Приближения действительных чисел корнями гладких функций специального вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕШЯ НАУК БССР ИНСТИТУТ ШЕМАТИКИ

На правах рукописи

МАРКОВИЧ НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ

ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ КОИШШ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

0I.0I.C6 - математическая логика, алгебре и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК. - 1990

Работа вышлнепа в Институте математики АН БССР

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник ЕБРНИК Василий Иванович

Официальные оппоненты - доктор физико-матештических наук,

доцент ШТЬКИН Дкитрий Алексеевич

кандидат физико-матештичоских наук, доцент ЖЕЛУДЗВИЧ Франц Фравдевич

Ведущее учреждение - Куйбышевский государственник педагогический институт иы.В.В.Куйбышет

Защлта состоится " о " ^ Л- 1990г. в

1С

часов

на заседании специализированного совета Д 006.19.01 при Институте математики АН БССР по адресу: 220604, Шнск-ГСП, ул.Сурганова, II. . '

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН БССР.

Автореферат разослан " & " Л Я 1990г.

Учений секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук

В.И.Янчевский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Настоящая работа посвящена изучению приближений нуля значениям! гладки функций специального вида.

Пусть ц- натуральное число и Д- ( 4 £ С б п-) являются (»m) - раз непрерывно дифферендаруешш функциями действительной переменной х". Обозначим ^ = С ^, .¿i*/,... , fnl*)) , Г= /аск|, ... ,

а = (qo ... а^). Классическая задача метрической

теории диофантовых приближений состоит в определешш точной верхней границ w>ofдля которых неравенство

1С f t а) 1 < (I)

где /над: (Icf,|t... t /с^Цдяя почти всех х имеет иесконеч-ное множество решений в цзлых рациональных векторах & .

В случае, если для п'очта всех (в с;шсле мэры на Г ) точек многообразия Г* выполняется равенство vb =* и- , то такое многообразие Г называется экстремальным.

Шмидт ' доказал первую теорему об экстремальных многообразиях, заданных общиьа аналитическими условиями. ^

Теоро щ А. Пусть Г- (к1-3) t yi-J))- кривая в CR ( где параметр 1 - длина дуги кривой, причем третьи производные x"'(-i) <¿'"(4) существуют-и непрерывны, а кривизна кривой

-kitJ= Х'.<1)у"с4)- V

для почти всех (в смысле линейной меры Лебега) -i отлична от нуля. Тогда кривая Г является экстремальной.

Спринджу1с , с помощью разработанного им для доказательства гипотезы Малера метода существенных и несущественных областей,

(I)-:—:-:-1--

Schmidt Vi. Metriohe Satze über aimultane Approximation abhan-gieer Brossen // Monat ah. Math.--19'64:-Vol.63,II 2.-S.154-166.

Спрлндкук В.Г. Метрическая теория диофантовых приближений. -М.: Наука, 1977. - 144с.

значительно упростил доказательство и усилил-теореьу А..

Теорема Б. Пусть /< (*), являются вещественными

триады непрерывно дифференцируемыми функциями, определенными на интервале X } причем

Ы) ^Ы - Ф о (2)

для почти всех (в смысле линейной меры Лебега) к б 1. Тогда для почти всех (в смысле линейной мэры Лебега) х в I при любом V? £ неравенство

1и4/«с1+ а4/4£хЛI « Р"'

где

Р = Он-

имеет не более конечного числа решений в целкх рациональных

с,, аг.

Он же предложил проанализировать вопрос об экстремальности кривых Г= (£(*), /*^^ при условии, что

сЫ ( {Ум , ¿¡¡ь г) * О (3)

почти везде.

Отметим, что условия (2) и (3) являются непосредственным . обобщением предположения Шмидта об отличии от нуля (почти везде) кривизны плоской кривой.

Естественно возникает врпрос будет ли многообразие Г -( » • • • экстремальным, если п. - мерный аналог

условия (2) не имзет ьвсто, т.е. не выполняется условие, что вронскиан производных

сШ ( , .4 6 к К ) * О (4)

почти везде.

Шмидт , наложив определенные условия на арифметическую структуру многообразия Г показал, что существуют.экстремальные пряше в /Я"" для любого п.. Очевидно, что для прямой в 1Я условие (4) не имеет место, а наоборот определитель в (4) тождественно равен нули.

Теореш В. Пусть Г - пряшя в К > кь 1 ( Г* С * л , с*п.ч* + ^ЛМ,где или или (?<,...,

плохо аппроксимируемые числа. Тогда многообразие Г экстремально.

Сравнение теорем А и В показывает, что экстремальность шюгообразия Г может быть обусловлена как аналитическим, так и арифметическими свойствами многообразия Г. Иногда и те и другие свойства являются определяющими.

Как следует из теореш В многообразие (х, л >о является экстремальным, если - плохо аппроксимируемое действительное число. Еще Кубилвс^' показал, что штогообразие ( х, хгг) экстремально. Последние два результата естественно приводят к рассмотрению многообразия ( х, *< ) в К3-

Еще в 1967 году Сприндаук* ' отмечал, что предложения типа гипотезы Эйлера являются обидим свойством алгебраических полей различной природы. Им же в ^ говорится, что многие результаты из ыетричесхсой теории трансцендентных чисел переносятся на многочлены с целыми алгебраическими коэффициентам из фиксированного кольш алгебраических чисел 1сонечной степени

з у

(°) Кубилюс Й.П. О применении штода академика Виноградова

к решению одной задачи мзтрической теории чисел // Докл. АН СССР. - 1949. - Т.67. - С.783-786.

(4) Сприндяук В.Г. Проблет Шлера в метрической теории чисел.-ГЛн.:• Наука и техника, 1967. - 194с.

с '

( ) Сприндаук В.Г. Достижения и проблемы теории диофантовых приближений // ЛИ. - 1980. - Т. 35, № 4. - С.3-68.

над полем рациональных чисел. Берник^, Голубе ва^ рассматривали даофантовы приближения нуля значениями многочленов с целыми алгебраическиш коэффициентами, принадлежащими кольцу целых чисел-мнимого квадратичного поля ÜK - <Р Ct£d).

Поэтоьу теорема 0.2 представляет, собой интерес как вариант задачи Малера для поля ¡К t [ IK : 4}] а к < <=*> в случае, когда степень многочлена равна 2.

В ряде задач штештической физики (см., например, '8') встречаются задачи, когда коэффициенты о.- в (I) имею? более сложную структуру. В главах III н IУ диссертации и проводится исследование таких задач.

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение приближений нуля значениям! глад131х функций специального вида.

Методика исследования. В работе используется мзтод существенных и несущественных областей, методы, основанные на свойствах множеств нулевой меры Лебега, а также общие методы метшческой теории приближений зависимых величин и общие методы аналитической теории чисел.

Научная новизна. Все результаты, приведенные в диссертации являются новыми. В отличии от классической задачи приближения нуля значениям! линейной комбинации функций с целыми рациональными коэффициентами, рассматриваются приближения, когда

(ь) Берник В.И. Мзтраческая теорема о приближениях нуля многочленам! с коэффициентам! из мшмого квадратичного поля // Тезисы докладов и конференции молодых учешх ИЗМ АН Лит.ССР; посвященной 25 съезду КПСС "Применение математических методов в физике и вычислительных .системах" (Вильнюс, 15-17 апреля 1976г.). - Вильнюс, 1976. - С.5.

С) Гслубева Т.В. О приближении 'пуля' многочленами над мнимым^ квадратичным полем для Почти всех комплексных чисел // Тезисы докладов всесоюзной конференции "Теория трансцендентных чисел и ее приложения'' (2-4.февраля 1983г.). - МГУ, 1983.-С.28-29.

(8) Пташник Б.И. Некорректные грашгчные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. - Киев: Наукова думка, 1984. - 264с.

коэффициенты имеют иную природу: целые алгебраические '(глава П), зависящие от параметров (главы Ш п 1У). В главе I доказана экстремальность одного вырожденного многообразия в' /7?\ Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в дальнейших исследованиях по метрической теории приближений зависимых величин, а также при исследовании ряда некорректных задач математической физики.

Основные пологошгя, выносимо на защиту."

1. Получен новый класс экстремальных вырожденных многообразий в трехмерном евклидовом пространстве.

2. Исследован вариант задачи Малера для многочленов второй степени с целым! алгебраическими коэффициентами, принадлежащим! фиксированно^ конечному расширению поля рациональных чисел.

3. Установлен точный порядок аппроксимации нуля зпаченияш скалярного произведения трехмерных вектор-функций специального вида.

4. Изучены приближения нуля значениями скалярного произведения четырехмерных вектор-функций специального вида.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на всесоюзной конференции "Теория чисел к ее прилояеши" (Тбилиси, 1985), на семинаре "Теория чисел"'(Минск, 1Э85-1Э88гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы з работах [1-5] . у

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех ?лав, заключения и списка литератур;, содержащего 63 названия, 'абота изложена на 101 страшще машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальное^ теьвтихи дассер-тацш и целесообразность используемых методов, дан краткий обзор исследований других авторов (§ I), описан метод существенных и несущественных областей В.Г.Сприндкука (§ 2), приведены формулировки основных результатов.

В первой главе диссертации мы доказываем экстремальность многообразия (*, ы. х ,хг), если J.- действительное число, имзющее тип аппроксимации не более 3. В начале главы приведена формулировал теореш 0.1.

Теореш 0.1. Пусть ci- такое действительное число, что неравенство

U,+ tx*\< (maxlltj, lij))'5

имеет не более конечного числа решений в целых рациональных

Тогда для почти всех (в смысле меры Лес'ега в К ) действительных чисел х неравенство

I 2 . -3-f.

I «j vr + -f «Jx + а, | <с л

имеет нэ более конечного числа решений в целых рациональных а,- С «об ¿é Ъ) при лубом а-= Дгак (la.0|,... ,

В силу определения экстрешльного многообразия получаем, что многообразие

Г = ■ С х, х t х2)

экстрешльно.

В § I приведены вспомогательные лемш, а § 2 посвящен • доказательству теоремы 0.1.

В главе П нашей диссертации изучаются приближения нуля значениями многочленов Pcx) второй степени с целыми алгебраи-ческимн коэффициентами принадлежащими фиксированному конечному расширению IK поля рациональных чисел следующею вида

Ptxj = f>t Lû>) К • + lui) x-t p.eZ) (5)

в точках x€ Ш при величине Ач .«о ■ где ¿5 = t wK)-

фундаменталъный базис поля IK , L (К '■ <Q] а к ъ л. t

p. twj = p¿i + .... 4 и>к ( 06 U Л ) , f>¿. с- Z

( eüí А , ji ^ ) . ¿ = ...../paJ) .

В начале главы приведена формулировка теореш. Теореш 0.2. Для почти всех действительных чисел х (в сшсле линейной меры Лебега) неравенство

i о i о +

I Pc*/ I < *

имеет не более конечного числа решений в многочленах Pí*j вида (5) при любом £ > о.

В § I приведены вспомогательные лемма. В § 2 приведено доказательство теореш 0,2. В главе Ш диссертации рассматриваются приближения нуля значениями скалярного произведения трехмерных вектор-функций /(>7= И С

ctjol+ Л2 , я + cf„ ) t т.е. значениями функций следующего вида

Fe*,.О = L<ts¿ + *t,:) f2t*>+ (atu + at a0

в точках (x,u)(r при возрастании величины ¿ =

= rttav ( |а.|, la^l). Доказана.

Теореш 0.3. Пусть £ ш , сх; - вещественные триады непрерывно диффереицируешо функции, определенные на интервале причем

ючти везде на -с пробегает интервал J2.Тогда для почти icex точек с* .о t Г., * Т2 неравенство ■

I Fc*, .¿M <•

меет не более конечного числа решений в целых рациональных а0|.._ ау при любом, t > о..

В § I на основе общих метрических соображений упрощаются

условия теоремы 0.3, пршедена формулировка теоремы 3.1. В § 2 приведет вспомогателыше утверждения. Доказательство теоремы 3.1 приведено в § 3.

Глава 1У диссертации посвящена изучению приближений нуля значениями скалярного произведения четырехмерных вектор-функций

¿и! =

+ анр + С1Ъ ^ а1 ¡г 4 й.а)г

т.е. значениями функций вида

+ я, )/<<«)+ л+«.,/!+ «„

в точках (<Л.) ¡г ) <= при возрастании величины £ =

= »ъсие ( ... , I а^Л).

Теорема 0.4. Пусть £ху (<г$сЧ I)- четырежды непрерывно дифференцируемые функции, определенные на интервале ^причем

почти везде на.Х^)«4 и р пробегают, соответственно интервалы 1г и Г3 . Тогда для почти всех точек неравенство

1 р Сх, Л , р ) | ^ А' ^

имеет не более конечного числа решений в целых рациональных ^■о , ... , ^ц при любом '/з .

В § I приводится упрощение, на основе общих метрических соображений, предпосылок теоремы 0.4. Формулируется теорема 4.1 В § 2 приведены вспомогательные лемш. Доказательство теоремы 4.1. приведено в § 3.

_ Ю -

В заключении сформулированы две гипотезы,- частные случаи которых доказаны в главе П и главах Ш, 1У.

• Автор выражает благодарность своему научном/ руководители доктору физико-математических наук В.И.Бергагку за чуткое руководство и постоянное внимание к работе. Автор также искренне и глубоко признателен академику АН БССР Спринджуку В.Г. (1936-1987гг.) за постановку задач (главы I, И), постоянное внимание и помощь.

Работы, опубликованные по теш диссертации

1. Маркович H.H. Экстремальность одного многообразия в R // Изв. АН БССР, сер. фкз.-мат. наук. - 1985. -й 3. -С.18-21.

2. Маркович Н.И. Приближение нуля значениями квадратичных полиномов с целыми алгебраическими коэффициентами // Тезисы докладов всесоюзной конференции "Теория чисел п ее приложения (Тбилиси, 17-19 сентября 1985г.). - Тбилиси, 1985. -C.I56-I57.

3. Гаркоглч H.H. О приближениях нуля значениями квадратичных многочленов // Изв. АН БССР, сер. фпз.-мат, наук. -• 1903. -JA 4. - С. 18-22.

1. йаркович H.Ii. Приближения действительных чисел корнями гладких функций, зависящих от одного или двух параметров. -Ш., 1988. - 34с. - (Препринт / АН БССР. Кн-т матештики; & 30(340)).

>. Борник В.И., Маркович Н.И. Диофаггговы приближения с коэ^тфи-'циентами, зависящими от параметра // Докл. -АН БССР. - 1988. -Т.32, JS II,- С.965-967.