Предельные теоремы для сумм слабо зависимых случайных величин со значениями в пространстве lp тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГ8 ОД

] з /.{СИ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В. И. РОМАНОВСКОГО

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СУММ СЛАБО ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ 1р

01,01.05—Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

ШАРИПОВ Олимжон Шукурович

Ташкент—1993

Работа выполнена в Ташкентском государственном университете, на кафедре теории вероятностей и математической статистики.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор И. Г. Журбенко кандидат физико-математических наук, доцент Т. М. Зупаров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор И. С. Бадалбаев кандидат физико-математических наук, доцент И. Ж. Юлдашев

Ведущая организация—Киевский государственный университет.

Защита диссертации состоится « ¿Ъ » ЪВЛаЛкЗ

1993 г. в _часов на заседании специализированного

совета Д 015.17.21 в Институте математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Ташкент, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан «. » ¿¿-¿-^ др и* 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

ХАШИМОВ Ш. А.

ОШЛЯ ЛЛРАКТЫГИСЕЖЛ РАБОТУ

Пределыаю тсорегм в банахогах пространствах составляют во::ноо направленно в теории ввролтпост'о;!.

Большая часть рабох в отоп ииггруллоги;!: цссвлвдна нзучонип продольных теорем ди сумм независимых случаШшх величин (с.в.) со значивши в боинхпвнх пространствах. Часть исслодовшшЯ этого направления отражена в моиогра ;гл;с В.И.Лаулаускаса, Л,'¡О, Рачкаускаса'''Точность аппроксимации в центрально:! предельно;} теоропо в опиохивкх ;фострпствох" (Вильяме: Мокслас, 1907), И.Н.Вихшшк, В.Н.Тсрисладз'З, С.А.Чобашиа "Ворслтностнпо распро-дс:он!!Ч в банахоик пространствах" (.'.!..• Наука, 1^85). Со пниг;-".:; истодямк, результат;!:,;;: :: вх нрилозошяш ко:;ио ознакомиться т;;:::со в охшрной статье С.В.Бенткусо, О.Готцс, В.Паулаускосо, А.Рлчнпусгася "Точность гоуссовскоЗ аппроксимации в банахоанх ;|]-оз2р.'|Кстргх" (Итоги паук:: и техншш. Сер.совр.проб.математипт, Т.й. Л).

Нлтеисизноо изучение продольных тсорш для сумм слабо зрвясз-шгх с.о. (и именно сумм с.в., удовлетворяй®»: тем ила тш условиям лсрепажвшнш) со значениями в банаховых пространствах началось с УО-х'годов, Но в то вр©и пак прсдсльшш теоре-мн для одномерных случайных процессов'я полей, удевлетворяяцих уолосчям перемеипвагеьч, достаточно хороло азучеш 2 работах А.Н.Колиогорс-ззв, М.Рсзеиблсттл, П.Л.ИСратюво, В.А.Статудглшчусз» Ю.А.Ропско-ва, И.Г.Курбенко, А.В.Булпнсксго, В.йлиппо, Р.Брэдли, М.Пели-грпд, Н.Н.Лооншжо, С.А.Утег.з, А. {¡.Тихомирова, й.Сункл'одаса, Т.М.Ьуворово и других псюров, продолыпго -тооргет для суш с.в., пршть'азодх значения в ¿ескопочномернмх пространствах и удопдог-Епряющих условиям пзрег.ющ'ва.члл, все сцо остаются отноептольпо мало исслодованшаи,

Цель работы. Основной целью работы является доказата-зьстБО, при мшшиэлышх комеитшх условиях, ограниченного законе певтор-вого лсгарп-,;?-:а (ОЗПЛ)» компактного законе певторвого лсгари|:лэ (КШЛ) п почти наверное принципа ппварипнтлоо^я (ШЕИ) для поел здов о толы! о с тел с.в. со значениями в сопора бвж>пш гильборто-г.шл дооогрансгво и удовлет'всряюсшх условию поремеспвонпя; А '~ок*о" доказательство центральной продельной хвор«??? (ц.п.т.) в шиуче'лпв- оценки скорости сотксотн г. пой д-н помедюотоюве-

стой с.в., нршшыаювдх значения в пространства и удовлетворяющих условии перач^ивашл.

Цахидщ, .щгшдц^ЦШ-» Осиовшыи методам!, применяемыми в дас-сортшши, являются метод ИернитеЛна и метод конечномерной оппрок-екмадоа.

Изучим новизна. В диссертации подучено необходимое и достаточное маиснтное условие выполнимости 0311Л, КЭШ для определенного класса последовательностей с.в. со значениями а сопараоельком гильбертовом пространство и удовлетворявших условна перемешва-1шя. Доказан ШШ при ышшнальном моыонтном условии для последо-ваталышетой с.в., также пршпшаицих значения в сопараОельном гильбертова.! пространство и удовлетворяющих условию перемешивания. Доказана ц.п.т. для последовательностей с.в., пршншиодпх значения в пространства ¿^ и удовлетворявши условию перемешивания. Получена оценка скорости сходимости в и.п.т. по системе шаров с центром в нуле для последовательностей с.в. со значениям! в пространстве Ср и удовлетворяющих условию перемешивания.

Теоретическая и практическая ценность. Результата работы носят теоретический характер. Они могут найи: применение в математлчо^ ской статистике в в дальне, 1шем изучении асимптотических свойств' суш слабо зависимых с.в. со-значениями в банаховых пространствах;

Апро0а ция работы. Основные результаты диссертации докладывалась на 1У Международной Вильнюсской.конференции по теории'вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1985), на У1 Советско-Японском екмяозиумо по теории вероятностей и'математической статистике (Киев, 1991), на семинаре по асимптотическому анализу случайных процессов в ИГУ им.М.В.Ломоносова (рук.И.ГЛурбаико, А.В.Булянский, Москва, 198?), на конференции молодых ученых в-Институте математики им .В. И. Рома новс ког о А11 Республики Узбеки-стан (Ташкент, Х9Э2) и на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ТашГУ. '

Публикации. Основные результаты опубликованы в 6 статьях, список которых приведен.в конце автореферата.

Структура и объем рисоертарии. Рабата состоит из введения, двух глав, списка литературы и изложена на 107 страницах машинописного текста. Список литературы, включает 87 наименования?.

СОДЕНЛШИ РАБОТЫ

Во апсдошш дан |фзтка;1 оЗзор работ, см зонных с"темой диссор-тацп;;, прпп'здеик генапкго результата и их сравнения с извостшга результата:.;!;.

Глогс> I, сестагсмЧ из трех параграфов, поевчдена двум <;:ор?!л» з-кони попториого лог«р1г;г.п. л почти наверное принципу инвприант-

нпс'гп .

пусть {Х^'} пас К'довс.-тсльность с,»т. со значениями в сснпра-Зодьисм гильоортеис;,' щмсг^оисгвв Н (с нормой II' I! ). Вводом следувдю ооозличкпкл :: о;п идолсикя:

Х1 + + К >

ап ~ {¿п. и 1пП > л. > 3 , ¿ ОС. = упах {'1, к х)

Н'"- сопрчл'эшюе пространство,

- множество предельных точек последовательности

Ы

К Г

Н

¿/()г) = 1Р(В/А)-Р(В)).

К'

Ае^/ .

Здесь ялгоОря, порозденная с.в. Ха, Хс^{Х^ .

Говорится, что последовательность ¡XflJ удоаютлеряет ОЗПЛ,

еслг;

илп

"Ч

п II

¿ир д < <х> п.и.

Говорится, что последовательность { Хп | удовлотворю? КЗШ1, если существует компактное шохество /С* с И , тпкоо, что

гдо

л

Р

- о

П. II.

ii. i!.

И-Ц

'ХеЕ

-'П.

а

п

Гоиортся, что последоватаииоссг {Хк | удовлетворяет ШШИ, -осищ существует шшеровсшп! процесс (возможно, после

переопределения последовательности {X,, | нановом вероятностном пространстве) такой, что

|| Е X.- У/Ц) о((1 Аи1Г) я.и. .

¿¿Ъ ' '

В § I гл.1, посвященном ОЗПД, приводится и доказывается следумца)

Т Е О Р Е И А 1.1Ч1. Цур'А (Хк.1 стационарная в узком смысле последовательность с.в. со значениями в Н , для которой г /у Бщюлнэни сдадуюедо условия:

(I)

Е 4 (1£ ) - О , Е '/'{Х^ ) ^ дай всех.

г 'С^ц ) ~сг5 при дня всех И 40, (2)

Г

V

со

ли,

А! V

ц

(3)

(1

Тогда да того^/чтобы | Л^ ] удовлегворяда 03101, взойкодшо к достаточно следующее условие

Е 1хл}

а ихл

; г 1.1 лссачг;ои »:*'1Л и в нем докпзквзотся слодущая

Т О Г £ А 1.;;Л . ИусТ1. (Хн( УДОВЧОТООРЯВТ УСЛОЕЙШЛ ТИ1.

1.1.1 ц

в к - ела боа топологии (5)

г(/,о) - ¿и МШЫ ,

XV

.....й

К

Тег.'',:; .г-л того, чхс.ии {Х^ } удавютворьто КУ!1Л, необходимо и достзте'К'с ( ;)•

о:.-¡ото;.:, ч'*.- (Хц| •ооледовптлтыюста иезовпевшх одегоаиа~ во гасародс-лэшпх с.я. со зитошими в ^ , то дтя того, чтобы ¿логыетвергип 03. ¡Я, «гооэходалн и достаточны (I) и (4), а для но:;;>:со,?;п:.7к и достэтсиш (I), (4), (5). В ронео повестки рпботг.х в с-^чае слио'о завпенмих с.в, со значениями в бесконечно-г,;ершгх .тпрст^знствмс для 0311/1 и К31Л. требовалось суиоствовакпе

момента Е I Х{ II '(с?>0)/

Поль:,' г 3 гг. .1 является доказательство ШШ при существованян второго сильного доцента (т.е. £11X411 Л'"1*1 одномерных с.в. при супестззовмпш второго момента ШШ был доказан (при условий на коо;щ;:енг </(П) ) Хоагд и Скоттом (1973). В многомерном случае для оольлого класса олаОо зависших с.в. при существования второго ;.:о;лонта 1ТНШ1 бил доказан Бергером (1989). В йесконочномзр-нах пространствах для зависимых с.в. при существовании только второго момента ШШ не (Зыл доказан. Доказываемая в § 3 гл.1 теорема имеет следуэдня вид.

ТЕОРЕМА 1.3.1. Пусть { Хл | стационарная в узком сшсле последовательность о.в.-со значениями в И • которой выполнен ны условия (2) я

<

Elro

EUXji!-^,

'•4 -ih ¿и' Д Л. (t) <• eo.

Тогда последоваголыюси. ( Xn 1 удовлагворяет llliBI,

Глоаз П taiffio состоит из трох параграфа и С Г-посвящвн мошштши неравенства«, 2 - ц.я.т. и 5 3 - оценке скорости

сеодшоотн В Ц.11.Т.

В ухой глово рассматриваются последовательпосте с.в., лриви-шадзх значения в пространства (пространства последова-

тельностей У Ы, } типах, что j? j ¡/ i

с ' ЛЯ 1 >

с попмэи

Hs{ ■ PI

р \ljf>

г-о-

Пусть { Ха | последовательность с.в. .со значениями в пространстве ip В дальнейшем, вевду, рассматриваемся яориа есть норма пространства . ^з^.^Дополнитачьно введем следующие, обозначения ц определения: '

| & j - стандартны!! базис пространства tp

компонента вектора X> т.о. А Jl

' К.' ■

n qlO n(j)

^ , L,j*d>2,... >

4 к—её

ßi(0,7)~ гауссовская c.a« в ^ с нулевым средним я ковараа-/ щшцной матрицей Т,

- означает слабую сходимость> у- _4_ -f

-е ^ &а

[cvCjj- .те^ай из ¡¡аслеловптсяьносг-э'.! яеубквэаж, яе отряда-тсшшх чисел.

(f;i(,t) sua sif J Р (б/А)- Р(&) |.

К

Rr

А £ 91(F ) 5 € ГД (Й"9

bicoi. ^f(fin)- & - ¡!дго%а, иоро-сдоття с.в. П^. Ха , ПпЖ* ,где Д, А есть птоойшя /Y г.

/,"1- м^рио<; подпространство CZ tp.

Будем говорить, что носледоватаиность. {XSi} удовлетворю! уоловяа (л; - порсмешшпикя, еслп .для каадого {тксврошшво-го /»I = 1,'й,'...

шг У., (/О - О. • . . <6>

Это ус.',овне першешавпнга было предложено !ЬГ.Кугбо;:ка (IKSJ), " 3 > I п.П ш рассматриваем' поспедовзгельпостз с,п. ,

удовлетвоглкядае ус;;овпа

Ьа-л. (/ (И)~ О. С)

Фактически, ш требуем эшолвенкя (6) только дта I (тэтшо последовательности будем называть последоватвльвостга, удовлетворяющими условию (fL) - перенеиивания).

В первом пункте % I гд.П приводится пример, из которого следует, что в общем случае дал последовательностей с.в. (Xt, j > удовлетворяющих'условии (7), невозможно получить неравенства топа Розолталя.. После этого предлагаются моммшшо - неравенства, часть которцх ш приводам пике.

- Ю -

'1' Е О Р ^ и А 2.1.1. Пусть {Х,г { послидовазгйлыюотг. ЦЗНТрИрОВиНИЦХ С.В. СО ЗНЙЧС'ШШШ В Пространство (¿йр^и)

и удовлитаорлмуал условии ^ (к) - норемсшшаши. Тогда

а) дд.1 Ь 5; >>ШЛГ (2; р) ¡) 1 £ с ш,шот моего неравенство

I (*«* (е

+

б) дал £ £ у\\£и>С(2 р) при выполнении условия.

I ¥*(2К) с

иивет место неравенство ,'

• *

чаа^гггу

В § 2 гл.П приводится и доказывается следующая

ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть (Х,с ] стационарная в узком смысле последовательность с.в. со значениями в пространстве £_ М £ р ¿2) . Для которой выполнены следующие условия:

/ ч I ^ /

. I (Е(Х$])2)Р/2

I /Vu

Тогда

A ^ fit

при

для кавдого фиксированного /ц = 1,2,,

для всех

j

<к (о, Г),

где ковариационная матрица

г» ^ ) -

Эта теорема обобщает соответствующие результаты Р.Лапинскаса (1984), И.Г.Зкурбенко н Т.М.Зуларова (1986).

D § 3 гл.П получена оценка скорости сходимости в ц.п.т. Пусть j/ гауссовская с.в. в с нулевым средним и диаго-

нальной ковариационной матрицей Т с диагональными элементами t. >0 } L- ,

, Оценивается следующая величина

К <Г SUP V fc> о

fiT

& fi

-ZiijIHi)

ТЕОРЕМА 2.3.1. Пусть j стационарная в'узком

смысле последовательность центрированных с.в. со значениями в tp (itiipii 3) я с общей ковариационной матрицей J7 . Далее пусть выполнены следующие условия:

t.

< оО

для каадого 1,2,.

для любых /, q S.

а г

Тогда

I) если 1 6 р £ 2 , го существует константа С1 - С; такая, что для всех

и И = 2,3,... имеет место следующее неравенство

А ¿сЛ-7Ю-:-Ч:

2) если ¿'р 3 , го существует константа

= С3 (уЬ^, ) такая, что дая всех /#1= 5,6,..

и /-1 = 2,3,... имеет место неравенство

тиис^уШЕ^ )

—--——- f .

ГС ,

+ /Л

Ясно, что, выбирая оптимальным образом ^г. = (И) в зависимости от ; | и l^t¿ ] , можно получить различные следствия. В § 3 гл.11 приводятся два следствия этой теореш.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: .

I. Зупаров Т.Н., Шарапов О.И. Центральная продельная теорема для слабо зависших случайных процессов со значениями в пространство Ср . Четвертая Вильнюсская конференция до теор.вер. и матом.статистике, Тозпси девд. 1985. Т.1. С.282-203.

2. Зуцирои Т.(Д., Шаршюв. О Л. Центральная продольная теорема для сла<5оэависншх елучвйдах величин со значениями в проса-раномо

■tp (is. /» «с ) . fl кн.: Аспывтотнчеокио задачи теории ¿вероятностей ц математической статистики. Ташкент: ФА!!, 1990, С.25-29.

3. йарипов О.Ш. '¿акони повторного логарифма и почти наверное принцип инвариантности для слабозависимих случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве. Деп.ВИШ'Ш. 1991. Дел. J5 0493 - IJUI. 29 с.

4. Шариков О.Ш. Момштща неравенства-для слэбозавпсишх случайных величин со значения!,¡и в пространство Lp . Доп. ВИНИЛ!. 1991. Дан. )Ь 3492 - ВЭ1. 12 с.

5. Sharipov O.Sh, law of iterated logarithm'for weakly dependent random variable« witli valuea in Hilbert apace. Abetracts of corwnuriicationa, VI USSR - Japan symposium on probability theory and :na thematic a 1 Btatlsticfe'. 1991. Kiev. I*. 156.

6. Sliaripov O.Sh. Jai alwoa-t sure iflvarianod principle for iveufcly dependent random variableв with values in liilbert space. Third islamic countries conference on otatiatical sciences. ABSBlACrS. flbba't. Marosco, 1S32. p.107.

¿Р ФЛООСВДЛ фЙМАТ КДБУЛ КДШЖ КУЧСИЗ БОИШЮШ ТАСОДИФШ ШУ10РЛЛЕ..УЧЛ1 ЛИГ.ПГГ ТЕОРШШР

Шзрипов 0.111.

Диссертация гильберт ва Ср фазоларкда циИшт црбуд рлупчв куч сиз ботаитви тясода^ий мшедорлар учуи лимит тчоремаллргя (Заилила нган. Диссертация кириш г,исмп, иккп боб ва адабпйтлар руйхатидаи иборат.

Бпрянчи боб такрорий логарифм цоцушишнг иккп тури во штари-антлйк принцшшга багпшлангаи.

Игшшчи боб асосан марказий лашг теорема ва унда ш^илигшк тезлягянинг ба^осига баишшанган.

Кушюдан диссертацияда цуйиндаги нати-.салар олпнгап:

- .-яльберт фазосида климат х$абул цилувчи кучепз-борлангал га сода-фии щвдорлар учу я такрорий логарифм цонунларп урпнли булипшшнг яарур ва етарли шартя олииган;

- гильберт фазосида щймат кабул далувчи кучеиз йов.чачгаи тясоди- -фий мивдорлар учуи шшариантлик прпнципи исбот'ланган;

Св фазосида циймат цабул адлувчи кучеиз бовланган тпсоди:г1ы г

мивдорлар учун марказий лимит теорема исботланган ва увда якяНйашиш тезлигининг баз$оси олииган.

UMIT THEOREMS FOK'WEAKW DEPENDENT H&HBOH VARIABLES

WITH VALUES IH ¿a * f

In dissertation the Hurit theorems for woalcly dependent random variables with valuen In (f^ and Hilbert epacos are considered.

Dissertation contains introduction, two chapter ¡«id byb-liography.

In tha first chapter the two forms of tho law of iterated logarithm and almost aura invariant;« principle ore aonsidercd.

In the second chapter the central limit theorem end'rata o£ opnvergence in the central limit thsorora ara ooneidered.

In part, in dissertation tho following results are

obtainedi

- a necessary and sufficient moment con&ition for bounded ••'• and conpaot lmya 'of iterated logarithm for tha If-mixing

random variables-with values in Rilb^rt Bpaca in obtainedj

~ an alaoot suns invariance principle «for </ ~ mixing randan vxiiiablea witli values in Hilbert speoo .to proved j

- a central limit theorem and rate of convergence in tho cantr<aj. limit theorem for mixing random variableo with valusa in arc obtained.