Построение уравнений теории упругих удлиненных тел на основе асимптотического метода тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ДОНЕЦКИЙ ГОСТДАРСТВЙЙШИ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 ОД

На права* рукописи

ЩЕПИН Николай Николаевич

ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГИХ УДЛИНЕННЫХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Азтореферят диссертации на соискание ученой степе!И кандидата фиэико-матешзтаческих наук

Донецк - 199«

РаОота выполнена в Институте прикладной математика и мажа-Ш1ка Дкадеиии Неук Украшш.

Научный руководитель - доктор (¡изико-матеиатических наук,

профоссор

Официальные оппоненты - доктор 4изико-иатеиатических наук.

профессор

К .Ф .Каик

доктор физико-матенатическш наук, профессор

В.&.Шалднрван

Ведущая организация ~ Киевский государстввшшй университет.

Защита состоится 1994 г. в ч. на заседании

специалиэировашюго совета К 068.06.03 в Донецком государственной университете по адресу: 340055, Доиецк-55, ул. Университетская, 24, ДонГУ, гл. корпус

С диссертацией ыоюю ознакомиться в библиотеке Донецкого государственного университета.

Автореферат разослан 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета Мысовский Ю.В.

Общая характеристика работа

Актуальность то.чц. Теория удлиненных упругих тел (которая включает в себя а теорию упругих стержней) занимает особое иесто в математической теории упругости. В различных подходах к ее построешш зачастую лежат многочисленные и часто трудно сопоставимые предположения геометрического ила силового, характера. ■

К числу удлиненных тел относят колошш, ярки, пролети мостов В райках стержневой модели описываются деформации широкого класса элементов современных конструкций, многие из которых изготовлены из композишо'шшх, анизотропных материалов с более высокиии прочностными п деформационными свойствами. Примерами стержней , которые моено рассматривать как анизотропные, могут служить витые канаты, пружины, деревянные стойки в шахтах, упругие корпусе ракет, стволы танков, которые по свош свойствен существенно анизотропны.Поэтом/ анализ деформирования таких тел является задачей актуальной. Хотя исследовашш для зш»зо-трошшх стержней в этом направлении достаточно многочисленны, тем не менее создание эффективных методов анализа дефориацяЗ удлиненных тел и получите информация о их поведении представляет научный и практический интерес.

Из реально существующих анизотропных тел следует отметить композиты, монокристаллы, стеклопластики. Численное значение упругих постоянных анизотропных материалов можно найти в обзорной статье К.С.Александрова и Т.В.Ьъяовой, в которой приведены упругие постоянные более двухсот веществ, дан большой список литературы и указана раалмчше методы определения упругих постоянных. В справочнике Е.К.Ашкенази и З.В.Ганова приведены численные значения упругих констант древесины для двенадцати пород дерева. Анизотропия механических свойств металлов достаточно подробно изложена в монографии Н.Р.Мякляева и Я.В.Фридмана.

Первые результаты в трехмерной теории удлиненных упругих тел были получены Лагрвкжем при определении наивыгоднейшего очертании колонны, о также в известных трудах Г.Кирхгофа, АЛСпсбиа а Д. Лип я. П точки зрения одномерной модели ГЛСирхгоф получил основше дифференшпльтше урашюнпп изгиба и кручения тошотх стержней . Система зтих урэшгшшЛ оказалась неэамшутой (шесть уравнений, девать неизвестных величин), хотя

- г -

Г.Кирхгоф и записал недостающие три конечных соотношения , но он не дал им достаточно строгого вывода. Л.Клебш распространил положения Г.Кирхгофа, связатше с геометрией оси стержня, на криволинейные стержни. В рамках трехмерной теории упругости А.Ляв исследовал соотношения для компонент тензора деформаций и с геометрических позиций дал оценку отдельных слагаемых в этих соотношениях. Здесь же А.Ляв указал на те предположения, при которых из его формул получаются формулы Г.Кирхгофа для компонент тензора деформаций. Для однородных стержней с анизотропией общего вида А.А.Илюхин, используя в качестве основного предположения справедливость формул Г.Кирхгофа, установил, что зависимость компонент тензоре напряжений от дуговой координаты и координат в плоскости поперечного сечения можно разделить. Это позволило ему установить связь между основными переменными, входящими в уравнения Г.Кирхгофа, а также совершить редукцию от трехмерных уравнений упругих стержней к одномерной модели.

Важное место занимают исследования Г.Ю.Джанилидэе, А.И.Лурье, П.М.Риза, С.А.Тумаркинэ, Ю.Л.Панова, Ю.С.Воробьева, Б.Ф.Шорра о деформации винтов самолета и лопаток турбин, в которых с позиций малых перемещений рассмотрен вопрос о деформации естеот-венно-закрученных упругих стержней.

При построении математических моделей удяинешшх тел используются разные подхода. Одним из наиболее распространешшх методов исследования напряженно-деформировашюго состояния стержня является метод разложения в ряд по степеням малого параметра, который можно естественней образом ввести в уравнения трехмерной задачи длл удлиненных тел.

Идея использования малого параметра в разной форме давно присутствовало в исследованиях по теории упругих стержней. Во многих работах малый параметр характеризует отклонения геометрии тела от некоторой канонической формы. Так в работах А.И.Лурье, Г.Ю.Джанелидзе, И.П.Заиеталиной, В.К.Ирокопова первоначальное кручение оси стержня выступает в качестве малого параметра. А в работах Г.М.Хатиашвили, Л.К.Рухадэе методой палого параметра, характеризуюцего первоначальную кривизну, решена задача Сен-Веиана для тел, близких к цилиндрическим, и рассмотрена деформация призматически* тел со слабо изогнутой осью.

В работах В.В.Ионятовского и В.В.Елисеева, исходя из уравнений линейной теории упругости методой асимптотического разложения по степеням малого параметра-относительнсй толщине стержня,

^иккурентные системы уравнений для последовательного определения приближений решения задачи об изгибе изотропного стержня.

Асимптотический метод в сочетании с вариационным использовал БердичевскийВ.Л. для построения теории анизотропных стержней

С исследованиями в этом направлении связаны имена зарубежных ученых Г.А.Нариболи и А.Риголо, К.И.Ворса, И.Эсцеди. Ими рассмотрена задача линейной теории упругости о деформации изотропного и анизотропного цилиндра с односвязним сечением, нагруженного распределешюй нагрузкой по боковой поверхности и заданными на торцах усилиями, крутящим и изгибающими моментами. Решение представлено рядом по малому параметру, являющемуся отношением диаметра поперечного сечения к длине цилиндра, и задача сведена к двумерной.

Для одномерных моделей упругих стержней асимптотический метод использовался в работах я.Ф.Каюка, П.Е.Товстика, Г.Г.Гор-деева, А..А-Илюхина.

Хотя исследования в данном направлении достаточно многочисленны, тем не менее создание эффективных методов анализа деформации удлиненных тел и получение информации о их поведении представляет научный и практический интерес.

Паль работы заключалась в построении асимптотической теории анизотропных упругих удлиненных тел, деформированных концевыми силами й моментами, реализация которого включает следующие этапы:

1. Постановку граничной задачи трехмерной теории упругости о деформации упругого тела, два характерных размера которого меньше третьего. Введение малого параметра и построение рек-курентных систем дифференциальных уравнений, описывающих коэффициенты рядов разложения по малому параметру тензоров деформации, напряжения и вектора перемещения.

2. Построение решения, полученных двумерных граничных задач

в плоскости поперечного сечения тела в нулевом и первом приближении . -

3. Формулировка эквивалентной вариационной трехмерной задачи теории упругости для вывода уравнений одномерной теории нулевого и первого приближений.

4. Создашш числешгых алгоритмов расчета напряженно-деформированного состоять анизотропного тела произвольного поперечного сечения, исходя из полученных аналитических зависимостей.

5. Анализ результатов и выявление основных закономерностей.

Методы игр-г.одонпнлл . Основным инструментом исследований, проведении в первой главе, является применение асимптотического метода к граничным задачам для уравнений в частных производных, описывающих напряженное состояние трехмерного анизотропного тела. Построение решения двумерной граничной задачи в случае эллиптического поперечного сечения тела проведено с помощью точного решения граничной задачи в виде рядов Фурье, при доказательстве существования и единствекности были Использованы результаты для систем бесконечных линейных уравнений. При построении одномерной модели использован метод поиска стационарного значения функционала при наличии ограничений, что позволило получить в явном виде коэффициенты связи между интегральными силовыми характеристиками в плоскости поперечного сечения тела и геометрическими величинами, характеризующими деформацию оси тела, а кроме того обосновать соотношения, которые раныве принимались как гипотезы. В силу громоздкости преобразований при выводе соотношений одномерной теории первого приближения была использована система аналитических вычислений КЕШСЬ. Численный анализ напряженно-деформированного состояния выполнен с помощью метода конечных элементов, позволяющий аппроксимировать сложные области с необходимой точностью, а кроме того обеспечиващий вычислителыше преимущества.

Научная новизна. В работе построена асимптотическая теория деформирования анизотропных упругих тел под действием концевых сил и моментов. Проведен анализ соотношений нулевого и первого приближений и вывод условий их разрешимости. В случае эллиптического поперечного сечения построено решении задачи первого приближения. Из вариационной формулировки Ху-Вашицу

- б -

получены одномерные соотношения теории деформирования удлиненных тел. Исидя из полученных соотношений построен численный алгоритм по исследованию напрлженно-дефоиированного состояния.

Достоверность получешшх в работе результатов определена:

- строгостью 'математической постановки задачи и методов ев решения; -

- проверкой полученных результатов по данным, полученным ранее другими авторами;

- непротиворечие полученных результатов физическому смыслу решаемых задач.

На защиту выносится:

- построение реккурецтных соотношений для коэффициентов разложения компонент тензоров напряжений, деформаций и вектора перемещения анизотропного удлиненного тела в ряд по малому параметру ;

- анализ соотношений нулевого и первого приближений и вывод условий их разрешимости;

- построение аналитического и численного решения уравнений нулевого и первого приближений в случае эллиптического поперечного сечения;

- вывод уравнений одномерной теории деформирования удлиненных тел, на основе вариационных принципов;

- создание алгоритмов и программ численного исследования напряженно-деформированного состояния удлиненного тела.

Практическая ценность работы. На основе полученных результатов возможно выполнение расчетов на прочность конструкций, содержащих удлиненные тела при их деформировании концевыми силами и моментами, которые изготовленны из анизотропных материалов.

Результаты работы могут быть использованы в научных институтах, занимающихся расчетами на прочность конструкций из анизотропных материалов, а также в институтах горной промышленности.

АпроОагуия работы. Материалы диссертации докладывались на науч-

ных семинарах отделов прикладной и технической механики Института прикладной математики и механики АН Украины под руководством чл.-корр. АН Украшш (I.В.Харламова и профессора А.А.Илюхина (Долею:, 1989-1994), кафедры теории упругости и вычислительной математики Донецкого государственного уш!верситета под руководством академика АН Украины А.С.Космодяинанского (Донецк,1994 г.), на конференции молодых у worn л Института механики АН Украшш (Киев, 1992 г.), на международной конференции по задачам со свободной границей (Новосибирск, 1991 г.).

nyri..T.!K.'i;ui;i. По материалам диссертации опубликовано 4 работы

Уяг'.мф и <-труктуp:iOo-ru. Диссертационая работа изложена на

12.5 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, результатов, списка литературы ( 80 наименований), 30 рисунков.

Содержание работы

Введения представляет собой краткий обзор исследований но построению асимптотических соотношений трехмерных теорий удлиненных тел, относящихся к теме диссертации. Обоснована актуальность теми, дается краткое описание содержания диссертации, сформулированы основные результаты, выносимые автором на защиту.

В первой главе диссертпции рассматривается тело, размеры которого в двух измерениях малы по сравнению с третьим. Тело деформировано нагрузками, распределенными по боковой поверхности и по торцам.

В качестве основных осей выбраны оси, связанные с геометрией тела в кедеформироваином состоянии. Эти оси обычно называют главными осями изгиба и кручения. Соотношения запишем в проекциях на эти оси.

Для радиуса-вектора точки стержня примем следующее представление

- ? -

П(а,хга3) = r(3) + x/32¿ двэз (1)

где г-радиус вектор точка на криволинейной оса,связанной с телом, Э2,Ээ- орты осей изгиба и кручения. Имодя из представления радиуса-вектора, выпиажм выракение для оператора Гашльтона в главных осях изгиба и кручения

Э, д в д в ó ' v = - - ( + xu--ib-) f Э - + Э. - = У Э,

fr Ja s *ах1 * 'дхз 2 3 к

k

£ — дх^ дх.

(2)

где ш.-компоненты вектора Дарбу в главных осях изгиба а крученая

Воспользовввиись представлением для оператора Гамильтона, запишем уравнения равновесия при отсутствии массовых сил, компоненты тензора деформации в граничные условия на боковой поверхности

1 а*.. <4. "

- * - 4- —— / - * X Ш--1Ш, - +

<4 5 ' ах2 ах,

+ 2ГШго13 - = О

ЗОгз 1 <*>„

* —— Í -+ х_ш.--ад - *

ас, аз ■ ' 1 охя 11 дх3

f - ü,t0ls * aa(att- a2x)J = О

За., i до до da

гз эз ) 1з ta la

+ ——f: l - * х ы.--х о)

Í3J

<Эх2 ax3 /Г" 5 ' Лт2 * * flx

ш5а23 + и㹄- = О

о.

.) + * В

+ а.

.V =

Т^/в + V"«1, - "»V 1=1,2,3

(4)

} д1^ дп1 ди1

е..= ■

Г — + х,ш, - - 1Ш - 4 иы - иш) ,

Ло 3 « ' « я» 3 2 I э

дз У дх2 * ' 0ха

, да, , а«г 0П2 дххг

е, =— / — * —— ( — + хм — - хш — + 12 2 вхг дз 3 ' дхг 1 1 дхя

*ияШг - игШз)1, 15)

. вим . Ои, ви ¿к!

11/1 I э

е, =— / — + —— ( — * хш — - гш — + " Р ах, аз 5 ' (Зх1 2 ' дхз

* - . би 1 ди ди Ои

я 1 г » я

е"~ дх2 ' Е" г ' ах2 ' Е" ахз __

Условия совместности деформаций в инвариантной форме имеют вид

1пк(в) - гсЦгМе) = V х (V х е) = о го;

Относительно свойств материала предположим, что тело является однородным, криволинейно-анизотропным и следует обобщенному закону Гуна.

11 1111 »2 22 1)3! 1« 23 15 11 16 I! 1

Диаметр поперечного сечения считаем малым по сравнению с длиной, что позволило ввести малый параметр Л., равный отношению этих величин. Введен безразмерные величины

»г * » I

3=13 , 21}иг , Х3^ЬХ3 , и=7'Л. . . (в)

Решение уравнений теории упругости описывается в вудс асимптотического разложения по степеням малого Параметра Для определения порядка величин ак было установлено соотно-

пище и езду порядками торцевых сил н цоиентов с величинами поверхностных сил н моментов. Исходя из общего соотнозения иенду торцевой и боковой нагрузкам

А." | | ~ | ^ | ~ (-)

где т-порядок соотношения сил, действующ« на тело, и рассматривая ^рловая равновесия элемента тела, заключенного иеаду одаши из торцов и произвольный поперечным сечением приходам к выводу, что разложение для компонент а^ долено начинаться со степени а^тШ(0,т),

Принимая, аналогично работай ¿.А.Илюхина и Б.П.Иванова, что порядок и величин концевой силы равен шшус двуы, получим следуицие представления в виде рядов для тензоров напряяения деформации

00 СП

о - У Лко'к*г'Э Э , Е = У А.ке""г>э Э (10)

и V 1 ¿_ ч ' I

к--г к=-г

В работах В.В.Елисеева н В.В.Понятовского показано, что раз-лоаение вектора перемещения п необходимо начинать со степени -А

го

и = £ Л.1и""(3,Х2,Хз} (11)

у--*

Используя эта соотношения, получаем реккурентную последовательность соотношений для определения величин о'*'

".С'-.«::'- ч-г^г' ^г^жг'- м

-о;; -и (чнV»1 • «V7« •' »

п кроме того последовательность соотношений для определения величин е,1>

(13)

<Ч<"'Ч ИИ......

П Ь ; « J .29 3 2 II

С-1

+е ы и'1"' х -ш I " ,

„ ,.<к>!1 —I к » _ „11Ч1

гз 2 г э з г ' *

Во второй главе исследуется структура соотношений нулевого а первого приближений. Из реккуректной последовательности соотношений, полагая к--2, получим следующие уравнения для определения коэффициентов разложения в нулевом приближении

™<01 < о»

ди1Х оа13

* -=0, а"пгю^п3=Ю, 1-К2.3 (14)

дхг дх%

Из уравнений совместности деформаций получим еще шесть соотношений

в'С в1 в-' в'е<г°>

--2 - + - - О ,--—-— - О ,

Ох* <1тдг\ ОХ* Ох Ох, (1x1

(15)

¿^Г л'е;Г °<>'<7

---г- О , - - о,---- - о .-----о

дхгдх3 дх\ дх\ 0хг0х, Ох[

В работая А.А.Илюхина и Б.П.Иванова получено следущее вира-ке)ше для компонент о|°*

0^0(3)0'^(Х7,Х,) , ,

, о1^о(в)[&°> (хг,х,)-1гх21 (16)

&^(в)1о\»(хя.хш)*1яхя]

где функция о ниеет следующий вид

1 Ч.ЪОЧ-а^зиа^а)

0(3)=-

Из реккурентных соотношений (15) получаем, что главные члены разложения тензоре деформаций имеют вид

, ви"' 1 0и\"

Е<»= , 0'1' -X т ) , е'"' — -I----О'г',х*1 .

" 2 <ЗХ7 3 3 ' " Р 0х% 2

(17)

Ой-' 0и<»

;и | 01 ( О) г , -

Е ----, С ^ - , К - -I---f---1

" Ох, " дх. дх, дх.

Величины 'имеют геометрический смысл дополнительных сдвигов, а - приращения кривизн стержня.

Система уравнений равновесия и граничные условия должны удовлетворять интегральному соотношению, получаемому из условия

разрешимости граничной задачи уравнений послодуищаго прибли-

1ШШ111

=* ¡т&'п^шь (--/.2,3 (1в)

а I

Учитывай вид правых частей уравнений и граничных условий первого приближения после ряда преобразований получим следущее соотношение г

0;31--0. (19)

которое означает геометрически, что нулевое приближение может описывать только деформации тела с нпрастнжцмой осью. При к--1 из реккурентшх соотношений получаем

°1!Ч * = - - >. '--з

Из уравнений совместности получаем в первом приближении следующие уравнения

С <<> <> > < 1)

- 2 ^е^ + УзУзЕ22 = О

' о» ( О > (О) I о >

-*2Е23 ) + Ыг(2 У2е13 - УзЕ(2 ; + шзУзс з 1

. < 1 > < 1 > г* (О) < О > {СЬ

- = -IV^ У2Е2э - У^ ) + Ш.^Б,,-

<0> < О) < О) (О)

-?2Езэ ) - ш2у2е12 + и,(^е1в - ? уэе42 )1

<1>Г* (О) (О) (О) I О»

VIе.. + 3 * ; / -

(о) (о > (О>

-2 Р.е,, ) * - 2 у,е„ ) (21)

< I > < о > < о» < о» (а >

«о > ю) ю) >о>

«".Vе.» - е«, > * - )

(«>г« Ю) 1П1 < о» |Ц»

< О » Ю1 (О)

ряжения правых частей этих уравнений получаются после установки полученных для нулевого приближения выражений, гегрируя три послед>шх уравнения находим выражение для поненты

1 * 1 >

•егрируя второе и третье уравнения совместности деформаций и р" и используя связь между компонентами тензора напря-нй и деформаций закона Гука получаем еще две уравнения

компонент тензоре деформации. ,

ким образом, получаем систему пяти уравнений и граничных овий для определения пяти величин В этой системе внений проведено разделение в зависимостях искомых функций ельп выделения величин, зависящих только от дуговой коор-аты. При анализе системы уравнений было получено следующее дставление:

Г—1 Г—1 « а • I - к ► * I > г—• а V V • 1» ) г—I Г—- • 2 ^

1:>з)

2 , 1 '

12 1 2

к ■ 11 -I

Функции I' являются функциями координат в плоскости поперечного сечения стерши и определяются из системы уравнений с оп раторпми левых частей, токдествешшх с операторами уравнений нулевого приближения.

Из интегрального соотноше1шя (1г?}, связывающего правые части уравнений и граничных условий во втором приближении, получаем следующую систему соотношений, которые означают и имеют смысл условий разрешимости граничной задачи второго приближения

-..... I . .....> '01,-0 ,

(.и* 'I'1

— ■* У/Ч'^'Ч"0 • —^'Ч'Ч'Ч"0 - (1.1 .(£)

Интересно отметить, что система этих соотношений совпадает с системой уравнений для перерезывающих и растягивающих сил, действующих в поперечном сечении тела, одномерной теории Кирхгофа и не накладывает дополнительных ограничений в отличие от необходимых условий разрешимости уравнений первого приближения.

Таким образом получено расщепление в зависимостях величин первого приближения трехмерной задачи теории упругости на функции» зависящие от координат плоскости поперечного сечения, и от дуговой координаты на оси тела. Коэффициенты первого приближения, а следовательно и добавки к силам и моментам, действующим в поперечном сечении, линейным образом зависят от величин ас ,о'г' и их производных по дуговой координате.

На основании полученных результатов исследовано решение за-

дачи в напряжениях нулевого в первого приблпжегай в случае эллиптического поперечного сеченая. В улетом прнЗ-жюниаа ращение граничной задачи имеет еледуге; 1й ряд

< f* „(ol _toi ,, 'ol J „ioj .

^ "«"А-

(C=— , rt I)

Решение задачи первого приближения искалось в ваде рядез Фурье с неизвестными коэффициентами. зяписязшя от паяяр-ного радиуса точки в плоскости сечения.

СО

о;*;^ /И^ГрМояпф » fT fpiain/tl'/i/ ip? f£öj

и -1

KroiMOTmotivu ^ опррдвлягггся из бесконечное саетеиы дифференциальных уравнений. Рсасние, которой я своя «череда находилось в виде степенных рядов по р. Дяя кгиэвеспгы коэффициентов рядов получена бесконечная система линейных уравнений. Показано, что данная система является регулярней а, следовательно, к ней применимы результаты работ Кантсровача Л.Ii., Космодаминского A.C. .Крылова. В.Я о сугзествования, единственности решения системы, а также построения его методом редуждая.

В третьей главе' диссертации, с помохрл зкеяпалеитной вз- " риациошюй формулировки задачи построены уравнения одяоиэр-ной теории, а также граничные условия на концах тела, которые в интегральном смысле удовлетворят1 граничным уелстяям на торцах.

Исходной задаче трехмерной теория упругости поставлена в соответствие вариационная задача о поиске стационарного значения функционала Ху-Вясидзу. С поисеьо разложения в ряд по uaxatj параметру исходное подинтегральное шряхенке функционала представлено в виде ряда по малому параметру. •

11 iJ*-4*b"«C'C''itA-tAKV»

К С Ш К

л:""'/о'">(.г ы -х ы (о'"1 1 );т]г" 1о \ > (:£ ш-

•л з .(а . л г J и 2 | г з 1 л г

''' 11''', и (¿гаг.,

С'/)

Для построения одномерной теории нулевого и первого приближений в полученной таким образои функционале удержаны соответствуйте степени параметра

Воспользованшись полученными в предыдущей главе соотношениями для компонент тензоров напряжения и деформации, а также вектора перемещений после осреднения по площади поперечного сечения, получены искомые функционалы душ одномершх уравнений нулевого и первого прибликешШ.

В нулевом приближении функционал представлен в следующем

компактном виде »

' о " . »

к

I

Из условия стационарности функционала ЦК) с учетом неголоном-ных связей, возникающих при построении решешш задачи нулевого приближения, методом множителей Лагра;ша получена следующая система уравнений

г» . <Ш

— * ш « £) -О . -- / ш « М л Э » 0 ■■и

(¿4 (iЗ

"г у-1

где через и и б обозначены множители Лагранжа, которые как

- 1Г

было показано по своеиу физическому смыслу совпадают с моментами и силами, действуюцими в поперечном сечении. При этом удается получить в явном виде выражение для коэффициентов связи моменты-кривизны.

В первом приближении построение явных выражений представляет значительные трудности из-за громоздкости выражений. Поэтому была составлена программа на языке аналитических вычислений ЙШ/СК для построения соотношений одномерной теории первого приближения.

Функционал первого приближения является квадратичной формой по переменным в и билинейной по остальным переменным

./'(ж.О^'.О^'Д ,(Уг).

Из условия стационарности этого функционала были получены следующие результаты. Система уравнений одномерной теории первого приближения совпадает с системой уравнений и граничных условий одномерной теории нулевого приближения, а связь между силовыми характеристиками и кривизнами носит следующий вид

Э Я 3 э

И ^ А ау^Г С с -1.2,3)

I ' « } 2 ) - » } *

СЮ)

) -1 ) «

Таким образом, в третьей главе построены уравнения и гра- • ничные условия одномерней теории . Получены в лшюм виде недостающие соотношения между интегральными силовыми и геометрическими характеристиками оси тола. В четвертой главе диссертации на основании результатов второй и третьей глав построена численная процедура анализа напряженно-деформированного состояния, а также определения пос-тоягашх связи моменты-кривизны для тела с произвольным одно-связным- поперечным сечением. Составлена программа для определения величин а методом конечных элементов. Область разбива-

ЭР2

Pix. i

Рас. 2

'12

о

о

' 5

i и f

а

ется на треугольные подобласти, для аппроксимации неизвестных функция применялись линейные базисные функции.

Численные исследования проведены в двух направлениях. Во-первых, рассматривалось влияние анизотропных свойств материала на распределение напряжений, а во-вторых учтены поправки первого приближения при вычислении величины напряжений при ригушч-1ШТ рорт.оитот тотц.отаот'п иогруяР)ШП теля. ИсГУШДОВаНИЯ ПрОВОДИ-пись на примере анизотропного стеклопластика типа СТЭТ в случав эллиптического поперечного сечения, поскольку полученные во второй главе аналитические выражения позволяли контролировать достоверность получаемых результатов. Оказалось, что в отличие эт изотропных материалов происходит существенное взаимовлияние изгиба и кручения телч. На рис. 1,2 показано распрсделешш кривизн вдоль осевой линии теля, деформированного концевыми «агруэками. Сплошная линия соответствует случаи анизотропного гела, а штрих-пунктирной - изотропного (сталь).

Проведенный численный анализ показал, что в указатюй постановке задачи учет членов первого приближения при анализе распреде-пения напряжений в плоскости поперечного сечення приобретает су-цественное значение в окрестности осевой линии тела, в решение вблизи границы практически полностью описывается членами нулевого приближения. Так на рис. Э показано распределение величины I вдоль линии р ч. 1, сплошной лшшей изображен учет только ' гленов нулевого порядка, а штри1-пунктирной нулевого и первого.

ОСНОИШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ГЛЬОТЫ

I. Построена реккурентная последовательность дифференциальных сравнений и граничных условий в задаче о деформации анизотроп-шх тел в трехмерной постановке. Изучена структура решений ну-швого и первого приближошя и показано, что происходит распадение п зависимостях величин на функции, которые зависят только от дуговой координаты оси и Функции, зависящие от коор~ цшат точек поперечного сечения. Указаны какие поправки необ-годимо внести при учете членов первого приближения. Для тел : эллиптическим поперечным сечением построено аналитически ттсние задач нулевого и первого приближений в плоскости по-тречного сечения тела.

'¡"J ~

2. Совершена редакция к одномерной модели, которая обобщает на анизотропный случай теорию Г.Кирхгофа - А.Клебшз. Показано что она является теорией нулевого приближения в асимптотическом смысле. Построена одномерная модель упругого анизотропного тела перпого приближения. Построены явные формулы для козф фициентоп спязи между силовыми и геометрическими характернсти ками при условии, что решена граничная задача в плоскости поперечного сечения тела.

3. Проведен численный анализ напряженного состояния анизотр* ного удлиненного тела с эллиптическим поперечным сечением при различных вариантах торцевого нагружения. Численно исследован вопрос об учете членов первого приближения при вычислении величин напряжений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих ра-

1. Иванов Б.П.,1Цепин Н.Н. К теории изгиба и кручения прямолинейного »¡изотропного стержня/Донецк, политехи, ин-т.-Донецк, 1987.-20 с. Деп. в УкрШШТИ 05.06.87, N 2691.

2. Ivanov В.Р..Shchepln N.N. Construction of a refined theory for elastic rods. - Mechanics of rigid bodies,19.-Allerton РгАв, New York, p. 104-110

3. Илюхин А.А.,Щепин Н.Н. Приближенное решение трехмерной тео рии анизотропных стержней// Механика твердого тела. 1994. Вып. 26.

4. Ivanov В.Р., Iljukhin A.A., Shchepln N.N. Deformation оX elastic body with free Bide Burface./Proceedings of the International conference "Free boundary problems in continuum mechanics", Novonibirr.k, July 10-22, 1991.

ПУБЛИКАЦИИ

ботах:

ico