Приближение аналитических функций полиномами в заданной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

а

и

м

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

МУРАДОВ ВАГИф МЕХМАН ОГЛЫ

ПРИБЛИЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМАМИ В ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ

{ 01.01.01 - математический анализ )

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

Б А К У - 1992

Работа выполнена в Азербайджанском Педагогическом Университете.

Научный руководитель:

- академик АН Азеро. Респуб., доктор Физ.-мат.наук,

И.И.ИБРАГИМОВ.

Официальные оппоненты:

о

- доктор Физико - математических наук , профессор

'А.А.ПРИВАЛОВ.( Саратовский Государственный Университет, г.Саратов)

- кандидат Физико - математических наук, старший

научный сотрудник Д.И.ИСРАфИЛОВ ( ИМИ АН Азерб.респ.)

Ведущее предприятие - Институт прикладной математики и механики АН Украины ( г.Донецк )

Защита состоится

. • — 7=

в и /У " час. в Конференц-зале Института Математи и механики АН Азерб.Респ. (370105, Баку, ул.ф.Агае 9,. квартал 553.

Отзывы об автореферате просим высылать в дв> экземпрярах с заверенными подписями.

С диссертацией можно ознакомиться в нау» библиотеке ИИМ АН Азербайджана.

АБтореФерат разослан " " ¿У-19 9>

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор Физ.-мат.наук,

М.Х.ИЛ

* I - з - .

, :' 05ЦАЯ XAPAKTEF.iCr.iKA РАБОТЫ

Актуальность теаы. Диссертация посвнцеиа изучение роста аналитической функции в зависимости от наилучшего полиномиального приближения з комплексной области.

Одни!.' кз основных характеристик целых <*уш-:цп^ одного и многих комплексных переменные является порядок к т!:п роста функции. Для целых функций многих кошлексню: переменных эта характеристики достаточно хорошо изучены в раоотах ГольдСерга, Сира, Тешшова, ГЛоГ.ерго"зэ и др.

Яовятяя порядок и тип для аналитических фикция одного комплексного переменного в круга /г/< 1 заедены Н.В.Говоровы;:. Результаты Говорова Н.З. обобщены Кэкичезым В.А. и Лопенко В.П. для аналитических ьункци;; многих комплексных переиенпых в полных кратнокруговых областях. Оплети:;, что о дан из актуальных вопросов в теории Оункции комплексного яереиекаого является изучение роста функции в зависимости от наилучшего полиномиального приближения и перенес некоторых: ¿актов от одного переменного кз ыиогпв комплексные переменные.

Как ¡;ззес™но, изучение роста аналитической функции з зависимости от ее наилучшего полиномиального приближения является одной из вокьеЛаих задач теории функции комплексного. переменного. Эти исследования берут свое начало кз фундэыен- • тэльных работ С.Н.БернцтеШ :: Дг.Уолсэ об аналитическом приближении функции из заданной'области нэ более вирокую область в зависимости от ее наилучшего полиномиального приближения. Дальнейшее развитие этой тематики отралено в рэботэх А.В.

- k -

Батырева, Reddy Л. Я. , JlncLze G-zoux. , К.'Л.Ябрагиыовэ, ^ ' Н."..ихои:ева и других. - . *

В носюи^ег. диссертации научается поведение роста ?унк-ции аналитической в некоторой конечной односвязно" области в зависимости от ее наилучшего полиномиального приближения, обобцЭ1.тсп некоторые из зипеуказанных результатов на функции многих комплексных переменных, вводятся более тонкие характеристики, понятая сопряженных порядков и сопряженных типов для аналитических ^ункцп!; многих комплексных переменных в полных крэтнокругсвых областях, выводятся формулы, связывающие эти величины с коэффициентами Тейлора. Кроме того, распространяются понятия порядка и типа функции-аналитической в круге

|н|<1 на функции, аналитические в некоторой конечной ■односвязной области, содержащие нзчвло координат. Получаются формулы для вычисления порядка л типа функции в зависимости от коэффициентов ее разложения по данным баэисам.

Цель рзсоты. Изучить поведение' роста функции одного и многих комплексных переменных в зависимости от ее н&пл^чиего поли нош з льного при бли не ни я._

Ввести более тонкие характеристики понятия сопряженных порядков и сопря'...еьных типов для функции многих комплексных переменных, получить формулы, связывающие их с коэффициентами Тейлора.

Распространить понятия порядка и типа функции аналитической в круге |е|< 1 , на функции, аналитические в некоторой конечной .односвязноИ Области, содержащие начало координат.

Оби;ая методика ксс.чедозани". При решении поставленных задач кспользозаны гетодк конструктивной тоор:т ..¡уш'.ции, а ■ такг.е ъ:етод ".¿¡.Ронкпна ;; Н.З.Говорова для получения {ормулн, выпадающие порядит и гкпк через коэ^пцкёнти ?с:.'лорэ.

Научная нсдпэно работы. 3 диссертации поучено поведение роста Функции, аналитической в некоторой конечной односвязноГС облает;: о Кордзнозо!"; границе;; в зоз:-:с«:вос!й: от ее нзилучиого полиномиального лр:: Сличения и обо'г.екы некоторые результаты А.З.Батиреза на (¿'нкцйи многих комплекс них ле?е:;еш:ых.

Заеден:»' понятия сопрягенкас порядков а сонрягеннкх типов для функции отогкх комплексных переменных аналитических в полные крзгнокругозых областях, получены соргули, сзяз£ззпу:е эти зеличини с иоэ&ицпек'-э:»;: Тейлора.

Распространена понятии порядка ¡: типа ;!у;:ки/г/, аналитической в круге ' /?/< £ , нэ <йгш;цс», аналитической в некоторой конечно!; одноезязно;" области. Яолуче:-:и ¿ориулы для вычисления порядка ;: типа функции в зааисиьосгк от козГ^пцнектов'ее разложения по данки" Сэздсви. «

Пуз г ч е екз я ц е н:-: со гь. Результаты, полученные в диссертации, иогут бь;ть припенени при репей;:;: иекоторкх задач теории при блике ни", а тэкг'.е при кахогдеиа« порядков я типоз аналитических чункцк.Ч одного ;; инсгпх комплексных переменных.

Апробация гаСэты. Результаты диссертации докладывались на езгкизрах зкэд.АН Агерб.Респ.П.П.'ЛСрзгииовэ отдела теории функции комплексного переменного "ЛИ АН Азерб.Респ., кафедры математического анализа АЛЛ к^.В.К.Ленина, ка конуереицгги молодых ученых АН Азерб.Ргсп., посвященной 60-летию обрззозэ-

- б -

ни я СССР, на ЗсесоюаноЯ ксн-еренцш "Современные проблемы тео-риг. Лункци:;" (Баку, 1969), на семинарах проб.Дг.й.Мэчедханоза (Еэкгооунньерсптет) и кафедры высиеИ иэтеиатики Азерб.Техни-ческого Уи'/.версптета.

Обье:.? раСоти. Диссертационная работа изложена на 55 страницах иэиинопионого тексте, состоит из введения ¡1 трех глав. Б1:ол::ограу;я содержит 60 наименован;!Г..

• -V.

Публикация.. Основные результаты опубликованы в работах, список ксторих приведен в конце автореферата.

ССДЁР^АШЬ РАБОТЫ

Диссертация с.остоит из введения и трех глав, разбитых на восемь перзгр&Сзв. В ка:.:до1". главе в первой параграфе приводятся основные обозначения, определения г. . спочогательные сведения, необходимые длп исследования соответствующих глав.

Первая глава состой из грех параграфов.

В 5,1.2 рост изучается в зависимости от наплучпе-

го полк нормального приближения. А '

Пусть К - ПРОЙ&ВСЛЬВВГ. 0Гр8Н!.ЧйНЬиГ. кониищи со связный дополнением, содержащий начало координат. IV- Ф(г) функция Рш.;эна кон;ор.\шо и однолистно отобра;:аьдая внешоегь К на область 1\У1>{ •

Т1 - линяя уровьй, т.е.

Я

{г: | Ф(г)1 = Я ,И>1} ■

Обозначим через ^ - кснечнуь область, ограниченную кривой Г . Н - множество полшюыов степени не выше п

вида

н

Величина

нэзшззэтсп нзилучыим полиномиальным при С ли г: о ьп ей функции из иночестве /</ .

Доказана следующая георема.

ТЗСРИЛА 1.2.1. Лля того, ч?абы -¿уккцкя аналитичес-

кая во внутренних точгах континуума К и непрерывная на К бклз аналитической з области и имела конечный

порядок необходимо и достаточно, чтобы зеличина

Е удовлетворяла условию

«т- ^

¿и-щ. ---- --- ,

где = шах .

Эта теорема является уточнением хорошо известного результата С.Н.Берншгеннз я Дгс.Уолса об акэлнкгческоа.' продолжении функции на более ¡-прокую область в зависимости от ее наилучшего приближения.

3 § 1.3 для обойдет,кх порядков целой й'нкции, введенных .'.1.Н.Ьсремето, доказывается аналог теореии А.З.Бэтыревз.

- Б -

Во вгороГ. глозг пзучаится аналитические и цедьа функции многих комплексных переменных з вог.~1?:л::мдрпческ:;х областях.

Прежде чен привести основные результаты § 2.2 приведем необходимее обогйэчезкя.

Через С** 'л Яш кк'обозначим т» - мерные соответственно комплексное п вещественное, координатные пространства. ПолоынепьныИ гппйроктант в /?т обозначил через т.е.

-¡X: ¡С* , х^о , ха}0 о

• ' Пусть Л - множество в С7" з;:до .1)«= *25а*... *

где В,, ,..., В*, - ограниченные замкнутые множества с спрямляемо" кордановоП границей соответственно кз плоскостях ? 2 ■ дополнения которых представляют собой

2 I" • » ТИ-

односвнзние области.

Для точки к>в(«1,к'4,...,к|ву когда ка кт неотрицательные целые числа, обозначим к, + к, +... ^ кт . Выражение , «.„и у- , где <А* (А„ДЯ,..., Лт) ,

поникать в следующей виде:

-.к. _ к«

= Г ¿? • • т2 с ...

£. /Л 4

• 3 ~

_ О _ '

Пусть > > <*> 1 ^(Ъо) > а функции,

оюбрзгсаюцве внеспосзк областей В; кз области ¡'¡^¡>1.

Обозквчки через V , Р/*'*(2г),.„,Р*,П}2)П0Я'.П!01;и ЬзСерз для ¡.шог.ествз , ¿-со степенями к„кх,...,кт соответственно. Лслпнои Р„(2) = Р^Ся.) ... Р(т){г ) яозоэеи полияоыои

к к, * V м /

Ооберэ для иногествз ]] .

Сперва доказывается, что веяную функцию, эолитическую но 27 , иояйо рэзяс.г.пть в ряд

о»

сходятся рзвно:.:ер!го гз ]] , где

г ^.....^ & *

_ ♦

" » являйся обрзт:ш-и иуккцкягл для функг

Мно.~еогго .:сл:;но"оз з::дэ

при фиксированном п обозначив через Я«,*, . Наилучсим равноиерным.приближенней Су'пКФ-'-' ^С2) нэ '-нолестве Ц называется величина

- 1С -

М Ш,н 1

«к (гЛи,и

Далее, в § 2.2 доказывается еледущая теорема, которая является распространение:.;' соответствующего результата А.З.Батыревэ на многомерную случай.

Т1'СРР"А 2.2.2. Дъя того, чтоби Суикция ^(г) , аналитическая на области I) , б^:ла цело* .-ункциеп конечного порядка

необходимо и достаточно, что С:: величины ' удовлетворяли условию'

" . ' .. -А— п

а ---—

7 п*«

Третья глава состоит из грех параграфов и посвящена изучении роста акалитических СункцнГ в некотором конечное области (одномерном и кногоиернои случае).

В § 3.2 вводится понятие сспрявдп-шх порядков и сопряген-них типов для СупкцпЕ аналитических в ограниченных полных ку.атнокругових областях.

Пусть функция г^аналитпчна в ограниченно!!

полной крэтио-кругозоП облает:; Л С СП ■ Обозначим через Ъг' область

.....; ,^<'1

Л(г) - Л(г1,гг.....гп) = «л* .

Допуска, чм при достаточно близких к единица значениях , 1-1,П су^ествум такие постоянные /и,...,/«- и $ Р , что выполняется неравенство

< 2 тЛл м

1ч

ногестло точек в абсолютной гипероктзнте , коорди-

эты которых удовлетворяет неравенству (х) обозначим через 3. ранпцу множества 3 обозначим через 33 к назовем гипер-оверхнос!Ыи сопрняенних порядков Функции , з Иогдув

истеыу чисел токих, что 53 назовем системой

онр:.;:.енных норидкоз пункции

Пусть - щю:г.естзо всех точек ( ^...., , для

оторых при Z^l-*i-0 , 1=7,п имеет место неравенство

Ьл-М(г) < У -

эаницу множества О обозначим через и позовем гнпер-

)ьерхностьс сопряменных и:поз при сопряженных порядках

Р , Р , э кзпсдую систему чисел б",,...,^ такую, чао I Уп.

назовем системой сопряженных тикоз Суп:и;ип |(г) при сопр.ъенпых порядсах .

Стиетиц, что эти понятии были ззедеии- ем,е в 1$»71 гол;' Л.Кокпчезыы и Ц.П.Лвпеько. и получены •;с;ауяв ссг.'ря/.лЪих

- 12 -

порядков и сопряженных типов в nw

títñ ~ jn.

/к/-»оо /к '

(б

где

i

> ».....

"P-nrn р _ conpfiseKKue поряд:к,

CtK - коэффициента ^....ори, £

¿. - сопряженные типы. 0„ППн-е,г

'„„ „с »"

„„.».о». «« П1'с"

i 1

00 Y "J.1 К

. ц.0 »укдап екзл'/.тичьз в полкруге j.eri'-o проверить, что

\г.и\<1 .

.в- (3) Я (*>' ПоадЧ:!1

"ст". пжмекпть v'OP-J^

' W > J* * 1 '

Jk|-»<» ' +Ka *

т.е. ни пр.; :•:jiíoíj выборе чисел jm , yw этот верхний предел не рэзнлетсл единице. А из cu:¿ot; деле, функция имеет глобэлъшП порядок, розный I. (ja ) ' I!0T°P't2" должен

девать нэ гиперпозерхностк сопряженных порядков, то есть для пар должно бь;ло выполняться условия (а).

Естественно возникает вопрос, как связаны эти величины с коэффициентами Тейлора?

ría этот вопрос отвечает следувд;е теоремы. TSCPSiiA 3.2. 2. Для того, чтобы конечное пологи тельные числа J[ <f2 ifn образовывали систему сопряженных порядков ^ункциГ; необходимо и достаточно, чтобы выполнялось ра-

венство

fr- fiUí)

w ——(

где

Йк - коэффициент Тейлора -для Функции и

* ' геС

TS0PE:.:a 3.2.Для-того, чтоби конечное пойогителгн^е числа бц...,^ образ овина ли систему сопряженных типов :;р;'

соаряиешых порядках ;уккпйг. , необходимо

и достаточно,' что61; выполнялось равенство

где - коз^пциект Те:«.гсре -'¿-акцив {(2) .

В § 3.3 понятия 1: типа пункции аналитической в

круге |гj<r^ , ъ-иеденпже К.В.Говоровы;«!, распространяются кг функции аналитические з некоторой конечной односвнзно^ области, содержащей начало координат.

иусть 0 - некоторая конечная одкосзязнэя область, С| дерг.:2-;;ая начало координат. Через Л ((я) обозначил, прострзнст' во аналитических функций в области .

Дспус?:::.;, что некоторая система г.ушсцмЕ 719(2)} об-

I 'к I п

разует бззпе в пространстве \А(.0) а заполняется еле;

'п«а

условия:

' а) &» /и= /у^Н * ,

И-»»

где функция УГ2^ регулярна и однолистно и кон,;ср: по О50браг:аюц8я область £ на круг №¡<1 , о нормировкой у>(о)-о , 1р'(а) >0 • Обозначим через ¿?г - шсхесгва точек г? , для воторых 1у>(2)}<2 ,

б) система °° иь:еет биоортогонэльную систему

^^Г?)}00 регулярную вне некоторой области 0г %

имеюцую внутри только конечное число особенностей и образующую базис в любом пространстве Л (С \0-г) « где 20 < 3< 1 , С - вся комплексная плоскость.

Пусть

оо

>' ¡Сг) = л^СЮ

71» О

!ознаадц через -МСх) величину

Л (г) = ^О-Х Ц(г)1

фядкои и типом роста Функции будец называть соответственно ¡личины

- ит--

г-* 1-о -1п(1-ъ)

1пЛ(г) .

Ы'* (У^У

'V, .

Доказывается следуидиё теоремы.

Р

TSOPEMA 3.3.1. Для того, чтобы функция 2) , анэ тическэя в.области Q и представила я в виде ряда

fa-jt^yj*) ' •

необходимо и достаточно,

А п.

ТЕОРЕМА 3.3.2. Для того, чтобы функция анали

ческея в области Q ииела конечный тип £[>¿7 при к ном порядке Ji>0 необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство

„. ,-jL &

В заклЕчение, считаю своии приятный долгом выразить бокуь'благодарность моему кэучноиу руководителю акад.АН Респ. КЛ'.лбрзгимову за постановку задач и постоянное bi ние, з так:«: д.ф-м.я., про^.Да.И.Мзиедханову и к.й-м.н., Г.А.Оруд."езу за ценные советы и консультацию.

Основные результаты диссертации опубликованы в еле, работах:

имела конечный порядок • Ji>Q чтобы выполнялось условие

—— - tint

J>+i п-ао

Мурадов В.Ы. Сопряженные порядки и сопршхенкые типы для функции, аналитических в полных крзтно-кругозых областях. Деп.в ВИНИТИ. 1582 - 1Вс. - 2<Ц6.

Мурздов В.Ы. О наилучшем полиномиальном приближении аналитических функций многих комплексных переменных // ДАН Азерб.ССР. - 198<*..- й 3. - с.П-14. Мурадов В.и. О связи иежду наилучиим полиномиальным приближением аналитических функций многих комплексных переменных и коэффициентами Фаберз /Др.НЫУ АН Азерб.ССР. вип.Ш. --Баку: Элм. 1586. - с.195-213. Мурздов В.и. О росте аналитической функции в некоторой конечной односвязной области. /Датер.УД респ.конф.мол. учен, по иотец..к цех. - Баку - Эли. 198?. - с.200-202. Мурздов В.П. Об одной дополнении к теореме Бернштейна-Уолыа //Мзтер.Всесоюзн.школы-конференции "Современные проблемы теории функции" - Баку. 1989.о.76.