Приближенные методы решения некоторого класса задач гидродинамики и применение метода сеток к исследованию циркуляции вод в замкнутых водоемах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Исследование метода сеток для уравнений

Бона-Смита и Бюргерса-Кортевега-де Вриза . Ш

§ I. Постановка задачи, разностная схема, свойства разностного решения . /oL

§ 2. Однозначная разрешимость разностной задачи 3l

§ 3. Сходимость метода.

Глава П. Численное исследование динамики циркуляции вод в замкнутом водоеме

§ I. Постановка задачи и численный метод гиперболическая модель) . 5?

§ 2. Анализ результатов численных экспериментов

§ 3. Об одной разностной схеме расчета ветровых течений в замкнутом водоеме (параболическая модель).Ц

Исследование вопросов построения и сходимости разностных схем для нелинейных уравнений, а также вопросам разрешимости и корректной постановки краевых задач для этих уравнений и их разностных аналогов посвящены работы А.А.Абрамова и А.Н.Гаипо-вой, А.А.Абрамова и С.Х.Джумагазиевой, В.Н.Абрашина, С.Н.Антон-цева, В.Ф.Баклановской, Н.С.Бахвалова, Ю.А.Березина, И.Н.Бондаревой, Ф.П.Васильева, А.А.Злотника, С.Н.Кружкова, Ж.Н.Кудря-шевой, Г.М.Кобелькова, О.А.Ладыженской, Н.А.Ларькина, А.Д.Ляш-ко, Г.И.Марчука, В.А.Новикова, О.А.Олейник, М.А.Расулова, А.А.Самарского, Л.Ф.Юхно, Н.Н.Яненко и многих других авторов.

Результаты, полученные в первой главе, дополняют уже известные исследования о сходимости разностных схем и о разрешимости дифференциальных уравнений и их разностных аппроксимаций.

В первой главе исследуются приближенное и точное обобщенное решение нелинейного уравнения ъькуъх3- * J~~ эх ъх3 ъх« }

Xj)6» = &X[Oj]3 6-= [0,1).

Здесь oCj f>j fj £} сГ - константы, О> О 3 £>> Oj (f?/ О . При (г~ 0} fi — о уравнение (I) превращается в известное уравнение Бюргереа-Кортевега-де Вриза, а при £ = О,

Г= 0 j о - в уравнение Бона-Смита, которое принято считать альтернативным по отношению к уравнению Кортевега-де Вриза.

Предполагается выполнение начального условия

2) ULo = Uc №> а в качестве граничных условий используются условия L -периодичности а= /) функции ll(0Cj Ь) по X при t& [О, Т]. Разностные методы решения уравнений Кортевега-де Вриза описаны, например, в монографии ы. Разрешимость краевой задачи для уравнения Кортевега-де Вриза методом параболической регуляризации доказана в [40J; в [20] доказана разрешимость задач для уравнения Кортевега-де Вриза в классе растущих коэффициентов. В книге [43] исследуются вопросы разрешимости некоторых классов нелинейных уравнений в частных производных третьего порядка, в том числе и уравнения Бона-Смита, с другими граничивши условиями. Разностные методы решения этих задач в [43] не исследуются.

В первом параграфе для рассматриваемой задачи предлагается следующая консервативная схема с условием

4> uLo= udCxl) и с условиями kf -периодичности по % {U-/)b качестве граничных условий. Доказана теорема о свойствах разностного решения при различных наборах констант d , J> , у » £ » (Г . Теорема I.I:

При любых ,решение задачи (3), (4) удовлетворяет соотношениям

5) d jyiOLXlUj ^ С , если в+г + cf^Oj Я) и ^ + (кгт*т ^ = ^ , л t км+£Пи**Ы ы с>

77) з+e + cf

С не зависит от Ъ} Q < С - coxs£.

В том же параграфе доказывается свойство разностного решения задачи (3), (4), характеризующее равностепенную непрерывность его по i в норме C^f-i ^ ' Где

Oj-tj].

Это свойство разностного решения дополняет априорные оценки (5)-(7') и используется в § 3 при доказательстве существования предельной функции при неограниченном измельчении сетки. Теорема 1.2:

При любых ^ , Д для решения задачи (3), (4) справедлива оценка о, + 1/ 4/

V- [U £ £ I це) 7 ^ CCS?) где при J>i 0 * jf— О , С не зависит от ^ , Я \ (с/^С, €2-0t JZ7o),q. при J^-0 , О , ёф О С не зависит от :(<£о» 0),о< С - const М>0.

Во втором параграфе доказывается однозначная разрешимость разностной задачи (3), (4) и предложен итерационный прием для фактического решения нелинейной разностной задачи, исследуется его сходимость. Теорема 1.3:

При любых фиксированных А , решение задачи (3),

4) существует и единственно, если ^ ^ О , £ ^ О , О , (Ръ* О » или же если J} ~ О , (ft £ £ О , ^ф О ; при из существует сходящийся итерационный процесс ее решения, где С не зависит от 0 < С — const,

О < 00/16 6 - СО ^

С при О J

С А ПРИ J& ~ & •

В третьем параграфе исследуется сходимость разностного решения к точному. Доказана компактность восполнений дискретной функции, полученной в результате решения задачи (3), (4), а также разрешимость дифференциальной задачи в классе обобщенных решений.

Определение. Назовем обобщенным решением задачи (I), (2) L -периодическую (/>-/) по X функцию tl(OCjt) G Ь^СЮ) с конечным VZClLwolXjи,! , если при всех из [0,11 выполняется:

I) lie wfe) (если О ), или же и, 6 если J>=0 , €f о , f4 О ), №и,/ЪхгеЬА fa) » 2) Для всех ^ , X; -периодических по X и обращающихся в нуль при t Т и в при t — О , принадлежащих

ЪХЪЪ £L^M при О , справедливо интегральное тождество (ff, ш m ^ ъъ

Теорема 1.4:

Решение задачи (I), (2) в смысле (9) существует. Оно может быть получено из решения разностной задачи (3), (4) предельным переходом при неограниченном измельчении сетки, если точное решение вида (9) единственно.

Единственность точного решения вида (9) в работе не исследуется. В предположении, что решение задачи (I), (2) единственно, получен результат о сходимости разностного решения к точному решению при неограниченном измельчении сетки.

При доказательстве теорем I.1-1.4 используется методика, разработанная в работе [15] для других уравнений. Автор диссертации ознакомился с полным текстом доказательств, опубликованных (в кратком изложении) в [lb] . разлигные. константы осгозна-гсиот-ся. оъио'и (ti/kbodi с там-, где не тредуетсэс joxhbtзцагенце констант.

Вторая глава диссертации посвящена вопросам численного решения уравнений Сен-Венана. Исследованию вопросов постановки задач для уравнений Сен-Венана, а также вопросам построения и свойств различных разностных схем для этих уравнений посвящены работы В.Е.Вольцингера и Р.В.Пясковского, Р.В.Пяс-ковского и В.Н.Молчанова, В.Ф.Баклановской, Б.В.Пальцева и И.И.Чечель, А.С.Блатова, М.А.Расулова и И.И.Чечель, В.Ф.Баклановской, З.Н.Добровольской, П.П.Корявова и И.И.Чечель и других авторов.

В первом параграфе для полноты изложения рассматривается гиперболическая система

10) oc}y}t) еюл (Х}у) е в J с условиями

II) где Ю- &Х[0} Т] » & ~ область, моделирующая водоем с границей Г ; U ~ (Us, &) - осредненные по глубине горизонтальные компоненты скорости и поднятие уровня свободной поверхности - искомые функции, - расстояние от дна до некоторой плоскости, Н = ^ + , - параметр

Кариолиса, ^ - ускорение свободного падения, С - коэффициент Шези, ^ - напряжение ветра, J2 - плотность воды, Ц^ - нормальная компонента вектора скорости.

Модель (10), (II) изучалась в работе fl2], где предложена некоторая модификация уравнений вблизи границы и приведена разностная схема, обеспечивающая устойчивость вычислительного процесса. Именно эта разностная схема использовалась в расчетах, выполненных автором диссертации.

Во втором параграфе модель (10), (II) применена для расчета течений и колебаний уровня под действием ветра в Аральском море. Использована описанная в § I диссертации разностная схема. Изучение циркуляции водных масс Аральского моря под действием ветра производилось при учете общего состояния водного баланса, зависящего от положения среднего уровня моря и полноводности впадающих в него рек.

1. Абрамов А,А,, Гаипова А.Н. О численном решении некоторых систем для задач типа Стефана. - ЖВМ и МФ, 1971, т. X1. № I, с. I2I-I27.

2. Абрамов А.А., Дкумагазиева С.Х. О скорости сходимости одного итерационного метода решения уравнений, содержащих монотонные операторы. ЖВМ и МФ, 1984, т. 24, № 2, с.305-308.

3. Абрашин В.Н. Разностные схемы для параболических уравнений с вырождением 1,-ДУ, 1976, ХП, № 28, с.1470-1484.

4. Абрашин В.Н. О некоторых разностных схемах для задач лучистой теплопроводности. Докл. АН СССР, 1976, т. 230, № 4, с. 753-756.

5. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. О некоторых нестационарных задачах с неизвестными границами. Некоторые цроблемы математики и механики. Л., Наука, 1970, с. 75-87.

6. I. Аральское море, В кн.: Современный и перспективный водный и солевой баланс южных морей СССР, Тр.ГОИН, 1972, вып.108, с. 167-218.

7. Баклановская В.Ф. Численное решение одной задачи нестационарной фильтрации. ЖВМ и МФ, 1961, т. I, № I, е.105-112.

8. Баклановская В.Ф. Численное решение одномерной задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации, ЖВМ и МФ, 1961, т. I, № 3, с. 461-469,

9. Баклановская В.Ф. Исследование метода сеток для параболических уравнений с вырождением. ЖВМ и МФ, том. 17, № б, 1977, с.1459-1473.

10. Баклановская В.Ф. Сравнение точного и приближенного решений систем уравнений параболического типа с вырождением. ЖВМ и МФ, 1979, том 19, № 6, с.1471-1484.

11. Баклановская В.Ф., Пальцев Б.В., Чечель И.И. О краевых задачах для уравнения Сен-Венана на плоскости. ЖВМ и МФ, 19, № 3, 1979, с.708-725.

12. Баклановская В.Ф., Добровольская З.Н., Корявов II.П., Чечель И.И. Численный расчет плоских течений 6 Онежском озере при переброске вод.-Водные ресурсы, 1980, № 3, с.ПЗ-121.

13. Баклановская В.Ф., Чечель И.И. Об одном методе численного решения уравнений Эйлера, М., изд. ВЦ АН СССР, 1978.

14. Баклановская В.Ф. Исследование метода сеток для уравнений типа Навье-Стокса, Эйлера, описывающих распространение двумерных уединенных волн Россби. В сб.: Численные методы динамики вязкой жидкости", Новосибирск, 1983, изд.ИТПМ СО АН СССР.

15. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., Наука, 1973.

16. Березин Ю.А. Численное исследование нелинейных волн в разреженной плазме. Новосибирск, Наука, 1977.

17. Блатов А.С., Косарев А.Н., Тужилкин B.C. Изменчивость гидрологической структуры вод Черного моря и ее связь с внешними факторами. Водные ресурсы, 1980, № 86, с.71-82.

18. Балтов А.С., Расулов М.А., Чечель И.И. Исследование циркуляции вод северо-западной части Черного моря и ее связь с антропогенным воздействием. Водные ресурсы, 1983, №4, с.30-37.

19. Бондарева И.Н. Уравнение Кортевега-де Вриза в классах растущих функций с заданной асимптотикой при Jocj о^ . Мат.-1D1-сб. (новая серия), М., Наука, 1983, т. 122 (164):2(Ю), с. I3I-I4I.

20. Бортник В.Н. Современные и црогнозируемые изменения гидрологических, гидрохимических и гидробиологических условий Аральского моря. Водные ресурсы, 1983, № 5, с. 3-16.

21. Бортник В.Н. Некоторые гидрологические аспекты восстановления рыбохозяйственного значения Аральского моря. Рыбное хозяйство, 1980, №9, с. 56-58.

22. Вишик М.И. Решение системы квазилинейных уравнений, имеющих дивергентную форму, при периодических граничных условиях. -ДАН СССР, 1961, 137, № 3, с. 802-805.

23. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М., Наука, 1979.

24. Вольцингер Н.Е., Пясковский Р.В. Теория мелкой воды. Л.: Гидрометеоиздат, 1977.

25. Герасимов И.П., Кузнецов Н.Т., Городецкая М.Е. Современные задачи научных исследований по проблеме Аральского моря. -Изв. АН СССР, Сер. геогр., 1980, № 4, с. 37-44.

26. Даулетияров К.Ж., Чечель И.И. Расчет течений и уровня воды в Аральском море. "Вестник" ШШН Уз.ССР, 1982, № 3, с.3-5.

27. Даулети*фов К.Ж. Исследование метода сеток для уравнений Бона-Смита и Бюргерса-Кортевега-де Вриза. ЖВМ и МФ, 1984,т. 24, № 3, с. 389-402.

28. Дрейер А.А. Режим волнения и ветра Аральского моря. Практическое пособие. М.-Ташкент, ГОИН-УТКС Уз.ССР, 1963. - 59с.

29. Житомирская 0,М. Климатическое описание района Аральского моря. Л., Гидрометеоиздат, 1964. - 68с.

30. Злотник А.А. Оценка скорости сходимости в проекционно-раз-ностных схем для параболических уравнений. ЖВМ и МФ, т. 18, № 6, 1978.- 1D% —

31. Калашников А.С. О возникновении особенностей у решений уравнения нестационарной фильтрации. ЖВМ и МФ, 1967, т. 7,2, с. 440-443.

32. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ М., Наука, 1977.

33. Кобельков Г.М. О численном решении задачи стационарной конвенции в естественных переменных. Препринт № 57, М., 1983, изд. отдела вычисл.матем. АН СССР.

34. Кудряшова Ж.Н. Численный метод решения задачи о расцростра-нении консервативной примеси в водотоке. ЖВМ и МФ, т. 18, № 6, 1978, с. I549-1560.

35. Кружков С.Н. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя неизвестными переменными. Труды семинара им.И.Г.Петровского. Изд. МГУ, 1979, вып. 5, с. 217-272.

36. Кружков С.Н., Сукорянский С.М. Краевые задачи для систем уравнений типа двухфазной фильтрации, постановка задач, вопросы разрешимости, обоснование приближенных методов. Мат. сь., 1977, 104 (146), 1(9); с. 69-88.

37. КарчевскиЙ М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. Казань, 1976, изд. Каз.университета.

38. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М., Наука, 1973.

39. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных паевых задач. М., Мир, 1972.

40. Львович М.И., Цигельная А.Ф. Управление водным балансом Аральского моря. Изв. АН СССР. Сер. геогр., 1978, № I, с. 42-54.

41. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

42. Ларькин н.а., Новиков в.а., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. изд.Наука, СО. Новосибирск, 1983.

43. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., Наука, 1969.

44. Олейник О.А., Калашников А,С., Чжоу Юй-линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации. Изв. АН СССР, 1956, сер. мат.наук, 22, с.667-704.

45. Расулов М.А. Численный метод решения одного уравнения параболического типа с вырождением. ДУ, 1982, т.18, № 8, с.1418-1427.

46. Расулов М.А. Эффективное решение одной смешанной задачи теорией фильтрации. ДУ, 1979, т.ХУ, № II, с.2044-2055.

47. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., Наука, 1977.

48. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М., Наука, 1978.

49. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1976.

50. Шкудова Г.Я., Ковалев Н.П. Опыт применения гидродинамической и стационарной модели для расчета течений в мелком море. Метеорология и гидрология, 1969, № 10.

51. У.С, tiUibk cubd G-. R. McG-dlw, fturnvbitcd stuAy. itub fUfybL&afrizeA/ tottfj, wa-vy, MjAJLatiotv, I: me/t-kocU. У. СочтциьЬа,-bloncut pintles, 19} (ms). p. 43-5?.56. $.//. of tk cUtefofmetbt ol ал ипсЬибал Л VOuid./ПгЖ.2S Ш. f. 311-350 •