Приближение дифференцируемых в смысле Вейля функций и значение поперечников некоторых функцональных классов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

9 15-1/59

На правах рукописи

Тсмурбскова София Давронбсковна

ПРИБЛИЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ В СМЫСЛЕ ВЕЙЛЯ ФУНКЦИЙ И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ " НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ

01.01.01 Вещественный, комплексный н функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

ДУШАНБЕ-2015

Работа выполнена в Институте математики имени А.Джураева Академии наук Республики Таджикистан

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук,

академик АН РТ, профессор Шабозов Мирганд Шабозович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: Переверзев Сергей Вячеславович,

доктор физико-математических наук, профессор, Австрийская Академия наук, Институт вычислительной и прикладной математики им. Й,Радона, ведущий научный сотрудник отдела прикладной математики

Лангаршоев Мухтор Рамазонович,

кандидат физико-математических наук, Таджикский национальный университет доцент кафедры математического анализа и теории функций

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Худжандский государственный университет имени академика В.Г.Гафурова

Защита состоится 30 июня 2015г. в Цч. 00мин. на заседании диссертационного совета Д 047.007.02, при Институте математики им. А. Джураева Академии наук Республики Таджикистан, по адресу: 734063, г.Душанбе, ул Айни 299/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте http://www.mitas.tj Института математики им. А. Джураева Академии наук Республики Таджикистан.

Автореферат разослан _ОЭ 2015 г.

Ученый секретарь / *

диссертационного совета Каримов У.Х.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Хорошо известно, что основным объектом теории приближения функций являются задачи, связанные с необходимостью заменить сложные функции линейными суммами конечного числа более простых функций, так чтобы возникающая при этом погрешность была наименьшей. Если о функции нам известны лишь некоторые общие свойства, то целесообразно рассматривать задачу приближения класса таких функций. Как правило, при приближении классов функций предпочтение отдавалось алгебраическим или тригонометрическим полиномам.

В 1936 году А.Н.Колмогоров сформулировал задачу о поперечниках, в которой впервые выбор аппарата приближения был поставлен в зависимость от цели приближения. С этого времени задача приближения классов функций подвергалась изучению с новой точки зрения. Наиболее существенные результаты окончательного характера получены в задачах наилучшего полиномиального приближения периодических функций. Следует отметить, что вопросы наилучшего равномерного приближения периодических дифференцируемых функций рассматривались А.Н.Колмогоровым, Ж.Фаваром, Н.И.Ахиезеро.м и М.Г.Крейном, С.М.Никольским, Б.Надом, С.Б.Стечкиным, Н. П. Корнейчуком, А.В.Ефимовым, Н.И.Черных, В.П.Моторным, Л.В.Тайковым, В.И,Ивановым, С.Б.Вакарчуком, М.Ш.Шабозовым и многими другими.

Задачами наилучшего полиномиального приближения периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций в разное время занимались Б.Надь1, В.К.Дзядык2,3, С.Б.Стечкип4, Сунь Юн-шепь5, С.А.Теляковский6, В.Н.Малоземов7 и другие.

В диссертационной работе рассматриваются задачи вычисления верхних граней наилучших приближений и отыскания точных значений поперечни-

*Nagy В. Uber gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen, I // Peridischer Fall. Berichte der metli.-phys. Kl. Akad. d. Wiss. zu Leipzig. 193H. V.90. P. 103-1.14.

аДэядык B.K. О наилучшем приближении на классе периодических функций, имеющих ограниченную а-ю производную (0 < s < I), .// Известия АН СССР. Сер. мат. 1953. Т.17. С.135-162.

лД'1идык В.К. Введение в теорию равномерного приближении функций полиномами. М.: Наука. 1977. 511 с.

4Стечкин С.Б. О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими полиномами // И:1В. АН СССР, сер. матем. 1956. Т.20. С.643-6-18.

'Сунь Юн-шск. О наилучшем приближении периодических дифференцируемых функций тригонометрическими полномвми // И']н. АН СССР. Сер. мат. 1959. T.23. №1. C.G7-92.

6Теляковский С.А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Вейла, суммами Валле-Пусссна // ДАН СССР. 19G0. Т.131. №2. С.259-262.

7Малопемон В.II Обобщённое дифференцирование периодических функций // Вестник ЛГУ, 7. Серии матем. 1965. №2. С.1В4-167.

ков некоторых классов периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций в пространстве '•= ¿2(0.27т]. Полученные результаты дополняют и продолжают исследование указанных выше авторов в этом направлении. Цель работы

1. Найти точные верхние грани наилучших полиномиальных приближений некоторых классов периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций, задаваемых модулями непрерывности т-го порядка в пространстве L2.

2. Вычислить точные значения различных поперечников на классах функций, задаваемых усреднёнными значениями модулей непрерывности высших порядков производных.

Метод исследования. В диссертационной работе применяются современные методы функционального анализа оптимизационного содержания и методы решения экстремальных задач теории приближеиия функций.

Научная новизна исследований. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

• Найдены точные верхние грани наилучших полиномиальных приближений некоторых классов периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций, задаваемых модулями непрерывности m-го порядка.

• Вычислены точные значения различных поперечников на классах функций, задаваемых усреднёнными значениями модулей непрерывности высших порядков производных.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут послужить основой для проведения теоретических исследований в других банаховых пространствах, например в пространстве Lp, 1 < р < оо.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах отдела теории функций и функционального анализа Института математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан под руководством академика АН РТ М.Ш.Шабозова (Душанбе, 20112015 гг), на международной научной конференции „Современные проблемы математического анализа и теории функций"(Душанбе, 29-30 июня 2012 г.), на международной научной конференции „Современные проблемы теории функций и дифференциальных уравнений" (Душанбе, 17-18 июня 2013 г.), на международной научной конференции „Современные проблемы математики и её преподавания", посвященной 20-летию Конституции Республики Таджикистан (Худжанд, 28-29 июня 2014 г.).

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах |1-7|. В совместной работе |1] научному руководителю М.Ш.Шабозову принадлежит постановка задач и выбор метода доказательства.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 58 наименований, занимает 95 страниц машинописного текста и набрана на LATEX. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первая цифра совпадает с номером главы, вторая указывает на номер параграфа, а третья на порядковый помер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Содержание диссертации

Приводим краткое содержание диссертации с указанием основных результатов. Во введении приводится краткая характеристика изучаемой проблемы и основные результаты работы.

В первом параграфе первой главы приводятся необходимые обозначения и определения, нужные для дальнейшего, а также излагаются история вопроса и известные результаты. Через ¿2 := ¿2[0,2тг) обозначим множество 27Г-периодических суммируемых с квадратом в смысле Лебега действительных функций /(х) с конечной нормой

2тг Ч Ш

- ±/|/МГ

:= ii/lit, = i ~ / \j\.x¡\2dx I < оо.

Под L2Г) будем понимать множество 27г-периодических функций / € £,2, у которых производные абсолютно непрерывны, а /'г' € ¿2- Множество всевозможных тригонометрических полипомов порядка п—1 обозначим Tín-i-Известно, что для произвольной функции / € ¿2, имеющей разложение в ряд Фурье

/(*) ~ ^Р- + ¿ Ы/) cos кх + МЛ sin кх), 1 к=\

величина её наилучшего приближения в ¿2 подпространством T¿n-\ равна

1/2

£„_,(/) :=inf {||/-Гп_,|| : Г„_, е Г2„-,} = \\f-S, ,-,(/)||

где 5„_ [(/, х) - частная сумма порядка /г — 1 ряда Фурье функцин / е ¿2, ¿¿(/) = + Под ¿г™' (а е ®+) ^УДем понимать множество функций / € ¿2) У которых существует производная в смысле Вейля € £2 :

◦о

/<»>(*) ~ £ Г (ак(/) со« (*х + + МЛ яп (кх + ) . (1)

к=1

Воспользуясь соотношением (1), при помощи равенства Парсеваля в силу свойств ортогональности тригонометрической системы получаем равенство

/ 00 \ 1/2 Яп-1(/(п)) = ||/(а) - 5»-1(/(о))|| = (£ к2У1(П\ (2)

При изучении экстремальных задач теории полиномиальной аппроксимации функций / € ¿2 на протяжении всей диссертации результат (2) является нашим основным инструментом. Всюду далее для характеризации структурных свойств функции / е ¿2, мы пользуемся понятием модуля непрерывности порядка тп. Равенством

ц>т(/;():=5ир{||ДГ/(.)||: |Л| < «},

где

д№) = 1)т_* (Г) я*+(т - *)*)

- конечная разность т-го порядка функции / в точке х с шагом к, определим модуль непрерывности порядка т функции / 6 ¿2-

Во втором параграфе решена задача о нахождении точных неравенств типа Джексона - Стечкина между наилучшими приближениями периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций тригонометрическими полиномами посредством модулей непрерывности т-го порядка £) в

пространстве Гильберта ¿2 и даны некоторые её приложения.

Напомним, что под неравенствами Джексона - Стечкина в пространстве ¿2 понимают соотношения вида

Еп-ЛЛ < хп~гшт (/<г),-) , г е г+, 7 > О,

\ П/ ¿2

в которых погрешность приближения индивидуальной функции / оценивается через модуль непрерывности т-го порядка самой приближаемой функции

или некоторой её производной, я константа х зависит от г и т, по не зависит

от п и функции /. С целью оптимизации констант в неравенствах Джексона

- Стечкина, как правило, вводят в рассмотрение различные аппроксимацион-

ные характеристики, содержащие усреднённые значения с некоторым весом

модулей непрерывности тп-го порядка. Приводим одно утверждение, в кото-

2

ром появление весовой функции </?(£) := —(Л — 0 < t < /г в усреднённом значении модуля непрерывности т-го порядка от производной /'"'(£) является неизбежным. Отметим, что указанный нес при решении задачи о точном неравенстве Джексона-Стечкипа сыграл ключевую роль в работе Фокарта, Крякина и Шадрина.8

Теорема 1.2.1. Пусть то, п е М, а 6 М+. Тогда для любого числа Л, удовлетворяющего уыовию 0 < к < п/п. справедливо равенство

Г . . чЛ -т/2

2 "У £„_,(/) /

5»р -—:-= ^1

( 2 . nh\2}'

ч - UsmTj /

^j{h-t)ul{mU{n\t)dt\

о

Основным результатам второго параграфа является Теорема 1.2.2. Пусть а € R+; т,п £ N; 0 < р < 2; <¿>(i) > О произвольная суммируемая на отрезке [0, h] функция. Если при некотором а > 1,1/а < р < 2 при всех t € [0,/i] выполняется дифференциальное неравенство

(ар - l)<p(t) - t<p'(t) > 0, (3)

то справедливо экстремальное равенство

-Up

2тпаEn-\(f) . nt\mp I

sup ---—^ = sin — ) ip(t)dt } (4)

I ) >

J u?m(f{a\tMt)dt

Отметим, что равенство (4) в разнос время при различных значени-

"Foucart S., Kryakin Yu and Shadrin A. On the exact constant in the Jackson-Stechkin inequality for the uniform metric // Constr. Approx. 2009. V.29. P. 157-179.

ях указанных в нём параметров изучали Н.И.Черных9, Л.В.Тайкон10,11,12, А.А.Лигун13, Н. Айнуллоев14, В.В.Шалаев15, Х.Юссеф16, М.Ш.Шабозов17, С.Б.Вакарчук18, М.Г.Есмагапбетов13, М.Ш.Шабозов и Г.А.Юсупов.20 Из теоремы 1.2.2 вытекает ряд следствий.

Следствие 1.2.1. Пусть <p(t) = shi7(/?i//i), 0 < 0 < п, 0 < t < h, О < h < тг/п, 0 < 7 < ар - 1, 1 /а < р < 2, а 6 R+, а > 1. Тогда

Равенство (5) ранее было получено М.Г.Есмагапбетовым10. Следствие 1.2.2. Пусть ip{t.) = 1, 0 < t < h, 0 < h < тг/п, 0 < р < 2,

9ЧернЫХ Н.И. О Наилучшем приближении ПСрПОДИЧеСКИХ фуПКЦИЙ тригонометрическим!! Полиномами в L2 // Мат. заметки. 1967. Т.2, №5. С. 513-522.

10Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из ¿2 // Мат. заметки. 1976. Т.20, №3. С. 4.13-438.

"Тайков Л-В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства Lj // Мат. заметки. 1977. Т.22, №4. С. 535-542.

12Тайков Л.В. Структурные п конструктивные характеристики функций из ¿2 // Мат. заметки. 1979. Т.25, №2. С. 217-223.

пЛигуп А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2 // Мат. заметки. 1978. Т.24, №6. С. 785-792.

14Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций в Li // Доклады АН ТаджССР. 1985. Т.28, №6. С.309-313.

15Шалаев В.В. О поперечниках в ¿2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков / ' Укр. матем. журнал. 1991. T.43, №1. С. 125-129.

1вЮссеф X. О наилучших приближениях функ|Ц1Й и значениях поперечников классов функций н Lj // Применение функционального анализа в теории приближений. Сб. иаучн. трудов. Калининский гос. ун-т, Калинип. 198Й. С.100-114.

|7Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве £2[0,2тг| // Матем. заметки. 2010. Т.87. N4. С.616-623.

18Вакарчук С.Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в // Мат. заметки. 2006. Т.80, №1. С. И-19.

19Бсмаганбетов М.Г. Поперечники классов из £а(0,2тг] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона // Мат. заметки. 1999. T.G5, №6. С.616-820.

20Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в ¿з некоторых классов 2тг-периолических функций и точные значения их поперечников / / Матем. заметки. 2011. Т.90, №5. С.764-775.

sup

Га ri'>

4°'

f^ïconst uPi(fW-t)sin-'(0t/h)dt

а € R+. Тогда имеет место равенство 2mna~VpEn-\(f)

sup

f^ jLconst

I <sm(f{a);t)dt

i/p

s4)

-Up

mp

dt

В частности, из (6) при Ъ, = 7Г/п следует равенство

вир

Up

1/P

(6)

гс)е Г(и) известная гамма-функция Эйлера.

Равенство (6) при р = 2, о € N было установлено Н.Айнуллоевым21. Следствие 1.2.3. Пусть выполнены все условия следствие 1.2.2. Тогда при р = 1 /т71, 7П 6 N справедливо равенство

sup

/ei.' '

22 mna-m£n_i(/)

| J w)lm{f(a)-,t)dt

= (1_cost)

Следствие 1.2.4. Пусть ip(t) = t, 0 < i < /i, 0 < /i < 7г/п, 2/а < р < 2, а € К+, а > 2. Тогда справедливо равенство

( Пh \ -Up

/3- Т)-^"i/ K1 dt

/'"»/consi Г tu}Pm(f^-t)dt

В третьем параграфе первой главы доказывается неравенство Колмогорова для дробных производных и даются некоторые его применения.

21 АПиуллосв II. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в / Применение функционального апалиэа в теории приблнжсциА. Сборник научных трудов: Калининский госу-нинерситст, 1986. С.3-10.

Теорема 1.3.1. Пусть функция } е L2°\ л 6 М+ и пусть 7 > О произвольное число, удовлетворяющее условию 0 < 7 < а. Тогда имеет место неравенство

Знак равенства здесь имеет место для функций вида f(t) = bcosn(t + а).

Следствие 1.3.1. Для произвольной функции / € ¿4"' при 0 < 7 < а, а, 7 € М+ справедливо неравенство

Sn-i(/(n-7)u2 < №.-I(/))7/2° (^-i(r))i;7/°. (?)

С использованием неравенства (7) легко доказывается Теорема 1.3.2. Пусть m,neN;0<p<2;0</i< ж/п\-у,а € R+; О < 7 < at, ip неотрицательная суммируемая на отрезке [0, h] функция, удовлетворяющая условию (3). Тогда имеет место равенство

-Up

5, <»>

aj если, в частности, т,п € N, р = 1 /т, 0 < h < п/п, 7,a £ R+, О < 7 < q и ip(t) = 1, то

WEn.,U{a 7)) SUP "ТЧ-;

/2 . , п/Л

- U" tJ

6,) если m, n e N, p = 2/m, 0 < /1 < 7r/n, 7, a e R+) 0 < 7 < a и ¡¿?(£) = 1, mo

n->Enl(f Г n \m

SUP T~h-ГТп = i -7-:-г f ■

'ei'"1 / г \ (nn — sm nh}

(9)

/eti'

V™« I Ju%m(fla\t)dt

Следует отметить, что из равенства (8), в частности, вытекают результаты М.Ш.Шабозова17, М.Ш.Шабозооа и Г.А.Юсупова20 в случае а = 7 6 N и с произвольным неотрицательным суммируемым весом 0 < Ь < Н (0 <

h < 7г/п). Равенство (9) является обобщением результата С.Б.Вакарчука18, ранее доказанном для множества функций / € ¿4"'' л € N.

Четвёртый завершающий параграф первой главы посвящен вычислению верхних граней наилучших полиномиальных приближений некоторых классов дифференцируемых в смысле Вейля функций в пространстве L2-

В экстремальных задачах теории приближения периодических функций с заданным классом функций 9Л = {/} С ¿2 часто связывают следующие его характеристики аппроксимации:

Еп-1(ЭЛ)£, := Е(Ш-Т2п-1) = sup inf ||/ - ^-ilU, (Ю)

/eJW'n-i67*!-!

— наилучшее приближение класса ЯЛ множеством 75»!-i тригонометрических полиномов Tn-1 порядка п — 1;

72„-i(OT)i2 = sup {ll/IU : / 6 } , (11)

где OTi^- — множество функций / € ЯЛ таких, что

2тг

о

Кроме величин (10) и (11), часто будет полезным отыскание величины

= inf sup ||/- Д/Н^, (12)

где jSfn - совокупность всех линейных операторов, переводящих функции / € ¿2 в тригонометрические полиномы порядка п — 1.

Из приведённых выше аппроксимационных величин сразу следует, что

En-i(m)Ll < 7„-i(aR)t, <

Задача состоит в отыскании значения величин (10) - (12) для некоторых классов функций, естественно возникающих из утверждения теорем и их следствий в предыдущем параграфе 1.2.

Пусть Ф(<), 0 < t < оо — непрерывная неубывающая положительная функция такая, что Ф(0) = 0. Для г € Z+, m € N, 0 < р < 2, q > 0 и 0 < h < 27г. Введём в рассмотрение следующие классы функций:

h ч VP

IjufJfMrfbdtj <Ф(Л) 11

ф) = I / е L™ : j ¿a£,(/<"\ j < Ф(А) 1 ,

т/2

/ 6 : l^J(Л - Ои#т(/И, ) ^ ф(/1)

.

При Ф(А) = 1 соответствующие классы обозначим И/,(°>(/г), И-'/"1 (/(.).

В данном параграфе вычислены точные значения величии (10) - (12) и доказано их совпадение. В частности, например, для класса №^"¿(/1, Ф) справедлива следующая

Теорема 1.4.1. Пусть тп, п 6 N и 2/а < р < 2, а > 2. Тогда при любом Л € (0,7г/п] справедливы равенства

Еп-1 (^¿(А.Ф))^ = 7п-1 =

^пк т \

Ш'/'ЫТ*) Ф(Л) =

/ nh/2

= 2-m-VPn~a

(nh)'

I

\

-Hp

tsinmptdt

Ф(Л),

/

В конце параграфа рассматривается вопрос вычисления точных верхних граней модулей коэффициентов Фурье. Из утверждения теоремы 1.4.1 получаем Следствие 1.4.2. Если выполнены все условия теоремы 1-4-1, то для любого n<E N имеют место равенства

sup{W/)|: /€И^(Л,Ф)} =

= sup {мл h /6ЙЩ(Л,Ф)} =

i"'1 "ф \ ~x/v

где <!.„(/) и bn( f ) соответственно косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции f. В частности, при h = it/n из (13) вытекает равенство

sup{|a„(/)|: /е^/т(тг/п,Ф)} = = sup{M/)h

Вторая глава диссертационной работы посвящена отысканию точных значений п-нонеречников некоторых классов функций, принадлежащих ¿2-В первом параграфе второй главы приводятся необходимые определения и факты, нужные для изложения дальнейших результатов. Пусть X -банахово пространство, S - единичный шар в нём, ГОТ - некоторое выпуклое центрально-симметричное подмножество в X, Ln С X - n-мерное линейное подпространство, L" С X - подпространство коразмерности п, А : X —¥ Ln

- линейный непрерывный оператор, отображающий X в L„, Л-1 : X -4 Ln

- непрерывный оператор линейного проектирования X на подпространство Ln- Приближение фиксированного множества УК С X фиксированным подпространством Ln этого же пространства X определяется соотношением

£(£т,£„)х"='аир{т£{||/-Ии : / ^ ГОТ}.

Величина

f(ОТ, Ln)x "= inf {sup {||/- Л(/)||лг : / € ГОТ} : АХ С L„}

характеризует наилучшее линейное приближение множества ГОТ элементами подпространства Ln С X. Величины

Ьп(Ш, X) = sup {sup {е >0; eS П Ln+l С ГОТ} : Ln+l С X} ,

dn(ffl, X) = inf {£(ГОТ, Ln) : Ln С X),

<Г(ГОТ,Х) = inf{sup{||/|U : / € ГОТ П L"} : L" С X} ,

¿„(ГОТ, X) = inf {£(ГОТ, Ln)x : Ln С X) ,

nn(roT,X) = inf{f1(roT,Lnb: Ln С X}

называют соответсвенно бернштейновским, колмогоровским, гельфандов-ским, линейным и проекционным п-поперечниками.

Во втором параграфе второй главы рассматривается задача об отыскании точной константы в обобщённом норавеисве Джексона - Стечкина.

Пусть <р(1) - ггеотрицательная суммируемая на отрезке [0, /г] функция. Через И т (/'"'; к)р, где т € К, а, р €Е К+, 0 < /1 < 7Г, обозначим среднее в рой степени значение модуля непрерывности t) порядка тп от дробной производной /'"'(1) с неотрицательным суммируемым весом ¡¿?(£) :

(п \ '/р / ,, ч -1/р

I и£(/<в>;£)*>(£)<Й 1 I I „(О А 1 (14)

При решении экстремальных задач теории аппроксимации в пространстве ¿2, связанных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона - Стечкина

Еп-1(Л < Хпаыти[а)Л/п), I > 0, / € 4и), т € N. а € К+, (15)

многими математиками в разное время рассматривались различные экстремальные характеристики, способствовавшие уточнению оценок сверху констант х- В связи с отысканием точной константы в неравенстве Джексона - Стечкина (15), для оценки экстремальных аппроксимациоппых характеристик и выявления структурных величин наилучших приближений £„_!(/) периодических функций / в 1*2, функционал (14) более естественен. Таким образом, осреднённый в р-й степени модуль непрерывности гп-го порядка (14) является наиболее общим функционалом при отыскании точной константы в неравенстве Джексона - Стечкина (15).

Пусть ¿^(т, р, к; ¡р) - множество функций / € для которых выполняется неравенство к)р < 1. Для произвольной суммируемой весовой функции уз(£) > 0, 0 < £ < /1 из (14) вытекает неравенство

СЧЛ/М; к) < Ч>, Л)р < к), (1С)

где С = С(т,а,р,к) - положительная константа, зависящая только от значений указанных в скобке параметров. Отыскание наименьшей константы в неравенстве (15) равносильно задаче вычисления точной верхней грани

(4°и„г„) - :'е 4'"}■ (17)

Приведём решение задачи о минимизации величины (17) по всем подпространствам 7дг размерности N. то есть вычислим значения ипфимума величины (17) относительно всего множества приближающихся подпространств

7/( С ¿2 размерности N :

)р

Положим также

Основным результатом данного параграфа является следующая Теорема 2.2.2. Пусть весовая функция <р, заданная на отрезке [О, Л], является неотрицательной и непрерывно дифференцируемой. Если при некоторых а > 1, 1 /а < р <2 и любых £ € [0, к] выполнено неравенство

то при всех т, п € N и 0 < Л < 7Г/п справедливы равенства Х2п.т.о:м (¿2°>¿2) = Х2п-1.т.о.р,л (¿г"'-^г) = Еп (^"'(т.р, Л; V?), ¿2) =

= А2П (ь{2а)(т,р,Ь,\<р), ¿2) = А2П-1 =

Г '' 1 1/Р Г тр } ~1/Р

где А„(-) - любой из вышеперечисленных п-поперечников Ь„(-), (1п(-),

£„(•) и Пп(-)- Все п-поперечники реализуются частными суммами Фурье

В третьем параграфе второй главы приведено решение задачи (17) для класса И- функций / € Ь^ таких, что для произвольной неотрицательной весовой функции </>(£) (0 < < < Л, 0 < /1 < 7Г/п) выполнялось условие

(Л \ 1/Р / Л \_1/Р

У I /^(ОЛ < ы(Л),

где ш(£) - заданный модуль непрерывности, то есть неотрицательная неубывающая полуаддитивная на [О, Л] (0 < к < 7г) функция такая, что ы(0) = 0.

Заметим, что пераиспстио (16) указывает на то, что внеденный ныше класс W^ ¿Н~а отличается от класса

= {/е 40) < "(Л)}

только на некоторое постоянное число. Одним из основных результатов третьего параграфа второй главы является

Теорема 2.3.1. Пусть т G N, 1/а < р < 2, а в R+. О < h < п/п и выполнено неравенство (3). Тогда справедливы равенства

А2.-1 I2) = Ä2n =

п.

J ip{t)dt

i/p

/Н)

\o

mp

w(ft),

где A„(-) - любой из п-поперечников Бернштейна, Ьп(-), Гельфанда <f(-), Колмогорова d,¡(-), линейного <5„(-), проекционного П„(-).

Имеет место также следующая теорема, обобщающая теорему 2.3.1. Теорема 2.3.2. Пусть те N, а € R+, 1 /а < р < 2, 0 < h < п/п и выполняется дифференциальное неравенство (3). Тогда справедливы равенства

X2n-\,m,p,a,h[L2'\ ^2) = X2n,mlpa h{IJ2 \ L2) =

= *2п-1 (О- L2) = А2п La) ,

где А„( ) любой из перечисленных выше п-поперечников.

Следствие 2.3.2. Пусть т > 1, а 6 R+,p = 2/m, 0 < h < п/п, tp(t) = sin ni, 0 < t < h. Тогда справедливы равенства

X2n-l,m,2/m,íy,/i(b2")i ¿2) = Х2п.т,2/т,п,к(^2\ L2) =

= Л2„-1 (<1,^; L2) = X2n (w^mhH^L2) =

Л . n/iVm/2 1

В частности, из (18) при h - п/п имеем:

X2n-l,m:2/m.a.n/n(L2 \L2) = X2n,m,2/m,a,ir/n{L2 \ L2) = 16

= = А2п ¿2) =

= шв1и(1).

\у/2) па \п1

В четвёртом параграфе второй главы рассматривается экстремальная задача отыскания точных значений п-понерсчников классов функций И<т^(/1), У/т}р{Ь). Приводим полученный результат для класса ^„"¿(Л).

Теорема 2.4.1. Пусть тп € М, а € К+, 1 /а < р < 2 и для числа 1г выполнено условие 0 < пк < тт. Тогда при любом п € N справедливы равенства

А2„_, (Й^(Л),12) = А2п (ЙЗДЛ),^) =

/ пЛ/2 \

V 0 /

где А„(-) - любой из поперечников Ь„(-), ¿"(-^ ^п(")> Пп(-)-

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю академику АН РТ М.Ш.Шабозову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В изданиях из перечня ВАК:

1. М.Ш. Шабозов, Темурбекова С.Д. Значения поперечников классов функций из Ь2[0,21г] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона // Известия ТулГУ. - 2012. - Вьгп.З. - С. 60-68.

2. Темурбекова С.Д. Минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников некоторых классов функций // ДАН РТ. - 2012. - Т.55. - №4. - С. 281-285.

3. Темурбекова С.Д. О значениях поперечников функциональных классов н пространстве ¿2 // ДАН РТ. 2012. - Т.55. №11. - С. 853-858.

4. Темурбекова С.Д. Неравенство типа Джексоиа-Стечкина для обобщённых модулей непрерывности и поперечники некоторых функциональных классов функций в пространстве Ь2 11 ДАН РТ. - 2013. - Т.56. - №4. -С. 273-278.

5. Темурбекова С.Д. Верхние грани наилучших приближений некоторых классов периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций в ¿2 // ДАН РТ. - 2014. - Т.57. - №2. - С. 103-108.

В других изданиях:

6. Темурбекова С.Д. Минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона для некоторых классов периодических функций в Ь2. Материалы международной научной конференции „Современные проблемы математического анализа и теории функций", 29-30 июня 2012. - Душанбе: „Дониш", 2012. - С. 151-154.

7. Темурбекова С.Д. Точные верхние грани наилучших приближений некоторых классов дифференцируемых в смысле Всйля функций в пространстве />г[0, 27г]. Материалы международной научной конференции „Современные проблемы математики и её преподавания" - посвящёиной 20-летию Конституции Республики Таджикистан, 28-29 июня 2014. - Худ-жанд: Изд-во .,Меъроч", 2014. - С. 75-78.

Сдано в набор 11.05.2015. Подписано в печать 18.05.2015. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура литературная. Формат 60х841/1е .Услов. печ. л. 1,2. тираж 100 экз. Заказ №80.

Отпечатано в типографии РТСУ, 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Мирзо Турсун-заде - 30

H-89Z99K33

2015676811