Предельные теоремы в двуграничных задачах для случайных блужданий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 519.21

ЛОТОВ Владаа..;р Иванович

предельные теоремы в двуграшчнкх задачх для случа!!ных блузданий

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ .

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

- 1939'

Работа выполнена в лаборатории теории вероятностей и ма~ тематической статистики Института математики Сибирского отделения АН СССР

Официальные оппоненты:, док тор физико-математических наук,

профессор Володин И.Н., доктор физкко-математи.еских наук, профессор Чибисов Д.М., доктор физико-математических наук, профессор Щуренков В.М.

Ведущая организация - Институт математики и кибернетики АН ЛитССР

Защита состоится "_"_19 г. в __ часов на заседании специализированного совета Д 002.38.03 при Математическом институте им. В.А.Стеклова АН СССР. Адрес института:' 1Г7966, Москва, ГСП-1, ул. Вавилова,42

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан и_" _19 г.

Ученый секретарь слевдагазированного совета Д 002 18.03

д.ф-ы.н. А.С.Холево

ОБЩАЯ ХЛР&ТГЕРИЗТИКА РАБОТк

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ, Граничные задачи .да случайных блугда-иий занимают яатаое место в современной г о орда вероятностей, ото связано с их математической содержательностью и с тем обстоятельством, что они К/.оют многочисленные приложения. Среди всего многообразия граничных задач выделим изучение распределений функционалов, сеязэншх с выходом траектории случайного блуздания из прямолинейной полосы, таких, как иомен- перього внхсда, положение в момент первого выхода, положение в фиксированный момент времени до выхода из полосы и др. К подобным постановкам приводят а) задачи математической статистики (последовательный анализ, исследование критерия согласия Колмого-роза и критерия однородности двух выборок Колмогорова-Смирнова, задачи о разладке и др.), б)изучение систем обслуживания, в) задачи хранения запасов, г) задачи разорения и т.д. Математическое со;")ржание этих задач, как правило, требует привлече-

для их решения довольно тонких п глубоких илапитических методов.

Первые исследования в двугршшчкых задачах связаны с именами Лагранка, Муаьра, Н.Бернулдл. В работах этих авторов» найдены некоторые характеристики траекторий простейпих случайных блужданий в полосе. В дальнейшем потребности приложений стали пртаодить к более обдам постановкам, однако выясюиюс:, что нахождение в точном виде распределений интересующих граничных Функционалов доступно лишь в х-.екуогих частных ситуациях. Тем самым нг первый план стали выдвигаться асимптотические исследования в предпелогенкях, которые допускают асимптотический анализ - в частности в предположении, что ширина полосы растет. Основные результаты в изучении первых членов асимптотики распределений в дту граничных задачах (зачастую связанных с задачами млтематичес:. статистики) пркнадг хат А.Н.Ка-могг-

реву, К.Б.Смирнову, В.Феллеру, Б.В.Гкеденкс, А.А.Боровкогу, В.С.Королюку, Чхан-.Ъг-Цяна, С.3.Бугаеву. Наряду с исследованием главных членов асимптотики распределений е тех или »шах постановках интерес представляет '.задача получения полных асимптотических разложений (п.а.р.), получение таких разхохзкяй в области больших уклонений, рассмотрение более общих ("'.ем блу-здаиия по сравнению с классическс" схемой суфлирования независимых одинаково распределенных случайных величин, что з своп очередь требует развития новых подходов. Для некоторых частных схем случайных блужданий п.а.р. в задачах с двум, границами известны йе работ Дя.Кегаермана, Ю.В.Боровсклх.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ - разработка метода асимптотического анализа в двугранпчкых задачах, который позволяет находить п.а.р. совместных рас пределешШ интересующих граничных функционалов в широком диапазоне уклонена! для случайных блужданий как классического типа, так а.их обобщений (блуждания на. цеш: Маркова, обобщенные процессы восстановления). Исследовать асимптотическое поведение характеристик последовательных процедур математической статистики, приводящих к двуграничным задачам, таких, как последовательный критерий отнопекия правдоподобия, задача о разладке.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. Исследования проводятся в несколько. этапов, включающих факторлзационные тождества дая двойных преобразований над искомыми распределениями, изучение аналитической структуры участвующих в них функций и как следствие на-хоздение асимптотических представлений производящих функций рассматриваемых распределений с последующим вршленешзм кодификаций метода перевала для получения п.а.р. вероятностей.

НАУЧНАЯ ЕОВлЬНА. В диссертационной работе разработал новый метод асимптотического анализа распределений в двугранич-ных задачах, с помощью которого получены следующие результаты.

I) П.а.р. совместных распределений момента первого вшо-да и положения в момент выхода (а также момента выхода и положения в фиксированный момент времени до первого выхода) из прямолинейной полосы для траекторий случайных блуадаяий, порожденных оуимированием независимых случайных величия, заданных ка цеп^г 1,!арлова, а так"Э для обобщенных процессов восстановления. Результаты охват...зают область нормальных и большое /клонегшй. распределение скачков случайных блужданий вс-щу

только услсв:м прь^еровского тша.

2) Аклатэтяческяе разлокешш для вероятностей опябок, оперативкой характеристики к среднего числа наблюдений последовательного крл?ер::я стнсшеяпя правдоподобия (1ТК0П)..

3) Аситатотическг разложения для величин, задаотдх границы полосы ГШШ, по степеням малых взроятностей ошибок.

4) Оценки точности аппроксимации вероятностей ошибок ПКСП главными членами асимптотических ра:.».тояенлй, полученные л виде неравенств с вычислением всех участвующих в мен величин через исходные характеристики случайного блуэдания.

5) Асимптотические разложения характерно ..ж метода куму-ляпшных сумм в задаче с разладке.

6) Асимптотические разложения распределения супремума последовательных суш в драьг лвсяом случае.

7) Точные формулы п асимптотические разложения числа пересечений полосы траекторией случайного блуядания.

Указанные результаты являются новыми и получена лично автором.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬКроме упомянутых выше приложений к задачам математической статистики, теории систем обслуживания л др. отметим еще один теоретический аспект работы, связывающий вероятностную проблематику с теорией интегральных уравнений. Известчо, чфо рассматриваемые распределения граничных функционалов (или производтг'е функции этих распределе"чй) удовлетворяют пит;,тральным уравнения.'.! (или системам уравнений) на конечном интервале с ядром, зависодш о? разности аргументов. Полученные в диссертации результаты даат асимптотические представления решений этих уравнений при условии, что длина интервала растет.

АПРОКЩ'Л РАБОТЫ. Изложенные в диссертации резулт тага докладывались на 1У 1.1е;кдунаред.ю;1 .Вильнюсской конференции по теории т-эроятностей и математической статистике (1985), на Первом всемирном конгрессе Общества Зерну лл'т (Таакект, 1966), на У ¿¿лоно—Сойотском симпозиуме по теории вероятностей (Киото,1986,, на 1У Всесоюзной школе по теории случайных процессов (Пр-Гита, ::987), ка семинаре по последовательному анализу в Математичос--ком институте км. З.А.С'.-клова АН СССР (1985, 1.987), а такле на семитках но теирну вероятностей ;г математической стгтлст;:-пе Института матсма^хл СО АЛ СССР (Нивосиолрск • Институт'

математики АН УССР (Клев), Института математики к кибернетики АК Лит ССР (Вильнюс), ЛОЖ (Лекш -рад).

ПУБЛИКАЦИИ. По тзгле диссертации автором опубликовано 17 работ. Список основшх из них приводится шее.

СТРЗТСТУРА ДИССЕРТАЩИ. Диссертация состоит из введения, трех глав, которые в свою очередь делятся на 21 параграф, и списка литературы. Обедай объем - 257 машнопиешх страниц. Нумерация параграфов сквозная, номера формул, теорем и др. утверждений состоят из двух чисел, первое из которых указывает на номер параграфа. Список литературы -- 81 налу нование.

С0ДЕ.Р1АКШЗ РАБОТЫ

Пусть. - конечная однородная неразложимая непо-

риодическея цепь Маркова с множеством состояний ^ = {1,...,^. и пусть, j , < сгТ) - не завясящг^ от семейство последовательностей независимых случайных величин, одинаково распределенных при фиксированных значениях к . Положим

Очевидно, есть двумерный марковский процесс, эволюция

которого определяется матрицей

—во

Если , то (1)определяет обычное случайное блугдание, по-

рожденное последовательностью независимых одинаково распреде-. ленных случайных величин. Для произвольных чисел 0.>С и ¿>0 введем случайную величину

равняло 1\юыенгу первого выхода последовательности (У из интервала (-а I) . Полагаем со , если при всех )С . '

Б первых двух главах решается задача нахождения п.а.р. по сгепе&ш ^ ^ ^ £/ для распределений вида

Здесь и датсе строч-

•ше бугазш С (возможно с индексами) означает положительные постоянные-,* не обязательно одни и те яе. Исследование осуществляется? 6- помощь» аналитических методов, которые принято называть- факторизационныь*!, так как они связаны с использованием факторизации" матричной функции Е - ~ (здесь Е - еди-

ничная матрица- размерности пь ). Хорошо известна роль факторизации при- решении интегральных уравнений (а также систем уравнений)' на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов.. Идея использования клтсгральннх уравнений на полупрямой» а вместе с тем и факторизации, в задачах о времени первого прохождения уровня траекторией случайного блуждания сформулирован» в- статье В.М.Золотарева и В.С.Королша (1960), почти одновременно факторизация применялась Г.Бакстером» А.А.Бо-ровковым, И.Н.Коваленко; эти метода получили затем развитие в ряде последующих работ» Среда кнояества подходов к исследовании асимптотики распределений граничных функционалов в случае прямолинейных границ факторлзациоикый метод обладает рядом достоинств, позволяя, з частности» получать п.а.р„ распределений дж широкого круга задач. В этом направлении-основополагающими являются работы А.А.Борзжгова £1960,, 1962) „ гкз репка проблема нахождения п.а.р» распредвяаягй грапзтагк ^ршгжсгз-лов для случайных блузданий с одной прямолякейпоЯ' гратам* з гн = 1 0 &гот цодход оказатся эффективным и при решении ряда других задач» Так с его помощью получены п„а.р. в задачах с одной границей для случайных процессов с независимыми приращениями (Б.А»Рогозин„ 1962), дата некоторых двумерных случ'Шшх блухдашй (А.А.Боровяоа, Б.А.Рогоззк,, 1964) = Аналогичная одяо-граикчнач задача для полузгаркогских случайных блузданий (I) ревена Э.Д.Прзскалсм (195?, 1989),

В своих общих чертах метод исследований состоит из нес-кояьккх этапов. На первом из них доказываются фзктортаацаон-низ яоздеоггва для двойных (ила до>"» тройных) преобразований Фурье-Сталтьеса над ксисшш распределениями,, В них уста, овле-ваэтся функциональная (за^чотув неявная) мызду

этими преобразованиями и компонентами факторизации функции

Е - V • Второй этап связан, ш правило, с детальным

изучением аналитической структуры этих компонент, в том числе выяснением расположения их нулей, особенностей, возможностей аналитического продолжения и т.д. Это позволяет затем (третий этап) на основе имеющихся тождеств.асимптотически обратить двойные (или тройные) преобразования над искомыми распределениями по пространственной переменной. Слово "асимптотически" здесь означает, что обращение'производятся не в точном виде, с с выделением главного члена и оценкой остатка, как правило, экспоненциально малого. Этот этап является одним из основных; в результате находятся так называемые асимптотические представления производящих функций по переменной, связанной со "временем". На заключительном этапе главные части подученных асимптотических представлений исследуются с' помощью модификаций метода перевала.

Эта схема была разработана А.А.Воровковш и применялась во всех упомянутых работах. Все четыре этапа присутствуют и в настоящей работе. В то яа время отмстим, что аналитические свойства компонент факторизации во всех рассматриваемых шша ситуациях с достаточной полнотой изучена ранее в работах А.А.Боровкова, Б.А.Рогозиыа, Э.Л.Прзсиана при реиэнии соответствующие однограничнкх задач. В связи с этим в назем случае самостоятельные исследования па втором этапе не проводятся, ко в целях облегчеиая чтения каадый раз излагаются нужные сведения о факторизация и приведется необходимые ссылки. '

На протяжении §1, §4—§8 предполагаются выполненными условие Крамера (СД: Ш - и; >0 , где (соответственно тГ_ )

- точная нигняк (верхняя) грань тех 1Г , при которых все интегралы в (2) абсолютно сходятся при X-i.iT, и условие (Сг): найдется элемент матрицы р(\) тш;ой, что прообраз Фурье-Стил-тьеса П/ -й степени этого элемента при некотором целом И.>1 содержит абсолютно непрерывную компоненту.

В связи с тем, что техника исследований является весьма слоеной, изложение вначале проводится для случая (§1 -

- §?). Это в акой-то степени облегчает чтение работы и понимание применяешь метода.1. Исследования при произвольных проводятег по то! ае схеме, что и при иг - 1 . Однако при пере-

ходе к матричной факторизации техника получения асимптотических представлений производящих функций усложняется вследствие некоммутативности умножения матриц, трудностей» возникающих при решении матричных уравнений и т.д. По этой причине матричный случай рассмотрен в главе П.

Итак, пусть сначала m-í . Обозначим при |"z|< i ,"Jm\=$

со

l^pcvm**-), асылх

»tro

oo

£ .

.o ' «>

-ü*0 oo

. -oo 6

Факторизациошше тождества для Q-O^X") -.' С'1 при-

ведет в §2. Впервые они получены Дж.Кекперманом (I9S3) с по-•мощьи аналитического метода типа Рчнера-Хопфа, Jxewa получения их при ироизвольных fn^i остается презпней. В то se время в §3 предложен другой метод получения этих товдеств, имеипяй наглядную вероятностную интерпретацию. Заметим,. что из полученных факторигационннх тождеств в общем случае ка удается найти явные выражения для функций Q.(í>\) (такой вопрос п не ставится; он тесно связан с получением явных нирагени]. дая компонент факторизации, что удются сделать.только при дополнительных частных предположениях на исходный процесс).-Заметим, что для целей асимптотического.анализа распределений не обязательно иметь явияв формулы для Q. -или дая'функций S> , достаточно ограничиться нахождением асимптотических представлений функций S и I в окрестности некоторой течки ?0 (см. ниже) к сценкой их на множестве,1г1= >

> & > 0 • Это уда ¡físi- сделать на .основе 'мендихся то.тдосга

для Ц- , не прибегая к явным заражениям» Получение асимптотических представлений функций К) и Т(-г, А) составляет содержание §4 - одного из основных с точки зрения ¡преодоления технических трудностей. Основная идея здесь состоит в представлении функций (¿; (,1-1,2) при любом Ъ>Л в виде суммы

= ^^-^(гЛ^^Чг.х^ -..... '

сп "

где функция известным образом выражаются через'ком-

поненты факторизации, а последнее слагаемое в (5) допускает удовлетворительную для кашах целей оценку» Зти представления имеют наглядную ве; оятностную интерпретацию. При 1 = 2. на-пршер, слагаемое Як!(гЛ) соответствует траекториям, -когда-

гр \ (2>. :

либо достигающим згножзства , слагаемое ^ (г,Х) соот-

ветствует траектория:»!» достигшим когда-либо го^-„ а.за--'ем СЬ,«) и т.д.; в последнем слагг -мом учитываются траекто-рки,, впервые покинувшие интервал (-&,£>) через верхнюю границу и впоследствии 8 раз'проделавшие путь в о] и обратно о Использование свойств компонент факторизации позволяет взделихь у функций би)(^х) главную часть и с ценить 'остаток,

что к дает после подстановки в (5) и соответствующей обработки нужный результат. Дальнейшая обработка главных частей полученных асимптотических представлений функций 5 и I с помоцыо контурного интегрирования проводится в §5. Поскольку к ним не применимы непосредственно ни классический метод перевала, ни его известные модификации, то эт*4 выражения предварительно расклады, хотск в сушу растущего вместо с П. ч -ела выражений, каждое из которых может быть исследовано с помо;цью модификации метода перевала,, предяокенной А.А.Боровков: м. Такхад образом получается предварительное разл жеше,, коэффициенты которого являются сушами зависящего от числа слагаемых. Дальнейший анализ коэффициентов дает нужный результат. Оказывается, что при (); £ ^ С *Пг суммирование в них можно распространить до -бесконеадости0 а в области больших уклонений, когда

(Д,+ í->/íiv -> t-4' . ограничиться лишь первым слагаемым. В итоге (СО) получены п.а,р. распределений (3) вэ всем спектре уклонений совместимых е требованиями й+£> = о(а), а+ь > ^ С -ПТ . Основные г'взультата собраны в теоремах 6.1-6.4, при этом отдельно формулируются п. а.р. вероятностей

PfSft, ^ 6+Х , N^n.), P(Sws -а-< ,М^а4) (х*о) и

N >HJ в случае, когда XUX¿ на зг.висят от \ь и когда X^fo , íí- в следу ших диапазонах

уклонении: I) ; 2) I -

^-C^ÍZ ; з) a=o(t.'). I-Zfü или i-o(ct) , о. =

= C\E, mln -ve« .

Приведем в качестве примера некоторые формулировки (в частично измененных по сравнению с §6 обозначениях).

Теорема 6.1. Пусть для случайного бяудданяя (!' прит=1 выполнены условия (С,) и (C¿), сю при

<L + Í= v{n) • Тогда для любого 0 и любого целого с|>

-a -Via, г I— J.; / -TV . n^.(a')

Uo

ч - V { . f ( а . ,

-D2j.(x,sa)e ) г ia U(e<p.

~ . -а ,, с ^

+ ) Uv^ e

1 ^ - La-I ^ T ( О , c, (X) = E e X''\

ьели-шш D., ^ (х ttb) , » к:. 'u(a) получены в

результате подстановки значений гц = °~/\ъ ,%= Vri/ , 'Tj- ''/гг.

з известные аналитические в окрестности нуля функции переменных ^

Дать полное определение этих величин здесь не представляется возможным, поскольку для этого потребуется .ново новых обозначений. Все это сделано в основном тексте.

Теоре.ма 6.2, п.1). Пусть для случайного блуждания (I) при щ» 1 выполнены условия (С1), (С2), (Х-^Лг » Í- Lj,¿'ftb' • О < ¡s ij. £ С, <■ °° , Тогда для любого X s 0 и любого цело го ^ 1

I"1 i i. " 1

1*0

где коэффициенты Р, (х) имеют вид

С*

(s jjo^p hn [ i)+«j«c*+<)í j ] э

с-),

Vut " шогочлеш от ^ • ^ и Уа степени

не выше ¿Í по каадой переменней, определяете в основном

тексте, ~ 0 • '

Если й + & с П , то изучение асимптотики распределений в даугранячных задачах сводится к однограшгчным задачам. Вопрос о д.а.р. в области малых уклонений Ufi-o(^rC) 00~ тается открыта...

Переход к рас смотрег-ч решетчатых случайных блужданий не вносит пркк дпиалншх изменений и трудностей, а в ряде случаев

/. 1:мс;:;он:;е более простим. Аналоги результатов §4 для це~ ло'П!сл;н'2.'х случайных б.ту зданий содеркатся в §?. ¡Здесь такп-з на распределение скачка накладывается условие Крамера типа (0,) и, как и в С-4, строятоя асимптотические вредежмения производящих функций по переконгой, связанней со "времгнем". Вид глав-них частей полученных асимптотических представлзнлй оказывается таким х:о, к;и< и з ситуации, рассмотренной в §§4-5, го есть описанная в §5 техника контурного ингегрировангя без изменений может. применяться и в эт;1х случаях. Б связи о итим сразу ~.е можно выписать п.а.р. искомых распределений, что и делается для некоторы" наиболее шшх ситуаций.

Асимптотический анализ полумарковеккх случаШогх йтуздашгй (I) при произвольных Иг ?! (§8) а обобщенных процессоз восстановления (§9) также ограничивается построением асимптотических представлений производящих функций (преобразований Лаптаоа-Стилтьеса з §9) по переменной, связанной со "времэ. ;м". По своему виду главные части этих представлений опять совпадав? с функциями, исследованными в §5, поэтому сразу же выписываются п.а.р. нужных распределений,

3 третьей глазе также проводится асимптотический акалий случайных блужданий на конечном интервале, однако здесь изучаются те характеристики, которые находят применение преяде всего в последовательном критерии отношения правдоподобии

Пусть ХьХг,...~ независимее наблвдаппя над случайной величиной с распределением I" , огпсительно которого г.ровзряют-

ея два простые гипотезы Н/. против И/. • Пред«

» 1 ^ "

полагается, что оба распределения абсолютно непрерывны относительно некоторой - конечно! мары ц, , пусгь

1 _ ¿ь 7; _ р (6)

х-, - ^ > ** иг * ол ,

ц по-презшему

^ К(М) - $„<£ с-а,ц 7 а>0, Ьо.

В соответствии с классически.! последователькым критерием Валь-да гипотеза отвергается, если I, , и принимается, ео-ли § ^ -&, . Качестго критерия определяется вероятностями при-

нятия оаибочннх ропензй

и средним количеством наблюдений ЕГ. М , необходимых для принятия рсие*"и. Здесь индекс } у символов Р и Б означает, что вычисление производится в предколокечки, что справедлива гипотеза Hj = • Если распределение Р принадлежат

некоторому параметриче екому семейству , тс интерес представляет также изучение оперативной характеристики сЦ 0) ■= = Р(^$-а) и ЕцМ при произвольных значениях б .

Хорошо известно, что введенный ШОП шест наименьшее значение К' (]•-•• 1,2) среди всех критериев (последовательных или кет) с заданными ограничениями на вероятности ошибок.

Ясно, что для эффективного использования ^ЧОП нужно уметь вычислять но заданным 0, и & величины Ь) , Е- Ы (на-

зовем это прямей задачей) или, что еще лучше, вычислять границы критической области й- и £> по заданным заранее вероятностям ошибок (обратная задача). Возможности решения этих задач ъ точном виде весьма ограничены (см. замечания выше). В тех немногих случаях, когда в точном виде задается найти величины

• получаются сложные и громоздкие алгоритмы, малопригодные для последующего обращения зависимостей =сЬ (й71).

Более реальная цель - построение адпроксимациснных формул в обеих задачах. Хорошо известна аппроксимация Вачьда

-а ¿а Ь (7)

е ~ -- е ~ —- ,

{-а, оц

которая не зависит от рассматриваемых гипотез к, несмотря на обо?.) простоту, дает в ряде случаев удовлетворительные резуль-тать.. Вывод (7), как известно, осноьан на пренебрежении эффектом перескока величиной .границ интервала (-(Ц £>) • Впоследствии кногини авторами предпринимались попытки уточнения (7) путем аппроксимации тем или иным способом величины перескочи к о:г;ШЖ ого В.-1ЯНИЯ на результат. Отметим в этой связи рееуль-•:ат С::г*.укда (1С7£) для & .¡поненциатышх семейств, основывающийся кг загоне распределения величины перескока его предель-п:;- г-т.'.:.?»!'«;.',', оц«геси А.А.Боровкова (1984), а такяс рабо1..

_ ^

С.8.Нагаева, где при условии < 00 получена аглрсксн-

мг.ционлач формула для 5 с оценкой точности в случае,

когда А * (>4,0 и значения мата (1971).

Одам из основных подходов к получению аппрокикмаздокных формул является построение асимптотических разложений при' О. в прямой задаче и" при «¿.,^-»0 в обратной, сгому

посвящена основная т гсть третьей главы. Метод исследовантг по~ нретеьу является фачторизационным, как и ранее исходным пунктом здесь являются тождества тина (5). Поскольку во гсех этих задччах момент выхода случайного блуздания из интервала не фиксируется, то отпадает необходимость в четвертом отале. В то же время специфика задачи позволяет провести более глубокое исследование на третьем этапе.

§10 является вспомогательным, в нем приведена известная теорема (Ван дер Генугтен, 1869) об асичптотических разлоягни-ях в теореме восстановления в крамеровском случае. По сравнению с указанной работой здесь предложено новое доказательство, внесены дополнен'ш в формулировку, касающиеся оценки вариации остаточного члена и устранены некоторые неточности. Непосредственным следствием этой теоремы являются асимптотические ра? локенпя распределения сулремума последовагэлькых сумм в крамеровском случае, которые получены в §11.

Далее рассматривается случайное блуждание , по-

рожденное последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин \ 1^ + ... к- ? ^ , для которых выполняются следующие условия.

Пусть Е 1

(В,). 1Еех?'1 < со при -Ти , V ^ 0 , р. >0,

(В2). НрО^ I , Ез, <0 . Есл-1 |(в) = 1 , то Дополни. тельно требуем

? И

(В^). Распределение обладает абсолютно нещ рывчой компонентой, относительные "размеры'- которой тем болыпе, ч' * шире интервал |> ] . Тот зя ормулировка зтого ус: пия дс-статсчно громоздка и приведена в §12.

последовательность определяется соотношения." ¡-. . -.оегда

О . КеX1- 1 к . Как правило, функция

_ О"»)

г^ -Е, е допускает аналитическое продолжение за

пределы полосы О^йеХ*! , поэтому условия (В,)-(В1) вполне естественны для' рассматриваемого круга задач. Условие (В3) можно заменить трзбовшшем о решетчатости распределения

| , что не внесзт принципиальных изменений в последующее изложение. В то же время можно привести примеры, показывающие, что результата об асимптотических разложениях для в §12 перестанут быть верными, если ослабить (В3), требуя только лить наития абсолютно непрерывной компоненты у распределения без ограблений на ее размеры.

В условиях (В^)-(В3) существует единственное положительное решение С^ уравнения ^(Х) - - 0 (в случае (6) <|-1 ). Кроме точек Х-0 и функция 1 (ъ) не имеет вещественных кулей, однако в полосах - ¿ЙеХ <0 , % < < £ р, при ^>0 » У ь-й могут существовать комплексные нули (этот факт иллюстрируется в §13). Предполагается взвду, что эти нули простые. В §12 получен* асимптотические

разложения для по стеган , ш е к е" дл членов

порядка о(ехр V о (ехр (-¡(а.-<],(й+£)). Коэффициента этих

разложений вычисляются через значения компонент факториг-тщш функции и их производных в точках, являющихся нулями

Ч(л) , а показатели ...гепеней являются линейными комбинациями этих нулей. Точная формулировка этого утверзденкя содержится в теореме 12.1. Если в этом раз®-гении ограничиться только членами, содержащими вещественные кули функции ^(Х) , то получил в качестве следствия следующей результат.

^\ И-*., е ■) г-?ьч

ИЛ»*

о

Здесь

л( -^-¿Ца+ЬК

(S)

V

о

ЧчСх) и Т'ДХ') - компоненты факторизации функции Ч.(Х) в полосе -V< ße\ < £ 7 1*$ 0 \ , - S^ ,

2 т, - количество комплексах нулей функции в полосе

fj, < ße\ < р в случае , 2.S - соответственно в поло-

се -"Й s Rex < 0 при Y > 0 , числа и определя-

ют границы максимальной полосы < < ^ + »не

содержащей нулей Ч,(\) , отличных от О и ^ .

К рассмотренной ситуации непосредственно сводится зачисление вероятности ошибки первого рода и оперативной характеристики <=¿(0) при тех значениях Ö , когда выполнены условия (B1)-(BJ). Для нахождения (а., L) и ¿¿(ö) при Eö *,..;> О достаточно перейти к случайному блужданию, порожденному последовательностью .

Аппроксимация типа (9) без оценки остаточного члена получена Сищундом (1975; для распределений \ специального вида.

В §13 разобраны примеры, где результаты §т2 применяются для построения асимптотических pt ложений вероятностей ощлбок и оперативной характеристики ПКОТ в случае выборок из нормального и показательного распределений, .роме всего прочего эти

. цоказызают, что точность црлйшэкпй (9) возрастает •Ч'.-хош гипотез. Так, если F, = CR , , F,= Я? , хда

- норма;1Ышй закон распределения и I 0г - о,| < 0.1

.. догр'зшость яриблюигная (9) для имеет порядок

-Н'2 ' ) (напомним, что главный член имеет порядок 0(е ) ). Одазызается, это не случайно. В §14 установлено, что есл1: Fi- • iTq . 7- семейство распределений

обладает опрепеленшми свойствами регулярности по д , то

jV^i/^l 5 ~ ci/l£i при малых 1£1 .

Б то же вреня для практического использования приближений (9) желательно тлеть количественные оценки остаточного ■иена в (9). Такой результат получен в §15, где доказана правильная по порядку оценка сверху в взде неравенства для величины

И-V

е

о вычислением всех участвующих в нем величин через характеристики исходного распределения.

В §16 получено асимптотическое решение обратной задачи

дал ПКОН, а именно, в условиях §12 найдены асимгтотичеи. :ио (X* с

разложения для £ и е по степеням оЦ и o¿г при с1 ->0 , о1, -> С . Они имеют следующий вид:

е = * ••• ^ )+ vi,

здесь указан алгоритм вычисления всех членов разложения.

В найдены асимптотические разложен; т К' по степе-

-£> с -Уа \ г, ,, -р^

шил £ и е до членов порядка 0 (е а*Ч е )

(некоторые члены разложения в качестве множителей содержат величины й- или 6 ). В своей максимальной общности результат '•озсш"э громоздок, приводом здесь следствие из него.

Следствие 17.1. В условиях

ЕЫ «IЕ^Л \.а^0-е ((а*6

-оДснО „ул. ,

О + е \ + ' ) + 0(«иМ « )*

Со) . <М %

а ---, ~---—- ^ - .

с

В §13 рассматривается ситуация, когда функция се ¡нэ

имеет аналитического продолжения за пределы полсск 0 £ .

Для этого случая такие находятся оотэдтотшеские разложения

взроятностеЗ ^ (а Д ) при I -> со ц величин © , £ при

г <£. г* 0 , однако в отличле от ситуации,, рассмотренной выше, разложения ограничены первыми трсгд членами.

Пря отыскании асшдптостгесгшз разложений для оперативной характеристика <¿{9) ш Е^М при кронзволашх 0 котят оказаться,, что Е -0 0 Сто? случай исследоЕая э §19„ Из теорем 4« 1-4«2, устанавливающих асимптотические представления для производящих функций Т(7,1У)0 непосредственно следует, что при зыпслнопзз условий (О, )-(С2) и ¿1 = 0 плеат г.:зсто представления

а ь + т. * ^

о

+ ^ е ^ (Ц • 0 (е + е )

си

+ ^ е л с1о - 0 (е ^ + е ) ,

гдэ борелевские множества А,с10, 00 ) и ^аСО-^уР1! произвольны, К>0 ГТ+ • . меры ^ ощеделя-ются соотношениями . ■ „

Из этих разложений с помощью товдеотва Вальда следует .

Теорема 19.1. Пусть выполнены условия (С1), (С^) щ

¿1=0 « тогда при некотором ^ >0 . ■, ,

1

+■--—...-------„«.+

а + £ + гС_*'ч г >

-О(е^) .О(е^) В^Щ ■

' 1 •> ЗЕ'/-. (ю)

Если в этом разложений пренебречь величинами перескока , то получим известную аппроксимации Вальда. ^

я: (Е?^ & & . Аналог (10) для экспоненциальных семейств и -а-0 получен Сигмундом (1975). '',".-■'

В1 ]&зработанный метод решения дзуграничных задач при-мейЙетсЙг н решению задачи о разладке. Предположим, что набякь даетсЙ1 ¡Шлёдовательность независимых случайных величин Х1 , •» про которые известно, что

при '5 4Щ- • т? . Число М> , называемое моментом раз-ладкй, Йййвестно. Платаем пг*1 , если = ^зЛ^)

при всйс , з Шг оо , если разладки не произопло, то

ео~ъ ^ = р, (при всех I . Задача состоит в

том, чтобы по наблюдениям оценить момент разладки пг . Подобная озтуадая возникает во многих приложениях, л ей посвящено значительной число работ. Пойда (1854) предложил способ оценивания момента >и , названный впоследствии методом кумулятивных сумм (сизим ргосейихе ). Суть его в следующем. Пусть

¿Г,Л ^^ Р С г

-г— > V * ттГч1

тогда предлагается объявлять о наличия разладка в тот момент'4 времени. X, , когда впервые разность 3 ~ ^ гггзе-

Р л 11 к61г-

взойдет некоторый уровзю> Ь >0 , который заранее выбирается. Это связано с тем, что до г."о::5эта пг траектория случайного блуздаши ^^ смеот отрицательный спос, а посла момента разладки - пологдташшй. Выяснилось (Моусташздес, 1986), что среди всех моментов остановка Т , обладающих свойством (Т) = = £ (Т/т-^) >, X >0 » 1"'0!!°нт остановки Т^ мзнкмизиру-от величину о ^

/С (Т)« еь^ар Е((Т~Г}Ш?/ К,

(здесь ^,/Хг при С-*-«о ), нрн этой (Лорден, 1971) — 1пЧГ

о ,

В §20 доказаны две теоремы, из которых в качестве след- . о¥вий получены асимптотические разложения для величин 'ц(Т^) т о Приведем эти следствия» ;

Следствия 20о1» 20.2« Пусть распределение ^ при <ю удовлетворяет условиям (В^)-(В5) (см, выше) и = 1 -

/т=«>) . в полосе * ^ ясвду,

кроме точек X - 0 и Х-1. (заметим„ что условия

здесь выполняются автоматически вследствие вида и ),

Тогда при Ь со

нл

, Г -<гг)Ч с

* -Г" \ 4 0 и ) °Че ),

2 4 1 Л

^(тацесм^нги--^ * <0)

I П. 1л)

2<(0

-4-

пд/ь осе'^)^ о и.4"

В &аялгядаельном §21 показанос что ез результатов §3 а §12 попутно вытекает теоремы о распределении числе, пересеченны полосы траекторией случайного йлуедания (точные формулы а асимптотические разловенш в услозшх §12)-»

ОСНОВНЫЕ ПУШШШЩ АВТОРА ПО Ш£Е ДОШЧЩШ

I» Лотов В. И, Дснщтотетесгай анализ раснрздэленЕй в

штаых аадачахо I// Теорш взрсшноскей в еэ премзешея,-1579,- То24о »3,- С0475-4БаР

к. Лотов В.И. Асимптотич jjtiiä анализ распределений в длуг;..-НИЧ1ШХ задачах. П // Теория вероятностей и ее примегэния.-1979. - Т. 24, Ус4,- С.873-579.

3. Лотов В.И. Об асимптотике распределение, связанна о выходом недискретного случайного блуядания из интервала // Тр. Ий-та математики / АН СССР. Сис>.отд-нле.~ 1982.- T.I.-С.13-25.

•1. Летев В.И, Iод~i^eв В.Р. Об асимптотических разлозееншиг з одной граничной задаче // Сиб.улт.нурн.- 1984.- Т.15, С.гЛ-98.

5. лотов В.И. Об асимптотическом поведении характеризтше последовательного критерия отношения правдоподобия // Теория че» роетностей и ее применения.- 1985,- Т.30, .И.- С.164-169.

6. Лотов В.И. Об асимптотике характеристик последовательного критерия отношения правдоподобия // 4 Меядународ.Вильнюс-скат; конф. по Teopmi вероятностей и мат.статистике, 1985: Тез. докл.— Вильнюс, 1985.- Т.2.- C.II5-II6.

7. Лотоз В.И. Асимптотика распределения супремума последовательных суш // Мат.заметки,- 1985.- Т.38, JS5.- С.668-678.

8. Лотов В.И. Асш/лтотические разложения в последовательном критерии отношения правдоподобия; // Теория вероятностей и ее применения.- 1987,- Т.32, С.62-72.

9. Lotov V.l. Cxi tile reo alts of asymptotic analysis for the raadoa v.alks with tv/c-£;ided boundary /7 Probability t'ctory ami aafchex. statistic:?: Proc./ 5th J&p.-USSR Synp., Z/ozo, 1936.-.Lecture Kotos ^¿.-1988.-11.1239.-?.267-273-

10.jjotcv V.l. jKovikov A.A. Aeyxvptotic esoaasionb in srarc . problems of 3*iLueir;ial tasting// Proceedings of the 1C" World Congress of the Bernoulli üoc. J 'Jtrecafc, 'jïbd Netherlands, Vlili Sci.?rssc.-19B7.-'f.2.-?.^1-42C.

11.Лотов Б.И, 0 точности аппроксимации в последоватеЛнси критерии Вальда// Теория вероятностей и ее применения,- 1988,-Т.ЗЗ, С.295-304.

12.Лотсв В.И. Об асимптотике распределений в двугракичннх задачах для случайных блуаданкй, ' заданных на цепи Маркова.-Новосибирск, 1988.- 44с.- (Прещ)ИНт/АН СССГ. Сиб.отд-ние. Ин-т математики; Jê4).

Ь. Jlö-.rъЬ-г

и