Предельные теоремы для оценок параметра обобщенного распределения Вейбулла тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НЙЗК РЕСПУБЛИКИ 93БЕКИСТАН ас^ггг

5 1 ОПТ 1о53

РР2 Инотфпгт математики имени в.И.Романовского

За правах рукописи,

ЙДИРОВ ТОЛЛНБОИ ХАСАНОВНЧ

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРА ОБОБЩЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ВЕИБНЛЛА

01. 01. 05 - Теория вероятностей а

математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискании ученой степени кандидата Физико-математических наук

Ташкент - 1993

Работа выполнена в Институте катенатики инени В. И. Ронановского АН Республики Узбекистан.

Научные руководители - доктор Физико-натенатических наук

профессор 1-1. V. Гафуров - кандидат Физико-натенаткческих наук И. М. Хамдамов

Официальные оппонента - доктор Физико-натенатических наук,

профессор Ш. К. Форманов •

- кандидат Физико-натенатических наук /1. в. Кием

-Ведущая организация - Институт математики АН Украины.

Зашита диссертации состоится __1993 г.

в ' часов на заседании специализированного совета Д 015.17. 21 в Институте математики инени В. И. Ронановского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Ташкент-143. ул. Ф. Ходхаева, 29.

с диссертацией нохно ознакомиться в библиотеке Института натенатики имени в. и. Ронановского АН Республики Узбекистан.

-Автореферат разослан "JrL_" £ií!¿L¿Í-L£___ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор Физ. -нат. наук

Ш- А. X гзхпимо ез

ОБЦАЯ ХАРЖГЕМСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широко известно, что в традиционных: задачах оценивания неизвестных параметров распределений оценка строится по всей выборке. Однако, на практике встречаются ситуации, когда значения тех или иных членов вариационного ряда остаются неизвестными. Поэтому представляет интерес построение оценок не по всем членам вариационного ряда, а лишь по некоторой, его совокупности. В связи с этим построение и изучение оценки с помощью экстремальных порядковых статистик является актуальным вопросам теории оценивания параметров распределений.

Целью данной диссертационной работы является построение и изучение оценки для параметра обобщенного распределения Вейбулла, нахождение асимптотика для фашеровской информации, содержащейся в некоторых наборах.порядковых статистик.

Метод исследования опирается на применения прямых вероятностных рассуждений и методов теории оценивания параметров. При построении и исследовании оценок используются отдельные приемы Хайслера, Тейгельса, Хилла, Чёр-гё и др.,При нахождении асимптотики для фишеровской информации применяется техника доказательства, развитая в работах А.В.Нагаева.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

- введен класс обобщенных распределении Вейбулла и построена оценка для параметра оС .

- построена ядерная оценка для параметра обобщенного распре-

деления Вейбулла.

- найдена асимптотика для фишеровокой информации, содержащейся в некоторых наборах порядковых статистик.

Практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут быть использованы при исследовании других задач теории вероятностей, её приложениях, когда роль экстремальных членов становится существенной и т.д.

Апробацияработы. Ооновные результаты исследований были доложены, и апробированы: на 1У Всесоюзной научно-технической конференции "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции" (Тарту, сентябрь, 1989), на ежегодных конференциях молодых ученых и специалистов, посвященных памяти В.И.Романовского при Институте математики имени В.И.Романовского АН Республики; Узбекистан (1988-1991 гг.), на Всесоюзной конференций по предельным теоремам теории вероятностей, посвященной 70-летию академика АН УзССР С.Х.Сиракданова (Ташкент, 22-24 мая,1990), на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистики прч ТашГУ, на семинаре'отделов теории вероятностей и математической статистики Института математики имени А.К.Рооновского АН Республики Узбекистан.

П у бликации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, описка цитируемой литературы. На 103 страницах машинописного текста изложено основное4 содержание диссертации. Библиография содержит 39 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введения дается краткий обзор известных результатов по теме диссертации, во взаимосвязи с направлением исследования настоящей диссертации.

Кратко сформулированы цель работы, метод исследования, результаты, которые выносятся на защиту.

Цуатъ Х^ } Х^независимые неотрицательные и одинаково распределенные случайные величины (с.в.) с функцией распределения (й.р.) Р(ХУ , , Х^, ..., Х^ - соответствующие порядковые статистики, расположенные в порядке убывания, т.е. Х(£\

Введем следующие классы ф.р. Г(Х) ,заданных на £<7, со) :

= [Г(Х) : I- х^Цх), хж0уо\} Р/ =. { Г(Х) : 1 - Гт = , уо],

где О <- сС*- , Ь(Я-) >О - медленно меняющаяся цри функция (м.м.ф.) в смысле Карамата.

Заметим, что классы Н^ и не пересекаются и они

достаточно подробно изучены с точки зрения теории больших уклонений, когда Р(ЭС)£ Ц^ и и параметр о1 известен.

В дальнейшем будем считать, что параметр о1 , входящий в определения этих классов, неизвестен, т.е. распределения параметризованы.

В настоящей работе нас интересует вопрос об оценивании параметра с/ , считая к.гл.ф. из классов Н^ и $^ "ыещающим параметром". При этом нашей целью является построе-

нив оценок, распределений которых асимптотически не зависит от L(OC) .

Следует замет. л>, что'распределение оценки параметра с/ из класса изучена достаточно полно. Первые результаты в этом направлении были получены В.Хиллом (Hill в.м. A simple approach, to inference about the'tail of a distribution. Ann. Statist., 1975, v. 3. № 5, p. 1163-1174) ДЛЯ частного случая, когда в условиях класса выполняется равенство

= const, .В этол же работе им была предложена следующая оценка для параметра oL

где i 4 ¡С * Н- , П-> i , ft £ d.

Дальнейшие обобщения и усиления результатов В.Хилла содер--катся в работах Л.Д.Хаана и С.И.Резника (De Saan L, and Res-nick .S, I. A simple asymptotic estimate for the 3 idex of a stable distribution., 1980, J.Roy, Statist. Soc. Ser, B. 42. 83-87), Е.Хаислера И И.Л.Тейгельса (Haeusler E., Teugels J.l. On asymptotic normality of Hill's estimator for the exponent of regular variation, Ann. Statist., 1985, v. 13, № 2, p. 743-756) и др. В этих работах доказана, что статистика 14 „ является состоятельной и асимптотически нормальной

К , ft.

оценкой oi в классе Н^ для любой m.m.J. L(CC) .

Что касается оценивания параметра в условиях класса R^ ,'■ то эта проблема рассматривается впервые в настоящей диссертации. Основной целью работы, которая в идейном отношении близка к вышеприведенным, является построение оценок для параметра oi в условиях класса и изучение их асимптотических

свойств.

В первой главе дал оценки параметра с£ в классе R^ который назовем классом обобщенных распределений Вейбулла, предложена оледущая статистика:

Будем считать,что Р(Х) строго возрастающая, непрерывно дифференцируемая, а м.м.ф. допускает представление

L(X) = с еар

L Л

(I)

где С- и а - некоторые положительные постоянные, &({.)-*-О цри "Ь со . ■ Приведем некоторые результаты первой главы Теорема 1.1. Для любого фиксированного У

фИ п. ->-<х>

г

1С,И. ¿~1!С,К. '

Здесь Гд j - с.в., имеющая гамма-распределение с плотностью

Г(0С)~ J

9" я-i -ex Л Л

х е , e>ot ос>о,

Г(А)

О

где .

Г(Л)- j Х*'{£-% dx.

о

Знак ==£> означает сходимость по распределению.

Представляет интерес случай, когда /С вместе с П. стремится к бесконечности.'В связи с этим имеет место следующая, и она является основной в гл. I,

Теорема 1.2. Пусть ё(сс) из (I) монотонно стремится к О при ОС— оо . Еслипоследовательность Н1-К(п.')

такова, что 1С-*~ао , /с = о(п.) и для некоторого с?&(0,{)

~ ) — 0 при П

ОО

>

то

с/

еГ 1С ) Мо .

Вторая глава диссертации посвящена построению и исследованию так называемой, ядерной оценки для параметра о1 из класса

Ц,

где 1~(ЭС) - м.м.ф. в сшсле Карамата, 1.(4) = 4 , с1 -

положительный, параметр.

Введем следующий класс невозрастающих функцзм:

оо

Ж(и) = [¡с(и): о<и<<*>, К(и)>0, \\cmciu ri).

• о

Обозначим через 62^ (Б) , , эмпирическую квантильную

функцию, т.е.

, цри —П.

отсюда

в*«-» -

1С-1 . . . ¡с , при — й 5 С >

Длл оценивания параметра о1 предлагается слв,пующая ста-

тистика:

У*

I'/Л

(2)

где Л=Лп>0.

Нетрудно убелиться,что если функция непрерыв-

на справа, то (2) принимает следующий вид:

1.-1 Л.ц

ш

м

Л I о

~ /С(Юс1и-, (3)

Если же

где положено Хц ~

4 , если ' 0<ий О , если и.у I

и Л - , из (3) получаем

/V

<4. =•

4 ^т^-Ч^")

Ух

п.

■1

О '

Эта оценка отличается от </, „ лишь множителем

»с, Л,

'_1_

¿Д ' '

„. йг

который стремится к { при П.-*-со. -в при любом к=о(к).

Положим %

1 г(*+.&/

\ Л

в 1+ Ч тхг .

где ¿Ш—О при Ь -*-оо . Нетрудно заметить, что при X -*■ О .

Относительно функции

и X ~ Я введем следующие дополнительные условия:

(У I) £-(и) - непрерывная справа функции на Со,<х?) ;

f Л

(У 2) ^ и г К(и)с1и < 00

о

от

(у 3) 5 >С2(и-)с1и <

<х> ;

о •

(У 4) последовательность чисел Л = такова, что А-+0 , ПЛ ОО при п-г-оо . Основным результатом главы П является Теорема 2.1. Цусть !С(и)е; ОС . Кроме того, если выполнены условия (У I) - (У 4), то при /г -»«>

ш

о/

1

г

\ 1с\и)с1и1 Ык-Ы+Гп)) ^Я(ОА).

Следствие. Пусть К.(и)еУС и выполнены, условия (У I) - (7 4). Тогда для существования неслучайной последовательности чисел Ск такой, что

=> А/(о,1)

необходимо и достаточно, чтобы (¿>т. ^пл У - 0 .

П.—-00

Таким образом, в подученных результатах в определенной мере была выяснена роль экстремальных порядковых статистик при : остроении и асимптотическом анализе распределений оценок параметра с1 из классов и .

Возникает вопрос об информация*, содержащихся в экстремальных наблюдениях и их влиянии на поведении оценок параметра ьС .От метим, что этот вопрос в диссертации в определенной мере Изучен на примере показательного распределения, входящего в класс .

Третья глава диссертации как раз посвящена нахождению асимптотики" для фишеровской информации, содержащейся в некоторых порядковых статистиках.

Такие задачи в более общей п^отановке были предметом исследования Э.Кудлаева (Кудлаев ЭЛ. Об оценивании параметров распределения по отрезкам вариационного ряда. Теория вероятностей и её применение. 1373, том ШЗ, вып. 3). 3 работе

Э.Кудааева изучались асимптотические свойства оценок максимального правдоподобия, считая известными значения членов вариационного ряда в промежутке [, ] , где

(лЛП.

О /><....< Ри <4.

Хотя нами рассматривается более узкая постановка задачи, однако она решается совершенно другим, более простым на наш взгляд методом и в отличных условиях гладкости на ф.р.

Пусть Xi , %2> •••> %-и. -.независимые одинаково распределенные с.в. со строга возрастающей ф.р. р(х;в) и плотностью распределения Р (ос; 9) , 6£.

Предположим, что функция и плотность распределения непрерывно дифференцируемы, по в .

Введем величину

Г ( 5&>а Р(х,в) V2 . ,

называемую фишеровской информацией о параметре 9 , содержащейся в наблюдении с плотностью ..

Введе:.; обозначения

В Соу Р(з,в)

Ц

ЭЬу Р&е) с99

9 Соа^-рам

Положим

I (Р'*(и,в),в) = Л (и, В), 1(Р~1(и,е),е) = Л(м,0),

где функция, обратная к Р(-) . Тогда

V

к

5У(Ь>,В)с11а-

Далее обозначим

* = ТгТ ' / ' .

и будем считать, что к.-*-**) , а |с/-</а / ^ ^ | ^ - Д ( С при /С ? У о , причем

Р ^ при та ув - </4 > 3&0 . Тогда

пь-2 ¡=! п. при — ,

точнее,

П.-1 Ъ гк-2 Ъ 3#в (И-2).

Предположим, что вторая цгэизводная функции

о1Л(и,б) + а-рТСУ,9) + си,V)

по и , V существует и непрерывна в окрестности точки Пусть величина I . , (9) обозначает фишерсвскую ин-

5

формацию параметра 0 , содержащуюся в порядковых статистиках ... , Тогда справедлива следующая

Те о ре и а 3.1. Пусть выполнены следующие условия:

ю.

2°. Фушгтзи £ , I , М таковы, что при некотором У?0

тая(л(и,9), Л(и,9),Т(и,д)) ■■

(шоп. (и, ¿-и))

г >

3°. если £ достаточно малое число, то 1-е

< сю.

Тогда, цри

где

л и д2к\и,У) !

ипЫ,р = -

о у1

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность научным руководителя!.» доктору физ.-мат.наук, профессору Гафурову Махамагу Уктамовичу и кандидату фпз.-мат.наук Хамдамову Исак-жану Мамасалиевичу, а также профессору Нагвеву Александру Викторовичу за внимание к работе и полезные советы.

Основное содержание диссертации опубликовано з следующих работах:

1. Адиров Т.Х. Оценивание неизвестного параметра одного класса распределений // Изв. АН УзССР. Сер.шпз.-мат. наук. 1990, 3.

2. Адиров Т.Х., Хлмдамов И.М. Об оценке неизвестного параметра некоторого класса распределении. Тезисы докла-

дов. 1У Всесоюзная научно-техническая конференция. Применен!^ многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции. 5-7 сентября, 1989 Года, г.Тарту.

3. Адпров Т.Х., Хамдамоз И.М.'Асимптотические свойства оценок неизвестных параметров семейства распределений //Асимп-тотгческие задачи теории вероятностей и математической статистики, Ташкент, Фан, Г990, с. 12-18.

4. Гафуров М.7., Адиров Т.Х. Центральная предельная теорема для ядерной, оценки параметра обобщенного распределения Вейоулла //Доклады Академии наук Республики Узбекистан, 1991, В 10.

АДИР03 T.I.

ШМЛАШГАН ВЕЙОТЛА таксшоти Ш^ЖЕЕИНИНГ бахоск учун mm teoprviajiap

Фараз цилаЯлиц, X± , Х^ бир хил таксимланган,

богликмас мусбат тасодифий мивдорлар булиб, та^симот функ-цияси буЛСЕН. шу тасодифий

мведорларга мое вариацион катор булсин.

Диссертацияда

R^ = {Г(Х) : d-F(x) = e*f [-zi/dL(ос)]J

( L - секин узгарувчан функция) тачеимот функциялар евн-бининг параметра oL (al>0) 2 та бахо таклиф этилади.

Ишнвнг биринчи бобида вариацион цаторнинг бир кисмидан фойдаланг.б ба^о тузалади ва унинг асимптотик хоссалари урга-нмади.

Ишнинг иккинчь бобида эса вариацион цаторнинг хаммасидан тузилган ядровий бах,о киритплади ва марказий лимит теоремалар исботланади.

Ишнинг учиячи бобида маъдум шартлар бажарплганда вариацион ^атор хадларлдан тузилган векторнинг Фишер информация-си учун асимптотик формула топилади.

T.H.ADIROV'

LIMIT THEOREMS POR THE ESTIMATORS OP A PARAMETER CJ GENERALISED WEIBULl'S DISTRIBUTION

1st Xj , XfXK be independent and identically'distributed positive random variables with a common distribution

P(X) , 1 t X^tXj?* ...» Xdenote the order statistics based on Xd ■ Xz,..., '

In tue master's Thesis for

Ru = {fw ; F(*) • t*f[-x?Uxj\, x^x^o]

{L(pc) is slowly varying function) - a family of .distributions, depending on cL , two estimators for oi are :'ntrodu-ced.

In the first chapter of the Thesis, using only a part of the order statistics, one of the estimators is constructed and some asymptotic properties for it is studied.

In the -3Cond chapter, using the whole of order statistics, a kernel estimator is introdaced and for it central liiait theorems are proved.

In the third chapter for the vector, constructed by some members of the order statistics, an asymptotic formula of Pinher's information in found.