Об оценках меры иррациональности некоторых значений логарифмической функции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Башмакова Мария Геннадьевна

ОБ ОЦЕНКАХ МЕРЫ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ НЕКОТОРЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

01.01.06 —математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 ЯН0 2ьУ2

Москва - 2012

005009471

Работа выполнена на кафедре "Высшая математика" факультета информационных технологий Брянского государственного технического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент САЛИХОВ Владислав Хасанович

Официальные оппоненты: доктор физико-математическх наук,

доцент МАТВЕЕВ Евгений Михайлович

кандидат физико-математических наук ЗЛОБИН Сергей Алексеевич

Ведущая организация: Московский государственный

университет имени М.В.Ломоносова

Защита диссертации состоится 2012 г. в /^часов на заседа-

нии диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119991, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан " 4Р

Учёный секретарь диссертационного совета Муравьёва О.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации.

В настоящей диссертации получен ряд новых оценок снизу приближений некоторых логарифмов рациональными числами и квадратичными иррациональностями.

Напомним, что мерой иррациональности или показателем иррациональности ^(7) вещественного числа 7 называется нижняя граница чисел II таких, что для любого е > 0 существует <?о(е) > 0, такое, что неравенство

выполняется для всех целых чисел р, q при q > <70 (s)-

Аналогично можно определить меру квадратичной иррациональности числа7^2(7)1 которая фактически описывает приближение данного числа корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами.

В настоящее время найдено достаточно много оценок снизу мер иррациональности значений аналитических функций. Примерно с 80-х г. прошлого века основным способом получения таких оценок стало построение на основе интегральных конструкций малых линейных форм, имеющих "хорошие" оценки знаменателей коэффициентов. Поведение коэффициентов линейных форм и интегралов исследовалось при помощи асимптотических методов, знаменатели линейных форм оценивались с использованием различных схем сокращения простых чисел. Интегральные конструкции и методики оценок были предложены такими авторами как М.Хуттнер1, Дж. Рин2, Е.С.Рухадзе3, М.Хата4'5'6, Л.В.Данилов7и др.

Данная диссертация относится к тому же направлению. Важную роль при получении новых результатов сыграла симметричность подынтегральной функции. Симметризованные интегралы и ранее использовались разными авторами, например, в работе Дж.Рина2, но особенно повлияла идея

lM. Huttner. Irrationalité de certaines intégrales hypergéométriques.// 3.Number Theory. - 1987. - v. 26. - P. 166-176.

aRhin G. Approximants de Padé et mesures effectives d'irrationalité. // Progr. in math. - 1987. - Vol. 71. - P. 155-164.

®Рухадзе E.A. Оценка снизу приближения ln 2 рациональными числами.//Вестник Московского университета.- Сер. 1, Математика, механика. - 1987. - № 6. - С.25-29.

4Hata М. Irrationality measures of tbe valúes of hypergeometric functions. // Acta Arithm. - 1992,- Vol. LX. - P. 335-347.

5Hata M. Rational approximations to jr and some otber numbérs.// Acta Arithm. - 1993.- Vol. 63, .V>4 - P. 335-349.

eHata M. C2-saddle method and Beukers' integral. //Trans. Amer. Math. Soc. - 2000.- Vol.352, Jftl-2.. P.183-202.

7Данилов Л.В. Рациональные приближения некоторых функций в рациональных точках.// Математические заметки. - 1978. - Том 24, №4. - С.449-458.

7-- >?_/J_£

Р

симметричности на результаты работ В.Х.Салихова8'9 и работавших под

его руководством Е.С.Сальниковой10'11 и Е.Б.Томашевской12'13. Ими ис-

Р

пользовались интегральные конструкции вида / Я(х)ёх, где выполнено

И(2а -х) = Я(х). Арифметические свойства таких интегралов позволили улучшить множество предыдущих результатов, так в статье В.Х.Салихова9 была получена оценка показателя иррациональности числа тг, наилучшая до настоящего времени: ц(тг) < 7.6063... В данной работе используется другая идея - инвариантности интеграла относительно замены параметра х на

1 х'

Цель работы.

Целью настоящей работы является получение оценок снизу для рациональных приближений некоторых значений логарифмической функции а также приближений их квадратичными иррациональностями.

Научная новизна и значимость результатов работы.

В диссертации получены следующие основные результаты: • Построены рациональные приближения чисел вида

• Построены рациональные приближения чисел вида \/к arctan 4=, Jfc€N,fc>l. к

• Улучшены ранее известные результаты для меры иррациональности чисел V31п(2 + л/3), ч/21п arctan

Кроме этого усилена оценка меры иррациональности числа л/51п и впервые получена оценка меры его квадратичной иррациональности.

вСалихов В.Х. О мере иррациональности 1пЗ.// Доклады академии наук РФ. - 2007.- ТЪм 417, Jft 6. - С. 753-755.

9Салихов В.Х. О мере иррациональности числа Jr.// Успехи математических наук. - 2008. - Том 63^3. - С. 163-164.

Сальникова Е.С. Диофантовы приближения log2 и других логарифмов. // Математические заметки. - 2008. - Том 83,№ 3. - С.428-438.

11 Сальникова Е.С. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса.// Чебышевский сборник. - 2007.-Тои 8,№ 2. - С. 88-96.

12Томашевская Е.Б. О диофантовых приближениях числа jr числами из поля Q(v^3).// Математические заметки. -2008.- ТЪм 83JO 6. - С.912-922.

"Томашевская Е.Б. О мере иррациональности числа ln5+ § и некоторых других чясел.//Чебышевсквй сборник. -Т.8.Л» 2,- С.97-108.

Основные методы исследования.

В работе используются такие асимптотические методы, как метод перевала, метод Лапласа, основные идеи метода Чудновского-Рухадзе-Хата сокращения простых чисел а также другие методы теории функций комплексной переменной и трансцендентных чисел.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут быть интересны специалистам, изучающим иррациональность чисел, а также использованы при изучении теории диофантовых приближений и разработке спецкурсов по теории чисел, преподаваемых в госуниверситетах для студентов математических специальностей.

Апробация работы.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на VII международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященной памяти профессора А.А.Карацубы (Россия, г. Тула, ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 11-15 мая 2010 г.), на научно-исследовательском семинаре по теории чисел механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова (26 ноября 2010 г.), на заседаниях кафедры "Высшая математика" Брянского государственного технического университета.

Публикации.

Результаты, полученные в диссертации, отражены в 4-х печатных работах, список которых приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации.

Диссертационная работа состоит из четырёх глав, первая из которых является введением, библиографии (46 наименований) и приложения. Главы разбиты на разделы. Общий объём работы составляет 91 страницу.

Краткое содержание диссертации.

1. Содержание главы 1.

В первой главе, являющейся введением, изложена краткая история вопроса, приведены основные методы, использованные в исследовании, и перечислены результаты, полученные в диссертации.

В основе диссертационной работы лежат две основные интегральные конструкции. В 2008 г. в работе К.Виолы и В.В.Зудилина14 была предложена интересная интегральная конструкция, инвариантная относительно замены параметра х на но не позволявшая получить новых оценок меры иррациональности. Модификация этой конструкции, улучшившая её арифметические свойства, оказалась более эффективной.

Рассмотрим интеграл вида

i

In(r,rbr2,r3;b) = J fn(b,x)dx, (1)

о

где

fn(b,x) =

x2rin(x2 — ¿г)2г2"(ж2 - |)2r3"(l - х2)2гп~2г1п~2г2п~2тзпь2гп+2г2п+гзч+1 ~ : (Ь2 - х2)2™+!

r,neZ+,i = 1,2,3; ri + r2 + r3<r, nSN, ЬеС,|6|>1.

В подынтегральную функцию К.Виолы и В.В.Зудилина здесь введены дополнительные множители. Множитель (х2 - р)2га" улучшает арифметические свойства интеграла, поскольку не только гарантирует малость функции в окрестности нуля, но при специальном выборе b служит для компенсации некоторых множителей, возникающих в знаменателе. Множители (х2 - |)2гз" и х2т1П оказались менее значимыми и, как показало исследование, не улучшали результатов. Поэтому для получения оценок использовался частный случай интеграла 1 при п = г3 = 0, который обладает нужными свойствами и проще по форме.

Справедливо представление

m=Mb++Аль+\) in

"Viola C.,ZudUin W. Hypergeometric transformations of linear forms in one logarithm. // Rinct. Appro*. Comment. Math - 2008. - Vol 39,№ 2. - P. 211-222.

где Rn(t),Aln(t) е Q(i), которое доказывается в главе 2 диссертации. Таким образом, в качестве параметра интеграла можно рассматривать такие числа, что b + \ € Q. Выбор параметров вида Ь = у/к + и b = (Vк + 1 + \/k)i, к е N, к > 1 позволяет применить эту линейную форму для получения новых оценок.

Второй метод, рассмотренный в работе, использует интегральные конструкции Р.Марковеккио15 и Ю.В.Нестеренко16. В работе Р.Марковеккио 2009 г. была получена новая оценка меры иррациональности числа In 2, усилившая результат Е.А.Рухадзе3, остававшийся лучшим в течение 20 лет, и предложен способ оценки показателей иррациональности и квадратичной иррациональности чисел вида In а € N.

Метод Р.Марковеккио имеет в своей основе двукратный несобственный комплексный интеграл, и для исследования асимптотики в его работе применялся метод перевала в С2, который оказался довольно сложным. Некоторое время спустя результаты Р.Марковеккио были подтверждены Ю.В.Нестеренко более простым способом, с помощью однократного комплексного интеграла. Незначительная модификация интегральной конструкции Р.Марковеккио и соответствующего интеграла Ю.В.Нестеренко, симметризующая их относительно замены х на позволила, как это было сделано и в первой части работы, использовать в качестве параметра некоторые иррациональные числа.

Исследование линейных форм проводилось с помощью основного утверждения, принадлежащего М.Хата5.

Лемма 1.1 Пусть n е N,7 6 1, ln = gn7 +рп, где qniPn е Z, 7-иррационально;

lim - In |gn| = er, limsup - ln l/J < -r. t > 0.

га-00 n „_oo n

Тогда ß(-y) <14--.

7"

Для оценки квадратичной иррациональности использовалось аналогичное утверждение, также доказанное М.Хата6.

Лемма 1.2 Пусть 7-вещественное иррациональное число, не являющееся квадратичной иррациональностью, pn,qn,rn £ Z, qn ф 0 для любого

16Marcovecchio Я. The RJiin-Viola method for In 2.// Acta Aritm. - 2009.- Vol. 139,№2. - P. 147-184

1аНестаренко Ю.В. О показателе иррациональности числа In 2.// Математические заметки. - T.88,.V»4. - 2010.- С.550-565

neN. Обозначим en = qnl - pn, ôn = qnl2 - r„. Пусть

lim — In |g„| = a, max (lim sup — In |e„|, lim sup — ln |(5n| ) < -r,

n-»oo П \ n—»00 и n—»oo П J ■

при а,т > 0. Тогда /¿2(7) < 1 + ■

T

2. Содержание главы 2.

'Во второй главе диссертации построены оценки показателя иррациональности для чисел вида и \/к arctan , к € N, к > 1. Рассмотрим интеграл

rm_ }(x2-vYn(l-x2Yn-mbTn+m+ïdx

Ш-J (bî-®î)™+i > W

о

где r, s G N, r, s— чётные, r > s. Данная конструкция является частным случаем интеграла (1) при п = Г3 = 0.

Важную роль в дальнейших рассуждениях играет следующая лемма, позволяющая использовать свойство симметричности относительно замены х на К

1-1 Лемма 2.1 Пусть R{x) е Q(ar) и R{x) = R(-). Тогда R{x) = R(x + -),

где R(t) € Q(t).

Следствие Пусть R(x) € Q(x),R(x) = -R(-).

ТЫа Л(гг) = (х - -)R(x + -), где R(t) б Q(i).

Пользуясь леммой 2.1, можно показать, что справедливо равенство

где Rn(t),Äin(t) £ Q(t).

Возьмём теперь в интеграле (2) Ь = -/к+у/к — 1, к 6 N. Имеет место следующее представление

Лемма 2.3 Для любого к € N, к > l,b = Vk + у/к -1, существуют v(k), а(к) 6 R+, такие что

-J—f ГШ _ D , î 1 In4^"^1 В À G г

2y/k ~ п+ n2Vk Vk-l' ün'Ane£-

Здесь и далее ¿м означает наименьшее общее кратное чисел 1,2,.., М.

Применение леммы 1.1 для этого представления позволяет доказать следующую оценку:

Лемма 2.4 Пусть г, s е N, чётные, г > $\ к е N, к > 1; и(к) определяется в соответствии с леммой 2.3 и выполнено: —К — 1пМ > О,

de М = max | (£)' (1 - ;Г (^¿Г' ■ К = 1п2'

Тогда справедливо неравенство:

U \/k +1\__ tf+(r + s)ln(\/£ + VF=T)

VKln-r=- <1--ТГ~Г~\—77-•

y/k-l) K + lnM

С помощью леммы 2.4 были получены такие новые результаты: Теорема 1.4 Справедливы следующие оценки меры иррациональности:

1.ц(у/3 Ln (2 + VS)) < 12.451818... 2./i(V21n й 11.650036...

Первая из оценок усиливает предыдущие, принадлежащие Дж.Рину2 /i(V31n(2 + V3)) < 17.207... и Е.С.Сальниковой11: /х(\/31п(2 + л/3)) < 12.356.. Наилучший результат для второго числа ц In ¡^fry) < 15.659.. ранее также принадлежал Е.С.Сальниковой11.

При b = т + Vrn? — 1, m 6 N, т > 1 с помощью этой интегральной конструкции можно получать оценки для логарифмов рациональных чисел, так как в этом случае b + - = 2тп и In = \ In но здесь результаты оказались хуже предыдущих. Так, выбор т = 3 даёт возможность оценить меру иррациональности числа In 2. Однако, перебор параметров не дал лучшего результата чем р(1п2) < 4.1344..., что хуже уже имеющихся оценок, наилучшая из которых на данный момент fi(In 2) < 3.5745... принадлежит Р.Марковеккио15.

При m = 2 оценка составила /х(1пЗ) < 15.115.., что намного уступает результату для этого числа, полученному В.Х.Салиховым8 /¿(1пЗ) < 5.125... с помощью симметризованного интеграла.

При m = 4 результат составил м(1п§) < 7.5779.., тогда как в работе Е.С.Сальниковой10 было доказано /х(1п |) < 5.651.. Результат Е.С.Сальни-

ковой обусловлен специализированной конструкцией интеграла, позволяющей более точно приближать именно выражения вида 1п

При т = 5 получена оценка /и(1п|) < 3.458..., а результат /х(1п§) < 3.331.. доказан в работе А.Хеймонена, Т.Матала-Ахо и К.Ваананена17.

В качестве Ъ можно взять и комплексное значение. Использование интегральной конструкции (2) при выборе Ь = (у/к + 1 + у/к) г позволяет доказать следующие утверждения.

Лемма 2.7 Для любого к е N,6= (у/к + 1+у/к)г существуют и(к),ос(к) 6 К+, такие, что

■ ¿^^ = А1п± ап*ш + Вп, Аы, Вп 6 Ъ.

Лемма 2.8 Пусть к е N. к > 1; г, в € N. чётные, г > в,. такие что * > (у/к + 1 - у/к)2 и выполнено: -К - ЫМ > О,

где М = (1 - К = г + и{к) 1п2, и{к) определяется в

соответствии с леммой 2.7. Тогда справедливо неравенство:

М Йагйап4=1 < 1 ~ К+<Г + а)ЧЛ+1 + Уа) Л у/к) - К + \пМ

Выбор Ь = (3 + \/1б)г в этом случае позволяет получить оценку, усиливающую результат Е.Б.Томашевской13 ;и(агй;ап < 6.635.... Теорема 1.5 Справедлива следующая оценка:

¿х(акЛап^) < 6.199967...

о

Прочие результаты, полученные с использованием леммы 2.8, оказались не столь интересными, например при Ъ = (л/7+\/8)г оценка составила /|(\/7агйап^) < 4.48028..., что несколько хуже предыдущего результата ц{^/7 агйап < 4.0298..., приведённого в статье18.

"Heimonen A.,Matala-Aho T., VSSnlnen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. - 1993. - Vol, 81. - P.183-202,

"Heimonen A.,Matala-Aho T„ ViSnSnen K. An application of Jacobi type polinomio to irrationality measures. // Bulletin of the australian mathematical society. - 1994.- Vol. 50, №2. - P. 225-243

3. Содержание главы 3.

В работе Р.Марковеккио14 была предложена интегральная конструкция, позволяющая получить оценки меры иррациональности и квадратичной иррациональности логарифмов рациональных чисел вида In а € N. Рассмотрим интеграл

ioo -too

т(х) = [ [ _shtmxb±^h±1dsdt_

J J (1 - s)h+k~m+1(s— t)'l+m-k+1(t ~ x)k+m~h+1' ' '

s=0 t-0

где x 6 К, 0 < x < 1; /г, /г, ш € и удовлетворяют условиям: h + к - m >0,т + к - h> Q,m + h - к >0,k + m- h - нечётно. Будем также полагать, что к < h < m ъ к + тп = 2h.

Данный интеграл получен изменением интеграла Р.Марковеккио. В нём уменьшено количество независимых параметров (в оригинальной конструкции их было 5) и добавлен множитель, симметризующий интеграл относительно замены а; на -.

X

Утверждение 3.2 Имеет место равенство:

Т(-) = Т(х). (4)

Пользуясь свойствами, доказанными в работе Р.Марковеккио, можно утверждать, что справедливо представление

Т{х) = и{х)\ 1п2(-) - У{х) 1п(-) + ]У(х) + т([/(х) 1п(-) - У(х)),

¿XX X

где и(х), У{х), Ш{х) е 13(х). Из леммы 2.1 и утверждения 3.2 также следует, что

Щх) = Щх + -), У{х) = (х- + -), \¥(х) = Щх + -).

XX X

Таким образом, в качестве х можно использовать некоторые квадратичные иррациональности, такие что х +

Результат Р.Марковеккио для 1п2 спустя некоторое время был подтверждён Ю.В.Нестеренко16 более простым способом. Внесём в интеграл Ю.В.Нестеренко изменения, соответствующие Т(х).

Рассмотрим интеграл

где

ИМ - (Я + ~ + (Ь ~ [Я + Ьп\-

W V (6-4о)п Д (b — 2а)п J { bn J

(я + 2ап + + (Ь - 2а)п) (я + an + 1)...(<г + (Ь - а)п) (я + 1)...(с + Ьп)

((Ь-4а)п)! ({Ь — 2а)п)! (Ьп)!

¿-вертикальная прямая вида 3?? = С, —(Ь—2а)п < С < —2an — 1, проходимая снизу вверх, х > 0,а; ^ 1, n-натуральное число, a,b € N, такие что Ь > 4а, Ьп + 1—чётно.

Этот интеграл отличается от интеграла Ю.В.Нестеренко в частно-

_Ьп±1 1

сти множителем х г , симметризующим его относительно замены х на поскольку для него также справедливо равенство

х

В главе 3 диссертации доказывается, что интегралы Т(х) и Y(x) совпадают при а = h — k,b = h + m— к с точностью до комплексного сопряжения.

4. Содержание главы 4.

В главе 4 модифицированная интегральная конструкция Ю.В. Несте-ренко используется для получения оценок меры иррациональности логарифмов некоторых иррациональных чисел. С этой целью рассматривается интеграл (5).

Имеет место следующее представление

Y(x) = ~Р(х) In2 х + Q(x) lnx- \R{x) - iri(P(x) Ых- Q{x)).

Z ¿t

Кроме того, поскольку для данного интеграла справедливо равенство

которое доказывается в главе 3 диссертации, то согласно лемме 2.1 можно утверждать, что

Р{х) = Р(х + i), Q{x) = (® - -)Q(x + -), R(x) = R(x + -),

тяеР(х),$(х),Й(х) е(${х).

Исследование линейных форм

1т(У(х))

У = -Р(х)1пх + Я(х), (6)

1т(У(х)). 1 „ 1

у 1п * - = + ¿Щх), (7)

даёт возможность оценивать меры иррациональности и квадратичной иррациональности 1пх.

тз & + 1 — \/2к+ 1 , 1 2к + 2

Возьмем х =---,к е N. тогда х + -= + е О.

_ к ж 2

Применение леммы 1.1 к линейной форме (6) позволяет в этом случае

получить оценки для чисел вида у/2к + 11п | + при к = 1 и к =

2/, I 6 N. В частности, доказаны были следующие неравенства Теорема 1.6 Справедлива следующая оценка меры иррациональности:

М%/31п(2 + л/3)) < 11.91852...

Данная оценка, улучшающая результат, полученный для этого числа в главе 2, достигается при к = 1, а = 1, Ь = 7. Улучшение происходит благодаря сокращению знаменателей, которого не происходило в предыдущем случае.

Теорема 1.7 Справедлива следующая оценка меры иррациональности: цЦп у/51п < 3.71331...

Этот результат, полученный при к = 2, оказался наиболее важным для данного метода. Величина ранее исследовалась разными

авторами. Так, А.К.Дубицкасом19 было получено /¿(тЛПпС^)) < 4.5, а М.Хата4 доказал неравенство < 4.4937... Этот резуль-

тат был улучшен в работе Е.С.Сальниковой11 и составил р(ч/51п(^)) < 4.456... Отметим, что новая оценка также получена при а = 1,6 = 7 -

"Дубицкас А.К. Приближения логарифмов некоторых чисел.//Диофантовы приближения. - Ч.2.- М.:Изд-во Московского университета. - 1986. - С.23-34.

тех же значениях параметров, которые были использованы в интегральной конструкции Ю.В.Нестеренко.

Других новых результатов рассматриваемая конструкция не дала. Так как дополнительный множитель х~^ при увеличении к существенно ухудшает асимптотику, то дальнейшие оценки значительно уступают уже имеющимся.

Для к = 6 наилучший результат был получен при а = 4,6 = 37 и составил (1 (уй\п < 11.286..., а для к = 8 (а = 4, Ь = 39) доказано

Р (\/Шп - 18.937.., и с увеличением к результаты быстро возрас-

тают. Между тем, метод рассмотренный в статье А.Хеймонена, Т.Матала-Ахо и К.Ваананена18, для оценки значений даёт неравенство

^(\/131п < 3.86..., и с увеличением параметра в (при нечётных в)

значения оценок, напротив, убывают.

Заметим, что при к — 4 можно получить результат Р.Марковеккио для 1п 2. При нечётных к > 1 применение данного метода оказалось невозможным из-за больших знаменателей.

Совместное исследование линейных форм (6),(7) при помощи леммы 1.2 позволяет оценить меру квадратичной иррациональности 1пг. Здесь был получен единственный результат при к = 2.

Теорема 1.8 Справедлива оценка меры квадратичной иррациональности: \11 < 33.0094...

Мера квадратичной иррациональности для этого числа ранее не оценивалась.

Для остальных чисел указанного вида меру квадратичной иррациональности оценить этим способом не удалось, поскольку знаменатели дробей оказываются слишком велики.

Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук В.Х.Са-лихову за интересную тему и постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации.

1. Башмакова М. Г. О приближении значений гипергеометрической функции Гаусса рациональными дробями. // Математические заметки. — 2010. — Том 88,№6 — С. 823-835.— 0.81 п.л.

2. Bashmakova M.G. Estimates for the exponent of irrationality for certain values of hypergeometric functions.// Moscow Journal of Combinatorics and Number theory. - 2011.- Vol. 1. - P. 67-78. - 0.75 п.л.

3. Башмакова M. Г. Оценка мер иррациональности логарифма "золотого сечения".// Чебышевский сборник. — 2010 — Том 11,№1 — С. 47-53. — 0.43 п.л.

4. Башмакова М. Г. Два подхода к оценке меры иррациональности значений гипергеометрической функции с полуцелыми параметрами.// Вестник Брянского государственного технического университета. — 2011. —

т.- С.114-120. - 0.43 п.л.

Подп. к печ. 23.12.2011 Объем 1 п.л. Зак. № 178 Тир. 100 экз.

Типография МПГУ

61 12-1/474

Брянский государственный технический университет

На правах рукописи

БАШМАКОВА Мария Геннадьевна

Об оценках меры иррациональности некоторых значений логарифмической функции

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент САЛИХОВ Владислав Хасанович

Брянск 2011

Оглавление

1 Введение 4

: .1.1. .Основные идеи и методы .... -^угг. 4

1.2 Вспомогательные утверждения . . . ....... ....... 11

.1,3 Результаты диссертации ............................16

2 Рациональные приближения значений гипергеометрической

, ■ функций 2^(1, 23

2.1 Общая интегральная конструкция. . . . . .... . .' ..... 23

2.2 Основной интеграл и его свойства......................28

2.3 Оценка меры иррациональности \/31п (2+УЗ). . ... .: V. . . . 37

2.4 Оценка меры иррациональности л/21п ...... • • • • 40

2.5 Оценка меры иррациональности чисел вида л/к агс1ап . . 42

2.6 Оценка меры иррациональности агс1ап ............45

3 Интегральные конструкции Р.Марковеккио и Ю.В. Несте-ренко и их соответствие. 47

3.1 Интеграл Р.Марковеккио................................47

3.2 Интегральная конструкция Ю.В.Нестеренко . . . ...........52

3.3 Симметризация используемой интегральной конструкции. . 57

4 Оценка мер иррациональности чисел

вида уЪкТТ 64

4.1 Основная интегральная конструкция. ............ . 64

4.2 Исследование асимптотики. ........................66

4.3 Оценки знаменателей. ...........................73

4.4 Оценка показателя иррациональности \/31п(2 + у/3)..........76

4.5 Построение оценок при к — 21......................78

4.6 Оценка показателя иррациональности у/Ъ 1п ^^...........79

4.7 Оценка показателя квадратичной иррациональности числа

л/бЬ^- • " ' ' • • • ■ • ' ' • • • ■ • • •••••• • • • • • • 80

Литература 85

Приложение г 91

Глава 1

Введение

1.1 Основные идеи и методы

Одним из направлений теории диофантовых приближений является изучение арифметических свойств значений аналитических функций, в частности, приближение их рациональными дробями. Для всякого иррационального числа можно определить количественный показатель, характеризующий меру его близости к рациональным.

Определение 1 Мерой иррациональности (или показателем иррациональности) /¿(7) вещественного числа 7 называется нижняя граница чисел ¡1 таких, что для любого е > 0 существует <7о(£) > 0, такое, что неравенство

Г)

V

7 - ~ Ч

выполняется для всех целых чисел р, д при д >

Аналогичным образом можно определить меру квадратичной иррациональности числа ¡12(7), которая фактически описывает приближение данного числа 7 квадратичными иррациональностями.

Определение 2 Мерой квадратичной иррациональности /¿2(7) вещественного числа 7 называется нижняя граница чисел рь таких, что для любого е > 0 существует до(е) > 0. такое, что неравенство

-¡1-Е

\l-U\>q~»

выполняется для всех чисел U, являющихся корнями квадратного уравнения с целыми коэффициентами, не превосходящими по модулю q, при q>q0{e).

Точная величина показателя иррациональности известна для немногих чисел, для ряда чисел найдены только оценки сверху для /¿(7). В данной работе рассматриваются два новых метода построения таких оценок для некоторых значений гипергеометрической функции Гаусса:

гг.7 ьV ШЬК»- Г^ I ^ - ^'b"ldt ( ' ' ' n!(c)n -r(b)r(c-b)J (1 -zty ~

п-и 0

при выборе а=1,6=|,с=|. Заметим, что [4, формула (16), с. 110],

ZP/1 1 3 2ч 1,1 + 2

Fil, -, -; z ) = — ln-.

v '2'2' ' 2г 1-z

Арифметические свойства значений гипергеометрической функции изучались различными методами, начиная с работы К.Зигеля 1929 г. [44]. Современное состояние теории диофантовых приближений в той части, которая имеет отношение к данной работе, определяется работами Ф. Аморозо и К. Виолы[27], А. Хеймонена, Т. Матала-Ахо и К. Ваананена[35]-[36], Л.В. Данилова[5], Дж. Рина[40]-[41], М. Хата[32]-[34], М. Хуттнера[37]-[38], Г.В. Чудновского[30]-[31], Р. Марковеккио[39], Ю.В. Нестеренко[10], В.Х. Салихова[15]-[17] и др. Примерно с 80-х г. прошлого века основным

способом получения оценок мер иррациональности стало построение на основе интегральных конструкций малых линейных форм, имеющих "хорошие" оценки знаменателей коэффициентов. Поведение коэффициентов линейных форм и интегралов исследовалось при помощи асимптотических методов, знаменатель коэффициентов линейных форм оценивался с использованием различных схем сокращения простых чисел.

В настоящей работе применяется эта же схема, такие асимптотические методь1 как метод Лапласа, метод перевала и стандартная схема сокращения простых чисел, использовавшаяся в работах Г.В.Чудновского, Е.А.Рухадзе и М.Хата. В основу работы положены интегральные конструкции В.В.Зудилина и К.Виолы [46], Р.Марковеккио [39], Ю.В.Нестеренко [10]. Важной особенностью рассматриваемых интегральных конструкций является инвариантность интегралов относительно замены параметра х на К В интегральной конструкции К.Виолы и В.В.Зудилина это свойство изначально присутствовало, и применяемая модификация этого интеграла, улучшившая арифметические свойства, сохранила его. В интегральной конструкции Р.Марковеккио и соответствующем интеграле Ю.В. Нестерен-ко именно внесение этого свойства позволило получить новые результаты.

Симметризованные интегралы и ранее использовалась разными авторами, например, в работе Дж.Рина [40], но особенно повлияла идея симметричности на результаты работ В.Х. Салихова[15]-[16] и работавших под его руководством Е.С.Сальниковой[18]-[20] и Е.Б.Томашевской[21]-[23]. Ими использовались интегральные конструкции вида

Р

Я(х)(1х, где Я(2а — х) — Н(х).

а

Хорошие арифметические свойства таких интегралов позволили улучшить множество предыдущих результатов, как в вещественном, так и в комплексном случаях. Так, в статье В.Х.Салихова [16] была получена оценка числа 7г, наилучшая до настоящего времени: /л(-7г) < 7.6063... В данной работе используется симметричность другого вида.

Метод исследования, применяемый в первой части настоящей работы, использует идею К.Виолы и В.В.Зудилина. В 2008-м году в работе этих авторов [46] была приведена интересная интегральная конструкция, инвариантная относительно замены параметра х на ^ и позволяющая строить оценки меры иррациональности для чисел вида 1п , Ь € С.

В работе К.Виолы и В.В'.Зудилина был рассмотрен интеграл

гг. , } х2а(1 - х)ь(1 + х)ь 7 , ,

= 2 } (1.1)

о

1 Г (а + |)Г(6 + 1) _ / 1 1 3 1

Д2с+2 Г(а+Ь+|) ^ '2' 2' А2/'

где а, 6 > 0, с > 0-целые числа, А- алгебраическое число, |А| > 1. Как было показано, данный интеграл представляется в виде линейной формы с

рациональными коэффициентами от 1 и 1п ^—-. Был также отмечен тот

А ~Ь 1

интересный факт, что при определённом соотношении параметров линейная форма будет иметь рациональные коэффициенты даже при некоторых иррациональных А. Справедливо включение [46, формула (43)]

(12а24Ь+2(\ + \Л2 - 1 )2ШН{Ъ - а, 2а, 26; А + лЛ2 - 1) € Ъ 1п -- + Ъ,

А + 1

здесь и далее в,м означает наименьшее общее кратное чисел 1,.., М.

Данная интегральная конструкция, тем не менее, не давала новых результатов при оценке мер иррациональности, так что в неё потребовалось внести некоторые усовершенствования. Рассмотрим интеграл вида

1

1п(г,г1,г2,г3]Ь) = ! ¡п(Ъ,х)(1х, (2.1)

о

где

1п{Ь, х) =

х2ггп^х2___ _ х2^2гп-2г1П-2г2п-2г3пу2гп+2г2П+гзп+1

(¿2 _ я2)2гп+1 _ '

Г,п = 1,2,3; г1 + г2+г3<г, пеК, Ъ е С, |6| > 1. (2.2)

В подынтегральную функцию интеграла (1.1) здесь введены два дополнительных множителя. Множитель (х2 — р)2г2П улучшает арифметические свойства интеграла, поскольку не только гарантирует малость функции в окрестности нуля, но при специальном выборе Ь служит для компенсации некоторых множителей, возникающих в знаменателе. Множители (ж2 — 1)2гзП и х2г1П оказались менее значимыми и, как показало исследование, не улучшали результатов. По этой причине для получения оценок использовался частный случай интеграла (2.1) при г\ = г3 = 0, который

оказался проще по форме и более эффективен:

( "Р) -(2-10>

О

где г, б е М, г, й- чётные, г > з. Справедливо представление

/п(6) = Ёп(Ъ + 1) + А1п(Ь + 1) 1п

£ которое будет доказано в параграфе 2.1. На основе

этого представления при различном выборе Ь получены оценки значений меры иррациональности чисел у/к 1п ^^ и у/к arctan к £ М, к > 1. Ряд оценок усиливает предыдущие результаты. Отметим также, что интегралы (2.1), (2.10) в отличие от интеграла (1.1), не могут быть приведены заменой переменной к виду гипергеометрической функции Гаусса.

Во второй части работы используются интегральные конструкции Р.Марковеккио и Ю.В.Нестеренко. В 2009 г. в работе Р.Марковеккио[39] была получена новая оценка меры иррациональности числа 1п2, улучшившая результат Е.А.Рухадзе [14], остававшийся лучшим в течение 20 лет, и предложен способ оценки показателей иррациональности и квадратичной иррациональности чисел вида 1п—-—,а € N. Метод Р.Марковеккио

а + 1

имеет в своей основе двукратный несобственный комплексный интеграл. Подобная конструкция уже использовалась М.Хата, применившим такой интеграл в работе [34]. Следует отметить, что кратные интегралы в связи с диофантовыми приближениями изучаются достаточно давно. Более подробно ознакомиться с этим вопросом можно, например, в диссертационной работе С.А.Злобина [7].

Для точной оценки знаменателей Р.Марковеккио применял групповой метод Дж.Рина и К.Виолы [42]-[43], а для исследования асимптотик, также как и М.Хата [34], использовал метод перевала в С2, который оказался довольно сложным. Некоторое время спустя результат Р.Марковеккио для 1п2 был подтверждён Ю.В.Нестеренко [10] более простым способом, следующим в основном методу доказательства иррациональности числа ((3) работы [11]. Ю.В.Нестеренко использовал однократный комплексный

интеграл, что облегчило исследование асимптотики и не потребовало применения группового метода. Незначительная симметризующая модификация интегральной конструкции Р.Марковеккио и соответствующего интеграла Ю.В.Нестеренко позволила использовать в качестве параметра и некоторые иррациональные числа.

Рассмотрим интеграл вида

-ка+1 Г / \ 3

где

п = + 0 - 2а)п\ и + (6 - а)п\ А + Ьп\ _ (Ь-Ла)п )\ (Ь — 2а)п )\ Ъп ) ~ {я + 2ап + !)...(<? + (6- 2а)п) (д + ап + 1)...(<г + (Ь- а)п) {<; + 1)..,(<? + Ьп) ((6 — 4а)п)! {{Ъ-2а)п)\ [Ьп)\

¿-вертикальная прямая вида = С, — (6 — 2а)п < С < —2ап — 1, проходимая снизу вверх, х > 0, х ф 1, п-натуральное число, а, Ь Е М, такие что Ь > 4а, Ьп + 1—чётно.

Этот интеграл отличается от интеграла Ю.В.Нестеренко в частности

Ьп+1 1

множителем х 2 ) симметризующим его относительно замены х на -, по-

скольку, как будет доказано в главе 3, справедливо равенство Y(x) = ^(j)-Имеет место следующее представление

Y(x) = —Pix) 1п2ж + д(ж)1пж- ]-R{x) ~тгг(Р{х) Inx-Q{x)),

где Pix) = Pix + Qix) = (x - i)Q(x + R(x) = R{x + ¿), P{x),Q(x), R{x) E Q(a:), так что в качестве х можно использовать некоторые квадратичные иррациональности. Исследование линейных форм

7Г

= -P(X)\RX + Q(X)\ (4.1)

3

Ых- ЩУ{х)) = -Р{х)-Ь*х + -Щх). (4.2)

7г 2 2

позволяет строить приближения для Ых.

При выборе

к

этим методом было получено несколько новых результатов для показателя иррациональности чисел вида

к + 1 - л/2к + 1 г--Т1 у/2к + 1 + 1

У2ГП1п —^-= л^П 1п = 2^(1, ¡, |; ¿т),

в частности, улучшен показатель иррациональности числа л/51н , а также получена оценка меры его квадратичной иррациональности.

Следует отметить, что одним из классических разделов теории трансцендентных чисел является более общая задача получения оценок снизу для линейных форм от произвольного числа логарифмов алгебраических чисел с алгебраическими коэффициентами. Более подробно с современным состоянием данной проблемы можно ознакомиться, например, в работах Е.В.Матвеева [8],[9]. Оценки, полученные в настоящей диссертации более точные, чем те, которые можно получить общими методами.

1.2 Вспомогательные утверждения

Сформулируем далее коротко вспомогательные результаты и методы, которые понадобятся для исследования. Стандартным приёмом, который используется при построении рациональных приближений, является конструирование линейных форм и исследование поведения коэффициентов этих линейных форм при значении параметра, стремящемся к бесконечности.

Используя этот способ, будем опираться на две леммы, которые принадлежат М.Хата.

Лемма 1.1 [33, лемма 2.1] Пусть n <Е N, 7 G R, ln — qnl + Рп, где Qn,Pn £ 7— иррационально;

lim — In\qn\ = er, limsup — ln |/n| < — т, т > 0.

71 >00 П 7i—>00 П

Тогда ß(-y) < 1 + -.

T

Для оценки меры квадратичной иррациональности существует аналогичное утверждение, также доказанное М.Хата.

Лемма 1.2 [34, лемма 2.3] Пусть ^-вещественное иррациональное число, не являющееся квадратичной иррациональностью, РтЧп^гп £ Z, qn ^ 0 для любого 71 6 N. Обозначим еп = gn7 — = д„72 — rn. Пусть

lim — 1п|<?п| = er, max f lim sup — ln |en|, lim sup — ln |5n| J < —r,

n—>oc TT, у n—»oо n—>00 /

(7

при сг,т > 0. Тогда /¿2(7) < —■

r

В оригинале данное утверждение сформулировано в несколько более общем виде, но для дальнейшей работы достаточно приведённой формулировки.

Для исследования асимптотического поведения интегралов в работе

будут применяться такие методы как метод Лапласа и метод перевала.

Приведём основные идеи этих методов (см.[25]).

Интегралами Лапласа называются интегралы вида

ь

F(X) = [ f(x)exs{x)d х, (1.2)

где S(x)— вещественнозначная функция. Л— большой положительный параметр, f(x) может принимать и комплексные значения. Пусть /— некоторый интервал, С[1]— класс непрерывных на / функций, Сг[/]— класс г раз непрерывно дифференцируемых на I функций, Se — сектор

|argA| <\~e<\i (е>0)

в комплексной плоскости А.

Теорема 1.1 [25, теорема 1.5, с.41] Пусть I — [а, Ь]-конечный отрезок и выполнены условия:

1. f(x),S(x)eC{I]

2. Максимум S(x) достигается только в точке Xq, а < xq < Ъ\

3.f{x) е С[/],5(х) е С3[ж0 -5,ж0 + (5], 5 > 0 и S"{x0) -ф 0.

Тогда при А —> со, A G SE (для сколь угодно малого е) справедлива формула

Fw - f5k/WeASW

Аналогичное свойство будет выполнено и в случае, если максимум подынтегральной функции достигается на конце отрезка интегрирования. Теорема 1.2 [25, теорема 1.4, с.41] Пусть I = [а, Ь]-конечный отрезок и выполнены условия: 1 .f(x),S(x)eC[l]

2. Максимум S(x) достигается только в точке xq = а;

3 .f(x),S(x) £ С°°[х 0,х0 + 5], Ь0« S"(x о) ^ 0.

■Тогда при А —> со, A G S£ имеет место асимптотическое равенство:

Метод Лапласа является частным случаем более общего метода исследования асимптотики комплексных интегралов - метода перевала. Рассмотрим интеграл

F(A) ^/(ф^^г,

7

где

А\ : 7-кусочно-гладкая кривая в комплексной плоскости 2, А-2 : функции /(;?), 5(2:) голоморфны в окрестности кривой 7 Л3 : При А > 0 выполнено условие

7

Определение 3 Точка го называется точкой перевала функции Б (г), если ¿''(го) = 0. Порядок точки перевала равен п > I, если

Б'(г0) = ... = 5(п)(го) = 0, о) 'ф 0.

Лемма 1.3 [25, лемма 1.2. с. 166] Пусть го-точка перевала порядка п функции Б (г). В малой окрестности V точки го линия уровня №£(г) = ^(¿о) состоит из п + 1 аналитических кривых, которые пересекаются в точке го и разбивают V на 2п + 2 секторов с углами при вершине. В соседних секторах знаки функции — ¿>(го)] различны.

Теорема 1.3 [25, теорема 1.3, с.170] Пусть тахЗ^Й'(г) достигается только в точке го, которая является внутренней точкой контура 7, простой точкой перевала функции 5(г) и выполнено условие Ао : В окрестности точки перевала го контур 7 проходит через два различных сектора, в которых Ш3(г) < о).

Тогда при А —> +оо

/ оо

7 к=О

Это асимптотическое разложение можно дифференцировать любое число раз.

Главный член асимптотики

а остаточный член имеет вид 0(А~2)еЛ5(г°). Выбор ветви корня при этом такой, что arg y/—S"(zo) равен углу между положительным направлением касательной к 7 в точке zq и положительным направлением вещественной оси.

Для уменьшения знаменателей коэффициентов линейных форм мы будем пользоваться стандартной схемой сокращения простых множителей, впервые использованной М.Хата. Справедливо следующее утверждение Лемма 1.4 [10, лемма б/Пусть и, v-действительные числа, удовлетворяющие неравенствам 0 < и < v < 1. Тогда

lim — V In р = ip(v) — 1р(и),

71—> ОО fl -'

U<{*}<V

Г(ж)

гдеф(х) = ———-логарифмическая производная гамма-функции, а сумми-Г(ж)

рование ведётся по всем простым числам р, с условием, что дробная часть удовлетворяет неравенствам, указанным под знаком суммы.

1.3 Результаты диссертации

Оценки показателя иррациональности для чисел, являющихся значениями гипергеометрической функции Гаусса были получены многими авторами. В 1987 г. Дж. Рин в работе [40] получил оценку для 2F-(1,|,|;|) = л/3ln(2 + л/3), составившую д(л/31п(2 + УЗ)) < 17.207... В статье 1994 г. А.Хеймонена, Т.Матала-Ахо и К.Ваананена [36] был предложен способ получения оценок меры иррациональности значений F( 1, 1 + z) и приведено много конкретных оценок, послуживших ориентиром для дальнейших исследований. В ней также был получен р—адический аналог этих результатов. Заметим, что этой тематикой занимается широкий круг специалистов, см. например [26],[29].

13 1 2 л/2 1

В частности, для F(l,-,-;-) = л/2 In—j=- в работе [36] было

2 2 8 2у2 — 1

л/2 In —- I < 41.032... Оба указанных результата были

улучшены в 2008 г. Е.С. Сальниковой [19], которая доказала следующие

неравенства: ¡л

л/2 In г < 12.356... и /¿(л/31п(2 + л/3)) < 15.659... В своей работе Е.С.Сальникова использовала интеграл с симметричной подынтегральной функцией приведённого выше вида.

Тем же способом, то есть с помощью комплексного интеграла от сим-

метризованной функции, Е.Б.Томашевской [22] была получена оценка для

„,13 1 , 1ч „ „о

числа F(1, —, —; — —) = arctan-, составившая /¿(arctan-) < 6.63... 2 2 9 3 3

�