О показателях иррациональности некоторых чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи 005533501

Полянский Александр Андреевич "

О показателях иррациональности некоторых чисел

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

19 СЕН 2013

Москва — 2013

005533501

Работа выполнена на кафедре теории чисел Механико-математического факультета ФГБОУ ВПО Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

член-корр. РАН, профессор Юрий Валентинович Нсстсрснко

Салихов Владислав Хасанович, доктор физико-математических наук, профессор (ФГВОУ ВПО Брянский государственный технический университет)

Злобин Сергей Алексеевич, кандидат физико-математических наук (ООО "Аби ИнфоПоиск", руководитель группы анализа документов)

ФГБОУ ВПО Московский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится 11 октября 2013 г. в 1645 на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при ФГБОУ ВПО Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО МГУ имени М. В. Ломоносова (Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А, 8й этаж).

Автореферат разослан 11 сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при ФГБОУ ВПО МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация посвящена эффективным приближениям действительных чисел рациональными дробями, одному из ключевых направлений теории диофантовых приближений. В ней доказываются оценки сверху для так называемых показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности некоторых трансцендентных чисел, а также оценивается показатель совместного приближения чисел In 3 и 7Г/\/3 рациональными дробями.

Для любого иррационального числа можно ввести характеристику того, насколько хорошо оно приближается рациональными числами.

Показатель иррациональности числа а € К \ Q определяется как точная верхняя грань множества таких чисел н, что неравенство

< I<?Г (1)

имеет бесконечное количество решений в рациональных числахp/q. Обозначается показатель иррациональности через р,(а).

При н > р.(а) неравенство (1) имеет конечное число решений, а при х < р(а) — бесконечное.

Следствие из теоремы Дирихле утверждает, что для любого а е R \ Q выполняется неравенство р{а) > 2, см. §2 главы 2 в книге А. Б. Шидлов-ского1.

Дж. Сондоу2 доказал, что если известно разложение числа а 6 1\Q в цепную дробь [а0; щ, а2, ■ ■ ■ ], то справедлива формула

, ч , , Inq„+i „ , lnon+i ц(а) = 1 + limsup —-= 2 4- limsup —-,

71—>+оо In In n->+00 'И Qn

где Рп/Яп — тг-ая подходящая дробь числа а. _

Пользуясь разложением числа е в цепную дробь [2; 1,2А, 1]a=i,2,..., нетрудно доказать, что fx(e) = 2. Аналогично для всех чисел

а = [Ь0; bi,..., Ь3,сг + \du... ,ст + Adm]A=i,2,..., где среди <k есть ненулевые,

можно показать, что ц(а) = 2. Фактически Б. Г. Тасоевым3 доказан более сильный результат.

'А.Б. Шидловский, Диофантовы приближения и трансцендентные числа. Физматлит, Москва, 2007. с. 266

Jj. Sondow, Irrationality Measures, Irrationality Bases, and a Theorem of Jarnik. http://arxiv.org/abs/math.NT/0406300.

3Б. Г. Тасоев, О рациональных приближениях некоторых чисел. Матем. заметки, (2000) 67:6, 931 - 937.

В 1955 г. К. Рот4 доказал, что /¿(а) = 2 для любого действительного алгебраического иррационального числа а. Следует отметить, что для алгебраических чисел степени больше 2 цепные дроби практически не изучены.

Особый интерес представляют собой доказательства оценок сверху для показателей иррациональности логарифмов алгебраических чисел, см. обзор В. В. Зудилина5.

В 1964 г. А. Бейкер6 доказал неравенство, из которого следует, что

¿¿(In 2) < 12,5.

Позже эта оценка улучшалась в работах Л. В. Данилова7, К. Аллади и М. Робинсона8, Г. В. Чудновского9,10, Е. Рейсата11, Дж. Рина12, Е. Рухад-зе13, М. Хаты14. В 2009 г. Р. Марковеккио15, пользуясь групповым методом Рина-Виолы16,17, доказал оценку

р(1п2) < 3,57455....

В 2010 г. Ю.В. Нестеренко18 упростил доказательство этого факта, при этом он использовал несобственные комплексные интегралы типа Меллина-Барнса (см. главу 5 в книге Ю. Люка19).

4К. F. Roth, Rational Approximations to Algebraic Numbers. Mathematika, (1955) 2, X - 20. 5B.B. Зудилин, Эссе о мерах иррациональности тг и других логарифмов. Чебышёвский сборник, (2004) 5:2, 49 - 65.

eA. Baker, Approximations to the logarithms of the certain rational numbers. Acta Arithm., (1964) 10, 3X5 - 323.

7JI. В. Данилов, Рациональные приближения некоторых функций в рациональных точках. Матем. заметки, (Х978) 24:4, 449 - 458.

8К. Alladî, M. Robinson, On centain irrational value of the logarithm. Lect. Notes Math., (1979) 751, X

-9.

eG.V. Chudnovsky, Approximations rationnelles des logarithmes de nombres rationnels. C.r. Acai. sci., Ser.A, (1979) 228:21, 607 - 609.

10G. V. Chudnovsky, Number theoretic applications of polynomians with rational coeffitients defined by extremality conditions. Progr.Math., (1983) 35, 61 - 105.

UE. Reyssat, Mesures de transcendance pour les logarithmes de nombres rationnels. Progr. in Math., vol. SI, Birkhauser, Boston, 1983. p. 235 - 245.

12G. Rhin, Approximants de Pade et mesures effectives d'irrationalité. Séminaire de Theorie des Nombres, Paris, 1985-86. Progress in Math., vol. 71, Birkhauser, Boston, 1987. p. 155 — 164.

13E. A. Рухадзе, Оценка снизу для приближения In 2 рациональными числами. Вести. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., (1987) 6, 25 - 29.

14M. Hata, Legendre type polynomials and irrationality measures. J. reine and angew. Math., (1990) 407, 99 - 125.

15R. Marcovecchio, The Rhin-Viola method for log 2. Acta Arith., (2009) 139:2, 147 - 184.

16G. Rhin, С. Viola, On a permutation group related to C(2). Acta Arith., (1996) 77, 23 - 56.

17G. Rhin, С. Viola, The group structure for C(3). Acta Arith., (2001) 97, 269 - 293.

18Ю.В. Нестеренко, Некоторые замечания о Ç(3). Матем. заметки, (1996) 59:6, 865 - 880.

19Ю. Люк, Специальные математические функции и их аппроксимация. Мир, Москва, 1980. 608 с.

В 1983 г. Е. Рейсатом11 было доказано неравенство

/i(ln3) < 14,7.

Позже эту оценку улучшил Дж. Рин12. В 2007 г. В.Х. Салихов20 доказал, что

/х(1пЗ) < 5,125. (2)

В 1978 г. JI.B. Данилов7 получил неравенство

<9,35.

Позже эта оценка улучшалась в работах К. Аллади и М. Робинсона21, Г. В. Чудновского22'23, А. К. Дубицкаса24, Дж. Рина12, М. Хаты14'25. В 2011 г. В. А. Андросенко и В.Х. Салихов26 пользуясь методом из работы Р. Мар-ковеккио15, доказали, что

< 4,60106.... (3)

Несколько изменив интеграл из статьи Ю.В. Нестеренко18, М.Г. Баш-макова27,28 в 2010-2011 гг. предложила доказательство оценок сверху для показателей иррациональности чисел вида

tj.1 _ ./отгцтт ak = V2fcTlln , , где к =1,21 при/е2,/>0.

к

В частности, было доказано

ji(ai) < 11,918552..., ц(а2) < 3,71331...,

20В.Х. Салихов, О мере иррациональности !og3. Докл. РАН, (2007) 417:6, 753 - 755.

«К. Alladi, М. L. Robinson, Legendre polynomials and irrationality. J. Reine Angevi. Math., (1980) 318, 137 - 155.

22G.V. Chudnovsky, Measures of irrationality, transcendence and algebraic independence. Land. Math. Sat. Lect. Note Ser., (1982) 56, 11 - 82. Zbl 489.10027.

23G. V. Chudnovsky, Recurrences Pade approximations and their applications. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 92, Dekker, New York, 1984. p. 215 - 238.

24А. К. Дубицкас, Приближения тг/\/3 рациональными дробями. Вести. Моск. ун-та. Сер. 1. Машем., мех., (1987) в, 73 - 76.

25М. Hata, Rational approximations to 7Г and some other numbers. Acta Arith., (1993) 63, 335 - 349.

2вВ.А. Андросенко, В.Х. Салихов, Интеграл Марковеккио и мера иррациональности -'-т. Вестник БГТУ, (2011) 34:4, 129 - 132.

"М. Г. Башмакова, Оценка мер иррациональности логарифма "золотого сечения". Чебышевский сборник, (2010) 11:1, 47-53.

2SM. G. Bashmakova, Estimates for the exponent of irrationality for certain values of hypergeometric functions. M. Jour, of Combin. and Number Theory, (2011) 1:1, 823 - 835.

/i(aeX 11,826..., /х(а8)< 18,937.... (4)

Пусть число ß 6 R \ Q — квадратичная иррациональность, то есть корень уравнения ах2 + Ьх + с = 0, где а, Ь, с € Z, (а, Ь, с) = 1, о > 0. Тогда через #(/3) будем обозначать тах{|а|, |Ь|, |с|}.

Для любого числа, не являющегося корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами, можно ввести характеристику того, насколько хорошо оно приближается квадратичными иррациональностями.

Квадратичный показатель иррациональности числа а, не являющегося корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами, определяется как точная верхняя грань множества таких чисел я, что неравенство

\a-ß\< H-{ß) (5)

имеет бесконечное количество решений в квадратичных иррационально-стях ß. Обозначается квадратичный показатель иррациональности через /хг(а)-

При к > Ц2(а) неравенство (5) имеет конечное число решений, а при к < ß2(ci) — бесконечное.

В 1980 г. А. Коен29 при помощи линейных рекуррент доказал

№(Ь2) < 287,819.

Позже эта оценка улучшалась в работах Е. Рейсата11 и М. Хата30. В 2009 г. Р. Марковеккио15 показал, что

Д2(1П2) < 15,65142________(6)

М.Г. Башмакова27 доказала оценку квадратичного показателя иррациональности числа с*2 = л/51п((3 — л/5)/2)

ß2(a2) «S 33,0094.... (7)

Для двух иррациональных чисел можно ввести характеристику того, насколько хорошо можно их приблизить рациональными числами с общим знаменателем.

Показатель совместного приближения для двух чисел а, ß £ Q определяется как точная верхняя грань множества таких чисел я, что неравенство

ß-Pj\}<M-"

29Н. Cohen, Acceleration de la convergence de certaines recurrences linéaires. Seminaire de Theorie des Nombres, Grenoble, 1980, p. 47.

30M. Hata, C2-saddle method and Beukera' integral. Trans. Amer. Math. Soc., (2000), 352;10, 4557 -4583.

max <

Pl

a-- î

q

имеет бесконечное количество решений в рациональных числах и Р2/Ч-

Следствие из теоремы Дирихле о совместных приближениях утверждает, что показатель совместного приближения для любых двух иррациональных чисел больше или равен 1,5, см. § 2 главы II в книге В. Шмидта31.

Цель работы

Построить эффективные приближения к некоторым трансцендентным числам и с их помощью доказать новые оценки сверху для показателей иррациональности, квадратичных показателей иррациональности этих чисел и показателя совместного приближения чисел 1пЗ и 7г/л/3 рациональными дробями.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. В диссертации доказаны следующие основные результаты:

1. Доказаны новые оценки показателей иррациональности чисел

£ .)_ \ _ »/2к + 1

ак = у/2 к + 11п-^-, где к е Ъ, к > О,

к

улучшающие результаты М.Г. Башмаковой28. См. ниже теорему 1.

2. Доказаны новые оценки квадратичных показателей иррациональности чисел ак, где к € Ъ, к > 2, улучшающие результаты Р. Марко-веккио15 и М. Г. Башмаковой27. См. ниже теоремы 2, 7.

3. Доказаны новые оценки показателей иррациональности чисел

\/2к — 1

Рк = \/2к — 1 агс1в —;--—, где к = 21 при / е ^ > 0.

к — 1

Оценка показателя иррациональности для числа /?2 = тг/ \/3, которая была получена другим способом В. А. Андросенко и В.Х. Салихо-вым26, совпадает с той, что предложена в диссертации. Для остальных чисел рк показатели иррациональности оцениваются впервые. См. ниже теорему 4.

4. Впервые получены оценки квадратичных показателей иррациональности чисел РкI где к = 21 при I 6 2, I > 1. См. ниже теоремы 5, 8.

31В. Шмидт, Диофаптовы приближения. МИР, Москва, 1983. с. 232.

5. Впервые получена оценка показателя совместного приближения чисел 1пЗ и 7г/\/3 рациональными дробями. См. ниже теорему 6.

Результаты диссертации обоснованы в виде строгих математических доказательств и получены автором самостоятельно.

Основные методы исследования

В диссертации используются методы математического анализа, теории функций комплексного переменного и теории диофантовых приближений.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в теории диофантовых приближений.

Апробация диссертации

Результаты настоящей диссертации докладывались автором на семинаре по теории чисел под руководством Ю. В. Нестеренко, Н. Г. Мощевитина (мехмат ФГБОУ ВПО МГУ, 2010 - 2013 гг., неоднократно), на семинаре "Диофантовы приближения и трансцендентные числа" под руководством Ю. В. Нестеренко (мехмат ФГБОУ ВПО МГУ, 2010г.), а также на следующих на научных конференциях:

1. конференция "Ломоносов-2010" (Москва, ФГБОУ ВПО МГУ, 12 - 15 апреля 2010 г.);

2. всероссийская конференция по математике, информатике и методике их преподавания (Москва, ФГБОУ ВПО МПГУ, 14 -16 марта 2011 г.);

3. международная конференция "Diophantine Analysis" (Астрахань, ГОУ ВПО АГУ, 30 июля - 3 августа 2012 г.).

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата, [1 — 4]. Все работы написаны без соавторов.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы (39 наименований). Общий объем диссертации 138 страниц.

Краткое содержание диссертации

Во введение к диссертации излагается история вопроса, дается обзор литературы, формулируются постановки задач и основные результаты работы.

Содержание главы 1

Основными результатами первой главы являются новые оценки сверху для показателей иррациональности чисел

г——- к + 1-У2к + Т ак = ч2к+1\п---, (8)

где к € к > 2, и _

Рк = \/2к-1 аг^ (9)

где к = 21 при ( 6 2,1 > 0, и квадратичных показателей иррациональности чисел а*, где к € 2, А; > 10, и Д, где к = 21 при I I > 4 (для меньших положительных значений А; более точные оценки получены в третьей главе).

Для этого исследуются функции ^(Ь), определенные сле-

дующим образом:

Ь]-+2

т = Фг(сж' (10)

где

\ 2 я- Л ._<

Здесь в качестве многочлена А(х) используется многочлен

х + bin + 1\ ix + b2n + 1\ ix + Ь3п 4-1 С\П +1 )\ С2П +1 J \ с3п + 1

(И)

На целые неотрицательные параметры Ьг, с; накладываются некоторые условия, а число п — натуральное. Таким образом, Л(£), ^(4), задают три

последовательности функций. Контуры интегрирования ¿2. Ьз выбираются определенным образом.

Справедливы тождества

•М<) =-£М*). Ш = и1{1)\а1-и2{1), (12)

М*) = + - ¿гг№(01п^ - (13)

Здесь С/х, IIг(£), С/з(Л) удовлетворяют равенствам

= ^ (г +. = - ^ (г + 7) - ^(г) = ^з (г +

для некоторых ИТУ2(г), И^) 6 <0>^).

Чтобы получить оценки показателей иррациональности чисел ак, мы рассматриваем линейную комбинацию

1/2(г) = 1/1(<)1п4-[/2(<), (14)

с коэффициентами ¿/¿(¿) € <12(£) при значениях параметра равных

к

В результате получаем последовательности рациональных дробей, которые приближают числа «ь Применяется метод перевала для исследования асимптотического поведения этих последовательностей и используются известные факты о распределении простых чисел для исследования арифметических свойств рациональных дробей, приближающих числа оь В итоге, используя полученные результаты и применяя к этим последовательностям лемму Хаты25 о оценках сверху показателей иррациональностей, мы доказываем теорему 1.

Теорема 1. Справедливы оценки.

к И (ак) ^ к А» (ак) < к Ц (ак) < к М (ак) <

3 6,64610... 9 5, 23162... 14 3,42052... 19 4,75667...

5 5,82337... 10 3,45355... 15 4,88401... 20 3,39024...

6 3,51433... 11 5,08119... 16 3,40866 ...

7 5,45247... 12 3,43506... 17 4,81442 ...

8 3,47833... 13 4,97025... 18 3,39873...

Эти результаты усиливают соответствующие неравенства (4) из работы М.Г. Башмаковой28. Показатели иррациональности для чисел а* с нечетными к > 1 ранее не оценивались.

Чтобы получить оценки квадратичных показателей иррациональности чисел аь, мы рассматриваем линейные комбинации

•МО = имш-щг), + + = щ^ъРг-изУ) (16)

с коэффициентами £/;(£) £ Ч2(£) при значениях параметра t, равных (15). В результате получаем последовательности рациональных дробей, которые приближают числа аь и а\. Применяется метод перевала для исследования асимптотического поведения этих последовательностей и используются известные факты о распределении простых чисел для исследования арифметических свойств рациональных дробей, приближающих числа ак и а\. В итоге, используя полученные результаты и применяя к этим последовательностям лемму Хаты30 о оценках сверху квадратичных показателей иррациональностей, мы доказываем теорему 2. Теорема 2. Справедливы оценки.

к М2 (<*к) < к М2(а*) < к № (а*) ^

11 897,68074. ■ ■ 15 50,60816 ... 19 31,98452...

12 9,46081... 16 8,71172... 20 8,23651...

13 80,82763... 17 38,51000...

Ц 9,04083... 18 8,45082...

Отметим, что Р. Марковеккио15 упоминает, что получил такую же, как и в теореме 2, оценку для /хг (1п(2/3)) = {12(0*12)-

Квадратичные показатели иррациональности для остальных чисел а^, приведенных в теореме 2, ранее не оценивались.

Чтобы получить оценки показателей иррациональности чисел /3*, мы рассматриваем линейную комбинацию (14) при значениях параметра^ равных

Ау = = т>к€Х,к> 1- (17)

К

В результате получаем последовательности рациональных дробей, которые приближают числа Далее, действуя аналогично доказательству теоремы 1, мы устанавливаем справедливость теоремы 4. Теорема 4. Справедливы оценки.

к к И Ш < к м т < к »ш <

2 4,60105... 8 3,66666 ... 14 3,53683... 20 3,47757...

4 3,94704... 10 3,60809 ... 16 3,51298...

6 3,76069... 12 3,56730... 18 3,49365...

Отметим, что В. А. Андросенко и В.Х. Салихов26 получили такую же оценку для /х (7г/л/3) = /¿(Дг), как и в теореме 4. Но их доказательство отличается от того, что предложено в диссертации.

Показатели иррациональности для остальных чисел приведенных в теореме 4, ранее не оценивались.

Чтобы получить оценки квадратичных показателей иррациональности чисел мы рассматриваем линейные комбинации (14) при значениях параметра равных (17). В результате получаем последовательности рациональных дробей, которые приближают числа Рк и /З2. Далее, действуя аналогично доказательству теоремы 2, мы устанавливаем справедливость теоремы 5.

Теорема 5. Справедливы оценки.

k ß2 (ßk) ^ k ß2 (ßk) < k ß2 (ßk) «S

10 12, 28656... 14 10,34013... 18 9,35032...

12 11,11119... 16 9,77530... 20 9,01564...

Квадратичные показатели иррациональности для чисел /3*, приведенных в таблице в теореме 5, ранее не оценивались.

Содержание главы 2

Основным результатом второй главы является следующее утверждение.

Теорема 6. Для любого е > 0 существует такое (¡{е) € что для любых р1, Р2, д € Ъ, д(е) ^ д, выполняется

1пЗ — —

7Г

71

Р2 Ч

> Wi-

lde ц = 3,86041....

Отметим, что для каждого из чисел 1пЗ и 7г/\/3 в настоящее время доказаны менее точные оценки, см. (2) и (3). Показатель совместного приближения 1пЗ и 7г/\/3 ранее не оценивался.

Для доказательства теоремы 6 используется общая лемма 14. Лемма 14. Пусть n&N, ai, a2 G К, а = а\ 4- гаг, 'n = Ina + рп, где qn,pn 6 Z[iy/rñ¡. Известно, что

lim - In IgJ = a, lim - In |/„| =-т, а,т > 0.

п—Уоо п n-+oo п

Тогда для любого е > 0 существует такое число q[e) € N, что для любых р, q Е h[iy/m\, |g| ^ g(e), выполняется

Чтобы применить лемму 14, рассматриваются функции Ji(t), J2(t) из первой главы (см. (10)). Во второй главе мы исследуем линейную комбинацию (14) при значении параметра t, равном

A = Tf"f- (18)

В результате получаем последовательность чисел из<0>(г\/3), которые приближают число 1пЗ-Итт/3. Применяется метод перевала для исследования асимптотического поведения этих последовательностей и используются известные факты о распределении простых чисел для исследования арифметических свойств чисел из приближающих число 1пЗ + т/3. Используя полученные результаты и применяя к этим последовательностям лемму 14, мы доказываем теорему 6.

Содержание главы 3

Основными результатами третьей главы являются новые оценки сверху для квадратичных показателей иррациональности чисел а^ (см. (8)), где к = 2,4,6,8,10, и Pk (см. (9)), где к = 4,6,8 (для ббльших значений к более точные оценки получены в первой главе).

Для этого используются функции Ji(i), hit), J3(t) из первой главы (см. (10)). Но вместо (11) выбирается многочлен

fx + bin + 1\ fx + b2n + 1\ fx + b3n + 1\ fx + Ь4п + 1\

\ С1П + 1 J V С2п+ 1 ) \ с3п + 1 у V С4П +1 )'

Тогда выполняются тождества (12) и (13), a Ui(t), U2{t), Uz(t) удовлетворяют равенствам

Ui(t) = - 7) Wi (< + 7) - U2(t) +

для некоторых функций Wi{t), W2(t), И'з(г) G Q{t).

Чтобы получить оценки квадратичных показателей иррациональности чисел аь, мы рассматриваем линейные комбинации (16) при значениях параметра t, равных (15). В результате получаем последовательности рациональных дробей, которые приближают числа otk и а2к. Далее, действуя аналогично доказательству теоремы 2, мы устанавливаем справедливость теоремы 7.

Теорема 7. Справедливы оценки.

к m (ак) ^ к V2 («к) < к V2 {ак) ^

2 18,57994... 6 11,20381... 10 9,86485...

4 12,84161... 8 10,87857...

Эти результаты улучшают соответствующие неравенства (6) для/1(04) = ^(1п2) и (7) для ц(а2) из работ Р. Марковеккио15 и М.Г. Башмаковой27.

Квадратичные показатели иррациональности для чисел а^, где к = 6,8,10, ранее не оценивались.

Чтобы получить оценки квадратичных показателей иррациональности чисел /?ь мы рассматриваем линейные комбинации (16) при значениях параметра I, равных (17). В результате получаем последовательности рациональных дробей, которые приближают числа (5к и /З2. Далее, действуя аналогично доказательству теоремы 2, мы устанавливаем справедливость теоремы 8.

Теорема 8. Справедливы оценки.

к 1 /¿г (ßk) ^ к Цг (ßk) < 1 к ß2 (ßk) ^

4 1 32,26974... 6 1 17,64930... 8 1 14,12795...

Квадратичные показатели иррациональности для чисел ßk, приведенных в теореме 8, ранее не оценивались.

Благодарности

Автор выражает благодарность своему научному руководителю члену-корр, РАН, профессору Юрию Валентиновичу Нестеренко за постановку задач и неоценимую помощь в работе и всем сотрудникам кафедры теории чисел за постоянное внимание.

Работы автора по теме диссертации

[1] А. А. Полянский, О квадратичном показателе иррациональности In 2. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., (2012) 1, 25 - 30.

[2] A. Polyanskii, On the irrationality measure of certain numbers. M. Jour. Comb, and Number Theory, (2011) 1:4, 80 - 90.

[3] A.A. Полянский, О квадратичных показателях иррациональности некоторых чисел. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., (2013) 5, 25 - 29.

[4] А. А. Полянский, О показателях иррациональности некоторых чисел, ч. II. Деп. в ВИНИТИ, №181 - В 2013, с. 1 - 21.

Подписано в печать: 29.08.2013 Объем: 1,0 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 127 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Механико-Математический Факультет

На правах рукописи

04201451669

Полянский Александр Андреевич

О показателях иррациональности некоторых чисел

01.01.06 - математическа логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ -^Ц

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2013

Содержание

Введение ................................... 4

Глава 1. Оценки сверху показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности чисел а/, и ¡3^- . . . 16

1.1. Основные определения........................16

1.2. Свойства функций .Л(£), -/з(^).................18

1.3. Леммы об арифметических свойствах значений многочлена А(х)

и его производных..........................29

1.4. Арифметические свойства £/(£). У(£). IV(1) в некоторых точках. 41

1.5. Асимптотические свойства Ьт(гф). ^¿('ф)..............45

1.6. Асимптотики </[(7). 72(7). </3(7) ..................54

1.7. Оценки сверху показателей иррациональности..........61

1.8. Оценки сверху квадратичных показателей иррациональности . 65

Глава 2. Показатель совместного приближения 1пЗ и -4= . . . . 69

2.1. Выбор параметров..........................69

2.2. Ариметические свойства [/(А).У(А)................69

2.3. Асимптотические свойства 7х(А). 72(А)..............71

2.4. Совместные приближения 1пЗ и ^................90

Глава 3. Оценки сверху квадратичных показателей иррациональности чисел аь к ¡Зь........................95

3.1. Основные определения........................95

3.2. Свойства функций Л(£),72(0, .................98

3.3. Леммы об арифметических свойп вах значений многочлена А(х)

и его производных..........................101

3.4. Арифметические свойства С/У{1). в некоторых точках. 110

3.5. Асимптотические свойства II{яр), З-^Ф)..............114

3.6. Асимптотики Л(7). /г(7); Л(7) ..................123

3.7. Оценки сверху квадратичных показателей иррациональности . 129

Литература..................................132

Введение

История вопроса

Диссертация относится к одному из ключевых направлений теории ди-офантовых приближений. В ней доказываются оценки сверху для так называемых показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности некоторых трансцендентных чисел, а также оценивается показатель совместного приближения чисел 1п 3 и ^ рациональными дробями.

Показатель иррациональности. Для каждого иррационального числа можно ввести характеристику того, насколько хорошо оно может быть приближено рациональными числами.

Показатель иррациональности числа су ^ (Ц) определяется как точная, верхняя грань множества чисел х таких, что неравенство

имеет бесконечное количество решений в рациональных р/Обозначается, показатель иррационал.ьност.и через ¡¿(а).

Следствие из теоремы Дирихле (см. [1] гл.2 §2) утверждает, что показа,-тель иррациональности для любого иррационального числа а удовлетворяет следующему неравенству: д(а) ^ 2.

Точные значен/и,я показателей иррациональности для, цепных дробей. Если известно разложение числа в цепную дробь, то его показатель иррациональности можно вычислить по формуле (см. теорему 1 в [2]):

где а = [ао; аа, а,2,. .. ] — иррациональное число, а рп/Цп — п-ая подходящая

/¿(от) = 1 + Нш яир ——^

1п дп

дробь.

Пользуясь разложением числа е в цепную дробь [2; 1, 2А, 1]а=1.2....; нетрудно доказать, что /л(е) = 2. Аналогично для всех чисел

а = [60; Ь\. . . ., С\ + .... ст + А^те]л=1.2....; где среди есть ненулевые

можно показать, что ¡¿(а) = 2. На самом деле доказан намного более сильный результат (см. [7]).

Показатель иррациональности алгебраических чисел. В 1955 году К. Рот опубликовал работы [3, 4], в которых доказал, что /¿(а) = 2, где а — алгебраическое действительное число (см. также [5] гл.У, [б] гл.VI). Следует отметить, что для алгебраических чисел степени выше 2 практически не изучены цепные дроби.

Особый интерес представляют собой доказательства оценок сверху для показателей иррациональности логарифмов (см. [8]).

Оценки показателя иррациональности 1п2. В 1964 г. А. Бейкер в [33] доказал неравенство, из которого следует, что /л(1п 2) ^ 12, 5. После этого эта оценка улучшалась в работах Л.В.Данилова [19], К.Аллади и М.Робинсона [32], Г.В. Чудновского [36], [37], Дж.Рина [38], Е. Р.ухадзс [18], М. Хата [20].

В 2009 году в статье [21] Р. Марковеккио, пользуясь групповым методом Рина-Виолы (см. [16, 17]) и некоторым двойным интегралом, получил наиболее точную оценку на данный момент

//(1п2) ^ 3,57455....

В 2010 году Ю. В. Нестеренко упростил доказательство этого факта в статье [22], где он применял тот же подход, что и в статье [23], в которой доказывалась иррациональность С(3), и ипользовался некоторый комплексный несобственный интеграл.

Оценки показателей иррациональности других логарифмов. В работе [11] В. X. Салихов с помощью интеграла с симметричной подынтегральной

функцией приведол доказательство следующей оценки для показателя иррациональности чисел 1пЗ:

/х(1п 3) ^ 5,125. В 1993 году М. Хата доказал в [25], что

<4,60157....

В 2011 году В. А. Андросенко и В.Х. Салихов опубликовали работу [26], где, пользуясь интегралом Р. Марковеккио, уточнили оценку для ¡1 •

Несколько изменив интеграл из [22], М. Г. Батимакова в 2011 году предложила в [24] доказательство оценок сверху для показателей иррациональности чисел вида

к + 1 - х/2 к + 1

ак = V2к + 1 In-г-. где к = 1.21.1 е ЪЛ > 0.

к

Именно улучшение результатов работы [24] послужило основанием для данной диссертации.

Квадратичной показатель иррациональности. Для каждого числа а, не являющегося корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами, можно ввести характеристику того, насколько хорошо оно приближается квадратичными иррациональностями.

Квадратичный показатель иррациональности числа а, не являющегося корнем квадратного уравнения с целым,и коэффициента.м,и. определяется, как точная, верхняя, грань множества чисел, к таких, что неравенство

|о- - ß\ < H~x{ß)

имеет, бесконечное количество релнений, в квадратичных иррач^иональностях ß. Число H(ß) — наибольишй по модулю из целых коэффициентов квадратного трехчлена, корнем, которого является, ß. Обозначается, квадратичный показатель иррациональности, через /¿2 (°0 -

6

Оценку квадратичных показателей иррал^иональностей In 2. В 1980 году X. Кохен при помощи линейных реккурент показал, что /¿2(In 2) < 287, 819. В 1983 году Е. Рейеат, используя приближения Паде, показал оценку /¿2(1п 2) < 105. В 2000 году М. Хата в [27] доказал, польясь некоторым двойным интегралом, что

/¿2(In2) < 25,0463....

В последствии этот результат был улучшен Р. Марковеккио в уже упомянутой работе [21]. Там была получена оценка

р2(In2) < 15,65142....

Оценки квадратичных показателей иррациональностей других чисел. В работе [24] М.Г: Башмаковой были предложены оценки показателей квадратичной иррациональности чисел а^, где k = 1, 21.1 Е Z, / > 0.

Показатель совместного приближения. Для двух иррациональных чисел можно ввести характеристику того, насколько хорошо можно их приблизить рациональными числами с общим знаменателем.

Показатель совместного приблиэюения для двух чисел ai, (Уо ^ Q определяется, как точная, верхняя, грань множества, чисел н т,аких. что неравенство

Pl Vi

ai-- OL9--

q q J

имеет бесконечное количество ре/тений в рациональных числах р\/с/ и р?/(].

Следствие из теоремы Дирихле для совместных приближениях (см. [5] гл. II §2) утверждает, что показатель совместного приближения для любых двух иррациональных чисел больше или равен 1.5.

В диссертации приводятся доказательства оценок сверху показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности чисел вида

ак = \/2ЬГПп к + ГДСке%,к>0 (1)

К

7

к- 1

а также предлагается доказательство оценки сверху показателя совместного приближения чисел 1пЗ и щ рациональными дробями.

Краткое содержание диссертации

Основными результатами первой главы являются новые оценки сверху для показателей иррациональности чисел а^, где к £ Ъ. к > 0 и где к £ Ъ, к > 1 и квадратичных показателей иррациональности чисел а^, где к £ к > 10, и где к £ Ъ, к > 9 (для меньших положительных значений к более точные оценки получены в третьей главе).

Для доказательства оценок строятся последовательности рациональных чисел, приближающих числа о;*.. й'|, д^. и изучаются арифметические и асимптотические свойства этих последовательностей. Таким образом план доказательства результатов первой главы состоит из четырех частей.

Первая часть заключается в исследовании функции Зо^)-, ^з(^)-,

определенные следующим образом:

где

з

Здесь в качестве многочлена А(х) мы будем подставлять многочлен

fx + b\n + 1х + 62 п + 1% + hn + Л \ С\П + 1 С2П + 1 С^П +1 J '

а в качество контуров интегрирования мы выбираем некоторые вертикальные прямые li, l2, l3. На целые неотрицательные числа b,¡,c¡ накладываются некоторые условия.

Для этих функций доказывается, что

Ji(¿) = ~U(t), J2(t) = U{t)\nt-V{t), J3(t) = -l-U{t) In21 + V(t) luí - ±W{t) - iir(U(t) hit - V(t)).

Здесь функции U(t).V(t).W(t) E Q(¿) удовлетворяют равенствам

U(t) = + V(t) = (t - i) V (t + ^ , W(t) (4)

TAcU(t),V(t).W{t)eQ(t).

Чтобы получить последовательности рациональных дробей, приближающих числа o¿k,ct\, ßk-, ß'l, в диссертации рассматриваются линейные формы

J2(t) = U{t)lnt-V{t), (5)

2J3{t) + 2(гтг + lnt)J2{t) = U{t) In21 - W(t) при значениях параметра t равных:

1) действительным положительным числам

к+ 1 - VW+T

Ам =-¡¡Г-> где к Е Ъ.к > 0; (6)

2) комплексным числам (лежащим на единичной окружности)

к — 1 — гу/2к — 1 . у/2Х—т , _ ,

А/с 2 =-Г^-- = е , где к Е /с > 1. 7

/с

Вторая часть состоит в исследовании арифметических свойств полученных последовательностей. Здесь важную роль играют равентсва (4). Также используются свойства распределения простых чисел для выделения больших общих делителей у сложных факториальных выражений.

Третья часть состоит в исследовании асимптотических свойств этих последовательностей с помощью методе перевала, примененного к интегралам Л00 гтри £ = А/сл, ;£ = Ла-,2- Здесь в качестве путей интегрирования выбираются вертикальные прямые.

Четвертая часть состоит в доказательстве требуемых оценок показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности. При этом использовались результаты, полученные в предыдущих частях доказательства. а также две леммы Хаты об эффективных приближениях из теории диофантовых приближений.

В итоге получаются следующие результаты.

Теорема 1. Справедливы оценки:

к /л М < к к /4 К) < к н К) ^

3 6,6461... 9 5,23162... и 3,42052... 19 4,75667...

5 5,82337... 10 3,45356... 15 4,88402 ... 20 3,39024. ■ ■

6 3,51433... 11 5,0812.. . 16 3,40867...

7 5,45248..: 12 3,43506... 17 4,81442...

8 3,47834... 13 4,97026... 18 3,39874...

Отметим, что в работе [24] М.Б. Батпмаковой доказывались оценки показателей иррациональности

д(а6) ^ 11, 826 ... и ц(а8) < 18, 937 ...

а также в теореме 1 приводится общая формула для оценок сверху показателей иррациональности чисел а^, где к = 21, здесь I £ Ъ,1 > 0. Можно убедиться, что результаты настоящей диссертации более точные, чем те, что получаются из формулы в теореме 1 в [24].

Для остальных чисел о^, приведенных в таблице в теореме 1, показатели иррациональсти не оценивались.

Теорема 2. Справедливы оценки:

к д ОВД ^ к, д ОВД < к м ОВД < к А4 ОВД ^

2 4,60106... 8 3,66666... 14 3,53684... 20 3,47758...

4 3,94705... 10 3,6081 ... 16 3,51299...

6 3,76069... 12 3,5673... 18 3,49366...

Отмстим, что в работе [26] В. А. Андросенко и В. X. Салихов получили ту же оценку для /л ^^^ = /-¿(АО, но ПРИ этом они пользовались интегралом Р. Марковеккио.

Для остальных чисел ВД приведенных в таблице в теореме 2, показатели иррациональности ранее не оценивались.

Теорема 3. Справедливы, оценки:

к М2 (<*к) < к И-2 О/О ^ к № (а/с) <

11 297,681... 15 50,6082 ... 19 31,9845...

12 9,46081... 16 8,71172... 20 8,23651...

13 80,8276... 17 38,51...

ц 9,04083... 18 8,45082...

Отметим, что в работе [21] Р. Марковеккио упоминает, что получил такую же, как и в таблице из теоремы 3, оценку для /¿2 (1П §) = /¿2(012) •

Для остальных чисел а*., приведенных в таблице в теореме 3, квадратичные показатели иррациональности не оценивались.

Теорема 4. Справедливы, оценки:

к М2 ОВД < к М2 ОВД < к № (Рк) <

10 12,2866... ц 10,3401... 18 9,3503...

12 14,3738... 16 9,7753... 20 9,0156...

Для чисел /Зь, приведенных в таблице в теореме 4, квадратичные показатели иррациональности не оценивались.

Также в первой главе приводятся общие формулы, по которым можно вывести оценки показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности чисел ад- и ¡3^ для остальных значений к.

Основным результатом второй главы является оценка сверху для показателей совместного приближения чисел 1пЗ и ^ рациональными дробями.

Для доказательства оценок строится последовательность чисел из <0>(г\/3), приближающая число

1пЗ + г|,

изучаются арифметические и асимптотические свойства этих последовательностей. Таким образом план доказательства результата второй главы состоит из четырех чаете и весьма схож с планом доказательства результатов первой главы. Укажем на основные особенности второй главы.

Особенность первая части заключается в том, что мы используем только одну линейную форму (5). При этом подставляется значение параметра £ равное

1 ?7Г , ч

7!6"т' (8)

Особенность третьей части состоит в том, что в ней исследуются ассимп-тотические свойства интегралов «Л(А), ^(А). Здесь в качестве путей интегрирования выбираются некоторые ломаные линии.

Особенностью четвертой части является то, что нужно использовать некоторую модификацию леммы Хаты об показателях иррациональности.

В итоге была доказана теорема.

Теорема 5. Для любого е > 0 существует такое д(е) е N. та,кое, что для

любых д(е) ^ д £ N и Р\,Р2 £ Ъ выполняется

тах

1пЗ — — Я

7Г р 2

> -3.80041--

л/3 Я

Отметим, что раньше показатель совместного приближения 1пЗ и ^ не оценивался.

Основными результатами третьей являются новые оценки сверху для квадратичных показателей иррациональности чисел а*-, где к £ Ъ, к = 2,4,6, 8,10, и ¡Зк- гда к £ Z, к — 4, 6,8 (для больших значений А; более точные оценки получены в первой главе).

Для доказательства оценок строятся последовательности рациональных чисел, приближающих числа о^, Рк-, Р\~, и изучаются арифметические и асимптотические свойства этих последовательностей. Таким образом план доказательства результатов третьей главы также состоит из четырех частей и весьма схож с планом доказательства результатов первой главы. Укажем на основные особенности третьей главы.

Особенность первой части состоит в том, что в качестве многочлена А(х) вместо (3) выбирается многочлен

(х + Ъхп + 1\ (х + Ъ2п + Л (х + Ь3п + 1\ (х + ЪАп + 1\ V сгп + 1 ) V с2п + 1 ) V с3п + 1 ) V с4п + 1 )'

поэтому функции и(£), удовлетворяют равенству

= ■4)6 (4 ■+1) ■^ = * Н) ■= (< - 9™ ■+ ?)'

(9)

где и (г), Щ) е

Особенность второй части заключается в том, что требуется аккуратнее исследовать свойства распределения простых чисел для выделения больших общих делителей у сложных факториальных выражений. Здесь также важную роль играют равенства (9).

В итого получаются следующие результаты. Теорема 6. Справедливы оценки:

к М2 О/с) < к /¿2 (оск) < к М2 (>*•) <

2 18.5799... 6 11.2038... 10 9.86485...

4 12.8416... 8 10.8786...

Отметим, что в работе [21] Р. Марковсккио доказал, что

/а2(1П2) = < 15.65142....

Для остальных чисел о;/,., приведенных в таблице в теореме 6, квадратичные показатели иррациональсти не оценивались.

Теорема 7. Справедливы оценки:

к М2 Ш < к М2 (&) < к м2 ОВД <

4 32.2697... 6 17.6493... 8 14-12...

Для чисел Рь, приведенных в таблице в теореме 7, квадратичные показатели иррациональности ранее; не оценивались.

Основные результаты

Основными результатами настоящей диссертации являются следующие:

1. Доказаны новые оценки показателей иррациональности чисел ад;, где к е Ъ, к > 0, и Рк, где к Е Ъ, к > 1. Эти результаты приведены в теоремах 1, 2.

2. Доказаны новые оценки квадратичных показателей иррациональности чисел ад., где к Е Ъ^ к > 0, и /?/,.. где к Е Ъ. к > 2.. В частности, улучшена оценка квадратичного показателя иррациональности 1п 2. Эти результаты приведены в теоремах 3, 4, 6, 7.

3. Впервые получена оценка показателя совместного приближения чисел 1пЗ и ^ рациональными дробями. Эти результаты приведены в теореме 5.

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [28, 29].

Глава 1

Оценки сверху показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности чисел ak и /3&.

1.1. Основные определения.

Мы будем рассматривать три основных функции J\{t). - 'hit)-, Js(t) и три вспомогательных Ii(t), /2(i), /3

Пусть п — натуральное число, выбраны целые неотрицательные числа

0.1 — 0 < о,2 < аз < 63 < b2 < bi,

с\ = Ь\ — а 1 = 6Ь с2 = ¿2 — а2, с3 = &з — аз, ¿>1 = ¿1 + = 62 + CL2 = &з + аз-

при этом 6] — четное.

Определим теперь многочлен А(х) степени А1 = Сп + 3, где С = С\ + с2 + С3, следующим образом:

( fx + bLn + l\ fx + b2n + 1\ fx + 63n + 1\ _

^ ~ I cin+l J I c2n + 1 A c3n + 1 ) ~

_ (x + (ЦП + 1)... (x + bin + 1) (x + a2n + 1)... (x + b2n + 1) ~ (c\n + 1)! (c2n +1)!

{x + azn + 1) .. . (ж + b3n + 1) X (c3n+l)!

Одним из ключевых свойств многочлена А{х) является следующее:

(1.1)

А(х) — —А(—х — Ъ\п — 2). (1.2)

Далее для удобства мы будем использовать следующие обозначения:

1) число / — любое из множества {1,2,3};

2) многочлены Ai(x),Ä2(x) и А$(х) определяются соотношениями

Мх) = А{х - ащ). (1.3)

Рассмотрим функции Ф^), ^(С)-^з(С)

\sm7r<; /

Здесь мы полагаем, что

(-£)"< = е"С1п^ и Г< = е"С1п4,

где выбираются ветви логарифмов следующим образом

1п( —t) = In |£| + г argi + ¿7г и Int = In |/j + г argt

с соответствующими условиями на аргумент

-27г < arg t < 0 для (1.4); —2тт < arg t < 27г для (1.5); —47г < argi < 27г для (1.6).

Рассмотрим интегральное представление функций J\(t), hit), J'¿it), hit)-, h{t)., h{t)

t»l» + 2

Mt) = t-^m =f—— Ф,(сж, (1.7)

Li

2ттг

где t -ф 0, а вертикальные прямые L\, L2, L-¿ задаются равенствами

Re ( = din. где — bin — 2 < din < —a¿n; и эти прямые проходятся снизу вверх.

1.2. Свойства функций Ji(t), J2(t), Jz(t).

Пред