Приближенный метод вычисления нелинейных колебаний (на примере расчета траектории искусственных спутников Земли) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 од

1 8 ДПР 199/1

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АТОЯН Айкануш Ашотоьма

ПР12Ш!ШИИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛИ Вй НЕЛ101ЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ (НА ПЙШЕРЕ РАСЧЕТА ТРАЕКТОРИИ ИСКУССТВЕШШ СПУ1ТП1К0В ЗИШ)

01.01.07. - Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фикико1математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1994

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Российского государственного педагогического университете им. Л.И.Герцена

Научный руководитель - кандидат технических наук,

профессор Ю.К.Кузнецов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.М.Матвеев

кандидат физико-математических наук, доцент А.Н.Коваленко

Ведущли организация: Военная инженерно-космическая Краснознаменная академия им. А.ф.Можайского

Защита состоится "¿0_" мая 1994 г. в часов

на эаседании специализированного совета К-063.57.16 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-ая линия В.О., д.33, ауд. 88.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. Л.М.Горького Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан "Jí_" и-^-е-л-З 1994 г.

/

Ученый секретарь

специализированного совета, доктор физико-математических наук ^ В.Ф.Горьковой

ШЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие явления и процессы при их математическом моделировании приводят к необходимости решать те или иные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Настояшдя работа посвящена применению и разработке модифицированного метода последовательных приближений для решения задач нелинейных колебаний. Выбор темы исследования прежде всего обусловлен тем фактом, что огромное разнообразие типов задач нелинейных колебаний предполагает обеспечение различных задач научно-исследовательского, хозяйственного и прочих направлений, что ь свою очередь определяет выбор того или иного метода, т.е. нет такого универсального метода, который сочетал Си в себе все особенности и специфику рассматриваемых задач.

В связи с этим нашей основной задачей явилась разработка модифицированного метода последовательных приближений, который выгодно отличается от численных методов, ранее используемых для решения задачи нелинейных колебаний (в частности, задачи двух тел), простотой вычислений и экономичностью в смысле затрат машинного времени и легко реализуется на любых персональных компьютерах. Цель работа.

- разработать модифицированный метод последовательных приб-

. лижений для решения уравнений нелинейных колебаний;

- получить оценку методической погрешности для разработанного метода;

- разработать соответствующее математическое обеспечение и проверить его эффективность на основе сравнительного' анализа с некоторыми численными методами.

Методу исследования. В диссертационной работе исследования проводились на основании методов и результатов, разработанных в вычислительной математике, математическом анализе и опираются на общую теорию численных методов решения задач нелинейных колебаний.

Научная вовизна определяется следующим:

- получены формулы для вычисления координат и коыпонет вектора скорости ИСЗ;

- сделана строгая численная оценка методической погрешности

модифицированного метода последовательных приближений;

- алгоритм реализован в виде вычислительной программы;

- проведен сравнительный анализ результатов счета по полученному алгоритму с результатами, полученными при помощи метода Рунге-Кутта и Адамса.

Научная и црантичеснан ценность. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейшем развитии теории решения задач нелинейных колебаний, а в частности, при решении задач навигации.

•Практическую значимость данной работы составляет алгоритм вычисления на основе полученных формул. Автор вцноснт ьч защиту:

- описание модифицированного метода последовательных приближений для решения уравнений, описывающих динамику движения ИСЗ;

- численную оценку методической погрешности разработанного метода;

- формулы для вычисления координат и компонент вектора скорости ИСЗ;

- вычислительную программу.расчета движения спутника. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

- семинаре кафедры информатики РГПУ (Ростов-на-Дону,1991 г.'

- Всесоюзной конференции (Вологда., 1991 г..)

- Герценовских чтениях (Санкт-Петербург, 1992-1993 г.)

- VII международном симпозиуме в Болгарии (В.Тырново,1993 г, Публикации. По теме диссертации опубликовано три работы,

список которых приводится в конце автореферата.

Обгеы и структура диссертации. Диссертация состоит иа введзнйя, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (135 наименований) и приложения. Общий объем диссертации составляет 104 машинописных страницы, включая приложение,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследования, ее место в ряду современных исследований, определены цели и задачи исследования, • отмечены новации и выноси-

мыв на защиту полокения, приводится краткое содержание диссертации.

В первой глава изложены основные понятия и некоторые результаты, которые неоднократно используются в диссертации (рассматривается постановка задачи и т.д.)» а также приводится обзор результатов по тематике диссертации.

В разделе 2 рассматриваются элементы теории погрешностей, которые используются в работе для оценки методической погрешности предлагаемого метода. Рассмотрены причины возникновения и способы оценки методической погрешности решения задач с помощью того или иного численного метода.

2 главе Ц описывается модифицированный метод решения задач нелинейных колебаний, выводится оценка методической погрешности рассматриваемого метода.

В п.1.2. дается подробное описание модифицированного метода. Метод последовательных приближений предполагает непосредственное решение системы уравнений, описывающих динамику движения центра масс ИСЗ, .

х + = 0

у + -Аг = 0 (*.*>

г}

z + -Дг = О I г

которую сокращенно мошо записать в' виде:

3t + Qt = О 1 = 1,2,3 (I)

где ц = f И - Г-гравитэционная постоянная; М-масса притягивающего тела;

г =• г (%) - радиус-вектор небесного тела, движение которого исследуется;

Qt = QL(t) — координаты небесного тела в прямоугольной системе координат xyz (1 = 1,2,3).

Рассмотрим вспомогательное уравнение

z(t) + (k 2- t(t)l z(t) = О <2)

в котором s(t) - неизвестная, a f(t) - заданная функция времени. Начальные условия будем считать также заданными в виде г.(0) =• zn, ¿(0) = z

- G -

lia основании общеизвестных правил решения дифференциальных уравнений, получаем интегральное уравнение относительно

Функции s ( t. ), при правой части Г ft >, отличной от нуля, t

ß(t) = B(0><t) + ^ / 8lnk(t-t)f (t)B(t)dT; (3),

mi 0

где z (t) - решение уравнения (2) при заданных начальных условиях. Для уравнений типа (3) разработан метод последовательных приближений, сходящийся при любом значении к (теорема о сходимости рассматривается в п.1.1.), который состоит в том, что в качестве нулевого приближения к искомому решению выбирается свободный член s(01(t,), а любое последующее, v-тое приближение строится по рекуррентной формуле:

t

s'V)(t) = E(0)(t) + 4 /81Л k(t-x)t(i)a (V-n(i)dt (4)

о

Воспользовавшись далее полярным уравнением орбиты и,разложив истинную аномалию в ряд Тейлора, после несложных тригонометрических преобразований находим:

« -5 е2) + (Зе + e3)cos<fl0+ -eot) +

+ 3- е2 coa2(tfg* «Qt) + е3 cos 3<tf0+ ö0t));

Таким образом получен коэффициент как суша постоян-

тг

ной и переменной составляющих н (I) можно переписать в виде: Qt(t) + - A(t))Q1(t) = 0, 1 = 1,2,3.. (5),

где

A(t) = - (Эв сов«0 + iQX) + е2 соз2(«0+ «0t ) +

+ е3 сов 3(i»0+ «0t)); ч

Анализ системы (б) показывает, что исходная система уравнений (*.*) в результате преобразований превратилась в три независимых дифференциальных уравнения. Поэтому не нарушая 'общности рассуждений, рассматриваем совокупность уравнений

(Б) как одно уравнение, подразумевая при этом, что выводи могут Сыть распространены на любое 1-тое уравнение данной системы.

Применяя далее метод последовательных приближений непосредственно к (Б), получим общее решение в виде ряда:

Q (t) = Q.'V1ft) + ? q'v)ft) ГС).

1 1 v=t

Общее ргшение при v-T Судет иметь вид:

Qj/.t) = Q[,r' (t.) + q|'1 it), fCa)

где qJ11 ft) - первое приближение к искомому решении.

Любая v-тая поправка может рассматртааться как разность v и v-l

приближений, построенных по формуле (4). Следовательно

q[V)(t)=Q[v,(t)-Qj_v-1'ft)^[; |j3inA.0( t-t )Л(т)Q[v) (т.) (1т, t f7> - j3inX0(t-T)A(t)Q[v"niT)dT = £ /glnX0(t-t)A(t) q[v_n (ЧШт.

о J °o

В конце п.1.2. обращается внимание на то, что т.кЛ0 является Функцией эксцентриситета е, а полярное уравнение орбиты, использованное для приведения системы U.*) к гаду (Б), справедливо для любого класса орбит, то предлагаемый метод последовательных приближений сходится к искомому решению при любых эксцентриситетах орбиты.

Раздел Я посвящен исследованию методической погрешности модифицированного метода последовательных приближений и оценке величины промежутка С0,Т1, внутри которого ряд (б) обеспечивает требуемую точность вычислений.

Пусть задана максимально допустимая погрешность 3* вычисления.

Обозначим решение системы через Q1(t), а решение, полученное с помощью ряда (6) через Qi(t). Очевидно, что с помощью ряда fG) всегда можно найти такое v-тое приближение, что разность Qxf 1".)- Qjit) будет сколь угодно мала. Поэтому, пренебрегал этой малой разностью, можно считать, что условием при-иглшлости рада (6) является неравенство

|Q,ft) - О К>| < й* КЗ)

- о -

Перепишем систему (*.*) следующим образов:

Q^t) + I3 [1 + roos (О0+ fl0t, + Д t))J Qi(t) = О (9),

где Afl - ошибка.

Уравнение (9) можно привести к виду Öt<t) + 0/U = Lft.JO^t.) (ТО),

L(t) - - ^ [1 + есоз fl0t + й fl)J + хс

Тогда уравнение для ошибки метода <p1(t.)= Qt(t) -Qj^(t) мо-кэт-быть найдено как разность уравнений (10) и (в)

^(t.) + \2 <pt(t,) - ищ^г.) + tL(t) - AmiQ^t) (II).

Отсюда получим:

4)ift> = 5Г { f ain V1^ Ъ<х} 'P^Vü* +

° 0 (12)

t

+ fein Щт)-Л(т)] Q1(t)4t j

о

Оценим максимальное значение модуля погрешности, определяемой формулой (12).

тах |L(t) - Л(t>| 5; At.2

где А = (1 + е)2

р ГтШ

м

Очевидно, что максимум модуля любой координаты Q(t) не может быть больше, чем максимальный радиус-вектор в промежутке 10,Т1. Поэтому

t t J- J3I11 \0(t-*) 1Ь(т)-Л(т)1 Qt(t)dT < J* (t-i) Ax2 r^ dt 0 о 0

шах

Отсюда получаем, что t

fein ,\0(t.-T) (Lit)-A(T) 1 y^itiat

0 0

S k* t"1 (13)

где А* - A -f'p-

- о -

Аналогично можно оценить максимум модуля первого стоящего в правой части выражения (12). Полагая [cos-Sf i 1, полуплю

пах |L(t,)| < Эр. (1 + R + о3) = в Тогда

t t maxj£-Jsin XQГt-т)L(х)ф,_f«с)Лтj < В maxj|(t-x) q>1(x)dxj (14)

°o о

Подставляя выражения (13) и (14) в интегральное уравнение (121, получаем

t

|<pt(t)| В шаг ¡/(t-x) ф1(т)<к + A't^j (15)

о

Продифференцируем уравнение (151 дважды по t,, тогда решение будеть иметь вид

<p(t) = D ^ (16),

2. А Г t_I

где D = ; u = /F %

W-

Гавенство (16) позволяет оценить длительность' промежутка [0,Т], внутри которого предложенный нами метод обеспечивает требуемуп точность ** вычисления координат. Действительно, согласно приведенным выше рассуждениям шах |Q(t) - Q(t)| ^ 'p(t), поэтому неравенство (8) будет заведомо удовлетворено, если выполняется неравенство (pit,) < 5*.

Искомая точка Т может быть найдена как корень уравнения <pm=e* (17).

Ограничился лишь приближенной оценкой, для этого достаточно использовать только первый член ряда (16), с помощь« которой представлена функция q>(t). Уравнение (17) при этом можно переписать в виде

Тд = й*, откуда следует

А г Т

----- 5* (18)

(3t)

Г)3 г3,

min--------(19)

и т / „г г е2 (Пе)г

' iftax N

Формула (10) позволяет сделать вывод, что при круговом движении данный метод обеспечивает требуемую точность практически на любом промежутке времени.

Глава ЦТ включает в себя вывод формул для вичислэнш координат и компонент вектора скорости ИСЗ, нахождение порвог< приближения к искомому решению и сравнительный анализ результатов численного эксперимента.

В п.1.1. исследуется физический смысл приближения к искомому решению уравнений (*.*). Нулевое приближение к искомом; решешш уравнений (*,*) является либо парой прямых, либо эллипсом, однако притягивающее тело в таком случае располагаете; не в фокусе, а в геометрическом центре вллипса.

Далее подробно описывается нахождение первого приближения, которое находится как решение дифференциального уравнены,

q[n(t) + X* qjn(t) =A(t)q[°>(t) * (2Q)

где q[0)(t) = Q{0)(t) - нулевое приближение.

Пункт 1.2. посвящен непосредственному енводу формул дд вычисления координат и компонент вектора скорости ИСЗ.

Согласно методу последовательных приближений для непо средственного решения уравнений движения имеем общее решение ; виде ряда (6), получим выражения для вычисления координат т.е. положения ИСЗ на орбите в виде:

Q[n(t) = (ct + cos XQt, + (dL d}¿>) sin \0t +

о

X [c)kG0S kÓ0)t + c2kcos (XQ+ kÓ0)t -(• (A

k=l

+ d,ksln (A-0- kOQ)fc -t d2usln (XQ+ k¿0)tj

ít;j, dj..... - обозначешт для постоянных ко&йициешов в

выражении доя q j' ' (t,)).

- п -

Для того, чтоби пайти выражения для расчета ксмпснзт зектора скорости, достаточно продифференцировать по t, завенство (А)

6[п = ((о1 + о^) в1п V' " + «»[¿'»сов \jjtlf

3

£ [Л«и (к0 - ^ > 003 <\г + + 4)>с°за0+ (В)

+ кА0) - с|к.а,0- к«0) з1л а0- кА0Н - о2к81п (Х0+ кА0п]

Таким образом, в п.1.2. определены выражения для вычисле-шя координат и компонет вектора скорости в некоторый фкксиро-шнннй момент времени.

В п. 1.3. проведен анализ формул, полученных в ходе ис-¡ледования. Результаты сравнительного анализа дают возможность ■тверндать, что в пределах 5-7 минут движения по принятой орбите метод обеспечивает хорошую точность вычислений даже при 1=0.1. По мере увеличения эксцентриситета необходимо увеличить число членов ряда, представляющего решение уравнений (6) '.е. брать более хорошее ттриблнзение к искомому решению, Уве-ичение параметра орбиты уменьвавт ошибку метода, поэтому меи-ланентнне орбиты, хотя они и имеют вблизи Зешш е>1, также югут быть вычислены с помощью формул (А) и (В).

*В заключении перечислены выносимые на защиту результаты, олокения и выводы. Модифицированный метод последовательных риближений сходится при любых значениях X, следовательно в оле рассмотрения включаются все случаи орбит, т.к. нет огра-ичений по эксцентриситету. Данный метод позволяет в рамках дного алгоритма получить формуда для вычисления и компонент ектора скорости и координат ЙСЗ. Предлагаемая нами методика тлячавтся от численных методов простотой вычислений и эконо-ичностыо затрат в смысле машинного времени.

В приложении приведен листинг разработанного алгоритма.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Атоян A.A. Один из подходов к решению задачи о траектории движения ИСЗ //Методология моделиране компютри. t.V. -София, 1993. - С. 65-69.

2. Атоян A.A., Кувнецов (O.K. Математическое моделирование движения траектории ИСЗ. //IV Национален интердисцигшшарен симпозиум с международно участие по методология на математического моделиране: тез.докл. - София, 1993. - с.60.

3. Кувнецов Ю.К..Атоян A.A. Некоторые вопросы моделирования движения траектории космических аппаратов. //Methodology of mathematical modelling, т.111. - София, 1992. - С.105-107.