Приближение функций обобщенной ограниченной вариации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСЛЙ ОРДЕНА ЛЕЙКА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОШЩ

И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В ЛОМОНОСОВА'

¿Леханико-матемаягчвски " факультет

На правах рукописи УДК 517.51

ЗОЛОСИВЗЩ Сергей Сёр^евот

ПГЛБЛИШЯЕ ФУНКЦИЙ ОБОЩКННОЛ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной стелет; кандидата физикб-глатекатических наук

Москва - 1992

Рт;

рГч.

* ГОСПг'.

олнена на кафедре теории функций и:функциональ-ного анализа мехашко-матег-атичаского факультета Московского государственного университета имени М.Б Ломоносова..

Каучнкй руководитель - доктор физкксн-матегатлческах

наук, профессор Е.И.Голубоь.

Официальные оппоненты: доктор фпзико-глатеглатячзских

наук, профессор В.А.Баскаков,

доктор физико-математических наук, профессор А.З.Ефимов.

Ведущая организация - ВоронелскиГ: государственны?:

университет.

Защита диссерташш состоится " 19 " ср&ЛрхлЗ 1993 г. час. яа заседании специализированного совета по

математике 1.053.05.04при Московском государственно!.: -¿згверситете е.:..-МЗ.Ломоносова по/адресу: 119899, ГСП,

Москва, "Ленинские горн, Ш^ьгеханико-матеглатпческий факультет, аудитория 1&-24.

С дассерташе£ ыо:жг ознакомиться в .библиотеке ыеханико-цатеыатического.факультета "ЮТ (Главное здааие,'14 этаж).

Автореферат разослал " \Э " ^-иЛесрЯ 1993 г.

Учаий секретарь спешализгроэанного совета по шгежтаке 1,053.05.04 щ^ШУ вокеор дазжко-г^тематических наук,

шш? Т.П Лукашенко

в

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКАРАБОТЫ;

Акту ал ь н о с т ь тем ы*,. Как известно, классической проблемой тьорки приблпяения функций является установление связи между наилучаика приблизенияг/я функции по некоторой с;:стэ}.:0 и степенью ее. гладкости..Последняя определяется обычно как порядок убывания модуля непрерывности з • некоторой пространстве-;. Первые .такие-теаретз, иасаициеся г^иб-тапэния: непрерывных функций алгебраическими а тригоно*-:.!зтричеек:!:.з: многочленам:,. были • установлены Джексоном л С.Н.Еерккейком в 1ЭП-1912. гг. .Затем-, отл результаты были особцеш: А.Зигмундом (1945), а- М.Ф.Гягланом

(1350), С.Б.Стечкпкк.; (1951) на случай "модулей непрерывности более высокого порядка и.простраяств. 1-р {с-л. [I]). П.¿.Ульянов (1964) и Б,Я.Голубоа (1924,, 1972). галучиля пря-' мне я обратные теоремы для 'Прйбдтзанйя-яварерёвшсс и-интегрируемых функций по системам Хаара-л. Уолша. А .3 ..Ефимовым (1266) двусторонняя- оценка- наилучшем-яршЗяййеяия по мультипликативным системам была яолучбяа..мдя функций, опреде- ■ ленных на локально кошактшсс аб елевых группах.. Подробнее об зтих результатах можно узнать: в [2] .

После работ А .Н .Колмогоров а (193Б, 1955", приближения по той зш иной с:: стеке некоторого класса функций стали-рассматриваться с такой точки зрения: дают ли они максимально возможный порядок аппроксимации? Вели порядок приближения то некоторой система совпадает- с. порядком •.злмогсровсксго- псяерзчника, то ответ утвердительный. По-поводу отих вопросов см^. £з]. ..

Диссертация посвягцека исследованию приближения Функций е пространствах Со я их обобщениях тригонометриче-.- .

скими и алгебраическими полиномами, а такге полиномами по системам Хаара, Уолпа и более обида мультипликативным системам. Пространства образуют шкалу сепарабельнкх банаховкх пространств, зависящею от действительного параметра рСИ,"*!, На концах шкалы находятся классические пространства Сг абсолзотно непрерывных.функций и Сою непрерывных функций. При "f<p<oo пространства Ср отличается от классически;;, функциональных пространств Lp и С немонотонностью корм;: и наличием естественного модуля непрерывности дробного порядка.

Пространства Ср (1<р<00 ) 'впервые появились в работе Л.С.ЗСкга [А] как сепарабельнке подпространстза пространств Vp, введенных ранее К .Вин ером [5] .. Систематическое развитие теория приближения в пространствах Ср получала б работе А.Д.Терехика, [д) ..Он ввел понятие ^дуля гладкости дробного порядка для функций из Ср и доказал аналог теоремы Джексона е Ср . Обратные теоремы типа теорем С.Б.Стечкина - А.Зг.Тимана били доказаны им при помощи теорем о связи ыезду дробны.; модулам непрерывности в пространстве Ср и модулем непрерывности целого порядка в пространстве Lp . Наконец, А.Л.Терехпн доказал аналог неравенства Бернптейна. /| t«. $ KL для тригонометрических' полиномов t^ порядка п, и аналог нера-венагва Никольского , 4,п-4/п

Все .эта результаты активно используются з диссертации.

Цель, р а боты. I. Получить аналога классических теорем Джексона и С.Н.Бернштейна дня приближения дробно-дафференцируешх функций тригонометрическими поли

намама» атгеб^аичеслпкг гвогочленама» а такяе полиномами по мультЕГОПЕтазнык састемаи з' ^отрикв пространства фуннцай ограниченно"; р-зарпадиа иди ограниченной р-фтуктушш.

2. Определить порядка £ -энтропии'и колтагоровского поперечника некоторых кот.:иактав .в пространствах ограниченной р-варпагли ш р-слуктуадаа.

3—НаГ.та достаточные условия аб сататнэсходило ста рядов .13 - коэффициентов Зуръе по сиетест Хаара,. тригонометрической систег.е и мулкгаадахатаБншз системам,; внраненйые в терминах модуле;: непрерывности дробного порядка али наилучших приближений в :.тетрила Ср .

'<! а то;г.х а я с с д е д о в. а ал я. В работе ■ используются -зтодытеорли приблизения функцзй. а также некоторые котлбпнаторнкэ результаты.

Н ауч н а я н а в г з н а. Все, полученные в рабо-тв результата. яаляяхся новыми.: Основнке иа' них сдедупцае.

1. Доказаны пряг&э ж обратные теореж тркйлаяеная дробных интегралов от функций из- Ср •• благодаря. чему -получена, конструктивная характеристика класса- (Л.)

пра некоторых ограндчеяиях':на.СЭ(5). ,

2. Получены точные по порядку оценка: £—энтропии и Колмогоров ского поперечника класса У*) в Ср -праг^о , 1<к<°° и кдассов У/*С Ц С0,1]) ,

(-Л,с°,и) в Ср£0,1] пра тем , -г<р<«»

(Определения зтих классов, дастся ниже) .

3. Установлены двусторонние,.. точные: пот .порядку, оценка наилучших приближений в, пространстве фуйкцай ограниченной р-вариадиа ист р-фтуетуаша полинамама по састэшм Хаара н Услша ала мультисликатиЕныи сис㈫ам, соответственно, чзрзз

— о — ,

подходящ:?, модуль непрерывности.

4. Получены достаточные условия абсолютно;: сходимости рядов из коэффициентов Фурье по системе Хагра,■ тригонометрической системе :и-мультипл2катиБНкк:сястёмам, •выраяенкые в терминах дробных модулей. непрерывности.

П р к л о-к. е е.и я. Работа носит -теоретический характер. Ее результаты шгуг набта пршиененге в задачах те эр::;: прпблм-лвния фунюЕй л теории вложения.

А п п р о б.а.и к я ра.б о т к. Результаты дпсоерта-шл докладывались в МГУ на сеьанаре по -.теории тшгококетрлче-сккх % ортогональных рядов (руководите™ П.Л.Ульянов, Ы.К. Потапов, М.И .Дьяченко),, на конфереЕЕОТ'. молодых ученых"ЛУ в 1991 году, на Воронежской зжней пколе по теоркг функпдй к дгфференшальнык.'уравнения» вДЭЗГ-г«-,.'на.Одесской летней школе по теоржфуякгкй в 1921т. и наб-к СардовскоГ: гш-ней, школе по теории, функций и пшйашевай в .1992 г.

П у б л е к а ц и е. По теме диссертации авторе:.- опубликовано тря работы, епдеок которых прлведек в конце, автореферата.

С т р у к т у р а д к с с е рг т ах г:п. Работа состоит из введекея,. двух глаь, содерхацгх .В .параграфов,' л сшска литературы.. -.Обдай объем .раЗоты кавтсдостос

■ страниц. Е^Олаографил .включает 64 .наименования.

:.соявг*шш'Ешяи

. Во введении: приведен „обзор.работ; по.изучаемой.теме», даны основные определения к сформуяпровады основные результаты диссертации.

Введем, некоторые, определения к обозначения. Пусть фувдфкя $сх> определена на. отрезке Ей.,60 "или

на всей'прямой,, являясь йщшодичаской»

разбиение отрезка ила периода. Вариационной суькой' р -го порядка (1&Р <°° ) ' разйиензв § . называется-величина

Дробный модуль.непрерывности задается равенством

где - тлог^-л^..^ . -дсяестзо .функций ^(ЗД для

¡соторшс < 00 -

обозначается- через Vp L<XtiЗ'í Ур впериодическом -случае).

гйюзесгво Хунтой - $СхХ - для .яогорнх."; ($Д)—О

при й-»О . обозначается СрСа,ёХ При 1<р<оа

:л-:ояества СрГ1,67 ( Ср) язлязтрся сепарабельнымк йана-хозкгли сростргнства'.и.хзтнослт.ельвО' .нор^а:.- - .

Пространство функций ограниченной "р-ва^дают V/» Со„бХ ( Ур ),. еденное К^Винероя ^ [5] * .такие полно по норме. Н . 1|р , но нэ сепарайельно. -'.

Пусть, дадее Т^ - множество тригонометрических пола-ноггоз степейё" не вкне Я" , а- Р^. . — множество алгебраиче- ' ския шогочдёйоЗ порягжа.яе-.в^ша .Я.» .Хогда,по определению

Отмеик теперь,.что' модуль непрерывности порядка К~4/р

задается формулоС Sup (Jl. (AT^.L) ,

где К=.ад ....

Для 2ТГ-периодической бункшк V 6 L СО, 27Г ) с кулевым средним значением по периоду (t jdL ) -интегралом ЗеНля- . Надя называется свертка. ^

где "t? (£) ^X^Crtffct -^¡r/z)iKx, oUfi.

Для функции V el € .) ИЕТБГраЛОМ." Е2.2На-^ИуЕИ--ГЗЯ порядка t> C> :называется функция

В более ларокок сшсдебуяемписатъ;? б (Vj, если

Функциейтш1аШдаданеп^ (C^tJZ )

ш назовем непрерданую^сзтоххг^зрастгп^ ей. (D7,4oJ } Функцию, ' V-ЗЗЯ .•КОТО-

РОЕ

о • g

классу Н^Б^д^Е Ш -о -..

.ЕеШ'-да'З^^^УзЙ^^^^хЧрк -"будем ппсать.

: Са £ v Наконец,.- если существует- Ut'i £>;. , такое - 'что при верш йеравенство CO(S)iSСЛ{?>//?%

то пишем : £ этахклассах см. С?J •

Еудемрассвштривать следупдае кяасск при 4<р<<*> ,

1'схсдя из этих определена::, зведек следующие компакты дгф-хэренцдруемых функций лЪ>0> <*£ 1Ц,1<р<сю,и>£Л').

= ?еНк%/р (М)}-,

Определения'- £—энтропии -ж кодшгоровского иодеречкика с{ а ( К /А') » такке ах свойства, мозно на£ти в РО. .

Переедем теперь к, лзлояешю результатов главы I. ОВе' § I содержит необходимые вспомогательные сведения. Следувдиг

' о*

параграф лосзяаен приближению в ,Ср функци® класса

" - ~ *

■■-VIх"*- Н ) ^готоваг.является

Теорема I. Еусть.ШС5К"^ДВ и 4<р< «> .

Тогда пр:г лкйом' ^^о »^¿й. .у'-сооааоаеавя

' п

- эквивалентны. При этом:импликация (2) ■=$>. (I) верна -при всех с*? .

Методами райоты Лоренца ХШ из теорема "Х--получается Теорема 2. Пусть-со , Ъ . К г р - таете *е, как

в теореме I. Тогда икеиг место порядковые равенства

ие( ), е-о Сз>

где

3§ 3 теорема.2 уточняется при t с.• Выясняется, что порядковые, равенства. (3) л (4) имзвт место яра té А// . « , /)<р чаэ ;г

a. тгхаэ при. «о - , k&.№ ,i<ft«» ж CCkSlfi& ft Ñk"i,p

3". § 4 доказывается пряшя.:теорема лра&шаения для фукк-iínáV представинш: з~ заде.: aíTerpaza P2í.iaí{a-J[nysiKiJia ог

пСрпт ;

Если л»;-.-1:»тс .дри.-зыполнении остальных условий теорагф. . ' . '

•г.-.

В качеств* сдвдгаэдя аз теорвш 3 получаатся точные по порядку оценки-' £■-эктрошнг. колжторовского поперечника-классов...

zzs: некоторых ох'райичеЕПях на со .

В § 5 доказываются анагопт некоторых теорем, известных непрвргзнгх iii¿EStíi, т.е. дггя- р»ао . Напргшр,

и -

Теорема 4. Пусть-vm, é А/,-^еСр .Тогда условия

при S^o,o<ck<¥n-^p,

т«г

где 1| 4 -1 * (£)¡ip s В (£ ) р эквивалентны.

~ри р=ов теорема 4 доказана Суноутп (1968). Глаза 2 состоит из трех параграфов. 3-первом дается определение функций Уолпга и Хаара, а танке мультипликативных систегл и понятия функций ограниченной р-флуктугцви. Определения . саглпх систем и их заняейаие - свойства ыозно найти в книге. И-.

Пусть функция fix.) • определена на СО,i) и -

последовательность, по которой строится кулькшликатпвная

система Тогда, обозначая » tn0...

j = LCj -'J/^n., ¿I^in.) »

- lio определению ( )

osc(£TmM^stcp ¡jcxi-ftyU Vp,m(f)= sup -azpi$,ib)^ \¡p (S)^ sup^

кг. r -ic?-Л -

Множество функций. для которых (£) < 00 ь

обозначается Ш1рЮ,н) а мнокество фувлшй, .для которых Vp(í)a->-D при п.-*«*? .., обозначается через1 MCpKVi)« 0tía этих пространства являются банаховыми.' относительно нор:ла

Величина.Vp,n*. (f ) называется: р-фгуктуащей функции £ , а последовательность — дкскретшаг хлдулем непре-

рывности функнии £ б пространстве MVp ÍD,l) . Понизив р-флуетуацаи введено Сневпрогл и Уотерканом (1971).

Наконец, если Л*^®К4*^> , то cj пз ■ MCpLP,i) называется.-строгай производной порядка*, от из , если ^T^-f).

Хтоо

■»Ъ

, Для случая , , это определение введено.

Бутпером.а Вагнером (1373),. в..общем случае - Хэ Зелпнош.(1983). 3 § 2. става Z изучаются приближения по системам Хаара и

Уолта. Зслг ( - надяучже. щайлаяения функ-

ции f^Cp СО, fl полиномам: по системе Хаара (Уоша), порядка на вше; tt по норке Ц ^ U p. . то справедлива Теорема 5. Пусть Л< р < &> * П. 6 М • • Тогда

и

& E"(f)p s 8 а, ш).

Теорьга 6.£яя схсдикостдряда ,, _

где - коэфришенты Фурьа-Хаара, 3>0 , достаточно

• сходимостарядаЧ^Р^0"- }

Зри. р—ов тесреш 5 к 6 принаадегат Е»Я»Галубозу (IS64). .. 3 § 3 изучаете;: приближения' функций £ £ М Ср Ю,

лодмнемаш по мулыипликатнзнсг системе I%ЗС , аЕ?е;са1ГЯе~

мой той яе последовательностью -{т^} , которой задается пространство МСрЕО^З . Пусть Е^ - наилучшее приближение функции £ В МСр№,1) полиномами порядка не выше И- по

Тогда имеет место

Теорема 7. Дтя А1Ср[0 р<<&, справедливы неравенства

Если-не <К , ¡&> о , £ и Т7^ принадлежат МСр10,1), то соотношения

^р (Т^и = О(^) /

эквивалентны.

Для случая £ в (-рСО(4) И< ) аналог первого

утверждения теоремы 7 прянздлезит А.В .Ефимову С1966), второго - Хз Зелину (1983).

Кроме того, в § 3 показывается, что условие сходимости ряда (6) при р^ 2. является достаточным для сходимости ряда (5), где - коэффициенты Фурье по муяьтипликатив-

ной системе • Аналогичная теорема верна для триго-

нометрической системы.

Автор выракает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Б.И.Голубову за постановку задач и вцнмдзде к работе.

СПИСОК ССЫЛОК

1. Тиыан А.Ф. Теория приближения функцай действительного переменного. М..: Физматгиз, i960.

2. Голуб ов Б Л., -Щапов A3., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолиа. М.: Наука, 1987.

3. Тихомиров З.Ы. Некоторые вопросы теории приближений; :.:.: Кзд-eo "ЛГУ, 1976. -

Lf<=<xn^ L.C. Ал йщшл£<±у о§ ±кл Höfae't ~type, ЪОКпЛCizà: WÎtk SialiUé Ult2.<jluiiCiL. //' Actcc Mcxtk . 495$. y.ÊÏ, P, 25*f-28Z..

5. Wiетл M. Tta qujxdia.ia: ¡хал.ихЬ<.оп. oj ex ^ictioio. ojid cU Fcxjalvc caefftcieitte, //' McLSSûchusety

±M<xtL. 12Ш V. 3. P. П ~9M-

6. Терехин ¿^.Приближение функций ограниченной р-вариацин// Известия.вунов, Математика.-1365. JL2.."С. 171-187.

7. Бари К.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций// Труды ММО. 1956. Т.5. С.483-522.

8» олиК cippfiaxuvuz-

, -Um..//ВиЖ. ÂMS\ 196&; Р.ЭОЪ-Slï.

СШССЖ ПУШИКЩЙЙ ПО.ТЕМЕДОСЕРТАШ

1.,.Золосизец С.С. Об. энтропии некоторых множеств функций ограниченной р-варкадии// йгвестия вузов, математика. 1992. й 2 (35.7). C.S3-85.,

2,. Волосивец С.С.'Об £ -энтропии,и поперечникам одного ком-дакта гладких функций в. пространстве.-функций ограниченной р-еа-риз!си// Вестник шоск. ун-та. Сер.1, Математика,. механика. 1992.. il 5. C.SI-84.

3. Волосивец С.С. Приближение функций ограниченной р-флук-. i-x полино:«ая со иуаы'ашшсажиБННм системам., Рук. два. в äsHZT.I 10.11.92 за 3.205. В22. .

Заказ 351 По писано к печати 4.01.93. Объем I леч.лпст. Тираж IOC экз. Типография издательства СГЗГ. 4IQ6QI, г.Саратов, ул. Астраханская, 83.