Предельные теоремы для стохастических моделей взаимодействующих частиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Высоцкий Владислав Вадимович

Предельные теоремы для стохастических моделей взаимодействующих частиц

Специальность 01 01.05 -теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2008

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики математико-механического факультета Санкт-Петербургского Государственного университета

Научный руководитель-

доктор физико-математических наук, профессор Лифшиц Михаил Анатольевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Смородина Наталья Васильевна

кандидат физико-математических наук, Запорожец Дмитрий Николаевич

Ведущая организация-

Московский Государственный университет

Защита состоится " 14 » ЫллЛ 2008 г в /Г часов на заседании диссертационного совета Ди02 202 01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им В.А. Стеклова РАН по адресу 191023, наб р Фонтанки, д. 27, к 311

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им В.А Стеклова РАН по адресу 191023, наб р. Фонтанки, д 27

Автореферат разослан " — 2008 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002 202.01 доктор физико-математических наук

Зайцев А Ю

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Диссертация посвящена изучению стохастической модели слипающихся частиц и марковской модели движения частицы в случайной среде

Исследуемая одномерная модель притягивающихся слипающихся частиц со случайными начальными данными была предложена Мартином и Пясецким [18] в 1996 г Вскоре выяснилось, что описание процесса слипания частиц в этой модели является интересной и содержательной задачей, для решения которой используются разнообразные методы теории вероятностей Изучением различных вероятных свойств процесса слипания занимались многие авторы, например, Мартин, Пясецкий, Лифшиц, Ши, Жиро, Суидан, см [5, 6, 8, 12, 16,18] Но несмотря на достаточно большое количество статей, посвященных этому вопросу, такие важные характеристики процесса слипания, как суммарная кинетическая энергия системы частиц, количество существующих в этой системе кластеров, размер типичного кластера, к моменту начала работы автора над диссертацией еще не были изучены

Системы слипающихся частиц находят различные применения Они тесно связаны с некоторыми дифференциальными уравнениями в частных производных, возникающими при описании движения жидкостей и газов, например, с уравнением Бюргерса, см работы И, Рыкова и Синая [10] и Гурбатова и др [2] В астрофизике слипающиеся частицы могут быть использованы для описания формирования крупномасштабной структуры Вселенной, см Гурбатов и др [14] Наконец, в недавних статьях Берту-ана [7] и Жиро [13] найдена связь между стохастической моделью притягивающихся слипающихся частиц и случайным процессом аддитивного слипания (additive coalescent).

Изучаемая в диссертации марковская модель движения частицы в случайной среде под действием внешнего поля возникла как приближение классической модели Лоренца Эта модель, описывающая движение частицы сквозь неподвижные частицы некоторого вещества, была введена в 1905 г Лоренцем [17] для описания электропроводности в металлах. Сам Лоренц рассматривал лишь абсолютно упругие столкновения, а обобщения этой модели на случай неупругих столкновений можно найти у Вил-кинсона и Эдвардса [22] В случае, когда внешнее поле отсутствует, модель Лоренца с абсолютно упругими столкновениями является моделью бильярдного типа Изучению математических бильярдов посвящено очень большое количество работ, см ссылки у Гальперина и Землякова [1] В

частном случае абсолютно упругих столкновений рассматриваемая нами марковская модель движения в случайной среде соответствует модели, изучаемой в статье Равишанкара и Триоло [20]

Нас интересует асимптотика положения частицы в марковской модели движения в случайной среде в момент времени, стремящийся к бесконечности Это наиболее естественная задача, которая возникает при изучении движения в случайных средах Результаты о положении частицы в близких к изучаемой моделях движения получены в работах Равишанкара и Триоло {20] и Бунимовича и Синая [9] в [20] показано, что при должной нормировке движение частицы становится диффузией, а в [9] для положения частицы доказан принцип инвариантности

Таким образом, исследуемые в диссертации задачи относятся к актуальному и активно развивающемуся направлению современной теории вероятностей

Цель работы. Целью диссертации является решение следующих задач

1) Описать количество кластеров, существующих в системе слипающихся частиц в произвольный момент времени

2) Исследовать суммарную кинетическую энергию системы слипающихся частиц в произвольный момент времени

3) Описать положение движущейся частицы в марковской модели движения в случайной среде

Ответы на эти задачи сформулированы в виде предельных теорем, причем в модели слипающихся частиц предел берется по стремящемуся к бесконечности количеству частиц, а в модели движения в случайной среде к бесконечности устремляется время движения частицы

Методы исследований. Первоначальное изучение стохастических систем слипающихся частиц осуществляется при помощи "метода барицентров" Этот метод, позволяющий свести задачу изучения процесса слипания к изучению свойств случайных блужданий, был разработан в независимых работах Мартина и Пясецкого [18] и И, Рыкова и Синая [10]

На основе метода барицентров автором разработан общий метод получения предельных теорем для различных характеристик процесса слипания Этот метод опирается на свойство локальности процесса слипания, состоящее в том, что поведение каждой частицы практически полностью определяется движением лишь соседних с нею частиц Получено количественное описание этой локальности, при помощи которого предельные теоремы для характеристик процесса слипания получаются из стандарт-

ных предельных теорем для слабо зависимых случайных величин

Изучение же движения частицы в случайной среде сводится к исследованию различных свойств некоторой цепи Маркова В частности, требуется проверить эргодичность этой цепи, а также применимость к ней принципа инвариантности Для решения этих вопросов использованы методы исследования марковских цепей, основанные на стохастических аналогах функций Ляпунова, см Мейн и Твиди [19]

Основные результаты и их научная новизна. При изучении одномерной стохастической модели притягивающихся слипающихся частиц были получены следующие результаты

1) Разработан общий метод доказательства предельных теорем для модели со случайными начальными положениями и нулевыми начальными скоростями частиц (так называемый холодный газ)

2) Для количества кластеров в холодном газе доказаны закон больших чисел в произвольный момент времени и функциональная центральная предельная теорема Для основных моделей случайных начальных положений частиц предел в законе больших чисел найден в явном виде Таким образом, получено практически исчерпывающее описание количества кластеров в холодном газе

Для модели со случайными начальными положениями и случайными начальными скоростями частиц (так называемый теплый газ) получена оценка количества кластеров, свидетельствующая о существенном различии в поведении теплого и холодного газов

3) Для теплого газа получена близкая к оптимальной оценка размера мгновенно образующихся кластеров

4) Для моделей холодного и теплого газов получена предельная теорема для кинетической энергии в произвольный момент времени В частности, в этой теореме показано, что теплый газ мгновенно охлаждается

При изучении марковской модели движения частицы в случайной среде под действием постоянного внешнего поля были получены следующие результаты

5) Показано, каким образом рассматриваемая марковская модель движения частицы в случайной среде выводится из положений классической модели Лоренца с неупругими столкновениями Объяснено, в каком смысле эти модели близки друг к другу

6) Для траектории движущейся частицы получена функциональная центральная предельная теорема

Все перечисленные результаты являются новыми

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер Методы, разработанные для исследования стохастических систем слипающихся частиц, могут быть использованы для дальнейшего изучения свойств этих систем Полученный результат о движении частицы в случайной среде полезен тем, что он дает микроскопическое описание процесса переноса вещества под действием внешнего поля

Апробация работы. Результаты были доложены на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике, на семинаре по теории представлений и динамическим системам ПОМИ РАН, на семинаре университета г Билефельд (в 2007 г), на семинаре Института математической стохастики в г Геттинген (в 2007 г) и на семинаре научной школы по математической статистической физике в г Лез Уш (в 2005 г) Кроме того, некоторые из полученных результатов докладывались на финальном туре 11-го Конкурса Мебиуса в Москве (в 2007 г) и на Конкурсе молодых ученых Санкт-Петербургского государственного университета (в 2007 г)

Результаты диссертации докладывались на семи международных конференциях - это Пиренейский международный симпозиум по статистике, вероятности и исследованию операций (Хака, 2007 г), Международная конференция "50 лет пространству Скорохода" (Киев, 2007 г), Международный конгресс по математической физике (Рио-де-Жанейро, 2006 г), Международный симпозиум Института математической статистики (Рио-де-Жанейро, 2006 г), 9-я Международная вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 2006 г), 6-й Всемирный конгресс Общества Бернулли по теории вероятностей и математической статистике (Барселона, 2004 г) и 4-й Европейский математический конгресс (Стокгольм, 2004 г)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ [23]—[33] Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения Ее объем составляет 142 страницы, включая 6 рисунков и список литературы из 56 наименований

Содержание работы

Во введении сформулированы цели и задачи работы, обоснована актуальность темы исследования, кратко изложены полученные результаты Глава I посвящена изучению стохастической модели слипающихся частиц

В первом параграфе приведено описание исследуемой модели и ее применений в астрофизике

Модель слипающихся частиц представляет собой стохастическую модель одномерного газа. В начальный момент газ состоит из п одинаковых частиц, каждая из которых является материальной точкой массы ~ со случайной начальной скоростью и случайным начальным положением Частицы газа притягиваются друг к другу, причем сила взаимного притяжения равна произведению масс, то есть не зависит от расстояния При столкновениях частицы слипаются, образуя новую частицу (называемую кластером), масса и скорость которой определяются законами сохранения массы и импульса Движение частиц между столкновениями подчинено второму закону Ньютона

Описанная динамика является полностью детерминированной, а случайность входит лишь в начальные данные частиц Начальные положения частиц описываются при помощи следующих моделей В равномерной модели положения частиц являются независимыми равномерно распределенными на [0,1] случайными величинами В модели с независимыми расстояниями (далее именуемой н р -моделью) частицы изначально располагаются в точках ~ 5\, , ~ Бп, где Зг - случайное блуждание с неотрицательными приращениями Хг, для которых ЕХ, = 1 Здесь можно выделить два особенно интересных частных случая Модель с независимыми расстояниями, в которой Хг имеют стандартное экспоненциальное распределение, называют пуассоновской Неслучайную модель начальных положений, в которой все Хг = 1, называют решетчатой Равномерная и пуассоновская модели являются наиболее естественными и интересными, поэтому их называют основными моделями начальных положений

Для описания случайных начальных скоростей частиц используются две модели В холодном газе все начальные скорости равны нулю В теплом газе начальные скорости частиц равны апУ1, гт„иг, , <тп1>п) где ип > О - некоторые нормирующие константы, а», - независимые одинаково распределенные случайные величины, независимые со случайными величинами, задающими начальные положения Предполагается, что Еуг — 0, а Ш)иг = 1 Случай, когда ап = о > 0, называется основным

Во втором параграфе излагается метод барицентров, являющийся базовым инструментом для изучения систем слипающихся частиц

В третьем параграфе дан предварительный анализ процесса слипания в холодном газе Эти результаты используются в следующих параграфах при получении предельных теорем о поведении числа кластеров в

холодном газе В частности, нами показано, что процесс слипания локален, то есть поведение каждой частицы практически полностью определяется движением лишь соседних с нею частиц Приведена строгая формулировка этого утверждения, а также получено количественное описание указанной локальности

В четвертом параграфе доказывается следующая теорема, являющаяся поточечным законом больших чисел для количества кластеров в холодном газе.

Обозначим Kn(t) количество кластеров в системе, здесь t - это время, а индекс п всегда будет указывать на число начальных частиц При подсчете Kn(t) мы учитываем и исходные частицы, к моменту t не испытавшие столкновений, таким образом, Кп{0) = п Пусть также

р = sup{y Т{Хг < у} = 0}

Теорема 4.1. В холодном газе при н р -модели начальных положений существует такая неслучайная функция a(t) (зависящая от распределения Хг), что для любого t ф 1 справедливо

Kn(t) р , . , .

-——> a(t), п —оо (1)

п

Функция a(t) не возрастает, a(t) = 1 на [0,у/]Т), a(t) € (0,1) на (^/Ц, 1) и a(t) — 0 на (1, оо) Если распределение Хг непрерывно, то a(t) непрерывна на [0,1) Если оке ЕХг2 < оо, то (1) выполняется и при t — 1, а из непрерывности распределения Хг следует непрерывность a(t) при всех t

В холодном газе при равномерной модели начальных положений (1) выполняется для некоторой неслучайной непрерывной a(t)Umf при ecext

В пятом параграфе предельная функция a(t) из теоремы 4 1 находится в явном виде для основных моделей начальных положений Обозначим aFmss{t) предельную функцию для пуассоновской модели в теореме 4 1

Теорема 5.1. В холодном газе для предельных функций при основных моделях начальных положений aPolss{t) = аипг? (t) = 1 — t2 при 0 < t < 1

Существует разительный контраст между простотой формулировки этого результата и сложными вычислениями, которые требуются, чтобы его получить Сообщим, что для этого потребовалось вычислить вероятность

Fte щт!) t * * *} - i> - •*) * °}>

где Яг - экспоненциальное случайное блуждание, то есть блуждание с экспоненциально распределенными приращениями Подсчет этой вероятности сложен тем, что не сводится к применению предельных теорем, например, таких как принцип инвариантности

Цель шестого параграфа состоит в усилении теоремы 4 1 здесь доказывается функциональная центральная предельная теорема для числа кластеров Сперва заметим, что траектории изучаемого процесса Кп{1) являются элементами пространства Скорохода О

Теорема 6.1. Если в холодном газе при нр -модели начальных положений распределение X, непрерывно и удовлетворяет условию ЕХ,7 < оо при некотором у > 4, то существует центрированный гауссовский процесс К{) на [0,1) (зависящий от распределения Хг) такой, что

Кп{ ) - ■тго() 6 ! _ ддя всех £ е (0) у ^

\/п

при п —> оо Его траектории непрерывны с вероятностью 1, а К{0) = 0 Ковариационная функция процесса К{) непрерывна на [0,1)2,

Д(в,4) > 0 на {у/Ц, I)2 и Д(в, *) = 0 на [0,1)2 \ (у/Ц, I)2

В холодном газе при равномерной модели начальных полосясений соотношение (2) выполняется для некоторого центрированного гауссовского процесса Кипг$ () на [0,1) Его траектории непрерывны с вероятностью 1, а Кипг?(0) = 0 Ковариационная функция Випг^($, I) процесса Кипг?() непрерывна на [0,1)2, и кроме того, ВУпг* (в, = ЯРог88(з,Ь) — з2^

Отсюда видно, что хотя аРог$е ( ) = аУпг?(), но пуассоновская и равномерная модели приводят к различным предельным процессам КРт8Я( ) и Кипг? {) Любопытна и неожиданна положительность Ь) для н р -модели

Возникает естественный вопрос можно ли доказать слабую сходимость траекторий процесса Кп( ^ в пространстве £>[0,1], тем самым усилив (2) в теореме 6 1? В седьмом параграфе обсуждается более простой вопрос - сходимость _ в критический момент времени

4 = 1 Показано, что в холодном газе при пуассоновской модели начальных положений последовательность плотна, то есть Кп(1) действительно

имеет порядок у/п Интересно сравнить этот результат с результатом Су-идана [6], который нашел распределение Кп{1) для теплого газа с ап = 1 при решетчатых начальных положениях частиц и в качестве следствия

получил ЖКп(1) ~ к^п Это единственный результат о количестве кластеров, встречающийся в работах других авторов

При изучении сходимости была сформулирована следующая ни-

же гипотеза, которая представляет большой интерес и без учета ее приложений к модели слипающихся частиц

Гипотеза 7.1. Для экспоненциального блуждания ,3, существует предел

т

Ьт Л;1/4 р/ тт - Е5г) > о) € (0,оо)

~ - г=1

По-видимому, эта гипотеза справедлива не только для экспоненциального блуждания, а для гораздо более широкого класса блужданий, удовлетворяющих некоторым моментным ограничениям Для случая простого случайного блуждания несколько более слабое утверждение доказано Синаем [21] Интересно, что и вероятности односторонних малых уклонений проинтегрированного винеровского процесса на большом интервале [0, к] имеют такой же порядок /г-1/4 при к —> оо, см Исозаки и Ватанабе [15]

Приведенные выше результаты позволяют сказать, что в диссертации получено практически исчерпывающее описание числа кластеров в холодном газе Восьмой параграф посвящен рассмотрению процесса слипания в теплом газе Оказывается, что в теплом газе мгновенно образуются кластеры неограниченного размера, о чем свидетельствует следующее предложение, в котором дается оценка размера образующихся кластеров

Пусть п означает момент, когда частицы с номерами к, , к +

I € [1, п] впервые окажутся в одном кластере (считается, что частицы пронумерованы слева направо), второй индекс п указывает на начальное число частиц в системе

Предложение 8.1. Если в теплом газе 'пГ1 ап прип —> оо, то тогда при любой из описанных моделей начальных положений верно следующее Для любого t > 0 и любой последовательности ап —> 0, удовлетворяющей ап1п оо, где 1п =п Л (псгп)2/3,

^{Т{г-ап1п,г+ап1п],п < -> 1, П ОО

равномерно по г € {а'п21п, п — а1/21п]

Сравнение этого результата с оценкой размера максимального кластера из работы Лифшица и Ши [16] убеждает в том, что полученная оценка размера мгновенно образующихся кластеров близка к оптимальной

В качестве следствия из предложения 8 1 имеем следующий результат о числе кластеров, который убедительно демонстрирует различие в поведении теплого и холодного газов, см теорему 4 1

"Утверждение 8.1. Если в теплом газе те"1 -С оп при п —> оо, то при любой из описанных моделей начальных положений для любого Ь > О

Кпф р. „

---> 0, п оо

п

В девятом параграфе изучается суммарная кинетическая энергия газа Еп({) Прежде, чем сформулировать основной результат, введем следующее условие Пусть £„(<) означает размер максимального кластера, существующего в системе в момент £ Соотношение

£»(<) Р. т,

--> 1{*>1}, п->оо

п I - /

будем называть условием существования макроскопического кластера в момент £ или, кратко, УСМК{{) Величина Ьп(€) достаточно подробно изучена в работах других авторов, а условие УСМК(£) выполняется в подавляющем большинстве случаев (которые перечислены в начале параграфа) при всех I ф 1

Теорема 9.1. При любой из описанных моделей начальных положений, в холодном газе, а также в теплом газе при выполнении п~х -С ап и си = 0(1) при п —» оо, для любого £ € (0,1) и (1, оо)

УСМК{€) Еп{±) -А п-^оо

В частности, из этой теоремы видно, что теплый газ мгновенно охлаждается Действительно, для основного случая <т„ = а > 0 из закона больших чисел имеем Еп(0) = ^ 07^)2 —> \ > 0, что соответствует положительной начальной температуре газа Мгновенное охлаждение было обнаружено при помощи компьютерного моделирования и описано в работе Бонвина и др [8], которая и дала автору диссертации мотивировку для теоретического описания этого явления

Завершает главу десятый параграф, в котором приведены результаты компьютерного моделирования систем слипающихся частиц Это сделано для того, чтобы в наглядной форме продемонстрировать полученные предельные теоремы

Глава II посвящена изучению марковской модели движения в случайной среде

В одиннадцатом параграфе описывается рассматриваемая модель движения в случайной среде и объясняется ее происхождение

Рассмотрим движение частицы в пространстве произвольной размерности ¿>1 В начальный момент времени частица, находящаяся в начале координат, обладает неслучайной скоростью «о Она начинает двигаться с постоянным ускорением а, время от времени испытывая столкновения с препятствиями - частицами, образующими случайную среду Пусть Г}п означает длину пути движущейся частицы между п-м и (п + 1)-м столкновениями, а щ - длину пути до первого столкновения Будем предполагать, что {г]п}п>о являются независимыми экспоненциально распределенными случайными величинами со средним А - параметром, равным длине свободного пробега частицы

Столкновения с препятствиями происходят следующим образом Пусть {сп}п>1 ~ независимые случайные векторы, равномерно распределенные на единичной сфере 5й-1 С и пусть все {т]п}п>о и {<тп}п>1 независимы друг с другом. Будем полагать, что при п-м столкновении скорость частицы Уп меняется на Уп — (Уп + \Уп\<тп)

Легко видеть, что Уп - скорости частицы в моменты столкновений -связаны соотношениями

Уп+1 = Уп - ^~(Уп + \Уп\ап)+аР(уп - + |№»),Чп),

где неслучайная функция Р • х К+ —>■ определяется уравнением

■РО,«)

|г> + аЦсИ = г

Поскольку Уп образуют цепь Маркова с начальным распределением \\ = ьо + аР(уо, г}о), мы говорим о марковской модели движения частицы в случайной среде По-видимому, эта модель была впервые предложена автором диссертации в работе [24], хотя некоторые ее положения присутствуют у Равишанкараи Триоло [20], которые, однако, рассматривают лишь случай а = 1

В диссертации описанная модель именуется марковским приближением модели Лоренца или, кратко, МПМЛ-моделью, поскольку ее введение было мотивировано именно моделью Лоренца Как уже говорилось, последняя модель, давно ставшая классической, была введена Лоренцем [17]

I

еще в 1905 г В параграфе одиннадцать объяснено, каким образом положения МПМЛ-модели выводятся из предпосылок модели Лоренца и предположения о том, что центры препятствий, составляющих случайную среду, образуют луассоновский точечный процесс Конечно, МПМЛ-модель и модель Лоренца отличаются, но все же они достаточно близки друг к другу Объяснено, чтб следует понимать под этим утверждением и каким образом ему можно придать строгий смысл. При этом использован подход, разработанный Галлавотти [11] и другими авторами для математически строгого вывода уравнения Больцмана в разреженных газах

Наконец, в параграфе отмечено, что если в размерности d = 1 считать, что при столкновениях скорость частицы Vn всегда домножается на —а, то получается другая очень содержательная модель движения, которую уместно называть обобщенным телеграфным процессом Действительно, если а = 1, а а = 0, то движение частицы представляет собой телеграфный процесс, подробнее о котором можно узнать, например, из книги Каца [4] В двенадцатом параграфе сформулирован основной результат о движении в МПМЛ-модели - функциональная предельная теорема для траектории частицы, а также начато доказательство этого результата

Пусть Х(Т) означает положение частицы в момент времени Т Будем считать, что базис Ш.'1 выбран так, что ускорение а направлено вдоль последней координатной оси Пространство непрерывных функций со значениями в ffid будем стандартно обозначать через С

Теорема 12.1. Предположим, что 0 < а < 1, во/0 Тогда существуют такие константы cv > 0 и С1УС2 > 0 (зависящие от |а|,а, А и d), что для движения частицы в МПМЛ-модели при любой начальной скорости vo € справедливо

X(sT)-cvasT_ (ciWi(?CiWd_i( )}C2Wd{ )}т e c[Qj х]

при Т -» оо, где W¡() - независимые винеровские процессы

Кроме того, в размерности d ~ 1 при 0<а<1««/0 это же утверждение верно и для обобщенного телеграфного процесса, но уже с другими константами cv ^ 0 и ('■> О

Таким образом, частица испытывает снос в направлении внешнего поля, двигаясь со средней скоростью с„|а| После устранении сноса движение частицы становится броуновской диффузией, распределение которой

инвариантно относительно вращений вокруг направления поля Такая инвариантность вызвана симметрией МПМЛ-модели относительно направления а

Комментарии по поводу вида одномерных распределений предельного процесса можно найти у Вилкинсона и Эдвардса [22], однако их рассуждения проведены лишь на физическом уровне строгости Уже после того, как теорема 12 1 была доказана, автор ознакомился со статьей Равишанкара и Триоло [20], в которой тоже доказывается слабая сходимость траекторий процесса Х(Т), но для Х(Т) использована другая нормировка Поскольку в этой работе рассматривается только случай а = 1, теорема 12 1 и результат статьи [20] удачно дополняют друг друга

В двенадцатом параграфе показано, что доказательство теоремы 12 1 сводится к проверке различных утверждений о некоторой марковской цепи Ф„ Сложность изучения этой цепи состоит в том, что, во-первых, пространство ее состояний не счетно и не компактно, а во-вторых, эта цепь не удовлетворяет условию Деблина, поэтому классические результаты (см Дуб [3]) к ней не применимы Для преодоления этих трудностей использован подход, который изложен в книге Мейна и Твиди [19] и основывается на стохастических аналогах функций Ляпунова Этот подход, а также другие необходимые сведения о цепях Маркова изложены в тринадцатом параграфе

В четырнадцатом параграфе исследуются свойства цепи Ф„ Доказывается, что эта цепь эргодична, и самое важное, для нее выполняется принцип инвариантности Применение полученных свойств цепи Маркова Фп завершает доказательство теоремы 12 1 в пятнадцатом параграфе

В заключении подводится итог проделанных исследований

Автор глубоко признателен своему научному руководителю Михаилу Анатольевичу Лифшицу за постановку интересных задач, постоянное внимание к работе и бесчисленные советы, данные в течение почти шестилетнего руководства

Список литературы

[1] Гальперин Г А , Земляков А Н Математические бильярды - М Наука, 1990

[2] Гурбатов С Н , Малахов А Н., Саичев А И Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии - М Наука, 1990

[3] Дуб Дж Вероятностные процессы - М ИЛ, 1956

[4] Кац М Несколько вероятностных задач физики и математики - М Наука, 1967

[5] Куоза JI В , Лифшиц М А Агрегация в одномерной модели газа с устойчивыми начальными данными // Записки научных семинаров ПОМИ, 2004, т 311, с 161-178.

[6] Суидан ТМ Одномерный гравитационно взаимодействующий газ и выпуклая миноранта броуновского движения / / Успехи математических наук, 2001, т 56, с 73-96

[7] Bertom J Clustering statistics for sticky particles with Browman initial velocity // J Math Pures Appl, 2000, v 79, pp 173—194

[8] Bonvm J С , Martm Ph A , Piasecki J , Zotos X Statistics of mass aggregation m a self-gravitatmg one-dimensional gas //J Stat Phys , 1998, v 91, pp 177-197

[9] Bummovich L A , Sinai Ya G Statistical properties of Lorentz gas with periodic configuration of scatterers // Comm Math Phys , 1981, v 78, pp 479-497

[10] E W , Rykov Yu G , Sinai Ya G Generalized variational principles, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising m adhesion particle dynamics // Comm Math Phys , 1996, v 177, pp 349-380

[11] Gallavotti G Rigorous theory of the Boltzmann equation m the Lorentz gas // Nota interna n 358, Istituto di Fisica, Umversita di Roma, 1972

[12] Giraud С Clustering in a self-gravitatmg one-dimensional gas at zero temperature //J Stat Phys , 2001, v 105, pp. 585-604

[13] Giraud С Gravitational clustering and additive coalescence // Stoch Proc Appl , 2005, v 115, pp 1302-1322

[14] Gurbatov S N , Saichev A I, Shandarm S F The large-scale structure of the universe m the frame of the model equation of non-lmear diffusion // Mon Not R Astr Soc , 1989, v 236, pp 385-402

[15] Isozaki Y , Watanabe S An asymptotic formula for the Kolmogorov Diffusion and a refinement of Sinai's estimates for the integral of Browman motion // Proc Japan Acad , Ser A, 1994, v 70, pp 271-276

[16] Lifshits M , Shi Z Aggregation rates m one-dimensional stochastic systems with adhesion and gravitation // Ann Probab , 2005, v 33, pp 53-81

[17] Lorentz H A The motion of electrons in metallic bodies, I // Komnkli-jke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings, Amsterdam, 1904/05, v 7, pp 438-453

[18] Martm Ph A , Piasecki J Aggregation dynamics in a self-gravitating one-dimensional gas // J Stat Phys , 1996, v 84, pp 837-857

[19] Meyn S P , Tweedie R L Markov Chains and Stochastic Stability - London Springer, 1993

[20] Ravishankar К , Taolo L Diffusive limit of the Lorentz model with a uniform field starting from the Markov approximation // Markov Processes and Related Fields, 1999, v 5, pp 385-421

[21] Smai Ya G Distribution of some functionals of the integral of a random walk // Theor. Math Phys , 1992, v 90, pp 219-241

[22] Wilkinson D R , Edwards S F Spontaneous mterparticle percolation // Proc R Soc Lond , Ser A, 1982, v 381, pp 33-51

Публикации автора по теме диссертации

[23] Высоцкий В В Энергия и количество кластеров в стохастических системах неупругих притягивающихся частиц // Теория вероятн и ее примен , 2005, т 50, с 241-265

[24] Высоцкий В В Предельная теорема для положения частицы в модели Лоренца // Записки научных семинаров ПОМИ, 2005, т 328, с 42-68

[25] Высоцкий В В Площадь экспоненциального случайного блуждания и частичные суммы порядковых статистик // Записки научных семинаров ПОМИ, 2007, т 341, с 48-67

[26] Vysotsky V A functional limit theorem for the position of a particle in a Lorentz type model//Markov Proc Rel Fields, 2006, v 12, pp 767-790

[27] Vysotsky V V Clustering m a stochastic model of one-dimensional gas // Annals of Applied Probability, принята в печать, 35 с Доступна в виде препринтов на www lmstat org/aap/future_papers html и www arxiv org

Тезисы докладов автора по теме диссертации

[28] Vysotsky V On energy and clusters m stochastic systems of sticky gravitating particles // Programme, Abstracts and Directory of Participants of

6th World Congress of the Bernoulli Society for Mathematical Statistics and Probability and 67th Annual Meeting of the Institute of Mathematical Statistics Barcelona, 2004, pp 200-201

[29] Vysotsky V The number of clusters in a stochastic model of one-dimensional gas // Abstracts of Communications of 9th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics Vilnius, 2006, p 322

[30] Vysotsky V A limit theorem for the position of a particle m a Lorentz type model of motion m a random medium // Program Book of 69th Annual Meeting of the Institute of Mathematical Statistics Rio de Janeiro, 2006, P 58

[31] Vysotsky V A limit theorem for the trajectory of a particle m the Lorentz model / / Program and Abstracts of International Congress on Mathematical Physics Rio de Janeiro, 2006, p 151

[32] Vysotsky V V Gravitational clustering tn stochastic systems of sticky particles / / Abstracts of International Conference "Skorokhod Space 50 Years On", book II Kiev, 2007, pp 151-152

[33] Vysotsky V The area of exponential random walk and stochastic systems of sticky particles / / Program and Abstracts of the Pyrenees International Workshop on Statistics, Probability and Operations Research Jaca, 2007, p 35

Подписано в печать 29 02 2008 Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис» Печать ризографическая Заказ № 1/0229 П л 1 0 Уч -изд л 1 0 Тираж 100 экз

ЗАО «КопиСервис» Адрес 197376, Санкт-Петербург, ул Проф Попова, д 3 тел (812) 327 5098

Оглавление.

Введение

1 Модель слипающихся частиц.

1.1 Описание модели.

1.2 Постановка задач.

1.3 Результаты.

2 Марковская модель движения в случайной среде.

2.1 Мотивация

2.2 Описание модели.

2.3 Постановка задачи и формулировка результата.

3 Структура диссертации. Благодарности.

I Модель слипающихся частиц

Содержание главы I.

1 Описание модели и ее применений в астрофизике.

1.1 Описание модели.

1.2 Применения слипающихся частиц в астрофизике

2 Начальное изучение системы слипающихся частиц.

2.1 Метод барицентров.

2.2 Масштабирование начальных данных.

2.3 Связь между равномерной и пуассоновской моделями

3 Анализ процесса слипания в холодном газе.

3.1 Начальное изучение: применение метода барицентров

3.2 Локальность процесса слипания.

3.3 Свойства времен слипания

3.4 Времена слипания в пуассоновской модели.

3.5 Применения локальности процесса слипания.

4 Закон больших чисел для числа кластеров в холодном газе

5 Предельная функция a(t) в законе больших чисел для числа кластеров в холодном газе.

5.1 "Частичные плотности" и непрерывность G{t)

5.2 Свойства "частичных плотностей" и дифференцируе-мость G(t).

5.3 Дифференциальное уравнение на G(t).

6 Функциональная центральная предельная теорема для числа кластеров в холодном газе.

6.1 Доказательство для н.р.-модели

6.2 Доказательство для равномерной модели.

7 Результаты о числе кластеров в холодном газе в критический момент t =

8 Процесс слипания в теплом газе.

9 Предельное поведение кинетической энергии газа.

9.1 Условие существования макроскопического кластера

9.2 Предельная теорема для кинетической энергии газа

10 Компьютерное моделирование процесса слипания.

II Марковская модель движения в случайной среде

Содержание главы II.

11 Модель Лоренца и ее марковское приближение.

11.1 Описание марковского приближения модели Лоренца

11.2 Вывод МПМЛ-модели из положений модели Лоренца

11.3 Сравнение МПМЛ-модели с моделью Лоренца.

12 Функциональная центральная предельная теорема для положения частицы. Начало доказательства.

12.1 Положение частицы при п-м столкновении.

12.2 Сведение доказательства к утверждениям о цепи Фп

13 Сведения о цепях Маркова.

13.1 Определения и обозначения.

13.2 Теоремы.

14 Изучение свойств цепи Маркова Фп

14.1 Неприводимость, апериодичность и феллеровость

14.2 Проверка условия Ляпунова-Фостера.

14.3 [/-равномерная эргодичность. Инвариантная мера цепи

14.4 Конечность экспоненциальных моментов скоростей при столкновениях Vn и времен между столкновениями тп

15 Окончание доказательства функциональной центральной предельной теоремы для положения частицы.

15.1 Доказательство соотношения (15)

15.2 Определение констант ci, С2 и

15.3 Доказательство соотношения (16)

1 Модель слипающихся частиц 1.1 Описание модели

Первая глава диссертации посвящена изучению стохастической модели одномерного газа. В начальный момент газ состоит из п одинаковых частиц, каждая из которых является материальной точкой массы ^ со случайной начальной скоростью и случайным начальным положением. Частицы газа притягиваются друг к другу. При столкновениях частицы слипаются, образуя новую частицу, называемую кластером, масса и скорость которой определяются законами сохранения массы и импульса. Движение между столкновениями подчинено второму закону Ныотона.

Мы предполагаем, что сила взаимного притяжения пропорциональна произведению масс и не зависит от расстояния, что достаточно естественно для одномерных моделей (действительно, из теоремы Гаусса, примененной к потоку гравитационного поля, следует, что сила притяжения пропорциональна расстоянию в степени единица минус размерность пространства). Коэффициент пропорциональности, не умаляя общности, полагаем равным единице. Отсюда ускорение произвольной частицы (или кластера) равно разности масс, находящихся справа и слева от этой частицы.

Таким образом, динамика рассматриваемой системы является полностью детерминированной. Случайность входит лишь в начальные данные частиц, и сейчас мы определим механизм, порождающий эту случайность.

Начальные положения частиц описываются при помощи следующих моделей. В равномерной модели положения частиц являются независимыми равномерно распределенными на [0,1] случайными величинами. В модели с независимыми расстояниями, далее именуемой н.р.-моделью, частицы изначально располагаются в точках ~Si, ^62, • • • 5 п^п, гДе случайное блуждание с неотрицательными приращениями Хг-, удовлетворяющими нормирующему условию ЕXi = 1. Здесь можно выделить два особенно интересных частных случая. Модель с независимыми расстояниями, в которой Х{ имеют стандартное экспоненциальное распределение, называют пуассонов-ской - это связано с тем, что частицы находятся в точках п первых скачков пуассоновского процесса интенсивности п. Если же все Xi = 1, то мы имеем дело с неслучайной моделью, которую называют решетчатой.

Равномерная и пуассоновская модели являются наиболее естественными и интересными, поэтому мы будем называть их основными моделями начальных положений. Им посвящены многочисленные статьи о системах слипающихся частиц, например, [4, 34, 35, 38]. Модель с независимыми расстояниями, обобщающая пуассоновскую модель, была впервые рассмотрена автором в работе [55]. Ее введение объясняется тем, что в поведении газа ключевую роль играет именно независимость расстояний между частицами, а не вид распределения этих расстояний, см. § 3.

Для описания случайных начальных скоростей частиц используют две модели, см. [19, 34, 38, 44]. В холодном газе все начальные скорости нулевые, а в теплом газе начальные скорости частиц равны anv 1, crnv2,., anvn, где crn > 0 - некоторые нормирующие константы, a V{ - независимые одинаково распределенные случайные величины, которые предполагаются независимыми со случайными величинами, задающими начальные положения. Наиболее часто рассматривают основной случай ап = а > 0.

Хорошо известно (см., например, статью Лифшица и Ши [38]), что поведение теплого газа с сгп = а существенно отличается от поведения холодного газа. Зависимость ап от п впервые рассмотрена в работе [38], в которой также описано любопытное явление "фазового перехода" между холодным и теплым газом. Оказывается, что если ап малы, то есть газ недостаточно теплый, поведение системы частиц соответствует холодному случаю. Если же огп достаточно велики, система ведет себя абсолютно по-иному, что соответствует основному случаю теплого газа с ап = а.

Мы будем считать, что Ег^ = 0. Общий случай получается из рассматриваемого добавлением сдвига с постоянной скоростью, что, конечно же, не влияет на характеристики системы частиц и соответствует переходу к другой системе отсчета. Мы также всегда будем предполагать, что Ю)г;г- = 1, хотя изучение теплого газа возможно и при существенно более тяжелых хвостах распределения см. Куоза и Лифшиц [17].

В диссертации наибольшее внимание уделено холодному газу, а немногочисленные утверждения о теплом газе были получены именно для описания качественной разницы между этими случаями. Несмотря на кажущуюся простоту модели, холодный газ, в котором случайны только начальные положения частиц, представляет собой интересный и содержательный объект для изучения. Схожая ситуация, когда случайны лишь начальные скорости, а начальные положения задаются решетчатой моделью, рассмотрена в работах [10, 17, 19, 39, 44].

В последние десять-пятнадцать лет наблюдается повышенный интерес к системам слипающихся частиц, который вызван их тесной связью с некоторыми дифференциальными уравнениями в частных производных, возникающими при описании движения жидкостей и газов. Одним из таких уравнений является уравнение Бюргерса, используемое в качестве простейшей модели гидродинамической турбулентности, см. Гурбатов и др. [7]. Решения этого и схожих уравнений допускают непосредственную интерпретацию в терминах слипающихся частиц, см. Гурбатов и др. [7], Бренье и Гренье [26], а также И, Рыков и Синай [31]. Кроме того, слипающиеся частицы могут быть использованы для построения численных решений некоторых дифференциальных уравнений в частных производных, см. Черток и др. [30].

С ходом времени частицы слипаются в кластеры, размер кластеров увеличивается, а число кластеров число уменьшается. Наконец, все частицы слипаются в один большой кластер. Описанный процесс слипания упрощенно напоминает образование звезды из космической пыли. И в самом деле, схожие системы слипающихся частиц находят применения в астрофизике, о чем будет подробно рассказано в § 1.2. Кроме того, процесс образования и укрупнения кластеров тесно связан с так называемым аддитивным слипанием (additive coalescence), см. Бертуан [23] и Жиро [35].

Стоит также упомянуть о связи между рассматриваемой здесь моделью и схожей моделью, в которой гравитация отсутствует, а между столкновениями слипающиеся частицы движутся по инерции. Такая модель, называемая баллистической, более естественна в том смысле, что отсутствие гравитации полностью снимает все вопросы о постулированной в нашей модели независимости силы притяжения от расстояния. Некоторые свойства баллистической модели изучены в работах Мартина и Пясецкого [43] и Лифшица. и Ши [39]. Оказывается, что при должном выборе начальных положений и скоростей частиц, гравитационная модель сводится к баллистической при помощи простой неслучайной замены времени: Эта идея была недавно раз-, вита Куозой и Лифшицем.

Одномерная модель слипающихся частиц с независящей от расстояния гравитацией была впервые рассмотрена в независимых работах Мартина и Пясецкого [44] и И, Рыкова и Синая [31]. Мотивировка первых авторов заключалась лишь в том, что методы, разработанные ими в [43] для баллистической модели, работают и в этом случае. Авторы же [31] рассматривали модель с гравитацией в связи с дифференциальными уравнениями в частных производных, о чем уже было сказано выше.

1.2 Постановка задач

Теперь, когда стохастическая модель одномерного газа описана, возникает естественный и очень общий вопрос: а как ведет себя процесс слипания? Например, каков размер типичного кластера? Когда все частицы слипнутся в один большой кластер? Каков размер максимального кластера?

Изучению различных характеристик процесса слипания посвящено большое количество статей, например, [4, 17, 34, 38, 44]. Их результаты формулируются в виде предельных теорем при числе частиц 77., стремящемся к бесконечности. Таким образом, изучается поведение "типичной" системы, состоящей из большого количества частиц. Не асимптотические результаты практически отсутствуют, так как их получение в явном виде возможно лишь в исключительных и достаточно простых частных случаях.

Для описания процесса слипания мы остановимся на двух его характеристиках. Первая из них - это количество кластеров, которое мы обозначим Kn(t), где t - это время, а индекс п всегда будет указывать на число начальных частиц. При подсчете Kn{t) мы учитываем и исходные частицы, к моменту t не испытавшие столкновений; таким образом, термин "кластер" мы понимаем чуть шире, чем результат слипания частиц. Иными словами, Kn(t) равно числу всех частиц, существующих в газе в момент t. Вторая характеристика - это кинетическая энергия газа, которую мы обозначим En{t) и определим как суммарную кинетическую энергию всех кластеров газа.

Ясно, что Kn(t) является убывающей ступенчатой случайной функцией, для которой Кп(0) = п и Kn{t) = 1 при t > где Tjasi означает момент последнего столкновения. En(t) тоже является случайной функцией, но уже кусочно-квадратичной, поскольку между столкновениями движения всех частиц равноускорены.

Знание поведения величин Kn(t) дает много информации о процессе слипания, поскольку в среднем размер кластера в произвольный момент времени t равен . Изучение же кииетической энергии важно потому, что она напрямую связана с такой фундаментальной физической характеристикой газа как температура.

Несмотря на достаточно большое количество работ, посвященных различным свойствам систем слипающихся частиц, величины Kn(t) и En(t) ранее никем систематически не изучались. Единственный результат о числе кластеров для одного очень частного случая можно найти в статье Су-идана [19]. Упоминание о кинетической энергии газа, а также некоторые предположения о ее поведении, сделанные на основании компьютерного моделирования, присутствуют в работе Бонвина и др. [25]. Таким образом, теоретическое изучение энергии впервые осуществлено автором диссертации.

Прежде чем формулировать полученные результаты, рассмотрим простой и полезный детерминистический пример - поведение холодного газа при решетчатой модели начальных положений. Оказывается, что до момента t = 1 столкновения отсутствуют, а при t = 1 все частицы одновременно слипаются в один большой кластер. Действительно, так как г-ая частица

77—7 7—1 Ti — А-Л изначально испытывает ускорение ^ — — „ и движется равноускоренно до момента своего первого столкновения, то до этого момента ее положение меняется во времени как ^ + 12. Поэтому если первое столкновение в системе происходит между j-ovi и (j + 1)-ой частицами в момент то j + = + n"2(j2:1)+1^, откуда U = 1. Значит, до t = 1 столкновений нет, и положение произвольной частицы г есть ^ + при всех t < 1. Отсюда находим, что при t = 1 происходит одновременное столкновение всех частиц.

Таким образом, в рассмотренном нами случае T^ast = 1. Оказывается, что в холодном газе при любой из рассмотренных моделей начальных положений

Tlnast А 1, П -> оо. (1)

Этот результат получен Жиро [34] для пуассоновской и равномерной моделей и обобщен автором на случай н.р.-модели в предложении 3.3. Аналогичное соотношение (см. (5) ниже) справедливо и для теплого газа, см. Суидан [19] и Лифшиц и Ши [38]. Отсюда ясно, почему момент t = 1, который асимптотически является моментом последнего столкновения, называют критическим.

1.3 Результаты

Начнем с формулировки результатов о числе кластеров, которые мы получили для холодного газа. Как мы видели ранее, в холодном газе при решетчатых начальных положениях справедливо Kn{t) = п для 0 < t < 1 и Kn{t) = 1 для t > 1. Если же начальные положения частиц случайны, то процесс слипания ведет себя абсолютно по-иному, о чем свидетельствует приведенная ниже теорема. Перед тем, как ее сформулировать, обозначим li := sup {у : ¥{Х{ < у} = О}.

Теорема 4.1. В холодном газе при п.р.-модели начальных положений существует такая неслучайная функция a(t) (зависящая от распределения Xi), что для любого t ф 1 справедливо п-^оо. (2) п

Функция a{t) не возрастает, a{t) = 1 на [0, л/Ц), a(t) Е (0,1) на (л/Ц, 1) и a(t) = 0 на (1, оо). Если распределение Х{ непрерывно, то a(t) непрерывна на [0,1). Если же ЕХ? < оо, то (2) выполняется и при t = 1, а из непрерывности распределения Xi следует непрерывность a(t) при всех t.

В холодном газе при равномерной модели начальных положений (2) выполняется для некоторой неслучайной непрерывной a(t)Umf при всех t.

Равенство a(t) = 0 при t > 1 не вызывает удивления, поскольку согласно (1), при таких t ожидается существование лишь одного большого кластера. Учитывая это замечание, мы видим, что предельное поведение величин Kn(t) (равно как и En{t)) интересно лишь при t < 1, а при t > 1 оно тривиально. Соотношение a(t) = 1 при t G [0, yfp) также допускает простое объяснение: поскольку расстояния между соседними частицами не меньше какое-то время столкновения вообще отсутствуют. Оказывается, это время есть в точности ^Д!. Еще отметим, что разобранный ранее случай с решетчатой моделью начальных положений, в которой Хг- = 1, тоже описывается теоремой 4.1.

Оказывается, что a(t) равняется вероятности некоторого события, которое в явном виде выражается через S{ (или, что то же самое, через Xi). Подсчет этой вероятности в общем случае не представляется возможным. Тем не менее, для основных моделей начальных положений функция a(t) может быть найдена в явном виде, о чем свидетельствует следующая примечательная теорема.

Теорема 5.1. В холодном газе для предельных функций при основных моделях начальных полоо/сений aPmss(t) = aUmf (t) = 1 — t2 при 0 < t < 1.

Существует разительный контраст между простотой формулировки этого результата и сложными вычислениями, которые требуются, чтобы его получить. Удивительно даже то, что функцию aPoiss(t) = aUmf(t) удалось найти в явном виде. Забегая вперед, сообщим, что для этого потребовалось вычислить вероятность Ц =r{infg(5,.-«) > о}, где Si - экспоненциальное случайное блуждание, то есть блуждание с экспоненциально распределенными приращениями. Подсчет этой вероятности сложен тем, что не сводится к применению предельных теорем, например, таких как принцип инвариантности.

Далее наша цель состоит в усилении теоремы 4.1, являющейся, по сути дела, поточечным, то есть справедливым для всех t, законом больших чисел для Kn(t). Мы докажем не просто поточечную центральную предельную теорему, а ее функциональную версию. Заметим сперва, что траектории рассматриваемого процесса являются элементами пространства Скорохода D.

Теорема 6.1. Если в холодном газе при н.р.-модели начальных положений распределение Xi непрерывно и удовлетворяет условию < оо при некотором 7 > 4; то существует центрированный гауссовский процесс К(-) на [0,1) (зависящий от распределения Xi) такой, что

Кп(-) - тао(-) в ^ х ^ всех е g у vn при п —> оо. Его траектории непрерывны с вероятностью 1, а -К"(0) = 0. Ковариационная функция R(s,t) процесса К(-) непрерывна на [0,1)2, R(s, t) > 0 на (у/Ц, I)2 и R(s, t) = 0 на [0,1)2 \ (у/Ц, I)2.

В холодном газе при равномерной модели начальных положений соотношение (3) выполняется для некоторого центрированного гауссовского процесса KUmf (■), заданного на [0,1). Его траектории непрерывны с вероятностью 1, a KUmf(0) = 0. Ковариационная функция RUmf(s,t) процесса j^Umf ^ неПрерЫвна на [о, 1)2; и кроме того, RUmf (Sj t) = RPmss{s, t) — s2t2.

Мы видим, что хотя aPoiss(•) = aUmf(-), но пуассоновская и равномерная модели приводят к различным предельным процессам KPmss(') и Кит*(-). Любопытна и достаточно неожиданна положительность R(s,t) для н.р.-модели.

Из теоремы 6.1 немедленно вытекает (см. Биллингсли [2, §15]), что

K"{t) ~na{t) -А ЩО, cr2(t)), n ^ со (4)

V Т1 для любого t < 1, где a2(t) := R(t,t). Можно показать (см. предложение 6.1), что для н.р.-модели это справедлртво при менее ограничительном I условии MXf < оо, а непрерывности распределения Х{ не требуется. Конечно, (4) будет выполняться и для любого t > 1, если положить a2(t) := 0 при t > 1. Таким образом, (4) справедливо при всех t Ф 1.

Возникает естественный вопрос: можно ли доказать слабую сходимость траекторий процесса в пространстве £>[0,1], тем самым усилив (3) в теореме 6.1? Очевидно, для ответа необходимо сперва выяснить, выполняется ли (4) при t — 1. Оказалось, что даже этот более простой вопрос слишком сложен в общем виде, и мы не можем дать на него исчерпывающего ответа даже в частном случае холодного газа с пуассоновской моделью начальных положений. По-видимому, при t = 1 левая часть (4), то есть слабо сходится, но ее предел не является гауссовским. Поэтому справедливость сходимости (3) во всем £)[0,1] весьма сомнительна: предельный процесс должен странным образом перестать быть гауссовским в точке 1. Сформулируем имеющийся у нас результат с должной строгостью.

Теорема 7.1. Предположим, что справедлива приведенная ниже гипотеза 7.1. Тогда в холодном газе при пуассоновской модели начальных положений последовательность плотна, а предел любой ее слабо сходящейся подпоследовательности имеет атом в нуле, но не равен нулю тождественно.

Таким образом, в холодном газе при пуассоновской модели Кп( 1) имеет порядок у/п. Интересно сравнить этот результат с результатом Суида-на [19], который нашел распределение Кп{1) для теплого газа с ап = 1 при решетчатых начальных положениях частиц и в качестве следствия получил ЕКп(1) - logп.

Справедливость теоремы 7.1 зависит от приводимой ниже гипотезы, которая представляет большой интерес и сама по себе, без учета ее приложений к модели слипающихся частиц.

Гипотеза 7.1. Для экспоненциального блуждания S{ существует предел т lim fc1/4 Р( min V(5i - ESf) > о) G (0, oo). k—^oo ll <m<k*-^ J ~ i=1

Можно сказать, что гипотеза 7.1 - это утверждение об односторонних малых уклонениях проинтегрированного центрированного случайного блуждания. Мы предполагаем, что она справедлива не только для экспоненциального блуждания, а для гораздо более широкого класса блужданий, удовлетворяющих некоторым моментным ограничениям. Схожие задачи об асимптотике односторонних малых уклонений проинтегрированных случайных процессов представляют большой интерес и в настоящее время активно изучаются, см. например, статью Молчана и Хохлова [47], а также тезисы конференции "Вероятности малых уклонений и смежные вопросы", прошедшей в 2005 году в Санкт-Петербурге.

Метод, при помощи которого были получены теоремы 4.1 и 6.1, также можно причислить к результатам диссертации. Наши доказательства опираются на обнаруженное свойство локальности процесса слипания, которое состоит в том, что поведение каждой частицы практически полностью определяется движением лишь соседних с нею частиц. В § 3.2 приведено количественное описание этой локальности, при помощи которого предельные теоремы 4.1 и 6.1 (как и многие другие, не столь важные результаты) получаются из стандартных предельных теорем для слабо зависимых случайных величин.

Приведенные выше результаты позволяют сказать, что мы получили практически исчерпывающее описание числа кластеров в холодном газе. Теперь сформулируем наш единственный (и достаточно далекий от завершенности) результат о количестве кластеров в теплом газе.

Утверждение 8.1. Если в теплом газе п~1 <Jn при п —> оо, то при любой из описанных моделей начальных положений для любого t > О

Таким образом, в теплом газе мгновенно образуются кластеры неограниченного размера, что существенно отличается от поведения холодного газа. В холодном же газе, как показывает теорема 4.1, в любой докритический момент t < 1 размер среднего кластера есть a(t)-1, то есть конечное число. Мгновенное образование кластеров в теплом газе можно объяснить тем, что расстояния между частицами имеют порядок п-1, скорости частиц -порядок сгп, отсюда время, затрачиваемое частицей на прохождение такого расстояния имеет порядок п~1сг~1 —> 0. Достаточно точная оценка размера мгновенно образующихся кластеров дана в предложении 8.1.

Перейдем к формулировке результатов о кинетической энергии газа En(t). Здесь, как и ранее, оказывается полезным сначала разобрать детерминистический' случай холодного газа с решетчатыми начальными положениями. Как мы видели, до момента t = 1 столкновений нет, все частицы движутся равноускоренно, ускорение г-ой из них есть п~~^г+1, поэтому при t < 1 имеем

При t > 1 в системе будет лишь один кластер, скорость которого равна нулю, что следует из того, что суммарной импульс системы не меняется во п —У оо. п времени и для холодного газа изначально равен нулю, поэтому En{t) = 0. Таким образом, здесь En(t) -» при любом t > 0.

Далее нам потребуется следующее условие. Пусть Ln(t) означает размер максимального кластера, существующего в системе в момент t. Эта величина достаточно подробно изучена для различных случаев начальных скоростей и положений в работах [17, 19, 34, 38]. Соотношение

Lnif) р /г\ —> l{t>!}, п оо (5)

71 мы будем называть условием существования макроскопического кластера в момент t или, кратко, УСМК{£). Это условие вовсе не является экзотическим и выполняется в подавляющем большинстве случаев, о чем подробно написано в § 9.1. Например, при t > 1 для холодного газа УСМК(^) сразу следует из (1), а для теплого газа это условие, описывающее слипание почти всех частиц в один большой кластер к моменту t = 1, является естественным аналогом соотношения (1) для холодного газа.

Теперь сформулируем полученный нами результат.

Теорема 9.1. При любой из описанных моделей начальных положений, в холодном газе, а таксисе в теплом газе при выполнении п-1 <С ап и ап = 0( 1) при п —»• оо; для любого t Е (0,1) U (1, оо)

УСМЩ => En(t) A ^l{t<i}j п-+ оо.

Эту теорему можно пояснить следующим образом. Кинетическая энергия газа изменяется по двум причинам, из-за гравитации и при столкновениях. Хорошо известно, что при абсолютно неупругих столкновениях, каковыми являются столкновения слипающихся частиц, кинетическая энергия убывает. В холодном газе, с одной стороны, абсолютные скорости частиц возрастают из-за гравитации, и в силу этого энергия системы увеличивается, но с другой стороны, при столкновениях энергия уменьшается. Оказывается, что в холодном газе до критического момента t = 1 уменьшением энергии при столкновениях можно пренебречь. Таким образом, до t = 1 энергия холодного газа ведет себя так же, как и в детерминистическом случае, где до t = 1 столкновений вообще нет.

Совершенно иную ситуацию мы наблюдаем в теплом газе, что легко проиллюстрировать, рассмотрев основной случай ап = а > 0. Из закона больших чисел здесь Еп(0) = ^ XliLiO7^)2 т > 0, что соответствует положительной начальной температуре газа. Как мы видим из теоремы 9.1, теплый газ мгновенно охлао/сдается, после чего его энергия ведет себе так же, как и в случае холодного газа. Такое мгновенное "охлаждение" было обнаружено при помощи компьютерного моделирования и описано в работе Бонвина и др. [25], которая и дала автору диссертации мотивировку для теоретического описания этого явления. Мгновенное "охлаждение" объясняется тем, что в теплом газе происходит мгновенное образование больших кластеров, за счет чего начальные скорости усредняются и практически исчезают в силу Euf = 0.

Асимптотическое равенство энергии нулю при t > 1 для холодного газа легко следует из закона сохранения импульса и (1). Для теплого газа УСМК(^) гарантирует слипание почти всех частиц в один большой кластер. Импульс такого кластера практически равен импульсу всей'системы, который, в свою очередь, равен начальному импульсу ^ Y^i=i 0. Энергия же частиц, не вошедших в макроскопический кластер, пренебрежимо мала.

Результаты этого параграфа опубликованы в работах автора [4, 5, 55].

Заключение

При изучении одномерной стохастической модели притягивающихся слипающихся частиц были получены следующие результаты.

1. Разработан общий метод доказательства предельных теорем для модели со случайными начальными положениями и нулевыми начальными скоростями частиц (холодный газ).

2. Для холодного газа получен закон больших чисел для количества кластеров в произвольный момент времени.

3. Для основных моделей начальных положений предел в законе больших чисел из п. 2 найден в явном виде.

4. Для числа кластеров в холодном газе получена функциональная центральная предельная теорема, существенно усилившая результат п. 2.

5. Частично описано поведение количества кластеров в холодном газе в критический момент времени £ = 1.

6. Для модели со случайными начальными положениями и случайными начальными скоростями частиц (теплый газ) получена близкая к оптимальной оценка размера мгновенно образующихся кластеров.

7. Для моделей холодного и теплого газов получена предельная теорема для кинетической энергии в произвольный момент времени. В частности, в этой теореме показано, что теплый газ мгновенно охлаждается.

При изучений марковской модели движения частицы в случайной среде под действием постоянного внешнего поля были получены следующие результаты.

8. Показано, каким образом рассматриваемая марковская модель движения частицы в случайной среде выводится из положений классической модели Лоренца с неупругими столкновениями. Объяснено, в каком смысле эти модели близки друг к другу.

9. Для траектории движущейся частицы получена функциональная центральная предельная теорема. В этой теореме показано, что на макроскопическом уровне частица испытывает снос с постоянной скоростью в направлении внешнего поля. После устранении сноса движение частицы является диффузией, инвариантной относительно вращений вокруг направления поля.

1. Арнольд В.И. Теория катастроф. - 3-е изд. - М.: Наука, 1990.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

3. Высоцкий В.В. Предельная теорема для положения частицы в модели Лоренца // Записки научных семинаров ПОМИ, 2005, т. 328, с. 42-68.

4. Высоцкий В.В. Энергия и количество кластеров в стохастических системах неупругих притягивающихся частиц // Теория вероятн. и ее при-мен., 2005, т. 50, с. 241-265.

5. Высоцкий В.В. Площадь экспоненциального случайного блуждания и частичные суммы порядковых статистик // Записки научных семинаров ПОМИ, 2007, т. 341, с. 48-67.

6. Гальперин Г.А., Земляков А.Н. Математические бильярды. М.: Наука, 1990.

7. Гурбатов С.Н., Малахов А.Н., Саичев А.И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. М.: Наука, 1990.

8. Гурбатов С.Н., Саичев А.И. Вероятностные распределения и спектры потенциальной гидродинамической турбулентности // Известия высших учебных заведений Радиофизика, 1984, т. 27, с. 456-468.

9. Гурбатов С.Н., Саичев А.И., Шандарин С.Ф. Крупномасштабная структура Вселенной в рамках модельного уравнения нелинейной диффузии // Препринт Ин. прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1984, № 152.

10. Захарова В.Ф. Агрегация в стохастической одномерной модели газа с конечными степенными моментами скоростей частиц // Записки научных семинаров ПОМИ, 2008, в печати.1.l Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

11. Зельдович Я.Б. Распад однородного вещества на части под действием тяготения // Астрофизика, 1970, т. 6, с. 319-335.

12. Зельдович Я.Б., Мамаев А.В., Шандарин С.Ф. Лабораторное наблюдение каустик, оптическое моделирование движения частиц и космология // Успехи физических наук, 1983, т. 139, с. 153-163.

13. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

14. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. М.: Наука, 1967.

15. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971.17J Куоза Л.В., Лифшиц М.А. Агрегация в одномерной модели газа с устойчивыми начальными данными // Записки научных семинаров П.ОМИ, 2004, т. 311, с. 161-178.

16. Лифшиц М.А. Гауссовские случайные функции. Киев: TBiMC, 1995.19| Суидан Т.М. Одномерный гравитационно взаимодействующий газ и выпуклая миноранта броуновского движения // Успехи математических наук, 2001, т. 56, с. 73-96.

17. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978.21

18. Эванс Л.К., Гариепи Р.Ф. Теория меры и тонкие свойства функций. -Новосибирск: Научная книга, 2002.

19. Baum L.E., Katz М. Convergence rates in the law of large numbers // Trans. Amer. Math. Soc., 1965, v. 120, pp. 108-123.

20. Bertoin J. Clustering statistics for sticky particles with Brownian initial velocity // J. Math. Pures Appl., 2000, v. 79, pp. 173-194.

21. Boldrighini C., Bunimovich L.A., Sinai Ya.G. On the Boltzmann equation for the Lorentz gas // J. Stat. Phys., 1983, v. 32, pp. 477-501.

22. Bonvin J.C., Martin Ph.A., Piasecki J., Zotos X. Statistics of mass aggregation in a self-gravitating one-dimensional gas // J. Stat. Phys., 1998, v. 91, pp. 177-197.

23. Brenier Y., Grenier E. Sticky particles and scalar conservation laws // SIAM J. Numer. Anal., 1998, v. 35, pp. 2317-2328.

24. Bunimovich L.A., Sinai Ya.G. Statistical properties of Lorentz gas with periodic configuration of scatterers // Comm. Math. Phys., 1981, v. 78, pp. 479-497.

25. Cercignani C., Illner R., Pulvirenti M. The Mathematical Theory of Dilute Gases. New York: Springer, 1994.

26. Chernov N., Markarian R. Introduction to the Ergodic Theory of Chaotic Billiards. 2nd ed. - Rio de Janeiro: IMPA, 2003.

27. Chertock A., Kurganov A., Rykov Yu. A new sticky particle method for pressureless gas dynamics // SIAM J. Numer. Anal., 2007, v. 45, pp. 24082441.

28. E W., Rykov Yu.G., Sinai Ya.G. Generalized variational principles, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics // Comm. Math. Phys., 1996, v. 177, pp. 349-380.

29. Esary J.D., Proschan F., Walkup D.W. Association of random variables, with applications // Ann. Math. Stat., 1967, v. 38, pp. 1466-1474.

30. Gallavotti G. Rigorous theory of the Boltzmann equation in the Lorentz gas // Nota interna n. 358, Istituto di Fisica, Universita di Roma, 1972.

31. Giraud С. Clustering in a self-gravitating one-dimensional gas at zero temperature // J. Stat. Phys., 2001, v. 105, pp. 585-604.

32. Giraud C. Gravitational clustering and additive coalescence // Stoch. Proc. Appl., 2005, v. 115, pp. 1302-1322.

33. Gurbatov S.N., Saichev A.I., Shandarin S.F. The large-scale structure of the universe in the frame of the model equation of non-linear diffusion // Mon. Not. R. Astr. Soc., 1989, v. 236, pp. 385-402.

34. Isozaki Y., Watanabe S. An asymptotic formula for the Kolmogorov Diffusion and a refinement of Sinai's estimates for the integral of Brownian motion // Proc. Japan Acad., Ser. A, 1994, v. 70, pp. 271-276.

35. Lifshits M., Shi Z. Aggregation rates in one-dimensional stochastic systems with adhesion and gravitation // Ann. Probab., 2005, v. 33, pp. 53-81.

36. Lifshits M., Shi Z. Functional large deviations for Burgers particle systems // Comm. Pure Appl. Math., 2007, v. 60, pp. 41-66.

37. Lin Z., Lu C. Limit Theory for Mixing Dependent Random Variables. -Boston: Kluwer, 1996.

38. Lorentz H.A. The motion of electrons in metallic bodies, I // Koninkli-jke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings, Amsterdam, 1904/05, v. 7, pp. 438-453.

39. Louhichi S. Weak convergence for empirical processes of associated sequences // Ann. Inst. H. Poincare, Sec. B, 2000, v. 36, pp. 547-567.

40. Martin Ph.A., Piasecki J. One-dimensional ballistic aggregation: Rigorous long time estimates // J. Stat. Phys., 1994, v. 76, pp. 447-476.

41. Martin Ph.A., Piasecki J. Aggregation dynamics in a self-gravitating one-dimensional gas // J. Stat. Phys., 1996, v. 84, pp. 837-857.

42. Martin Ph.A., Piasecki J. Lorentz's model with dissipative collisions // Physica A, 1999, v. 265, pp. 19-27.

43. Meyn S.P., Tweedie R.L. Markov Chains and Stochastic Stability. London: Springer, 1993.

44. Molchan G., Khokhlov A. Unilateral small deviations for the integral of fractional Brownian motion // Препринт arXiv:math/0310413vl math.PR].

45. Newman C.M. Normal fluctuations and the FKG inequalities // Commun. Math. Phys., 1980, v. 74, pp. 119-128.

46. Ravishankar K., Triolo L. Diffusive limit of the Lorentz model with a uniform field starting from the Markov approximation // Markov Processes and Related Fields, 1999, v. 5, pp. 385-421.

47. Sinai Ya.G. Distribution of some functionals of the integral of a random walk // Theor. Math. Phys., 1992, v. 90, pp. 219-241.

48. Shandarin S.F., Zeldovich Ya.B. The large-scale structure of the universe: Turbulence, intermittency, structures in a self-gravitating medium // Rev. Modern Physics, 1989, v. 61, pp. 185-220.

49. Spohn H. Kinetic equations from Hamiltonian dynamics: Markovian limits // Rev. Modern Physics, 1980, v. 53, pp. 569-615.

50. Vysotsky V. The number of clusters in a stochastic model of one-dimensional gas // Abstracts of Communications of 9th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Vilnius, 2006, p. 322.

51. Vysotsky V. A functional limit theorem for the position of a particle in a Lorentz type model // Markov Proc. Rel. Fields, 2006, v. 12, pp. 767-790.

52. Vysotsky V.V. Clustering in a stochastic; model of one-dimensional gas // Annals of Applied Probability, в печати, 35 е., www.imstat.org/aap / futurepapers.html

53. Wilkinson D.R., Edwards S.F. Spontaneous interparticle percolation // Proceedings of'the Royal Society of London, Series A, 1982, v. 381, pp. 33-51.