Предельные теоремы для условных распределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ
|
Мухамеджанов, Кабулджан Махмудович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Ташкент
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Р Г Б Ой
2 2 МАИ |ЗУЬ дкддяд^ Р2СШШШ1 УЗБЕКИСТАН
ИНСТИТУТ 1«1АТЖАтШ 1ИШ1 В .11. РО!.1АШВи\ОГО
Иа правах рукописи ¡^лАВДШЮВ ла<3?лдаоп Махмудович
ирадшшв тёоря.щ услошш ГАашдашодй
0I.CJI.05 - Теория всрашюстец к
натеыатпческан статистика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учоаоЗ степени к а: 1 дидота £язкко-ы ит ейа тп ч сс кчх к а у к
Ташкент - иУ5
Работа выполнена на кафедре "Вычислительная техника и информатика" Ташкентского овтомобильно-дорокнего шетитутз.
Научный руководитель - доктор физико-математических наук,
профессор НАГАЕВ A.B.
Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук
МШН А.Б. кандидат физико-математических наук, ст.Н.с. МУХИТДИНОВ A.A.
Ведущая организация - Математический институт им.В.А.Стекловв
РАН.
Защита диссертации состоится IS95 года
в час.. на заседании специализированного совета
Д.015.17.21 при Институте математики им.В.И.Романовского Ail Республики Узбекистан по адресу: 700143, ул.^.лодааева,
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им.В.И.Романовского АН Республики Узбекистан.
Автореферат разослан 1995 года.
Ученый секретарь специализированного совета *
доктор $из.-шт.наук,проф. Щ ¿¿Му Ш.А.ХЛШИМОВ
ОЫМЛ AAPM.T¿P1Í(JTIIiíA РАБОТЫ
4й2^льпость_темц. Потребность и изучении асшпюшчвсш свойств условиях распределений возникает практически во всех случаях, когда в ходе исследования причешется формула полной вероятности. В зависимости от точности требуемого результата, могут применяться цоршуш для условных распределении Toii или иной степени точности. Шстсвдая работа посвящена выяснению (асимптотических cbo.ícte условных распределении, когда значении нодусловных величии изменяются в области болыжх уклонении. Такого рода результата бывают необходимы, в частности, при изучении асимптотических свойств обобщенных шоорочних моментов в математической статистике, когда имеется информация о значениях какой-либо разделился статистики, а тзкяе njpjj расчетах вероятносте.; ошибок, критериев согласия, основанных на обобщенных выборочных MOIJCHTUX.
Иилью данной диссертационное работы являете* аадайоиле условии aoauisoTi.'iooüoá нормальности условных раепрс-деленил, когда вероятности подуоловных "ункцнонглышх" события находятся в области больлпх .уклонении.
Методика исследования основана аа применении при;их вероятностных расселений и систематическом ыслользоззнаи основных, пределышх теорем теории суммирования случайных величин, образу-юцих схе;,:у серил.
научна» новизна полученных в диссертационной работе результатов заключаются в следуюцсг,!:
- получены новые локальные предельные теоремы для суí,ü„ независимых одинаково распределенных' случайных величии с регулярны» изменением и надстепенным изменением "хвостов";
- установлена асимптотическая нормальность обобщенного вибо-ричного момента при условии, что выборочное среднее принимает значение из области больших уклонении; <
- выяснена зависимость параметров предельного портального закона от CEOÜCTE функции, с помсщьа которой задается обобщенный ЕЫборочний момент.
Теоретически^ ji^ Результаты рабом
носят теоретический характер. Они могут быть использованы при изучении свойств так называемых раздели;.:!« статясиа., а задачах
случайного размещения чьсгац но ячейкам, в граничных задачах дли двумерных случайных блуадащц и т.д.
• Основные результаты работы в розном объеме докладывались автором и ого научным руководителем но Всесоюзном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей (Харьков, 1У88г.), на Республиканской конференции "Эффективность использования ресурсов при совершенствовании управления производством, технологическими процессами и оборудованием" (Ташкент, 1с)8<з г.), на городском ссышшре по 'теории вероятностей и математической статистики в Та-дГл, на семинарах отделов теории вероятностей и ыатемстическоя статистика Института ыатеи&тцки им .В. И .Романовского АЫ Республики Узбекистан и на екегодных научных конференциям про^ессорско-проаодава-тсльского состава Ташкентского ивто;.:об1пыю-доро;лного института (1985-ГЭУ5 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, приведенных в конце автореферата.
Структура и .объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, списка использованной литературы и излокенэ нп 99 страницах машинописного текста. Список литература включает 30 наименований.
СОдаЛНИЕ РАБОТЫ
Во введении дан краткий обзор робот, связанных с темой-диссертации и обоснована актуальность рассмотренной тематики..
Глава I, состоящая из трех параграфов, посвящена доказательству локальных предельных теорем, учитывающих больше уклонения при нарушении условия Крамера.
Пусть ^ независимые одинаково распределенные случая--ные величины (н.о.р.с.в.).
Предположим, что
М\ = о , > (I)
и полами'
*■ 1 ■> п. •
В § 1.1. доказана локальная предельная теорема, учитывающая большие уклонения (и.у.) для случая нерешетчатого распределения с праЕпльнш.: изменением хвоста исходного распределения. Ис-рендем к более детальному изложению результатов. Обозначим
= РСх-^х.А)
Будем считать, что выполнена следующие условия: о) ^ иьеет нерешетчатое распределении;
б) существует функция У (-к) , такая, что
УСх) = при Х-^» «о и
^ =0(1) М < 1
для любого фиксированного 1\>о ;
в) при х-> ~ л любом фиксированном
~ ^¿(Х.) , (2)
где <Ц> 3 , - медленно меняющаяся функция (м.м.ф.).
Основной результат данного параграфа содержится в следующих теоремах.
Т Е О Р Е Ы А 1,1. Если выполнены.условия а) - в), то при п. -» оо И х^ хп
£ (х,к) = п-Р(х>к)(1 + еа))
для либого фиксированного 1\> о .
13десь определяется^ аз условия
. /Я = о(гШг>(у:п\ихп , У(зсп)):
Во втором параграфе доказывается аналогичный результат для случая абсолютно непрерывного распределения о рег^йярвым изменением хвоста. *
Пусть ^ имеет абсолютно непрерывное распределение о плотностью р(к.) .
Предположим, что ^
р (-х.) = эс С («) , где Ъ (х.) _ г.1.м.с;1-( а
v-ía)
Через ■ обозначим плотность ^ . Тогда справедлива
следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1.2. В условиях (I) при JC х.п >
шение
I^^ =o(í) справедливо соотао-
^ (X) = n.j>(K)(i-tO(L)) .
И наконец, в третьем параграфе доказана локальная предельная теореыа, учитывающая большие уклонении в случае подстеленного изменения хвоста.
Пусть |^ н.о.р.с.н. с обцай плотностью р(х.)
В дополнение к (I) потребуем выполнения условия
3
М I fj
<' OQ
(3)
Рассмотрим класс неотрицательных выпук-
лых, монотонных йункцлй со свойствами:
(A)
ш —'» при jC его
Ы ж.
(B) Cj¿x)-Á
для £.>x.d,jíx.¿uí:X. , где J-, р (¿шссиро-
ванные числа из промежутка (ü;I). Ьтот гаысс .был введен
А.В.Нагаевым. Будем говорить, что удовлетворяет условию ( ), если при jc. -* оо
= (it о Ci)) }
где С Gs
Основным результатов этого цирагр^.р явжетея
ТЕОРЕМА 1.3. Пусть шоет Ебсолютно-непрерывноз реецределшше с плотностью р(х.) •, ■ которая удовлетворяет условиям
и услов:;-./ ((£.). Тогда
^-Р I Рп¡нрс*) I = о а)
где | эСг, ^ любая последовательность, удовлетворяющая условию
= '(/г*; (4)
Нетрудно понять, что в (4) Х„ /Ъ —» м , т.е. значения X. т- Х.п лсиот в области больших уклонении.
Вторая глава, состоящая тэте из трех параграфов, посвящена получению продольных теорем для условных распределений, что является главной целью рассмотренной задачи.
В ? 2.1 приводятся обозначения и вспомогательные результаты, используемые в дальнейшем. Как уяе отмечено выше, в этой главе рассматривается сумки независимых одинаково распределенных двумерных векторов, компоненты которых связаны функциональной зависимостью.
Пусть ^, - н.о.р.с.в., такие, что
■ 1 1 -7«= / £ Гп) -
Образуем случайные векторы С, - I )
где
<*)
а функция ■¡■(к) отлична от линейной нэ носителе меры, порожден-' ной в случайно;! величиной £ В дальнейшем будем полагать, что
Более того, если совместное распределение и £ (ь )нерешет-чзто, то имеет место локальная предельная теорема.
Относительно Функции ^(х) сделаем следующие предположения, ¿удем говорить, что |ункция ¿-С«) принадлежит классу Н^ , если сугдествуьт фиксированное число У > О и функция д (х.) -такие, "что
4. Си, ' I; = в
^^ У* I 1
Здесь <Г(х.5 - любая полоаителъная функция, такая, что <Г(ос.)-*с. XсГ(х)^а. , когда .
Предположим, что выполнены условия
В § 2.2 изучаегся асимптотика условных распределений нерешетчатого распределения в случае правильного изменения хвоста. Предположим, что £ £эс) е !-{п > тогда справедливы следующие теоремы. ®
Т Е О Р Е М А 2.1.Пусть ^ удовлетворяет условию (5), а 4 е На . иричем ^ о» когда 31Д, о« . Тогда при п. —^ для любого фиксированного Ь. > о
~х- ъ /п с« п ^
Заметим, что если I < ,=-0 то нет необходи-
мости требовать правильности изменения функции ¡к«) . В этом случае вместо (6) имеем
^ № ^" I** 1 ^ **Л )1г *•
ТЕОРЕМА 2.2. Пусть удовлетворяет условна (5),
а £ £ Но > причем ^ (Чс) •=< при
X! со ® .
Тогда при и.-^ для любого фиксированного /ч >• О;
Б частности, при ^С^^ ^
Т Е О Р £ М А 2.3. Пусть удовлетворяет условию (5), а ' причем | $ (■*) | ^ ^ ^ ^
Тогда при п. оо
. Во всех случаях предельным для условного распределения случайной величины является нормальное распре-
деление. При этой нормирующая последовательность в значительной мере определяется свойствами функции £ (л) .
В параграфе 2.3 сформулированы и доказаны аналогичные три теоремы для случая подстеленного убывания хвоста исходного распределения.
Будет говорить, что функция £ (ъу в (я) принадлежит классу ¡{^ , если опа дифференцируема и
1° либо существует ппедел 5 6*0 10
либо ^ п существует функция 1 .такая,
г 1 4М - 4-(х-и) ,
-Ъс^л '^р ^ - Л^ с?(I)
00 ОАЦ А-Их) I Ц б'Сх)
при X —> «э
3 ш ё* о[ц = о ы*)
Здесь из условия (££.).
Наконец, потребуем выполнения условии
СТО
(7)
Справедлива сведущая
Т £ О Р Е и Л 2.4. Пусть исходное распределение удовлетворяет условиям (кк),( <2 ) й (7), о функ-
ция ^ принадлежит классу ,
причем ^'(х) ^ с(х) при
Тогда
С")
<3
при условии, что
VЪ = 0(1) .
ТЕОРЕМА 2.5. Если в условиях таоре.ми ¡¿.-± ■Си*Л 4'(х.) -&>'€>, то при Н -=> со
Л-»00
/Я ЭС^ГЛ) = >
где пз соотношения ^ = М ^ ) .
ТЕОРБЫ А 2.6. Если в условиях теоремы 2.4
^ (а;) -=» с*о ¡ш; эс-+с<=> , то
- il -
?' = *) - Фс*) * о и)
равномерно по ^ , при усмвип, что
fn . м л* £ o4«) , ^ i*-) /*.) <9 (l) .
Автор признательность профессору Нагаеву A.B. и
кандидату .¿из.-мимк.ук Ы.Б.сангинсву за помощь и, внимание в процессе работы над диссертацией.
Основное содержание диссертации опубликовано в следуювдх работах:
1. Мухамедь:анов K.M. Некоторые предельные георемы дня условных распределении. - Б кн.: ищектпвноегь использования ресурсов при совершенствовании управления производством, технологическими процессами и оборудованием. Часть 3. Ташкент, ,ТошШ1, ЪЬО, с.71.
2. мухам ед.яанов К.ы. Об одной локальной теореме // Изв.Ali УзСйР, loüa, 6, c.üI-üG.
3. Ыухимедканов ii.il., Нагаев A.B. Предельные теоремы для условных распределений. В кн.: Асимптотические задачи теории вероятностей и мат.статистики. Ташкент: дан» 19S0, с.56-63.
4. йухаыедканов К.Ы. Новые предельные теоремы для одного семейства условных распределений. В кн.: Материалы XIX научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава TAJJ1. Т.: ТДЩ1, 1991, с.73.
-i 12-
Pû . . i « .'Г v.à. . j I Э :;,
!:'.
