Приближение (пси, бета)-дифференцируемых функций операторами, порождаемыми прямоугольными А-методами суммирования рядов и интегралов Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

153

1 9.2

Академия наук Украины Ордена Трудового Красного Знамени Инсгпгуг математики

На правах рукописи

ХАРКЕВШ Юрий Итшодорович

Г1Р11ЕЯ1ИЕН11Е (Ц>-Д1Ш)ЕРЕНЩ!РУЕШХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРАМИ, ПОРОЯДАЕШПИ ПРЯМОУГОЛЬШМИ А -МЕТОДАМИ СУШ1РСВАНШ РЯДОВ и ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фязико-иатематчвоких наук

К; 1е в - 1?91

Работа выполнена в отделе теории функций Института математики АН Украины.

Научный руководитель

Официальнае оппоненты:

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор СТЕПАНЗЦ А.И.

д ок. т ор $ и з и к о-мат е м ат дч е о к их наук, профессор МОТОНЫЙ В.П.,

кандидат фнзико-математичааких наук

ЗАДЕРЕЙ H.H.

Институт прикладной математики а механики АН Украшш .

Защита диссертации ооотоитоя "¿1 " .9/ЛСлЯЬ-Я. 199.£ г.

в_чаоов на заоедании специализированного совета

Д 016.50.01 при Институте математики АН Украшш по адресу: 252601. Киев 4, ГСП, ул. Релина, 3.

С дпооертацией мокно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " А^р'с?/г199У г.

Ученый секретарь спвцпатлзированлого совета

ГУСАК Д.В.

уцг.гстгг

ж. ..

. а. и.

Отдол ссертаций

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена вопросам приближения функций из классов Ни и CjiHcj операторами, порождаемыми прямоугольными А -методами суммирования рядов и интегралов Фурье о целью получения для них асимптотических равенств.

Задача приближения заданных классов функций 711 при помощи фиксированного линейного метода, определяемого бесконечной треугольной матрицей чиоел А = Л("> , /г = С,2,... \ к= o,i,Z, состоит в исследовании величин

%(т,Ун(л))х & *ир , (I)

где (Y; •; _ полином, порождаемый некоторым линейным методом, X - нормированное проотранотво, 9ft с X - заданный клаоо функций.

В 1935 г. в работе А.Н.Колмогорова ( zur Grossenord der Restglioiles Fourieracher Reihen Mfferenziertarer Punktionen // Ann. of Math. - 1935. - J6, N°2. - P. 521-526 ) было yora-новлено, что

где Sn~ Sn(f'; •) - чаотные суммы Фурье, W - клаоо 2Я- -периодических функций f(-) , (г1 - 1 )-я производная которых абсолютно непрерывна, \\{ г $ ^ i и г € /V . Исследования А.Н.

Колмогорова были лродоляенн В.Т.Пинкевичем (0 порядке оогаточно-го члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле Вейля // Изв. АН СССР. Сер. маг. - 1940. -J_, № 5. - С. 521-528 ). Он установил, что соотношение (2) остаатся верным для любых г > О

( f Г(' ) - производные по Вайлю).

Следующий оущеогвешшй шаг в развитии эroit теория принадлежит С.М.Никольскому, обобщившему упомянутые результаты на

классы М'Нсо и , г >0.

Указанные исследования А.Н.Колмогорова и С.М.Никольского положили начало новому направлению в теории приближения функций. Их результаты распространялись на все более общие клаооы функций; а также на различные методы оу/лмирования рядов Фурье.

Важные результаты в этом налравлении были получены Б.Надем, С.А.Теляковокям, С.Б.Стечкиным, А.В.В$имовым, Н.П.Корнейчуком, В.К.Дзядыком, А.И.Степанцом, В.П.Моторным и др.

Подавляющее большинство интересующих нас результатов для

класоов С^ На, я МН& было получено для А-методов, определяющихся треугольными чиоловыш матрицами А . Что же касается матриц прямоугольных , го здесь, по оущеотву, изве-отны только результаты Л.И.^ауоова (Линейные методы оуммирова-ния рядов Фурье о заданными прямоугольными матрицами. П // Изв. вузов. - 1956. - 55, № 6. - С. 3 - 17), который рассматривал задачу типа (I) на классах И/^ НаС, гъО, & (о &оС ^

Диссертация поовящена распространению результатов Л.И.Бау-

оова на более широкие клаосы функций - ^л^со > ,

А У и и № и л *

Цель работ. I. Изучение верхних граней уклонений кяаооов (у -дифференцируемых функций от операторов, лоровдаемых прямоугольными А -методами сумдшрованая рядов Фурье.

2. Применение полученных результатов к конкретному методу суммирования - методу Абеля - Пуасоона.

3. Распространение найденных результатов для периодического случая на клаооы (у )-дифференцируемых функций, заданных на воей ооя.

Общая методика выполнения исследовании. Основным методом •решения задач является изучение интегральных представлений уклонении (у )-дифференцируемых функций от лшейннх операторов.

Новизна результатов и их научная ценность. Все основные результаты диссертации, являются новыми и'представляют теоретический интерес. Основные результаты работи состоят в оледующам.

1. Получены асимптотические равенства для верхних граней уклонений функций из классов CJHco операторами, порождаемыми произвольными прямоугольными А -метода/ли суммирования рядов,

2. Найдены оценки сверху для уклонений функций из классов Lj^ H(¿t упомянутыми выше операторами в интегральной метрике.

3. Получены асимптотические равенства дая верхних граней уклонений функций из штосов Cj На) операторами Абеля -Пуассона.

4. Вае перечисленные результаты дая периодического олучая распространены на классы Cj¡H<¡j и L^Ha)? функций, заданных на всей действительно? оси.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть также попользованы в ряде вопросов приложения теории приближений функций к задача/л практики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах отдела теории функций Института математики АН Украины и на Республиканской школе молодых ученых: "Математические методы в естествознании: теоретические и прикладные аспекты" (Алушта, 1990).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [I - 3] .

Структура д объем рабой ■ Диссертация состоит из введения, двух глад и списка цитированной литературы, содержащего 85 наименований. Общий объем работы - 148 страниц машинописного текота.

СОДЕШНИВ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий исторический обзор по теме работы и изложены основные результаты.

В первой главе изучается величины (¿ (CjHu в

плане получения дая них асимптотических равенств при ,

а также получения оценок сверху для величин <S (Lp Ha!i t.

В §1.1 сформулированы определения, извеогные результаты и доказаны вспомогательные утверждения, которые используются в дальнейшем.

Будем пользоваться следующими введенными А.И.Степанцом определениями и обозначениями (см., например, Степанец А.И.Классификация и приближение периодических функций. - Киев: Наукова думка, -1987. - 268 с. ).

Пусть f(oc) - суммируемая Zfi- -периодическая функция

( f BL(0,29-)), ряд Фурье которой имеет вид

i+TLoTcWt+b»*** = И^кФ*-) = «s [Л.

K=i к=0

Пусть, далее, Ц>(К) - произвольная фиксированная функция натурального аргумента и Jb фиксированное действительное чиоло. Предположим, что ряд

L трек) 1-W) **(**+f1))

К si

являетоя рядом Фурье некоториТ суммируемой функции. Эту функцию

обозначим и назовем (<P,J3)-производной функции f(x),

а множество функций, удовлетворяющих таким условиям обозначим

LJ, . Подмножеотво непрерывных функций из Ljj обозначил

Пуоть 73Z - некоторое подмножество функций из L(0,ZSh).

Тогда если f S L^ , и,кроме того, S , то будем

говорить, что ffx) принадлежит классу • Подмяожесг-

во непрерывных функций из ¿Jf 97t обозначим CjÇTiZ • Если

ffll оовпадает о множеством h/co ~ непрерывных Zfl- -перио-дичеоких функций Çffx) , удовлетворяющих уоловига

\<S(*i)-<8(*t)\ é ^(1 **-*21.) VXf^eH, (3)

где а>(з:) - некоторый фиксированный модуль непрерывности, то в этом случае клаос О.У'МЬ будем обозначать CÏHco

При (у(к)-к", г>0, классы СрНа> совпадают о хорошо известными классами ИНм .

Далее, обозначим через Л = множество функций

натурального аргумента, зависящих от параметра 5" , изменяющегося на некотором множестве Вл с 2 , содержащем по крайней мера одну предельную точку; Ел . Заметим,

что в олучае, когда & € N , числа являют-

ся элементами прямоугольной числовой матрицы А ~ [ } ( п, к = 0,1,2,,.. , %с") = ± для ваех « ). С помощью множества

( каждой функции поставим в соответствие

ряд

егэО

—- Ы0) + П. VМ *Х+ Ш ш кх)- (4)

к = 1

Предположим, что ряд (4) при каждом А$-(к) £ Л , &( Ел , является рядом Фурье некоторой непрерывной функции, которую обозначим У Ъ) Л). Основная задача первой главы ооатоиг в -отыскании асимптотических равенств дая величин

С^со

Здесь &с - предельная ючка множества . В дальнейшем рассматриваются такие . мя которых £^ имеет предельную точку &д - ■

По функции Л.&(К) определяем функцию непрерывного аргумента V , О <: =*=> , - так, чтобы X ) =

Пусть ц/ (V-) - определенная и непрерывная при всех V ъ ± функция, которая в точках V = К принимает значения у(К) , а

*■(#) = = Л,; у) = -

(5)

- непрерывная функция, определенная на [О, & ] произвольным образом, лишь бы она была непрерывной при воех -г*-? 0 , обращалась в нуль в начала координат и ее преобразование Фурье <£г(Ь) было оуммируемым на /С .

Кроме того, в § 1.1 приводами интегральное представление для уклонений

используемое при доказательстве некоторых вспомогательных утверждений. Приведем одно из них.

Лемма 1.1.7. Пусть Ъ(и-) = ЦС») + и/(г) , где Ц(ъ-) и М("У) - непрерывные функции, преобразование Фурье которых С$(Ь) я <М(~Ь) , ооответственно, оуммируемы на £ . Тогда имеет место аоимлтотическое равенство

В - %м)с =

где

, о £ ь б зь,

■йтметим, что аналогичная лемма для классов , г* О,

была доказана С.А.Твляковоким, а для гааооов И/р Н°

г>,0, й, 0&Ы.<1, - Л.И.Бауоовнм.

В § 1.2 дается следующее определение. Определение. Пусть функция Ъ(у-) задана на ["О, ю) , абсолютно непрарпвна и 9-(оо) = 0 . Будем говорить, следуя Л.И.Бауаову, что Ч-(гг) 6 ( оо(Ъ) + Ь ), если про-

изводную ^Сгг) в тех точках, где она не существует, можно доопределить так, что вое интегралы

,3/2

Ь (к)I' д I^I

О-О

5>

+

3/2

сходятся (последний как несобственный). Положим, далее,

//«у*,*) = иф(\т\'*\т\] + ^ ггсо^)\с1т\ Ш 0

Уг. з/г

Доказавши в § 1.2 лемма 1.2.1 - 1.2.3 попользуются при доказательстве следующего утверждения.

Теорема 1.2.1. Пусть <£(■&) £ , Ш ^(0) = 0 и для модуля непрерывности со ~ Ш(Ь) , удовлетворяющего условиям х

=®(й}(х)) (в,

х5 7т1^ = (7)

х 1

Тогда для сходимости ннтаграча

о(г

необходимо и достаточно, чтобы оходилиоь интегралы

I Ml Ъ»)I £ ; ^| f .

о

При этом справедлива оценка

- ij J) £ (s>»f-V), ^[t/i-rl-W»')] )

о к

где ¿£,(/1,5) - функция, введенная С.А.Теляковоким посредством равенств : " \ I Д + В | oit = £4 ,

* л

В случав, когда вмесго'функции fO взята CO(t) = t

( cL^i) аналогичная теорема рассматривалась в работах O.A. Теляковского и Л.И.Бауоова.

§ 1.3 поовящен нахождению асимптотических равенотв для величин <§ (CjHa , У$(л))с • 3деоь доказаны теоремы I.3.I. -

1.3.5. Приведем две из них.

Теорема I.3.I. Пуоть t(V-) - непрерывная функция, задаваемая в виде (5) и такая , что;ее преобразование Фурье 4- (t) суммируемо на воей числовой оои. Если функция ^(t) сохраняет знак на воей числовой оои, то при для любого

модуля непрерывности Cû = (О(Ъ) имеет меото асимптотическое равенство

= S *>№)dt ' 0<6*î-|ti ■

Теорема 1.3.2. Пусть '¡¡■(ir) - непрерывная функция, определяемая соотношением (5), и ее преобразование Фурье <£■ (i) суммируемо, а <=*=>

5 £(Vc(t = 0.

где

Тогда еали функция t(t) сохраняет противоположные знаки на полуинтервалах <х>, о] и [ О, ) , то при 8" для

любого модуля непрерывности со = со(Ь) имеет меото оценка

ZiCfiHv , У6(Л))С * 4>(S)sJ(4,fP) 0(<Г>№Ч,*)),( 8 )

где sf fr) = - | Ut)\dt я j> Ct) -

функция, определяемая посредством равенств \ dt =

С0 " 0

= - S e-ft; dt . <рсх)

Если же CO(t) - выпуклый модуль непрерывности, то

в ( 8) имеет меото знак равенства.

В § 1.4 полученные выше результаты применяются к конкретному методу суммирования, а именно, к методу Абеля - Пуас-оона. Этот метод определяется суммирующей функцией =

где =—-— Г-+1-0. Тогда, согласно (5), имеем

епг

Т(&) ' &

(1 - e-^JfCS-tf) ±

ч>т ' * * s- ■

(9)

Имеют меото оледующие теоремы.

Теорема 1.4.1. Пусть ш полнены оледующие уоловия:

I) уме шс ; 2) 3-

непрерывная функция, задаваемая в виде (9) и такая , что ее , преобразование Фурье сохраняет знак на воей числовой

оои; 4) для выпуклых модулей непрерывнооти 0) = йЗ(±) имеют меото соотношение (6) и

$ Hi) ■&№)"<*>)- <ю>

х

■о имеет место асимптотическое равено1

х

х

Тогда при & имеет место асимптотическое равенство

где ^«у,.«-) =

Теорема 1.4.2. Пусть выполнены оледуицие условия: I) ш еМе\ 2) УМЬЧи(£) 3) Ъ(ь)

- непрерывная функция, задаваемая в виде (9) и такая, что аа преобразование Фурье сохраняет знак на всей числовой оои; 4) дом выпуклых модулей непрерывноеги со = со (Ь) имеют ивою соотношения (6) и (7). Тогда при &^ имеет мзото асимптотическое равенство

,%«))с = А? + фф

Теорема 1.4.3. Пусть выполнены следующие условия:

I) те Ше ; 2) &

- непрерывная функция, задаваемая в виде (9); 4) для выпуклого модуля непрерывности выполнены соотношения (6) и (|0). Тогда при <5°-* =>о имеет маото асимптотическое равенство

8 (с;н», = ± || />)||с

где ^'0(х) - непрерывная функция, имеющая ряд Фурье

К = <■

Следует отметить, что теоремы, аналогичные теоремам 1.4.11.4.3 для классов Г><- ранее были доказаны Л.И.Бауоовым.

В § 1.5 получены оценки оверху для величин

£ М», - = ?р. \\№-V >

гда Ни = [ 5 ±С0(Ь)}.

* 1 •

Существование геоной связи между величинами в равномерной интегральной метриках уотановил С.М.Никольокий. Эта исследования были продолжены С.Б.Стечниным и С.А.Теляковским. Позне В.П.Моторный показал, что для произвольных методов ощмировааия Ъ!л(Л) имеет меото неравенство

ЩХХ^ « WW ,

а также указал на неоколько случаев, когда оно обрашаетоя в точное или же асимптотическое равенство.

В § 1.5, продолжены исследования в этом направлении на класоах функций LßH&i • Доказаны несколько теорем, являюшя-

хоя распространением результатов §§ 1.3 и 1.4 на интегральную метрику. Приведем одну из них.

Теорема 1.5.3. Пусть выполнены оледутощие условия:

I) да Q Ше ; 2) b(tf) - непрерывная функция, задаваемая в виде (5) я'такая, что ее преобразование Фурье §-(t) суммируемо и функция - I л „ I

'top \Ъ(Ь)\, ь>о,

хъЬ

мр t<o,

х - ь

- оуммяруема на множестве |fr| > fl ; 3) оходятоя интегралы

0 о

Тогда при 8" —>■ для модуля непрерывности а> = (t) (t) , удовлетворяющего (6) и (7), имеет место

- Jz ДО J У4!"')- ^(W-vj-Wt-v))) <

•0-(i)iF + юотт«,,*».-

-im =

Во второй главе изучаются приближения функций из классов С А Ни) операторами, порождаемыми прямоугольными А -методами оуммировааия интегралов. В § 2.1 дается определение клао-

оов С^Нео (ом., например, Степанец А.И. Клаооы функций, заданные на воей действительной оои, и их приближения целыми функциями. Т// Укр. мат. журн. - 1990. - 42, № I. - С.102-112).

л

Пусть и- множество функций Ц(х) , заданных на всей действительной оои и имеющих конечную норму || <у || ~ ,где при ^ р

/ __ /р

-31-

|<Г|* - й

й IIУIIа & ||«ПМ = <№ • 1ак М.

Пуать, далее, - функция, непрерывная при воех

Ъ 0, и В - фиксированное действительное число,

ф(±) = £ 5 УМ т (*■£ +

о

р и> р р

Тогда через ь^ обозначим множество функций / 6 , почти вовду на И предетавимых равенством

{(•х) = й0 + [)

— ехз

в котором Й0 - некоторая постоянная, О? 6 , а интеграл понимается как предел интегралов по оимметричвым расширяющимся промежуткам. Боли / 6 ^ и при этом С? 6 71,где

Ш. - некоторое подмножество из , то полагаем ^ 6

е ¿у»

. Подмножества непрерывных функций из и

ЦрЖ обозначаются С^ и С^. соответственно. Если 71 совпадает о множеством Исо непрерывных функций I удовлетворяют« условию (3), то в этом случае класс будем обозначать Н(ц • Функцию ($Сх) называют (^.^-производной функции ^(х) и

- с/

обозначают % (х) .

В качества приближающих агрегатов для ^ 6 ¿Д Ж будем рассматривать функции

— оо О

где Л = - семейство функций, непрерывных прл всех V*

* 0 , зависящих от действительного параметра б" .

Здесь приводится также интегральное представление для величин

= {(х) - ИрЦ Л )

на ооновании которого доказаны теоремы 2.1.1 - 2.1.3, являющиеся аналогами теорем 1.3.1 - 1.3.3 для периодического олучая. Приведем одну из них.

Теорема 2.1.1. Пуоть - непрерывная функция,

задаваемая в виде г ~ ^

> >

(¿- 4>(&у) г (п)

ч-М = е-рМ =

у(в-) ' V* о- >

и такая, что ее преобразование Фурьо Ф-(Ь) суммируемо и сохраняет знак на всей числовой оои. Тогда еоли оходитоя интеграл

-оо и О

то при в" — о-э для любого модуля непрерывности (о - со(£) имеет меото асимптотическое равенство

2 . у№(л))с = т ¿ю. «■). (12)

В § 2.2 получена оценка сверху для интеграла {СО ,6-), на основания которой устанавливается асимлтотйчеокоа разложение правой части равенства (12).

В § 2.3 применяются полученные в §§ 2.1 и 2.2 результаты к конкретному методу суммирования: найдены асимптотические равенства для верхних граней уклонений функций из класса С^Ноз операторами Абеля - Пуассона и доказаны теоремы 2,3.1 - 2,3.3.

Сформулируем одну из них.

Теорема 2.3.2. Пусть выполнены следующие условия:

I) Шс ; 2) Щи-)ь--1 при е Г±, ;

3) Чг(гг) - непрерывная функция, задаваемая посредством соотношений Г и - е-*) .

\ у (6") > * •

= %.(*) = е-ПУ(*У) ^ ±

и такая, .что ее преобразование Фурье оохраняег знак на

всей числовой оси; 4) для выпуклого модуля непрерывности о)= = выполнены соотношения (6) и (7). Тогда при •=-<= имеет меото асимптотическое равенотво

В (§Х". г/,(*>)с = +

§ 2,4 поовящан распространению результатов §§ 2.1 - 2.3 на интегральную метрику. Здесь получены оценки оверху для величин

Ар "Щ

1 4 ев -Я-

Основные положения диооертации опубликованы в следующих

работах.

1. Харкевич Ю.И. О приближении функций клаоаов С^Нсо лине-йшми ореднпмя их рядов Фурье. - Киев, 1991. - 59 о. -(Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 91.8 ).

2. Харкевич Ю.И. Приближение классов (У )-дифференцируемых функций линейными методами суммирования рядов Фурьз // Исследования по теории приближения функций. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1991. - С. 110-121.

3. Харкевич В.И. Приближение (V )-диффервнцируемых функций, заданных на всей осп,операторами, порождаемыми лрямоугольны-ми А -методами суммирования интегралов. - Киев, 1991. -

39 с. - (Препр, / АН УССР. Ин-т математики; 91.3В).