеуксиоп С.К. О расположеннин корней дисперсионного уравнения периодически неоднородного по глубине волновода. В кн.: Магсмагичсскне вопросы теории распространении Р'"Ш. 18. Зап. научи, сем. ЛОМИ АН СССР. Т.173. 1У Н. С.167-17І.
14. Тлеукенов С.К. Об условиях контакта упругих сред с тонкой прослойкой. В кн.: Маїемапічсскнс "опроси корни распространения волн. 18. Зап. научи. сем. ЛОМИ АН СССР, 198,
N 18. С. 163-166.
15. Тлеукснов С.К. Об иллОиых колебаниях периодической неоднородной орптгропноП пластины. В кн.: Магсмагичсскне вопросы теории раеиропрапс.иш воли. Заш научн. ссм. ЛОМИ АН СССР. 1989. Т. 179. С.179-181.
16. Рлкишсв Б.Р., Тлеукенов С.К., Такабаев М.К. О распространении волн и тперложндкнх периодических структурах. Всслшк АН Каз ССР. 1989. ^ 6. С. ЗГ7-42.
17. Тлеукснов С.К., Орынбаеарои К.А., Оеиаиов .» Т. ОС упругих н магшггоупругих волн;« в неоднородных и периодически неоднородных средах. Теории и практика геологической интерпретации іравитационньїх и магнитных аномалий. Тезисы докл. Всесоюзного ссм. им. О. Г. Успенского. Алма-Ата. 1990. С. 146.
18. Тлеукснов С.К., Орипбасаро» КА О распространении объемных волн в слоистых периодических структурах. Изп. АН
СССР. Сер.. физ-ызх. ШО. N. L. С. 30-25.
19. Тлеукенов С. 1C, Срынбасаров ICA. О матрицах'фундаментальных решении уравнений динамики неоднородных анизотропных сред-Изо. АН Каз. ССР,, сер. фнх-ыат.,. 1991., N 5, С. 37-91.
20. Тлеукенов C.KL Распространение »'сот в неоднородных пьезокристаллах гексагональной синготш. Сб. научи, трудов. КазН1Уг часть 2,. Алматы,. 1994. С. 62-65.
21. Тлсчтсенов C.KL Изгибные колебания периодически неоднородных структур.. СЕлаупи.. труден I^IIT/, часть. 2, Алыаш,
1994, С. 65-69.
22. Тлеукенов C.FC Распространение воли в пьезокристаллах кристаллографических групп 43т. и 23: Веспппс КазНТУ, 1995, N 2.
23. Erahanov Zh.S., Zhubaev NIZh., Tleukenov S.K.,
Seismik waves in an. Inhomogeneous Medium. Getlands Beitr Geophysik, Leipzig 94» 1985„ N-11. p.45-5 L
24. Tliaikenov S. Investigation, оГ tfie thin layer influence of the boundary conditions; Abstract “Seminar on earthguake processes andl [Heir conseguences. “Kumkshetra,
India,, 31 October to 1' November;, 1989,. p.4.
25. Tleukenov S. The structure of propagabor matrix and its application in the case of the periodical inhomogeneous media. Abstract Semin, on Earthguake processes and their conseguences - Seismological investigatuons. Kurukshetra,
India, 31 October to 3 November, 1989, p.4
Тлеукенов Садрнтен
Изотроптык, хшпе анизотропты серпш/Ц ор гадаш крзгалыс тецдеуШц курылымын 1;урастыру.
Физика - математика тлымдарыпын, доктор рылыми дэрежесш алу диссертациасы.
01.02.04 - дефор'гацняланатг :н кдтты дененщ механикасы.
Изотроптык, жопе анизотропты к, ортадагы гармоникалык, толк^ыедардыц таралуы тур алы мвселелер1 кэрастырылран.
Крзгалыс аецдеушщ матрицантыныц курылымы делелденген жене анизотропты ортаньщ бар лык, класстар уиин матрицантыныц кдоылымы зерттелген. Пьезокриссталдагы жане ортотроптык, пластан ад агы толкдндык, комалыстар карас-тырылган.
Жукд к^батшалар ушш: сызык^ык, анизотроптык, сызык^ъш, тртк^го сершвд, сызыкдык, емес тутк;:р серпщад, жэне пластнкалык, тутк^гр сершнд! жагдайла; га ц.ок-п шартгары ахшкз'алран. Толвуинньщ шеказ жэне шеп бар периодты артеюп ортада таралуы зерттелген. Шекп периодты курылымдар ушш матрицантгыц монодромнй. матрицасымен анал.ггикалык, байланысы аиьндгалган, орташаланган периодты ортаиыц матрицанты табылган. Толк^ндар таралуыньщ мацызды меселелр! шеннлген.
SADR I TEH TLEÎJKEKOV
Construction of the ¡ra* risant structure of the equation of motion in isotrcpic aid anisotropic elastic r.edla
The ¡»fiûsis for* center's tical sciences)
01.02.04. - mechanics of deforoable solid body
Tho harmonic wave propagation In an Isotropic and
enisotrL^'ic inho-'-geneon?; nwdiun is considered. The structure of matrlsant for the equation of motion has been established. The matrlsant properties of all classes of the anlsotr pic media Ivive be> n. studi' 1. Wave motion in c totropic lnhomogeneous plate's and piezool -trie crystals is considured.
The boundary conditions for the Investigation of tho thin layer influence are given. Lie boundary conditions have been obtained for the case of a thin layer c." (1) linear
anisotropic elastic (11) linear viscoelastic (111) non-linear
viscoeiastic (illi) vi rcelanttj-Dlastic ccnstltutlvs equat ions.
Wave proportion In infinite and finite peri <licai lnhomogeneous media 1' studied. Foi the finite periodical
structure an analytical dependence of the matrlsant on ironodrotn/ mabix was deterr’ined, the matrlsant for the average periodical media was obtained. Sosne important ives proportion problems have been solved.
