Предельные свойства автомодельных решений нелинейного уравнения теплопроводности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ИМЕНИ М.В.КЕЛДЫША АНАДВШ НАУК СССР

На правах рукописи

ТЕЛЬКОВСКАЯ Ольга Всеволодовна

ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

Специальность 01.01.02 -дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва 1990

Работа выполнена в ордена Ленина Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша АН СССР.

Научный руководитель: член-корреспондент АН СССР

С.П.Курдюмов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Жидков Е.П.

на заседении специализированного ( ри ордена

Ленина Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша АН СССР по адресу: 125047, Москва, Миусская пл. д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР.

доктор физико-математических наук Ибрагимов Н.Х.

Ведущая организация: Вычислительный центр АН СССР

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук

Е.И.Леванов

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность_темьь Изучение нелинейных моделей является важной задачей современной математической физики. Упрощенные модели, хорошо описывающие характерные свойства нелинейных процессов, часто оказываются полезным для решения широкого класса проблем. В последние десятилетия в результате соединения различных методов были открыты многие новые явления: солитоны, странные атракторы, эффект Т-слоя и ряд других.

Особый интерес представляют локализованные диссипативные структуры. Если размер области достаточно велик, то влияние граничных условий становится несущественным, и можно рассматривать структуры как проявления внутренних свойств данной среды. Однако в настоящее время известно сравнительно мало моделей, описывающих локализацию.

В ряде случаев, таких как, развитие неустойчивостей в плазме, атмосферные процессы с отрицательной вязкостью, развитие биологического вида в новой экологической нише и так далее, интерес представляют наиболее быстрые процессы, происходящие в системе. Их идеализацией является режим с обострением, когда за конечное время 1;0 какая-либо величина, например, температура, неограниченно растет. Рост в режиме с обострением может сопровождаться локализацией и возникновением диссипативных структур.

Как оказалось, свойства нестационарных диссипативных структур можно изучать на сравнительно простой модели. Это квазилинейные уравнения теплопроводности со степенным источником. Их исследование в течение ряда лет производилось в ИП?/ им.М.В.Келдыша под руководством академика А.А.Самарского и члена-корреспондента С.П.Курдюмова. Для них в вычислительном эксперименте удалось выявить эффекты локализации, обострения и возйикновения стр5'ктур, то есть самоорганизации - упорядоченного усложнения среды. На развитой стадии процесс описывается поведением автомодельного решения, которое сохраняет основные особенности задачи. Построение автомодельного решения приводит к необходимости изучения краевой

задачи ОДУ.

Для уравнения такого типа было получено много интересных аналитических и численных результатов, однако, ряд вопросов нуждался в исследовании, например, вопрос определения всех возможных типов собственных функций и классификация семейств решений. Система уравнений этого типа также представляет как объект изучения большой интерес. Исследование этих задач и является предметом диссертации.

Цель_работы: изучение нелинейных краевых задач ОДУ, возникающих при построении автомодельных решений нелинейных параболических уравнений в ЬБ-режиме с обострением.

Методы_иссле,дования: В работе используются ■ методы качественной теории ОДУ, метода вычислительного эксперимента, методы классической механики.

Научная_новизна. в работе с помощью последовательного использования динамической аналогии удалось доказать для автомодельной задачи при любой области существования решения конечность числа минимумов, выделить параметр р, определяющий характер возможных собственных функций (с.ф.), и указать в каком интервале его значений какой тип с.ф. может существовать. Это позволило предсказать теоретически и построить неизвестный ранее тип с.ф. с перетяжкой и определить, когда могут существовать с.ф. с нулевым значением в окрестности О. Разработан и реализован новый алгоритм построения с.ф. произвольного типа.

На основе линейного анализа была получена качественная оценка числа собственных функций для системы двух уравнений. Для численного построения с.ф. был использован итерационный алгоритм и проведен сравнительный анализ, используемых при построении начальных приближений модификаций методов сшивания. Разработанный метод построения начальных приближений при непрерывном изменении параметров позволил построить с.ф. с разным числом максимумов по компонентам вектора решения. Реализованный автором пакет программ для решения систем таких уравнений в частных производных, включающий обобщение автомодельной обработки, позволил провести анализ устойчивости решений такой системы уравнений к возмущениям.

Практическая_ценность. Результаты работы расширяют данные о мире нелинейных структур и могут быть использованы при изучении сверхбыстрых процессов в различных областях знания, как то в физике плазмы, химии и биологии. Метода, использованные и разработанные автором, могут Сыть применены, при дальнейшем изучении теории диссипативных структур.

Апробация_работы^ Результаты работы докладывались на семинарах в ИПМ АН СССР им.М.В.Келдыша, в ИАЭ им.И.В.Курчатова, в ОИЯИ г.Дубна.

Публикации. По основным результатам работы опубликовано 5 статей.

Объем^работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 104 страницах машинописного текста, содержит 3 рисунка, а также список литературы из 52 наименований.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во__введении проводится обзор результатов, полученных

различными авторами. Наиболее важными предпосылками данной диссертации являются следующие работы:

1. Открытие явления инерции тепла, введение понятий об S-, HS- и LS-рекимах, а также понятия собственной функции (Самарский A.A., Еленин Г.Г., Курдюмов С.П. Докл.АН СССР,1977,237,N 6,с.1330).

2. Эмпирическая оценка числа собственных функций через число максимумов линеаризованного приближения. (Еленин Г.Г., Курдюмов С.П. Препринт ИПМ АН СССР.1977, N 106).

3. Введение для одного уравнения понятия фундаментального решения. (Курдюмов С.П., Куркина Е.С., Малинецкий Г.Г. Препринт ИПМ АН СССР,1979, N 16).

4. Работы по аналитическому исследованию автомодельных решений для одного уравнения. Получение асимптотики на бесконечности и в окрестности нуля. Доказательство оценки числа собственных функций для плоского случая. (Адъютов М.М. Диф.уравнения, 1986, 22, N 11).

5. Численное исследование системы двух уравнений, получение для нее условий существования автомодельности. (Куркина Е.С., Малинецкий Г.Г. Препринт ИПМ АН СССР, 1981, N 1).

6. Построение решений методом конечных разностей с начальным приближением, построенным методом сшивания. (Самарский A.A. и др. ЗКВМ и МФ, 1986 , 26, N 8, с. 1189). Численное получение собственных функций с "левым фронтом". (Димова С.Н., Касчиев М.С., Курдюмов С.П. Препринт ОИШ 311-88-831 Дубна, 1988).

Первая_глава посвящена изучению автомодельных решений уравнения

Л? t =xr~v (rvT°Tr) r+ qr0^ ß, (1)

С краевыми условиями: rvT°T -»0 ; Т->0 ; rvTGT ->0,

1*-*0 г-к»

параметры которого отвечают наличию либо гомотермического, либо фундаментального решения. В обоих этих случаях простые преобразования позволяют привести уравнение к форме:

у"=(азу~ 0+1 - Е)у'- (о+1}(у5+Т - у0+1) (2)

В случае существования гомотермического решения естественным краевым условием является:

spy'-«0 при s-0.

В случае существования фундаментального решения:

y(s)-1 при s-0.

Основным инструментом исследования является динамическая аналогия. Она состоит в том, что (2) можно переписать в форме:

У=С(в.у)У- Щ (3)

Любую конкретную траекторию можно представить как движение в

потенциале U под действием внешней силы g(s)=G(s,y)y'. Вводится

t 2

понятие энергии: Е(з)=^у ' /2 + U(y). cLE=G(s,y)у'dy , таким образом, при G>0 энергия возрастает, а при G<0 убывает.

Утверждения доказываются для весьма общего случая, от функции G и U требуется выполнение лишь следующих свойств:

1.Единственным минимумом дважды непрерывно дифференциируемой на (О,оо) функции U(y) является точка у=1. На отрезке [0,1) U монотонно убывает, на (1 ,-<*>) - неограниченно возрастает. Кроме точки у=1.экстремум есть лишь при у=0.

2.С-гладкая функция. Для произвольного В>0 найдется sB такое, что при любых s>sB и уе(О,В] G(s,y)>0 и 5G/as(s,y)>0. Кроме того, для любых Ъ>0 существует А>0 такое, что при yetb.Bl ^/^(s.yJ^A.

3.При любом s G(s,y) строго убывает от бесконечности с ростом у. Если G(s,y) имеет отрицательные значения, то при фиксированном у G(s,y) строго возрастает с ростом з. Существуют константы В1 >0, В2>0, а>0 такие, что при у>В1 |aU/gyl^у".

В перых двух теоремах изучается поведение решений при росте з, то есть допускаются любые начальные условия, и не обязательно в точке з=0.

Первая теорема утверждает, что при выполнении свойств 1, 2 любое решение уравнения (3), отличное от константы и определенное на бесконечном отрезке, при достаточно больших s либо монотонно стремится к 0, либо монотонно неограниченно возрастает.

Вторая теорема предполагает выполнение также свойства 3 и рассматривает решение (3), существующее на tr.R), где R может быть конечным или бесконечным. Утверждается, что при s->R у(з) монотонно стремится к 0.

Общий характер движения есть колебания в потенциальной яме под действием переменной силы. Если G(s,y)>0 всюду, то для любой траектории энергия Е строго возрастает и амплитуда колебаний возрастает, что и было известно ранее для случая р=0. Вероятно, лишь небольшая модификация теорем, доказанных Адъютовым, позволит распространить оценку числа собственных функций через число минимумов линеаризованного приближения и на этот случай, так как идея его доказательство основана на том, что амплитуда минимумов нарастает с ростом s.

Далее доказано, что если для любых з и у справедливо G>0, то не может существовать собственной функции с "левым фронтом".

Вторая_глава посвящена изучению решений уравнения (2) в окрестности з=0, где правая часть уравнения имеет особенность. Для изучения (2) переписывается в эквивалентную форму:

8

те(з)=№(г)+(ЧА(у)1ш+В(у)11р}сШ.

г (4)

я

- У(в)=у(г)+| 1ГРИ(Ш

где я=зру' в случае существования гомотермии имеет естественный смысл потока тепла,

А(у)=ау~°/(0+1 >; В(у)=-аи/ау=(о+1)(у1/(0+1 >-уР/<0+1 >).

Показано: в малой окрестности 0 функция у(б) монотонна.

Для формулировки результата введем следующие обозначения: =11т к» и у =11т у. и , у могут быть равны оо.

Б-'О з-*о

В главе показано, что решения можно классифицировать в зависимости от значения р. Существуют три, различных по характеру решений, диапазона: р^-1; -1<р<1; р>1.

Случай р<-1.

Из уо?0 следует расходимость те. (Это было доказано ранее в более узком предположении) При у0=1 существует конечный предел Верно и обратное, для любого конечного и0 существует единственное решение системы (4), такое, что у стремится к 1, а к» стремится к у?0 при б, стремящемся к 0.

Случай -1<р<1.

Любое решение имеет конечные пределы у0, VI0 при б стремящемся к 0. И наоборот, для любого конечного у>0 и 0<уо<» существует единственное решение системы (4) у(з), «(б) такое, что у стремится к у0, а ?» стремится к ч»0 при э, стремящемся к 0.

Случай р>1.

Для любого уо>0 существует единственное решение (4) с у стремящимся к у0 и »? стремящимя к 0 при б стремщимся к 0. Не

существует ограниченного решения с Если р<(р+а+1)/(р-о-1),

то при wo=0 любое решение ограничено и имеет конечный предел Уо>0.

Существование единственного решения с и фиксированным у0 в случае р>0 доказано также для систем уравнений.

Решения непрерывно зависят от начальных значений у0 и №0< Для решений с левым фронтом доказана непрерывеая зависимость решения от значения точки фронта. Непрерывная зависимость использована для обоснования критерия существования собственной функции при численном эксперименте. Критерий состоит в следующем.

Пусть имеется семейство решений, непрерывно зависящих от некоторого параметра Ь, ЪеСЬ ,Ъ.,]. Если при Ьо и при Ь1 решение достигает значения у=0 на конечном интервале, но число минимумов для Ъ=Ь0 и различно, то на [Ь ,Ь1 ] существует по крайней мере одна точка, которой соответствует собственная функция. При численном эксперименте достаточно решить задачу Коши для некоторого набора начальных значений.

В главе описана простая программа основанная на этом критерии. Она позволяет строить все типы с.ф. и работает в диалоговом режиме с использованием графических программ.

В_тр§тьей_главе рассматриваются системы уравнений:

V + о/1 У" (5)

3-1 (1,д=1,Ю

Важную информацию о поведении решений таких систем можно

получить, изучая их автомодельные решения:

Получены условия существования автомодельного решения, обобщающие формулы для двух уравнений при г>=к =кг=а1=а2=0

Важную роль играет специальный класс систем уравнений. Он существует при а^к^к не зависит от номера уравнения, а г11 играет роль плотности. Условия существования автомодельного решения в этом случае имеет вид:

{ о.= сопз1; д'=1.....К

Показано, что при невырожденности матрицы

существует единственное автомодельное решение Т^(1;,:г)=Г^0(1-1;/г) не зависящее от г, оно называется гомотермическим.

Граничные условия в центре выглядят следующим образом:

г*>т/аг - о гч> Для автомодельных решений функции Г удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

-1 V ' Рхт

{т 1 (п^ - = ге1С ( Г^ф + О П г..13 (6)

О

с краевым условием в начале координат вида:

= о ,

По аналогии с проводимшимися ранее работами изучаются линеаризованные приближения решения около гомотермии, то есть где - гомотермическое решение. Считая ^

малыми, получим:

Гк(и^Г1и' )=А(£и'-Си) (7)

где А диагональная матрица с компонентами пГ1о , а в

матрица с компонентами g. -=п~1ш • (б. .-Ь. .). Пусть и=и(0).

Показано, что для любого ио система имеет решение с ¡¡^и' (0)=0 представляемое в виде ряда:

® (1) , и=2 и г , 1=0

где z=ik+г, а {и^Ь определяются рекуррентным соотношением:

и(о)=ио> и(1+1'(к+2)(1+1)((к+2)(1+1Н+У^АПк+гДЕ-'Ои1 (8) Подстановка переводит систему (7) в форму, соответствующую условиям теоремы 5 главы 2, которая показывает единственность решения с такими начальными условиями.

Замена в системе (7) I на г дает систему:

ги' +р1и' =А1 (и' г-С^) (9)

где р1 = (к+2)~1(к+у+1); А1=А/(к+2);

В случае N=1 (9) является обычной формой уравнения для вырожденной гипергеометрической функции.

Доказаны факты о решениях в виде многочлена:

- для того, чтобы (8) являлось многочленом степени Ь, необходимо, чтобы (к+2)Ь было бы собственным числом матрицы й,

- если Ь положительное целое, для которого выполнено предыдущее условие, то существует решение (9) в виде многочлена степени Ь;

- максимальное собственное число матрицы й есть 1/п, таким образом, не может быть решения в виде многочлена степени более (п(к+2)Г1.

Далее рассматриваются системы двух уравнений. Для них степень влияния и.,, друг на друга можно охарактеризовать знаком определителя ¿^(Ь^-б^), совпадающий со знаком йег(0. При знаке "+" система называется со слабой обратной связью, при знаке "-" система с сильной обратной связью. Очевидно, что при сильной обратной связи единственным положительным собственным числом является 1/п .

Доказана следующая теорема:

Пусть М наименьшее натуральное число такое, что (к+2)М>1/п. Тогда каждая компонента решения и^) имеет на (0,со) не более М+1 корней, причем на одной из компонент корней не более, чем М.

Следующая теорема показывает, что оценка не может быть улучшена. Она утверждает, что:

Для любых фиксированных Ь^, о^, т>, к можно выбрать такие ае1 и начальные условия и0, что на одной компоненте будет М+1 кореней, а на другой ровно М корней.

Далее описаны методики и результаты численных исследований систем двух уравнений. Методом конечных разностей решалась краевая задача, начальное приближение можно построить методом сшивания. Проводилось сравнение различных модификаций этого метода для систем уравнений. Однако с помощью него не удалось получить начальное приближение с различным числом максимумов по разным компонентам решения. Для построения решений такого типа был предложен другой метод получения начального приближения - метод однопараметрических семейств решений.

Суть метода состоит в следующем. Пусть параметры системы о^ р.., х есть функции некоторого параметра А. Рассматриваются

семейства собственных функций отвечающих параметрам при

данном X. Для численного построения непрерывного семейства функций отрезок изменения А. разбивается на интервалы точками Л.о Д1,.. .Л^. Для А.0 рассчитывается некоторая собственная функция. Она берется как начальное приближение при расчете собственной функции при и так далее.

При использовании этого метода удалось построить собственные функции с различным числом максимумов, взяв в качестве начальной X такое, при котором уравнения не связаны. Вплоть до некоторого такой вид собственных функций сохраняется, а затем происходит структурная перестройка, и число максимумов по каздой компоненте становится одинаковым.

В заключение описан пакет решения систем уравнений этого вида в частных производных и приведены результаты расчета таких систем. С помощью обобщения автомодельной обработки проведен численный анализ устойчивости этих систем к различным возмущениям, время жизни структур в зависимости от вида возмущения и характер их вырождения.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

1. Для нелинейных ОДУ, полученных как автомодельные нелинейные уравнения теплопроводности введена динамическая аналогия. Изучалось уравнение вид у"=С(з,у)у'- дУ .

Показано, что при заданных ограничениях на вид Сии, если решение определено на [г,И] (И - может быть как конечным, так и бесконечным) и это решение не может быть продолжено в область з>И, то число точек экстремума конечно, и у(Б)-»0 при б^И-О.

2. Путем сведения автомодельного уравнения

у'= (азу^"- |)У -(о+1) к эквивалентной системе интегральных уравнений относительно функций у(з) и и(з)=зру' исследованы поведения решений в окрестности нуля.

При получено, что из стремления у к 1 следует стремление

w к ограниченному пределу wQ, а из ограниченности я следует стремление у к 1, причем решение определено для любого wQ.

При получено, что из стремления w к О следует стремление у к ограниченному пределу уо, а из ограниченности у следует стремление w к 0, причем решение определено для любого уо-

При |р|<1 любое решение у вместе с потоком w стремится конечномым пределам.

Для любого р зависимость решения от yQ и wQ непрерывна.

3. Получен новый тип собственных функций, возможных только в области р>0. Доказано, что с.ф. с нулевой областью в окрестности

0. полученные ранее численно, могут существовать также только при р>0. Получено ограничение на те значения s, с которых может начинаться с.ф.

4. Исследовалась система N автомодельных уравнений теплопроводности того же вида. На основе анализа линеаризованного приближения получена оценка числа возможных немонотонных решений системы двух уравнений. Она не превосходит M=1+1/(k+2)n по одной из компанент и (М-1) по другой.

5. Исследовались метода построения начальных приближений для решения систем автомодельных уравнений, предложен новый метод построения начальных приближений. С его помощью построены решения систем двух уравнений с разным числом максимумов по компанентам. Обобщением автомодельной обработки численно исследовалась устойчивость немонотонных решений систем уравнений в частных производных.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Тельковская О.В. Предельные свойства автомодельных решений квазилинейного уравнения теплопроводности со степенным источником.- Препринт ИАЭ N 5037/1,1990,38о. /

2. Тельковская О.В. О некоторых новых типах автомодельных решений уравнений теплопроводности в LS-режиме с обострением.- Препринт ИАЭ N 5021/1,1990,15о.

3. Тельковская O.B. Структура линеаризованного приближения собственных функций LS- режима двухкомпонентной среды.- Препринт ИАЭ N 4814/1,1989,21с.

4. Курдюмов С.П., Куркина Е.С., Тельковская О.В. Исследование собственных функций автомодельной задачи для двухкомпонентной среды.- Препринт ИПМ N 189, 1986, 28 с.

5. Курдюмов С.П., Куркина Е.С., Тельковская О.В. Режимы с обострением в двухкомпанентных средах. - Математическое моделирование, 1989.1.N 1, с.35-50.