Представления аффинных алгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КШВСЬКИЙ УН1ВЕРСИТЕТ «мен! ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

сэ

ср

со ~ ,_ сэ

а_

! Г>

; На правах рукопису

Футорний Вячеслав Михайлович

ЗОБРАЖЕННЯ АФ1ННИХ АЛГЕБР Ш

(01.01.06 - алгебра ! теория чисел)

Автореферат дисерташ! на здобуття вченою сгупепя доктора ф1этсо-магематичних наук

КиТв - 1995

Дисертац'гао е рукопис.

Робота виконана на кафедр! алгебр и \ математичноТ логпси Кшвського университету 5м. Тараса Шевченка.

ОфщШш опоненти:

доктор фЬико-математичних наук, професор А.М.ВЕРШИК,

доктор ф1зико-ма.тематйчних наук, професор Г.Й.ОЛЬШАНСЬКИЙ,

. доктор фЬико-математичких наук, професор Ю.С.САМОЙЛЕНКО

Пров'щна оргашзашя: Ужгородський державний ушверситет

Захист вщбудсться Г.Р.УД.Н.Я..1995 р. о/Н...год. на'засщанш Спеща-Л1зоваиоТ Ради Д 01.01.01 при КиТвському ушверситет! ш. Тараса Шевченка за адресою: 252127, Кшв, пр. Академика Глушкова, 6, мехашко-матеыатичний факультет. ,

3 дисертацкю можиа озиайомитися в б]блютец! Кшвського ушверситету ¡м. Тараса Шевчеика. ^ 5

Автореферат розклано *............... 1995 р.

Вчелий секретар СпещалЫвансТ Ради га С.А.Оваенко

ЗЛГЛЛЬНЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Л к т у а л 7. и i с т i, тем и. .Алгебри Каца.-Мулд та Тх зебраження стал« сьсгодш нажлквпшш наппямком математнчннх дослщжень, завдякп своТм за'язкам '% багатьма областями математики i фпики. Зокрема вони мають глибом чв'язки i комбшаторикою, гк'шченпмп трупами i Tcopicio модуляр-ямх форм, а та кож ф! шкою елсмеггтариих чаептць та теориями струя. Серед HecK¡H4eHonHMÍpfn!x алгебр Kaua-Myni першочергове значения мають афиш: алгебрн Jlí, для яках ¡гнус класична теория модул i в старшоУ ваги та г.щгодад-Ш1Х категорий, розаннрна п роботах В.Каца, Д.Каждана, Р.Мулл, A.Povi, И.Волака та 'mitins.

В той же час icnyc багато шкавих зображепь. включаю1»! иаприклад приедпапе зображенп.ч, skí не мають старшоТ ваги. Долга класи таких зо-бражеаь гшвча^ноя а роботах Д.Вргт«т, Х.Джекобсена, В.Каца, Б.Кокса, Ф.Лскйра, A.IIpeori, С.Pao, C.Cniphm, B.4api. Зокрема, А.Прсап, С.Pao та B.4?.pi дослшжували побудспу так званих модул1В i -тель нульопого pinirii, сгред яких с бамто Ь!т<тролаш1Х модул;в. При цьому, те «¡сцч, яке зидмають гадом! класи зображепь у загальшйгкартнт, до кедавкього часу залишалоск кеаи1иач«нкм, i ш> ¡снуг/глз цотосткого методу дослиихення во.гот.их модулт. Сакс роэробш такого методу i мрисвячсно дпеертацшну роботу.

В диорртагйУ ¡грогюиуспгся fíexrctí; пушд до ниичснпи незв'щких вагових медулт.над афчкши..! алгебрами Л1, якпй балуетъея иа шдукув&пш модул! а % борелеаських та параСолгшнх шдалгебр. При цьому з'ясовуеться wicue тдо-мнх к л .in я зображепь серэд ycix вагоэих модул')в дал афшпими алгебрами Jli. Слщ з&чначлгн, то акалоггшпй гндх!д яияяився луже шпдним при вкзченн' нёзЫдш«х- вагокнх -íotípascniü, скшченовим'фтгл проггк:< алгебр Hi, дс, хоча, картина й зиачио спрошусться, асе use залишагться бггато шдкрдтнх' пи-тапь. Цьому присгзятек! ¡юботи автора, а гакож С.Ферняпдо, C.Op.ócííko -га Л.Цильке.

В роботах Х.Дж?*; обгона i В.Капа розглядалися ирпклалп модулЬ ;;ад афИшимн алгебрами Jli, поа'ягаш з ¡гнувашмм, на a'uiMiisy сш «Лпчс-пошгшр-яого винадку, нескЫвалсптнпх борелсвських тдалгебр ашкосгп дм груш; Вгйля. Бмюилося, щ »снус скшчгна ктыаспь K.iaria е!:п!г-->ле:п;г(хт> -га-

ких модул!в, кожен ? яких приводить до класу модул!в типу Верма, уза-гальшоючнх класичш модул'1 Верма. Ц! класн модул ¡в дослщжуються в дкс-ертац'шжп робот!, включаючи побудову »¡дпов'щпих категор1й з дво'ютк.тю Бершнтейна-Гельфаида-Гельфакда. Паралелыю будуються теори узагаль-яених модул ¡г. типу Норма та узага-г чених модул!в петель, пов'язаних з ¡с-нуванпям иестапдартних пара6ол1Ч1шх шдалгебр, ям включають ус! вщом! клаеи зображень.

Мета роботи. Внвчення вагових зображень аф!шшх алгебр Л!, отри-маних за. допомогою ¡ндукуьання з пееквшалентиих борелевських п!далгсбр, побудова вщповщних теорий модул¡н типу Верма та категорш з дио1ст!стю Бершитойна-Гельфанда-Гельфаида. Дослщження узагальнених модул'ш типу Верма та узагальнених модул*1В петель ! вщпов!дпих категорш. Вивчення незв!дних модул ¡в ненульового р)вня 31 ск!нченовим!рдами ваговими п'щпро-сторами.

Методика дослщження. В робот! використовуються сучасш метод« теорп зображень алгебр Л!, зокрема, метод» теорГ! алгебр Каца~Муд'|, а

»

також б!лын загалыкм теорп алгебр Л) з трикутпим розкладом, розвииеноТ Н.Волаком, Р.Муд!, А.Пшзолою, та А.Рочею.

Наукова новина. В дисерташйшй робот! отримаш наступш нов! результата про эображення аф'иших алгебр Лк

1. Описано класн еквталентност! вЗдносно дп групи Вейля парабол1чнпх

а

шдмножии аф!ипих систем корен!в.

2. Описано будэву пярабол'шних шдалгебр аф'иших алгебр Л!.

•3. Розроблсао тсорЬо ¡.;одул!в типу Верма^в тому числ) встаноалёно кри-тер!й пезглдкост! та описано структуру п'щмсдулт ! чезгадггт: фактормо-д/л!а в модулях т;шу Всрг.;а кеяульопого р!вня, а також г. модулях типу Верадаиулнжого рЬи:, 31 старшою вагою загального пололкння; узагальиецо Тсоргмл БергшгтсГшл-Гельфакда-Рсльфгшда про вкладнспня модул5з Вермл га мод^лв типу Верма 1 -.¡ооудозано сильпу БГГ резольвенту для

<!. Унигяльиено рюуаьтлти пункту 3 для узагалмюнях модулю типу Верма.

5. Остановлено крлтерш лезвущост! узагальпеного модуля Вермабез стадию')' ваги для алгсбрн /i'1'.

6. Вивчено категорП модул ¡в петель.

7. Наведено характеризацпо незпмдннх негуц!лмгих Л'^-модул1в i кла-сиф!ковано bcí так! модул! з хоча б одним скшченовимфним нагоним п!д-простором.

8. Описано не-иидт вагон! Л^'-модул! непульового р1вня 3Í скшчеповим!р-нимн ваговими тдпросторами.

9. Побудоваио i посл'шжено ран] хате гор ¡i' модулей над афшгнши алгебрами Jli, як! маготь досить проекткпнпх об'сктт i задовольняють двоТстост! Бернштейна-Гельфаида-Гельфаида.

Теоретична та практична ui нн!сть. Ь робот! розроблено копий пщху; до вивченпя ваговнх зображень афшних алгебр Jli, що моу.сс бути зя-стэсопано при деслшженн! ¡нших иескшчеповпмфиих -ада 6р ili.

Робот?. мае теоретвчпий характер. Результата можуть бути пикорттстан! з тсор» з обряжен ь алгебр Л i та в phimx Ti застосування;:.

Апробагия робот и. Результате дисертапи доповщалися на М!жнг>-рсяпих конференциях в Kiífbí (1995), Ч!хаго (США, 1993), Отташ (Какала, 1992, 1995), К'шгстош (Канада, 1993). Лас Kpyseci (США, 1992), Pieepcañ.ui (США, 1992), Барнаул! (1991), Mockbí ( 1990), Чрш (Чех'ш, 1990), Новоси-б!рську (1989), Сегед'« (Угорщила, 1989); ла XIX алгебраУчнш кояференц» у Львов! (1987), а тако.х па наукових гем'шарах Кшвського, Карлетонсь-кого (Оттава), Ку'тзського (Кшгстоя), Молтанського (Miccyna), С^аскаче-ваяського (Саскатун), Албертського (Едмогггоп), Моггреальс'ького, Торонтского, Софшського, Ватерлоо'i Осло ун'шерситет!з, институту матемятики АН УкраТнн та Тата ¡нституту (Бомбей).

Публ1кацП. Осиовш результата дпеертацл onyCnÍKoaani в р,<<юглх [1]-[18], приведения в к!иш автореферату.

'Структура i об'см дасертгда. Дисертацшпа робота яаСряя& у Lste« ¡ шетпть 171 сторшку. Всяз склаладтьса з п'я-га пестпп та «н:гк& :>hv»j!.«--ТУТ»й s GT пайтйпуаи,..

3MICT РОБОТИ

Перша чагтина е вс.тупом, » якому дагтьгя заггшьна характеристика ро-боти, оключаючл оглял речулт.татт, пов'яэаипх э тематикою дисертац'и.

Г1."х;п! Д будг сиетг-мою коретв афшно? алгебри Jli Я, lí - и тдаягеброю KapfaHa. Шдмножииа Р С Д зветьгя параболгчпою т'дяиожпною, якщо диконуються так i уыонп:

(i) Множила Р адптишю згмкнепа;

<íi) Р'С -Р ~ Д.

Якшо ж KpÍM умов (i), (ii) пикопустг.ся РП—.Р ~ 0, то Р зветься параболгчии.г. розбитптм.

Друга частика складасться з 3 роздшш. Тут вивчаються параболгеш 1ид-мпожпии ¿4¡)Úihií>: систем корси'ш i вшповщш зс5рв>:<«нкя аф'шшзх алгебр Jli. К паси еквталоптшст! и«фа5ол1чних шдшгожян здщосио д'п групп Вейля класифпдакаш в розд'ил 2.

Пехай ir0 -- {ои*,..,«»} С 11* - деякий базис в Л» г « я'с \ {ао}> 6 ~ Sagjre fco® - Нйймг.иыпий ПОЗПТИГ.ННЙ (¡ИДИОСНО ÍTo) уяшшй хоршь, вьичому kaí - 1 Í або -а + S (¿ Д, в,бо 1/2(—а + 6) £ Д, / = {1,2, Заф'жсусмо Л' С í i позпачимо </>д- - E;€/VV°¿ ~ ^¡3С3> Х г- Л та Фг --

ЕГ=оa"¡» да («;) йп hJ - 0,1,...,7!. Множияу

Р(Х) = {а £ Д|0х(а) > 0} и {а € Д|фх{а) = 0,^(а) > 0},

назьемо множшюю, асоцшоваиою з 7г0,а0, А".

Теорема 2.4. Будь-яке парабол>чае розбиття систсмм ксргшв Д екв!ва-лентно множиш Р(Х), асошйованш з гг0,£*о,А, для деякого X 6 J.

Позпачимо Р(Х, S) = Р(А) U'add{-a;,¿ € 5} (адитявне замкнення в Д), де А' С 1,5 С jé 0. Також покладемо Ps(í) = add(A+ U {-a¡,i € U {-а»}), для кожного S С I, |5| < п.

Теорема 2.5. Будь-яка парабол)Чна пшмножина, що не с розбиттям i не м!стить—¿7 екв1валситна або множит Р(А', 5), де А' С /, S С А', 5 ф 0, або множил! Ps(/), де 5 С /, |S| < п.

Нехай S С /. Позиачимо r"s = add(P(0) U {-<5} U {-<*;, i € S}).

Теорема 2.G. Будь-яка параболгага шдмножина Р, яка мостить ±5. екв!-валснтма множит для деякого S С /.

Отже, iciiyo ек'шчена юлмость клаав í-kbÍu.jk-hthoctí, причому, на мд-M¡ity в!д скшченовим1рного вннадку, завжди бшыие одного.

В розд1л'| 3 внвчаотться борелевсыа та парабол?чш шдалгебри афшнпх алгебр Ль 3 кожним ппрабол!чшш рочбиттям сггстеми корешв пов'язан деяний-аналог розкладу Карта и а афшиоТ алгебрн i в'1дпов'щна цьому роэкладу борел|'вс!>ка тдалп-бра. Якщо парабол1чна гндмножина Р не с розбиттям, го 1Й вщпомдае деяка парабол)чна подалгебра.

Нехай С± = £f?±M, к € Z+\{0}, G — G- ф Z ф G+, де Z = Сс £ одновим1рним центром алгебри Q. Скаляр, з яким с Д1С в незв'щному модул!, зветься рЗвнем цього модуля. Лшалгебра G звегься тдалгеброю Гейзенберга, Дал i, нехай сг0 позначае пгволгогпю ГОевалле, i для. кожного F С Д, Qf буде тдалгеброю, породжеиою Qa, а € F.

Будова парабол'|Чпих шдалгебр пизначаеться нагтупното теоремою.

Теорема 3.3. Будь-яка парабол!чна пщалгебра V афшноУ алгебр л Q, яка ошповшае парабслпшй гпдмножит Р, мае роэклад V = L (В N, пг N ~

о(Р)> а ^ скшчснопимфна редуктивил алгебра Л1 (тип I) '5о L {Li -f Li) Н, L% s сумою тошдиих алгебр афшних шдалгебр Jli, Li С G, [Lu L2] = 0 í + (¿i nq) = g (теш ii).

Якщо парЫниичча подалгебра. "Р мае розклая V — L © N, як у Теорем! 3.3, то N с щоалом в V, який ми síc;.:o радикалом ларабел1чпоТ шдалгебри. При тому шдалгебра L наэп. ¿стьея Леш фактором. Зауражкко , то радикал N буде ртов'язним т!лькк для парабадпчплх шдалг-:5р типу íl. Парабол i «ну тдалгс%у 'iAny I шивемо стаидертпоъ (плякпцшо не-ст&'ёирпногэ) s «¡uro ес;:ь мдпог'шде нйргбсл)чк!Й пЬ\кг:о~?птп . дз

SCI, < г:, z?iO пЬгомяп! и {-íraw-.^ &

3 гиккпегл Сспеякжьката пуг^лг-Срз:-»£7, «li?-:v*.'.¡4KC-!y ра>

йзгт Р, гстгтру^ц*: *пзу.-?Ь талу iJínvrr^

;V:.Í ^ Заде» С.

де А £ 'Н*, а С?'Л розгдядаетьгя як В-модуль, який вцшов!дае А.

Нехай V — Л Ф N < деяка парабол'шна подалгебра, яка в'щпов'щае пара-боллчпш шдмножит Р ч' V- деякин незвадшй ъаговий "Р-модулг. з тривиальною д\по радикала N. Тод-1 б-модуль

Мр(\г) = щд) ®и{Р) V,

ьсошш'В^шш 7т0. Р и V, зветься узагальпеним модулем типу Берма, якщо V ~ параболЬшою пщалгеброю типу /, 1 улагалъиепим модулем петель, якщо "Р маг тип //. Зокрема, якщо V с стандартною парабол!чною пшалгеброю, а V -скшченовнлирннп 'Р-модуль, то Мр{У) сп'тпадае з класичним узагальненим модулем Верма.

Частика III прнсвячена вивченшо несушльннх незвщних модул'ш над афшиимн алгебрами Ш 1 включас роздали 4-8.

В роздш 4 розглядаються незв'щн! градуйоваш зображення пшалгебри Гейзенберга. Зокрема, доведено наступив тверджеиня. «

Твердження 4.5. Будь-який скшченопороджений й-градуйопаикй б'-модуль V ненульовог© ршия, такий що <Нт V; < оо хоча б для одного I € 2, шлком зв'щний.

Для с С пехай (¿^ позначае нашвгрупу в ТС, породжену ±с, - вшьна абельова група, породжена £, - нагивгрула, породжема множиною Р(Х).

Позначнмо я* = {а;,! 6 А'}, я' = 7г\7г-^, тг = {а £ эт'|(а,/3) = 0 для вах/З € »'}. Я1 = <?„/ + 26, = (±Р(Х)), Д' = Я' Л Л, А'±=А'П (±Р(А')). Для е С рочглянемо пшалгебри (/¿.(с) = £ О/и ¡3 € (<?* + 25) П Д" 1 позначнмо через С7(е) шдалгебру алгебри в, породжену <7±(е). Зокрема, нехай 9± — Ф = 0(тг), б'± = Т, Р € Р( А') 1А м'ютить хоча б один кор'шь з л-', §1 (шдпошлно гндалгебоа, породжена ф^ЛД™ (вщпозщно Л/ПДге), Ш4 = £ С'0, р € Д±, ш = т~ о V. ф т* \ - Ч- Ч. Зауважимо, що т с алгеброю Л! з трккутшш ро^:ладом. Для А, ./г С "Н*, будгмо писати /г < А, лкщо А - р. С

У шдрочдип .5.1 бшьш детально пивчаються загалыи властивост! модул'щ тину Вермг, Мх(А) ~ Мр(Х){А) '¿'а г'х незв'шштх с;,актор!в ¿д-(А). Зркрема, встйнбдлгйо йлехяпсть -влагтипостсй модули А/Л-(А) вш його яск!нчено1 частили* М1{А) (сума г.л .с ск!нчеиотп>г1рних иагових 1Г|дпростор!и).

Теорема 5.5. ¿/-модуль М\-(У) с незвушим -год) ¡ тшькя ходи коли m

модуль МЦА) с нгммдним.

У тдроздЫ 5.2 вивчаеться частковпй випадок модул i в типу Верма уяви'| модул! Всрма, як-i шдмовщають випадку А' = 0.

У тлроздш 5.3 детально впвчаються модул1 типу Всрма ненульового р!вня. Основяим результатом е наступна теорема, яка описус шдмодул! та незвмим фактори в модулях типу Верма ненулевого р'тня.

Розглянемо тдалгебри = J2Q±í>, Р € P(X)\Af i рх = uj фт. Теорема 5.14. Нехай А £ tí" i А(с) ^0.

(¡) Якщо N - деякий (/-гпдмодуль модуля Мх(Х), то

N ^U(\Xx)®c{Nr\M'{\))

як векторш простори.

(ii) Ьх{Х) ~ W(uJ-) Ос як векторш простори.

(¡ii) Будь-який пезшдпий пшфактор модуля Мд-(А) ¡зоморфний мод тю Lxi/t! для деякого ц € Н'.

(iv) Модуль Л/д-(А) допускае локалыпш композицшпин ряд,причому [Л/х(А) •

LxUi)] = [Mf{X):FJ(ft)},^en\.

У 1Ндрозл'|Л-1 5.3.1 ней результат використовуетъся для доведения иастуч-Hoí теорем п.

Будем» вважатп, що X зв'язке. Тод! Q' с похщиою алгеброю дгккоТ эфш::о!' алгебрн Л).

Нехай ггу почначас базис Д', який mícthtw' , позиачас групу Вейля

• • з

алгебри Qf, а I - фупкцгл дэг>:хпкн з W;

Для tи (• Wx i i1 6 fí*, шппачмио vi о ц = -у(/i 4- — рх, де рх t Н" довшьний фшеований »мгсмент, такнй ¡no рх(°) ~ 1 для i1 (й í irA Поэпачкмо P.v - {/г € 1Г ¡ (/■',«) > 0 i or S ¡M},

.Теорема 5.18. Нехай X зв'ягя?, /1 € Pj, /.'(с) tí 0, tt;,s/ е TVy- Tnsi

' (i) dimHome(Afx(te'o/4),Jt/x(wop)) = 1 o w' < «г о :

q

(il) Якщо Л/,\- ( w' с ц) С Mx{wofi), ТО iCiiyiOTb Wo - w',wh,. ,wr-:.,wr -w 6 Wx, таю що /(гу,>]) = l(w¡)- 1, i = 0,...r — 1, i Мх(u>oо /л) С ... С Л/л-(w,. o/i). .

(iii) Якщо l(w) = /(«') - 2, то к!льк' гь w" 6 И7а-, таких що Mx(w'ofi) С ' Mx(w"ofi) С Mx(u>°li), M,\-(w'o/i) ф Mx(w"o/i) ф Мд-(и>ор), дор'шшос О або 2.

В теорем-! 5.19 побудовано спльну БГГ резольвенту модуля Lx(ft), де /! е Hexa.fi

G = {fir 6 G- 6 G+Hsr.Ol =0},G± = GnG±.

'law G = (GnФG, m = Q1 Ф G, m4 = Ç!± ®G±.

У шдрочдЫ 5.4 внвчаються модул! типу Берма нульового pisma. В цьому випадку модуль Мх[Х) мае нласпий подмодуль U{Q)M, де M = W(G_)G_v.\. Позначнмо М(А) = Мд-(А)/ВДМ.

Встаповлено такий KpiiTepiii i¡«-íbí;woctí модуля М(А).

Теорема 5.25. Нсхай А(с) - 0. Модуль Л/(А) незшдний тод-! i тшьки тодi,

КОЛИ ВИКОНуГОТЬСЯ Так*! ДВ! уМОЕН."

(i) Д/'(А) игошднкй Qt-Kcaynь;

(ii) (А,о) ф 0 для ncix о € sr.

Бшьше того, Теорока 5.28 оп псу с пезгндпеш фактор Lx( А) в телу вп-падку, коли модуль А/''(А) незмдшш. Структура. п самого модуля ¿Vi;t-(A) згигптгтьед загздхожло. Тли, паприклг.д, у iiiapovihii 5.2 показало, що ai« voîxc мата игсичлш тдфг.кторз^ ип не ;,¡;;k;:'; -.ыглэд lyjji).

Пазифлпго Л = 0-(?(>.)), re w(A) = {о G #|(А,а) = 0}, Û - 1({Ç'_) © (li(G-)lli(g-)Á), Б ~ИЮ)Л5л Ï А/(Л) > А/(А)/В. Taxe» пдаиачкмо AÏ(A) = }'tx(b)/tí(Q) 4t>».. 'fcjTÎ «¡¡дудошй ланнюдю:; сишорфЬмш: Мх{А) Ла(А) ->■ Д/(А) —у £.у(А). "Yo.-.'y Lx{X) - «■/«m>i¿; пегзщнпЛ фактор модуля

Д(А) i es ÍA;.

Огнозпим резуглл'мг.м шдроздлу 5.4 с. пастугша. теорем;.., »каописуе бу-гг-ву модуля /ií(A), kojüs А заводиться у деякому загальиому полокенш.*

Теорема 5.34. Нехай А € V, А(с) = 0 i А знаходиться у загальному ноло-

ЖСН'П.

(i) Якщо /V С М(А), то N с^ II &с № як векторт простора.

(ii) Lx(X) ~ U ©с 1'Н^) як векторш простори.

Для таких модулы також ¡снус аналог Теореми Берпштейна-Гельфанда-Гельфаида про вкладнення (Теорема ■5.39) та сильна БГГ резольвента (Теорема 5.10). В роздш! 5.4.3 ни супу то г'тотезу про структуру незшдних фактор! я модул'ш /Va'(A) з загальному випадку.

&розд!л! G внвчаються узагальнеш модул! типу Верма. Зокрема, описано структуру п'шмодутп >5 нестандартных узагальпених модулях типу Верма ненульопого ртия та пульсг.ого pin;!« в загальному положенш, отримано аналоги Теореми БГГ про вкладпеипя та побудсвано спльч! БГГ резольвент!!.

У шдроздш! 6.2.1 внвчаються узагальнеш модул*1 типу Верма для алгебри Л,1'. В иьому внпадку вони с стаидартними у-\гальненими модулями Верма, не оть етэрнотТ таги, а шдуксзат з пезтдного з1(2)-модуяя без екруту. От;;;с, кожний такнй модульвлзначасться парою (А, 7), де А € 7 G С\Лд, а Я л делка зл'|ченан'щмнсжина. Будемо позначати в'щтювщпий узагальяенпй ''еду;:. Верма через лГ(А,7).

Дли п <2 Ъ, п > 0 поклпцеыо Х„ = {0} U {.V S 1л, | ~ t Z}.

Ос"эт«кям результат«?.! с наступна теорема, яка нстакозлюе крнтерш не-•ui:.'.олулл <*i(A, 7). Bïï доегдяшп пикорлсточусться узагальнена форма Шйтс:»аядва та узагальнечий оператор Kanmipa.

tt4yj;.ia 6.21. ïl-i-ian л G 11', 7 Ç g \ R\. Q-модуль л?(a,7) пезвщияй tc«î i /¡лъ',.»: толк 4or.-.j h'y ф (n(.\(c) + 2) - для acix « € Z, n > 0, к € Xn.

U ртамл! 7 ро:гллдг;.>пхя узагальнеш модулi петель. В загальному ви-"?.п>гато ;?1дог.я> про Тх булеву. Найбшьш дослцшеппм « пщклас ><э-м, л!п китель. îi!i'>!'о*лпт?х з ш'далгебрн Гейэваберга. У пщроздш! 7.1 вив-•»глст ле;1х г кч*келч.гсрп мядулж нетель. Зокрема, Теорема 7.4 описус bcî

:«н.!П ï'cK-r'î ил*» irswvropii.

; .Чпуль V ;»:>гп:яет[.ся !:есуцщып:м, якщо множила P(V)'»cix його.ваг пе дер ;п;пок Л -J- Q ir4 при жоднему А € 11", тобто не е максимально г.гоялидого.-

Питания клагифшацп незшдпих несущлыгих модул'ш розглядаеться в роздЬи 8. Тут сформульовано ппотезу, то кожний такий модуль с фактормодулем або модуля типу Верма, або узагальненого модуля типу Верма, або узагаль-неного модуля петель. Цю ппотезу доведено у шдроздЫ 8.1 для алгебри. Л)1', звЫки випливае клааЦмкащя Bcix иезвшшх несуцшьних Л^-модул)« 31 ск1нченошт1рними ваговнми п!дпросторами (Теорема 8.2).

В частши IV внвчаються незвшш модул! ненульового ришя 3i ск'шчепо-вим!рнпм11 ваговими шдпросторами. Вон а включае роздши 9-12.

В роз дин 9 показано, то всякий не'нвдичй модуль ненульового- р1вня з! ск'шченошиирними ваговими шдпросторами с несушльним (Твердження 9.4). Основшш результатом розд!лу 12 с така теорема.

Теорема 12.2. Нехай Q — Л*/', n > 1, V — незвщний ваговнй (/-модуль кекульового р!вня з! скшченовюмрними ваговими шдпросторами. Тод1 V е або модулем старшоТ ваги, або фактормодулем узагальненого модуля Верма, ¡ндукованого з незвшного вагового sl(fci) © • • • Ф s\(k,)-uojxyns без скруту для деяхи>: 2 < < n + 1, i = 1,..., s.

Отже, класифшашю незшдних Л^'-модул'т ненульового ртня si скшчено-вим!ршши ваговими шдпросторами заедено до класифкаци незвщних sl(A:)-ы одул! а без скруту 31 скшчеиовим'фнимн ваговими п!д просторам и. При доведены! Теоремн 12.2 використмг, стьсг комб'шаторика систем» кореше алгебри Ai'K пов'язана з побудовою лея кош комбшаторното графа (Твердження 11.1) вролдмпП.

Частина V прпсвйчена внвченню категорш модул'ш над афшними алгебрами Jli з дво1ст(стю БГГ. Бона включае розд'>ли 13-16.

Заф!ксугыо А € 7£" ! позначны© через О1 — С?'(А) (вщпоыщно О' — по&ну п'щкатегор'но а категори аагсьнх m-модул'ш (вцдаовдшо QJ'-«одул1в), об'сктн V ш:о7 наступим yuaz?&::

о) да с {/1 € < а}

(ii) dim V, < со дл£ bcix р € Р(V).

3 ро5»т Н.Воаш та A.Pmi свплнссс, щэ ш кьтепер!» маютА- дасить проектом«»; ooVtcrie i оинх впиыусп«; дг-аТгпсть БГГ. I'vpiu топ?, ц? -;sivtпг>;>":

екшвалентш, я кто А(с) ф 0.

Нехай f(jt) поэкачпе нерозкладне проективие накриття модуля LJ ,, ; А з категорп О

В ротд1Л1 1-1 вивчаютьгя категорп {/-модугйв з А(е) Визначимо новну ¡ндка-rcropivo ö\ — Ох(^) в категорп вагових (?-м<.дул1Б яка гкладагтъся з таких модул]в У, то:

(0 P(V) С {/«€W|A-/<€<?+}.

(ii) dirnl^, < оо для Bcix fi < А.

(iii) Модуль V породжугтг.ся m-модулем V! — £)„<a

Зауважпwt, що замкнешгть категорп Ö% зовам не очевидна. Насправд.. коли А(с) = 0, то не можс бути \ не так. Замклешсть доведено з Наслщку 14.4.

Задамо точний функтор F : Ох О1 таким чином: F(V) = V ■ F(f) = f\vi л-''» догЛлмшх V € Öx i / € Hi ng[V,V) в Ох- Також эизна-чимо точний функтор Y : öl Ох- Нехай М i М' деяш об'екти категорп 01 i д € Ношт(Д/, &{'}. Можпа. перетвормти М в р*-модуль з трив!алыгаго Д1П», та роглянути $:модуль У (Л/) = U(Q) ®щРх) М £ Ох к Y{g) - 1 © д Виявляетъся, що лктсри F i Y задгють екв1валентш'сть категорш О1 ; Ох.

Теорема 14.5. Нехай X ф /. Якщо А € ii* i А (с) ф 0, то категорп С.к(А) i Ol (А) ектнпалентш. • •

Пазиачимо Ix(l') ~ >'(/(/<))• Тод*1 модуль /д(//) мае ф1льтр?.шю з факто-чаип Mx(v), и < А. Вцшстдну кратнкть будемо позначаги через (Ix(t*) ■ 1f;i{i/)). 3 Теорема 1-1.5 äüiuwnae, що категор'ш Ох мае досить проективних iS'sKTii), i втеонуеться так а-теорема. Теорема 11.8

(1) Кехай И € Ох, ц < А. Тод»

[Л/ : Lr(/03 - d}mBcmQ(Ix(fi),M)."

(ii) (Лио1гт'|гть БГГ). Иехак ¡i < Л, и < \. Тод*1

(/*(/!) : А/д») = [МхП-Lxin)).

В povuJii 15 пркпускасться, що X ф /, Л(с) — 0 i л знаходиться у загаль-ному положении

Внзначнмо xaTeropiio Од-(А) як попну шдкатегор!к> к&тегори вагових Q-модул1в V, таких що

(i)'' G {/«€ VIA-,!€<?+}.

(ii) -diml^ < oo для bcîx ц < A.

(iii) Модуль V породжений V = V».

(iv) Q.(n(X))v = 0 для вс»х v e V1.

Основними результатами роздшу 15 e наступш дв1 теореми. Теорема 15.1. Исхай А' ф I, А € И", А(с) = 0 i А знаходиться у загальпому положении Тод] кате гори О0х(Х) i екв1валентш.

Нехай /$■(/<) = Y(f(ft)). Тод1 (/i) е нерозкладним проектпаким накрит-там модуля Lxifi) i мае фшьтрашю з факторами M (и), и <Х.

Теорема 15.2. Нехай X 6 71', А(с) — 0, А энахоаитьег у загальиому коло-Hcimi i /j < A, v < А.

(i) Будьгкий модуль M € Од-(А) мае локалышГ: компоэяшйчпи ряд, прочему

(Л/ : ¿а'(^)] ~dimHom£i(/°-(/i),Af).

(ii) (ДвоГгпстъ БГГ).

кШ ' ¿И) - (<"» LX00].

Результате рездмив 14 ta 15 угагольгенЗ' лпг. так эвэеях тр»:с...-уль^ œsnt катеторгЛ Ç-uatyiio (Теория: !G.l i 16.3) и и5 )6. Kpfei иггс,.

в роади.16.1 pairassyrcji¿кя inwî rpsur.aji: ы-тч.г»«Л t crxî^âci'i »ИТ (teopw, îg.'.\

nyiSJIIKAUIÍ no TEMI flHCEPTAm'í

1. V.Futorny, Verma type modules of level zero for Aífme Lie Algebras. Queen V< University Preprint -01, 1095, 33p,

2. V.Fuiomy, On irreducible non-flense .4j1'-modules, Queen's Paper« in Pure and Applied Matii., 9-1 (1994), 55-65. .

3. V.Futcniy, Imaginary Yerma modules for Aífine Lie Algebras, Canad. Math. Bull., 37(2) (Í994), 213-21S.

•1 B.<f>yTopnuí!, Monymi Ts:na BcpM» aíWpmniwMis aj¡re6pr.M!i Jin, <í>ynKu an an in vi ero npuno;«., '27 (1593), 92-9-1.

•5. V.Fiiiomy, Irreducible >ion-<ience /4^-iT.oduie?, Queen's University Preprint -03, 1093, 20p.

6. V.Fnicrny, ll.Snifi, Modules of Vetma type nnd New irreducible representations. for Aflme Lie Algebras, Canad. Math. Soc. Conference Proctedings, 14 (1093),

185-191.

■•7. V.FVitorny, íl.Saífi, Aífine Lie Algebras ¡me Vcnna type rr.odides, Queen's University Prepunt-09, 1992, lOp.

S. V.Futorny, inwginnry V'evma modules for Affine Lie Algebras, C.E. Math. Rep. Acad. Sci. Cstinda, v. xiv, a. 2,3 (1992), 115-117.

9. B.fí'yiopHHü, íIonpxifioAHMwe rpfmyiipouanHfcw AÍ^-Mcmyra, ^yiiKit. «¡ají!« !! ero npnnoxt., 2G (1992), 73-75.

10. V.Futorny, The parabolic subsets of root systems and corresponding representations of affine Lie algebras, Contemporary Math., 131 (1992), part 2,45-52.

11. V.Futorny, Tlie graded representations of Affine Lie Algebrps, Suppl. Rend. Circolo Matem. di Palermo, serie II, n. 26 (1391), 155-161.

12. V.Futorny, On Imaginary Verma modules over the Affine Lie Algebra j4|'\ Oslo University preprint- 9, 1991, 13 p.

13. V.Futorny, The irreducible weight /^¡''-modules, Collection of Thesis, Intern. Conference on Algebra, Barnaul, 1991.

14. V.Futorny, Parabolic partitions of root systems and corresponding representations of affine Lie álgebras, Root systems, Representations, and Geometries, Inst. Math. Acad. Sci. Ukraine, Preprint 90.8, Kiev, 1990, 30-39.

15. V.Futorny, Subsemigroups of infinite root systems and corresponding representations, Collection of Thesis, Colloquim on Universal Algebra, Szeged, 1989.

16. В.Футорш>||;, Весопые градуированные представления аффинных алгрбр Ли, Тезисы междунар. алгебраической конференции, Новосибирск, 1939.

17. В.Футорный, О двух конструкциях представлений аффинных алгебр Ли. Применение методов функционального анализа в задачах математической физики.- Киев: Ин-т математики АН Украины, 1987, 86-88.

18. В.Футорный, О неприводимых представлениях алгебры Каца-Муди sl(2), Тезисы XJX алгебраической конференции, ЛьвоЬ, 1987.

Футорний В.M. Представления аффинных алгебр Ли. Диссертация (рукопись) на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.ОС - алгебра и теория чисел, Киевский университет им. Тараса Шевченко, г. Киев, 1995.

Изучаются весомые представления без старшего веса для аффинных алгебр Ли. Разработана теория модулей типа Верма, соответствующих нестандартным борелевскнм подалгебрам, включая описание структуры подмодулей и неприводимых факторов, обобщение теоремы Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда о вложениях модулей Берма и построение сильной БГГ резольвенты. Построены различные категории модулей над аффинными алгебрами Ли с двойственностью БГГ. Приведена характеризация неприводимых несплошных Л ¡''-модулей и классификация всех таких модулей хотя бы с одним конечномерным весовым подпространством. Получено описание неприводи-. мых А ^-модулей ненулевого уровня с конечномерными весовыми подпространства ми. Основные результаты опубликованы в 18 работах.

Futorriy У.М. Representations of Affine Li Algebras. A dissertation (manuskript) is presented for obtaining of the degree of a doctor of science by speciality 01.01.06 - algebra and number theory, Taras Shevchenko Kiev University, Kiev,

The weight representations with no highest weight for Affine Lie algebras are studied. The theory of Verma type modules corresponding to non-standard Borel subalgebras is developed, including the description of the structure of submodules and irreducible quotients, the generalization of Bernstein-Gelfand- Gelfand

9

Theorem on Verma modules inclusions and construction of the sttong BGG resolution. Different categories of modules for Affine Lie algebras with the BGG dual- ^ ity are constructed. A characterization of irreducible non-denee .A j1 ^-modules and the classification of all such ihodules with at least one finite-dimensional weight space ¡3 given. A description of irreducible A',''-modules of a non-zero level with finitc-iiirrrnsiona! '.'.eight space3 ¡3 obtained. The main results are published in

1995.

IS : ч;;. is.

Vr.-'ci'fi слеп?: '«biinin алгебра Jli, сагсвий модуль, кеэвшпе зображення,

гтуг.ь тину и«чушльш«й модуль.