Предельные теоремы для случайных матриц с зависимыми элементами

Наумов, Алексей Александрович

Предельные теоремы для случайных матриц с зависимыми элементами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Наумов, Алексей Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Предельные теоремы для случайных матриц с зависимыми элементами»

Автореферат диссертации на тему "Предельные теоремы для случайных матриц с зависимыми элементами"

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова факультет Вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

НАУМОВ Алексей Александрович

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ С ЗАВИСИМЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г * СЕН 2013

_ . Москва - 2013

005533674

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ульянов Владимир Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ Афанасьева Лариса Григорьевна

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова РАН Буфетов Александр Игоревич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 18 октября 2013 года в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте факультета ВМК МГУ http://www.cs.msu.su в разделе „Наука "— „Работа диссертационных советов"- „Д 501.001.44".

Автореферат разослан_сентября 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Теория случайных матриц и методы, используемые при исследовании случайных матриц, играют важную роль в различных разделах теоретической и прикладной математики. Случайные матрицы возникли из приложений, сначала в анализе данных, а позже в качестве статистических моделей в квантовой механике. В последние годы теория случайных матриц нашла многочисленные применения во многих других областях, например, в численном анализе, финансовой инженерии, биологии.

Одна из основных проблем в теории случайных матриц - исследовать сходимость последовательности эмпирических спектральных функций распределения для заданной последовательности случайных матриц.

В основополагающей работе Вигнера1 рассмотрены симметричные случайные матрицы, элементы которых в верхней треугольной части являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, имеющими симметричное бернуллиевское распределение. Вигнер доказал, что ожидаемая эмпирическая спектральная функция распределения собственных значений таких матриц сходится к полу круговому закону. Позже этот результат был назван "полукруговым законом Вигнера" и обобщен в ряде работ, см., например, работу Арнольда2. Наиболее общие условия сходимости к полукруговому закону Вигнера для симметричных случайных матриц с независимыми элементами в верхней треугольной части матрицы получены Пастуром3. Пастур показал, что условие Линдеберга является достаточным для сходимости к полукруговому закону. Отметим, что в работе Пастура предполагалось, что элементы матрицы имеют одинаковые дисперсии.

1Wigner Е. Оп the distribution of the roots of certain Symmetrie matrices. Ann. of Math. (2), 1958, 67, 325-327.

2Arnold L. On Wigner's semicircle law for the eigenvalues ofrandom matrices. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, 1971, 19, 191-198.

3Пастур Л. Спектры случайных самосопряженных операторов. УМН, 1973, 28, 3-64.

4Mehta M. Random matrices. Boston, МА: Academic Press Inc., 1991.

Жинибром5. В общем случае, в предположении существования конечных четвертых моментов и плотности у распределений элементов матрицы, круговой закон доказан Гирко6. Но его доказательство в литературе считается неполным. Предполагая существование плотности и некоторые моментные ограничения, Бай7 доказал сходимость почти наверное эмпирических спектральных функций распределения к круговому закону. Без предположения о существовании плотности, но при дополнительных моментных ограничениях круговой закон получен Гётце и Тихомировым8, Паном и Чжоу9, Тао и By10. В предположении конечности лишь двух моментов элементов матрицы круговой закон установлен Тао и By11. Доказательства кругового закона в работах Гётце и Тихомирова, Пана и Чжоу, Тао и By существенным образом опираются на оценку наименьшего сингулярного числа случайной матрицы и основаны на работе Рудельсона и Вершинина12. Следует также отметить, что разработанная Гирко6 техника использовалась всеми отмеченными выше авторами для доказательства кругового закона.

Рассмотрим ансамбль матриц с коррелированными элементами, который является промежуточным в отношении ранее рассмотренных ансамблей. Любые два элемента матрицы из этого ансамбля, симметричные относительно главной диагонали, коррелированны с постоянным коэффициентом корреляции, но не зависят от остальных элементов матрицы. Если коэффициент корреляции равен 1, то имеем ансамбль симметричных матриц. Если коэффициент корреляции равен 0, и дополнительно потребуем, что элементы матрицы имеют совместное гауссовское распределение, то имеем ансамбль матриц с независимыми элементами. Впервые такие ансамбли рассматривал Гирко13. В предположении конечности четвертого момента и существовании плотности у элементов матрицы Гирко показал, что эмпирическая спектральная функция распределения сходится к функции распределения, которая имеет плотность равномерного распределения на эллипсе. Оси эллипса определяются коэффициентом корреляции между

5Ginibre J. Statistical ensembles of complex, quaternion, and real matrices. J. Mathematical Phys., 1965, 6, 440-449.

6Гирко В. Круговой закон. Теория вероятн. и ее примен., 1984, 29, №4, 6G9 - 679.

7Bai Z., Silverstein J. W. Spectral analysis of large dimensional random matrices. New York: Springer, 2010.

8Götze F., Tikhomirov A. The circular law for random matrices. Ann. Probab., 2010, 38, №4, 1444-1491.

9Pan G., Zhou W. Circular law, Extreme Singular values and Potential theory. arXiv:0705.3773, http://arxiv.Org/abs/arXiv:0705.3773.

10Tao T., Vu V. Random Matrices: The circular Law arXiv:0708.2895, http://arxiv.Org/abs/arXiv:0708.2895.

11 Tao T., Vu V. Random matrices: universality of local eigenvalue statistics Acta Math., 2011, 206, №1, 127-204.

12Rudelson M., Vershynin R. The Littlewood-Offord problem and invertibility of random matrices. Adv. Math., 2008, 218, №2, 600-633.

13Гирко В. Эллиптический закон Теория веротн. и ее примен., 1985, 30, № 4, 640-651.

элементами матрицы. Гирко назвал этот результат "эллиптическим законом". Но доказательство Гирко в литературе считается неполным, как и доказательство кругового закона. В гауссовском случае эллиптический закон получен Соммерсом, Крисанти, Сомиолински и Стейном14. В настоящей диссертации приведено полное доказательство эллиптического закона в предположении конечности четвертого момента элементов матрицы и без каких-либо дополнительных предположений о существовании плотности. В ходе доказательства получена оценка наименьшего сингулярного числа, которая обобщает результат работы Вершинина15 для случая симметричных матриц.

Гётце и Тихомиров16 рассмотрели ансамбль симметричных случайных матриц со структурой случайного поля. Примером такого ансамбля может служить классический ансамбль симметричных матриц с независимыми элементами в верхней треугольной части матрицы, рассмотренный выше, и ансамбль случайных матриц с фиксированным или ограниченным следом. В их работе предполагалось выполнение дополнительных условий на урезанные случайные величины. В настоящей диссертации устанавливаются достаточные условия для сходимости к полукруговому закону для симметричных случайных матриц со структурой случайного поля. Полученные условия являются аналогами классических достаточных условий в центральной предельной теореме для мартингал-разностей, см., например монографию Холла и Хейди17. В большинстве предыдущих работ рассматривались симметричные случайные матрицы, элементы которых имеют равные дисперсии. В гауссовском случае в работе18 был рассмотрен ансамбль матриц с разными дисперсиями. Упомянем также обзор Эрдеша19, в котором были рассмотрены симметричные случайные матрицы с субгауссовскими распределениями и имеющие разные дисперсии. В настоящей диссертации также не предполагается равенство дисперсий элементов матрицы.

Еще одним важным ансамблем для приложений является ансамбль ковариационных матриц. Впервые такие матрицы рассматривались

14H. Sommers, A. Crisanti, H. Sompolinsky, Y. Stein Spectrum of large random asymmetric matrices. Phys. Rev. Lett., 1988, 60, 1895-1898.

15Vershynin R. Invertibility of symmetric random matrices. arXiv:1102.0300, http://arxiv.org/abs/1102.0300.

16Götze F., Tikhomirov A. N. Limit theorems for spectra of random matrices with martingale structure. Теория веротн. и ее примен., 2006, 51, № 1, 171-192.

17Hall P., Heyde С. С. Martingale limit theory and its application. New York: Academic Press Inc., 1980.

18Shlyakhtenko D. Random gaussian band matrices and freeness with amalgamation. International Mathematics Research Notices, 1996, 20, 1014-1025.

19Erdös L. Universality of wigner random matrices: a survey of recent results. arXiv: 1004.0861, http://arxiv.org/abs/1004.0861.

Уишартом20. Из работы Марченко и Пастура21 следует, что для ковариационных матриц с независимыми строками эмпирическая спектральная функция распределения сходится к некоторому пределу, который имеет плотность. Распределение с такой плотностью теперь носит название - закон Марченко-Пастура. Результат был обобщен в ряде работ. В частности, были рассмотрены ансамбли матриц со структурой случайного поля. Гётце и Тихомиров22 получили аналог своего результата16 для симметричных случайных матриц. В работе Адамчека23 не предполагалось, что все дисперсии равны, но предполагалось выполнение закона больших чисел для квадратов элементов матрицы по строкам и столбцам. Однако в работе Адамчека23 предполагается равномерная ограниченность всех моментов элементов матрицы. В настоящей диссертации получены достаточные условия сходимости к закону Марченко-Пастура, которые аналогичны условиям в центральной предельной теореме для мартингал разностей. Подчеркнем, что в работе не предполагается равенство дисперсий элементов матрицы, а вместо этого требуется сходимость сумм дисперсий в строке и столбце к единице. Результаты обобщают классический закон Марченко-Пастура для матриц с независимыми элементами и результаты работ Гётце, Тихомирова22 и Адамчека23.

Цель работы. В диссертации рассматривается ансамбль случайных матриц, у которых любые два элемента, симметричные относительно главной диагонали, коррелированны с постоянным коэффициентом корреляции и не зависят от остальных элементов матрицы. Одной из целей диссертации является доказательство эллиптического закона для ансамблей таких матриц без предположения о существовании плотности у элементов матрицы. Также в диссертации рассматриваются симметричные случайные матрицы и ковариационные случайные матрицы со структурой случайного поля. Второй целью диссертации является получение достаточных условий сходимости к полукруговому закону и закону Марченко-Пастура, которые эквивалентны классическим условиям в мартингальной центральной предельной теореме.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Впервые получено полное доказательство эллиптического закона для случайных матриц в предположении конечности четвертого момента

20Wishart J. Generalized product moment distribution in samples. Biometrika, 1928, 20, 32-52.

21Марченко В. А., Пастур Л. А. Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц. Матем. сб., 1967, 72, № 4, 507-536.

22G6tze F., Tikhomirov A. Limit theorems for spectra of positive random matrices under dependence. Записки научных семинаров ПОМИ РАН, 2004, 311, 92-123.

23Adamczak R. On the Marchenko-Pastur and circular laws for some classes of random matrices with dependent entries. Electron. J. Probab., 2011, 16, № 37, 1068-1095.

элементов случайной матрицы, но без каких-либо дополнительных предположений о существовании плотности у элементов матрицы.

2. Для симметричных случайных матриц со структурой случайного поля установлены достаточные условия сходимости к полукруговому закону. В работе не предполагается равенство дисперсий элементов матрицы.

3. Для несимметричных матриц со структурой случайного поля установлен закон Марченко-Пастура. В работе не предполагается равенство дисперсий элементов матрицы.

Методы исследования. Основные методы, использовавшиеся для доказательства результатов работы — метод логарифмического потенциала, метод преобразования Стилтьеса и метод моментов. Для доказательства универсальности спектра собственных значений используется метод предложенный Бенткусом24. В терминах матриц он заключается в том, что мы можем рассмотреть семейство матриц вида Z(</?) = Xcos<¿? + Ysin<¿>, где X, Y некоторые матрицы. Тогда расстояние между преобразованиями Стилтьеса матриц X и Y может быть переписано в терминах преобразования Стилтьеса матриц Z(<¿>).

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретический характер и одновременно допускают применение к решению различных практических задач из области физики и финансовой инженерии.

Апробация работы и публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ.

Основные результаты диссертации докладывались на XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2012» (апрель 2012 года, Москва), на научном семинаре по случайным матрицам Университета Билефельд (июнь 2012 года, Билефельд, Германия), на конференции Real World Models: Recent Progress and New Frontier (октябрь 2012 года, Сюйчжоу, Китай), на большом кафедральном семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ (апрель 2013 года, Москва), на XX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2013» (апрель 2013 года, Москва), на конференции Stochastics and Real World Models 2013 (июль 2013 года, Билефельд, Германия), на летней школе Randomness in Physics and Mathematics: From Quantum Chaos to Free Probability (август 2013 года, Билефельд, Германия).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех

24Bentkus V. A new approach to approximations in probability theory and operator theory. Liet. Mat. Rink., 2003, 43, № 4, 444-470.

глав, разбитых на разделы, приложения, содержащего вспомогательные результаты, и списка литературы из 42 наименований. Общий объем работы составляет 101 страница.

Благодарности. Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору В.В. Ульянову. Также автор искренне благодарен д.ф.-м.н. профессору А.Н. Тихомирову и доктору математики, профессору Ф. Гётце.

Краткое содержание диссертации.

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации и исторический обзор, связанный с темой работы. Кроме этого, в нем также формулируются и обсуждаются полученные результаты.

Всюду далее будем предполагать, что все случайные величины заданы на вероятностном пространстве (Г2, У7, Р) и будем писать почти всюду (п.в) вместо Р-почти всюду.

Индикатор события А обозначим через 1(А). £>(Т) обозначает борелевскую ст-алгебру подмножеств Т.

Будем говорить, что последовательность случайных мер цп : £?(Т) —> М, где Т = К или С, сходится к предельной неслучайной мере (1 по вероятности (обозначение: /хп —> р, по вероятности), если для всех непрерывных и ограниченных функций / : Т —> К

Аналогично, /лп сходится к ц почти всюду (обозначение: (1п —> д п.в.), если

В главе 1 рассматриваются случайные матрицы Хп(ш) = ,

которые удовлетворяют следующим условиям (СО):

a) пары (АТу, Х^)^^ - независимые одинаково распределенные случайные векторы;

b) ЕХ12 = ЕХ2х = 0, ЕХ?2 = ЕХ22! = 1 и тах(ЕХ142, ЕХ^) < М4;

c) Е(Х12Х21) = р, \р\ < 1

(1) Хц - н.о.р. случайные величины, не зависящие от {-Ху}«^, и ЕХп = 0, ЕХ2п < оо.

Обозначим через А1,...,А„ собственные значения матрицы п_1/'2Хп и определим эмпирическую спектральную меру дп(-) с помощью

^ J f(x)l^n(dx) — J /(х)ц(<1х) > е^ —> 0 при п —¥ оо.

ц„{В) = -#{1 < г < п : Аг € В}, В е В(С),

Как отмечалось выше, одной из основных проблем в теории случайных матриц является исследование сходимости последовательности эмпирических спектральных функций распределения или мер к некоторому пределу. Следующая теорема, которая является основным результатом главы 1, дает ответ на поставленный вопрос для случайных матриц, удовлетворяющих условиям (СО).

Теорема 1.1. Пусть Хп удовлетворяет условиям (СО) и\р\<1. Тогда —> д по вероятности, и ц имеет плотность /р следующего вида

/р(а, у) = М1 - Я-1, + 1} ,

[О, иначе.

Прежде чем приступить к доказательству Теоремы 1.1 в общем случае, рассмотрим специальный случай, когда элементы матрицы Х„ имеют гауссовское распределение с нулевым средним,

= 1 и ЕХг]Хг] =р, г ф з, \р\ < 1.

Соответствующая мера на пространстве матриц А = {/1Ц}":)=1 может быть выписана в явном виде

Р(с?А) = Сехр

2(1 -Р2)

Тг(ААт - рА2)

е/А, (1)

где С - нормировочная константа, а <1А = П?:/=1 ¿А^ - мера Лебега на К"2. Соммерс, Крисанти, Сомполински и Стейн14 установили, что в этом случае ¡лп —> ц п.в., где /х имеет плотность /р из Теоремы 1.1. Доказательство существенным образом основано на явном выражении для совместной плотности собственных значений случайной матрицы Хп, которое может быть получено из (1).

В общем случае нельзя выписать явную формулу для совместной плотности собственных значений матрицы Хп и, поэтому, требуются другие методы анализа. Доказательство Теоремы 1.1 основано на методе логарифмического потенциала. Напомним, что логарифмическим потенциалом IIт меры т(-) называется функция 11т : С —» (—оо,+оо], определенная для всех г € С с помощью

ит(г) = — J 1п\г — и}\т{йю). с

Логарифмический потенциал меры цп может быть переписан в следующем

виде

= - У 1п |г - ю\цп(йю) = 1п det - ¿1

♦ 00

= — lndet (-±=Х„ - - гі^ = - J 1п хип{йх),

где через ип{-) := ип{г, •) мы обозначили эмпирическую спектральную меру сингулярных чисел зп(п~1/,2Хп — ¿1) < ... < 5і(п"1//2Хп — гі) матрицы п_1/2Хп — ¿1. Такое представление позволяет нам перейти от исследования спектра несимметричной матрицы Хп к исследованию спектра эрмитовой матрицы (тГ^Хп - гІ)*(гг_1/2Хп - гі).

Одним из ключевых результатов, на котором основано доказательство Теоремы 1.1, является следующая лемма из работы Борденаве и Чафая25.

Лемма 1.1. Пусть (Х„)„>і является последовательностью случайных матриц размера п х п. Предположим, что для почти всех г Є С существует вероятностная мера иг на [0, оо), такая что

a) —> г/2 по вероятности при п —> оо;

b) 1п(-) равномерно интегрируем по вероятности относительно семейства

{^п}п>і •

Тогда существует вероятностная мера /і, такая что

a) (¿п —> Ц по вероятности при п оо;

b) для почти всех г Є С

оо

С/Дг) = — J lnxuz(dx).

Под равномерной интегрируемостью в условии Ь) подразумевается, что для всех е > 0:

= 0.

|1пх|>( /

lim lim Р / | lnx\u„(dx) > є (->00 n->oo I J

Лемма 1.1 и ее доказательство возникли из идей работы Гирко6, которые в дальнейшем были развиты в работах Бая7, Гётце и Тихомирова8, Тао и By 10-u.

Предположим, что условия а) и Ь) Леммы 1.1 выполнены. В силу Леммы 1.1 существует вероятностная мера /¿, такая что цп —> /1 по

25Bordenave С., Chafai D. Around the circular law. arXiv: 1109.3343, http://arxiv.org/abs/1109.3343.

оо

вероятности и — — §1пхи2(д,х). Но мы знаем, что в гауссовском случае

оо

рп —> ¡1 по вероятности и = — / 1пхих{йх)■ Т.к. одно и то же для

всех матриц, которые удовлетворяют условиям (СО), то имеем

ад = ад.

Из единственности логарифмического потенциала заключим, что ¡1 = ¡1.

Таким образом, доказательство эллиптического закона разбивается на два основных этапа. В ходе первого этапа нужно доказать равномерную интегрируемость логарифма относительно семейства мер уп{х,-),п > 1. Доказательство приведено в следующей теореме.

Теорема 1.2. Если выполнены условия (СО), то 1п(-) равномерно интегрируем по вероятности относительно семейства {^п}г>1.

Для доказательства Теоремы 1.2 нужно показать, что наименьшее сингулярное число матрицы п-1/2Хп — г! мало с очень малой вероятностью. Это сделано в следующей теореме.

Теорема 1.3. Пусть А = Х„ — 21. где Х„ - случайная матрица, удовлетворяющая условиям (СО), и К > 1. Тогда для всех е > О

Р(5„(А) < еп-1'2, ||А|| < Ку/п) < С{р)е+ С'ОэК1/8,

где С(р),С'(р) - некоторые константы, зависящие только от р,К и М4.

Доказательство основано на идеях работ М. Рудельсона и Р. Вершинина12'15.

Для доказательства Теоремы 1.2 нужно также установить, что для сингулярных чисел верны следующие леммы.

Лемма 1.2. Пусть выполнены (СО). Тогда существует константа К > 0, зависящая от р, такая, что Р(в1(Хп) > К^/п) = о(1).

Лемма 1.3. Если выполнены (СО), то существуют с>0 «0<7<1 такие, что для всех п 1 и гг1-7 < г < п — 1 выполнено неравенство 5п_г'(т7—1^2ХП — 21) > Cn~lІ П.в.

Второй этап доказательства эллиптического закона состоит в том, что эмпирическая спектральная мера сингулярных чисел матрицы (п-1/2Хп — 2:1) сходится к некоторому неслучайному пределу, который является одним и тем же для всех моделей матриц, которые удовлетворяют условиям (СО).

Теорема 1.4. Предположим, что выполнены условия (СО). Существует неслучайная вероятностная мера ^2(-) := и(г,-), такая что 1Уп —>■ по вероятности.

В главе 2 рассматривается ансамбль симметричных матриц Хп = {Х]к}"к=1, элементы которых имеют ЕХ^. = 0 и = а2-к. Снова

обозначим через Л1 < ... < Л„ собственные значения матрицы п_1/2Хп, определим эмпирическую спектральную функцию распределения с помощью

^{х) = -У/1{ Хг<х)

П ^—'

г=1

и соответствующую ей ожидаемую эмпирическую спектральную функцию распределения РХп(х) := Е^гХп(х). Определим набор ст-алгебр

З^Л := а{Хы :1<к<1<п,(к,1)ф (г, ¿)}, 1 < i < j < п.

Под дробью Линдеберга для случайных матриц будем понимать

1 "

Ьп{т) := ^ ]Г ЩХЛ21(\ХЛ > т^/п), г > 0. »>3=1

Предположим, что выполнены следующие условия:

Е(Ху|^Л) = 0п.в.; (2)

± £ Е|Е(Х2.|^)) - -»• 0 при п -»• оо; (3)

^ ■ • 1

4=1

для любого фиксированного т > 0 Ьп{т) —> 0 при п —> оо. (4)

Всюду далее будем использовать условие (4) не только для матрицы Х„, но и для других матриц, заменяя элементы Xц в определении дроби Линдеберга соответствующими элементами.

Для всех 1 < г < тг обозначим В1- := ^ 4' Потребуем, чтобы 4 удовлетворяли следующим условиям:

1 ™

— ^ \В\ — 11 —>- 0 при п —оо; (5)

п г=1

тах Вг < С, (6)

1<г<п _ 4 '

где С некоторая абсолютная константа.

Заметим, что условия (2)-(6) являются аналогами достаточных условий в мартингальной центральной предельной теореме, см., например, монографию Холла и Хейди17.

Следующая теорема представляет собой основной результат главы 2.

Теорема 2.1. Пусть случайные матрицы Х„ удовлетворяют условиям (2)-(6). Тогда

Фиксируем произвольные 1 < i < j < п. Используя свойство математического ожидания и условие (2), легко видеть, что для всех (к, I) ф

Следовательно, элементы матрицы Хп некоррелированы. Если дополнительно потребовать, что элементы матрицы Хп независимые случайные величины, то условия (2) и (3) будут автоматически выполнены. Таким образом, для сходимости к полукруговому закону для симметричных матриц с независимыми элементами достаточно требовать выполнения условий (4)-(6).

Приведем еще один ансамбль случайных матриц, которые удовлетворяют условиям (2)-(6). Гётце и Тихомиров16 рассмотрели ансамбли симметричных случайных матриц с фиксированным или ограниченным следом. Впервые такие ансамбли были рассмотрены в работах Розенцвейга26 и Бронка27. Разумным обобщением может служить следующий ансамбль. Предположим, что < з < к < п, имеют совместное равномерное распределение на

многомерном эллипсе или эллипсоиде с полуосями 1 < 3 < к < п. Это означает, что

где N = п(п — 1)/2. Следуя рассуждениям работы Гётце и Тихомирова16, легко установить справедливость условий (2)-(6).

Доказательство Теоремы 2.1 основано на том, что можно заменить исходную матрицу на гауссовскую матрицу с независимыми элементами, два первых момента которых совпадают с соответствующими моментами элементов исходной матрицы. Благодаря этому, можно вместо исходной матрицы с зависимыми элементами рассматривать гауссовскую матрицу, у

2GRosenzweig N. Statistical mechanics of equally likely quantuum systems. Statistical Physics. New York, 1963.

27Bronk N. Topics in the theory of random matrices. PhD thesis. Princeton University, 1964.

sup |FXn(z) - G(x)| -> 0 при n oo.

(i,j), 1 < к < I < n,

BXijXu = ЕЕСХуХи!^)) = ЕВДадз^) = 0-

или в случае эллипсоида

которой элементы независимы и имеют конечные моменты всех порядков. Это значительно упрощает анализ и позволяет использовать технику метода моментов.

Определим расстояние Леви между функциями распределения и через

-Рг) = т^е > 0 : ^(ж - е) - е < Р2(х) < Р^х + е) + е}.

Следующая теорема иллюстрирует принцип универсальности Линдеберга для случайных матриц.

Теорема 2.2. Пусть Хга,Уп обозначают независимые случайные матрицы с ЕХу = ЕУц = 0 и ЕХг2 = ЕУ^2 = стг2. Предположим, что матрица Х„ удовлетворяет условиям (2)-(5), и матрица имеет гауссовские независимые элементы. Дополнительно потребуем, что для матрицы Yn выполнены условия (4)-(5). Тогда

-)• 0 при п -)■ оо.

Для доказательства Теоремы 2.2 мы сначала урезаем элементы матрицы на уровне л/п, используя условие Линдеберга (4). Затем, следуя работе Бенткуса24, определим семейство матриц Zn((^) = Х„соз<^ + Тпзт</? и покажем, что производная преобразования Стилтьеса, 3%(г,<р), матрицы 2п((р) по аргументу мала при больших п. Затем мы можем воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, в силу которой

д<р

где - преобразования Стилтьеса матриц Х„ и Yn соответственно.

Для доказательства Теоремы 2.1 остается установить сходимость в гауссовском случае, это сделано в следующей теореме.

Теорема 2.3. Пусть элементы Уц случайной матрицы независимы для всех \ <1<]<пи имеют гауссовское распределение с Е Уц = О, ЕУ? = сгц. Предположим, что условия (4) -(6) выполнены. Тогда

вир — С?(ж)| —> 0 при п —> оо.

Доказательство основано на методе моментов. Легко видеть, что моменты ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения РУп(х) могут быть переписаны в виде нормированного следа степени матрицы Yn:

[ х) = Е-Тг (.

JR П Уу/П )

Для доказательства сходимости последовательности РТп(х) к С{х) достаточно показать, что

Е-Тг^уЛ = [ а*(Ю(х) + ок{1). п ) М

для всех к > 1, где стремится к нулю при п оо для любого

фиксированного к. Заметим, что функция С имеет компактный носитель и в силу этого однозначно восстанавливается по последовательности своих моментов.

Хорошо известно, что моменты полукругового закона равны

'_(2 тп\

Рк

= /Лад= |т+1(Г). к-2т

иш 0, к = 2т

к = 2т + 1.

Отметим, что моменты /?2т совпадают с числами Каталана.

Перепишем нормированный след степени матрицы Уп в виде суммы

Тг = ^ Ъ^чгз—ЪкЬ, (7)

где суммирование берется по всем векторам г = ('¿I,.... г д.) £ {1,..., п}к. Это представление позволяем нам записать правую часть (7) в виде суммы 1\ + 12 + ^з • Первое слагаемое, 1\, даст нам в точности числа /3/: ■ Слагаемое /2 обратится в ноль в силу симметричности У^. Третье слагаемое, /3, может быть сделано сколь угодно малым в силу условий (4)-(6).

В главе 3 будет изучен ансамбль комплекснозначных выборочных ковариационных матриц. Для этого рассмотрим матрицу X = {Хц,} размера р х п и потребуем, чтобы EXjk = 0 и Е|Хд.|2 = а2-к. Обозначим через < ... < вр собственные значения матрицы ¿XX* и определим эмпирическую спектральную функцию распределения

р 1=1

Положим Рхх*(х) := Е7гХХ'(х). Предположим, что р = р(п) и Птп_юо £ = у. Без потери общности мы будем считать, что у 6 (0,1].

В главе 2 мы рассмотрели ансамбли симметричных матриц с зависимыми элементами. Цель настоящей главы - получить аналогичные результаты для матриц вида ¿XX* и показать, что предельное распределение для последовательности

задается распределением Марченко-Пастура.

Введем набор (7-алгебр

3<«) := а{Хк1 : 1 < к < р, 1 < І < п, (к,1) ± (і,у)}, 1 < і < р, 1 < з < п

Переопределим дробь Линдеберга на случай прямоугольных матриц с помощью

р™ -1-і г=1 ,7=1

Пусть = ШХц и щ = ЗХц обозначают действительную и мнимую части Хц. Определим следующие матрицы

2.. = ( ^Ь

13 \taVij цц

Обозначим через Е^- элемент матрицы в позиции (к,1), 1 < к,1 < 2. Будем предполагать, что выполнены следующие условия

Е(ЗДМ) = 0 п.в.; (8)

^ £ ££Е1Е (W^) - ^ 0 при n ^ оо; (9)

Р к,1=1 i=1 j=1

для любого г > 0 Ьп{т) —» 0 при п —> со. (10)

Всюду далее будем использовать условие (10) не только для матрицы X, но и для других матриц, заменяя элементы Xij в определении дроби Линдеберга соответствующими элементами.

Для всех 1 < і < р обозначим через Bf := ~ YTj=і afj и Для всех 1 < І < и положим Dj := ^Yli=iafj- Потребуем, чтобы afj удовлетворяли следующим условиям:

1 Р

- 1| -> 0 при п-> оо; (11)

р »=і 1 "

0 при п->• оо; (12)

max(max Д-, max Dj) < С, (13)

1 <г<р 1 <j<n

где С некоторая абсолютная константа.

Следующая теорема представляет собой основной результат главы 3. Теорема 3.1. Пусть X удовлетворяет условиям (8)-(13) и lim 2 = у є

п—>оо п

(0,1]. Тогда

sup |FXX*(а:) - Gy(x)\ 0 при п ^ оо.

Идея доказательства аналогична идее доказательства Теоремы 2.1. Поэтому ниже мы просто формулируем результаты, не останавливаясь на деталях.

Теорема 3.2. Пусть X, Y обозначают независимые матрицы размера р х п, такие что ЕХц = ЕУу- = 0, E(ReX4)2 = E(ReFy)2, E(ImXy)2 = E(Im Yij)'2 и EReXijlmXij = E Re Y^ Im Yy. Предположим, что матрица X удовлетворяет условиям (8)-(12) , и матрица Y имеет независимые гауссовские элементы. Дополнительно потребуем, что Y удовлетворяет условиям (10)—(12). Если lim R = у е (0,11, тогда

п—юо п

-» 0 при п ->• 00.

Теорема 3.3. Пусть элементы матрицы Y = {Y,¡j, 1 < г < р, 1 < j < п} являются независимы случайными величинами и имеют гауссовское распределение с ЕУц = О, = сгг2 . Предположим, что выполнены

условия (10)-(13) и lim £ = у € (0,1]. Тогда

П-¥СО П

sup ^^'(ж) — Gy(a;)| —> 0 при п оо.

В приложениях А и В приведены вспомогательные результаты, полученные другими авторами, которые использовались для доказательства основных Теорем 1.1, 2.1 и 3.1.

3. Список публикаций автора по теме диссертации.

[1] Naumov A.A. Elliptic law for real random matrices. Preprint of SFB701, University of Bielefeld, Germany, 2012, preprint no. 12044.

[2] Наумов A.A. Универсальность некоторых моделей случайных матриц. Сборник тезисов XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «ЛОМОНОСОВ - 2012», секция «Вычислительная математика и кибернетика», с. 143-144.

[3] Götze F., Naumov A.A., Tikhomirov A.N. Semicircle law for a class of random matrices with dependent entries. Preprint of SFB701, University of Bielefeld, Germany, 2013, preprint no. 13029.

[4] Наумов А. А. Эллиптический закон для случайных матриц. Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика, 2013, № 1, с. 31-38.

[5] Наумов A.A. Предельные теоремы для двух классов случайных матриц. Записки научных семинаров ПОМИ РАН, 412, с. 214-225, 2013.

[6] Наумов A.A. Полукруговой закон для случайных матриц с зависимыми элементами. Сборник тезисов XX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «ЛОМОНОСОВ - 2013», секция «Вычислительная математика и кибернетика», с. 89-90.

Заказ № 28-Р/09/2013 Подписано в печать 06.09.13 Тираж 60 экз. Усл. п.л. 0,8

ООО "Цифровичок", тел. (495) 797-75-76 www.cfr.ru; e-maitinfo@cfr.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Наумов, Алексей Александрович, Москва

московским государственный университет

имени М.В. Ломоносова Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики

04201361560

На правах рукописи

Наумов Алексей Александрович

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ С ЗАВИСИМЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Специальность 01.01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

В.В. Ульянов

Москва 2013

Предисловие

Теория случайных матриц и методы, используемые при исследовании случайных матриц, играют важную роль в различных разделах теоретической и прикладно1Т'математики. Случайные матрицы возникли из приложений, сначала в анализе данных, а позже в качестве статистических моделей в квантовой механике. В последние годы теория случайных матриц нашла многочисленные применения во многих других областях, например, в численном анализе, финансовой инженерии, биологии.

В основополагающей работе Вигнера [1] рассмотрены симметричные случайные матрицы, элементы которых в верхней треугольной части являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, имеющими симметричное бернуллиевское распределение. Вигнер доказал, что ожидаемая эмпирическая спектральная функция распределения собственных значений таких матриц сходится к полукруговому закону. Позже этот результат был назван "полукруговым законом Вигнера" и обобщен в ряде работ, см., например, работу Арнольда [2]. Наиболее общие условия сходимости к полукруговому закону Вигнера для симметричных случайных матриц с независимыми элементами в верхней треугольной части матрицы были получены Пастуром в работе [3]. Пастур показал, что условие Линдеберга является достаточным для сходимости к полу круговому закону. Отметим, что

в работе Пастура предполагалось, что элементы матрицы имеют одинаковые дисперсии.

Другой интересный ансамбль случайных матриц представляют матрицы с независимыми элементами. Будем говорить, что выполнен круговой закон, если последовательность эмпирических спектральных функций распределения сходится к функции распределения, которая имеет плотность равномерного распределения на единичном круге. Для матриц с н.о.р. комплекснозначными нормально распределенными случайными элементами круговой закон был доказан Метой [4]. Его доказательство использует явное выражение для совместной плотности собственных значений матрицы, которое было найдено Жинибром [5]. В общем случае, в предположении существования конечных четвертых моментов и плотности у распределений элементов матрицы, круговой закон доказан Гирко [6]. Но его доказательство в литературе считается неполным. Предполагая существование плотности и некоторые моментные ограничения, Бай [7], доказал сходимость почти наверное эмпирических спектральных функций распределения к круговому закону. Без предположения о существовании плотности, но при дополнительных моментных ограничениях круговой закон был получен в ряде работ, см. [8], [9[ и [10]. Окончательный результат был получен Т. Тао и В. Ву в работе [11], где требовалось, чтобы элементы матрицы имели конечный момент второго порядка. Доказательства кругового закона в работах [7], [8], [9], [10] и [11[ существенным образом опираются на оценку наименьшего сингулярного числа случайной матрицы и основаны на работе [12]. Следует также отметить, что разработанная Гирко [6] техника использовалась всеми отмеченными выше авторами для доказательства кругового закона.

симметричные относительно главной диагонали, коррелированны с постоянным коэффициентом корреляции, но не зависят от остальных элементов матрицы. Если коэффициент корреляции равен 1, то имеем ансамбль симметричных матриц. Если коэффициент корреляции равен 0, и дополнительно потребовать, что элементы матрицы имеют совместное гауссовское распределение, то имеем ансамбль матриц с независимыми элементами. Впервые такие ансамбли были рассмотрены Гирко [13]. Гирко показал, что эмпирическая спектральная функция распределения сходится к функции распределения, которая имеет плотность равномерного распределения на эллипсе. Оси эллипса определяются коэффициентом корреляции между элементами матрицы. Предельное распределение называется эллиптическим законом. Но доказательство Гирко было неполным, как и доказательство кругового закона. В гауссовском случае эллиптический закон получен в работе [15]. В настоящей работе будет приведено первое математически корректное и полное доказательство эллиптического закона в предположении конечности четвертого момента элементов матрицы. В ходе доказательства получена оценка наименьшего сингулярного числа, которая обобщает результат работы Вершинина [16] для случая симметричных матриц.

В работе [17] рассматривался ансамбль симметричных случайных матриц со структурой случайного поля. Примером такого ансамбля может служить классический ансамбль симметричных матриц с независимыми элементами в верхней треугольной части матрицы, рассмотренный выше, и ансамбль случайных матриц, элементы которых в верхней треугольной части имеют совместное равномерное распределение на многомерной сфере или шаре. В работе [17] предполагалось выполнение дополнительных условий на урезанные случайные величины. В настоящей работе устанавливаются достаточные условия для сходимости к полу круговому закону для симметричных

случайных матриц со структурой случайного поля. Отмстим, что впервые получены условия", аналогичные классическим достаточным условиям в центральной предельной теореме для мартингал-разностей, см., например [18] и [19]. В большинстве предыдущих работ рассматривались симметричные случайные матрицы, элементы которых имеют равные дисперсии. В гауссовском случае в [20] был рассмотрен ансамбль матриц с разными дисперсиями. В [21] рассматривались симметричные случайные матрицы с субгауссовскими распределениями и имеющие разные дисперсии. В настоящей работе изучается наиболее общий случай, и также не предполагается равенство дисперсий элементов матрицы.

Еще одним важным ансамблем для приложений является ансамбль ковариационных матриц. Впервые такие матрицы рассматривал Уишарт [22]. Из работы Марченко и Пастура [23] следует, что для ковариационных матриц с независимыми строками эмпирическая спектральная функция распределения сходится к некоторому пределу, который имеет плотность. Распределение с такой плотностью теперь носит название - закон Марченко-Пастура. Результат был обобщен в ряде работ. Результат был обобщен в ряде работ. В частности, были рассмотрены ансамбли матриц со структурой случайного поля. В [24] Гётце и Тихомиров получили обобщения результата [17]. В работе [25] не предполагалось, что все дисперсии равны, но предполагалось выполнение закона больших чисел для квадратов элементов матрицы по строкам и столбцам. В настоящей работе будут получены достаточные условия сходимости к закону Марченко-Пастура, которые аналогичны условиям в центральной предельной теореме для мартингал разностей. Подчеркнем, что в работе не предполагается равенство дисперсий элементов матрицы, а вместо этого требуется сходимость сумм дисперсий в строке и столбце к единице. Результаты обобщают классический закон Марченко-Пастура для матриц с независимыми элементами и

результаты работ [24] и [25] .

Настоящая работа, как отмечалось ранее, посвящена доказательству сходимости эмпирических спектральных функций распределения собственных значений для некоторых ансамблей случайных матриц с зависимыми элементами.

Во введении содержится обоснование актуальности темы диссертации и исторический обзор, связанный с темой работы. Кроме этого, в нем формулируются и обсуждаются основные результаты, полученные в работе.

В главе 1 доказывается эллиптический закон для случайных матриц в предположении конечности четвертых моментов слагаемых. Отметим, что настоящее доказательство является первым математически строгим и полным доказательством эллиптического закона.

В главе 2 доказан полукруговой закон для симметричных случайных матриц со структрурой случайного поля. Впервые получены условия, аналогичные классическим достаточным условиям в центральной предельной теореме для мартингал разностей. Отметим, что в работе не предполагается равенство дисперсий элементов матрицы.

В главе 3 доказан закон Марченко-Пастура для несимметричных случайных матриц со структрурой случайного поля. Впервые получены условия, аналогичные классическим достаточным условиям в центральной предельной теореме для мартингал разностей. Отметим, что в работе не предполагается равенство дисперсий элементов матрицы.

Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук, профессора Владимира Васильевича Ульянова, которому автор выражает искреннюю благодарность. Автор также выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору Тихомирову Александру Николаевичу, Коми научный центр Уральского отделения РАН, и доктору наук, профессору Фридриху Гётце, Билефельдский Университет, Германия.

Оглавление

Введение 11

1 Эллиптический закон^для случайных матриц 27

1.1 Основной результат ............................................27

1.2 Гауссовский случай..............................................28

1.3 Доказательство основного результата..........................29

1.4 Наименьшее сингулярное число................................30

1.5 Равномерная интегрируемость................................39

1.6 Сходимость сингулярных чисел................................43

1.7 Несколько технических утверждений ........................50

2 Полукруговой закон для класса симметричных случайных матриц с зависимыми элементами 54

2.1 Формулировка результатов....................................54

2.2 Доказательство Теоремы 2.1.3 ................................58

2.2.1 Урезание случайных величин..........................59

2.2.2 Универсальность спектра собственных значений . . 61

2.3 Доказательство Теоремы 2.1.4 ................................64

3 Закон Марченко—Пастура для случайных матриц с зависимыми элементами 74

3.1 Формулировка результатов....................................74

3.2 Доказательство Теоремы 3.1.3 ................................78

3.2.1 Урезание элементов матрицы..........................79

3.2.2 Универсальность спектра............... 79

3.3 Доказательство Теоремы 3.1.4 ................ 83

А Некоторые результаты из теории вероятностей и линейной алгебры 88

А.1 Теория Вероятностей...................... 88

A.2 Линейная алгебра и геометрия единичной сферы...... 90

В Методы исследования слабой сходимости эмпирических функций распределения 91

B.1 Метод моментов ........................ 91

В.2 Метод преобразований Стилтьеса .............. 92

В.З Метод логарифмического потенциала............ 93

Заключение 95

Обозначения

Всюду далее в настоящей работе будем предполагать, что все случайные величины заданы на вероятностном пространстве Р) и будем

писать почти всюду (п.в) вместо Р-почти всюду. Индикатор события А обозначим через /(^4). В{Т) обозначает борелевскую сг-алгебру подмножеств Т. Под Рх,у(£) понимается вероятность события которое зависит от случайных величин X и У.

Будем говорить, что последовательность случайных мер ¡1п : В(Т) —> М, где Т = М. или С, слабо сходится к предельной неслучайной мере /1 по вероятности (обозначение: цп —> ¡1 по вероятности), если для всех непрерывных и ограниченных функций / : Т —» М.

f{x)/in(dx) - / f{x)n(dx)

> £ J —> 0 при п —>■ оо.

Аналогично, fin сходится к ¡1 почти всюду (обозначение: (in —> ¡j, п.в.).

если

pflim [ f(x)fin(dx)= [ f(x)n(dx) \ =1.

оо JT JT J

Слабая сходимость функций распределения по вероятности или почти всюду может быть определена тем же способом.

Через Тг(А) и Rank(A) обозначим след и ранг матрицы А. Для

вектора х = (xi,...:xn) определим нормы ||ж||2 := (Yltf)1^2 и 1М1з

г=1

(]С II3)1/3. Для единичного шара введем обозначение Sn~l := {х G

R»1: Н^Цг - 1}. Пусть ||А|| := sup ||А*||2 и ||Л||Я5 := (Тг^М))1^

IWIa=i

обозначают операторную норму и норму Гильберта-Шмидта матрицы А соответственно.

Под [п] будем понимать набор {1,...,п}. Через зирр(ж) обозначим набор ненулевых координат вектора х. Через обозначим мощность множества А.

Всюду далее будем писать й 6, если существует абсолютная

константа С, зависящая только от т, такая что а ^ СЪ.

Введение

Теория случайных матриц и методы, используемые при исследовании случайных матриц, играют важную роль в различных разделах теоретической и прикладной математики. Случайные матрицы возникли из приложений, сначала в анализе данных, а позже в качестве статистических моделей в квантовой механике. В последние годы теория случайных матриц нашла многочисленные применения во многих других областях, например, в численном анализе, финансовой инженерии, биологии.

В настоящей работе изучается поведение эмпирической спектральной функции распределения случайной матрицы. Предположим, что матрица А имеет размеры п х п и обозначим ее собственные значения через А^, 1 ^ г ^ п. Если все собственные значения действительны, можно определить эмпирическую спектральную функцию распределения матрицы А:

Если не все собственные значения Л^ являются действительными, то определим двухмерную эмпирическую функцию распределения матрицы

Далее мы будем часто исследовать свойства ожидаемых эмпирических спектральных функций распределения матрицы А, которые определим

а)

А:

(2)

с помощью FA(x) = Е^(ж) и ГА(х,у) = ЕТА(х,у).

Одна из основных проблем в теории случайных матриц - исследовать сходимость последовательности эмпирических спектральных функций распределения {7гЛ"} (или для заданной последовательности

случайных матриц. Под сходимостью {РАп} к некоторому пределу Р будем понимать слабую сходимость. Под сходимостью {ТА"} к пределу .Р понимается слабая сходимость по вероятности или почти наверное. Ради краткости речи будем часто опускать фразу "слабая сходимость". Предельное распределение Р называется предельным эмпирическим распределением для последовательности случайных матриц Ап.

Иногда мы будем работать с мерами, а не с соответствующими функциями распределения. В этом случае определим эмпирическую спектральную меру собственных значений случайной матрицы А:

/1А(В) = ±#{1 < г ^ п : Аг € В}, Ве В(Т), п

где Т - С или Т = М.

В настоящей работе будут рассматриваются три основных ансамбля случайных матриц: ансамбль симметричных случайных матриц, ансамбль матриц с коррелированными элементами и ансамбль ковариационных матриц.

Глава 1 работы посвящена матрицам с коррелированными элементами, но, для понимания связи между ансамблями, во введении мы изменим порядок и сначала определим ансамбль симметричных матриц. Для этого рассмотрим симметричную случайную матрицу Хп = {Хук}1к=1, элементы которой имеют ЕХ^ = 0 и ЕХд, = 1. Обозначим через А1 ^ ... ^ Хп собственные значение матрицы п_1/2Хп и определим эмпирическую спектральную функцию распределения .7-"Хп(а;) с помощью (1).

Пусть д{х) и С (я) обозначают плотность и функцию распределения полукругового закона

д{х) = т—\/4 — х21(\х\ ^ 2), в{х) = [ д{у)<1и.

т > 0. Из его результата следует, что если ^ г ^ ] < п,

являются и.о.р. случайными величинами, имеют нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию, то ТХп(а:) сходится почти наверное к полукруговому закону Вигнера. Заметим, что в работе Пастура требовалось, что = 1 для всех элементов матрицы. В ряде работ,

см., например, [20] и [21], авторам удалось в некоторых специальных случаях отказаться от выполнения этого требования.

В настоящей работе нас будут интересовать симметричные случайные матрицы с зависимыми элементами. В работе [17] Гётце и Тихомиров обобщили полукруговой закон на класс случайных матриц со структурой случайного поля. Ниже мы определим ансамбль симметричных матриц со структурой случайного- поля и получим достаточные условия, аналогичные условиям в мартингальной центральной предельной теореме, см., например, [18] и [19]. Подчеркнем, что следуя [20] и [21], в работе не предполагается, что все дисперсии элементов Хг],1 ^ г ^ ] ^ п, являются одинаковыми.

Другой интересный ансамбль случайных матриц представляют матрицы с независимыми элементами. Пусть Хп = {^/г}"/^ обозначает матрицу с н.о.р. элементами. Без ограничения общности, будем полагать, что ЕХ^ = 0. Как и прежде обозначим через Ах,Л71 собственные значения матрицы тг-1/2Хп и определим эмпирическую спектральную функцию распределения 7^п{х,у) с помощью формулы (2).

Будем говорить, что выполнен круговой закон, если ^х"(х,у) (^Хп(а;,у) соотвественно) сходится к функции распределения Р(х,у), которая имеет плотность равномерного распределения на едини�