Приближенные методы решения задачи олинейных колебаниях ограниченного обьема вязкой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

1 ^К?

1 • 1 ' НАЩ0НАЛЫ1А АКАДЕМШ НАУК УКРА1НИ

IIIстатут МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису

БАРИЯК Оксана Миийл1вна

НАВЛИЖЕН1 МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ1 ПРО Л1ШЙН1КОЛИВАННЯ ОБМЕЖЕНОГО

ов'ему в'язко! Р1дини

Спец!альн1сть 01.01.03 — математична фЬнка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацП на здобутгя наукового ступени кандидата фпнко-математичннх наук

КиУв- 1997

Дисерташею в рукопас Робота виконана в 1нституп математики НЛН Украши

Науковвй кершник: член - кореспонденг HAH Украши, доктор ф!зихо - математичних наук, професор

ЛУКОВСЬКИЙ I.O.

ОфЫйи! опоненти: член - кореспондент HAH Украши, доктор фЬико - математичних наук, професор

КУБЕНКО В.Д.

кандидат фЬико-математичних наук, доцеят

ГОРДИНСЬКИЙ л.д.

Провшна установа: 1нститут гшромехашки HAH Укра?ни

Захист в1дбудеться "' «CS/mffjjgar р. о —год. назас1аанн1 спешал!зо-вано! вченоУ ради Д 01.66.02 пр t 1нституп математики HAH Украине за адресою: 252601 КиТв 4, МСП, t ул, Терещенк1вська, 3.

3 дисерташею можпа ознайомнтися в б1блютещ 1нституту. Автореферат розклако р.

Вчений секретар спешалповано1 ради доктор ф13. - мат. наук ^ ЛУЧКА А.Ю.

к

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуалыпсть теми. Задач! про рух ршини-в порожниш твердого Т1ла стали актуалышмн в зв'язку з проектуванням об'ектЬ ав1ашйно1, ракетно? та коскичио! технки. С'аме при Тх постанови! виник ряд шкавих ма-тематичних проблем, як! знай шли свое воображения в роботах О.Коип, М.В.Остроградського, СЛ.Соболева, С'.Г.Крсйна та шшнх.

В працях М.М.Мок-еева, Г.С.Нарманова, БЛ.Рабшовича, 1.0.Луковського та шших грунтовио доаиджеш та запропонован! наближеш мешди розо'язаиня задач дипамжн обмеженого об'ему 1деально1 рщинн. Нощбн! задач1 для математичпо1 модел» в'язко'1 ршини вивчеи зиачно менше. В роботах С.Г.Крейна, Н.Д.Копачевеького, Н.К.Аскерова, Г.1.Лаптева, IIго Зуй Кана, В.Гр)нп1, А.К.Гараджаева за допомогою метелив функцюнального анал1зу доонджеш питания ¡щупания 1 единое™ розв'язмв задач! про мал1 коливаиня обмеженого об'ему в'язко! [»¡динн та встановлеш спектралып властивосп задач! про нормалым коливання в'язко! рЬшнн.

Менш розроблсною е алгоритм!чна сторона задач динамжи в'язко? ршшш. Побудова розв'язмв крайовнх задач для ршиянь Нав'е - Стокса, як! опису-ють рух в'язко-! р\дини, пов'язана э рядом математичнпх проблем. При ма-лих значениях в'язкосп ршшш ршняиня е сингулярно-збуреними. В цьому внпадку для побудовн розв'язкш крайовнх задач в роботах М.М.Мокеева, Ф.Л.Чорноусько, Б.КРабшовича, С.Д.Вжтхцюва застосовуеться метод при-межевого шару. Для дослщжеиня руху ршпш при великих та середшх величинах коофнаенха в'изкогп застосовуються чиселып методи, яш знай-шли сбое вшображепня в роботах Р.Темама, 1.Б.Богоряда та шших.

1снуе ще один шдхш до побудови паближених роэв'язк!в крайовнх задач мате матично» фпики - це нроекшйм методи, як! грунтуються на визна-ченн! узагальноиих розв'яэкт задач шляхом знаходжеиня стацюнарних зна-чень в1дпоп1дш1х квадратичних функ1нонал10. Так) методи були запропо-Иован! в роботах М.М.Мо1сеева, А.А.Петрова, ГО.Луковського для побудовн рочп'язюв задач дингилки ¡деально!' рЫини. Застосовувати проекцМт

методи до крайових задач динамши в'язко'1 ршши не просто, оск1льки ш зада'п характеризуются високою poiMipiiicTto та сингуляршстю. В роботах М.Я.Барняка розроблено проекшйш методи побудови наближеиих розв'язк1в одше! h найпростшшх задач цього класу, а самс: плоско! задач! про нормальш поперечж коливання в'язкоУ р'шшш в нескш ценному горизонтальному каиал1 з умовою прилипания на тверд1й CTiimi.

Представляв штерес побудова наближеиих методт розв'язання задач! про niiiifmi коливання в'язко! рщнни при yMoei проковзувания з тертям. Саме при такш yMoei можна описати реальний pyx ninii перетину трьох середо-вищ: газу, твердо? стшки i ршини. При yMoei прилипания ця л1шя неру-хома. Нерозв'язаною залишаеться також проблема поширеиня проекшйнпх метод) в на просторов! задачу найпрост!шою з яклх е задача про симетричш коливання рщини в посудит, що мае форму Tina обертання.

Таким чином, задача про лЫйш коливання п'язкоТ нестисливо! ршини, яка частково заповнюе порожнину нерухомого твердого Tina, вщноситься до числа малодослшжених задач, особливо в аспект! побудови ii наближеиих розв'язюв у випадку конкретних областей i представляв теоретичний i практичний штерес.

Мета роботи. Побудова квадратичннх функшонагпв, сташонарш значения яких е узагальненими ро'зв'язками задач! про нормалып коливання в'язко'1 ршини в нескшченному юризонтапьиому капалi з умовою проковзувания з тертям на тверд ifi rriimi та задач! про нормалью (нметричш коливання ршши в посудиш, яка мае форму Tina обертання. Рпзробка про-екц1йних мето/ив дослшження спектрапышх властпвоси'й та визначення niiicHHX i комппексних нласпих значеиь задач при ловшышх аивпшношен-нях М1Ж величинами масових сил та сил в'язкого тортя. Загальи_а методика дослщжень.

В po6oti пикористопуються методи leopii егптичних крайових задач, napiauifini, проекшйш М'чоди. методи Teopii епешальикх фунмпй. комплексного алшту, ninifiiioi алгебри, teopi'i наближеиих обчнг.чень.

Наукова повизиа результат дисертащшю1 роботи полагав в тому, що п нш вперше

-запропоновано иар!ац1йш формулювання наступних задач динамши об-меженого об'ему в'язкоТ рщиан: зада1» про нормалып попере'нп коливання ршпнн в нескшченному горизонтальному канал! з умовою проковзування з тертям на твердш стшш та задач! про нормалып симетричш коливання ршшш в посудин!, яка мае форму т!ла обертания;

-розроблено проекцшннй метод догл!дження спектралышх властивостей дих задач та знаходжеиня Ух дшсних власних значень;

--сформульовано проекшйний метод визначення комплексних власиих значень сингулярно-збурених спектральних крайових задач, ям онисують нормалып коливання малов'язкоТ ршини;

-побудовано алгорнтми обчислення сннгулярних квадратур, як\ шстять в соб! фундаменталышй розв'язок р1вняння Гельмгольца;

-проведена чисельна реал ¡зад ¡я вах запропонованих в робот! наближених мепэдт розв'язання спектралышх крайових задач для областей конкретно! гсометрнчноТ формн.

Теоретична та практична ццнщсть результатов роботи визначйеться розробкою ефектйвних методов розв'язання складной важлпвоТ в прикладному шдношеин! задач! про лшшн! коливання обмежепого об'ему в'язкоТ радини, В тому числ!, запропонованопроекшйний метод розв'язаннясингуляр-но-збуреиих крайових задач, як! огшсуюгь коливання малов'язкоТ р!динп. Одержан! результат!! е нопимн 1 можуть бути використаш в крайових задачах математичноТ фпяки з в!льною границею та теоретично? гщромехашки. Аяробащя роботи. Результата днсертащйноТ роботи допОвадались на Четверт!й М!жиароди!й иауковш конференци ¡м. акадом!ка М.Кравчука (11 - 15 травня 1995 р., КиТв), Лруг!й ВсеукрашськШ конференци молодпх вчеййх "Сучасш фвмко-математичш дослщжеиня молодих науковшв вуз1В Украши" (16 - 18 травня 1995 р., КиТ'в), П'ятш М!жнародшй конференци ш. академ^а М.Крапчука (16 - 18 травня 1093 р., КпУв), семшаргис "Матема-

тичш проблема мехашкп" [Ьктчтут математики HAH Украши), cewinapi 1нституту гшромехашки HAH Украши..

Публжац». OcHOBisi результата дисертацн опублшоваш о роботах [1-6]. Обсяг i структура роботи. Дисертацшна робота складаеться з вступу, трьох роздшв, bhchobkïb та списку цитованш лтратурн, що мктить 81 джерело. Обсяг - 134 стор'шки, таблиць - 17, рисуннв - 22.

3MICT РОБОТИ

У BCTyni обгрунтовано актуалыпсть теми дисертаци, сформульоваяо мету дослщженяя, наведено короткий огляд роб1т ¡з дало'/ тематики, да-еться oiinc змкту та результат'ш дисертаци.

У першому роздIni даеться постановка задач1 про Mani коливання в'язш ршийн в обмеженому об'емк Виводяться крайов'1 умови, «ni опи-сують рух рщини при умов! проковзування з тертям. Розв'язки uieï початково-крайово! задач! подаються у вигляд1 узагальненого ряду Фур'е за влАснпми фупкшямн спектрально') задач! про иормальш коливання рщини

-4a« + Vp = Av, divff<*0 oil, H

dv

t>„«=0, + (7 - fcnK = о на S, » = 1,2,

,, Bvt 8\ „ dv. dvz „ ...

ef+ir-0' Ih + aï-« HaEl (1)

jL^-P + Ä-Ö „as, fhds — 0, Ндг £

ne ft - об'ем, заповиений рщиною, dû = SuS - його межа, ?( - орти не-колшеаряпх дотичшгх напрямив ва 5, kt, - кривиэпи nmifi неретину поверх ni S нормалышми плотинами, паралельними f\-, 7 - величина, обернеиа до коефЫепта проковзування, H ~ g,'2L3/2i'~1 - число Галилея, шо визиачае етввщношрння М1ж величинами масоопх сил (g - прискоренпя сил земного

тяжпшя), сил в'язкого тертя (ч - кшематичний коефвдецт в'язкост1) 1 ха-рактерним лппйним рсширом Ь облает! П. Визначенню шдлягають вектор-функщя {¡(х,у,х), скалярш функцГ|р(:с,у, г), к(х,у) та спектральний параметр Л.

В роботах С.Г.Крейна 1 його учшв доведено, що спектр задач! (1) дис-. кретний I складаеться ¡з зл1ченно1 множиня власних значень скшченно1 алгебраТ'чно! кратносп, як1 розмщеш в прав1й комплекешй швплощшн 1 мають дВ1 точки згущення Л = 0 1 Л = оо.

Розв'язки задач! (1) суттево залежать вщ величини числа Я. При мйлих значениях числа Галшея .ва власн! значения задач! дшеш ! розбиваються на два пщкласи А ¡Г з точкою згущення 0 ! з точкою згущення оо.' При деякому критичному значен»! числа II = Н[ вщбуваеться з!ткнення Af 1 А)',» в задач! вщбуваеться яккна зм'ша спектра, яка заключаеться в тому, що ц> значения сходять з д!Йсно\' ос!! стають комплексно-спряженою парою власних значень задач!. При збшьшекш Я в!дбуваеться з!ткнення яаступ-них пар власних значень А ¡Г ! А* при III, зумовлюе появу наступних пар комплекспнх власних значень.

В заклгочному §3 даного роздшу викладеш теоретичн! положений визна-чення крнтичних зпачепь числа Галшея. Вонп грунтуються на наступн!й теорем! М.Я.Барняка.

Теорема 3.2 Нехай для (7 = {?; е ТР^П) (И^П) С ^(П): ёШ = О, ип|5 = 0) функшонал

Т(8, V) = / |г?|2<Я2, П(гГ, 0) = / |»,|»<*в)

И Е

набувае стационарного значения. Тоя'1 при Я = Щ = вектор-

фушещя е узагальиешш розв'язком задач! (1), якому в1дповшае кратне

,+ ЕЫМ)

власне значения Ад. А£ = 21ЦТ{ь1г>1)'

Другим роздш присвячений побулоп! иаближеиих метошв розв'язування спектрально! крайово! задач) (1) про власш поперечш коливання в'язко! р1дини в нескшченному горизонтальному каналк В цьому випадку задача е двовимфною, i шляхом введения функци току зводиться до скалярного вигляду

ДЧ + АНД^о = 0 в G, ^о = 0, + (i - кг)^р- = 0 na

апе ап

= 0, --(д^^А^--^ = 0 на Г, / ^dx = 0.

(2)

де G - поперечили перетнп обласп Q, L = G П S, Г = G П E.

В даному роздал i задача розглядаеться з умовою проковзування з тертям на тверд!й c'tíhuí, що дае можливють описати рух niirií перетину твердо!' станки i В1лыю! поверх!». Окремо розглядаються задач1 про симетричш i антисиметрпчш коливання.

Подаючи функцш ф0 = уз 4 ф (Д у = 0, Д0 + А Я V = 0) i вводячи на Г: {о < х < Ь, у = 0} оператор Т, який породжуеться дифореншалытм внразом iu ~ ' Д!в на клас! функци! и б С2([а,6]),и'(0) = и(а) = 0 (внпадок антиспметрнчнпх коливань), одержуемо наступпу крайову задачу:

Д— О» At/i + \Ht>' = 0 в G, + V' = 0 na L, ~(ц> + ф)~(ЗХПф = 0 на L, + = 0 на Г, (3)

в ' - "2" бу ~ Т+ & С05аф па '

а - кут м1ж BtíyrpiuiHboio нормаллю до твердо! ctíhkii i вксю у в кутов!й та1'«' (х - «. У - 0), Р -

У випадку симетричннх коливань в задач'1 (3) друга крайова умова на I' набуде вигляду

вГа 1 Щ~Т+ -г.

В §5 побудовано квадратнчний функцюнал

Я2

К(<р,ф) = / + Щ\*<Ю - —- / Т~1хрЦ>йх—

-ж (\ф\Чо + /т-^ах + и<1х

а I г ау I р

який розглядаеться на клас! функцШ уеН(С) (Я(б) СИ^О): Д</з = Овв), ф 6 Ц'} (й) при А б <Е, Я 6 И. На основ! функцюналу (4) запропоновано, вар|&шйне формулювання задач) (3). Доведено теорему.

Теорема 5.1 Нехай пара функцш р» € Я(б) 1 б IV.,1 (С) при иЫпогЛд-ному значенш комплексного параметра А = Л*, I фЫсованому параметр! Я е розв'язком задач! (3). Тод1 функщонал (4) на цихфункшях набувае сташо-нарного значения. Справедлива 1 обериена теорема.

Теорема 5.2 Нехай функщонал К(<р, ф) набувае стацюнарного значения па функщях ¡рк € Я(С) 1 г}% 6 И^(б) при в'щповщному значенш комплексного параметра Д = А* 1 фшсованому параметр! Я. Тод1 при умов!, що ш функц» е дв!ч1 иеперервно-диференцшовними в (3, вони е розв'язками задач! (3).

В §6 показано, шо визиачення критичних чисел Щ в задач! (3) зводиться до знаходженн* сташонарних значень функцюналу

Аг+Г Г

-АЯ|/З/ *** + / Г-V + ^

який розглядаеться па клаа функшй ^бЯ(С), ф£Н1(6?) (Я^б^СИ^ЧС):

+ Х*Ф — Оп в) при х Е И. (х2 — АЯ), Я е Е1. Кр'ш цього повинна ви-& Я

конуватися умова = 0. Суттевим в такому шдход! е те, що конс.танти X 1 Я, н також функнп </> ! ф набувають ильки дШсних значень.

(5)

На основ! функцюналу (5) будуеться проекцшний метод знаходження кри-тичних значень Наближений розв'язок шукаеться у вигляд1

¥><'п) = Е акык, = £ Ьк{к, 1=1 *=1

де {шк}^ 1 - леяк! повш в И (С) 1 Я|(С) системи координат-

них функц!й. Коефш!ентн ак 1 Ьк визначаються ¡з умов сташонарност1 функцюналу (5), що приводить до системи лшШних одноршшх алге-браТчних ршнянь. 3 умови ¡снування нетривиального розв'язку ше! системи одержуеться характеристична ршняння для знаходження шуканих значень параметра Н.

Проведено чисельну реал!зашю побудованого алгоритму для круговоТ облает! С. Пор'шняння чисельних даних, одержаних при рших числах 0, показуе, шо при умов» проковзування з тертям (0 — 0.1) крнтичш значения Нк менни, нш при умов! прилипания {0 = 0), тобто комплексы! власш значения в задач! э'являються при менших значениях И. Наведен! эалежност! //; = Щ(0), к - 1,2 у вигляд! графшв.

В §7 на основ'1 знаходження сташонарних значень функцюналу (5) розро-блена методика визначення дшсних власних значень задач! (3).

В §8 у випадку облает!, шо мае форму швкруга, побудовано систему коор-динатних фуихадй, як! задовольняють р!вняняя в облает! (7, обидв1 крайоЫ умови на I 1 першу крайову умову на Г. Ш координата! функцн побу-доваш у внгляд1 функшональнг < ряд^в, коефшеити яких виражаються в анал!тичному виглядк Провеш ча оценка швндкоеп зб!:жиост! одержаних ряд1в. На основ1 пОбудованих координатных функшй проведена чисельна реал!зац!я проеквдйного методу розв'язування задач! (3).

При // > Щ задача мае ск!нченну кмьюсть комплекс них власних значень. У випадку великих значень числа // задача е сянгулярпо-збурепою, I для побудови п розв'язмв проекщйний метод, який грунтуеться на знаходженш сташонарних значень функцюналу (4), неефёктивнпй.

В §9 пропонуеться метод побудови розв'язк1в задач! (2) для дов!льних значень параметра //, в тому чпсл11 для як завгодно великих.

Для довшыюго розв'язку ршняння Гельмгольца справедливе сшвшдно-шення

• ¿+г

де £}{г) = Ки(и!г(Р, 5)) - фундаментальний розв'язок р!вняння Гельмгольца, г = \/(х — х')г + (у — у*)2, Ко(г) - модифкована функшя Бесселя 2-го роду, а доршнюе внутршньому куту облает! (?, у вершиш якого зна-ходиться точка Р,

Використовуючи стввшюшення (6) 1 подаючи функшю V5 — —ф — <*>гф/2, задачу зведено до настуино1 спектрально! задач!:

Аф = 0, Аф = 0 в С, ф = 0 на I, ф - Т~1ф на Г, 8* ^ а(РЩР) + / (^^Ф - К,(«г)§2)* - ^¡Щ^Т-^у

¿+г г

/ + / К0(шг)Т~1~с1х + 2/?(/Кй{шг)фйз- (7)

-созаф(а)1 - Къ(и>г)Т~1~<1х = 0 . на £ + Г.

Така постановка задач! мае ту суттеву перевагу, що спектральний параметр о; мктиться тшьки в крайови"1 умов1 задачи Сингуляртсть задач! (7) виражаеться тшькп в тому, що крайова умова мктить в соб1 сипгулярш ш тег-рал».

Запропоновано проекцШний метод розв'язування задач! (7). Для вираху-ианпя еннгулярннх квадратур розроблено спешальш чиселы» алгоритм!!. Проведена чисельна реал1защя методу для кругово? облает! О прп р'тшх висотах заповнеиня каналу ршшено. Наведет граф1кп залежлосп частот 1 декремептт колпвапь вщ числа Я при р!зшк значениях числа 0.

В §10 побудовано форми в!льно1 поверх!» ршши при власних коливаннях, як! вщповшаготь власним значениям задач! Ь рпних В1ток спектра. Про-

анал!зовапо вщмшносп, як1 спостершаемо при розгляш умов пршшпашя i проковзуваиня з тертям на тверд!й cTiHixi.

Третш роздIn присвячений побудов1 наблнжених метопв розв'язання задач! про власш симетричш колнвання в'язкоТ ршини в осесиыетрпчшй порожним.

У випадкусиметричних коливань ришнн в довшыюму мершиалыюму пере-тиш облает! П в!дбуваеться один i тойсамий рух р!дини. Вектор-швидкост! частинок ршини можна виразити через функшю току наступним чином:

tT = rot(ipaQ = + ^(пМе,,

де (г, г, ij) - цилшдрична система координат. В цьому випадку задача (1) зводиться до скалярного вигляду

Д?\!>о + ХНЛ1Ф0 - 0 в G, Фо~0, ^ = 0 HaL, на Г, (8)

де AtФо — + G - меридюлышй перетин облает! П,

Подаючи функшю ф0 у вигляд! суми ф0 = <р+ф(А\ф + АНф- 0, Aiv = 0) i вводячп па Г; (0 < г < я. г = 0} оператор Т\, який породжуеться диферешиальним виразом ttu 5gf(ru)) ' Д'е на клас' функшй и € Са([0,о]),и(0) = «(а) = 0, одержуемо наступну крайову задачу:

Q

Д^ — 0, йчф±ХИф =s0 в О, <р+ф = 0, •s-iv + VO^O BaL,

on

Ti {<p 4-ф) — - 0, + наГ. (9)

В §12 побудовано квадратнчний функшонгСл

2-й 1 t„ ./,|2

а

Kiiv>, Ф) - /+ Ф^ + \§-z(V + 0)|* +_ Afl|vf

-XII ¡гТ^ф^Лт - ¡гТ^ффёг, (10)

г 02 4 г

який розглядаеться наклаафункц1йу»€ //(С?), (Я(С)с^2(С):Д1^ = 0в С),

ф € Н^1 (С) при Д € <Г, Я 6 01. На основ! функщоналу (10) запропоновано

вар1ашйне формулювання задач'! (9). Доведено теорему.

Теорема 12.1. Нехай пара функшй у* 6 //(б) 1 фь € И^'(С) при в1д-повшному значенш комплексного параметра А» 1 фксованому параметр! Я е розв'язком задач! (9). Тод1 функц!онал (10) на цих функшях набувае стационарного значения.

Справедлива 1 обернена теорема.

Теорема 12.2. Нехай функшонал (10) набувае стац'юнарного значения на функц!ях Ц>к € II[О)! фк € 1К1 (С) при в!дповщному значенн! комплексного параметра А = А* 1 фксованому параметр! Я. Тод! при умов!, шо ш функци е дв!ч! неперервно-диференц!Г|овними в С, вони е розв'язками задач! (9).

В §13 розроблено проекшйний метод визначення критичних значень числа Галшея та д!йсних власних значень задач! (9). Тут задача (9) ставиться в дещо ипшй постанови!, а саме: фксуеться значения параметрах (х2 —АЯ)! визначаються -п значения параметра Я, при яких дане фжсоване значения параметра х в власпнм значениям задач! (9). В цьому випадку функшонал (10) розглядаеться иа клас! функшй Я(С)! ф € Я^С) {Нх(С) С (С?): А\ф + х*Ф = 0 в в), на яких вш набувае наступного вигляду:

Шуканпй розв'язок апроксимуеться сюнченними сумами вигляду ¥>(га) * Е аш, ф{п) ® t Ь»/ь

в яких = ^РЩсозв), Д(Я,0) = П-ь^к^хЩРКсозв), (11)

(Я, г/, 9) - сферичпа система Координат з центром на Г\ Я = \/г2 + г', ~ г/г, РЦст 0) ~ прнеднаш полшомп Лежандра, Л+о.б(хЯ) ~ сферичш

функцм Бесселя. Для визначення коефщшнт!в о; 1 6* одержуеться система лпшших сшнорщних алгебраТчних ршнянь, умовою ¡снування нетришаль-ного розв'язку яко! е характеристичне р1вняння

¿а(о^х)-и7Лк(х))"0. (12)

На оаюв1 р'тняния (12) будуються функшональш залежност! Нь = Знаходяться точки в якнх виконуеться умова = 0. Вщповщш значения Н1 — Нь(х1) е критичними значениями числа Г ал ¡лея. Одержан! ¡з функцюнальних залежностей Я» = Я*(д;) при фксованому значена! параметра Я дШсш олас!И значения х уточнюються на основ1 р1вняння (12), в якому Я вважаеться ф1ксованим, ад; - шуканим.

В §14 на основ! систем розв'язкш р)внянь Лапласа 1 Гельмгольца (11) по-будовано систему функшн, як1 задовольняють три ¡з чотирьох крабовых умов задач! (9) для облагп П у вигляд! швсфери. Для ще! мети використо-вуеться розвинення вишовщних функцШ в степенен! ряди та ряди Фур'в. Проведена оцшка швидкост» зб^жносп одержаних ряд1в. На основ! побудо-ваннх координатних функшй проведена чисельна реалЬашя проекшйного методу розв'язування задач! (9).

В §15 формулюеться проекшйний метод энаходжелия комплекспах влас-них значень задач! (9), яку зведеио до наступного виглзду:

де функцц ф 1 ф визначаються як розв'язки допом1Жних задач ДфЬте Д = 0 в 6', ф » ф иа Ь + Г,

Д|<&'=0 в О, ф = 0 на£, ф^Т^ф на Г.

На клал функщй ф € И^1 (<3) побудовано квадратичпий фупкщонал

\дф \вг

а + г дф дф 3 дф 2 ш

дг т т г дг 7 в* Г .

dG-

А2Я2 Iдф

№

+ г

0Ф\\Ф1

8г г

dG.

(14)

Узагальненим розв'язком задач! (13) при деякому фжсованому значенш параметра Я назвемо таку функшю гр € 1 вшповшне число А, шо для них функционал 0(ф) набувае сташонарного значения.

Доведено теорему.

Теорема 15.1. Всякий дв!ч! неперервно-диферешийовннй узагальнений розв'язок задач! (13) е класичним розв'язком шеТ задач!.

На основ'1 вар!ашйноТ постановки задач! сформульовано проекшнний метод побудови и розв'язюв. Наближений розв'язок шукаеться у внгляд1

= £

*=1

де - деяка повна в ^'((7) система функшй. КоефМенти а» визнача-

ються 13 умови стащонарносп функцюналу (14), яка приводить до спстеми лшШнпх алгебраТчних ршняпь

£ [off + ДоЦ> - A»eg»1 - 0.

(15)

Зумови ¡снувания нетрпв1альиого розв'язкусистеми(15)одержуеться характерно' ичне ршняния для шуканпх значень параметра А. За результатами чисельноТ реашзаци зроблено висновок, що сформульованнй метод е дос-татиьо ефективний при Я < 400. При бтьшпх значениях числа Я на точ-nicTb побудови роза'язку задач» суттевий вплив мае сингуляршсть задач!.

В §16 запропоновано иринципово ¡нший метод розв'язання задач! (9). Bin грунтуеться на ¡деТ використання фундаментального розв'язку для pie-няния Ait/' — шгф ss 0. На вшмшу вщ двовим!рного р!вняння Гельмгольца, для якого цей розв'язок виражаеться у вигляд! фуикни ft'o(wr), в ньому випадку нешдомий явний вираз для фундаментального розв'язку.

В робот! цей розв'язок подано у вигляд!

ГЧ I 1\ „ ж/ехр{-и>-/а2 + б2 вт8*} , .

^1(г,г,г,г) = 2 /- . , . -*-соз2Ш, 16)

5 уа3 + о2811г1

де а2 = (г — г')2 + (г - г')2, б2 = 4гг'.

Для дов!лыюго розв'язку р1вняння Д хф—ы2ф = 01 для довшьно! обмежено! облает! О виконуеться сшввщношения

- &ыр. ф - о. (.т)

де Р(г,г) 1 5(г',г') - фасована > змшна точки област1 <?; а = 2ж, якщо точка Р е I + Г, | дор!внюе внутршньому куту облает! <?, у вершин! «кого знаходнться точка Р.

Задачу (9) на основ! сшввшношення (17) зведеио до крайовоУ задач! для р1вняння Лапласа ¡з спектральним параметром, який мктиться в штегро-диференц!алыпй крайов1й умов! на меж! облает! <3

Ах<р = О, Д1 ф = 0 в в, ф<= 0 на ф = Т*1^ на Г,

** в ^(Р) + / - - £ Уфяф*- (18)

1+Г г

-тЦ'^""+=0 1+г-

Для визначення результату дп оператора ¿ч на Л, + Г потр1бно обчислю-вати квадратури вигляду

/з = ¡т'ГШФ, и - /т'М^*, (19)

£ £ ,

У випадку коли а -+ О, тобто при 8 Р (точка Р належить Интервалу

штегрування) ! при < -» 0 лшнтегральиа фуикц!я в (16) йрямуе до о6(

а тому квадратур» (19) в невласшши. KpiM того при великих значениях Яеы шд'штегральна функцЫ в (10) при вшдалешп вш точки а = 0, t = 0 зменшуеться по експоненшалыюму закону, тобто там квадратури е одно-часно i сингуляриими. Для Тх обчислення розроблено спешалый алгоритми.

Розглянемо, для прикладу, Ii- Подамо ней повторний штегал як полпЫ-пий

, „ /'/г'/Иехp{-wVa» + sin3/} '

U = 21 / ' \ . .--- cos 21 dt dr. (20)

5 ¡j Va1 -f&'siiri

Введемо узагальнеш полярш координати (р, 7)

r' = rp + ^sin7, (21)

р

де (0, гр) - координати точки Р € Г.

Завдяки тому, шо якоб!ан гюретворень D = а lim , ^ . = 1, ' . 2гр' vW+ftWt

певласний штеграл.(20) перетворюеться у власний. Замша змшних (21) лае можливгсть одночасно врахувати також сингуляршсть квадратур, осыльки в око л! кутовоТ точки пщштегральна функшя мае характер ехр{—ыр} при Reu 1 квадратур» вираховуються тзльки в деякому е окол« по змшшй р.

Побуг.опано проекшйний метод розв'язупання задач! (18). Проведено чи-сельну реалшшю алгоритму для сферичноТ порожнини при pi3imx внео-тах зг.г.овнеиня ршшога. Результат» обчислень подаш у вигпяд1 таблиць i rpai) iKiB залежносп комплексних власних значень вш числа Я. При великих значеппях числа Н частотп коливань (1т\ъ) прямують до частоти коливань щеально! ршлпп. Проведено пор1впянпя одержаиих величии А>, з вщпошдпимп значенпями А», внзиаченими за допомогою асимптотпчного методу. При середнЫ значениях Н (Я < 400) зроблено пор!вняння чнеель-иих дани* з результатами, одержанный в иопередпьому параграф).

У.опснопках сформульоваш основш результат» дисерташйноТ роботи.

ОСНОВН1 РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

1.3апропоновано варшшшн формулюваиня задач 1 про нормапып(власш) ко-лпвання в'язко! рщини в областях виду

а)нескшчешиш горизоатальний канал (розглядаються поперечш коливамия ришни з умовою ироковзування з тертям на тверди! стшщ),

б)область, яка мае форму 'пла обертання (розглядаються симетричш ко-лнвання риинн);

доведено екв!валент1исть спектральних крайових задач I задач знаходження сташонарних значень виповшннх квадратичних функшонал1в.

2.Розроблено проекшйш методи визначения критичних значень числа Галшоя, при яких в задачах з'являються комплекст власш значения.

3.Сформульовано проекщйш методи визначения дшсних 1 комплексних власних значень задач та розроблено чиселыи алгоритми реал1*зацн цих мепмив. Як показують обчислення, область застосування ?х обыежена величинами II < 400. При бшьших значениях Н на точность наближених розв'язк1в суттевий вплив мае сингуляршсть задач!.

4.Шляхом використання фундаментальнее розв'язшв для р^вияння Гель-мгольца спектралып задач! з параметром в р1в!шш!! крайових умовах зве-дено до спектральних крайових задач для р!вняиня Лапласа з параметром тшьки в крайових умовах. Такий пшхш дав змогу розробити 1 ефектпвно реалвуватп наближений метод побудови |розв,«зк1в задач для дов'шьних значень числа Галшея.

б.Запропоповано штегральне представления фундаментального розв'язку р1вня1шя Гельмгольца в осесиметричному вяпадку та спец!альна методика обчислення сингулярних квадратур, як} м1стять в соб'г фундамеятальний розв'язок 1 НОГО ПСШДН!.

6.Проведено чисельну реал!зашю вс!х зайропонованпх в робот! наближених метод1в розв'язування спектральних крайових задач для областей кон-кретноТ геометрично! форми; зроблено пор!вняння чиселышх даних, одер-жапих за допомогою рЬних алгоритмш.

Основ»! результата дисертаци опублковаш и наступннх роботах:

1.Барняк О.М. Наблнжений метод визначення критичнпх значень числа Галшея в задач! про нормальш коливання в'язко-! ршини в горизонтальному цилшдр1 з умовою проковзування по ст'шш // 1нтегральш перетворення та Тх застосувамня до крайових задач: Зб.наук.пр. - КиУв: 1н-т математики НАН УкраТни, 1995. - Вип.9. - С.С-17.

2.Барняк О.М. Визначення дшсних власних значень задач! про нормалып коливання в'язхоТ рщини в посудин! з умовою проковзування на стшш //Су-часш фЬикоматематичш дослшження молодих науковц!в пуз!в Украши: Зб.наук.пр. - КиТв: Кшв. ун-т, 1995. - С. 56-63.

3.Барияк М.Я., Барняк О.М. Приближенный метод определения вещественных решений задачи о нормальных колебаниях вязкой жидкости в горизонтальном канале //Прикл. механика. - 1996. - 32, N7. - С.76-83.

4.Барняк О.М. Проекшйний метод побудови розв'язмв задач1 про нормалып симетричш коливання в'язко! ршини // Укр. мат. жури. - 1997. - 49, N2. - С.315-320.

5.Барняк О.М. Проекшйний метод дослшження нормальних коливань .в'язкоТ ршпнн в посудпп1 з умовою проковзувания на стшц! //Тези допов!дей ЧетвертоТ МЫнародноТ иауково! конференцн ¡м. академ!ка М. Кравчука. -КиТв, 1595. - С.36..

6.Барнук О.М. Побудова комплексних власних значень та власних функц!й задач! г ро нормалып коливання в'язко! р!дшш в горизонтальному инлтдр! //Тезг. доповшей П'ятоТ М'1жнародно1 науковоТ конференцн ¡м. академ!ка М.Кравчука. - КиТв, 1996. - С.26.

Барияк О.М. "Приближенные методы решения задачи о линейных колебаниях ограниченного объема вязкой жидкости" Диссертация на соискание учёной степени кандидата физнко- математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. Институт математики 1IAI1 Украины, Киев, 1996.

Защищается диссертация, посвященная разработке приближенных методов решения спектральной каевой задачи о нормальных (собственных) колебаниях ограннчепнош объема, ьязкон жидкости. Построены и обоснованы Проекционные методы исследования спектральных свойств и решения плоской задачи с условием проскальзывания с трением и осесимметричной задачи с условием прилипания. Разработан приближенный метод решения сингуляно-возмушенных задач, опнсыиающих колебания маловязкой жидкости. Проведена численная реализация разработанных методов для областей конкретной геометрической формы. Barnyak О.М. "Approximate methods of solving the problem on

linear oscillations of bounded volume of viscous liquid" Thesis for the degree of Doctor of Philosophy in Physics and Mathematics,

speciality 01.01.03 - mathematical physics. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1996.

This thesis is devoted to development of approximate methods of solving the spectral boundary-value problem on normal (proper) oscillations of bouhded volume of viscous liquid. Projectioh methdds for,investigation of spectral properties and solution of a plane problem with the friction sliding condition and an axisymmetric problem with the sticking condition are constructed and proved. An approximate method of solving singularly perturbed problems on oscillations of low-viscous liquid is worked out. Numerical realization of the developed methods is carried out for domains of particular configurations. Ключов! слова: крайова задача, лЫЫн! коливанна, в'йчка plnima, oapiauifma задача, квадратичний фуикшонал, проекшйнпй метод, аласн! значения, вЛасл! функин, декремент колявань, сингулярно-збурсна xpafiosa задача, фувдаментальний розв'язок. f