Предельные теоремы для потоков на поверхностях и групп преобразований тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Российская Академия Наук Математический институт имени В.А. Стеклова

п /

о

Буфетов Александр Игоревич

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОТОКОВ НА ПОВЕРХНОСТЯХ И ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

4 МДР 2»

Москва - 2010

4841068

Работа выполнена в отделе дифференциальных уравнений Математического института имени В.А. Стеклова РАН

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, Немировский Стефан Юрьевич доктор физико-математических наук, профессо Жиров Алексей Юрьевич доктор физико-математических наук, профессо Оселедец Валерий Иустинович Ведущая организация: Нижегородский Государственный Университет

им. Н.И. Лобачевского

Защита диссертации состоится . 2011 г. в 14® на заседании дис-

сертационного совета Д.002.022.02 при Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института имени В.А. Стеклова РАН по адресу:119991, Москва, ул. Губкина, д. 8.

Автореферат разослан_ чьичма^ 20И г.

4Ж

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.02 при МИ АН

доктор физико-математических наук, ^^ыг^м профессор

Ю.Н. Дрожжинов

КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ .

Актуальность темы.

Перекладывания отрезков и потоки переноса на плоских поверхностях представляют собой классический пример динамических систем так называемого параболического типа, занимающих по своим свойствам промежуточное положение между полностью детерминистическими динамическими системами (например, сдвигами на компактных группах) и сильно хаотическими гиперболическими динамическими системами (например, геодезическими потоками на многообразиях отрицательной кривизны).

Самые простые примеры детерминистических динамических систем -отображение поворота окружности и его аналог в непрерывном времени — квазипериодический поток на торе. Если угол поворота иррационален, то отображение поворота строго эргодично: мера Лебега есть единственная инвариантная вероятностная мера. Как показал Герман Вейль в 1909 году, временные средние

п к=о

непрерывной функции / под действием поворота Ra : R/Z —R/Z на иррациональный угол а равномерно сходятся к пространственному среднему функции, константе fj f(x)dx. Если угол поворота диофантов, а / — гладкая функция с нулевым средним, то временная сумма

£ /№)

к=0

равномерно ограничена по п. В частности, в этом случае дисперсия временной суммы не растет с ростом п.

Классические примеры гиперболических динамических систем - это системы Аносова, например, линейный гиперболический автоморфизм тора и геодезический поток на многообразии отрицательной кривизны. Семейство конечных инвариантных мер гиперболической динамической системы необозримо, в частности, ее периодические траектории всюду плотны в фазовом пространстве. Далее, гиперболические динамические системы удовлетворяют центральной предельной теореме теории вероятностей. Например, пусть М - компактное многообразие отрицательной кривизны, m -нормализованная мера Лебега на единичном касательном расслоении Т\М, gs : Т\М —> Т\М - геодезический поток. Пусть / : Т\М -> R - гладкая

функция с нулевым интегралом по мере т, среднее которой вдоль хотя бы одной периодической геодезической отлично от нуля. В этом случае последовательность случайных величин

сходится по распределению к гауссовому нормальному распределению с ненулевой дисперсией. В частности, дисперсия временного интеграла

растет как Т. Центральную предельную теорему для геодезических потоков на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны получил Я.Г. Синай в 1961 году, и его результаты впоследствии обобщались и развивались многими авторами.

Потоки переноса и перекладывания отрезков занимают по своим динамическим свойствам промежуточное положение между детерминистическими и гиперболическими динамическими системами. С одной стороны, как одновременно и независимо показали Мазур1 и Вич 2в 1982 г, потоки переноса и перекладывания общего положения строго эргодичны: мера Лебега есть единственная инвариантная вероятностная борелевская мера. С другой стороны, как показал A.B. Зорич 3 для перекладываний и Дж. Фор-ни 4 для потоков переноса, в случае систем общего положения уклонения временной суммы (или временного интеграла) гладкой функции общего положения растут как некоторая положительная степень времени. В частности, и дисперсия временной суммы (или временного интеграла) растет как положительная степень времени. Встает естественный вопрос об изучении предельных распределений для потоков переноса и перекладываний отрезков.

Основным методом исследования перекладываний отрезков' и потоков переноса является ренормализация. Для потоков переноса ренормализу-

'Н. Masur, Interval exchange transformations and measured foliations. Ann. of Math. (2) 115 (1982), no. 1, 169-200.

2Veech, William A. Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps. Ann. of Math. (2) 115 (1982), no. 1, 201-242.

3Zorich, Anton. Deviation for interval exchange transformations. Ergodic Theory Dynam. Systems 17 (1997), no. 6, 1477-1499.

4Forni, Giovanni. Deviation of ergodic averages for area-preserving flows on surfaces of higher genus. Ann. of Math. (2) 155 (2002).

•Г

2

ющей динамической системой является поток Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифференциалов с предписанными порядками нулей. Более точно, пусть S - замкнутая поверхность рода д > 2. Введем на S комплексную структуру а и голоморфный дифференциал и. Пара (а, ш) считается эквивалентной другой паре {а\,ш\), если существует диффеоморфизм поверхности S, переводящий (а,и) в (cri,u>i). Пространство модулей Л4(д) состоит из классов эквивалентности, а поток {gt} на М. (д) порождается действием на парах (а,из) по формуле gt(a,uj) = (а' ,ui'), где ш' = e'Re(üj) + ге~(1т(ш), а комплексная структура а' определяется требованием голоморфности и'. Если (сг, ш) и (а', и') эквивалентны, то дифференциалы и> и а/ имеют одинаковые порядки нулей и одинаковую площадь. Следовательно, эти порядки и площадь корректно определены на Л4(д). Кроме того, они сохраняются потоком Тейхмюллера {gt}- Возьмем произвольный неупорядоченный набор к = (ki,..., kr), где ki £ N, k\ H-----Ь kT = 2g — 2, и обозначим символом H подпространство Л4(д), соответствующее дифференциалам единичной площади (т.е. (г/2) f loAlo = 1) с порядками нулей ki, i = 1,...,г; такое подпространство Л4К называют стратом в Л4(д). Каждый страт является {^^-инвариантным множеством. Пространство М.к допускает естественную топологическую структуру, относительно которой оно, вообще говоря, несвязно. Число его связных компонент не превышает трех и зависит от к. Каждая из компонент {<у(}-инвариантна. Существует естественная {^^-инвариантная мера на Мк\ эта мера конечна. Мы будем называть эту меру гладкой мерой Мазура-Вича. Именно конечность меры Мазура-Вича является ключевым соображением в доказательстве строгой эргодичности почти всех перекладываний и потоков переноса.

Исследование более тонких эргодических свойств перекладываний и потоков переноса требует более глубокого изучения динамических свойств ре-нормализующего потока Тейхмюллера. Такие исследования активно проводятся многими авторами. Основную роль играет специальный коцикл над потоком Теймюллера, называемый коциклом Концевича-Зорича. Дадим его определение. Пусть % — связная компонента М.К) пусть Н1(?{) - расслоение над %, слой которого над точкой (М,и>) есть группа кого-мологий Нг{М, М). В расслоении Н1^) может быть задана связность Гаусса-Манина, которая однозначно определяется тем требованием, что горизонтальными сечениями являются непрерывные целочисленные сече-

ния расслоения Н1^). Параллельный перенос по отношению к связности Гаусса-Манина вдоль орбит потока Тейхмюллера задает коцикл над потоком Тейхмюллера, называемый коциклом Концевича-Зорича и обозначаемый символом А = А кг-

Коцикл Концевича-Зорича удовлетворяет всем требованиях теоремы Оселедца по отношению к произвольной вероятностной эргодической инвариантной мере для потока Тейхмюллера. В последние годы чрезвычайно активно изучаются показатели Ляпунова коцикла Концевича-Зорича и отвечающие им оселедцевские подпространства.

В частности В.Вич5 и Дж. Форни 6 доказали, что старший показатель Ляпунова коцикла Концевича-Зорича прост по отношению к произвольной вероятностной эргодической инвариантной мере для потока Тейхмюллера. Форни 7 показал, кроме того, что по отношению к мере Мазура-Вича коцикл Концевича-Зорича неравномерно гиперболичен: все его показатели Ляпунова отличны от нуля. Авила и Виана8 показали, что по отношению к мере Мазура-Вича ляпуновский спектр коцикла Концевича-Зорича прост: каждому показателю Ляпунова отвечает одномерное оселедцевское подпространство. Активно изучались показатели Ляпунова также для других инвариантных мер потока Тейхмюллера. В частности, значительный интерес представляют такие вычисления для так называемых поверхностей Вича, то есть абелевых дифференциалов, задающих плоскую структуру, обладающую богатой группой симметрий.

Как отмечалось выше, потоки переноса общего положения строго эрго-дичны. Дж. Форни 9 исследовал пространство обобщенных функций, инвариантных относительно потока переноса общего положения (мы называем их далее инвариантными распределениями Дж. Форни). Форни доказал, что для потока переноса общего положения пространство инвариантных обобщенных функций, лежащих в соболевском классе if-1, конечномерно и может быть естественно отождествлено с сильно неустойчивым подпространством коцикла Концевича-Зорича, отвечающего данному абелеву дифференциалу. Встает естественный вопрос о явном описании инвариантных распределений Дж. Форни, отвечающих абелевым дифференциалам

5Veech, William A. The Teichmüller geodesic flow. Ann. of Math. (2) 124 (1986), no. 3, 441-530.

6op. cit.

7op. cit.

8Avila, Artur; Viana, Marcelo. Simplicity of Lyapunov spectra: proof of the Zorich-Kontsevich conjecture. Acta Math. 198 (2007), no. 1, 1-56,

9op. cit.

общего положения.

Естественные динамические системы параболического типа возникают также в символической динамике. Рассмотрим простой пример. Пусть Л — конечный алфавит, с выделенной буквой а, и s : Л —» Л* есть некоторое отображение из Л в множество Л* конечных слов в алфавите Л, причем слово s (а) начинается с буквы а. Продолжим s до отображения из Л* в Л* формулой s(ai...an) = s(ai)...s(an) (для продолженного отображения мы сохраняем тот же символ s). Рассмотрим последовательность s(a), s (s (а)),... Так как в этой последовательности каждое слово есть префикс следующего за ним, мы можем рассмотреть возникающую бесконечную последовательность из. Рассмотрим далее семейство Г2 двусторонне бесконечных последовательностей из' над алфавитом Л, удовлетворяющих такому условию: каждое конечное подслово из' является также подсловом из. Множество Cl по определению компактно в тихоновской топологии. Правый сдвиг а на задает динамическую систему, называемую подстановочной динамической системой.

Другую символическую модель для динамических систем подстановочного типа предложил A.M. Вершик10 (см. также работу Ш. Ито11). Преобразование Вершика (иногда также называемое адическим сдвигом) есть динамическая система специального вида, определенная в пространстве путей топологической цепи Маркова (это пространство путей, следуя A.M. Вер-шику, мы будем называть марковским компактом). Эргодические свойства подстановочных динамических систем и преобразований Вершика являются объектом активных исследований многих математиков. Встает естественный вопрос о взаимосвязи между гладкими и символическими параболическими динамическими системами и, в частности, о построении символических моделей для потоков переноса и перекладываний.

Таким образом, актуальной является задача об изучении асимптотики эргодических интегралов и получении предельных теорем для динамических систем параболического типа, в частности, для потоков переноса и перекладываний.

Первая теорема о сходимости временных наблюдаемых в динамических системах величин к их пространственным средним есть уже упоминавша-

10Вершик, А. М. Теорема о периодической марковской аппроксимации в эргодической теории, Записки научных семипаров ПОМИ, 115, 72-82 (1982).

11Ito, Shunji. A construction of transversal flows for maximal Markov automorphisms. Tokyo J. Math. ] (1978), no. 2, 305-324.

яся теорема Вейля о равномерном распределении орбит иррационального поворота окружности. Аналогичным образом, получению общих эргодиче-ских теорем для действий свободных групп предшествовало изучение конкретных примеров. В 1964-м году Арнольд и Крылов 12 установили равномерное распределение орбит действия пары поворотов общего положения на сфере. В 1965-м году В.И. Оселедец предложил общий метод получения эргодических теорем для сохраняющих меру действий произвольных счетных групп. В 1969-м году Гиварш, развивая работу Арнольда и Крылова, доказал сходимость в среднем квадратическом для сферических средних действия свободной группы. В 1986-м году Р.И. Григорчук получил теорему о поточечной сходимости чезаровских средних сферических средних. В эргодической теореме Григорчука предполагается лишь интегрируемость функции. В более ограничительном предположении, что функция лежит в классе Ьр, р > 1, в 1994 году Нево и Стейн доказали поточечную сходимость самих сферических средних. Таким образом, является актуальной задача об изучении максимально общих условий, в которых имеют место эргодические теоремы для действий свободных полугрупп и действий свободных групп.

Отметим, что в случае действия свободной группы вопрос о поточечной сходимости сферических средних функций, лежащих лишь в классе остается открытым.

Цель работы

Исследовать асимптотику временных интегралов для потоков переноса на плоских поверхностях и перекладываний отрезков общего положения. Получить предельные теоремы для потоков переноса на плоских поверхностях. Построить символическое кодирование для потоков переноса на плоских поверхностях и перекладываний отрезков. Исследовать инвариантные распределения Дж. Форни для потоков переноса на плоских поверхностях. Исследовать гиперболические свойства потока Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифференциалов. Исследовать сходимость сферических средних для сохраняющих меру действий свободной группы. Исследовать сходимость по Чезаро сферических средних для сохраняющих меру действий свободной полугруппы.

Методы исследования.

12В.И. Арнольд, А.Л. Крылов, Равномерное распределение точек на сфере и некоторые эргодические свойства решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области. Доклады АН СССР, 1963, 148(1), 9-12.

Основные методы настоящей работы — метод ренормализации и метод символического кодирования. Строится новое символическое кодирование для потоков переноса и перекладываний, развивающее методы A.M. Вер-шика и Ш. Ито. Исследование построенной символической модели и позволяет получить основые результаты диссертации. При этом ренормализаци-онное действие потока Тейхмюллера является ключевым соображением в доказательстве предельных теорем. Методы символической динамики играют основную роль также и в исследовании потока Тейхмюллера. Здесь используется теория марковских разбиений, которые для рассматриваемых в работе динамических систем строятся явно. При доказательстве эрго-дических теорем для групповых и полугрупповых действий используется также теория марковских операторов.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором и состоят в следующем.

1. Найдена асимптотика для эргодических интегралов потоков переноса, отвечающих абелевым дифференциалам общего положения. Построено пространство аддитивных голономно-инвариантных гельдеровских коциклов над потоками переноса. В терминах гельдеровских коциклов дано явное описание инвариантных распределений потоков переноса в смысле Дж. Форни. Установлена двойственность между инвариантными распределениями вертикального и горизонтального потоков фиксированного абелева дифференциала общего положения.

2. Построено новое символическое кодирование, развивающее конструкции Ш.Ито и A.M. Вершика, для потоков переноса на плоских поверхностях.

3. Найдена асимптотика роста дисперсии и получены предельные теоремы для потоков переноса.

4. Проведено исследование гиперболических свойств потока Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифференциалов.

5. С помощью методов, развивающих конструкции Р.И. Григорчука, получены новые эргодические теоремы для сохраняющих меру действий конечнопорожденной свободной группы и свободной полугруппы.

Теоретическая и практическая научная ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты многут быть использованы в дальнейших исследованиях динамических систем параболического типа. В частности, результаты могут найти применения в исследованиях, проводимых в Математическом Институте имени В.А. Стеклова РАН, Петербургском отделении Математического Института РАН, Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова, Нижегородском Государственном Университете им. Н.И. Лобачевского, других высших учебных заведениях и научных центрах.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях.

1. Международная конференция, посвященная 30-летию журнала "Ergodic Theory and Dynamical Systems", Университет Варвика, Великобритания, сентябрь 2010. .

2. Международная конференция по динамическим системам и уравнениям в частных производных, Институт Миттаг-Леффлера Королевской Шведской Академии Наук, Стокгольм, Швеция, май 2010.

3. Международная конференция Европейского математического общества по динамическим системам и теории чисел, Международный центр математических исследований, Эдинбург, Великобритания, май 2010.

4. Международная конференция "Dynamical Numbers", Институт Макса Планка и Хаусдорфовский математический центр, Бонн, июль 2009.

5. Школа по комплексному анализу и алгебраической геометрии, Ярославль, Россия, май 2009.

6. Международная конференция по динамическим системам, Университет Мэриленда, США, апрель 2009.

7. Техасская конференция по геометрии и топологии, Хьюстон, США, февраль 2009

8. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, Россия, 2008.

Международная школа по теории Тейхмюллера, Роскофф, Франция, июнь 2008.

10. XXVIII международная конференция по гармоническому анализу, Университет Перуджии, Перуджия, Италия, май 2008.

11. Международная конференция по дискретной математике и ее приложениям, Университет Тайской торговой палаты, Бангкок, Тайланд, март 2008.

12. Международная конференция "От динамических систем к статистической механике", СЩМ, Люмини, Франция, февраль 2008.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах:

1. Семинар по динамическим системам и геометрии, Университет Париж-6, Франция, ноябрь 2010.

2. Семинар по динамическим системам, Университет Париж-13, Франция, ноябрь 2010.

3. Общеинститутский семинар Математического института имени В.А. Стеклова, май 2010.

4. Семинар кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ под руководством академика РАН В.В. Козлова, октябрь 2009.

5. Большой семинар кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, октябрь 2009.

6. Общеинститутский семинар Петербургского отделения математического института имени В.А. Стеклова, сентябрь 2009.

7. Заседание Киевского математического общества, Киев, Украина, май 2009.

8. Коллоквиум, Университет Ратгерса, США, май 2009.

9. Коллоквиум, Университет Техаса в Остине, США, апрель 2009.

10. Семинар по математике и теоретической информатике, Университет Виктории, Веллингтон, Новая Зеландия, март 2009.

11. Коллоквиум, Корнельский Университет, США, ноябрь 2008.

12. Семинар по эргодической теории и действиям групп, Йельский университет, США, октябрь 2008.

13. Семинар по динамическим системам, Университет Кейо, Япония, Иокогама, июнь 2008.

14. Семинар по динамическим системам, Университет Киото, Япония, июнь 2008. .

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, из которых одна в соавторстве. Список публикаций приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из семи глав, первая из которых является введением, и списка литературы, содержащего 69 наименований. Объем диссертации 172 страницы.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Асимптотика эргодических интегралов для потоков переноса.

Пусть М — поверхность рода р > 2, и — абелев дифференциал на М, ш = г(ш Л и)/2 - элемент площади формы ш, причем пг(М) = 1. Пусть 1ц — отвечающие и вертикальный и горизонтальный потоки на М. Пусть х 6 М, ¿1,^2 € К+. Прямоугольник П(ж, ¿х, ¿2) = ж, 0 <

Т1 < ¿1,0 < Т2 < ¿2} назовем допустимым, если его замыкание не содержит нулей формы ш. Определим пространство 23+ непрерывных аддитивных коциклов Ф+(ж, £) над потоком /г* таких, что при всяком х € М функция Ф+(.т,¿) гельдерова по а если прямоугольник П(ж, ^,¿2) Допустим, то = Ф+(/гг~х, ¿1). Пусть 23" — аналогичное пространство над . Например, если р±{х,Ь) = то ^ € Для Ф+ € 23+, Ф~ 6 23 ~ введем конечно-аддитивную меру Ф+ х Ф~ на М формулой Ф+ х Ф~(П(:г, ¿1, ¿2)) = ¿1) • (здесь предполагается, что прямоугольник П(х, ¿1, ¿2) допустим). Определим спаривание между пространствами 23+, 23" формулой (Ф+,Ф~) = Ф+ х Ф~{М).

Пусть "Н — связная компонента пространства модулей абелевых дифференциалов с предписанными порядками нулей, д8 — поток Тейхмюллера на Н, А(з,Х) — коцикл Концевича-Зорича над д3, действующий в когомоло-гиях Н1(М, М) поверхности М. Пусть, далее, // — гладкая мера Мазура-Вича на И. По теореме Авилы-Вианы, ляпуновский спектр коцикла А по отношению к мере ц прост и имеет вид 1>02>-">#р>О> —вр > ••• > -вг > -1. Для X е М, X = пусть С Н\М,Щ -

устойчивое и неустойчивое ляпуновские подпространства коцикла А.

Предложение. Для /¿-почти всех X Е Н существуют естественные изоморфизмы : —> 23^, при которых спаривание (,) переходит в каноническую билинейную форму на Н1 (М, К) (интеграл внешнего произведения соответствующих 1-форм). В частности, сПт 23^ = сНт 23^ = р.

Для Ф~ 6 23" положим Шф- = г/+ х Ф~; мера пц,- — /¿/"-инвариантное распределение в смысле Форни. В частности, т„- = т. Для липшицевой функции / на М, интеграл J /¿Шф- = Шф- (/) определен по Риману при всяком Ф_ € 23".

Пусть теперь Ф]1" = Ф^,..., Ф+ — базис в 23^ такой, что вектор ^х(Ф^) имеет показатель Ляпунова в¿; пусть = — двой-

ственный базис в 23^ по отношению к спариванию (,).

Теорема. Для всякого е > 0 найдется Се > 0, такое, что для ц-почти

всякого X £ %, X — (М,ш), любой липшицевой функции / на М, любых х 6 М и Т > 0 выполнено

/

J о

¡о

/ о h+(x)dt - Tm(f) - шф-(/)Ф+(х, Г)

i=2

<с£||/|М1 + г).

Эргодические средние для перекладывания отрезков.

Полученные результаты имеют приложения к перекладываниям. Пусть Т : [0,1] —> [0,1] — минимальное перекладывание с неприводимой подстановкой 7г. Пусть 93 (Т) — пространство непрерывных функций Ф на [0,1], таких, что Ф(0) = 0, а если Т непрерывно на [а, й], то Ф(ТЬ) — Ф(Та) = Ф(Ь) — Ф(а). Например, если Ф(^) = то Ф 6 ®(Т). Как и прежде, для Ф € 25(7") и липшицевой функции / на [0,1] интеграл / /е№ определен по Риману-Стилтьесу.

Теорема. Найдется такое натуральное число р, зависящее лишь от подстановки, такое, что по отношению к мере Лебега в пространстве перекладываний для почти всякого перекладывания имеем сИтОЗ (7~) = р. Более того, найдутся числа 1 = 9\ > > ■ ■ • > вр > вр+\ = 0, зависящие лишь от 7г, и базис Ф1 = Ф, Ф2,.... ,ФР в 93(Т), такой, что при всяком е > 0 функция Фг гелъдерова с показателем — е, а для всякого х 6 [0,1] и всякой липшицевой функции f на [0,1] выполнено

log

n-1

£ f°Tk{x)

lknsuP-Ч^Тт-=

JV-»оо log N где i(f) = тах{г : //¿Ф^ = 0 j < г}.

Как и раньше, 1 > #2 (R) > • • • > 6*p(R) суть положительные показатели Ляпунова коцикла Концевича-Зорича потока Тейхмюллера по отношению к мере Мазура-Вича на страте в пространстве модулей абелевых дифференциалов, отвечающем классу Рози подстановки тт.

Мера с максимальной энтропией для потока Тейхмюллера.

Пространство Л4К допускает естественную топологическую структуру, относительно которой оно, вообще говоря, несвязно. Число его связных компонент не превышает трех и зависит от к. Каждая из компонент {gt}-инвариантна.

Зафиксируем произвольную связную компоненту % и обозначим через нормированное ограничение на И упомянутой выше {^-инвариантной меры.

Вич показал, что по отношению к мере /1К является потоком Колмогорова с энтропией, определяемой формулой

Теорема. Мера /¿к — единственная мера максимальной энтропии для потока па %.

Сходимость сферических средних для действий свободных групп.

Седьмая глава диссертации посвящена исследованию эргодических теорем для сохраняющих меру свободной группы. Как и в предыдущих главах, ключевую роль здесь играют методы символической динамики.

Другая аналогия состоит в том, что задача описания предельного поведения равномерных сферических средних для сохраняющего меру действия свободной группы сводится к нахождению хвостовой сигма-алгебры некоторого специального марковского оператора.

Первые эргодические теоремы для действий произвольных счетных групп были получены В.И. Оселедцем в следующих предположениях.

Пусть Г - счетная группа, которая действует измеримыми сохраняющими меру преобразованиями на вероятностном пространстве (Х,и), и для д £ Г пусть Тд - соответсвующее преобразование. Пусть ц - вероятностная мера на Г, удовлетворяющая условию ц{д~х) = ц{д)- Пусть - это п-ая конволюция /л. Эргодическая теорема Оселедца утверждает, что для ц> £ Ь^Ь(Х,и) средние

сходятся почти наверное. Доказательство основано на рассмотрении самосопряженного марковского оператора <2 = 11(у)Т<1-

Пусть Р,п - свободная группа, а - подгруппа элементов четной длины по отношению к данной системе свободных образующих.

В 1969-м году Гиварш (основываясь на работе Арнольда и Крылова) рассмотрел равномерные сферические средние на свободной группе, то есть,

(1)

= Х>(2%)7>

я ег

1

и доказал, что для ¡р е V) последовательность 32П<Р сходится в 1,2

к ^-инвариантной функции.

В 1986-м году Р.И. Григорчук получил поточечную сходимость для средних

1 N-1 п=0

В 1994-м г. Нево и Стейн доказали следующую теорему.

Теорема. Пусть р > 1. Тогда для всех </? Е Ьр(Х,и) последовательность Б2п(Р сходится при п —» оо как и-почти везде, так и в Ьр к инвариантной функции.

Пусть (X, у) - вероятностное пространство и пусть Рт - свободная группа с т образующими, действующая на (X, и) измеримыми, сохраняющими меру преобразованиями. Пусть сц,..., ат — образующие .Рто, а Т\,...,Тт : X —у X — отвечающие им преобразования. Положим = Тр1 для i = 1,... ,т, А = {—т,..., —1,1,... ,т}. Действие Рт на Ь\ (X, р) определяется формулой Тд(р = (р о Тд-1, д Е Рт.

Рассмотрим множество Ига всех конечных слов в алфавите А:

У/А = {ги = ... и)п\ Wi £ А}

Обозначим символом |и;| длину слова IV. Для натурального п, пусть Жл(гс) = {и) Е ]¥а, М = п}.

Для каждого т Е И^, ю — уо\ ... и)п, определим преобразование

-До = -Д^-Двг . . . Ти,п. (3)

Пусть П - стохастическая матрица формата 2т х 2т, строки и столбцы которой занумерованы элементами из А, то есть, П = {р^), г, ] Е А. Предположим, что П имеет единственное стационарное распределение

[р-т, ...,р-1,р1,...,рт),

причем такое, что все р^> 0.

Для ги Е \¥а, го = гох... гип, обозначим

Рассмотрим операторы

= £ тгНТь

V]

(4)

| ы]=п

В седьмой главе диссертации исследуется сходимость этой последовательности операторов.

Определение. Будем говорить, что матрица П порождает свободную группу, если ру = 0 эквивалентно 1 + 3 = 0. Нам будет нужно условие симметрии

Пусть - подгруппа слов четной длины Рту то есть подгруппа, порожденная агО,, г, ] 6 {1,..., т}.

Теорема. Пусть (X, г/) - лебегово вероятностное пространство. Предположим, что стохастическая матрица П порождает свободную группу и удовлетворяет условию (5). Тогда для каждого у £ Ь\о£Ь{Х,ц) последовательность сходится при п —> оо и и-почти везде, и в Ь\(Х,1>) к Р^-инвариантной функции.

Замечание. Последовательность &2П+1<р тоже сходится. Последовательность не должна сходиться, потому что действие Рт может иметь собственную функцию с собственным значением —1, то есть, ненулевую функцию ф £ Ь\(Х,и) такую что Т{ф = —ф для всех г & А (по той же причине предел в теореме должен быть ^-инвариантным но не обязан быть ^-инвариантным). Если действие не имеет собственных функций с собственным значением —1, то для всех (р € последователь-

ность вп<р сходится при п —> оо как г/-почти всюду, так и в Ь\(Х, и), к ^-инвариантному пределу.

Средние сходятся при более слабых условиях на матрицу П, чем в теореме.

Определение. Матрица П с неотрицательными элементами будет называться неприводимой, если для всех п > 0 все ненулевые элементы матрицы П + П2 + ... П™ положительны (если П - стохастическая, то

(5)

Равенство (5) эквивалентно тому, что все операторы яЦ самосопряжен-

ные.

это эквивалентно тому, что в соответствующей цепи Маркова каждое состояние достижимо из любого другого состояния).

Определение. Матрица П с неотрицательными членами будет называться строго неприводимой, если П неприводима и ППТ неприводима (здесь Пт обозначает матрицу транспонированную к П.)

Ясно, что матрица, порождающая свободную группу, строго неприводима.

Теорема. Пусть (X, г/) - лебегово вероятностное пространство и пусть р > 1. Пусть стохастическая матрица П строго неприводима и удовлетворяет (5). Тогда для всех (р Е Ьр(Х,и), последовательность в^ф сходится при п —> со как и-почти всюду, так и в Ьр, к Р^-инвариантной функции.

Эргодические теоремы для действий групп и полугрупп.

Условия, наложенные на матрицу марковского кодирования в предыдущем разделе, довольно ограничительны. При более слабых условиях, однако, удается установить только сходимость по Чезаро сферических средних.

Какутани предложил способ усреднения, основанный на эргодической теореме в косых произведениях Питта, и на этом пути В.И.Оселедец получил в 1965 году первые эргодические теоремы для действий произвольных счетных групп.

Метод Какутани и Оселедца вкратце таков. На группе вводится вероятностное распределение, затем расматривается последовательность независимых случайных величин принимающих значения в группе и имеющих данное распределение. Групповому действию на пространстве Лебега сохраняющими меру преобразованиями сопоставляется косое произведение над пространством траекторий этого случайного процесса с действующим на нем сдвигом по времени. Далее, эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина интегрируется вдоль базы косого произведения—и получается эргодическая теорема для исходного группового действия.

Автором используется несколько иной подход. В полугруппе или группе выделяется конечная система образующих и рассматривается пространство односторонних бесконечных последовательностей из этих образующих с тихоновской топологией. Борелева вероятностная инвариантная относительно сдвига мера ц на этом пространстве выбирается произвольно. Действию

полугруппы ставится в соответствие косое произведение над сдвигом на нашем пространстве последовательностей, снабженном мерой д. Потом опять эргодические теоремы Биркгофа-Хинчина интегрируются вдоль базы косого произведения—и получаются эргодические теоремы для исходного полугруппового или группового действия. Временные средние отображений Т\,... ,Тт, полученные при усреднении с помощью меры /х, обозначаются

ст.

Если мера р, произвольна, то автору неизвестны условия того, что предел временных средних инвариантен относительно полугруппового действия.

Однако если мера р — марковская, то в работе даны достаточные условия, при выполнении которых для произвольной функции ¡р временные средние С%(Т)(р сходятся к инвариантной функции.

Далее, пусть Ь — банахово пространство, Т\,..., Тгп : Ь н> Ь — линейные операторы. Для них так же строятся временные средние С£(Т). Если мера р — марковская, а Тг,... ,Тт — положительные Ь\ — Ьоо-сжатия в Ь\{Х, и), то для любой функции (р £ Ь\(Х, р) временные средние С^(Т)</з сходятся ^-почти всюду . При этом, если р{Х) < со, то С£(Т) сходятся и в Ь\(Х, и), а если к тому же мера р сильно связна, то предельная функция инвариантна относительно каждого оператора Т1;... ,Тт. Итак, для временных средних С%(Т) нескольких положительных Ь\ — Ь^ сжатий имеет место эргодическая теорема; частным случаем ее является эргодическая теорема для нескольких отображений.

Если р — марковская мера порядка к > 1 на 0,т, то для временных средних индивидуальная и статистическая эргодические теоремы также имеют-место и позволяют получить эргодические теоремы для действий полугрупп, названных автором строго марковскими.

Основные публикации по теме диссертации.

1. А.И. Буфетов, Эргодические интегралы потоков на плоских поверхностях, Успехи мат. наук, т. 65:6 (2010), стр. 181-182.

2. A. I. Bufetov, Hoelder cocycles and ergodic integrals for translation flows

on flat surfaces, Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences, 17, 2010 p. 34-42

3. А. И. Буфетов, Б. M. Гуревич. О мере с максимальной энтропией для потока Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифференциалов, Функциональный анализ и его приложения, 2008, 42 , 3, стр. 75-77

4. A. Bufetov, Pointwise convergence of spherical averages for actions of free groups, Annals of Mathematics, 155 (2002), no.3, pp. 929-944.

5. А.И. Буфетов, Операторные эргодические теоремы для действий свободных полугрупп и групп, Функциональный анализ и его приложения, 2000, т. 34, вып. 4, стр. 239-251.

6. А. И. Буфетов, Косые произведения и эргодические теоремы для групповых действий, Зап. научн. сем. ПОМИ, 266 (2000), стр. 13-28

7. А. И. Буфетов, Эргодические теоремы для действий нескольких отображений, Успехи мат. наук, 1999, том 54, вып. 4, стр. 159-160.

Препринт.

8. A.I. Bufetov, Limit theorems for translation flows, препринт Математического института Макса Планка, Бонн, 2010, 69 страниц.

Работы автора, примыкающие к тематике диссертации.

9. A. Bufetov, Decay of correlations for the Rauzy-Veech-Zorich induction map on the space of interval exchange transformations and the Central Limit Theorem for the Teichmiiller flow on the moduli space of abelian differentials, Journal of the American Mathematical Society, 19 (2006), pp. 579-623.

10. A. I. Bufetov, Logarithmic asymptotics for the number of periodic orbits of the Teichmiiller flow on Veech's space of zippered rectangles. Mosc. Math. J., 9:2 (2009), pp. 245-261

11. А.И. Буфетов, Б.М. Гуревич, Существование и единственность меры с максимальной энтропией для потока Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифференциалов, Математический сборник, 2011, т. 202.

1. J1. M. Абрамов, В. А. Рохлин. Энтропия косого произведения преобразований с инвариантной мерой. Вестник ЛГУ, 1, 1962, 5-13

2. Adamczewski, Boris. Symbolic discrepancy and self-similar dynamics. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 54 (2004), no. 7, 2201-2234.

3. Mustafa Akcoglu, A pointwise ergodic theorem in Lp-spaces. Canadian Journal of Mathematics, 27(1975), 1075-1082.

4. В.И. Арнольд, А.Л. Крылов, Равномерное распределение точек на сфере и некоторые эргодические свойства решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области. Доклады АН СССР, 1963, 148(1), 9-12:

5. Arnoux, Pierre; Fisher, Albert M. Anosov families, renormalization and non-stationary subshifts. Ergodic Theory Dynam. Systems 25 (2005), no. 3, 661-709.

6. Avila, Artur; Viana, Marcelo. Simplicity of Lyapunov spectra: proof of the Zorich-Kontsevich conjecture. Acta Math. 198 (2007), no. 1, 1-56.

7. T.Bewley, Sur l'application des théorèmes ergodiques aux groupes libres: un contre example. C.r. Acad.Sci, 1970, 270, 23, A1533-1534.

8. Billingsley, Patrick. Convergence of probability measures. Wiley, 1968.

9. Bonahon, Francis Transverse Holder distributions for geodesic laminations. Topology 36 (1997), no. 1, 103-122.

10. Bonahon, Francis Geodesic laminations with transverse Holder distributions. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 30 (1997), no. 2, 205-240.

11. X. Bressaud, P. Hubert, A. Maass, Persistence of wandering intervals in self-similar affine interval exchange transformations, to appear in Ergodic Theory and Dynamical Systems.

12. А. И. Буфетов, Б. M. Гуревич. О мере с максимальной энтропией для потока Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифференциалов, Функц. анализ и его прил. 2008, 42 , 3. 75-77

13. А. И. Буфетов, Б. М. Гуревич. Существование и единственность меры с максимальной энтропией для потока Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифференциалов, Математический сборник, принято к публикации.

14. А. И. Буфетов, Эргодические теоремы для действий нескольких отображений, Успехи мат. наук, 1999, том 54, вып. 4

15. А.И. Буфетов, Операторные эргодические теоремы для действий свободных полугрупп и групп, Функциональный анализ и его приложения, 2000, т. 34, вып.4, стр. 239-251.

16. Nelson Dunford and J.T. Schwartz, Convergence almost everywhere of operator averages. J. Rat. Mech. Anal., 1956, 5, 129-178.

17. Dumont, Jean-Marie; Kamae, Teturo; Takahashi, Satoshi Minimal cocycles with the scaling property and substitutions. Israel Journal of Mathematics 95 (1996), 393-410.

18. Fisher, Albert M. Nonstationary mixing and the unique ergodicity of adic transformations. Stoch. Dyn. 9 (2009), no. 3, 335-391.

19. Forni, Giovanni. Solutions of the cohomological equation for area-preserving flows on compact surfaces of higher genus. Ann. of Math. (2) 146 (1997), no. 2, 295-344.

20. Forni, Giovanni. Deviation of ergodic averages for area-preserving flows on surfaces of higher genus. Ann. of Math. (2) 155 (2002).

21. Forni, Giovanni. Sobolev regularity of solutions of the cohomological equation, www.arxiv.org.

22. Gjerde, Richard; Johansen, Orjan. Bratteli-Vershik models for Cantor minimal systems associated to interval exchange transformations. Math. Scand. 90 (2002), no. 1, 87-100.

23. Р.И. Григорчук. Индивидуальная эргодическая теорема для действий свободных групп. Тезисы Тамбовской школы по теории функций, 1986.

24. Р.И. Григорчук. Эргодические теоремы для действий свободных групп и полугрупп. Математические заметки, 5(1999), стр. 779-783.

25. М. Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75-263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.

26. Y.Guivarc'h, Généralisation d'un théorème de von Neumann, C.R.A.S. Paris 268 (1969), 1020 -1023.

27. E. Hopf. The general temporally discrete Markov process, J. Rat. Mech. Anal., 3(1954), 13-45.

28. Ito, Shunji. A construction of transversal flows for maximal Markov automorphisms. Tokyo J. Math. 1 (1978), no. 2, 305-324.

29. V.A. Kaimanovich, Measure-theoretic boundaries of Markov chains, 0 — 2 laws and entropy, in Harmonic Analysis and Discrete Potential Theory, ed. M.A. Picardello, Plenum, 1992, pp. 145-181.

30. Shizuo Kakutani, Random ergodic theorems and Markoff processes with a stable distribution, Proc. 2nd Berkeley Symposium Math.Stat.and Prob., 1951, 247-261.

31. Kamae, Teturo Linear expansions, strictly ergodic homogeneous cocycles and fractals. Israel J. Math. 106 (1998), 313-337.

32. Yu. Kifer, Ergodic theory of random transformations, Birkhauser, 1986

33. Ulrich Krengel. Ergodic Theorems. Walter de Gruyter, 1985.

34. M.Kontsevich, Lyapunov exponents and Hodge theory, "Mathematical Beauty of Physics", Saclay, 1996.

35. M.Kontsevich, A.Zorich, Connected components of the moduli spaces of Abelian differentials with prescribed singularities, Inventiones mathematicae, 153(2003), no.3, 631-678.

36. Edgar R. Lorch, Means of iterated transformations in reflexive vector spaces. Bull. AMS 45(1939), 945-947.

37. А. Майер. О траекториях на ориентируемых поверхностях, Матем. сб., 1943, том 12(54), номер 1, стр. 71-84

38. Marmi, S.; Moussa, P.; Yoccoz, J.-C. The cohomological equation for Roth-type interval exchange maps. J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), no. 4, 823-872.

39. S. Marmi, P. Moussa, J.-C. Yoccoz Affine interval exchange maps with a wandering interval, www.arxiv.org

40. H. Masur, Interval exchange transformations and measured foliations. Ann. of Math. (2) 115 (1982), no. 1, 169-200.

41. A. Nevo, Harmonic analysis and pointwise ergodic theorems for noncommuting transformations. J. Amer. Math. Soc., 7( 1994), no.4, 875 902.

42. J. Neveu, Discrete parameter martingales, North-Holland Elsevier, 1975.

43. A.Nevo, E.M.Stein, A generalization of Birkhoff's pointwise ergodic theorem. Acta math., 173(1994), 135-154

44. В.И. Оселедец, Марковские цепи, косые произведения и эргодические теоремы для "общих"динамических систем. Теория вероятностей и ее применения, 1965, 10, 3, 551-557.

45. H.R.Pitt, Some generalizations of the ergodic theorem, Proc. Cambridge Philos. Society, 1942, v.38, 4, p.325-334.

46. G. Rauzy. Echanges d'intervalles et transformations induites, Acta Arith. 34, 1979, 4, 315-328

47. V.A. Rohlin and Ya. G. Sinai, The structure and properties of invariant measurable partitions, Doklady Akademii Nauk SSSR, 141, 1961, 1038-1041.

48. М.Rosenblatt, Markov operators, structure and asymptotic behaviour, Springer, 1971.

49. Sinai, Ya. G., Ulcigrai, C. Weak mixing in interval exchange transformations of periodic type. Lett. Math. Phys. 74 (2005), no. 2, 111-133.

50. Solomyak, B. On the spectral theory of adic transformations. Representation theory and dynamical systems, 217-230, Adv. Soviet Math., 9, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992.

51. E.M. Stein, Harmonic analysis: real variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals. With the assistance of Timothy S. Murphy. Princeton Mathematical Series, 43, Princeton University Press, 1993.

52. I. Melbourne, A. Torok, Statistical limit theorems for suspension flows, to appear in Israel Journal of Mathematics.

53. Veech, William A. Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps. Ann. of Math. (2) 115 (1982), no. 1, 201-242.

54. Veech, William A. The metric theory of interval exchange transformations. I. Generic spectral properties. Amer. J. Math. 106 (1984), no. 6, 1331-1359.

55. Veech, William A. The metric theory of interval exchange transformations. II. Approximation by primitive interval exchanges. Amer. J. Math. 106 (1984), no. 6, 1361-1387.

56. Veech, William A. The metric theory of interval exchange transformations. III. The Sah-Arnoux- Fathi invariant. Amer. J. Math. 106 (1984), no. 6, 1389-1422.

57. Veech, William A. The Teichmuller geodesic flow. Ann. of Math. (2) 124 (1986), no. 3, 441-530.

58. W. Veech. Decoding Rauzy Induction: Bufetov's Question, MMJ, Vol. 10, N. 3, 2010, pp. 647-657.

59. Veech, William A. Moduli spaces of quadratic differentials. J. Analyse Math. 55 (1990), 117-171.

60. Vershik, A. M.; Livshits, A. N. Adic models of ergodic transformations, spectral theory, substitutions, and related topics. Representation theory and dynamical systems, 185204, Adv. Soviet Math., 9, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992.

61. A.M. Vershik, S. Nechaev, and R.Bikbov, Statistical properties of braid groups in locally free approxination, preprint IHES/M/99/45, June 1999.

62. A.M. Вершик, Численные характеристики групп и соотношения между ними, Записки научных семинаров ПОМИ, том 256, 1999 г.

63. М. Viana. Stochastic dynamics of deterministic systems. Brazilian Colloquium of Mathematics, IMPA

64. Zorich, Anton. Deviation for interval exchange transformations. Ergodic Theory Dynam. Systems 17 (1997), no. 6, 1477-1499.

65. A. Zorich Finite Gauss measure on the space of interval exchange transformations. Lyapunov exponents Ann. Inst. Fourier (Grenoble) v. 46 1996 2 325-370

66. A.Zygmund, Trigonometric series, Cambridge University Press, 1968.