Построение управлений в системах с отклоняющимся аргументом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи 517.9

ГАЛКИНА Валентина Геннадьевна

ПОСТРОЕНИЕ УПРАВЛЕНИЙ В СИСТЕМАХ С ОТКЛОНЯЩИМЗЯ АРГУМЕНТОМ 01.01.09 - математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена на кафедре высшей математики факультета прикладной математика-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Матвеев Н.М.

Спиральные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Забелло Л.Е.,

доктор физико-математических наук, доцент Жабно А.П.

Ведущая организация - Иыкне-Новгородский государственный

университет им.Н.И.Лобачевского.

Защита диссертации состоится " " 1992.г.

в " ¡(а " часов на г асе дани и специализированного совета K-053.57.I6 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете (198504, С.Петербург, Ст.Петергоф, Библиотечная площадь, д.2, факультет Ш-Г1У СПбГУ). Защита будет проходить по адресу: Санкт-Петербург, Б.О., 10 линия, д.ЗЗ, ауд.88.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им.А.М Горь кого Санкт-Петербургского государственного университета, Университетская наб., 7/9.

Авторе(|ерат разослан "26" 1992г.

Ученый секретарь специализированного совета к.ф.-ы.н., доцент

В.Ф.Горьковой

ОБШШ ШдаШСША РЛБОТП

Актуальность теш. Диссертация посвящена задача построения управлений в системах с отклоняющимся аргументом» Теория дифференциальных уравнений о запаздываниями находит многочисленные приложения в задачах теории автоматического регулирования, радиофизики, биологии, химии, в теории автоколебательных систем и других областях науки и техники. Задача построения управлений в системах дифференциольких.уравнений с отклоняющимся аргументом представляет теоретический и практически:! интерес.. Эта задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривалась з трудах В.И.Зубова, Р.Ф.Габаеова, Ф.М.Кирилловой, Н.Н.Краоовского и других учёных, для систем с откло^етэцим-ся аргументов - в работах О.В.Шаляпиной, Б.Ш.Шкляра и др. Ко многие вопросы построения управлений для систем с огклоняккцш-оя аргументом оце не получили решения, поэтому настоящая работа представляет теоретический и практический интерес.

Цель работа. Определение условии существования семейства управлений специального вида (кусочно-постоянного управления) При реиении различных задач управления для систем, описываемых линейными и квазилинейными нес топи онарннш дифференциальными уравнениями запаздывающего и нейтрального типов, а тшо.:е получение конкретных расчётных формул, пригодных в инженерной практике для построения такого рода управления.

Определение условий существования и способа построения управления, решающего задачу о "встрече" двух управляемых систем и решение задачи о "локализации движения" в системах, описываемых дифференциалышии уравнениями с отклоняющийся аргументом.

Научная новизна. Получены условия оуществования импульсного (кусочно-достоянного) управления, осуществлявшего перевод рс-иенкя сисгош из произвольного начального состояния в начало координат за фиксированное вреня, для линейных и квазилине.чних нестационарных управляемых систем нейтрального типа с одлш переметши запаздыванием и запаздывающего типа с несколькими поременными запаздывания!.«.

Для линеИних нестационарных систол запаздывавшего и нейтрального типов доказаны теореш об эквивалентности относительной управляемое ги спетом; и управляемости о» с помоги иклулъс-ного управления при реыенпи

_ 4 -

- двухточечной задачи управления;

- многоточечной задачи управления.

Для общей граничной задачи получены достаточные условия существования импульсного управления.

При этой для решения этих трёх аадач получены формулы для вычисления импульсного управления и описано секейство ишужьо-1шх управлений, ргиащих зги задачи.

Получен алгоритм построения управления для решения следую-«eií задача: с помогаю дискретного стабилизирующего и импульсного управлений перевести решение системы запаздывавшего типа о нзокояыаши запаздываниями из произвольного начального соитоя-кия з начало координат за время-T-to и удеркать решение в нуле при t>7 таким образоы, чтобы решение было устойчивым.

Получикы условия существования и формулы ;шя построения программного управления, осуществляйцего "всх-речу" двух систем нейтрального (или залаздавакцего) типа. Решена аналогичная задача при наличии ограничений на управления..

Роыена задача о "локализации движения" для линейной нестаци-онзраой оксаеш нейтрального типа с яеременнни запаздыванием. Описана область фазового пространства, через которую в ноыент времени V;íís, 71] проходят все решения сшгекы, замкнутой допустимый управлением, репающии двухточечную задачу. Показвяо, что эта область - эллипсоид.

При решении поставленных задач существенно используется формула Iíoeih для -интегрального представления решения соответствую-пах систем с отклоняющийся аргуиентои через матрицу Ноаи.-В диссертации получены формулы Кош для представления решений нестационарной c;;c2ein¿ нейтрального типа с постоянным и переменный запаздыванием при условии непрерывности матрицы Коыи по второму аргументу, для састеш! нейтрального типа с несколькими цело-чйсгенныки раяаздывания!£й, для системы с последействием особого вида. Предложен алгоритм рекуррентного построения шгрииу Кош таких систем через,матрицу Копи сооаветсгвуюцей сиегемы без за-паадавага£. Для штрщк Коаи сисгеш запаздызащзго типа с едина г.оггс&шый запаздаванаем получено её явное представление чсрэг матрицу* Козе ссотззтегвуацей систеш без запаздывания.

Решена г&хсча аосгроеная импульсного управления, воссгтанав-нокннзльБое значение величины, ри.при 'получении гидро-

нсиламиндисульфоната в надсадочно адсорбционной колонка о рецикл оы.

Рассмотрен вопрос о возможности управления процессов подачи сырья в химический реактор с помозцью импульсного упрчьлэкия.

Общая методика исследования. Методика исследолаяия основана на методах построения управлений для систем обыкноявшшу. дифференциальные'уравнений, предложенных В.И.Зубовцц; испо:-;х-зовании представления репения систем с огклояяадакся аргументом б интегральном вида формулой Кошя, полупенной в работах Р.Беллмаяа и К.Л.Кука, Р.Габасова и Ф.М.Кирилловой, а также на других исследованиях учёных ленинградской и минской научных школ.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результата и разработанные методы ыогут быть использованы при исследовании вопросов существования и построения управления для решения разнообразных задач управления, динамика которых описывается ливейншш и квазилинейными системами дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Результата первой главк представляют и теоретический интерес для теории дифференциальна; уравнений с отклоняющимся аргументом.

Апробация работы. По ¡материалам диссертации сделаны доклад на научной иколе-сешнаре "Моделирование и исследование устойчивости фиэичеоких процессон"(Киев,28-30 мая 1391г.), на Ш Всесоюзной иколз по теории операторов в функциональных пространствах (Шиний Новгород, 13-20 сентября 1591г.), на научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции"(Самара, 24-31 мая 19Э2г.). Работа неоднократно обсуждалась на городском научной семинаре "Дифференциальные уравнения" при РГПУ им.А.И.Герцоиа под руководством проф. И.И.Матвеева(1991г.,1992г.)» на кабед-ре высшей математики факультета ГИ-ПУ СПбГУ.

Структура и объём работы. Диссертация азлокеиа яа 125 страницах машинописного текста и состоит из введения, трах глав, заключения и списка литературы, включающего 93 наименования. Первая глава состоит из 5 параграфов, вторая - из 3 параграфов, а последняя содержит два параграфа.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 1С печатных работ.

С0лл?^ш:-1Е ДЙССЕР ТАЦ1Ш

Во введений приведено обоснование актуальности работы; дан обзор прлученплх ранее результатов, формулировка определений, имеющих непосредственное отношение к диссертационной работе; формулируются цели исследования, приводится краткая аннотация работы.

При реиении пос^авлеиних задач управления существенную роль играет формула Коии для представления решения системы с отклоняющимся аргументов в иктегредьноы виде irepea матрацу Кош. Поэтому первая глава диссертации посвящена выводу формула Кош длн представления реневип систем - отклоняющимся аргументом различного вида, а такге получению алгоритма для построения соответствующей матрица Коши Î) на любом конечном отрезке StíioiJ по известной фундаментальной матрице решений соответствующей система без галаздквапий.

3 параграфе получено рекуррентное представление матрицу Кош« оистеш

:x(t) - AJt)x{t) -rp, -t lit), (I>

где X(t) - ib - вектор фазовых переценных, Aj(tJ , j-cpñ. --, r(t) - - вещественные непрерывные ограниченные ¡латричние функции соответствующих размерностей, с» » ~ запаздывания.

Матрица Кош Cífc.S) (размера h- * 'i- )этой системы удовлетворяет уравнению II] : .

-'CítMA^cit^kM^kj, s<t (2)

i-S î-l

w условкяц t(t,t-0) sfj S->£ (S)

(F - a nit- единичная матрица.)

С учётом сдедуацих обозначений : L~ H.C.S-(/L,,^,.., Ц^) - какбojibMHîî общий делитель ^

кг-к; J(i) Л1' fнкцш

-V ' им ( О, t¿o Хззисазда;

- fe,-i- -д-.^З ; o ш-í '(> с e - ладакзвжстическак л-пцкцш пронесут-

доказана. ^

Теорема I. Патрица Коек системы (I), удовяетворшцая соотношениям (2),(3), имеет представление «а.

, где

¿го

Г.1

t^tiS), l-i; 4

t*=t~a,+¿-i)tí, ZM*{Ce

- матрица 1Сош соответствуй^ ¡i системы без запаздываний.

2-ой параграф посвящен матрице Кош систеш нейтрального типа с одним запаздыванием. Матрица Коии CfaS) систеш

(4)

удовлетворяет уравнению [i]

условиям (3) и требованию непрерывности по S для всех i

выражения (5)

Показано, что.это требование влечёт наличие скачков матрицы Кош C(t,в точках , L<r¿/ и определены величина

этих скачков S¿ : = П %(t-J&) при , ¿е-л/ .

„'so

Получено рекуррентное представление матрицы Кошм системы (4).

Оказывается, что могно снять'требование непрерывности выражения (5) и потребовать непрерывность матрицы Коии по S при всех S¿i . Б этой случае для решения основной начал!— ной задачи систеш (4) с начальный состоянием

Х,('Ы {®(-tJ»¥ft>, tétu-^u), xfa,уяь}

выведена рекуррентная фориула Коии

to-K. (о)

f HitjzUi-tí,

где f|(t) а { ° > С *p,io ■<■£.),

i) Нумерация Teoyew соответствует их нумерации в диссертации.

а юкке формула

для 1, 1=0,1,2,,..,

где ш ± I П J к»о г=о

причём считаем, что суша ZJ pt(fc,6Í=o при и произведе-

« ' ' _

ние Л p*.(¿,v-=¿ при исо для любых функций р_

Для матрицы Кони , участвующей в представлении реше-

ний (6) и (7), получен алгоритм её рекуррентного построения по матрице Коши соответствующей системы без запаздывания.

Аналогичные результаты получены и для системы нейтрального типа с одним переменным запаздыванием.

В 3-е:, параграфе для решения системы нейтрального типа с несколькими целочисленными запаздываниями ft¿6A//,

¿(i) - Ac{i)*(¿> + Ь (AjÜ)*(i kj)) + Цк) ( 8)

J-i

получена формула Нош с учётом непрерывности по S для всех ¿

вираяекия Clb,*.)-Z¡ C(i,SrHj)<Bj fst&j.

Показано, что последнее условие влечёт наличие скачков у матрицы Кош 0(t, s) по второму аргументу в точках S-i-CÍ., ¿e/t/ я рекурреитно определены величины этих скачков S¿ (лр

. я.

Получены формулы для построения матрицы Ковш систеш (8). В 4-ом параграфе получена формула Коши для решения систеш с последействием вида t,

x(h) = A«(i)x(t) JL Щ l>v.

При выводе ето;1 формулы предложен геометрический подход, об-'легчаащиа математические выкладки. Приведено рекуррентное представление матрицы Нош: такой систеш.

В 5-см параграфе получено явное представление матрицы Коаш системы с од»гш постоянный запаздыванием в виде кратных интегралов чзрез матрицу Козг соответствующей системы без задаздыва-

Получеккыа результаты пляэсгпируогея пппкерзка.

Во Бгорей rr.sse рассмотреть: задача построения импульсного

(кусочно-постоянного) управления в линейных я хвззилгяюйпых нестационарных системах запаздывающего п пектрального типов для различных задач управления.

Определение [2]. Управление К(-Ь) называется мшулгенык ."а отрезке Во»Т7 если этот отрезок разбивается точками т.^ £ ^^«...¿•¿„¿Т « Шв2|и1 на непересекающиеся полуинтервал-; Г^'» , в которых функция пряни::аеи

постоянные значения и; ; вне этих.полуинтервалов функция ^1+) принимает нулевое значение, го есть поздетазш.'а з виде

В 1-ом - З-еп параграфах рассмотрена линейная нестационарная управляемая система * '

±(Ь) = (9)

где эсС£> - ч- - вектор фазовых переменных; - скаляр-

ная функция управления; А^ , , •{(£)-

пя. - вэцественные непрерывные матричные функции соответствующих размерностей, заданные при ^^ ; запаздывания заданные функции из класса С* [■£<?, , обладающие свойствами:

Далее используются следующие обозначения: ССЬ,$) - матрица Коша системы (9);

Ш*>С(ТуОВ(*;; (Ю)

^ - матрица, столбца:.« которой являются векторы:

(и) (12)

- вектор-столбец значений импульсного управления;

Ч (13)

С^', ^ + , - отрезки, на которых импульсное управ-

ление принимает ненулевые значения Ц/ > ;

Гг - ' ^ ^^ т>

, I - функции из класса С'[К-р, о°) обратные к функциям (и№) •

В 1-ом параграфе доказана

- 10 -

с.-аго,чгсби суцестаоваяо импульсное управле-

■¿.',10, нер^огдацес." рзшегше сисгзка (9) из заэбого начального состояния х с(•} ^^, £ е-С р,-40), хс} в конечное положение -зсСУзо аа вреш V- необходимо и достаточно, чтобы система (2) била относительно управляема При этом

импульсное управление .имеет вид и(±)=1/#)+ , где

определяется по иЗ)» 17-К~1£г , а - любое. импульсное

управление, удовлетворяющее условию ортогональности

<5 , Я , Сг определяются по (10),(II),(14). в

Замечание 2. Значения 1% импульсного управления \/{Ь)

^ р 5".

определяются условия ¿Р'¡Г.]^ * <> ¡з(+)сЫ=0.

к!

Гга система И, л;ше&ацс уравнений с р неизвестлшп ^ будет и;;е-гь ненулевое рошонке либо при , либо при р-н- в тон случае, когда определитель кагрицл коэффициентов при неизвест-1Г; будет равен пула, то есть если удастся подобрать та-ь:/.о , ^- , что матрица коэффициентов при неизвестных от- будет особо::. В обоих случая;«: значения гг- определяется неоднозначно.

Следствие '¿. На практике 'воакогли случаи, когда управляе-ииИ объект ::ох:ст б::ть описан системой дифференциальных уравнении, содер::адек гапаздьшакпе в управления, т.е. системой, вида

В етсм случае псьгоркится рассугденпя тсореш I, ко патрица (Ь

п'еет несколько пгпенёп'сгй вид, а именно, столбцами матрицы. £

в г том с.т/чгз пдляюо! столбцы • • ' в ■ .

V?'»■*««■ __ .

Л" Ц(5тйЛ(£ или столбец «Г п »У-'.*- •

,

Ст^ез'й:, чго пгл Г< задача не п^еет решения. ;; А':..::пгкч::.;е ре зу г тети подучена п з случае Ь -иерно.^о век-

Ць-.е-з, йсогсьгуя. ях-нэе'' услогпе ствсс^зельаой управдяе«осги • Г?.], с^еумулагмзаяг у слоге не сугрс'ггоздняа.'импульсного прогрш-

- 31 -

~.юго управления а терминах управляющего уравнения системы.

Для случая фиксированных шшенгсв приложения импульсного управления 4:» , о' установлены теореш 5 и б,

Теорема 5. Для того,чтобы существовало импульсное управление вида (13), осуществляющее перевод решения систекы (Э) из произвольного начального состояния в начало координат

за в раня Т-^о , необходимо и достаточно, чтобы ранг матрацы 1{ (II) совпадал с рангом расширенной матрицы (й, Сг) (11,14).

Теорема 6. Для того,чтобы существовало импульсное управление, репавцее задачу перевода решения системы (9) из любого начального состояния СЬо(-) в начало координат, необходимо и достаточно, чтобы

Изложенная теория проиллюстрирована ыоделыши примером. Во 2-ом параграфе выведены условия существования семейства импульсного управления, при которой все реиения системы (9) о начальный условней (для цб^гпри £=1 и *с?1 ) облада-

ет свойством ./ф 1 о ух-

Зя г««) = В« , гъ^^е.

для заданного набора чисел ^ 7а<-<Тс и любых векторов рт е . Получены формулы для построения импульсного управления, рсиаэдего поставленную многоточечную задачу.

Получены условия существования импульсного управления, реза-вцего многоточечную задачу, в случае фиксированных моментов приложения импульсного управления. Приводен иллюстративный призер.

В 3-ем параграфе рассмотрена об!;ая граничная задача, то есть случай, когда реиенив скстеш (9) с начальный условием удовлетворяет условии ^ Нщ "^С^) ~

где ioi.lt <Т2< ... ¿Тс. - заданные числа, -заданные патрицы .порядка л/щ % ^-заданный л--вектор-столбец.

Подучено достаточное условие существования земеНства импульсных управлении. Приведены .-ормулы для построения импульсного управления для решения обздЯ гранично;: задачи.

В 4—0" папаггагд рассмотрела. квазилинейная система

хт-ш^ ^ (П)

в ксторо.1 ко:шо:?екть! и,-взкторко:1 {.унгецни Р(-) гадаш при Чг^в, , 4*18. ./Мс/Л » гек-зегзешш, г.елзеркзки и яспре-

рывно дифференцируемы относительно г{ и компонент вектора 5С. .

Теореыа 14. Если соответствующая линейная система () относительно управляема, то существует такое, что при

любом ¡А : ЦМ|¿/Чо существует импульсное управление, переводящее решение системы (15) из произвольного начального состояния в начало координат за время Т~ ~ко .

Аналогичная теорема сформулирована в терминах определяющего уравнения системы (15) при //=с>.

В 5-ои параграфе получен алгоритм для решения следующей задачи: с помощью дискретного стабилизирующего и импульсного управлений перевести решение системы

за фиксированное время ^-"¿о из произвольного начального состояния ЫО) t с Ги-и,±о\ а#о> X.} в конечное половение Ос(Т)~о таким образом, чтобы при t > Т решение оставалось в окрестности нуля и при этой было устойчивым.

В 6-ом параграфе результаты §1-§4 переносятся на систему нейтрального типа

При доказательствах используется формула Копи (7), выведенная . при условии непрерывности матрицы Коши ЦЬ^) по второму аргументу.

В двух последних параграфах зтой главы рассмотрено применение излоаенной выше тебрии к.решению двух задач, описывающих реальные физические процессы.

В 7-ом параграфе рассмотрена задача поддержания заданного значения величины РН при получении гидроксиламиндисульфоната в надсадочко адсорбционной колонне с рециклом. Построено импульсное управление, восстанавливающее номинальное значение величины РН.

В 8-ом параграфе рассмотрен вопрос о возможности управления процессом подачи сырья в химический реактор с помощью импульсного управления. -

В третье!! главе рассмотрены две задачи управления система- ' ми, описываемыми линейными нестационарными дифференциальными уравнения!®' с отклоняющимся аргументом - обобщение на системы

с запаздыванием задач, рассмотренных В.И.Зубовым [2] для сис- ' тем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В $ I рассмотрена задача о "встрече" двух управляемых сис-

(16)

имеющих начальные состояния

сс° (■) ВДЧ Ыг.

Бдесь (*) - -векторы фазовых переменных, -/'¿-век-

торы управлений, - ВШН) - И{

- ¿г/,2 ,^=¿2. - непрерывные и ограниченные

матричные функции, заданные при , а - и непрерыв-

но дифференцируемые; - запаздывания, удовлетворяющие

условиям £¿$¿1 , при иъ> ,1-и \Vitt) - п;**

непрерывно дифференцируемые начальные функции, заданные на начальных множествах [¿о-Я-:^, ¿о).

Считаем, что произошла "встреча" управляемых объектов в момент ^ , если Н^(7)--НгМТ), (18)

где Не - - постоянше матрицы, ^ .

Рассмотрена задача: по известному начальному состоянию к управлению системы (17) найти такое управление ,

при которой система (16) из любого своего начального состояния могла бы произвести встречу (18). Введены обозначения:

' ~ матрицы Кош систем (16),(17);

сГ^сдом'*®, У* ¿-а;

. го

¿¡{ь} - уункц!'.::, о5ратные к функциям

- 14 -

Управления представлена в виде

. ыг, о аз)

где о; - 111 -постоянные векторы, {/¿(т) - - векторные функции, удовлетворимте условны ортогональности.

Теорема I. Если матрица квадратная ( I-) к не особая, то задача встречи (18) для систем (16) и (17) разрешима с помощью управления при любом выборе начальных состояний х[(0 » ¿--<2 и любом выборе управления . При этой определяется по формуле (19), где век.эр однозначно выражается через параметры систем (16),(17):

Теорема 2. Задача встречи (18) для систем (16),(17) разрешима, если • /хдпд = $ ^

Теорема 3. Для того,чтобы аадача встречи (18) для систем (16),(17) при ограничениях на управления

«С ,<■=*< г-

была разрешима при любом выбвре управления и начальных

состояний , ¿.=(2. • необходимо и достаточно, чтобы бн-

ли выполнены следующие условия:

1) столбцы матрицы $г и вектор 2 являются линейными комбинациями столбцов матрицы : =5, ;

2) при любом выборе вектора из условия

<• вытекает (

где ^¿А+Л-Ь^ЪЧ^Т)^**); б» - - матрица, удовлетворяющая условию =<->-

Во втором параграфе рассмотрена система

¿(*> Ш (20)

с начальным условием

¿¿[Ь-ЩЦ, (21)

при оуимируемои с квадратом на £-Ц ^ допустимом управлении

^ < в* (22)

Рассмотрена задача: определить область фазового пространства Я.и , через которую проходят все решения системы (20), (21), " замкнутой допустимым управлением , переводянц-щ решения

ciicitu'H (SO) из заданного начального состояния (21) в коночное чулевоа положение за фиксированное время Г- tо .

Теорема I. Если относительно управляемая для любого система (20) под воздействием управления -H(t) , удовлетворявшего условии (22), переводится из некоторого известного начального состояния (21) за фиксированное время 7'to в начало координат, го на любом из отрезков Lt<j> ttJ движете системы* (20) может проходить при любом фиксированном 'S* Т] лишь через эллипсоид, описываемый неравенством

гдо d --{[ССГМ-ЦГА^МЫМиЯ

x^it) ~ движение, соответствующее управлению

Обозначения для Q , f£ 9 с{ , С аналогичны обозначения« из §1.

Автор выражает глубокую благодарность озоему научному руководителю проф. Николае Михайловичу Матвееву и к.ф.-и.н, Ольге Владиславовна Шаляпиной за неизменное внимание s проводимым исследованиям и постоянную поиоаь а работе.

Цитируемая литература

Х.Габасов P.S., Кириллова Ф.15. Оптимизация линейных систем.-Минск: Иэд-во ЕГУ, I973.-2480.

З.Зубов В.И. Лекции по теории управления.-У.:!!аука,1975.-495с. З.Габасов Р.Ф., Кириллова 0,:.'. Качественная теория оптимальных процессов.-М.: Наука,I97I.-50ÖO.

Основные результаты диссертации опубликованы а работах:

1.Галкина В.Г. Построение улравлав-Ч з лииеНной задаче преследования для систем с запаздиваниец./Деп» в БЙШТН. ä 2263-ВЭ1, от £0.07.91.

2.Галкина В.Г. Задача локализации двигения в системах с залаз-дкьанием.//Тезисы доклада на Ш Всесоюзной екояв по теория операторов з функциональных пространствах.-И.Яовгс;:од.1321.-251 с.

¿.Галкина З.Г. Построение матрида Koni для систем с отклепя»-:у:.:оп арг.у:.яятои.//Тэз:.си доклада :ia Международной научной кон-

ферокцни "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика к специатшкые функции".-Саиара,199Е.-2Э8со 4«Галкина В.Г.,Галукова К.В. Построение кусочно-непрерывного программного управления для линейной системы с запаздыванием. - В кн.: Математический анализ. Вопросы теории, истории и методики преподавания.-Л.:Езд-во РРЯУ, 1991. С.88-97.

5.Галкина В.Г. ,Галунова К.В. Построение нусочно-непрерывниго программного управления для линейной сиотемы о запаздыванием./; Тезкеы доклада на научной ыколе-семшшрб "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов".-Киев,19?!.-108о,

6.Галкина В.Г., Шаляпина О.В. Построение импульсных управлений в системах с запаздыванием.//Вестник ЛГУ.Сер.I, вьт.8(й 15). 1991. С.117-119»

7.Галкина В.Г., Шаляпина О.В. Построение матрицы Кош системы нейтрального типа.//Вестник ЯГУ.СерД, вып.Цй 1).1992.С.98-Ю(

8.Галкина В.Г., Шаляпина О.В. О формуле Кош и матрице Кош для систем нейтрального типа./Деп. в ВИНИТИ, й 718-В91, ох 12.02.91.

9.Галкина В.Г,, Шаляпина О.В, Построение иипульсных управлений решающих многоточечную задачу для систем с запаздыванием.-^ да Качественная теория слоеных скстеы.-Л.:Изд-во РГПУ, 1991. Ю.Галкина В.Г;, Шаляпина О.В. Построение импульсных управлеаи: в системах нейтрального пша.//№зисм доклада ка III Всесоюзно; шкоде по теории операторов в функциональных пространствах.-ние' яий Новгород,1991.-Е51с.

РГП ЛЩФ,зак.847,тир.100,уч.-изд.л.0,7; 19/Х1-1992г. Бесплатно