Совместные приближения нуля значениями целочисленных многочленов и размерность Хаусдорфа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Гродненский государственный университет ии.Я.Купалы

ЯДК 511.36 - ^

■. I

- 6 т

СОВМЕСТНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ И

Шина ¿ШМсыьье&на

НШ ЗНАЧЕНИЯМИ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА

01.01.08 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-иатеиатичееких наук

Гродно, 199?

Работа выполнена в Гродненском госуниверситете им. Я.Купалы

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ырнт В.и.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук МиЯьтн Л., кандидат физико-математических наук Харко&ш Ж.Ч.

Оппонирующая организация: Зкишшхшй университет

Защита состоится 199? г. в на заседании Совета

по защите диссертаций Д 01.02.01. при Институте математики ЙН Беларуси по адресу: 220072, Минск, уя.Сурганова 11

С диссертацией поено ознакомиться в библиотеке Института математики № Беларуси

йвтореферат разослан____ 1997 г.

Зченый секретарь Совета

по зачите диссертаций, кандидат физ.-кат. наук

(ЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Ащ/алтость- гёелм диссертации. Вопроси совместных диофан-товых приближений стали рассматриваться с момента создания Г.Минковскии геометрии чисел. Их важность значительно возросла после того, как А.Я.Хинчин доказал гак называемый принцип переноса Хинчина. Оказалось, что в определенной диапазоне аппроксимации задачи о приближении ндля значениями линейных форм с целыми коэффициентами равносильны издчении совместных приближений векторов с действительными коэффициентами векторами с рациональными координатами-. Эта связь прослеживается во всей истории развития теории диофантовых приближений зависимых величин. Ю.Кдбилпсом* была рассмотрена система

и доказано, что для почти всех и для любого &>0

система неравенств (1) имеет лижь конечное число ренений в на-тдральных Автоматически принцип переноса Хинчина приводит к следрщемд результата: неравенство

-г

х

¡V < ( та/31 ! <41) , &>о с2>

04*14*2.

имеет для почти всех иг е. & лиаь конечное число решений в целочисленных векторах (л9,Л1, а.^) & ¿Г . В дальнейвем оказалось, что иногда более точные результаты полдчались для систем неравенств типа (1), а иногда для неравенств типа (2). В связи с этим отметим работы В.Г.Сприндждка, В.И.Берника, М.Додсона.

1. Шшс 0 №кш итш шгаш Июпчша I рскпи шс! зшп ктписпй корн «км. ш ссс? 5т. да. ш т.

В диссертаций рассмотрены задачи обоих типов. Б той слд-чае, когда принцип переноса Хинчина уже не дает тесной связи меядд неравенствами вида (I) и (2), возникавшие при этом мноке-ства ндлевой керн издчаптся с помочьн понятия размерности Хадсдорфа.

Щ&ь и задами иослехк&сишя. Целью диссертации является изучение совместных приближений ндля значениями многочленов с целыми коэффициентами, а также совместные приближения рациональными векторами точек гладких многообразий. Основные задачи диссертации: получение верхних и ниених оценок разкерности Хадсдорфа мновеств точек плоскости с заданным порядком аппроксимации алгебраическими числами; построение регдлярных систем точек с алгебраическими координатами; оценка числа многочленов ограниченной степени и высоты с фиксированной оценкой сверхд для дискриминантов; полдчение асимптотической формулы для числа рациональных точек вблизи гладких многообразий.

Шщптя. ш&щт ¡шщпеннт . Все рездльтаты

диссертации являются новыми. Для доказательства ряда теорем приелось дсовераенствовать как метод построения регулярных систем точек, так и метод существенных и несдщественнык областей, новой является и асимптотическая формдла для числа рациональных точек в параграфе 4.1 главы 4.

Мрттшхшя зношшсМь п&лупенных ре-$умШаШаВ-. Задачи издчения мновеств векторов

(АС&.Шг),...,^*)),

при некоторых ведественнозначних еднкциях ¿»(зО,..-, ^гьС^Х в которых линейная форма

. + (3)

принимает малые значения, имеет многочисленные применения в теории фднкций, методах вычислений. Особенно много применений они

имеют в некорректных задачах математической физики, когда выражение типа СЗ) оказывается в знаменателе ряда, через который выписывается ревение некоторого дифференциального уравнения в частных производных. В этой случае возникают так называемые малые знаменатели и оценки «еры и размерности Хаусдорфа мно-аеств тех ЕЕ, для которых модуль (3) мал, позволяет в ряде случаев пренебречь такими множествами и для всех остальных X избавиться от «алых знаменателей.

Основные- наложения аиссер/Шщи, Ыноалмые, на защищу.

I. Для множества при А >«--* получена оценка

снизу размерности Хаусдорфа

(теорема 3, глава 3), что вместе с основным результатом второй главы дает точное значение размерности Хаусдорфа при

А ^ + 8

(теорема 2, глава 2). 2. Доказано, что при А ^ 10п>+8

(Цт, , (Л ) ^ i +

п + {

3. Построена система хорово распределенных варов в (параграф 4.1, глава 4).

п-

4. Остановлена двухсторонняя оценка размерности Хаусдорфа множества М (у) (теорема 4, глава 4).

Мробщия /кдайюМ. Основные результаты диссертации докладывались на следувцих конференциях: Всесовзная конференция "Теория чисел и ее приложения" (Тбилиси, 1985); XIX Всесовзная алгебраическая конференция (Львов, 198?); Всесовзная научно-техническая конференция "Техническое и программное обеспечение комплексов полунатурного моделирования" (Москва, 1988); Всесовзная икола "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел" (Минск, 1989); Республиканская научно-теоретическая конференция "Теория чисел и ее приложения" (Таикент, 1990); Международная конференция "аналитические и вероятностные методы в теории чисел" (Паланга, 1991); II Международная конференция "Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел (Воронеж, 1995).

ОодбжтоЯотосШь- резршМ. Результаты диссертации опубликованы в работах списка опубликованных работ по теме диссертации.

Структура и оФьел диссерШоцт. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав, выводов, библиографии и приложения. Общий объем диссертации - 138 е., из них 5 с. занимает библиография (55 наименований), 25 с. занимает приложение, содержащее листинг и результат работы программы, подтверждавшей приавкльность расчетов при доказательстве основной леммы (параграф ЗЛ, глава 3").

СОДЕРШИЕ РАБОТЫ

Первая глава носит предварительный характер. В ней собраны определения н сведения, а также вспомогательные результаты, необходимые в дальнейвем. С помощью лемм первой главы от множества целочисленных многочленов удается перейти к множеству неприводимых многочленов, имеющих удобнуа структуру коэффициентов и корней. Заметим, что леммы 14-1? являштся обобщением и усилением классических результатов теории трансцендентных чисел.

Во второй главе устанавливается неравенство / /

сШп, ¿„,,2. \ * > > 1 + "Рй

Основой доказательства является факт хорошей равномерной плот-кости распределения в й/" точек с вещественными алгебраическими коэффициента*«. В свов очередь этот факт устанавливается с пошщьв следившей лениы, представляющей самостоятельный интерес.

Л Е И М А. ПусШь Р - ш№ша& объединение- пр.тоу>г<}АЫ№м& а для лю&0'гх> ц/лат ттжтемшнгъ Н, ойоцштил.

/¿р(п.,Ю тотсМъ Ьсеос <а £

для которых сщсх:Шуш 1>екюр оО с- 6с~

щсШтшшх а^шйрттешт ы.1 « г я&ляющш-шея корнями одного- а п&го- ж- ншриЯодишуго шю>га-чжт- Степана но больше, п. и &ысаш не- йомене, И и-юшогя, что- для иелхто^юго £> О

|-иг,-*^! < Н с Н

ШЫа

В третьей главе доказывается неравенство

- 1 + при к&ЮгМ-Я.

Главная трудность доказательства состоит в получении оценок сверху для числа неприводимых многочленов степени не выне Л, у которых производная мала по модули по крайней мере в двух корнях этого многочлена. Существенным моментом доказательства является нижеследующая лемма, обобщающая известнув лемму Гель-фонда в теории трансцендентных чисел

й Е К й Й. ТЬцсмь. £>0 - нейошрос л&екное число, £ -наЩрольное- числа, Н(£,&) - д(кШтпт б&лщю-е, &щесШеннае- паем, а ас*.) е ¿ГГзсЗ

цел/ушелё-нкш &$аил№ простые, мн&гтлжы, и

пыхл. (И{Р), И (О.)) , Г Оед Р(рс.) & £ , 4 *

и, краж- темго, и - Ша интер&ат теше-,

чШа ^СИ^—Ф,

если для &с&% гл г</~ & I. Шюлншпся _„ ' 11 г, л-

нера&емежа

-Ъ

г. Ге»4ш ¡1.0. Тшскшгане» ашбрагесш те- 8.:Г«стсшют, 1552.-224 с.

№

Эта лемма позволяет получить существование многочленов, принимавших малые значения на отрезках заданной длины. При этом саки многочлены имеют или невольную степень или небольнув высоту.

В четвертой главе с покоцью метода тригонометрических сумм получены оценки сверху и снизу для многеств точек некоторых многообразий с заданным порядком совместной покоординатной аппроксимации.

ТЕОРЕМА. Щсть - ттшрш функции, треде^

№М№& на штерЫлт, Ти , I ¿¡-т , еде- Нг, Ъ-Я. Ъо-те- т-г&, гщсЯь

Цп(хо\>о,

_ т.

когда Х1611. &сли - шажссШЯо с&К, ,

дш которых система

-V

пихл с и И, II ь^)^11) < $

1 6 I 6 пь

инееЯ йескон&хно ¿аиуго решений £ целых , ш ел® у а

сШь ММ * > ^ •

выводы

В диссертации получены следующие результаты.

. Получена точная оценка снизу размерности Хаусдорфа множества Хп. ("v) действительных векторок, в которых целочисленные многочлены с заданным порядком аппроксимируют нуль.

- Установлена оценка сверху размерности Хаусдорфа мновест-ва которая при v»/Он, 8 совпадает с нижней и

тем самым дает точное значение cUm, jC^ (tr) ,

. Построена регулярная система точек в А - мерном евклидовом пространстве с действительными алгебраическими координатами.

. С помощью метода тригонометрических сумм даны верхние к нижние оценки размерности Хаусдорфа множеств точек некоторых многообразий с заданным порядком совместной покоординатной рациональной аппроксимации.

СПИСОК ОПУБШОВЙШШХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДЙССЕРТЙЦШ

1. $ершш S.U., Зкре&ерзеЫ %.Л. Равномерное распределение действительных алгебраических чисел в R // XIX Всесоюзная алгебраическая конференция: Тез. докл. конф.- Львов, 1987.- С. 35.

2. Ъернш S.U. ,Яере&ете1£а О распределении векторов с алгебраическими координатами в // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. конф.- Воронеж, 1995,- С. 15.

J. Яере&ерзе&а %.А. Совместные приближения нуля значениями целочисленных неприводимых многочленов в R4 / Ред. журн. "Весц! ЙН БССР".- Минск, 1984,- 17 е.- Деп. в ВИНИТИ 18.12.84. per. N 8095-84 Деп.

4. И.Л. О распределении векторов с алгебраическими координатами в R2 // Всесовзная конф. "Теория чисел и ее приложения": Тез. докл. конф,- Тбилиси, 1985.

- С. 199-200.

5. Шфе^мсЫ %.Л. Использование ЭВМ для анализа систем неравенств // III Гродненская областная конф. молодых ученых и специалистов "Молодежь и научно-технический прогресс": Тез. докл. конф.- Гродно, 1988.- С. 79.

6. Яере&ерз-еЯо, %.Л. Распределение векторов с алгебраическими координатами в R* // Becqi fill БССР. Сер. ®i3.-Mar. кавук,- 198?. N4.- С. 114-116.

7. Мере&еше£& %-Л. Об оценке снизу размерности Хадсдорфа некоторых мгшкеств евклидовой плоскости // Becqi ЙН БССР. Сер. ф!з.-мат. навук.- 198?. N8.- С. 102-104.

8. П.Л. Об одном машинном алгоритме анализа систем неравенств // Всесовзная надчно-техническая конф. "Техническое и программное обеспечение комплексов полу-натдрного моделирования": Тез. докл. конф.- Москва, 1988.

- С. 124-125.

3. JiemSe-p^eSa U.A. Об одной теоретико-множественной харак-

пл

теристике мнокеств в к , допускапщих заданный порядок аппроксимации алгебраическими числами // Весц1 ЙН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук.- 1989. N4.- С. 34-38.

10. Жере&ерзе&а %.d. 0 размерности Хадсдорфа множества ¿п^ОО // Всесевзная экола "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел": Тез. докл. - Минск, 1989.- С. 119.

11. йере&ерзе&х М.Л. Об оценке числа неприводимых многочленов с малыми дискриминантами // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. конф,- Таетент, 1990.- С. 94.

12. Be/mik V.I., fwwmswa Ж.Л. The uethod of trigonoaetric suss and lower estiaates of Hausdorff distension // New Неы trends in probability and statistics. Uol. 2. Anali-tic and Probabilistic Methods in Nuuber Theory. Proc. of the International conf. in honour J. Kubilius.- Vilnius, 1992. P. 75-81.

РЕЗЮМЕ

ШреЯеруеЛа Шт ¿тШаАьеЯт,

Совместное приближение нуля значениями целочисленных многочленов и размерность Хаусдорфа

Ключевые слова: диофантовы приближения, мера Лебега, размерность Хаусдорфа, регулярная система, метод тригонометрических сумм.

й работе найдено точное значение размерности Хаусдорфа множества действительных векторов, элементы которых допускаит заданный порядок приближения алгебраическими числами.

Получены двухсторонние оценки размерности Хаусдорфа множеств точек из Р , в которых целочисленные многочлены совместно аппроксимирует нуль.

Построена регулярная система точек в К*' с алгебраическими координатами.

С помощью метода тригонометрических сумм получена асимптотическая формула для числа рациональных точек вблизи гладких кривых и построена регулярная система из рациональных векторов, что позволило найти верхние и нижние оценки размерности Хаусдорфа множеств точек гладких многообразий с заданным порядком совместной покоординатной аппроксимации рациональными числами.

РЗЗВМЕ

Шт Мажш>ецш

Супольныя наближанн! нуля значэнням! целалшавых мнагаскладау I памернасць Хаусдорфа

Кднчавыя словы: дыяфантавы набл!жанн1, мера Лебега, памернасць Хаусдорфа, рэгулярная с!стзма, иетад трыганаметрычных суиау.

9 рабоце знойдзена дакладнае значэнне памернасщ Хаусдорфа иноствау рзча1стных вектарау, элементы як1х дапускавщь зададзе-ны парадак набл1кання алгебра!чным1 л1каиь

йтрыианы двухбаковыя ацэтй паиернасцг Хаусдорфа пунктау з R.*", у як!х цеяалшавыя «нагаскяады супольна анракс1«уиць нуль. Пабудавана рзгулярная сктзма пунктау з fl*~ з рзча1с-íiuui алгебра!чным! каардынатамк

3 дапамогай иетада трыганаметрычных сумау атрымана acitw-татычная формула для колькасиИ рацыянальных пунктау у наваколл! гладк1х крывых i пабудавана рзгулярная схстзма з рацыянальных вектарау, ито дазвол!ла знайсц! верхн!я i Hisnia ацэнк! памер-Hacyi Хаусдорфа иноствау пунктау гладк!х инагастайнасцяу з за-дадзены« парадка« супольяай пакаардынатнай апракс!кацы1 рацыя-нальным! fliKaMi.

SUMMARY '

fmmmsma, Mina ánato-lywna

Joint approxiaation? of zero by the values of integer polynoaials and Hausdorff diaension

Key words: Biohantine approximations, Lebesque neasare, Hausdorff diaension, Regular systea, trigonoaetric subs sethod.

In the dissertation не find art exact value of Hausdorff diaension for the set of real vectors sith the given order of approxiaation by algebraic nuabers.

He prove the lower and upper bilateral estisates for the Hausdorff diaension of the set of points where the integer polynoaials give a joint approxiaation of zero.

He have constructed a Regalar systea in with algebraic coordinates. By aeans of trigonometric sues aethod we obtain an asysptotic foraulafor the ntraber of rational points near saooth curves. This allowed to constract the regular systeas of rational vectors and find lower and upper estiiates of Hausdorff disensión for the subsets of saooth aanyfolds with the given order of joint coordinate approxiaation by rationals.