Поведение аргумента дзета - функции Римана на критической прямой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

Мсхаиико - математический факультет

На правах рукописи УДК 511

Королёв Максим Александрович

ПОВЕДЕНИЕ АРГУМЕНТА ДЗЕТА - ФУНКЦИИ РИМАНА НА КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ

01.01.0в - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

МОСКВА - 2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико -математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор A.A. Карацуба;

член - корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Нестеренко;

доктор физико - математических наук С.А. Гриценко;

Ведущая организация:

Московский педагогический государственный университет.

Защита диссертации состоится « 14 » ноября 2003 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП -2, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико - математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ошакомиться в библиотеке механико факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

математического

Автореферат разослан «_

октября_2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.501.001.84 в МГУ,

доктор физико - математических наук,

профессор

В.Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В теории азс га - функции Римана £(s) большое внимание уделяется изучению ее аргумента на критической прямой Res = у, который обозначается символом S(t) . По определению, при t, отличном от ординаты нуля ф),

S(t) - -якШ + ä).

Ж

Пол arg£(j + lt) понимается значение, которое получается непрерывным продолжением arg£(s) вдоль ломаной линии с вершинами в точках 5=2 (atgC(2) ш 0), S = 2 +it и 5 + it. В случае, когда t совпадает с мнимой частью одного из нулей C(s)> определяется как предел

значений S(t +h) при Ь, стремящихся к нулю справа:

S(t) - lim S(t+h)-S(t + 0).

h — +0

Определённая таким образом функция S(t) при t >0 имеет разрывы, которые совпадаю!' со значениями ординат комплексных нулей C(s) ■ При переходе через точку, которая является ординаюй для ТП различных нулей £(s) с кратностями kl,...,km, S(t) совершает скачок, равный сумме этих кратностей, т.е. kt + ... +km.

Формулой Римана - Машольдта S(t) связана с функцией N(t), выражающей число нулей £(s) в области 0<Res <1,0 <Imszt. Согласно этой формуле

W = + 7- + S(t) + 3(0,

2я 2ле 8

где

t 7, / 1 i +Г p(u)du

m - -Ы(ЫЦ-> ♦ j-*» - j f (uJ4^(tl2r

а д(и) =

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА ]

Поскольку S(t) - непрерывно дифференцируемая функция и при t —*+ 00 S(t) = 0(t 2) , то из формулы Римана - Машольдга следует, что на всяком промежутке вещее геенной осп, не содержащем ординат нулей C(s) > N(t) постоянна, a S(t) является монотонно убывающей функцией с производной, равной

2ж 2л

Одной из первых в этой области возникла задача о нахождении правильных но порядку оценок величин

irf S(t) и sup S(t)

0<tsT 0<t*T

при 7*-» +00 . Эча 1смашка получила развише в работах Г. Бора и Э. Ландау1, А. Сельберга2, Я. Мозера3, X. Монтгомери4, К. Тсаша5, К. Рамачандры и А. Санкаранарайанапа6.

Друюе нанравленпе в исследовании S(t) посвящено изучению точек перемен знака этой функции. Оценки

S(t) = 0(lnt), 'fS(t + u)du = 0( InT),

о

получаемые из общих утверждений теории аналитических функций и простейших теорем о нулях £(s), наряду с омега - теоремой А. Сельберга

S(t) = Q¿(lnty(lnlnt)~íj)

' Bohr H., Landau E. Beitrage zur Théorie der Riemannschen Zetafunktion // Math. Ann.74.(1913). S. 3-30.

2 Selberg A. Contributions to the theory of the Riemann zeta - function // Arch. Math. Naturvid. 48(1946). № 5. pp. 89 - 155.

1 Mo3cp H. O MKiuiri S(t) b icopim A3<rra -<|>)iikwiiî PiiMana // Acta Anth. 30(1976).№ 2. pp. 145- 158.

4 Montgomery H.L. Extreme values of the Riemann zeta function // Comment. Math. Helv. 52(1977). №4. pp. 511-518.

5 Tsang K.-M. Some £2 - theorems for the Riemann zeta - function // Acta Arith. 46(1986). № 4. pp. 369 - 395; Tsang K.-M. An improved £2, theorem for S, (£) // Quart. J. Math. Oxford. Sec. Ser. 42(1991). № 168. pp. 501 - 513; Tsang K.-M. The large values of the Riemann zeta -function // Mathemaaka. 40(1993). № 2. pp. 203 - 214

6 Ramachandra K., Sankaranarayanan A. On some theorems of Littlewood and Selberg, I // J. Number Theory. 44(1991). № 3. pp. 281 - 291.

j HA;MILAK..-: *!• ». -i ] **3To.\.-inj :

t iqrr «j j* i»» >1 2

r,

указывают на то, что 5(f) является снлыю осциллирующей функцией. Естественно возник вопрос об изучении количества точек, в которых S(i) меняет знак и которые попадают в заданный промежуток вещественной оси. Пусть М(7) - число таких точек t с условием 0<i S T. В 1935 г. Е.К. Тшчмарш7 доказал, чго меняет знак бесконечно много раз, т.е.

—» +» при Т—► +00. С другой стороны, из формулы Римана — Мангольдта для числя нулей дзета-функции следует, что М(1)-арТЬТ).

В 1946 г. Л. Сельберг8 показал, чго для T" sH <,Т, где а -произвольное фиксированное число с условием справедливо

неравенство

М(Т+Н) - М(Г) г Н(1пТУ е, (1)

в котором А — А (а) - положи тельная постоянная.

Дальнейшее уточнение нижней оценки разности М(Т + Н) — MÇT) связано с заменой правой части (1) большей величиной, а также с уменьшением длимы промежутка H, на котором исследуются точки перемены знака . Так, в 1996 г. A.A. Карацуба9 доказал, что неравенство

(1) справедливо для , где а - фиксированное число,

Использование мпкмезы Римана позволяет изучать точки перемены знака функции S(t) на очень коротких промежутках изменения t и получать

нижние оценки величины

М(Г+Н) - М(Т) Аля случая , где s -

сколь угодно малое фиксированное число, 0<е<1.

В работе Дж. Мюллер10 содержится ссылка на условную теорему А. Сельберг а, согласно которой для любых фиксированных 0<E,st <1,

для ТъТ/е,£,) >0, H = ТС справедливо неравенство

М(Т+Н) - М(7) а H(bilj ~ 4. (2)

Более точная условная оценка принадлежит Л. Гошу. В своей работе11 1982 г. он показал, что неравенство

7 Tkchmarch Е.С The zeros of the Riemann 7cta - function // Proc. Royal Soc.(A). 151(1935). pp. 234-255.

» Selberg A. Contribution to the theory of the Riemann reta - function // Arch. Math. Naturvid. 48(1946). № 5. pp. 89 - 155.

' Карацуба Л.Л. О функции S(t) II Изв. РАН. Сер. матсм. 60(1996). № 5. С. 27 - 56.

10 Mueller J.H. On the Riemann zcta - function ф) - gaps between sign changes of S(t) 11 Mathematika. 29(1983). X? 58. pp. 264 - 269.

М(Т+Н) - М(Т) 2 H(ln1)exp( -A,lnlnT(lnlnln7)'<0>'") (3)

выполняется с Н для всех Т^Т/8 ,е)>0 , где 8 — произвольное фиксированное число, 0<8<у. Д\я случая , у<а£/, оценка (3)

доказана А. Гошем без использования гипотезы Римана.

Оценки (2) II (3) близки к предполагаемому окончательному результату. Согласно гипотезе, выдвинутой А. Сельберюм12, для

ЯгГ имеет место

следующая асимптотическая формула

М(Г+Н) - М(1) нкт

у]жЫпТ

'Георемы (1) и (3) А. Сельберга и А. Гота существенно используют следующую илотностную теорему, т.е. оценку числа нулей дзета - функции Римана £(s) в узкой окрccihocth критической прямой Res = у: пусть N(a,T) - число нулей fi + iy дзета - функции Римана с (3>а и 0 Т. Ьсли T'sHsT, где а - фиксированное число, j<ds/, го равномерно по а, у <a s/, справедливо неравенство

N(o,T + Н)~ N(ff,7) = qf H(lnT)(H /JT)'^ '

Подобная оценка для случая Т" sMsT, jij<d s/, получена в 1996 г. А.А. Карацубой.

Помимо плогностных теорем, утверждения о величине М(1) опираются на асимптотические формулы для шпефалов специального вида, называемых моментами:

Т + Н Т + Н I,

f IS(t)fd ,, f |fSft+j&fd

(a>0, b>0). Пер вые такие формулы (для чётных моментов, т.е. когда Л -чётное число) были получены А. Сельберюм. Случай нецелого показателя а (дробные моменты) был впервые исследован А. Гошем.

11 Ghosh A. On Ricmann's ?eta - function - sign changes of S(t) // Recent Progress in Analytic Number Theory. Vol. 1.1981. Academic Press. New York. pp. 29 - 46.

12 Selberg A. Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series -Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), Univ. di Salerno, Salerno, 1992. pp. 365 - 387.

Кщё одно направление исследований S(t) связано с распределением значений функции Основной задачей здесь является описание

множеств на промежутке (Т,Т + HJ , на которых \S(t)\ принимает значения, не превосходящие данной величины. В 1983 г. А. Гошем было показано13, что при Т -» + °°, т «X'&l доля значений для

которых

* с^шт,

стремится к

2 же -чР-

тЛе

В настоящей работе продолжены исследования, связанные с числом перемен знака и с распределением значений функции S(t).

Цель работы

Целью настоящей диссертации является доказательство новой плотностной теоремы для «почти всех» коротких промежутков ( Т,Т + ТС] (£ - сколь уюдно малое положи 1елыюе число, не зависящее от Т), подобной теоремам А. Ссльберга и A.A. Карацубы, и приложение ее к задачам, связанным с функцией S{t) (перемены знака н распределение значений

S{t)).

Методы исследования

В диссертации используются приёмы и методы доказательства илотностных ieopcM, развитые Л. Сельбергом и A.A. Карацубой, а также метод сведения вычисления дробных момешов данной функции к вычислению ряда её чёшых моментов, который прнменяе1ся в цитированных выше работах А. Гоша.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми. Основными являются следующие:

1) Доказана новая плотностная теорема для нулей дзета - функции Римана в узкой окрестности критической прямой.

" Ghosh A. On the Riemann zeta-function - mean value theorems and the distribution of | S(t) | // J. Number Theory 17(1983). pp.93 - 102.

2) Получены асимптотические формулы для моментов функций 5(í) и

h

(S(t +u)cü4 при изменении параметра t на коротких промежутках.

3) Получена новая нижняя оценка числа перемен знака S(t) на коротком промежутке.

4) Доказана новая теорема о распределении значений функций \S(t) | и \^S(t + u)du\ на коротком промежутке.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях аргумента дзета - функции Римана и L - рядов Дирихле на критической прямой. Результаты диссертации могут бьпъ полезны сотрудникам Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Магматического института Российской Академии Наук имени В.А. Стеклова, Московского педагогического государственною университета, Белгородского тсударсгвенного университета.

Апробация работы

Результаты диссертации неоднократно докладывались авгором на семинаре кафедры магематческого анализа MIV «Аналитическая теория чисел и приложения» под руководством профессора A.A. Карацубы, на научно-исследовательском семинаре кафедры теории чисел MI У иод руководством член-корр. РАН профессора Ю.В. Нестеренко, а также на польско — российском симпозиуме по теории чисел (МИ РАН им. В.А. Сгеклова, 2001 г.).

Публикации

Основные результат диссср1ацни опубликованы в четырех статьях, список коюрых приведён в конце ав горсфера i а.

Структура и объём работы

Диссертация cocí опт из введения, двух глав и списка литературы. Первая глава cocí он г из грех параграфов, вторая - из пяти. Работа содержит 5 теорем (основные резулыагы) и 20 лемм (вспомопиельиые утверждения). Список лшера1уры содержит 50 наименований. Объём диссертации - 88 страниц.

Содержание диссертации

Во введении дано определение функции .£(£), приводится краткий обзор известных результате и резулыатов авюра по основным направлениям исследования функции •£(£)• В конце помещён список обозначений, использующихся в тексте работы.

Первая 1лава диссертации содержит фи иарафафа и посвящена доказательству следующей плотное!ной 1еоремы для нулей дзета - функции Римана.

Теорема 1. Пусп. £ - произвольное фиксированное число, 0<е<0.01, и пусть ЕI - множество значений Т из промежутка (Х,2Х), лая которых при любом О, выполняется

оценка

Ща,Т+Н0)~ N{<7,7) <; СН0(1п7)Х"°01с(2"~, где С >0 - абсолюшая постоянная. Тогда

гж(Е,) =Х - УХ1'01*).

В первом парафафе приводятся формулировки и доказательс та утверждений, носящих 1ехннческий характер (леммы 1 - 8). В их число попадают оценки количества решений в целых числах неравенств специального вида (лемма 2), оценки средних значений некоторых тригонометрических сумм (леммы 3 и 4) и лемма о приближении дзета -функции £(а + к) при фиксированном а на коробом промежутке изменения £ (лемма 7). Для утверждений, доказаIельсгва которых известны из курса математическою анализа или содержатся в работах друшх авторов, приведены лишь формулировки со ссылками на соответствующие работы (леммы 1, 5, 6 и 8).

Второй парафаф содержит доказательства трёх лемм (леммы 9 - 11), которые являются основными при доказательстве плошостной теоремы. Эти утверждения посвящены оценкам средних значений фиюнометрическнх сумм специальною вида. Такие суммы возникаю! при оценке числа нулей в нрямоушльннках кршическон полосы вида

Левхт, Т-Н<1т$<.Т + Н

и зависят о! парамсфов Т и Н. Тривиальная оценка таких сумм позволила А. Сельбер1у доказать плошосшую теорему для случая Т" <,Н <,Т, а -произвольное фиксированное число, 4<й </. Применение к таким суммам леммы Ван - дер - Корнута наряду с приёмом замены суммы более короткой позволили А.А. Карацубе доказать плшносгиую теорему уже для

Т" й/7 -£,Т, <а <1. Между тем, для «почти всех» значений Т нетривиальная оценка таких сумм может бьмь получена уже при Н = Те, где £>0 - сколь уюдно малое фиксированное число. Доказагельству этого факта посвящены леммы 9 и 10. Лемма 11 является следствием предыдущих утверждении и представляет собой оценку специального интеграла, содержащего и так называемую «успокаивающую» функцию А.

Сельбер1-а.

Третий параграф содержит доказательство плотностной теоремы, которое проводится методом А. Сельберга с использованием оценки леммы И.

Вторая глава диссертации разбита на пять параграфов и посвящена применениям теоремы 1 к задачам, связанным с функцией

В нервом параграфе собраны вспомогательные утвержлення. Леммы 12 и 13 носят технический характер и используются при выводе асимптотических формул и получении верхних оценок интегралов от четных степеней модулей тригонометрических сумм. Обычно такие ингефалы представляются в виде суммы т.н. «диагональных слагаемых» и «внеднатнальною члена». В лемме 12 дается формула для первого слагаемого, справедливая для некоторого класса подынтефалыгых сумм, а в лемме 13 — оценка виелнаг опального члена.

Леммы 15 («явная формула» А. Сельберга для £(£)), 16 (плотностная теорема Л.А. Карацубы) и 18 (неравенство Беррн - Эссена) приводятся без доказательства. Для каждого из них дана ссылка на оригинальную работу.

Важным в идейном отношении утверждением является лемма 17. С её помощью оказывается возможным сводить вычисление дробного момента данной функции к вычислению ряда её чётных моментов.

Парафаф второй содержит доказательства двух утверждений — лемм 19 и 20. Первое из них представляет собой верхнюю оценку ингефала специальною вида, содержащего введенную Л. Сельбергом функцию 07 ,.

При доказательстве именно эти оценки нсно\ьзуется основной результат первой главы - теорема 1. На основании эюй оценки оказывается возможным сделать вывод о степени приближения (в смысле Ь2т - нормы, где ГП'&О -пелое) функции 5(?) отрезком ряда Дирихле вида

л ¡'т(ь1пр)

— 2 -р=— (Р нробиаст значения простых чисел).

я р<г

Соответствующие вычисления проводятся в доказательстве леммы 20.

В следующем, третьем парафафе изучаются моменты чётных и дробных

ь

степеней функций .?(£) и (+14)04. Результатами этою парафафа являются следующие теоремы 2 и 3:

Теорема 2. Существует постоянная А , зависящая только от £, А г210, такая, что равенства

=7Ш;Н(1п1пТ)»(1 + 9(1п1пХ)-°>) , (2л)

Л2г4=х(2т)( ~-)2тН(1п1-)т(1 + в{ЫпХ)-°"),

в коюрых тп = , 19 )=1,2,

^), 300£~'(1пХ)-' ЫпХ <ЬфХ)'0>, \л 2

справедливы ,\ля всех с Н = X1 и для всех Т(Е(Х, 2Х) с

27

— + с

н=х82 .

Теорема 3. Пусть а удовлетворяет неравенствам

еЫпЬХ

А ЫпЫпХ

где А - пост оянная теоремы 2, и пусть у равно д/2, если 0 £ а , и равно +{~2—}. если а >1. Тогда равенства

ДО = Т~Ща Н(к 1п7)а/2(1 + в,2'4(А~' 1п 1п 1пХ)'у), (2л]Г

Да) = н(а( —)аН(1пу)а/2(1 + в22",(А''ЬЫпХ)'у), 2л Ь

А

2л

19^1, ]=*1,2, справедливы для всех с Н = ХС и для всех

ТЕ(Х,2Х) сН=Х»2 + \

При выводе э 1 их формул мы существенно пользуемся «явной формулой» Л. Сельберга и леммами 17 и 20.

В чсгвёрюм параграфе формулы теорем 2 и 3 применяются к нижней опенке величины - количеству перемен знака 5(г) на

промежутке . Доказываемое злссь утверждение имеет вид:

Теорема 4. Существует такая положительная постоянная В, зависящая только от £, что неравенство

М(Т+Н)-М(Т) * ЩМ)ехр(

27

- + г

выполняется для всех

и для всех

В пяюм, последнем параграфе изучаются меры множеств Е (с), у =/,2 , тех значений + Н], для которых выполняются неравенства

к

2ж ОД '

^ккТ

5 С

ЬМп

5 с.

Асимптотические формулы теоремы 3 позволяют заключить, что характеристические функции величин

7л Щ

2л$3(1 + 14 <к

иь>-

хорошо приближаются характерно нческой функцией неотрицательной

случайной величины с плотностью распределения, равной е /л[л. Зная точность такого приближения, с помощью неравенства Берри - Эссена можно сделать вывод о близости функций распределения этих величин. Результатом параграфа является

Теорема 5. Равенства

(с)) = Я(/>(с) + ОД,/=/,2,

Р(4 8 =(1пМп1пХУ°5,

выполняю юя л\я всех ТеЕ, с н=хс н для всех ТЕ(Х, 2Х) с

22

Автор выражает глубокую признательность всем участникам семинара «Аналитическая теория чисел и приложения» за участие в обсуждении основных результатов работы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Королёв М.Л. О числе перемен знака функции 5(£) на коротком промежутке // ДАН. 382(2002). № 4. С.446-447.

2. Королёв М.Л. Об аргументе дзета-функции Римана па критической прямой // Труды МИЛН им. В.А. Стеклова. 239(2002). С.215-238.

3. Королёв М.Л. Об аргументе дзета-функции Римана на критической прямой // Изв. РАН. Сер. матем. 67(2003). № 2. С.21-60.

4. Королёв М.Л. О поведении функции на коротких промежутках // ДЛИ. 390(2003). № 5. С.588-589.

$ 16 314

Обозначения 14

Глава I. Плотностная теорема для нулей дзета-функции

Римана 16

§1 Вспомогательные утверждения.16

§2 Основные леммы.,. . .25

§3 Доказательство плотностной теоремы. 40

1. Ki Карацуба А.А. О функции S(t) // Изв. РАН. Сер. матем. 60(1996). № 5. С.27-56.

2. К2 Карацуба А.А. Плотиостная теорема и поведение аргумента дзета функции Римана // Мат. заметки. 60(1996). № 3. С.448-449.

3. К3 Карацуба А.А. Распределение нулей функции С(1/2+г£) // Изв. АН СССР. Сер. матем. 48(1984). № 6. С.1214-1222.

4. Кац Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. М.: "ИЛ", 1963.

5. Kopj Королёв М.А. О числе перемен знака функции S(t) на коротком промежутке // ДАН. 382(2002). № 4. С.446-447.

6. Кор2 Королёв М.А. Об аргументе дзета-функции Римана на критической прямой // Труды МИАН им.В.А. Стеклова. 239(2002). С.215-238.

7. Корз Королёв М.А. Об аргументе дзета-функции Римана на критической прямой // Изв. РАН. Сер. матем. 67(2003). № 2. С.21-60.

8. Кор4 Королёв М.А. О поведении функции S(t) на коротких промежутках // ДАН. 390(2003). № 5. С.588-589.

9. П1 Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: "Наука", 1971.

10. П2 Постников А.Г. Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофаитовых приближений // Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. 82(1966).

11. Ber Berry А.С. The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variables // Trans. Amer. Math. Soc. 49(1941). P.122-136.

12. BL Bohr H., Landau E. Beitrage zur Theorie der Riemannschen Zeta-funktion // Math. Ann. 74(1913). P.3-30.

13. Es Esseen C.G. Fourier analysis of distribution functions.A mathematical study of the Laplace Gaussian law // Acta Math. 77(1945). № 1-2. P.1-125.

14. Fi Fujii A. On the zeros of Dirichlet L-function.I. // Trans, of Amer. Math. Soc. 196(1974). P.225-235.

15. F2 Fujii A. On the distribution of the zeros of the Riemann zeta-function in short intervals // Bull. Amer. Math. Soc. 81(1975). P. 139-142.

16. F3 Fujii A. Gram's law for the zeta zeros and the eigenvalues of gaussian unitary ensembles // Proc. Japan Acad. Ser.A. 63(1987). № 9. P.392-395.

17. F4 Fujii A. On the distribution of the zeros of the Riemann zeta-function in short intervals // Proc. Japan Acad. Ser.A. 66(1990). № 3. P.75-79.

18. F5 Fujii A. On the gaps between the consecutive zeros of the Riemann zeta function // Proc. Japan Acad. Ser.A. 66(1990). № 4. P.97-100.

19. Ghi Ghosh A. On Riemann's zeta-function sign changes of S(T) // Recent Progress in Analytic Number Theory. Vol.1. 1981. Academic Press. New York. P.29-46.

20. Gh2 Ghosh A. On the Riemann zeta-function mean value theorems and the disribution of \S(T)\ // J. Number Theory 17(1983). P.93-102.

21. Go Goldston D.A. On the function S(T) in the theory of the Riemann zeta-function // J. Number Theory 27(1987). P.149-177.

22. Gr Groenewald L. On the means of the argument of the Riemann zeta-function on the critical line // Acta Math. Hung. 58(1991). № 1-2. P.25-29.

23. HLi Hardy G.H., Littlewood J.E. The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line // Math. Zeitschr. 10(1921). P.283-317.

24. HL2 Hardy G.H., Littlewood J.E. The approximate functional equation in the theory of the zeta function with applications to the divisorproblem of Dirichlet and Piltz 11 Proc. London Math. Soc. 21(1922). P.39-74.

25. Iv IviC A. On certain sums over ordinates of zeta-zeros // Bull. Acad. Serbe 122(2001). № 26. P.39-52.

26. Lan Landau E. Vorlesungen iiber Zachlentheorie. Leipzig. 1927.

27. Liti Littlewood J.E. On the zeros of the Riemann zeta-function // Proc. Camb. Phil. Soc. 22(1924). P.295-318.

28. Lit2 Littlewood J.E. On the Riemann zeta-function // Proc. Lond. Math. Soc. 24(1925). № 2. P.175-201.

29. Mi Montgomery H.L. Mean and large values of Dirichlet polynomials // Invent. Math. 8(1969). P.334-345.

30. M2 Montgomery H.L. Extreme values of the Riemann zeta function // Comment. Math. Helvetici. 52(1977). № 4. P.511-518.

31. Мз Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел. М.: "Мир", 1974.

32. Mosi Мозер Я. О функции S(t) в теории дзета функции Римана // Acta Arith. 30(1976). № 2. Р.145-158.

33. Mos2 Mozer Y. The Riemann hypothesis and asymmetry in the behaviour of positive and negative values of the function Si(t) // Acta Math. Univ. Comenian. 48/49 (1986). P. 63-80.

34. Mu Mueller J.H. On the Riemann zeta-function ((s) gaps between sign changes of S(t) // Mathematika. 29(1983). № 58. P.264-269.

35. О Odlyzko A.M. The 102o-th zero of the Riemann zeta function and 70 million of its neighbors. AT&T Bell Laboratories. Murray Hill. New Jersey.

36. RSi Ramachandra K., Sankaranarayanan A. On some theorems of Littlewood and Selberg, I // J. Number Theory. 44(1991). № 3. P.281-291.

37. RS2 Ramachandra К., Sankaranarayanan A. Note on a paper by H.L. Montgomery I // Publ. Inst. Math. (Beograd). 50(1991). № 64. P.51-59.

38. RS3 Ramachandra K., Sankaranarayanan A. Note on a paper by H.L. Montgomery II // Acta Arith. 58(1991). № 4. P.299-308.

39. RS4 Ramachandra K., Sankaranarayanan A. Omega theorems for the Hurwitz zeta function // Arch. Math. 53(1989). P.469-481.

40. Si Selberg A. On the remainder in the formula for N(T), the number of zeros of £(s) in the strip 0 < t < T // Avhandlinger Norske Vid. Akad. Mat. Nat. (1944). № 1.

41. S2 Selberg A. Contributions to the theory of the Riemann zeta-function // Arch. Math. Naturvid. 48(1946). № 5. P.89-155.

42. S3 Selberg A. The zeta-function and the Riemann hypothesis // Skand. Math. Kongr. 10(1949). S.187-200.

43. S4 Selberg A. Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series // Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), Univ. di Salerno, Salerno, 1992. P.365-387.

44. Ti Titchmarsh E.C. On the remainder in the formula for N(T), the number of zeros of £(s) in the strip 0 < t <T // Proc. London Math. Soc. Sec.Ser. 27(1928). Part 6. P.449-458.

45. T2 Titchmarsh E.C. The zeros of the Riemann zeta-function // Proc. Royal Soc. (A). 151(1935). P.234-255.

46. T3 Титчмарш E.K. Теория дзета-функции Римана. Изд. 1-е. М.: "ИЛ", 1953.

47. Т4 Titchmarsh E.C. The theory of the Riemann Zeta-function. Second ed., revised by D.R. Heath-Brown. Oxford Science Publications. Clarendon Press. Oxford, 1986.

48. Tsi Tsang K.-M. Some fi-theorems for the Riemann zeta-function // Acta Arith. 46(1986). № 4. P.369-395.

49. Ts2 Tsang K.-M. An improved 0+ theorem for S^t) // Quart. J. Math. Oxford. Sec.Ser. 42(1991). № 168. P.501-513.

50. TS3 Tsang K.-M. The large values of the Riemann zeta-function // Mathematika. 40(1993). № 2. P.203-214.