Приближённые методы решения нелинейных спектральных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

004611647 На правах рукописи

СОЛОВЬЁВ Сергей Иванович

ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

2 8 ОКТ 2010

КАЗАНЬ - 2010

004611647

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация Институт математики и механики

Уральского отделения Российской академии наук, г. Екатеринбург

Защита состоится 28 октября 2010 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 в Казанском федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлёвская 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского федерального университета.

Автореферат разослан 27 сентября 2010 года.

Учёный секретарь диссертационного совета

профессор Андреев Владимир Борисович

доктор физико-математических наук, доцент Желтухин Виктор Семёнович

доктор физико-математических наук, профессор Рябов Виктор Михайлович

доктор физ.-мат. наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Диссертация посвящена разработке приближенных методов для решения прикладных задач на собственные значения. В качестве приложений рассматривается класс задач, описывающих собственные колебания механических систем с массами. Такие задачи издавна интересовали исследователей. Еще Пуассон в своих мемуарах изучал задачу о движении груза, подвешенного на тонкой упругой нити. Подобные задачи возникают в теории индикатора паровой машины, в теории измерительных приборов, при исследовании крутильных колебаний вала с маховиком на конце и разного рода "дрожащих" клапанов. Особую актуальность задачи этого типа приобрели в связи с изучением устойчивости вибраций крыльев самолета. Для решения этой задачи необходимо вычисление собственных частот крыла с присоединенными моторами. Простейшая модель крыла - балка переменного сечения с массами. Более точная модель крыла приводит к исследованию собственных колебаний нагруженной пластины. С развитием судостроения, самолетостроения, космической техники, химической и нефтяной промышленности возникла потребность расчета оболочечных конструкций, нагруженных присоединенными элементами: приборами, моторами, элементами автоматики, узлами машин. Хотя присоединенные элементы имеют малые размеры, их влияние на устойчивость системы является определяющим.

При учете упругости закрепления масс задача сильно усложняется возникновением нелинейности по спектральному параметру. Известен метод решения задачи с помощью характеристического уравнения, содержащего разложение функции Грина по собственным функциям несущей конструкции. Такой метод является достаточно простым и эффективным, если известны аналитические формулы для собственных значений и собственных функций несущей конструкции. Но это, к сожалению, возможно только для весьма ограниченного

класса механических систем. Данный класс задач определяется возможностью разделения переменных в уравнениях, что накладывает ограничения на область, вид коэффициентов и граничных условий.

В настоящей диссертации предлагается и обосновывается подход, свободный от перечисленных ограничений. Этот подход опирается на формулировку исходной задачи как задачи на собственные значения, монотонно зависящей от спектрального параметра, с последующим применением сеточных методов.

Цель работы. Целью настоящей работы является теоретическое исследование разрешимости нелинейных задач на собственные значения, разработка и обоснование приближенных методов их решения.

Методика исследования. Проведенные исследования опираются на спектральную теорию в гильбертовом пространстве, теорию аппроксимации в гильбертовом пространстве, теорию обобщенных решений дифференциальных задач, теорию пространств Соболева, теорию метода конечных элементов и теорию квадратурных формул.

Научная новизна. Предложенный и разработанный в диссертации подход для нахождения собственных колебаний механических конструкций с упруго присоединенными массами, обладает желаемой универсальностью, работает в самых общих ситуациях, возникающих на практике, и приводит в итоге к численным алгоритмам, имеющим вычислительные затраты такие же, как и в случае задач без масс.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть применены при решении широкого круга нелинейных задач на собственные значения, возникающих в науке и технике. Такие задачи возникают в теории диэлектрических волноводов, физике плазмы, квантовой механике, гидродинамике и теории упругости.

Основные результаты диссертации.

1. Установлено существование решений нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве.

2. Доказана сходимость и получены оценки погрешности прибли-

женных методов для нелинейных задач на собственные значения в . гильбертовом пространстве.

3. Исследована сходимость и погрешность метода конечных элементов для дифференциальных задач на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра.

4. Разработан и обоснован метод бисекции решения нелинейных спектральных задач.

5. Предложен метод итерации подпространства решения нелинейных спектральных задач, доказана сходимость и получены оценки погрешности.

6. Разработаны прямые экономичные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского университета (1983-2010 гг.), на итоговых научных конференциях Казанского университета (1983-2010 гг.), на научном семинаре Тартуского университета (1990 г.), на научных семинарах Технического университета Кемниц, ФРГ (1999-2003 гг.), на научном семинаре Технического университета Штутгарт, ФРГ (1999 г.), на Всесоюзной школе молодых ученых "Вычислительные методы и математическое моделирование" (Минск, 1984 г.), на Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование в науке и технике" (Пермь, 1986 г.), на Республиканской конференции молодых ученых и специалистов "Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач" (Минск, 1989 г.), на Второй Всесоюзной конференции "Современные проблемы численного анализа" (Тбилиси, 1989 г.), на конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (Казань, 1991 г.), на международной научной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994 г.), на международной научной кон-

ференщш "Optimization of Finite Element Approximations'! (Санкт-Петербург, 1995 г.), на Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1996 г.), на научной школе-конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева (Казань, 1997 г.), на Втором Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1998 г.), на Молодежной научной школе-конференции "Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волно-водных структурах" (Казань, Юдино, 2000 г.), на Третьем Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 2000 г.), на Третьей Всероссийской научной internet-конференции "Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках" (Тамбов, 2001 г.), на научной конференции Фонда Гумбольдта (Кемниц, ФРГ, 2003 г.), на Седьмой международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, её приложения и смежные вопросы" (Казань, 2005 г.), на Шестом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2005 г.), на Седьмом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2007 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 50 работах, из которых 16 работ [2,7,9,10,12-17,22,27,32,34-36,49] опубликованы в журналах, входящих в Перечень Высшей аттестационной комиссии Министерства образования и науки Российской Федерации. Результаты совместных работ принадлежат авторам в равной мере.

Объём и структура работы. Диссертация изложена на 262 страницах и состоит из введения, четырёх глав, приложения, включающего 10 рисунков, и списка литературы, содержащего 226 наименований.

Работа поддержана грантами Казанского государственного уни-

верситета, Фондом республики Татарстан "Интеллект XXI века", Немецким научно-исследовательским обществом (Deutsche Forschungsgemeinschaft), Фондом Гумбольдта (Alexander von Humboldt-Stiftung).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, сформулирована цель работы, дан обзор примыкающих по тематике работ, изложено краткое содержание диссертации и сформулированы основные результаты диссертации.

В первой главе исследуется разрешимость нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве.

Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. Здесь сформулирована линейная вариационная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве, приведены известные результаты о существовании собственных значений и собственных элементов, минимаксные характеризации собственных значений и теорема сравнения. Эти результаты применяются далее при исследовании нелинейных задач на собственные значения.

В § 1.2 изучается нелинейная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве. Пусть V - вещественное бесконечномерное гильбертово-пространство с нормой ||.||, R - числовая прямая-, Л = (^1,^2), 0 ^ 1/1 < i/2 < с». Введем симметричные билинейные формы a(ß) = а(/и,.,.): V х V —>■ R и Ь(р) = Ь(ц,.,.) : V х V -» R, непрерывно зависящие от /л € Л. Предположим, что для фиксированного ¡г 6 Л билинейная форма а(/л,.,.) является положительно определенной и ограниченной, а билинейная форма b(ß,.,.) является положительной и вполне непрерывной. Предположим, что функционал Рэлея

является невозрастающей по числовому аргументу функцией.

Сформулируем нелинейную задачу на собственные значения: найти Л е Л, и € V \ {0} такие, что

о(А, и, V) = АЬ(А, и, V) Уи е V. (1)

Для исследования разрешимости этой задачи введем вспомогательную линейную задачу на собственные значения при фиксированном ц е Л: найти 7 = 7(/¿) € Е, у — у(ц) € V \ {0} такие, что

а{(л,у,ь) = -уЬ(р,у,у) \fveV. (2)

Задача (2) имеет последовательность положительных конечнократ-ных собственных значений 7^ — (ц), к = 1,2,..., занумерованных с учетом кратности:

0 < 71 < 72 < • • • < 1к ^ ■ • •, Нт 7* = оо.

к—* оо

Этим собственным значениям соответствует ортонормированная система собственных элементов ук — к = 1,2,... такая, что - Ь{ц,гц,У]) = 1,3 = 1,2,... Элементы ук, к = 1,2,... образуют полную систему в пространстве V. Справедливо соотношение ^ ')'к(л) ПРИ А4 < 77, /х, 77 € Л-

Установлены следующие результаты существования решений задачи (1). ПуСТЬ 0 ^ 1>1 < и2 < оо, 1 ^ гп < п,

7<(К?)= ит7>(д), ^ =1,2,г = 1,2,...,

т — тт{г : — < 0, г > 1},

п = тах{г: — 71(^2) > 0, г > 0}.

Тогда задача (1) имеет конечную последовательность положительных собственных значений А к, к = т,т + 1,..., п, занумерованных с учетом кратности:

< Ат ^ Ат+1 ^ ... ^ А„ < VI.

Пусть vi ^ 0, i>2 = оо, m > 1,

m = min{i: i/i — 7i(^i) < 0, z ^ 1}. Тогда задача (1) имеет последовательность конечнократных положительных собственных значений А*, к = то, га +1,..., занумерованных с учетом кратности:

Щ < Am ^ Am+i ^ ... ^ Хк < ..., lim А* = оо:

К—»00

Каждое собственное значение А; является единственным корнем уравнения

Собственное подпространство С/(Л,) задачи (1) является собственным подпространством У(д), соответствующим собственном}' значению 7((/х) линейной задачи на собственные значения (2) для ц — А*.

В § 1.3 рассматривается рациональная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве. Пусть V - вещественное бесконечномерное гильбертово пространство с нормой ||.||, К - числовая прямая. Введем симметричные билинейные формы а : V х V —> К и Ь : V х V —» К. Предположим, что билинейная форма а(.,.) является положительно определенной и ограниченной, а билинейная форма Ь(.,.) является положительной и вполне непрерывной.

Пусть г = 1,2,..., т - заданные вещественные числа такие,

что

Определим неотрицательные симметричные билинейные формы с, : V х V —» К, Сг(и,г>) > 0 для V € V, г = 1,2,...,т. Предположим, что Гг = сос!ш1кегс» < оо для г = 1,2где кег(^ = {и : V € = 0}, 1 < г ^ т. Сформулируем рациональную задачу на собственные значения: найти А € К, и € V \ {0} такие, что

^-7;(аО = 0, ¡геА.

О < tri < <т2 < ... < crm < оо.

Обозначим со = 0 и ат+1 = оо. Определим Л„ = (о-п_1, сгп), 1 < п ^ т-Ы и введем бщпшейные формы .,.), Ьп(ц,.), ап(ц,.,.), Ьп(ц,.,.), 1 < п ^ т + 1 и а„[.,.], Ь„[.,.], 1 < п < т:

п-1

а„(/ч, и, = ^ —С£(и, V), ¿=1 м

™ 1 и, и) = V,-

а„{ц,%ь) - а(и,у) + ап((л,и^), Ь„(ц, и, и) = 6(и, и) + 6„{м, и, и), а„[и,«] = а(и, V) 4- ап{а„, и,ь), Ьп[и,= Ь(и, V) + Ъп+1 (ап,и,ь),

при ц € Ап.

Запишем задачу (3)

для интервала Ап, виде:

найти Л € Л„, и е V \ {0} такие, что

ап{\, и, ь) = АЬ„(А, и, V) Уи £ V. (4)

Введем следующие вспомогательные линейные задачи на собственные значения: при фиксированном ц £ Л„ найти ^"'(уи) € К, и 6 К \ {0}, 1 ^ п < т Н- 1 такие, что

ап(ц, и, у) = <р{п)(ц)Ьп{ц, и, V) Уу е V; (5)

найти е К, и € Уп \ {0}, 1 < п ^ т такие, что

ап{щ V} = А(п)М«> и] \ZveVn- (6)

Задача (5) имеет последовательность положительных конечно-кратных собственных значений i— 1,2,..., занумерованных

с учетом кратности:

0 < ^ Л) Иш = оо.

г—>оо

Соответствующие ■собственные элементы u\n\ß), i — 1,2,..., образуют полную систему в пространстве V.

Задача (6) имеет последовательность положительных конечно-кратных собственных значений г — 1,2,..., занумерованных с учетом кратности:

О < А[п) ^ ■ - • < At<n) sc..., lim A,W = oo.

oo

Соответствующие собственные элементы v-"\ i = 1,2,..., образуют полную систему в пространстве Vn.

Исследование существования решений рациональной задачи (3) основано на применении следующих свойств функций tfi^(ß) , ß 6 Л„, к = 1,2,...

1) Функции <¿4"'ß & Л„, к — 1,2,.;. являются непрерывными невозрастающими функциями.

2) v'kHf1) 0 при /х Ä = 1,2,..., rn, 1 ^ n ^ m.

3) f{klr(ß) -> Ain) при ц -> <т~, г = r„, fc = 1,2,..., 1 < п ^ т.

4) 4n)(/i) -» А[п_1) при ix -> ff+_!, fc = 1,2,..., 2 < n «S m +1. Положим го = 0, rm+1 =0,Mi = ro+ri-l-.. ¿ = 1,2,..., m+1,

Л = (0, oo), Л = [0, оо]. Определим функции 7¿(/х), ц € Л, i = 1,2,... по формулам

7а:(аО = Р,-п)(аО> м е Лп, к = Mn_i + г, г = 1,2,...,

7j(/x)=0, /хеЛп, j = l,2,...,Mn_i

для 1 < n ^ т + 1.

Из свойств функций (/л), /х € Л„, fc = 1,2,... вытекает, что функции 7г(/х), ß € Л, г = 1,2,... являются непрерывными невозрастающими функциями. Следовательно, число А € Л является собственным значением задачи (3) тогда и только тогда, когда А 6 Л есть решение одного из уравнений ß — 7t(/i) = 0, ß £ Л, к — 1,2,...

Доказано, что задача на собственные значения (3) имеет последовательность конечнократных собственных значений Аг, i = 1,2,...,

занумерованных с учетом кратности:

О < Л1 ^ Аг < ... < Ai' < ..., lim А г = сю.

i-ч ОО

Каждое собственное значение Ai, г ^ 1 является единственным корнем уравнения

M - 7i(ß) =0, Ai € Л, г ^ 1.

Соотношения

Аг-s-i < A;_ä = ... = Аг = ап < A/+i выполняются тогда и только тогда, когда

AJ-s-l Л?'-* — — 1

для I — Mn-i + г, г = j + rn. Собственное подпространство i/(Ajt) задачи (3) является

a) собственным подпространством, соответствующим собственному значению ip^iß) линейной задачи на собственные значения (5) для /1 = А к, если А* € Л„, fc = M„_i + г,

b) собственным подпространством, соответствующим собственному значению А^"' линейной задачи на собственные значения (6), если А^ = А; = <7n, I = М„_ 1 4- г, г = j + г„.

Пусть N(0) = 0, iV(oo) = оо, N{ß) = тах{г : ^(ß) < ß,i Js 0}, ß е Л, 7о(м) = 0, ц € Л. Тогда число собственных значений А'(а, ß) задачи (3) на полуинтервале (а, ß] определяется по формуле N(a,ß) = N(ß) — N(a), а < ß, a,ß e Л. Имеют место соотношения

0 ^ N (а, ß) ^ оо, N(ß,ß) = ад, ОД ^ для » = /(/?), /(/?) = max{i : Oi ^ /9, г > 0}. Если 0 < N(a,ß) < 00, то выполняются неравенства

а < А,! < ... ^ Аг-2 s? ß,

где ii = N{a) +1, г2 = N{ß).

Пусть No = 0, Nm+1 ~ 00, Nn = max{i : A^ ^ стп,г ^ 0},

1 ^ n < m, где A;"', i = 1,2,... - собственные значения задачи (6),

л'"' = 0. Тогда N(ci) = Ni + Mi при 1 ^ i < m + 1, N{auaj) = (iVj - iVf) -f (Л/,- - Mi) при 1 < i < j < m +1. Если 0 < N(a, (3) < oo, то справедливы неравенства

<7j < A,< Aj2 < <7j,

где ii = M( + Ni + 1, ¿2 = Mj + Nj.

Во второй главе изучаются конечномерные аппроксимации нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве.

В § 2.1 исследуется аппроксимация линейной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве. Эта задача приближается задачей в конечномерном подпространстве. Получены результаты о сходимости и погрешности приближенных решений. Результаты данного параграфа применяются далее при исследовании приближенных методов для нелинейных задач на собственные значения.

В § 2.2 рассматривается аппроксимация нелинейной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве (1).

Для аппроксимации задачи (1) зададим конечномерные подпространства Vh пространства V размерности Nflt удовлетворяющие условию предельной плотности, то есть для любого элемента v из пространства V

sh(v) = inf ||v - Л 0 vkëVh

при h—* 0.

Определим симметричные билинейные формы = .,.) : Vh xVfc-Ки bh(fi) = ., ■) '-VhXVh К, непрерывно зависящие от /х е Л. Предположим, что bh(n. vh, vh) > 0 для любых vh € Vh \{0} и выполнено условие аппроксимации для приближенных билинейных форм, то есть ¿¿(/i) —> 0 при h —> 0, где

¿о(м) = IIМм) - aM)kxdl + II - &M)k*vJ.

Предположим, что отношение Рэлея

является невозрастающей по числовому аргументу функцией.

Нелинейную задачу на собственные значения (1) будем аппроксимировать конечномерной задачей: найти АЛ G Л, uh G V/, \ {0} такие, что

ah{АЛ, u\ vh) = X%{Xh, и'\ vh) Wvh б Vh. (7)

Введем вспомогательную линейную задачу на собственные значения при фиксированном fi G Л: найти 7h = -fh{ß) Gß, yh — yh(ß) € Vh \ {0} такие, что

ah(ß, y\ vh) = y'\ vh) W G Vh. (8)

Задача (8) имеет Nh положительных конечнократных собственных значений 7¡£ = 7к = 1,2,..., Nh, занумерованных с учетом кратности:

0 <7^72

Этим собственным значениям соответствует ортонормированная система собственных элементов y'¿ — к = 1,2,..., Nh такая, что Vi,Vj) = Уг,Vj) = Sij, i,j = 1,2,...,%. Элементы^, к — 1,2,..., Nh образуют полную систему в пространстве V/t. Имеют место неравенства 7¿(/i) ^ 7k(v) при fj, <77, fi,t] G Л. Пусть 0 < vi < v2 < 00, 1 ^ тп < п,

= Ига Ji(ß), j = 1,2, i = 1,2,...,

тп = min{¿: 1/1 - 7¿'(i/i) < 0, i ^ 1},

n = max{¿: v2 — 7f(i/2) > 0,¿ ^ 0}.

Тогда задача (7) имеет конечную последовательность положительных собственных значений A¿!, к — m, m + 1,..., п, занумерованных

с учетом кратности:

Пусть их ^ 0, и2 = оо, тп ^ 1,

тп = тт{г: щ — < 0, г ^ 1}.

Тогда задача (7) имеет последовательность конечнократных положительных собственных значений А^, к = т,гп + 1,..., Лтд-. занумерованных с учетом кратности:

VI < А^ < ^ .. • ^

Каждое собственное значение А-1 является единственным корнем уравнения

ц- т?(м) = 0, /х€Л.

Собственное подпространство задачи (7) является собствен-

ным подпространством соответствующим собственному значе-

нию т^1 (/г) линейной задачи на собственные значения (8) для ¡л = А^.

Установлены следующие результаты о сходимости и погрешности приближенной схемы (7).

Пусть \\ - собственное значение приближенной схемы (7), и| -отвечающий Х\ собственный элемент такой, что = 1.

Тогда имеет место сходимость А£ —► А к при /г —> 0, из каждой последовательности N —> 0 можно выбрать подпоследовательность к" —> О такую, что и,к щ вУ при /г = к" —► 0, где А^ и Щ - собственное значение и собственный элемент задачи (1). Если А& - простое собственное значение и знаки собственных элементов выбраны так, что ЬЛ(А£, РЛгг*) > 0, то щ в V при Н 0.

Пусть А^ - собственное значение задачи (1) кратности в, II — Щ\к) - собственное подпространство, отвечающее Аь (1шг [I = б'. По-

ложим

eh = sup sh(u),

ие£7,Ци[|=1

«5? = НК(А*) - e(A*))|iWx*J + ll№) ~ b(Afc))|WxvJ|, ¿2 = IIK(A*) - a(A*))|;wx/wll + ll(MAfc) - Ь(А0)|а^хлу||, = ||K(A*) - Oft(Ajfe))|vkX%|| + ||(&А(А*) - ЬА(АЙ)|%хп1|.

Для достаточно малых h справедлива оценка погрешности

где с - постоянная, не зависящая от h.

Пусть и\ - собственный элемент приближенной схемы (7) при = 1. Тогда найдется собственный элемент ti(u|) £ U задачи (1) такой, что для достаточно малых h справедлива оценка погрешности

где с - постоянная, не зависящая от h.

В § '2.3 исследуется аппроксимация рациональной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве (3).

Для аппроксимации задачи (3) зададим конечномерные подпространства Vh пространства V размерности Nh, удовлетворяющие условию предельной плотности.

Определим отображения a/j : 14 х 14 —>■ R и Ь/, : 14 х V/, —> R, которые являются симметричными билинейными формами и

&/,(.,.). Предположим, что b/i{vh,vh) > 0 для любого vh € 1*4 \ {0} и выполнено условие аппроксимации для приближенных билинейных форм, то есть ¿о —> 0 при h —> 0, где

¿о = ПК - <»)кх%|| + \\{h -

Рациональную задачу на собственные значения (3) будем аппроксимировать конечномерной задачей: найти £ 1, 6 VJ, \ {0}

такие, что

т Хк

ак{и\ук) = \%(и»,ун) + Т-ук) \ун в Ун. (9)

¡=1 01 ~ Л

Определим билинейные формы анп{^,.,.), .,.), 1 ^ п ^ т+ 1 и аЛ„[.,.], Ьл„[.,.], 1 ^ п ^ т:

ан„(ц, и\ иЛ) = аЛ(и\ + а„(/х, и\ и'1),

Ьы(ц, и\ Vй) = ЬЛ(иА, </*) + </),

аЦгЛ - аЛ(иЛ, иЛ) + а„(<г„, ин, ун),

М«Л. - ЬЛ(и*, Т7А> + Ь„+1 К, иЛ,

при /X е Л„, ил, б V/,.

Обозначим Уьп, = кегсп П Уь, 1 < п < т.

Запишем задачу (9) для интервала Л„, 1 ^ п ^ т + 1 в виде: найти Ал € Л„, и'1 6 14 \ {0} такие, что

аНп(Х\ «\ ун) = \%п(\н, и\ Vй) Чу* е Ул. (10)

Введем следующие вспомогательные линейные задачи на собственные значения: при фиксированном /х 6 Лп найти € К, ик 6 Ун \

{0}, 1 < п < тп + 1 такие, что

анп{11, и\ ун) - <р№(ц)Ъы((1, и\ Ук) V/ € (11)

найти Л('т) € Ж,ике Унп \ {0}, 1 < п < т такие, что

аы[и\ Ук) = А^ЫгД г/л] Уи" е (12)

Задача (11) имеет Ын положительных конечнократных собственных значений ^"'(/л), г = 1,2,...,ЛГд, занумерованных с учетом кратности:

Соответствующие собственные элементы и['т\ц), г = 1,2,..., /У/,, образуют полную систему в пространстве V/,.

Задача (12) имеет Л^ — г„ положительных конечнократных собственных значений А-^, г = 1,2,..., Л^л — г„, занумерованных с учетом кратности:

Соответствующие собственные элементы у\Нп\ г = 1,2,..., А^ — гп, образуют полную систему в пространстве У^.

Исследование существования решений рациональной задачи (9) основано на применении следующих свойств функций ¡л 6

А„,к = 1,2,...,^.

1) Функции ¡1 £ Л„, к — 1,2,..., Ии являются непрерывными невозрастающими функциями.

2) -> 0 при // <х~, к = 1,2,... ,г„, 1 ^ п < т.

3) ф!Лп)(д) -»■ со при м а^.1, к = ДГЛ - г„_! + 1,..., 2 < п < ш + 1.

4) ^ Х(к"] ПРИ М а", г = г„, к = 1,2,...,^- гп> 1 < п ^ т.

5) -> А^-4 при ¡1 к == 1,2,..., ЛГЬ - гп_ь 2 < п < т +1.

Положим г0 = 0, гт+1 = 0, Мг = Го+П-Ь..+г<, ¿ = 1,2,..., т+1, М = Мт, Л = (0, со), Л = [0, оо]. Определим функции (ц), [г € Л'*', г = 1,2,..., Л^ + М по формулам

т£(/1) = А; = Мп_1 + г, г = 1,2,...

Л«=Л, » = 1,2,...,ЛГЬ,

= (о^, оо), г = ЛГл + + р,р = 1,2,..., = 1,2,..., т для 1 ^ п ^ т + 1.

Из свойств функций ■ (д), /х 6 Л„, к = 1,2,..., А^ вытекает, что функции тд € Л®, г = 1,2,..., М^ + М являются непрерывными невозрастающими функциями. Следовательно, число АЛ е Л является собственным значением задачи (9) тогда и только тогда, когда АЛ € Л есть решение одного из уравнений ц — ^(/л) = 0, ц € Л'*),

Доказано, что задача на собственные значения (9) имеет Л^ + М конечнократных собственных значений А^, г — 1,2,..., Л^ + М, занумерованных с учетом кратности:

О < А^ ^ А£ < ... < А%к+м-

Каждое собственное значение А-1, 1 ^ г < Иь + М является единственным корнем уравнения

У' ~ = 0, меЛ«, 1<»<ЛГЬ + М. Соотношения

< А;л_а = ... = Агл = а„ < выполняются тогда и только тогда, когда

\(Лп) , (Лп) _ _ \(Лп) _ - ч(Лп)

Л7-»-1 < Л)-« - • ■ • ~ А] ~ап<

для I = Мп~ 1 4- г, г = ^ + г„. Собственное подпространство А£) задачи (9) является

a) собственным подпространством, соответствующим собственному значению линейной задачи на собственные значения (11) для (1 = А£, если А£ € Лп, к = Мп~\ + г,

b) собственным подпространством, соответствующим собственному значению линейной задачи на собственные значения (12), если А<Лп) = А{" = <г„, I = Мп-1 +1,1= 3 + г„.

Пусть N(0) = О, Щос) = ЛГЛ + М, 7У(/?) = тах{г : 7/1 (/?) < /3,г > 0}, /3 € Л, 7о(м) = 0, ц € Л. Тогда число собственных значений

N(a, 0) задачи (9) на полуинтервале (а, 0} определяется по формуле N(a,0) = N(0) — N(a), а < 0, а,0 е Л. Имеют место соотношения

0 < N(a,0) ^ Nh + M, N(0,0) « N(0), N(0) > М4 для i = 1{0), 1(0) — тах{г : ai < 0,i ^ 0}. Если N(a,0) > 0, то справедливы неравенства

где ii = N(a) +1, i2 = N(0).

Пусть jVq = О, = Nh + M,Nit = maх{г : Afn) < <х„,г > 0},

1 < гг ^ m, где A-ftn\ г = 1,2,..., ЛГл — r„ - собственные значения задачи (12), X(0hn) = 0. Тогда AT(oï) = Nf + М{ при 1 < г ^ m + 1, N(<ri,ffj) = (iVj1 - jV/1) + (M, - Mj) при + Если iV(ffi,<Tj) > 0, то выполняются неравенства

< A?, ^ • • • ^ ^

где i1 = Njl + Mi + 1, ¿2 = Wj1 + M/.

Приведем полученные результаты о погрешности приближенных решений.

Пусть А £ - собственное значение задачи (3) кратности s, U = t/(Afc) - собственное подпространство, отвечающее A*, dim Uk = s. Введем следующие обозначения:

sh = sup eh(u), иеи, ||u||=i

¿Î = II(OA - a)k"xvj + \\(h ~ ¿Okc^J,

¿2 = ll(0ft - o)k£/xft[/|| + ||(frfc -Для достаточно малых h справедлива оценка погрешности

где с - постоянная, не зависящая от h.

Пусть Ufc - собственный элемент приближенной схемы (9) при ||u£|| = 1. Тогда найдется собственный элемент и = (ы£) е U задачи

(3) такой, что для достаточно малых 1г выполняется оценка погрешности

где с - постоянная, не зависящая от /г.

В третьей главе разработаны итерационные методы решения матричных нелинейных задач на собственные значения.

В § 3.1 описаны хорошо известные методы решения линейной задачи на собственные значения: метод бисекции и метод итерации подпространства. Для этих методов приведены известные результаты о сходимости и погрешности, которые далее применяются при исследовании методов решения нелинейных задач на собственные значения.

В § 3.2 построены алгоритмы решения матричной нелинейной задачи на собственные значения с монотонной зависимостью от спектрального параметра. Задачи такого вида возникают при аппроксимации задач (1) и (4) с помощью приближенных схем (7) и (10).

Пусть Н есть Ж-мерное вещественное евклидово пространство векторов со скалярным произведением (.,.), Л = (^ь^г), 0 ^ и1 < 1^2 ^ оо. Для /х € Л введем симметричные положительно определенные квадратные матрицы А{ц) и В (¡л) размера N. Предположим, что элементы матриц Л(/х) и В(ц) непрерывно зависят от параметра ц € Л, отношение Рэлея

является невозрастающей по числовому аргументу функцией.

Сформулируем следующую задачу па собственные значения: найти Л 6 Л, и € Я \ {0} такие, что

При фиксированном ¡1 е Л обозначим через = ')к(р), к — 1,2,..., N собственные значения задачи А(ц)у = уВ(р)у, занумерованные с учетом кратности: 0 < 71 ^ 72 ^ ■ • • ^ 7лг-

ДО*,«) = Vг;€Я\{0},/<€Л

А(Х)и = АВ(А)и.

(13)

Обозначим

7i(uj) = lim тi{ß), j = 1,2,i = 1/2,..., N,

m = min{i: v\ — ji(ui) < 01}. Для Vi = oo положим n = N, для < oo положим n = max{i: — 7;(1^) > 0, i > 0},

m < n.

Задача (13) имеет собственные значения А k — т,т + 1,... ,п, занумерованные с учетом кратности:

v\ < Am

^ Am+i ^ ... ^ An <

Собственное значение Л», m < г < п является единственным корнем уравнения

М - 7i(ß) — 0»

Установлен следующий результат. Пусть при фиксированном ц € Л выполняется треугольное разложение

с диагональной матрицей D(p) и нижней треугольной матрицей L(/i), имеющей единичные диагональные элементы. Тогда

v(A(p) - tiB{n)) = m-l + v(A-pE) = v{D(v)),

где E - единичная матрица размера п — т + 1, v{C) - число отрицательных собственных значений матрицы С (отрицательный индекс инерции), Д = diag(Am, Am+i,..., А„), А*, г = m, т + 1,..., п - собственные значения матричной задачи, 1 < т ^ п.

Из этого результата следует, что количество собственных значений матричной задачи, меньших ß € Л, совпадает с числом i'(D(p)) — т+1, где u(D(ß)) - число отрицательных элементов диагональной матрицы D(ß) указанного треугольного разложения, если

это разложение существует. Для вычисления величины v(D(p)) следует воспользоваться методом Гаусса. В этом случае u(D(fi)) равно числу отрицательных ведущих элементов, возникающих в процессе гауссовых исключений неизвестных системы линейных алгебраических уравнений с матрицей A(ji) — цВ(р), д 6 Л. Описанная процедура деления спектра вместе с известным приемом деления отрезка пополам позволяет локализовать с требуемой точностью любое собственное значение задачи из заданного отрезка.

Далее построен метод итерации подпространства с предобуслав-ливанием. Предположим, что для каждого /х G Л задана квадратная симметричная положительно определенная матрица С(/х) размера N и положительные постоянные и faiv), для которых выполняются соотношения

V) < (Л(/хК v) ^ S2(,i)(C(n)v,v) Vv € Н. Для заданного цп определим итерационный параметр по формуле

=_I_

ii Си»)+ &(/"')

Зафиксируем номер к,тп < к < п. Через U" = {U", Щ, ■■■, Щ) и Vя = (V", V?, ■ . ■, V£) при п =.0,1,... будем обозначать прямоугольные матрицы, состоящие из к столбцов Uf, Щ, ■ ■., Щ и У", У2П, .. V" длины N соответственно, через span Vn — spanjV", V2n,..., Vfcn} -линейную оболочку столбцов матрицы Vn, через Л" при п = 0,1,... - диагональные матрицы Л" = diag(A", Л!?,..., Л™), когда диагональные элементы упорядочены по неубыванию:

Зададим V0 и вычислим Л° и U0 с помощью метода Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span V0 так, что

' (и°)тА{(1°)и° = Л°, {U°)TB{^)U° = Е,

При п = 0,1,... вычисляем Л"+1 и Un+1 по методу Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span V™+1,

yn+i ==ип_ TnC~l(ßn)(A(ßn)Un - B(ßn)UnAn),

(Un+1)TA(ßn+1)Un+1 = An+\ (Un+1)rB(ßn+1)Un+1 = E,

ßn+1 = A£+1, un+1 = U£+1.

Заметим, что ßn — 7t spanVn) = R(ßn,u") при n — 0,1,..., то есть приближение цп является собственным значением с номером к матричной задачи метода Рэлея-Ритца в подпространстве span V", приближение и" является собственным элементом, отвечающим собственному значению ßn.

Введем функции <pn(ß) = R{ß, и"), д £ Л, n = 0,1,... Отметим,

что приближение ßn определяется как решение уравнения

ßn =

где п = 0,1,...

Доказаны следующие результаты.

Пусть А* < Afc+ь < АЛ+1. Тогда ßn —► Xk при n -* oo, А/ь+i >

Предположим, что существуют положительные числа gi и д2 такие, что

\{A(ß)v,v) - (A{r])v,v)I < £ц (?7 - ß) {A(ß)v, v), |(B(ß)v,v) ~ (B(V)v,v)| < g2 (v - ß) (B(ß)v,v)

для I/J < Afc ^ ß < 7? < Ajfe+1 <i>2,veH\ {0}.

Пусть А* < Ajt+i, < Afc+i- Тогда справедлива оценка

— At ^"-Afc

где п — 0,1,..

1, Pl + П) snßn _ lk+i(ßn) ~ 7k(ßn) Чп l + r0s„M"' " -¡k+i{ßn)~ßn '

''о = g, 9 ~ 9i +92,1 < Sn Sn-1 ^ • ■ • < 5o, Qn ^ Qn-i < • • • ^ 4o < 1, sn 1 при n->oo,qn-* (pl + r0Xk)/(l + r0\k) при n -> oo.

Предположим, что gi = дг(ц, rj), g2 = g2(ß,rj), g(ß,Tj) = gi(ß, r\) + 92(ß,v)- Пусть Ajt < Ajt+i, ß° < Ajfc+i. Тогда выполняется оценка

ßn+l-K ßn-xk

где n - 0,1,...,

9« =

Pk + rn snß" lk+i(ßn) ~ lk(ßn)

Гп = Чп < 1, 1 < «п < 8„_! < ... < во, 8„ 1 при

П -»00 ,Чп->{(%+ 9оХк)/(1 + ВоХк) при п оо, д0 = ^(Аа:, А*). Если г,г ^ гп_1 < ... < г0, то ч„ < Чп-1 ^ • • • ^ Чо < 1-

Из приведенных оценок вытекают следующие результаты.

1) Если цп = А*, то ц1 = А*,, г = п,п +1,... Если цп ^ Хк, то

дП+1 <

2) Справедлива оценка

где

££ (Рк + 5оАа)/(1 + £0А*) при п -> оо, д0 = д(Хк,Хк), существует номер по такой, что < 1 при п ^ по-

3) Если гп < гп_1 ^ ... < го, то выполняется оценка

/х" - А* ^

где с* = (Ай+1 - Хк) (й) - Хк)/(Хк+1 - до).

В § 3.3 результаты, полученные в § 3.2, применяются для построения алгоритмов метода бисекции и метода итерации подпространства решения матричной рациональной задачи на собственные значения, возникающей при аппроксимации задачи (3) с помощью приближенной схемы (9). Доказана сходимость и получены оценки погрешности предложенных методов.

Пусть Я есть ЛГ-мерное вещественное евклидово пространство векторов со скалярным произведением (.,.). Введем симметричные положительно определенные квадратные матрицы А и В размера N.

Пусть с,-, г = 1,2,... ,т - заданные вещественные числа такие,

что

Зададим неотрицательно определенные симметричные квадратные матрицы С;, (С,«,ь) > 0 для любого к 6 Я \ {0}, г = 1,2,...,т. Предположим, что Г; = сосНткегС{ < N для г = 1,2,...,т, где кег С,- = {у : V е Н, = 0}, 1 < г < т.

Сформулируем рациональную задачу на собственные значения: найти Л 6 К, и € Н \ {0} такие, что

Обозначим со = 0 и <тт+1 = оо. Определим Лп = (0п-1,0п), 1 < п <т + 1 и введем квадратные матрицы Ап(ц), Вп(ц), Ап(у), Вп(ц), 1<п<ш + 1н Ап, Вп, 1 < п < т:

0 < о\ < 02 < ■ • • < сгт < оо.

(14)

Ап{ц) = А + Ап{ц), вп(м) = в + в„(м)

Л„ = А + Ап{а„), Вп = В + Вп+1(ап),

при у 6 Л».

Обозначим — ксгС,-, 1 ^ г < т.

Запишем задачу (14) для интервала Л„, 1 ^ п ^ т+1 в виде: найти Л 6 Л„-, и € Н \ {0} такие, что

А„(А)и = А Вп(Х)и.

Введем следующие вспомогательные линейные задачи на собственные значения: при фиксированном ¡хе Ап найти € Ж, и 6 Я\{0},

1 < п ^ т. + 1 такие, что

А„(м)и = у>(п)(м)ЗДи; (15)

найти А^ е К, и 6 У„ \ {0}, 1 ^ п ^ 77!. такие, что

Апи = А ^В„и. (16)

Задача (15) имеет N собственных значений г = 1,2,..., /V,

занумерованных с учетом кратности:

Задача (16) имеет N - г„ собственных значений 1,2,..., А — г„, занумерованных с учетом кратности:

Перечислим свойства функций , /х € Л„, к = 1,2,..., N.

1) Функции /<■ € Л„, к = 1,2,..., N являются непрерывными невозрастающими функциями.

2) 0 при ц -» а~, к = 1,2,..., т», 1 < п ^ т.

3) ЙГ^Ы Р° ПРИ Р "'п-!' к - N - г„_! + 1,..., ТУ, 2 < га < т+ 1.

^-Ук+гМ при № ат г ~ гп, к = 1,2,'. .., N — г„,

1 < п < т.

5) уЛ) -* при ¡г -* к-1,2,...,Ы- гп_ь 2 ^ п < т + 1.

Положим го = 0, гт+1 = О, М; = ГО+П+.. г = 1,2,..., т+1, М = Мт, Л = (0, оо), Л = [0, оо]. Определим функции 7*(/х), ц € Л», г = 1,2,...,// + М по формулам

7кМ = V 6 Л„, & = Мп_1 + г, г — 1,2,...,И,

1з{ц)=0, деЛ„, = 1,2,...,М„_Ь

Л^ = Л, г = 1,2,... ,ЛГ,

= (<г,,оо), 1 = # + Мм + р,р = 1,2,...,г^' = 1,2,...,т

для 1 ^ п ^ т +1.

Из свойств функций /х € Л„, А; = 1,2,..., N вытекает, что

функции ц е Л«, г = 1,2,... , N 4- М являются непрерывными невозрастающими функциями. Следовательно, число А 6 Л является собственным значением задачи (14) тогда и только тогда, когда А 6 Л есть решение одного из уравнений ц — тк{ц) = 0, /х € Л®, к = 1,2 ,...,Л7 + М.

Доказано, что задача на собственные значения (14) имеет Лг + Л/ конечнократных собственных значений А,-, г = 1,2,..., N + М, занумерованных с учетом кратности:

О < Ах ^ А2 < ... ^ Алг+АГ-

Каждое собственное значение А{, 1 ^ г < ./V + Л/ является единственным корнем уравнения

ц — 7;(д) = 0, /хеЛ<(), 1<г<Аг + М.

Пусть N(0) = 0, ЛГ(оо) = N + М, N(0) = тах{г : < /3, г ^ 0}, 0 € Л, 7о(^) = 0, ^ € Л. Тогда число собственных значений

N(a, ¡3) задачи (L4) на полуинтервале (a, ¡3} определяется по формуле N(a,/3) = N(¡3) — N{a), a < (3, a,(3 G Л. Имеют место соотношения

0 < N{a,(3) < N + M, N(0, ¡3) = N(/3), ВД > Mt для i = /(/3), /(^3) = max{i : a; < (3,i ^ 0}. Если N(a,0) > 0, то справедливы неравенства

a < Ait < ... s; Xi2 < /?,

где îi = N(a) + 1, ¿2 = N(/3).

Пусть N0 = 0, Arm+1 - N + M, Nn = тах{г : x\n) ^ crn,i > 0},

1 < n < m, где A|n), i = 1,2,...,N — rn - собственные значения задачи (16), A^ = 0. Тогда JV(ffj) = iV,- + Mi при 1 «S г ^ тп + 1, N{di, <jj) = (Nj - Ni) + (Mj - Mi) при 1 < г < j < m + 1. Если Nfa, ffj) > 0, то выполняются неравенства

Ci < Ai, ^ ... < A,2 < ctj,

где ii = N + Mi -I-1, î2 = Nj + Mj.

Получен следующий результат. Зафиксируем номер n, 1 ^ п < m + 1. Для ц 6 Л„ положим

Г(/х) = Л - цВ + Y" —!— Cj.

' /Т.- — //,

Пусть при фиксированном ц € Лп выполняется треугольное разложение

Т(д) = ЬШ(1х)Ь7(11) с диагональной матрицей Д(/х) и нижней треугольной матрицей Ь((л), имеющей единичные диагональные элементы. Тогда

»/(ТО*)) = Л„_1 + „(Д - цЕ) =

где Е - единичная матрица размера г2 — ¿1 + 1, ь>{С) - число отрицательных собственных значений матрицы С (отрицательный индекс инерции), Д = сЦая(Аг-,, А^+ь..., А,г), г = ц,ч + 1,..., г2 - собственные значения задачи (14), 1 < ц < г2, г'1 = ЛГ„_1 + М„_1 + 1, г2 = ]У„ + Мп.

Из этого результата вытекает, что количество собственных значений задачи (14) на Л„, меньших ц € Л„, равно

1/(Д - дЯ) = »(ВД) -

Поэтому количество собственных значений задачи (14), меньших д € Л„, равно

¿1 - 1 4- ¡/(Д - /хЯ) = 1/(1>(/х)) + М„_х, где 1/(0(д)) - число отрицательных элементов диагональной матрицы -£?(//) указанного треугольного разложения, если это разложение существует. Для вычисления величины и(В{ц)) следует воспользоваться методом Гаусса. В этом случае у(Р(/х)) равно числу отрицательных ведущих элементов, возникающих в процессе гауссовых исключений неизвестных системы линейных алгебраических уравнений с матрицей Т(ц), ц е Л„. Эта процедура деления спектра позволяет локализовать с требуемой точностью любое собственное значение задачи (14) из заданного отрезка.

Зафиксируем номер г, 1 < г ^ т + 1. Предположим, что задана квадратная симметричная положительно определенная матрица С размера N и положительные постоянные <ух, 72, 7^, 3 — 1,2,..., г — 1, для которых выполняются соотношения

71 (Си, и) < (Ли, и) < 72(Си, и)' Уг' € Я,

(С^К720)(Сг;,г;) V« б Я, ^ = 1,2.....г — 1-

Тогда справедливы неравенства

ВД(Сг;,г;) < < 52(ц){Су,у) V« е Я,

где

¿-1

ад«71, ад = 72 + У"—^'Т2Л, еА.

Для заданного д" определим итерационный параметр по формуле

гп= _?_.

¿Дм") + 6з{цп)

Зафиксирз'ем номер к, N¡-1 + 1 < к < Ni + Г{. Через Un = {U?,U?,...,U£) и У" = (V?,V?,...,Vkn) при п = 0,1,... будем обозначать прямоугольные матрицы, состоящие из к столбцов Щ, Щ, ..., Щ и Vi", V2n, ..., Длины N соответственно, через span Vn = span{Vi", V2",..., Vg} - линейную оболочку столбцов матрицы Vn, через Л" при п — 0,1,... - диагональные матрицы Л" = diag(A^, ..., А£), когда диагональные элементы упорядочены по неубыванию:

Зададим Vo и вычислим Л° и U0 с помощью метода Рэлея-Ритца для задачи (14) в подпространстве span Vo так, что

{U0)TAi(^)U° = A0, (U°)r Bi(n°)U° = Е,

¡м° = К, и0 =

При п = 0,1,... вычисляем An+1 и Un+l no метод}' Рэлея-Ритца для задачи (14) в подпространстве span К"4"1,

уп+1 = jjn _ TnC-1(Ai(nn)Un - Bi(nn)UnAn), (Un+1)T Ai(ixn+1)Un+1 = An+1, {Un+l)T Bi{nn+1)Un+1 = E,

Hn+1 = A£+1, мп+1 = t/"+1.

Пусть A¡ и A¡+i есть собственные значения задачи (14) такие, что oí-i < A¡ < Ай-i < <t¿, I = A/j-i + к. Положим

ft = l-(l-6)(l-A/A+i), 6 = (1 — di)/(l + di), dt = S(Xi), 6(ц) = 6i(m)/52(m), íieA ¡.

Заметим, что 0 < d¡ ^ 1, 0 < pi < 1.

Установлены следующие результаты. Пусть /х° < X¡+\. Тогда fin X¡ при n—f оо, А/+1 > > /х1 > ... > ¿tn > ... ^ A¡.

Имеет место оценка

рп+1 - А, ^

< Чп-

где п = 0,1,..

р?+г0зпцп д = 7;+1 (д") - 7г(/х") 1 + г05„Мп' " 7(+1 (йп) - Рп '

1 1

г0 = т--f •

Чп ■■

Ь — сг» — Аг+1' 1 ^ вп < й„_1 < ... < Чп ^ Чп-1 < • • • < Чо < 1> ¿л -» 1 при п оо, 4- г0Лг)/(1 + г0Л/) при п -» оо.

Выполняется оценка

- А; /х" ~ А,

где п = 0,1,...,

^ Рг1 + Гп __ 71+1 (/х") -

9п 1 + гп А'„ /г" ' " '

1 1 гп = -г-+ ■

1 ^ «гг < «п-1 ^ . . . < во, -> 1 при П 00, Чп (Р? + 0оАг)/(1 + роА;) при п —> оо,

1 1

до = т-Н--г—•

- сг*_1 - Л(+1

ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО /Х° < А;+1-

1) Если цп = А;, то ц' = А(, г = п,п + 1,... Если /лп ф А¡, то < цп.

2) Справедлива оценка

Мп+1-А,<^(мп-А,), п = 0,1,..., где (р} + «?оАг)/(1 + 5оА;) при п -» оо,

Аг+г — р.п+1

& = Чп-

Аг+1 - М" ' 32

а - ^ + _ 7ш(м") ~ •»(А")

- 1 1 ТП~ ЦП~ СГг-1 <П - р"' 1 1 до = --ь-:—>

существует номер щ такой, что < 1 при п ^ щ.

3) Выполняется оценка

Мп - Л, ^ ф0)п, где С; = (Л;+1 - А/) (//> - А;)/(Аг+1 - IIй),

- р21+г- - 7г(/Л

90 - 1+го3о^' 50 7т(/х°)-м0 '

1 1

г0 = --+-г—.

М — о«■—1 «т. — Лг+1

В четвертой главе исследуются приближенные методы решения дифференциальных задач на собственные значения.

В § 4.1 одномерная дифференциальная задача аппроксимируется схемой метода конечных элементов с численным интегрированием. Выведены оценки погрешности приближенных собственных значений и собственных функций. Аналогичные результаты установлены для двумерной дифференциальной задачи на собственные значения в прямоугольной области и ее аппроксимаций по методу конечных элементов с численным интегрированием. При получении этих результатов использовались общие результаты, доказанные в § 2.1.

В § 4.2 исследованы схемы метода конечных элементов с численным интегрированием для одномерной и двумерной дифференциальных задач на собственные значения с монотонной зависимостью от спектрального параметра на основе общих результатов из § 2.2.

В § 4.3 изучаются задачи о собственных колебаниях балки и пластины с упруго присоединенными массами. Задача о балке аппроксимируется схемой метода конечных элементов с эрмитовыми кубическими элементами. Задача о квадратной пластине аппроксимируется

схемой метода конечных элементов с эрмитовыми бикубическими элементами. Для исследования разрешимости этих задач и погрешности приближенных методов применяются общие результаты, полученные в § 1.3 и § 2.3.

В § 4.4 разработаны прямые экономичные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов для дифференциальных задач второго и четвертого порядков. Необходимость в таких алгоритмах возникает при реализации методов итерации подпространства с предобуславливанием, изученных в третьей главе.

В приложении приведены результаты численных экспериментов для задач о балке и пластине из § 4.3. Эти эксперименты иллюстрируют общие теоретические результаты, полученные в § 1.3.

Публикации по теме диссертации

1. Соловьёв С.И. О спектре конечно-элементной аппроксимации задачи на собственные значения для оператора Лапласа, - ВИНИТИ, № 5516-84 Деп. - Казань: Казанский государственный университет, 1984. - 12 с.

. 2. Соловьёв С.И. Быстрые методы решения сеточных схем МКЭ второго порядка точности для уравнения Пуассона в прямоугольнике /7 Изв. вузов. Математика. - 1985. - № 10. - С. 71-74.

3. Соловьёв С.И. Метод Фурье для конечно-элементной аппроксимации уравнения Пуассона // Сеточные методы решения дифференциальных уравнений / Ред. А.Д. Ляшко. - Казань: Казанский государственный университет, 1986. - С. 64-78.

4. Соловьёв С.И. Быстрые методы решения сеточных схем МКЭ повышенного порядка точности // Математическое моделирование в науке и технике. Тезисы докладов Всесоюзной школы-семинара (Пермь, 9-15 июня 1986 года). - Пермь, 1986. - С. 269.

5. Жигалко Ю.П., Ляшко А.Д., Соловьёв С.И. Колебания цилиндрической оболочки с присоединёнными жёсткими кольцевыми элементами // Моделирование в механике. -1988. - Т. 2, № 2. - С. G8--85.

6. Соловьёв С.И. Исследование точности сеточных схем МКЭ с численным интегрированием для задачи на собственные значения // Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач. Тезисы докладов Республиканской конференции молодых ученых и специалистов (Минск, 4-7 мая 1989 года). - Минск, 1989. - С. 127-128.

7. Соловьёв С.И. Быстрый прямой метод решения схем МКЭ с эрмитовыми бикубическими элементами // Изв. вузов. Математика. - 1990. - № 8. - С. 87-89.

8. Соловьёв С.И. Быстрые прямые методы решения сеточных схем МКЭ с бикубическими элементами для уравнения Пуассона // Исследования по прикладной математике / Ред. P.P. Шагидуллин. -

Казань: Казанский государственный университет, 1990. - Вып. 17. -С. 120-129.

9. Lyashko A.D., Solo/ëv S.I. Fourier method of solution of FE systems with Hermite elements for Poisson equation // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. - 1991. - V. 6, № 2. - 121-129.

10. Даутов P.3., Ляшко А.Д., Соловьёв С.И. Сходимость метода Бубнова-Галеркина с возмущениями для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Дифференц. уравнения. - 1991. - Т. 27, № 7. - С. 1144-1153.

11. Соловьёв С.И. Метод Бубнова-Галеркина для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Математическое моделирование и вычислительный эксперимент (Казань, июнь, 1991 года), - Москва: Институт математического моделирования РАН, 1991. - С. 43.

12. Соловьёв С.И. Быстрый прямой метод решения эрмитовых схем МКЭ четвертого порядка для уравнения Пуассона //' Исследования по прикладной математике / Ред. B.C. Мокейчев. - Казань: Казанский государственный университет, 1992. - Вып. 20. - С. 121130.

13. Соловьёв С.И. Погрешность метода Бубнова-Галеркина с возмущениями для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1992. -Т. 32, № 5. - С. 675-691.

14. Соловьёв С.И. Аппроксимация симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Изв. вузов. Математика. - 1993. - № 10. - С. 60-68.

15. Соловьёв С.И. Оценки погрешности метода конечных элементов для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Изв. вузов. Математика. - 1994. - № 9. - С. 70-77.

16. Dautov R.Z., Lyashko A.D., SoWëv S.I. The bisection method for

symmetric eigenvalue problems with, a parameter entering nonlinearly // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. - 1994 - V. 9, № 5. - P. 417-427.

17. Соловьёв С.И. Суперсходимость конечно-элементных аппроксимаций собственных функций // Дифференц. уравнения. - 1994. -Т. 30, № 7. - С. 1230-1238.

18. Соловьёв С.И. Вычисление спектрального радиуса задачи на собственные значения с положительной матрицей, нелинейно зависящей от спектрального параметра // Алгебра и анализ. Часть II. Тезисы докладов международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарёва (Казань, 5-11 июня 1994 года). - Казань: Казанский государственный университет, 1994. - С. 120-121.

19. Соловьёв С.И. Исследование погрешности МКЭ для нелинейных спектральных задач // Алгебра и анализ. Часть И. Тезисы докладов международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарёва (Казань, 5-11 июня 1994 года). -Казань: Казанский государственный университет, 1994. - С. 121-122.

20. Solov'ev S.I. The finite element method for symmetric eigenvalue problems with a nonlinearly entering spectral parameter // Optimization of Finite Element Approximations. Abstracts of reports of the International Conference (St.-Petersburg, June 25-29, 1995). - St-Petersburg: St.-Petersburg State University, 1995. - P. 87.

21. Соловьёв С.И. Суперсходимость метода конечных элементов с численным интегрированием для задач на собственные значения // Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы Всероссийского семинара (Казань, 24-28 июня 1996 года). - Казань: Казанский фонд "Математика", 1996. - С. 91-93.

22. Соловьёв С.И. Метод конечных элементов для симметричных задач на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1997. - Т. 37, № 11. - С. 1311-1318.

23. Соловьёв С.И. Аппроксимация симметричных нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве // Алгебра и анализ. Тезисы докладов школы-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева (Казань, 16-22 июня 1997 года). - Казань: Казанское математическое общество, 1997. - С. 202— 203.

24. Жигалко Ю.П., Соловьёв С.И. Аппроксимация задачи о собственных колебаниях балки с гармоническим осциллятором // Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы Второго Всероссийского семинара (Казань, 18-21 сентября 1998 года). - Казань: Казанское математическое общество, 1998. - С. 35-37.

25. SoloVev S.I. Convergence of the modified subspace iteration method for nonlinear eigenvalue problems. - Preprint SFB393/99-35 -Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 1999. - 15 p.

26. SoloVöv S.I. Preconditioned gradient iterative methods for nonlinear eigenvalue problems. - Preprint SFB393/00-28 - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2000. - 17 p.

27. Карчевский E.M., Соловьёв С.И. Исследование спектральной задачи для оператора Гельмгольца на плоскости // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т. 36, № 4. - С. 563-565.

28. Карчевский Е.М., Носич А.И., Соловьёв С.И. Собственные моды диэлектрических волноводов с размытой границей // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского / Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах. Материалы Молодежной научной школы-конференции (Казань, Юдино, 19-22 октября 2000 года). Казань: НИИММ им. Н.Г. Чеботарева, 2000. - Т. 6. - С. 79-114.

29. Соловьёв С.И. Блочные итерационные методы для нелинейных спектральных задач // Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы Третьего Всероссийского семинара (Казань, 18-21 сентября 2000 года). - Казань: Казанское математи-

ческое общество, 2000. - С. 106-108.

30. Соловьёв С.И. Конечноэлементная аппроксимация нелинейной задачи на собственные значения для интегрального уравнения // Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы Третьего Всероссийского семинара (Казань, 18-21 сентября 2000 года). - Казань: Казанское математическое общество, 2000. - С. 108— 111.

31. Apel Th., Sandig А.-М., SoWev S.I. Computation of 3D vertex singularities for linear elasticity: Error estimates for a finite element method on graded meshes. - Preprint SFB393/01-33 - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2001. - 32 p.

32. Жигалко Ю.П., Соловьёв С.й. Собственные колебания балки с гармоническим осциллятором // Изв. вузов. Математика. - 2001. -№ 10. - С. 36-38.

33. Соловьёв С.И. Итерационные методы решения нелинейных спектральных задач // Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках. Третья Всероссийская научная internet-конференция (Тамбов, сентябрь-ноябрь 2001 года).

- Тамбов: Тамбовский государственный университет, 2001. - Вып. 13.

- С. 36-37.

34. Apel Th., Sändig А.-М., Solov'cv S.I. Computation of 3D vertex singularities for linear elasticity: Error estimates for a finite element method on graded meshes // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. - 2002. - V. 36, № 6. - P. 1043-1070.

35. Соловьёв С.И. Суперсходимость конечно-элементных аппроксимаций собственных подпространств // Дифференц. уравнения. -2002. - Т. 38, К® 5. - С. 710-711.

36. Карчевский Е.М., Соловьёв С.И. Существование собственных значений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов // Изв. вузов. Математика. - 2003. - № 3. - С. 78-80.

37. So!oi/ev S.I. Existence of the guided modes of an optical fiber.

- Preprint SFB393/03-02 - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. - 21 p.

38. Solov'ev S.I. Eigenvibrations of a plate with elastically attached load. - Preprint SFB393/03-06 - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. - 18 p.

39. Solov'ev S.I. Preconditioned iterative methods for monotone nonlinear eigenvalue problems - Preprint SFB393/03-08. - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. - 22 p.

40. SoWöv S.I. Vibrations of plates with masses. - Preprint SFB393/03-18. - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. -7 p.

41. Solov'ev S.I. Preconditioned iterative methods for a class of nonlinear eigenvalue problems - Preprint SFB393/03-19. - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. - 18 p.

42. Solov'ev S.I. Preconditioned iterative methods for nonlinear eigenvalue problems // Abstracts. Einführungstagung Chemnitz (Chemnitz, November 20-21,2003). - Bonn: Alexander von Humboldt-Stiftung, 2003. - P. 46.

43. Соловьёв С.И. Собственные колебания пластины с массами // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского / Теория функций, её приложения и смежные вопросы. Материалы Седьмой международной Казанской летней научной школы-конференции (Казань, 27 июня-4 июля 2005 года). Казань: Казанское математическое общество, 2005. - Т. 30. - С. 145-146.

44. Соловьёв С.И. Аппроксимация собственных колебаний плат стины при точечном закреплении // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Шестого Всероссийского семинара (Казань, 1-4 октября 2005 года). - Казань: Казанский государственный университет, 2005. - С. 200-201.

45. Соловьёв С.И. Итерации подпространства для нелинейных спектральных задач // Сеточные методы для краевых задач и при-

ложения. Материалы Шестого Всероссийского семинара (Казань, 1-4 октября 2005 года). - Казань: Казанский государственный университет, 2005. - С. 201-203.

46. Соловьёв С.И. Приближенные методы для спектральных заг дач с рациональной зависимостью от параметра // Исследования по прикладной математике и информатике / Ред. И.Б. Бадриев. - Казань: Казанское математическое общество, 2006. - Вып. 26. - С. 91-95.

47. Соловьёв С.И. Метод Бубнова-Галеркина с возмущениями для спектральных задач // Исследования по прикладной математике и информатике / Ред. И.Б. Бадриев. - Казань: Казанское математическое общество, 2006. - Вып. 26. - С. 95-100.

48. Соловьёв С.И. Метод конечных элементов для несамосопряжённых спектральных задач // Учёные записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки - 2006.

- Т. 148, № 4. - С. 51-62.

49. SolovW S.I. Preconditioned iterative methods for a class of nonlinear eigenvalue problems // Linear Algebra and its Applications.

- 2006. - V. 41, № 1. - P. 210-229.

50. Соловьёв С.И. Аппроксимация спектра компактного оператора // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Мате. риалы Седьмого Всероссийского семинара (Казань, 21-24 сентября 2007 года). - Казань: Казанский государственный университет, 2007.

- С. 253-256.

Отпечатано в полном соответствии с представленным оригинал-макетом

Подписано в печать 07.07.2010. Форм. 60 х 84 1/16. Гарнитура «Тайме». Печать ризографическая. Печ. л. 2,75. Тираж 140. Заказ 242.

Лаборатория оперативной полиграфии Издательства КФУ 420045, Казань, Кр. Позиция, 2а Тел. 233-72-12

Введение

Глава 1. Задачи в гильбертовом пространстве

§ 1.1. Линейная задача.

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Существование и свойства решений.

§ 1.2. Нелинейная задача.

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Параметрическая задача.■.

1.2.3. Существование и свойства решений.

§ 1.3. Рациональная задача.

1.3.1. Постановка задачи.

1.3.2. Исследование параметрических задач.

1.3.3. Существование решений.

ГЛАВА 2. Конечномерные аппроксимации

§ 2.1. Линейная задача.

2.1.1. Схема аппроксимации.

2.1.2. Существование приближенных решений.

2.1.3. Исследование сходимости.

2.1.4. Исследование погрешности.

§ 2.2. Нелинейная задача.

2.2.1. Схема аппроксимации.

2.2.2. Существование приближенных решений.

2.2.3. Исследование сходимости.

2.2.4. Исследование погрешности.

§ 2.3. Рациональная задача.

2.3.1. Схема аппроксимации.

2.3.2. Существование приближенных решений.

2.3.3. Погрешность приближенных решений.

глава 3. Итерационные методы

§3.1. Линейная задача.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Метод бисекции.

3.1.3. Метод Рэлея-Ритца.

3.1.4. Итерации подпространства.

§ 3.2. Нелинейная задача.

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Метод бисекции.

3.2.3. Метод Рэлея-Ритца.

3.2.4. Итерации подпространства.Ï

§ 3.3. Рациональная задача.

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Существование решений.

3.3.3. Метод бисекции.

3.3.4. Итерации подпространства.

ГЛАВА 4. Дифференциальные задачи

§4.1. Линейные задачи.

4.1.1. Одномерная задача.

4.1.2. Двумерная задача.

§ 4.2. Нелинейные задачи.

4.2.1. Одномерная задача.

4.2.2. Двумерная задача.

§4.3. Рациональные задачи.

4.3.1. Собственные колебания нагруженной балки.

4.3.2. Собственные колебания пластины с массами.

§4.4. Реализация итерационных методов . . .'.

4.4.1. Задача второго порядка.

4.4.2. Задача четвертого порядка.

Диссертация посвящена разработке приближенных методов для решения прикладных задач на собственные значения. В качестве приложений рассматривается класс задач, описывающих собственные колебания механических систем с массами. Такие задачи издавна интересовали исследователей. Еще Пуассон в своих мемуарах изучал задачу о движении груза, подвешенного на тонкой упругой нити. Этот факт отмечает А.Н. Крылов в своей книге [75], где указывается, что к подобной задаче сводится теория индикатора паровой машины, крутильные колебания вала с маховиком на конце, исследование разного рода "дрожащих" клапанов и другие. Для теории многих измерительных приборов важно изучение крутильных колебаний нити, к концу которой подвешена масса, например, зеркальце. А.Н. Тихонов и A.A. Самарский [152] отмечают, что особую актуальность задачи подобного типа приобрели в связи с изучением устойчивости вибраций крыльев самолета. Для решения этой задачи необходимо вычисление собственных частот крыла с присоединенными моторами. Простейшая модель крыла - балка переменного сечения с массами. Более точная модель крыла приводит к исследованию собственных колебаний нагруженной пластины. С развитием судостроения, самолетостроения, космической техники, химической и нефтяной промышленности возникла необходимость расчета обо-лочечных конструкций, нагруженных присоединенными элементами: приборами, моторами, элементами автоматики, узлами машин. Хотя присоединенные элементы имеют малые размеры, их влияние на устойчивость системы является определяющим. Потребности практики привлекли внимание к развитию методов проектирования таких конструкций [6-8,10,26,44,45,55,82,99,158].

При учете упругости закрепления масс задача сильно усложняется возникновением нелинейности по спектральному параметру. Задачам о собственных колебаниях механических конструкций с упруго присоединенными массами посвящено большое число работ. Среди них перечислим работы [6,7,9,10,13,44,45,52-54,82,85,99,158]. Значительный интерес исследователей к этим задачам отмечен в книге [10], которая содержит механические постановки задач, описание существующих методик расчета и обзор полученных теоретических и экспериментальных результатов. Из анализа результатов, представленного в [10], видно, что круг решаемых задач, оиисанных в научной литературе, ограничивается главным образом задачами, допускающими разделение переменных. Поясним причину этого обстоятельства на примере задачи о собственных колебаниях изотропной пластины с упруго присоединенными массами.

Пусть Q, - область, занимаемая срединной поверхностью изотропной пластины, Г - граница области П, р = р(х) - плотность материала, D = D{x) = Edz/12(1 — у2) - цилиндрическая жесткость пластины, Е — Е{х) ~ модуль Юнга, v = v{x) - коэффициент Пуассона, d = d(x) - толщина пластины в точке х Е Q. Предположим, что в точках пластины х^ Е Q упруго присоединены массы Мг- (осцилляторы) с коэффициентами жесткости подвески К{, ^/щ — yjKifMi -парциальная частота г-oro осциллятора, г = 1,2,., т.

Обозначим через w(x,t) нормальные перемещения точки х Е Cl срединной поверхности пластины в момент времени t, через rjL{t) ~ отклонение от положения равновесия груза массы Mi в момент времени г = 1,2,., т. Собственные колебания системы пластина-массы характеризуются гармоническими во времени функциями ги(х, t) и rji(t) вида w(x,t) = u(x)v(t), xeQ, rji{t) = Ciu(x{i))v{t), t> 0, (0.1) где v{t) = aocos\/Xt + &osin\/Ai, t > 0; ao> 6q, q, Л - постоянные величины, г = 1,2,., ш. Число л/Х определяет частоту собственного колебания системы пластина-массы, функция и(х) задает форму собственного колебания частоты л/Л.

Функции (0.1) удовлетворяют уравнению колебания пластины

Lw(x, t) + p{x)d{x)wtt{x, t) = /(ж, ¿), (0.2) и уравнению осциллятора

М{{ф))и + Ki(rn(t) - w{x^,t)) = 0, i = 1, 2,., m, (0.3) где t > 0, L - дифференциальный оператор, определяемый выражением:

Lw = diiD(dnw -I- v&22w) + d22D{d22W + vduw) + 2^i2D(1 — v)di2W, di = d/dxi, dij = didj, i,j = 1,2, (ip(t))t — d^{€)ldt. Движения присоединенных масс и пластины рассматриваются как взаимно вынужденные. При этом действие присоединенных масс на пластину заменяется действием гармонической во времени сосредоточенной силы вида: т ж, t) = - w(x®,t))8(x - (0.4) 1 где S(x) - дельта-функция Дирака. Система уравнений (0.1)-(0.4) дополняется одним из известных граничных условий:

Niu(x,t)= 0, хеГ. (0.5)

Подставляя разложения (0.1) в уравнения (0.3), находим, что Ci = щ/{щ — Л), щ = Ki/Mi, i = 1,2,. ,m. Учитывая (0.1) и (0.4), из уравнений (0.2) и (0.5) получим задачу на собственные значения: найти числа Л и ненулевые функции и(х), х £ fl, удовлетворяющие уравнению т д

Lu + У^--Ki8{x - х^)и = Xpdu, xGfi, (0.6) и граничному условию

Ыи = 0, хеТ. (0.7)

Чтобы найти решения задачи (0.6)-(0.7), введем вспомогательную задачу на собственные значения: найти числа Л и ненулевые функции и(х), х е Г2, удовлетворяющие уравнению и граничному условию (0.7).

Задачи (0.6)-(0.7) и (0.8)—(0.7) запишем в вариационной форме: найти Л е К, и Е V \ {0} такие, что А х, — Л а(и, у) = ХЬ(и, у) + У^-тс{{и,у) У у е V, (0.9) ^ к- — А г=\ найти Л е Ж, и е V \ {0} такие, что а(и, у) = \Ъ(и, у) Уу е У. (0.10)

Здесь V - гильбертово пространство, состоящее из функций пространства И^!удовлетворяющих главным граничным условиям, а(и, -и) = J Luvdx: Ь(и,у) = J pduydx, о, о с* (ад, у) = К{и(х^)у(х^), г = 1,2,., т для достаточно гладких функций и, у из пространства V.

Задача (0.10) имеет последовательность положительных конеч-нократных собственных значений к = 1,2,., занумерованных с учетом кратности:

0 < ¡1\ ^ < • • • < Цк < ■ • •, Нт /Лк = сю. юо

Этим собственным значениям соответствует ортонормированная система собственных элементов Ук, к = 1,2,. такая, что а(уищ) = Ъ{у1,У5) = г,7 = 1,2,., где дц - символ Кронекера. Элементы г^, к = 1,2,. образуют полную систему в пространстве V.

Собственный элемент задачи (0.9) представим в виде разложения по собственным элементам ук, к = 1,2,. задачи (0.10):

00 U

1=1

1=1

Это разложение подставим в уравнение (0.9) при V = ук. Тогда получим оо оо

- \Ь(у[,ук)) = - Щ/С =

1=1 1=1 т г=1

Отсюда находим = ——г У2 —^—г <н(и, vk), к = 1,2,. № ~ А ^ щ - Л

Поэтому оо оо - m

ОО ОО ^ Ш д и = J2 = X т—л X) л=1 fc=i ^ л i=i л и для j = 1,2,., т имеем оо 1 m , зСЙ) = £ £ J^Miu{x^)vk{x^)vk{x^).

Переставив знаки суммирования, запишем это соотношение в виде и(ж(Л) , £ f; ^ V' - Л ■ ^ / /» - А или короче

ТП ч ^-^-М^(ЛМ^)) г=1 Л для

А=1 ^ " Л оо г, j = 1,2, .,т.

В результате выводим

Предполагая вектор у = (уи у2,., ут)Т, 3/» = и(х^), г = 1,2,., ш неравным нулевому вектору, получим характеристическое уравнение для определения собственных значений задачи (0.6)—(0.7):

В книге [10], с. 30 отмечается, что метод решения задачи (0.6)-(0.7) с помощью характеристического уравнения (0.11) является достаточно простым и эффективным, если известны аналитические формулы для собственных значений и собственных функций вспомогательной задачи (0.8)-(0.7). Но это, к сожалению, возможно только для весьма ограниченного класса механических систем. Этот класс задач определяется возможностью разделения переменных в уравнениях, что накладывает ограничения на область, вид коэффициентов и граничных условий.

В настоящей диссертации предлагается и обосновывается подход, свободный от перечисленных ограничений. Этот подход опирается на формулировку исходной задачи как задачи на собственные значения, монотонно зависящей от спектрального параметра, с последующим с^£>(А) = 0

0.11) где 1>(А) = ШАЩ=1, применением сеточных методов. Например, в случае задачи о пластине (0.6)-(0.7) монотонная спектральная задача для нахождения собственных значений Л из интервала , имеет вид а(А, и, v) = ЛЬ(Л, и, и) Уу е V, (0.12) где <

П — 1 д а(Л, и, г;) = а(гг, г>) + У^ --у), т ^

Ъ(\, гг., V) = г;) + V) ---сг(п, — л г=п

Аппроксимация задачи (0.12) в конечномерном подпространстве У^ пространства V для Хь из интервала (^-ь нп) определяется уравнением: ан(Х\ и\ ук) = \НЬН{\1\ ин, Vй) \/ук е Ун. (0.13)

Эта приближенная схема эквивалентна монотонной матричной спектральной задаче

А(\)у = ХВ(Х)у (0.14) для Л е По своим свойствам монотонные спектральные задачи вида (0.14) весьма близки к линейным задачам на собственные значения, что приводит к эффективным численным методам их решения.

Таким образом, разрабатываемый в диссертации подход для нахождения собственных колебаний механических конструкций с упруго присоединенными массами, обладает желаемой универсальностью, работает в самых общих ситуациях, возникающих на практике, и приводит в итоге к численным алгоритмам, имеющим вычислительные затраты такие же, как и в случае задач без масс. Полученные в диссертации результаты допускают различные обобщения и могут быть применены при решении широкого круга нелинейных задач на собственные значения, возникающих в науке и технике. Среди таких задач отметим задачи расчета диэлектрических волноводов, задачи физики плазмы, квантовой механики, гидродинамики и теории упругости [1-4,27,28,33,35-37,43,50,51,65-67,111,148,163,164,168,178,194, 199,221]. Применяемый в диссертации подход предложен и изучен в работах С.И. Соловьева [122,125,127-129,132-136,138-146,210-218].

Исследования конечномерных аппроксимаций (0.13) нелинейной задачи (0.12) опираются на результаты по аппроксимации линейных задач на собственные значения. Пусть имеется линейная задача на собственные значения: найти числа Л и ненулевые элементы и такие, что а(щ у) = ХЬ{и, у) \/у Е V. (0.15)

Здесь а(.,.) и &(.,.) есть симметричные билинейные формы, форма, а(.,.) предполагается положительно определенной и ограниченной, форма &(.,.) предполагается положительной и вполне непрерывной. Определим компактный самосопряженный оператор Т : V V по правилу а(Ти, у) = Ь(и, у) Уи, у е V.

Тогда задача (0.15) запишется в виде задачи с компактным оператором и = \Ти.

Поэтому задача (0.15) имеет последовательность конечнократных положительных собственных значений с предельной точкой в бесконечности, занумерованных в порядке неубывания с учетом кратности.

Задача (0.15) аппроксимируется в конечномерном подпространстве У]ь пространства V: найти числа Хк и ненулевые элементы ин такие, что ак(и\ у11) = \%(и\ ук) \/у}1 е Ун. (0.16)

Предположим, что выполнено требование предельной плотности семейства подпространств Vh в пространстве V. Определим проектор Ph : V —> Vh по формуле a(Phu, vh) = а(и, vh) Vvh G Vh Vu G V.

Заметим, что ||г> — Pjtv || —0 при h —> 0, v G V. Предположим, что билинейные формы a/j(.,.) и ¿>/1(.,.) удовлетворяют условию аппроксимации: Sq —> 0 при h 0, где

50 = !1К - a)kxdl + \\(bh ~ b)\Vhxvh\I. Определим оператор Т^ : V^ —»• V^ с помощью равенства аЛ(ТЛиЛ, v*) = ЬЛ(тЛ 1>Л) vh G

Тогда вариационная задача (0.16) примет следующую операторную форму uh = дАГлгД

Следовательно, задача (0.16) имеет N — dimV/, положительных собственных значений, занумерованных в порядке неубывания с учетом кратности.

Пусть Ли U - к-ое собственное значение и отвечающее ему собственное подпространство задачи (0.15). Положим sh = eh = \\(I-Ph)\ul

Soh = \№ - PhT)\Vhl и заметим, что Eh —> 0, 5qu ^ cSq —► 0 при h 0. Для к-ого собственного значения Xh задачи (0.16) имеет место оценка погрешности

Ль-Л|<С(Ы2 + ад. (0.17) Из этой оценки вытекает следующая оценка

Ah - А| < c((shf + (0.18) 12

Оценки (0.17) и (0.18) дают сходимость Хн —► Л при к —» 0. Здесь и далее через сисг обозначаются различные положительные постоянные, не зависящие от Н.

Оценку (0.17) можно улучшить

-АКс^ + ^ + ад2), (0.19) где \№ - РнТ)\Рки1 32Н = \\((ТН - РкТ)., Существуют постоянные с\ и С2 такие, что

АЛ - А| ^ С1(<52/, + (ел + <Ы2) < с2(е| + Из оценки (0.19) следует оценка в терминах билинейных форм \ХН - А| < с(4 + (е* + ф2), (0.20) где ||(ал - а)\Р,1ихУк\\ + ||(Ьл - Ъ)\РкихУн||, $ = ПК - а)\рки*рни\\ + I\(Ьн - Ь)\РкихРки\\. Существуют постоянные с\ и с2 такие, что

АЛ - С1(4 + {ек + ¿?)2) < с2((^)2 +

Оценка погрешности (0.17) доказана Г.М. Вайникко [73], с. 261, оценка погрешности (0.18) выведена Дж, Фиксом [183], улучшенные оценки (0.19), (0.20) получены С.И. Соловьевым [127,145,146]. Недостаток оценок (0.17), (0.18) состоит том, что эти оценки не приводят к оптимальным результатам для метода конечных элементов с численным интегрированием. Для иллюстрации этого факта рассмотрим дифференциальную задачу на собственные значения ри'У + аи = Хги, х е (0, Л,

0.21) гл(0) = и{1) = 0, 13 с достаточно гладкими вещественными коэффициентами р = р(х), # = (/(ж), г = г (ж), х Е [0, /], удовлетворяющими условиям

VI ^ р{х) ^Р2, 0 < ^ д2, П. ^ г(х) ^ г2, х Е [0, /] для положительных постоянных р\, рч-, П, 1*2

Дифференциальная задача (0.21) эквивалентна вариационной задаче на собственные значения (0.15) при а(и, у) — (ри'у' 4- дгш) ¿х, Ъ{и,у) — / гиу<1х,

3о

У = {-и : V е ^(0,0, «(0) = у{1) = 0}.

Разобьем отрезок [0,1] равноотстоящими точками Х{ = г/г, г = 0,1,., М, на элементы = (а^-х, а^)* к = 1,2,., М, ¡г = 1/М. Обозначим через У?г подпространство пространства V, состоящее из функций Ун, принадлежащих пространству полиномов п-ой степени Рп{&к) на каждом элементе е^ = (хк-1,Хк), к = 1,2,., М.

Зададим на исходном элементе е = (—1,1) квадратурную формулу Гаусса с п узлами

1 п ^ <р(х) ЫгФШ

1 г=1 для непрерывной функции <р(х), х Ее. Здесь щ > 0, г = 1,2,., п -коэффициенты квадратурной формулы, —1 < Д < 1, г = 1,2,. ,п - узлы квадратурной формулы. Заметим, что узлами квадратурной формулы Гаусса являются корни полинома Лежандра степени п на отрезке [—1,1], а сама квадратурная формула точна для многочленов из Р2п- 1(е).

Вариационную задачу (0.15) аппроксимируем по методу конечных элементов с численным интегрированием (0.16), где

М п ан{и\ = £ £ акМиН)'{ун)' + к=1 ¿=1 М п к=1 г=1 г = 1,2, .,п, к = 1,2,. ,М.

Применяя традиционную для метода конечных элементов технику получения оценок погрешности интерполяции и численного интегрирования [149], выводим с/Л <5£ < сД2, ^ ^ с/г714"1, < сД2гг.

Подставляя эти соотношения в оценку (0.20), приходим к оптимальному результату

А - \н\ ^ с/г2п, совпадающему с оценкой погрешности метода конечных элементов при точном вычислении интегралов. В то время как оценки (0.17), (0.18) дают

Этот результат не является оптимальным по порядку при п > 1.

Оптимальные оценки погрешности метода конечных элементов с численным интегрированием доказаны в работе и. Вапецее, Л.Е. ОбЬогп [169], в которой не были выведены общие оценки погрешности приближенных решений через погрешности аппроксимации подпространства и оператора или билинейных форм.

Асимптотически точные оценки погрешности проекционного метода (метода Бубнова-Галеркина) для задачи на собственные значения линейного самосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве получены в работе Г.М. Вайникко [15]. Результаты этой работы обобщены для метода Бубнова-Галеркина с возмущениями С.И. Соловьевым [146]. Асимптотические оценки погрешности проекционного метода для задачи на собственные значения линейного несамосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве доказаны в работе Г.М. Вайникко [14]. Обобщение этих результатов на более широкий класс методов получено в работе Г.М. Вайникко [16]. С.И. Соловьев [145] усилил эти результаты и получил оптимальные оценки погрешности метода конечных элементов с численным интегрированием для несамосопряженных спектральных задач. Асимптотические оценки погрешности проекционного метода для задачи на собственные значения голоморфной фредгольмовой операторной функции доказаны в работе О. Карма [62]. Развитие этих результатов для более широкого класса приближенных методов проведено Г.М. Вайникко, О. Карма [17], О. Карма [63,64,187,188]. Однако здесь не были получены оценки погрешности для собственных значений и корневых подпространств через погрешности аппроксимации подпространства и оператора, приводящие к оптимальным результатам в методе конечных элементов с численным интегрированием. Оптимальные оценки погрешности приближенных методов для нелинейных задач на собственные значения установлены в работах С.И. Соловьева [127-129,132,134,135,137,144].

В настоящей работе применяются стандартные результаты теории метода конечных элементов (МКЭ). Среди обширной литературы по математической теории МКЭ отметим книги [22,25,42,70,87,95,147, 149,150,159]. Инженерные аспекты МКЭ с приложениями в механике обсуждаются в монографиях [56,69,94,98,116,156]. Суперсходимость МКЭ исследовалась в работах [5,34,38-40,71,72,79,96,97,101,108,161, 162,167,186,196-198,224]. МКЭ для задач на собственные значения изучался в работах [18,165,166,176,177,179,182-184,195,204,206,207, 225,226]. Параллельно МКЭ развивался метод конечных разностей для задач на собственные значения [31,74,83,90,102,103,106,113-115, 151].

Обратимся теперь к численным методам решения матричных задач на собственные значения. Из всего многообразия известных методов выделим метод бисекции и метод простой итерации. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции) является одним из самых эффективных методов определения группы собственных значений алгебраической спектральной задачи Ах — ХВх с симметричными ленточными матрицами А и В размера N. Метод бисекции опирается на хорошо известное свойство системы Штурма ро(А), Р1(А), рн{Л) для характеристического многочлена задачи рдг(Л) = сЫ;?7^), Т(Х) = А — ХВ, где ро(Х) = 1, Рг(Х) - г-ый угловой главный минор матрицы Т(А), г = 1,2,., N. Это свойство состоит в том, что число совпадений (перемен) знаков у соседних членов последовательности значений многочленов системы Штурма Рг(Х), г — 1,2,., ТУ равно числу собственных значений задачи Ах = ХВх больших (меньших), чем (I, если р{(Х) ^ 0, г = 1,2,., А^ [205]. Первоначально метод бисекции использовался для локализации собственных значений трехдиагональных матриц, для которых система Штурма строится по известным трехчленным рекуррентным соотношениям (см., например, [154]). Позднее такой подход был распространен на спектральные задачи с заполненными матрицами. В этом случае учет знаков последовательности значений многочленов системы Штурма в точке ¡1 сводится к исследованию знаков последовательности элементов диагональной матрицы Р(^) треугольного разложения А — цВ = Ь(ц)Б(ц)Ьт(/х) метода Гаусса, где Ь(д) - нижняя треугольная матрица с единичными диагональными элементами, - матрица, транспонированная к матрице 1/(/х). Нетрудно убедиться, что £>(д) = И поэтому число положительных (отрицательных) элементов матрицы 1>(/х) совпадает с числом собственных значений исходной задачи больших (меньших), чем ¡1, если Р{(\) Ф 0, г = 1,2,., N. Это обстоятельство позволило отказаться от явного построения системы многочленов Штурма при реализации метода бисекции и провести обоснование алгоритма метода бисекции с помощью теоремы Сильвестра об инерции (см., например, [100]).

Последующие обобщения коснулись применения алгоритма деления спектра к решению задач на собственные значения с нелинейным вхождением параметра.

В работе [78] метод бисекции применялся для решения задачи на собственные значения Т(Х)х = 0 с квадратной симметричной мат1 рицей Т(А) = А — —В — А С размера ЛГ, где А - симметричная поА ложительно определенная трехдиагональная матрица, В и С - диагональные матрицы с положительными диагональными элементами. В предположении, что существует точка А* > 0, в которой матрица Т(А*) положительно определена, доказано существование вещественных собственных значений рассмотренной задачи: 0 < Алг < . < А1 < А* < Ах < . < А^. При этом установлено, что число перемен знака у соседних членов последовательности Штурмаро(/")> рЛ^), • • •> рдг(/1) для характеристического многочлена задачи = Т(ц) при /I < А* (д > А*) совпадает с числом собственных значений задачи Т(Х)х = 0 в интервале (¿г, А*) (в интервале (А*,//)). Кроме того, предложено значительно ослабленное условие на матрицу Т(А*).

Работа [112] посвящена решению задачи Т(Х)х = 0, где Т(А) = \2А+\В—С, А, В и С - квадратные симметричные матрицы размера N. причем АиС являются положительно определенными. Для локализации собственных значений используется треугольное разложение Т([х) = Ь(/1) Ь* (/2), полученное по методу квадратного корня с элементами (/¿) = 0 при г < г, 2 — 1? 2,., N, Ь*(/1) - сопряженная к Ь(ц) матрица. В данном случае многочлены последовательности Штурма задаются соотношениями ро(/и) = 1, Рк(^) — ГЙ=1 а знак элемента р^(/х) определяется по формуле (—1)т, где га - число мнимых элементов среди г^ = 1, 2,., к. Поэтому число перемен знака в последовательности Штурма Рг(¿0, • • -, Рлг(м) равняется числу мнимых диагональных элементов матрицы Доказывается, что число перемен знака в последовательности Штурма ро(^), Р1 (/х), ., Рлг(д) при /х > 0 < 0) совпадает с числом положительных (отрицательных) собственных значений задачи Т(Х)х — О больших (меньших), чем /х, если ры{у) Ф 0. Этот факт позволяет эффективно отделять собственные значения указанной задачи.

В работе [32] рассматривается задача А (Л) .г- = ХВх, где А{ц) - трехдиагональная матрица размера N с невозрастающей зависимостью от параметра ц, В - диагональная матрица с положительными диагональными элементами. В предположении, что существует точка А* > 0, в которой матрица А(А*) является положительно определенной матрицей, установлено существование положительных различных собственных значений. Показано, что число совпадений знаков последовательности значений в точке /х > 0 многочленов системы Штурма для характеристического многочлена А) = с1е!;(А(А) — А В) равно числу собственных значений строго больших, чем На основе этого свойства построен алгоритм метода бисекции вычисления положительных собственных значений с использованием реккурентных соотношений для системы многочленов Штурма.

В работе [181] изучается задача А(А)ж = ХВ(Х)х с симметричными положительно определенными матрицами А(/л) и В (¡л) для фиксированного [1 из интервала (А~,А+), 0' < А- < А+ ^ оо. В предположении, что отношение Рэлея х) = (А(^)х,х)/(В((л)х,х) является непрерывной невозрастающей функцией числового аргумента ¡1 £ (А~, А+), подчиняющейся некоторым дополнительным условиям, установлено существование N собственных значений А&, к— 1,2,., N1 Х~ < Ах ^ А2 ^ . ^ Хм < А+. При помощи теоремы Сильвестра об инерции^доказано, что число отрицательных ведущих элементов гауссова исключения неизвестных, примененного к ма.трице А(р) — рВ{р), равно количеству собственных значений задачи Л(А)ж = ХВ(Х)х меньших, чем р. Этот результат положен в основу предлагаемого метода бисекции.

В работе [131] исследуется алгебраическая задача на собственные значения А(|А|)ж = Ах, где А(р) - матрица с положительными элементами, являющимися непрерывными невозрастающими функциями параметра ^ £ Л = (0, сю). Обозначим через р спектральный радиус, то есть радиус наименьшего круга на комплексной плоскости с центром в начале координат, который содержит все собственные значения сформулированной задачи. Доказано, что р > 0, р является алгебраически простым собственным значением данной задачи, любое другое собственное значение А удовлетворяет неравенству |А| < р. Собственному значению р отвечает единственный нормированный собственный вектор с положительными координатами. Эти результаты являются обобщением результатов хорошо известной теоремы Перрона для положительных матриц. Установлено, что число /х е А больше собственного значения р тогда и только тогда, когда все верхние угловые главные миноры матрицы рЕ — А(р) положительны. На этом результате основан предлагаемый метод бисекции вычисления спектрального радиуса р задачи.

После дискретизации задачи на собственные значения для симметричных эллиптических дифференциальных операторов мы получаем матричную задачу Аи — АВи с большими разреженными симметричными положительно определенными матрицами А и В. Обычно матрицы А и В имеют очень большие размеры, и матрица А является плохо обусловленной. Мы предполагаем ситуацию, когда большие размеры матриц Л и В не позволяют хранить эти матрицы в памяти компьютера, а в нашем распоряжении имеются лишь подпрограммы для вычисления произведений матриц на векторы Аи и Ву. В прикладных задачах на собственные значения, описывающих собственные колебания механических конструкций с массами, как правило, интерес представляет вычисление только небольшого количества наименьших собственных чисел, определяющих основные собственные частоты системы.

Классические численные методы решения задач на собственные значения не могут применяться в данной ситуации поскольку память компьютера для хранения матриц А и В не доступна. Метод Лан-цоша имеет медленную сходимость поскольку число обусловленности матрицы А возрастает при уменьшении размера сетки К. В указанных прикладных задачах число обусловленности обычно ведет себя как 1гт: 2 < т ^ 4.

Чтобы найти наименьшее простое собственное значение А1 матричной задачи Аи — ХВи, мы можем применить градиентный метод. Хорошо известно, что Ах есть минимум отношения Рэлея К(у) — (Ау,у)/(Ву,у), а его стационарная точка есть собственный вектор щ, соответствующий А1. Следовательно, молено построить минимизирующую последовательность ненулевых векторов ип, п = 1,2,. /ип = Щип) —>• Ах, ип —щ, п —> оо, используя формулы йп+1 = ип Тп^А ИпВуип^ о-р + 1 при подходящем выборе скалярного параметра тп, \\и\\^ = (Ви,и). Этот итерационный метод называется градиентным методом для вычисления наименьшего собственного значения матричной задачи поскольку гас1 Я(у) = 7-5-—г (А - Л(ь)В)у и йп+1 = ип-с0ёг&6К(ип), где Со = тп(Вип,ип)/2. Таким образом, в градиентном методе мы двигаемся от заданного вектора ип в направлении —1Я(ип).

Описанный градиентный метод сочетает максимальную простоту реализации с минимальными требованиями к памяти. Поэтому этот метод называется также методом простой итерации. К сожалению, этот метод имеет очень слабую сходимость для плохо обусловленной матрицы А.

Для улучшения сходимости метода простой итерации мы введем предобуславливатель С-1, где С есть матрица, аппроксимирующая матрицу А, и вычислим последовательности ип, п — 1,2,. с помощью соотношений: п+1 = ип Тпс1 (А - 11пВ)ип,

7/П+1

Матрица С предполагается симметричной положительно определенной и легко обратимой матрицей. Последний метод использует градиент отношения Рэлея в векторном пространстве со скалярным произведением (С.,.): grad^) = - R(v)B)v, отсюда получаем йп+1 = ип ^ где со = тп(Вип,ип)/2. Поэтому этот метод называется градиентным методом с предобуславливанием или предобусловленным методом простой итерации (ПМПИ).

Сходимость метода ПМПИ можно улучшить, если минимизировать отношение Рэлея в подпространстве Vn+\ = span{z/n, wn} или Wn+1 = span{'un1,nn,'wn}, wn = C~1(A — finB)un. Соответствующие итерационные методы называются предобусловленным методом наискорейшего спуска (ПМНС) и локально оптимальным предобусловленным методом сопряженных градиентов (ЛОПМСГ), соответственно.

ПМНС для симметричной задачи на собственные значения Аи = ХВи впервые был изучен в работе Б.А. Самокиша [110]. Не зависящие от шага сетки оценки погрешности для ПМПИ были впервые получены В.Г. Дьяконовым и М.Ю. Ореховым в работе [49].

A.B. Князев предложил ЛОПМСГ в работе [189], провел исследования этого метода и его вариантов в работах [190-193].

В работах К. Neymeyr [193,201,202] получены точные оценки сходимости ПМПИ. Обзор результатов по итерационным метода с пред-обуславливанием содержится в работах A.B. Князева [190,191,193].

В статье С.И. Соловьева [218] предложена методика построения и исследования итерационных методов с предобуславливанием для нелинейных спектральных задач высокого порядка при монотонной зависимости от параметра следующего вида: найти А б Л и и е Н \ {0} такие, что А(Х)и = ХВ(Х)и, где Н есть вещественное евклидово пространство, Л - интервал на вещественной оси, A{ß) и B(ß) - разреженные симметричные положительно определенные матрицы, матрица A{ji) является плохо обусловленной при фиксированном р 6 Л. Предполагается, что отношение Рэлея R(ß, у) — (A(ß)v,v)/(B({i),v,v), р <Е А является при фиксированном v G Н невозрастающей функцией числового аргумента, то есть R{p,,v) ^ R(r),v), р < г], /1, г) £ А, v £ Н \ {0}. Рассматривается ситуация, когда матрицы А(р) и В{р) не могут быть помещены в память компьютера и имеются лишь процедуры для умножения этих матриц на вектор A(p)v и B(p)v.

Для решения монотонной нелинейной задачи на собственные значения в работе [218] предложен ПМПИ следующего вида: n+1 = и11 - rnC~1{ßn)(A(ßn) - рпВ{рп))ип, un+l — TiT^+fii-ßn+l = R(ßn+\ün+% n = 0,1,., и где симметричная положительно определенная легко обратимая матрица С{р) удовлетворяет условию: 5о(р,)(С(р)у,у) ^ {А(р)у, у) < 5\{р){С(р)у,у), у е Н\ {0}, /¿еЛ, итерационный параметр тп определяется по формуле тп = 2/(50(рп) б^р,71)), = (В(р)и,и).

В этом методе при каждом n ^ 1 минимизируется отношение Рэлея R(pn,v), V G Н \ {0} и находится единственное решение скалярного уравнения. В ПМПИ мы двигаемся от заданного вектора ип в направлении —grad^n) R(ßn, и11).

Сходимость ПМПИ можно улучшить, если минимизировать отношение Рэлея в подпространстве Vn+i = span-jV', wn} или Wn+1 = span{Vl1, un, w71}, wn = C-\yLn){A{yP) - ßnB(ßn))un. Соответствующие итерационные методы для решения нелинейных спектральных задач называются соответственно ПМНС и ЛОПМСГ. Более простые и медленные варианты ПМПИ, ПМНС и ЛОПМСГ для решения нелинейных спектральных задач изучены в [211,214].

Описанный подход позволяет строить блочные варианты итерационных методов для нелинейных спектральных задач [136,138,142, 143,210] и рассматривать монотонную зависимость от параметра другого вида [137].

В диссертации используются известные результаты по теории матриц, линейной алгебре и численным методам. Теория матриц и основы линейной алгебры изложены в [12,20,21,23,24,80]. Классические методы решения алгебраической проблемы собственных значений содержатся в книгах [100,154]. Двухслойные итерационные методы решения спектральных задач исследуются в работах [46-48,57,104]. Эти методы являются прототипами соответствующих итерационных методов решения систем линенйных алгебраических уравнений. Различные вопросы теории итерационных методов решения систем уравнений излагаются в [84,86,88,89,106,107,109]. Итерационные методы с предобуславливанием основаны на применении экономичных методов решения сеточных уравнений [59-61,107,109,160,170-173,175, 185,219,220].

Итерационные методы для нелинейных спектральных задач изучаются в работах [174, 200, 222, 223]. Обзор итерационных методов для нелинейных задач на собственные значения содержится в работах [180,208].

Обратимся теперь к содержанию настоящей диссертации. Диссертация состоит из четырех глав и приложения. Главы разбиты на параграфы и пункты. При нумерации параграфов и пунктов используется номер главы, номер параграфа в главе и номер пункта, соответственно.

В первой главе исследуется разрешимость нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве.

Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. Здесь сформулирована линейная вариационная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве (0.15), приведены известные результаты о существовании собственных значений и собственных элементов, минимаксные характеризации собственных значений и теорема сравнения. Эти результаты применяются далее при исследовании нелинейных задач на собственные значения.

В § 1.2 изучается нелинейная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве. Пусть V - вещественное бесконечномерное гильбертово пространство с нормой ||.||, Ж. - числовая прямая, Л = {у 1,^2), 0 < щ < V2 ^ оо. Введем симметричные билинейные формы а(ц) = а((1,.) 6(/л) = .,.) : V х V —> №, непрерывно зависящие от ¡л £ А. Предположим, что для фиксированного д € А билинейная форма а(/х,.,.) является положительно определенной и ограниченной, а билинейная форма &(//,.,.) является положительной и вполне непрерывной. Предположим, что функционал Рэлея является невозрастающей по числовому аргументу функцией.

Сформулируем нелинейную задачу на собственные значения: найти А 6 А, и € V \ {0} такие, что о(А, и, у) = АЬ(А, и, у) Уу е V. (0.22)

Для исследования разрешимости этой задачи введем вспомогательную линейную задачу на собственные значения при фиксированном /х £ А: найти 7 = бЕ, у — у{ц) G V \ {0} такие, что a(fi, у, v) = 7Ь(/х, у, v) Vv G V. (0.23)

Задача (0.23) имеет последовательность положительных конечно-кратных собственных значений % = 7к(м), к = 1,2,., занумерованных с учетом кратности:

0 < 7i < 72 ^ • • • ^ 1к ^ • • •, lim 7к = оо. к—>оо

Этим собственным значениям соответствует ортонормированная система собственных элементов yk — Ук{д), к = 1,2,. такая, что = lAj: Кц,Уг,Уэ) = Stl, ij = 1,2,. Элементы ук, к = 1,2,. образуют полную систему в пространстве V. Справедливо соотношение 7k{¡j) ^ 7kiv) ПРИ М < V £ Л.

Установлены следующие результаты,существования решений задачи (0.22). Пусть 0 ^ v\ < 1у2 < оо, 1 ^ т ^ п, li{vj) = lim 7¡(i"), 3 = 1,2, i = 1, 2,., ra = min{¿ : 1/1 — ^(щ) < 0, i ^ 1}, n = max{¿ : v2 — 7^2) > 0, i ^ 0}.

Тогда задача (0.22) имеет конечную последовательность положительных собственных значений А&, к = ra, ra + 1,., п, занумерованных с учетом кратности: v\ < Агп ^ Am+i ^ . ^ An < V2

Пусть V\ ^ 0, щ — оо, га ^ 1, га = min{¿ : i>\ — 7¿(i'i) < 0, г ^ 1}.

Тогда задача (0.22) имеет последовательность конечнократных положительных собственных значений А^, к — т, т-\-1:.занумерованных с учетом кратности: Am ^ Am+i < . ^ Хк ^ .,, lim А*; = оо. fc—юо

Каждое собственное значение Аi является единственным корнем уравнения - li{ß) = 0, це А. Собственное подпространство U(Xi) задачи (0.22) является собственным подпространством Y(p). соответствующим собственному значению 7г(д) линейной задачи на собственные значения (0.23) для ß = Х{.

В § 1.3 рассматривается рациональная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве. Пусть V - вещественное бесконечномерное гильбертово пространство с нормой (|.[|, К - числовая прямая. Введем симметричные билинейные формы а : V х V —> R и b : V х V —> Ж. Предположим, что билинейная форма а(.,.) является положительно определенной и ограниченной, а билинейная форма &(.,.) является положительной и вполне непрерывной.

Пусть <7j, г = 1,2,., m - заданные вещественные числа такие, что

0 < Gi < сг2 < . < сгто < оо.

Определим неотрицательные симметричные билинейные формы сг- : V х V —> К, сг(г>, v) ^ 0 для v 6 V, г — 1,2,., т. Предположим, что ri = codimkerq < оо для г = 1,2,. ,т, где kerq = {г> : v € V, Ci{v, v) = 0}, 1 ^ i ^ m.

Сформулируем рациональную задачу на собственные значения: найти А G М, и е V \ {0} такие, что т д a(u, v) = XЬ(и, v) + У^-г<ч(и, v) Vv е V. (0.24) r-f — А г=1

Обозначим gq — 0 и <rm+i = оо. Определим Лгг = (crni,crn), 1 ^ n^m + 1 и введем билинейные формы an{fi:.,.), bn(ß,.), .),

6„(д,.), 1 < П ^ т + 1 и ап[.,.], Ь„[.,.], 1 ^ п ^ га:

71—1 ап(^,щу) = У"—-—сг(и,г/), т ^

6„(/л, и,у) -сг(ад, V), - м г=п ап(д, и, г») = г;) + ап(//, и, г»), Ъп(ц,и,у) = Ь(и, у) + Ьп(/л,и,у), ап[и, г;] = а(и, + ап(о-п, ад, г;), = Ь(гг,г;) 4- Ьл+х^п,«,«), при ¡1 6 Лп.

Запишем задачу (0.24) для интервала Лп, 1^тг^га+1в виде: найти Л е Лп, гА 6 V \ {0} такие, что ап(Л,и,у) = ЛЬп(А,и,у) Уу е V. (0.25)

Введем следующие вспомогательные линейные задачи на собственные значения: при фиксированном ¡л <Е Ап найти е М, и е V \ {0},

1 ^ п ^ т + 1 такие, что

Оп(ц, и, у) = ^(п)(/х)Ьп(/л, и, у) Уу е V; (0.26) найти А^ 6 1, и £ К \ {0}, 1 < п < т такие, что ап[щу] = Х^Ьп[щу] \/уеУп. (0.27)

Задача (0.26) имеет последовательность положительных конечно-кратных собственных значений (р\п\ц), г — 1,2,., занумерованных с учетом кратности:

0 < №01) < < • • • < < • •, Дт = оо. г—>оо

Соответствующие собственные элементы г = 1,2,., образуют полную систему в пространстве V.

Задача (0.27) имеет последовательность положительных конечп) нократных собственных значений Л) , г = 1,2,., занумерованных с учетом кратности:

0 < А<п) < A<n) sS . < Af} ^ ., lim Аг(п) = оо. г—>оо

Соответствующие собственные элементы г = 1,2,., образуют полную систему в пространстве V„.

Исследование существования решений рациональной задачи (0.24) основано на применении следующих свойств функций ¡л Е Лп, к — 1,2,.

1) Функции <p^\f.i), ¡1 € Ап, к = 1, 2,. являются непрерывными невозрастающими функциями.

2) <ДП)М 0 при /z er", fc = 1, 2,., r„, 1 ^ n ^ т.

3) PfcirM 4П) при /х -> г = г„, & = 1,2,.1 < га т.

4) - Хк~1) прп М 0-+.1, А: = 1,2,.2 ^ n < т + 1.

Положим г0 = 0, гт+1 = 0, Mi — r0+ri+. .+rt-, г = 1, 2,., т+1, Л = (0, сю), Л = [0, сю]. Определим функции 7¿(д), /i Е Л, г = 1, 2,. по формулам lk{ß) = </?!П)М> ре К, к = Мп-1 + г, г = 1,2,., 7,-Ои) = 0, ß Е Лп, j = 1,2,., Mni для 1 < п ^ т + 1.

Из свойств функций ip^l\/Li), fi. Е Ап, к = 1,2,. вытекает, что функции 7г(^), /л Е Л, г = 1,2,. являются непрерывными невозрастающими функциями. Следовательно, число А Е Л является собственным значением задачи (0.24) тогда и только тогда, когда А Е Л есть решение одного из уравнений ¡л — ^k(ß) — 0, ß Е Л, к = 1,2,.

Доказано, что задача на собственные значения (0.24) имеет последовательность конечнократных собственных значений А^, г = 1,2,., занумерованных с учетом кратности:

0 < Ai ^ А2 ^ . ^ Аг., lim А г = сю. г—»оо

Каждое собственное значение Xi, i 1 является единственным корнем уравнения

М-7»М =0> jweA, г ^ 1.

Соотношения

Xis-i < Xis = . — Л/ = сгп < Xi+1 выполняются тогда и только тогда, когда ч (га) ч (га) ч (га) . ч(га)

Aj-s — • • " — Aj — ап < для l = Мп-1 -(- i, i = j + rn. Собственное подпространство U(Xk) задачи (0.24) является a) собственным подпространством, соответствующим собственному значению ip\n\fj) линейной задачи на собственные значения (0.26) для ¡i — Afc, если Л/- е Л7г, к = Мп~i + г, b) собственным подпространством, соответствующим собственному значению А^ линейной задачи на собственные значения (0.27), если Àjn) = Xi = ап, I = Mni + г, i = j + rn.

Пусть N{0) = 0, N(oo) = oo, jV(/?) = max{i : 7г(/3) < /9, г > 0}, ¡3 € Л, 7o(/-0 = 0, ¡i G Л. Тогда число собственных значений iV(ai, (3) задачи (0.24) на полуинтервале (а, /5] определяется по формуле N(a,(3) = iV(/3) — N(a), а < (3, а, ¡3 Е Л. Имеют место соотношения 0 < iV(a,/?) ^ оо, N(0,13) = iV(/?), iV(/?) ^ Aff для г - /(/?), 1({3) = тах{г : <тг- ^ /3, г > 0}. Если 0 < JV(o:, (3) < oo, то выполняются неравенства сх. < Аг1 где «i - А^(ск) + X, г2 = N(¡3).

Пусть Nq = 0, Nm+i = oo, Nn = тах{г : А^ < <гп,г > 0}, 1 ^ п ^ т, где л|п\ г = 1,2,.— собственные значения задачи (0.27), А?0 - 0. Тогда N(ai) = Nt + M при 1 ^ i ^ m + 1, NfatTj) = (.Nj - Ni) + (M,- - М"г-) при Если 0 < iV^, cr.,) < oo, то справедливы неравенства где ¿1 = Мг + М,; + 1, ¿2 = М,- + А^".

Во второй главе изучаются конечномерные аппроксимации нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве.

В § 2.1 исследуется аппроксимация линейной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве (0.15). Эта задача приближается задачей (0.16) в конечномерном подпространстве. Получены результаты о сходимости и погрешности приближенных решений. В частности, доказана оценка погрешности (0.20). Результаты данного параграфа применяются далее при исследовании приближенных методов для нелинейных задач на собственные значения.

В § 2.2 рассматривается аппроксимация нелинейной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве (0.22).

Для аппроксимации задачи (0.22) зададим конечномерные подпространства У}ь пространства V размерности Л^, удовлетворяющие условию предельной плотности, то есть для любого элемента V из V ек{у) = т£ ||г;-Л 0 при /г, —> 0.

Определим симметричные билинейные формы а^М = я^М •) •' Ук х У/, -> К и &ь(/х) = .,.) : Ун х 14 —:► Е, непрерывно зависящие от ¡1 е А. Предположим, что ун) > 0 для любых Vй е Т4 \ {0} и выполнено условие аппроксимации для приближенных билинейных форм, то есть —> 0 при /г —» 0, где IIКМ - «М)кьху,|| + НОьМ - ЬШъхуА

Предположим, что отношение Рэлея является невозрастаю щей по числовому аргументу функцией.

Нелинейную задачу на собственные значения (0.22) будем аппроксимировать конечномерной задачей: найти £ Л, и'1 £ такие, что а,г{Хь, и\ V11) = Х%(Х\ и\ ук) \/ук е Ун. (0.28)

Введем вспомогательную линейную задачу на собственные значения при фиксированном ¡л, Е Л: найти 7/г = 7/1(/-0 6 К, ^ = УН{ц) £ 14 \ {0} такие, что а}1(^у\ук) = 7%((л,у\ук) Уун Е Ун. (0.29)

Задача (0.29) имеет Л4 положительных конечнократных собственных значений = к — 1,2,., Л4, занумерованных с учетом кратности:

Этим собственным значениям соответствует ортонормированная система собственных элементов = к = 1,2,., А^ такая, что = 7?%, = г,3 = 1,2, .,А4. Элементы^, к — 1,2,., Л^ образуют полную систему в пространстве Ун-Имеют место неравенства 7^(/л) ^ 7^(г?) при уь < г), /¿, 77 Е А. Пусть 0 < г/1 < 1/2 < оо, 1 ^ т < п,

Нт7?М, ¿ = 1,2,1 = 1,2,.,^, т = шп{г : 1/1 — 7,^(^1) < 0, г > 1}, п = тах{г : и2 — > 0, г > 0}.

Тогда задача (0.28) имеет конечную последовательность положительных собственных значений к = ш, т + 1,., п, занумерованных с учетом кратности:

Пусть ui ^ О, V2 = сю, т > 1, т = гшп{г : z/i — 7*4 ^l) < О, i ^ 1}.

Тогда задача (0.28) имеет последовательность конечнократных положительных собственных значений к = т, ш + 1,., Nh, занумерованных с учетом кратности: ^т ^ rfn+1 < • • ■ ^

Каждое собственное значение Xf является единственным корнем уравнения

М - 7?М = М^Л.

Собственное подпространство £4(Af) задачи (0.28) является собственным подпространством ^(д), соответствующим собственному значению 7г/1(/л) линейной задачи на собственные значения (0.29) для

Установлены следующие результаты о сходимости и погрешности приближенной схемы (0.28).

Пусть А^ - собственное значение приближенной схемы (0.28), и£ - отвечающий Aj£ собственный элемент такой, что = 1.

Тогда имеет место сходимость Х\ —> А& при h —> 0, из каждой последовательности h! 0 можно выбрать подпоследовательность h" —> 0 такую, что и^ —> Uk в V при h = h" —> 0, где Ak и^- собственное значение и собственный элемент задачи (0.22). Если А& - простое собственное значение и знаки собственных элементов выбраны так, что bh{ A J, РьЦк) > 0, то —> в V при h —» 0.

Пусть Afc - собственное значение задачи (0.22) кратности s, U = /7(Afc) - собственное подпространство, отвечающее А&, dim С/ = s.

Положим k = sup £h(u), u£U,\\u\\=l = IIK(Afc) - a(A*))|iWxvJ + \\(bh(Xk) ~ KAfc))kj7xvJ|, = ||K(Afc) - a(Xk))\PhUxPhU\\ + \\{bh{Xk) -= IMAft) - ал(АЙ|| + ||ЬЛ(А*) - ЬЛ(АЙ||. Для достаточно малых h справедлива оценка погрешности

Xhk - Хк\ ^ c[S% + (eh + б!)2}, где с - постоянная, не зависящая от h.

Пусть ик - собственный элемент приближенной схемы (0.28), \\uhk\\ = 1. Тогда найдется собственный элемент и G U задачи (0.22) такой, что для достаточно малых h справедлива оценка погрешности till <С(е*+ *? + <§), где с - постоянная, ие зависящая от h.

В § 2.3 исследуется аппроксимация рациональной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве (0.24).

Для аппроксимации задачи (0.24) зададим конечномерные подпространства Vh пространства V размерности Nh, удовлетворяющие условию предельной плотности.

Определим отображения а^ : Vh х Vh ► М и Ь/г : Vh х 14 —М, которые являются симметричными билинейными формами ал(.,.) и .). Предположим, что ЬЦгДг/1) > 0 для любого vh е Цг \ {0} и выполнено условие аппроксимации для приближенных билинейных форм, то есть <5q —> 0 при h —> 0, где ПК " a)\vhxvh\\ + ||(bh ~ &)kxyj

Рациональную задачу на собственные значения (0.24) будем аппроксимировать конечномерной задачей: найти Xh G М, uh G Vh \ {0} такие, что \Н ап{и\ ук) = \%{и\ ул) + V--кс,{и\ Vй) \/ун Е Ун. (0.30)

У{ — ла

1=1

Определим билинейные формы а/т(^,.,.), Ь/т(/2,.,.), 1 ^ п ^ т+ 1 и анп[-, •], ЬНп[.,.], 1 < п < т: аЛ(иЛ,г>А) + ап(р,и}г ,ук), ьнп{^1 чд ун) = Ък(инУ)+Ъп(ц,и\уЬ), акп[ии,ун] = ан{ин, Vй) + ап(ап, гД V*1),

Ь,гп[и\ = Ън(и\ ун) + Ъп+1{ап, и\ ук), при ц, е Лп, гД ун е Ун.

Обозначим Уьп = кегсп П Ун, 1 ^ п < т.

Запишем задачу (0.30) для интервала Лп, 1 ^ п ^ т + 1 в виде: найти Хк £ Лп, и1' £Ун\ {0} такие, что аНп{Х\и\ук) = Л%т{Х\и\уп) \/ун б УН. (0.31)

Введем следующие вспомогательные линейные задачи на собственные значения: при фиксированном ц Е Лп найти ср(Ьп)(/и) Е Ж, иь £ Ун \ {0}, 1 < п ^ т + 1 такие, что анп(^ и\ у11) = и\ ун) \/ук Е Ун- (0.32) найти А<Лп) Е К, ин Е Унп \ {0}, 1 ^ п ^ т такие, что а}гп[и\ ун] = Х^п\п[и\ у11] Уук Е Цт. (0.33)

Задача (0.32) имеет Л^ положительных конечнократных собственных значений г — 1,2,., Ын, занумерованных с учетом кратности:

Соответствующие собственные элементы г — 1, 2,., Ал, образуют полную систему в пространстве У^.

Задача (0.33) имеет А^ — ги положительных конечнократных собственных значений Х^п\ г — 1,2,., Л^ — гп, занумерованных с учетом кратности: о < л^п) < <. ^ а#;2Гп.

Соответствующие собственные элементы г = 1,2,., АГ^ — гп, образуют полную систему в пространстве Уип

Исследование существования решений рациональной задачи (0.30) основано на применении следующих свойств функций ), /2 е

Ап,к = 1, 2,.

1) Функции р € Лп, к = 1,2,., А^ являются непрерывными невозрастающими функциями.

2) —► 0 при д —► <х~, /с = 1, 2,., г„, 1 < п < т.

3) 00 ПРИ V ап-п к = Жн- гп 1 + 1,., А^, 2 < п ^ т + 1.

4) <Рк+г(и) -»• при /х ¿г", г = гп, к = 1, 2,., А/, - г„, 1 ^ п ^ т.

5) при ц Л = 1, 2,., - г„1, 2 ^ п < т + 1.

Положим г0 = 0, гт+1 = 0, Мг = г0+г1 + . г = 1,2,., т+1, М = Мт, Л = (0, оо), Л = [0, оо]. Определим функции 7^(/х), М е Л« г = 1,2,., ЛГ/1 + М по формулам

7?Ы = 0, /хеЛп, ^ — 1, 2,., Мп1, Л« = Л, ¿ = 1,2,.,^, оо), г = + + = 1, 2,., Г/,.7 = 1,2,., т для 1 ^ п ^ т + 1.

Из свойств функций щ (//), // е Лп, А; = 1,2,., Ми вытекает, что функции 7^(д), ц Е Л^, г = 1,2,.,ЛГ/1 + М являются непрерывными невозрастающими функциями. Следовательно, число Хь Е А является собственным значением задачи-(0.30) тогда и только тогда, когда Хк £ Л есть решение одного из уравнений /1 — = 0,

Доказано, что задача на собственные значения (0.30) имеет А^ + М конечнократных собственных значений Л^, г = 1,2,., Л^ + М, занумерованных с учетом кратности:

0 < Л^ ^ Л2 ^ • • • ^

Каждое собственное значение Л'г, 1 < г ^ 7У/г + М является единственным корнем уравнения

Д - = 0, ¡1 Е +

Соотношения — °п< ^1+г выполняются тогда и только тогда, когда х(Лп) Ч (Лга) Л (Лп) Л (Лп)

- ' " • — Аз — < для / = Мп1 + г, ^ = 3 + тп. Собственное подпространство £7л(А|) задачи (0.30) является a) собственным подпространством, соответствующим собственному значению (р\кп\[1) линейной задачи на собственные значения (0.32) для ¡1 = если е Ап, к = Мп1 + г, b) собственным подпространством, соответствующим собственному значению линейной задачи на собственные значения (0.33), если А^/ш) = Х[г = ап, I = Мпх + г, г = у + г„.

Пусть ЛГ(0) = 0, А/"(оо) = + М, N(0) = тах{г : <

Р,ъ > 0}, /3 е Л, 70 (/¿) = /1 Е А. Тогда число собственных значений АГ(о!, (3) задачи (0.30) на полуинтервале (а, ¡в] определяется по формуле N{a,(3) = N{(3) — N(a), a < (3, a, (3 G Л. Имеют место соотношения 0 ^ N(a,p) ^ Nh + M, N{0,0) = N{¡3), N(/3) > Aff для г — I{(3), I{(3) = max{i : <7* ^ (3,i ^ 0}. Если N{a,f3) > 0, то справедливы неравенства а < А* < . < A* ^ /?, где ¿i = АГ(а) + 1, i2 =

Пусть iVj = 0, = Nh + M, JVj = max{i : Afm) < <rn> i > 0}, 1 ^ n ^ га, где \ihn\ г = 1,2,., A^ — rn - собственные значения задачи (0.33), À(0hn) = 0. Тогда Nfa) = Nj1 + М{ при 1 ^ i < m + 1, N(<rt,<Tj) = (iVj1 - Nj1) + (Mj - Mi) при 1 < i < j ^ m + 1. Если N((Ti,<jj) > 0, то справедливы неравенства где ?"i = N[l + Mi + 1, ¿2 = Nf + My

Приведем полученные результаты о погрешности приближенных решений.

Пусть Afc - собственное значение задачи (0.24) кратности s, U = U(Xk) - собственное подпространство, отвечающее dim Щ = s. Введем следующие обозначения: eh = sup £h(u), иеи,\\и\)=1

St = \\(ah - a>)\phuxvh\\ + II(h ~ b)\PhuxVh\\, ¿2 = UK - a)\PhuxPhu\\ + ||(bh ~ b)\phuxphu\\-Для достаточно малых h справедлива оценка погрешности

Й-А.Кс^ + ^ + ф2], где с - постоянная, не зависящая от h. ■

Пусть - собственный элемент приближенной схемы (0.30), ||u2|| = 1. Тогда найдется собственный элемент и = и(и'£) Е Uk задачи (0.24) такой, что для достаточно малых h справедлива оценка погрешности где с - постоянная, не зависящая от к.

В третьей главе разработаны итерационные методы решения матричных нелинейных задач на собственные значения.

В § 3.1 описапы хорошо известные методы решения линейной задачи на собственные значения: метод бисекции и метод итерации подпространства. Для этих методов приведены известные результаты о сходимости и погрешности, которые далее применяются при исследовании методов решения нелинейных задач на собственные значения.

В § 3.2 построены алгоритмы решения матричной нелинейной задачи на собственные значения с монотонной зависимостью от спектрального параметра. Задачи такого вида возникают при аппроксимации задач (0.22) и (0.25) с помощью приближенных схем (0.28) и (0.31).

Пусть Н есть ЛГ-мерное вещественное евклидово пространство векторов со скалярным произведением (.,.) Л = (^1,^2), 0 ^ < 1^2 ^ оо. Для ¡1 £ Л введем симметричные положительно определенные квадратные матрицы А(р,) и В([1) размера N. Предположим, что элементы матриц А(ц) и В {¡л) непрерывно зависят от параметра ¡л £ Л, отношение Рэлея является невозрастающей по числовому аргументу функцией.

Сформулируем следующую задачу на собственные значения: найти А € А, и £ Н \ {0} такие, что

А(Х)и = ХВ(Х)и. (0.34)

При фиксированном р, £ А. обозначим через 'Ук = 7/с(м)> к = 1,2,., собственные значения задачи А{(х)у = 7В{р)у занумерованные с учетом кратности: 0 < 71 ^ 72 ^ . ^ 7лг

Обозначим lityj) - lim тj = 1, 2, i = 1,2,., N, m = min{i : v\ — 7z(^i) < 0, i ^ 1}. Для z/2 — oo положим n = N, для i/2 < oo положим n = max{i : v2 — 7»(^2) > 0, г ^ 0}, m ^ n.

Задача (0.34) имеет собственные значения A>t, fc = m, тп + 1,., n, занумерованные с учетом кратности: Am ^ Am+i < . ^ Ап < ь>2

Собственное значение Ате ^ г ^ п является единственным корнем уравнения ц — "fi(fi) = 0, ß G А, m ^ г < п.

Установлен следующий результат. Пусть при фиксированном ß E Л выполняется треугольное разложение . с диагональной матрицей D(ß) и нижней треугольной матрицей 1/(/г), имеющей единичные диагональные элементы. Тогда u(A(ß) - ßB(ß)) = т - 1 + г/(Д - //£7) = v{D(ß)), где Б1 - единичная матрица размера n — m + 1, v{C) - число отрицательных собственных значений матрицы С (отрицательный индекс инерции), Л = diag(ATO, ATO+i,., Ап), Аг-, i = m, m -f- 1,., n - собственные значения матричной задачи, 1 ^ m ^ гг.

Из этого результата следует, что количество собственных значений матричной задачи, меньших ß E А, совпадает с числом v(D(ß)) — т +1, где v(D(ß)) - число отрицательных элементов диагональной матрицы D(ß) указанного треугольного разложения, если это разложение существует. Для вычисления величины следует воспользоваться методом Гаусса. В этом случае г/(В(ц)) равно числу отрицательных ведущих элементов, возникающих в процессе гауссовых исключений неизвестных системы линейных алгебраических уравнений с матрицей А({1) — цВ(/1), р е Л. Описанная процедура деления спектра вместе с известным приемом деления отрезка пополам позволяет локализовать с требуемой точностью любое собственное значение задачи из заданного отрезка.

Далее построен метод итерации подпространства с предобуслав-ливанием. Предположим, что для каждого д € А задана квадратная симметричная положительно определенная матрица С(д) размера N и положительные постоянные 5о(ц) и ^(/х), для которых выполняются соотношения

VI; е н.

Для заданного цп определим итерационный параметр по формуле

Зафиксируем номер к, т ^ к ^ п. Через Un = (£/"", Щ,., Щ) и Vй = (У", У2П) • • •, V/!1) при п — 0,1,. будем обозначать прямоугольные матрицы, состоящие из к столбцов Щ, Щ, ., Щ и У/1, V™, ., длины N соответственно, через span Vn = span-fl/", V^1,., V£} -линейную оболочку столбцов матрицы Vn, через Ап при п — 0,1,. - диагональные матрицы А71 = diag(A™, Ag,., А£), когда диагональные элементы упорядочены по неубыванию:

А? ^ . < AJ.

Зададим V0 и вычислим

А0 и U0 с помощью метода Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span V0 так, что

U°)TA(n°)U° = A0, (U°)T B(fj,°)U° = Я,

При п = 0,1,. вычисляем An+1 и Un+1 по методу Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span Vn+1,

Vn+1 = Un - TnC~1(/j7l)(A(fin)Uri - B(fin)UnAn),

Un+1)TA(iin+1)Un+1 = An+1, (Un+1)T B{pn+l)Un+1 = E,

Hn+1 = AJ+1, ип+1 = щ+1.

Заметим, что ¡in = 7fc(//', span = R(fj,n,un) при n = 0,1,. то есть приближение цп является собственным значением с номером к матричной задачи метода Рэлея-Ритца в подпространстве span Vй, приближение ип является собственным элементом, отвечающим собственному значению ¡in.

Введем функции <рп{ц) = R(fi,un), ц £ А, п — 0,1,. Отметим, что приближение fin определяется как решение уравнения

Р = <Pn(jf), где п = 0,1,.

Доказаны следующие результаты.

Пусть Хк < Afc+i, < Ajt+i. Тогда /хп —► Afc при п -> оо, Afc+i > / > /i1 ^ . > /¿п ^ . ^ Хк.

Предположим, что существуют положительные числа д\ и §2 такие, что

A(ji)v, v) - (A{<n)v, v)\ 9i (77 - /-0 v),

I(B(jj)viV) - (B(ri)v,v)I ^ 92 (17 - fj) (B(j*)v,v) для Ui < Xk < ц ^ 77 < Afc+1 <u2,v £ H\ {0}.

Пусть Afc < Afc+i, /x° < Afc+i. Тогда имеет место оценка j,n+1 — Afc < — Afc Afc+i - /¿n+1 "" n Afc+i - /j,n' где п = 0,1,. р\ + Го sn рп = 7fc+i(/in) - 7к(рп)

Чп l + Го Sn ßn ' lk+i{ßn)-ßn '

Го = g, 9 = 91 + 92, 1 ^ Sn < sn-1 ^ . < So, qn ^ qn-i ^ . • • ^ qo < 1, sn —► 1 при n oo, gn —»• (pf + r0Afe)/(1 -f г0А&) при n -> oo.

Предположим, что ^ = rj), g2 = д2(р, ry), б?0, 77) = 77) + <72 Пусть А*; < Ajt+i, < Afc+i. Тогда выполняется оценка n+1 ~ Afc ^^ рп-Хк

Afc+i - ^ n Afc+1 - /in' где n = 0,1,., pfc+rns„ = lk+\{ßn)

Гп = g{ßn+1,ßn), qn < 1, 1 ^ sn ^ s„i ^ . < s0, s„ 1 при (p2k + poAfc)/(1 + 50Afc) при tl > 00, до = #(Afc, Afc). Если Гп ^ rn-1 ^ . . . ^ r0, TO ^n < tfn-1 ^ • • • < № < 1.

Из приведенных оценок вытекают следующие результаты.

1) Если рп = Afc, то рг = Afc, % — n, п + 1,. Если р,п Хк, то рп+1 < д".

2) Справедлива оценка n+1-Afc<efc(^n-Afc), п = 0,1,., где

СП п Afc+1 - Pn+1 k~qn Afc+i — ßn ' £fc iPk + ^oAfc)/(l + ^0Afc) при n 00, б^о = g(Afc, Afc), существует номер по такой, что Q < 1 при п ^ щ.

3) Если rn ^ rn 1 ^ . ^ го, то выполняется оценка n-Xk^ ck(qo)n, где cfc = (Afc+i - Afc) (/i° - Afc)/(Afc+i - /x0).'

В § 3.3 результаты,'полученные в § 3.2, применяются для построения алгоритмов метода бисекции и метода итерации подпространства решения матричной рациональной задачи на собственные значения, возникающей при аппроксимации задачи (0.24) с помощью приближенной схемы (0.30). Доказана сходимость и получены оценки погрешности предложенных методов.

Пусть Н есть А-мерное вещественное евклидово пространство векторов со скалярным произведением (.,•)• Введем симметричные положительно определенные квадратные матрицы А и В размера N.

Пусть <7{, г — 1,2,. ,т - заданные вещественные числа такие, что

Зададим неотрицательно определенные- симметричные квадратные матрицы Ci, (Civ,v) ^ 0 для любого v е Н \ {0}, г = 1,2,. ,то. Предположим, что Т{ = codimkerС\ < N для г = 1,2,.,тп, где ker Ci = {v : v G H, C(V — 0}, 1 < i ^ m.

Сформулируем рациональную задачу на собственные значения: найти X еШ, и Е Н \ {0} такие, что

Обозначим <7о = 0 и am+i = оо. Определим Ап = (<rni, cr7i), 1 ^ п<т+1и введем квадратные матрицы Ап{р,), Дг(/х), Ап{ ц), Bn(fi), 1 ^ п ^ m т 1 и Ап, Вп, 1 < п < га:

71—1

0 < а\ < ст2 < . < ат < оо.

0.35)

An(fi) = A + Anfa), Bn(fi) = В + Bn(fi),

Ап — -А ~Ь ^■п(сгп) 5

Вп = В + Вп+х((7п), при £ Л,(.

Положим Ц, = кег С», 1 ^ г < т.

Запишем задачу (0.35) для интервала Ап, + виде: найти Хк Е Лп, и Е Н \ {0} такие, что

Ап(Х)и = ХВп(Х)и.

Введем следующие вспомогательные линейные задачи на собственные значения: при фиксированном ¡1 Е Ап найти Е Ж, и Е Н \ {0},

1 ^ п ^ т + 1 такие, что

Ап(/и)и = <рМ(р)Вп(р)щ (0.36) найти А^ Е Ж, и Е Уп \ {0}, 1 < п < т такие, что

Апи = А(п)£пп. (0.37)

Задача (0.36) имеет N собственных значений (р\п\/л), г = 1,2,., N, занумерованных с учетом кратности:

Задача (0.37) имеет N — гп собственных значений х\п\ г = 1,2,., N — гп, занумерованных с учетом кратности:

Перечислим свойства функций ¡1 Е Ап, к = 1, 2,., N.

1) Функции ц Е Ап, к = 1,2,., А/^ являются непрерывными невозрастающими функциями.

2) —» 0 при /I —> к — 1,2,. ,гп, 1 < п < га.

3) 00 ИРИ И к = N — гп-1 + 1,., Л/", 2 ^ п < т + 1.

4) Л[п) при ¡л (тп, г = гп, к = 1,2,.,ТУ — гп, 1 ^ п ^ т.

5) А^ при ¡1 А; = 1,2,., Ж - гп1, 2 < п < т + 1.

Положим Г0 = 0, Гт+1 = О, Мг = Г0 + П + - - -+П", ¿ = 1,2,., 771+1, М = Мте, Л = (0, оо), Л = [0, со]. Определим функции 7г(д), ¡л € г = 1,2,., N + М по формулам меЛп, £ = М„1 + г, г = 1,2,., ТУ,

7,-Ы = 0, .7 = 1,2,., Мп-1,

Л^ = Л, г = 1,2,., АГ,

Л*') = (<Ту, оо), 1 = Ы +р,р= 1,2,.,г^э = 1,2,.,тп для 1 ^ п ^ 772 + 1.

Из свойств функций /I £ Ап, к — 1,2,., N вытекает, что функции т¡1 б г = 1,2,., АГ+'М являются непрерывными невозрастающими функциями. Следовательно, число Л € Л является собственным значением задачи (0.35) тогда и только тогда, когда А €= Л есть решение одного из уравнений ¡1 — 7&(/х) — 0, /I £ А^к\ к = 1,2,.,АТ + М.

Доказано, что задача на собственные значения (0.35) имеет N + М конечнократных собственных значений А^, г = 1,2,., АГ + М, занумерованных с учетом кратности:

0 < А1 ^ А2 ^ . ^ Адг+м

Каждое собственное значение + М является единственным корнем уравнения

-7гМ = 0, /леА{1), Т + М.

Пусть А"(0) = 0, N(00) = N + М, N(¡3) = шах{г : ^

3,1 ^ 0}, /3 6 Л, 7о(м) = 0, \1 € А. Тогда число собственных значений АГ(а, /3) задачи (0.35) на полуинтервале (ск, /3] определяется по формуле Ы(а,(3) = N(0) — М(а), а < ¡3, а,(3 е Л. Имеют место соотношения 0 < Ща,/3) < N + М, Щ0,/?) = N(¡3), N((3) ^ М< для г = 1((3), 1{(3) = тах{г : <тг- < (3,1 > 0}. Если Ы(а,(3) > 0, то справедливы неравенства а < Лг1 < . ^ Лг2 < (3, где ¿1 = #(<*) + 1, г2 = #(/?)■

Пусть 7У0 = 0, ЛГт+1 = ТУ + М, Ып = тах{г : < ап,г ^ 0}, п)

1 ^ п ^ т, где Л^ , г — 1,2,., N — гп - собственные значения задачи (0.37), = 0. Тогда Л^(сгг-) = Щ + М{ при 1 ^ г < т + 1, = (Л^ - Щ) + (М3- - Мг) при 1 < I < з ^ т + 1. Если N((71, (Т^) > 0, то справедливы неравенства Ан ^ • • • ^ Аг'г ^ где г'х = Щ + М* + 1, г2 = Щ + Му

Получен следующий результат. Зафиксируем номер п, 1 ^ п ^ т + 1. Для /л е Лп положим т

Пусть при фиксированном ¡1 € Лп выполняется треугольное разложение

Г(/0 = с диагональной матрицей £>(/л) и нижней треугольной матрицей Ь(д), имеющей единичные диагональные элементы. Тогда

1/(Г(/х)) = Л^! + !/(Д - цЕ) = КОД), где Е - единичная матрица размера ¿2 ч + 1, 1'(С) - число отрицательных собственных значений матрицы С (отрицательный индекс инерции), А = diag(Лг1, Лг1+Ь., Лга), Аг-, г = ц, гг + 1,., г2 - собственные значения задачи (0.35), 1 < ¿1 < ¿2, — + + 1, ¿2 = + Мп.

Из этого результата вытекает, что количество собственных значений задачи (0.35) на Ап, меньших /2 £ Л;г, равно

Поэтому количество собственных значений задачи (0.35), меньших ¡1 е Лп, равно где у(0(ц)) - число отрицательных элементов диагональной матрицы -0(/х) указанного треугольного разложения, если это разложение существует. Для вычисления величины г/(.0(/х)) следует воспользоваться методом Гаусса. В этом случае г/(Р(/х)) равно числу отрицательных ведущих элементов, возникающих в процессе гауссовых исключений неизвестных системы линейных алгебраических уравнений с матрицей Т(/х), // £ Лп. Эта процедура- деления спектра позволяет локализовать с требуемой точностью любое собственное значение задачи (0.35) из заданного отрезка.

Зафиксируем номер г, 1 ^ г ^ ш + 1. Предположим, что задана квадратная симметричная положительно определенная матрица С размера N и положительные постоянные 71, 72, 72^ > 3 = 1,2,. ,г — 1, для которых выполняются соотношения и(А - цЕ) = г/СОД) " ^п-1. гх-И- г/(А - цЕ) = уф(11)) + Мп1,

71 (Су, у) ^ (Ау, у) < 72 (Су, у) Vу е Н, (С^,у)^4Л(Су,у) УуеН, ^ = 1,2,. ,г — 1.

Тогда справедливы неравенства

Си, V) ^ (А^)у, у) ^ ад (Си, у) Му € Я, где ад = 71.

Для заданного ftn определим итерационный параметр по формуле г» =? мм") + s2(fin)

Зафиксируем номер к, 7V¿i + 1 ^ к ^ iV¿ + r¿. Через Un = От, ЬТ. • • •, ОД и Vn = (V{><,V2n,.,Vkn) при п = 0,1,. будем обозначать прямоугольные матрицы j состоящие из к столбцов u™, щ, ., щ и У", • • Vfc" длины n соответственно, через span Vn = span-jV™, V2 , ■ ■., V™} - линейную оболочку столбцов матрицы Vй, через Л" при п = 0,1,. - диагональные матрицы Ап = diag(A", Л",. • •, когда диагональные элементы упорядочены по неубыванию:

Л? < < . ^

Зададим Vo и вычислим и U0 с помощью метода Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span Vo так, что Л°, (u°)tbt(^)v° = е,

При п — 0,1,. вычисляем Лп+1 и Un+1 по методу Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span Vn+1, уп+1 = jjn Tnc~1(Ai(iin)Un - Bi(/in)UnAn), (U'1+1)T М(лп+1)ип+1 = An+\ (Un+1)T Bi{fin+1)Un+1 = E, п+1 = un+1 =

Пусть A i и A/+i есть собственные значения задачи (0.35) такие, что <t¿ 1 < Л/ < Л/+1 < (jj, / = М{-1 + к. Положим

Pi = l-(1-6)(1- VAw), = (1-40/(1 + 40, di = 5(\i+i), s(jj) = íi(/lí)/j2(/í), a¿ 6 ai. Заметим, что 0 < di ^ 1, 0 < pi < 1.

Установлены следующие результаты. Пусть р° < Л/+1. Тогда рг Л; при п —> оо, Л;+1 > рР > р1 ^ . > рп ^ . > Л;. Имеет место оценка рп+1-ХI рп - А; где п = 0,1,., р] + г0 зпрп И+1{рп) ~ ц{рп)

Чп 1 + г0вп/*»' " '

1 1

Го = т--Ь

Аг — <7г-1 ^г —

1 < вп < ^ . . . < 5о, Яп < 9п-1 ^ • • • < Яо < 1, «п —1 при п оо, (р^ + Г0Лг)/(1 + г0лг) при п —> оо.

Выполняется оценка

Рп - Л; где п = 0,1,., /Р? + г„зп/г" = 7й-1(м")-7*(мп)

1 1 —- +

Л™ - <т» 1 <тг 2

1 при п —> оо, > ((% + #0Аг)/(1 + д0Х{) при п —оо,

1 1 = т--Ь

АI — <7г-1 С г Аг+1 Предположим, что /¿° < А/+1.

1) Если рп — Аг, то р1 = Л;, г = тг,п + 1,. Если ф А;, то ^п

2) Справедлива оценка где tf {p¡ + #оА/)/(1 + g0Xi) при п оо,

А/+1 - fin+1 $ = Чп

Ai+i ~ п + 5ПДП = 7¿+i(/¿n) - 7¿(/¿n)

1 ~Ь тп sn fin п li+i{nn) - fin

1 1 Гп = —--Ь fln - (Ti-1 (Ti—

1 1

7o = 7--b

АI — стг-1 сгг — Лг+1' существует номер щ такой, что < 1 при п^ щ.

3) Выполняется оценка

- Х1 ^ С1(д0у\ где а = (А/+1 - Аг) (рР - Лг)/(Л/+1 р\\ + го л 7/+1 ~ И Г—-ñ", 50

1 + г050//0' 7/+i(/i°)

1 1 Г0 = Т- + о

A¿ — 0¿-i ai — \i+i В четвертой главе исследуются приближенные методы решения дифференциальных задач на собственные значения.

В § 4.1 одномерная дифференциальная задача (0.21) аппроксимируется схемой метода конечных элементов с численным интегрированием. Получены оценки погрешности приближенных собственных значений и собственных функций. Аналогичные результаты установлены для двумерной дифференциальной задачи на собственные значения в прямоугольной области и ее аппроксимации по методу конечных элементов с численным интегрированием. При выводе этих результатов использовались общие результаты, доказанные в § 2.1.

В § 4.2 исследованы схемы метода конечных элементов с численным интегрированием для одномерной и двумерной дифференциальных задач на собственные значения с монотонной зависимостью от спектрального параметра на основе общих результатов из § 2.2.

В § 4.3 изучаются задачи о собственных колебаниях балки и пластины с упруго присоединенными массами. Задача о балке аппроксимируется схемой метода конечных элементов с эрмитовыми кубическими элементами. Задача о квадратной пластине аппроксимируется схемой метода конечных элементов с эрмитовыми бикубическими элементами. Для исследования разрешимости этих задач и погрешности приближенных методов применяются общие результаты, полученные в § 1.3 и § 2.3.

В § 4.4 разработаны экономичные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов для дифференциальных задач второго и четвертого порядков. Необходимость в таких алгоритмах возникает при реализации методов итерации подпространства с предобуславливанием, изученных в третьей главе.

В приложении приведены результаты численных экспериментов для задач о балке и пластине из § 4.3. Эти эксперименты иллюстрируют общие теоретические результаты, полученные в § 1.3.

Сформулируем основные результаты диссертации.

1. Установлено существование собственных значений и собственных элементов нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве.

2. Доказана сходимость и получены оценки погрешности приближенных методов для нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве.

3. Исследована сходимость и погрешность метода конечных элементов для дифференциальных задач на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра.

4. Разработан и обоснован метод бисекции решения нелинейных спектральных задач.

5. Предложен метод итерации подпространства решения нелинейных спектральных задач, доказана сходимость и получены оценки погрешности:

6. Разработаны прямые экономичные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов.

Результаты диссертации были представлены, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета (1983-2010 гг.), на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (1983-2010 гг.), на научном семинаре Тартуского государственного университета (1990 г.), на научных семинарах Технического университета Кемниц, ФРГ, (1999-2003 гг.), на научном семинаре Технического университета Штутгарт, ФРГ, (1999 г.), на Всесоюзной школе молодых ученых "Вычислительные методы и математическое моделирование"'(Минск, 1984 г.), на Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование в науке и технике" (Пермь, 1986 г.), на Республиканской конференции молодых ученых и специалистов "Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач" (Минск, 1989 г.), на Второй Всесоюзной конференции "Современные проблемы численного анализа" (Тбилиси, 1989 г.), на конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (Казань, 1991 г.), па международной научной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994 г.), на международной научной конференции "Optimization of Finite Element Approximations" (С.-Петербург, 1995 г.), на Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1996 г.), на научной школе-конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева (Казань, 1997 г.), на Втором Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1998 г.), на Молодежной научной школе-конференции "Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах" (Казань, Юдино, 2000 г.), на Третьем Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 2000 г.), на Третьей Всероссийской научной internet-конференции "Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках" (Тамбов, 2001 г.), на научной конференции Фонда Гумбольдта (Кемниц, ФРГ, 2003 г.), на Седьмой международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, её приложения и смежные вопросы" (Казань, 2005 г.), на Шестом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2005 г.), на Седьмом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2007 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в 50 работах [41, 52-54, 65-67,118-146,163,164,181, 203, 209-218]. Результаты совместных работ принадлежат авторам в равной мере.

Работа выполнена благодаря значительному участию многих людей. Среди них - А.Д. Ляшко, Ю.П. Жигалко, М.М. Карчевский, Р.З. Даутов, И.Б. Бадриев, Г.М. Вайникко, A.B. Гулин, A.B. Князев, Th. Apel, А. Meyer, А.-М. Sandig, J. Rossmann. Автор благодарен этим людям за поддержку, понимание и соучастие.

Работа поддержана грантами Казанского государственного университета, Фондом республики Татарстан "Интеллект XXI века", Немецким научно-исследовательским обществом (Deutsche Forschungsgemeinschaft), Фондом Гумбольдта (Alexander von Humboldt-Stiftung).

1. Абдуллин И.Ш., Желтухин B.C., Кашапов Н.Ф. Высокочастотная плазменно-струйная обработка материалов при пониженных давлениях. Теория и практика применения. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2000.

2. Абрамов A.A., Тареев Б.А., Ульянова В.И. Бароклинская неустойчивость в двухслойной фронтальной модели Кочина на сг-эта плоскости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1972. - Т. 8, № 2. - С. 131-141.

3. Абрамов A.A., Тареев Б.А., "Ульянова В.И. Неустойчивость двухслойного геострофического течения с антисимметричным профилем скорости в верхнем слое // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1972. - Т. 8, № 10. - С. 1017-1028. .

4. Айне Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ГНТИУ, 1939.

5. Андреев В.В., Андреасян Г.Д. Суперсходимость производных и их осреднений в методе конечных элементов для обыкновенных дифференциальных уравнений 2т-го порядка // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1988. - Вып. 6. - С. 31-39.

6. Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Колебания цилиндрических оболочек переменной толщины, несущих систему дискретных амортизированных масс // Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск: ДГУ, 1979. - Вып. 25. - С. 104-108.

7. Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Оценки основной частоты колебаний пластинок и оболочек, несущих амортизированную массу // Изв. вузов. Авиационная техника. 1980. - № 2. -С. 89-93.

8. Андреев Л.В., Дышко А.Л , Павленко И.Д. Динамические характеристики оболочек с дискретными включениями // Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск: ДГУ, 1981. - Вып. 28. - С. 54-65

9. Андреев Л.В., Дышко А Л., Павленко И.Д. Динамика пластин и оболочек с сосредоточенными массами. М.: Машиностроение, 1988.

10. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

11. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

12. Береславский В.Б., Гинзбург И.М., Скоробогатько Ю.В. Динамика цилиндрической оболочки с упруго подвешенными массами // Динамика и прочность машин. 1983. - Вып. 38. - С. 46-54.

13. Вайникко Г.М. Асимптотические оценки погрешности проекционных методов в проблеме собственных значений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. - Т. 4, № 3. - С. 405-425.

14. Вайникко Г.М. Оценки погрешности метода Бубнова-Галёркина в проблеме собственных значений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. - Т. 5, № 4. - С. 587-607.

15. Вайникко Г.М. О быстроте сходимости приближённых методов в проблеме собственных значений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. - Т. 7, № 5. - С. 977-987.

16. Вайникко Г.М., Карма О.О. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1974. Т. 14, № 6. - С. 1393-1408.

17. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974.

18. Вариационные задачи в гильбертовом пространстве: Методическая разработка / Сост. С.И. Соловьёв. Казань: КГУ, 2007.

19. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.

20. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы п вычисления. М.: Наука, 1984.

21. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

23. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осциляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

24. Гловински Р., Лионе Ж.Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979.

25. Головатый Ю.Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами // Труды Московского математического общества. 1992. - Т. 54. - С. 29-72.

26. Гордеев A.B., Гулин A.B., Мышецкая Е.Е., Савенкова Н.П. Численное исследование устойчивости магнито-звукового солитона. Препринт. - М.: ИПМ АН СССР, 1977. - № 50.

27. Гордеев A.B., Гулин A.B., Савенкова Н.П. Неустойчивость электронного течения при магнитной самоизоляции. — Препринт. -М.: ИПМ АН СССР, 1979. № 129.

28. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

29. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. М.: Мир, 1970.

30. Гулин A.B., Крегжде A.B. Разностные схемы для некоторых нелинейных спектральных задач. Препринт. - М.: ИПМ АН СССР, 1981. - № 153.

31. Гулин A.B., Крегжде A.B. О применимости метода бисекции к решению нелинейных разностных задач на собственные значения. Препринт. - М.: ИПМ АН СССР, 1982. - № 8.

32. Гулин A.B., Яковлева С.А. О численном решении одной нелинейной задачи на собственные значения // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1988. - Вып. 6. - С. 90-97.

33. Даутов Р.З. Суперсходимость схем МКЭ с численным интегрированием для квазилинейных эллиптических уравнений четвёртого порядка // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18, № 7. - С. 1172-1181.

34. Даутов Р.З., Карчевский Б.М. Об одной спектральной задаче теории диэлектрических волноводов // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ. 1999. - Т. 39, № 8. - С. 1348-1355.

35. Даутов Р.З., Карчевский Е.М. Существование и свойства решений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. - Т. 40, № 8. - С. 12501263.

36. Даутов Р.З., Карчевский Е.М. О решении векторной задачи о собственных волнах цилиндрических волноводов на основе нелокального краевого условия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. - Т. 42, № 7. - С. 1051-1066.

37. Даутов Р.З., Лапин A.B. Сеточные схемы произвольного порядка точности для квазилинейных эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1979. - № 10. - С. 24-37.

38. Даутов Р.З., Лапин A.B. Исследование сходимости в сеточных нормах схем метода конечных элементов с численным интегрированием для эллиптических уравнений четвёртого порядка // Дифференц. уравнения. 1981. - Т. 17, № 7. - С. 1256-1269.

39. Даутов Р.З., Лапин A.B., Ляшко АД. О некоторых схемах для квазилинейных эллиптических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. - Т. 20, № 2. - С. 334-349.

40. Даутов Р.З., Ляшко АД., Соловьёв С.И. Сходимость метода Бубнова-Галеркина с возмущениями для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Дифферент уравнения. 1991. - Т. 27, № 7. - С. 1144-1153.

41. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976.

42. Дикий Л.А. Атмосфера земли как колебательная система // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1965. - Т. 1, № 5. -С. 469-489.

43. Дышко А.Л., Колодяжный А.П., Моссаковский В.И. Колебания цилиндрической оболочки, несущей симметричную систему осцилляторов // Тр. X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Тбилиси: Мицниереба., 1975. - Т. 2. - С. 125-134.

44. Дышко A.JL, Павленко И.Д. Динамическа оболочек вращения с присоединёнными осцилляторами '// Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск: ДГУ, 1979. - С. 107-111.

45. Дьяконов Е.Г. Модифицированные итерационные методы в задачах на собственные значения // Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978. - Вып. 3. - С. 39-61.

46. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. М.: Наука, 1989.

47. Дьяконов Е.Г., Орехов М.Ю. О минимизации вычислительной работы в задачах на собственные значения // ДАН СССР. -1977. Т. 235, № 5. - С. 1005-1008.

48. Дьяконов Е.Г., Орехов М.Ю. О минимизации вычислительной работы при нахождении первых собственных чисел дифференциальных операторов // Математические заметки. 1980. - Т. 27, № 5. - С. 795-812.

49. Желтухин B.C. О разрешимости одной нелинейной спектральной задачи теории высокочастотных разрядов пониженного давления // Изв. вузов. Математика. 1999. - № 5. - С. 26-31.

50. Желтухин B.C. Об условиях разрешимости системы краевых задач теории высокочастотной плазмы пониженного давления // Изв. вузов. Математика. 2005. - № 1. - С. 52-57.

51. Жигалко Ю.П., Ляшко А.Д., Соловьёв С.И. Колебания цилиндрической оболочки с присоединенными жёсткими кольцевымиэлементами // Моделирование в механике. 1988. - Т. 2, № 2. -С. 68-85.

52. Жигалко Ю.П., Соловьёв С.И. Собственные колебания балки с гармоническим осциллятором // Изв. вузов. Математика. 2001.- № 10. С. 36-38.

53. Жигалко Ю.П., Шалабанов А.К. К вопросу о колебаниях тонких пластин и оболочек, несущих сосредоточенные массы // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ, 1970. -Вып. 6-7. - С. 511-530.

54. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация.- М.: Мир, 1986.

55. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики.- М.: Наука, 1985.

56. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.

57. Капорин И.Е. Модифицированный марш-алгоритм решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике // Разностные методы математической физики. М.: МГУ, 1980. - С. 11-21.

58. Капорин И:Е. Маршевый метод для системы с блочно-трёхдиагональной матрицей // Численные методы линейной алгебры. М.: МГУ, 1982. - С. 63-72.

59. Капорин И.Е., Николаев Е.С. Применение быстрого преобразования Фурье к решению семиточечного уравнения на треугольной сетке // Численные методы линейной алгебры. М.: МГУ, 1982. - С. 43-51.

60. Карма О.О. Асимптотические оценкн погрешности приближенных характеристических значений голоморфных фредгольмо-вых оператор-функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1971. Т. 11, № 3. - С. 559-568.

61. Карма 0.0. Об аппроксимации оператор-функций и сходимости приближенных собственных значений //Тр. ВЦ Тартуского гос. ун-та. Тарту: ВЦ ТГУ, 1971. - Вып. 24. - С. 3-143.

62. Карма 0.0. О сходимости дискретизационных методов отыскания собственных значений интегральных и дифференциальных операторов, голоморфно зависящих от параметра // Тр. ВЦ Тартуского гос. ун-та. Тарту: ВЦ ТГУ, 1971. - Вып. 24. - С. 144-159.

63. Карчевский Е.М., Соловьёв С.И. Исследование спектральной задачи для оператора Гельмгольца на плоскости // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, № 4. - С. 563-565.

64. Карчевский Е.М., Соловьёв С.И. Существование собственных значений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов // Изв. вузов. Математика. 2003. - № 3. - С. 78-80.

65. Коллатц JI. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968.

66. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твёрдого тела. М.: Высшая школа, 1983.

67. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: ЛГУ, 1977.

68. Корнеев В.Г. Суперсходимость решений метода конечных элементов в сеточных нормах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. - Т. 22, № 5. - С. 1133-1149.

69. Корнеев В.Г. О сходимости решений метода конечных элементов в сеточных нормах // Решение функциональных уравнений и смежные вопросы. Методы вычислений. Л.: ЛГУ, 1983. -Вып. 13. - С. 3-42.

70. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стецеико В.Я. Приближённое решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

71. Крегжде A.B. О разностных схемах для нелинейной задачи Штурма-Лиувилля // Дифференц. уравнения. 1981. - Т. 17, № 7. - С. 1280-1284.

72. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики. М.: АН СССР, 1932.

73. Крылов В.И. Приближённое вычисление интегралов. М.: ГИФМЛ, 1959.

74. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. М.: Наука, 1966.

75. Кузнецов Ю.А., Мацокин А.М. Об одном применении метода би-секций // Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. - Вып. 3. - С. 34-41.

76. Лазаров Р.Д. Суперсходимость градиента для треугольных и тетраэдальных конечных элементов решения линейных задач теории упругости // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1988. - Вып. 6. - С. 180-191.

77. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.

78. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987.

79. Лиходед А.И., Малинин А.А. Колебания подкреплённых оболочек вращения с сосредоточенными массами и осцилляторами // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1971. - № 1. - С. 42-47.

80. Ляшенко И.Н. Задачи на собственные значения для уравнений второго порядка в частных конечных разностях. Киев: Изд. Киевск. ун-та, 1970.

81. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.

82. Малинин А.А. Идентификация колебаний при расчете тонкостенных конструкций с упруго присоединенными грузами // Прикладная механика. 1982. - Т. 18, № 8. - С. 90-94.

83. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

84. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

85. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные функционалы. Новосибирск: Наука, 1972.

86. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. — М.: Атомиздат, 1971.

87. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.

88. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

89. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970.

90. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

91. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. -М,- Мир, 1981.

92. Обэн Ж.-П. Приближённое решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.

93. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. О вариационно-разностных схемах для линейных эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с кусочно-гладкой границей // Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физ. 1968. - Т. 8, № 1. - С. 97-114.

94. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Исследование скорости сходимости вариационно-разностных схем для эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с гладкой границей //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. - Т. 9, № 5. - С. 1102-1120.

95. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.

96. Паламарчук В.Г., Носаченко А.М. Свободные колебания ребристой конической оболочки с массой, присоединённой на пружинах // Прикладная механика. 1980. - Т. 16,,№ 1. - С. 40-46.

97. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983.

98. Печливанов А. Суперсходимость градиентов для квадратичных трёхмерных симплициальных элементов // Численные методы и приложения. Труды междунар. конференции по числ. методам и прилож. София, 1989. - С. 362-366.

99. Приказчиков В.Г. Разностная задача на собственные значения для эллиптического оператора // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. - Т. 5, № 4. - С. 648-657.

100. Приказчиков В.Г. Однородные разностные схемы высокого порядка точности для задачи Штурма-Лиувилля // Ж. вШчисл. матем. и матем. физ. 1969. - Т. 9, № 2. - С. 315-336.

101. Приказчиков В.Г. Прототипы итерационных процессов в задачах на собственные значения // Дифференц. уравнения. 1980. -Т. 16, № 9. - С. 1688-1697.

102. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

103. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

104. Самарский A.A., Капорин И.Е., Кучеров A.B., Николаев Е.С. Некоторые современные методы решения сеточных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1983. - № 7. - С. 3-12.

105. Самарский A.A., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа, 1987.

106. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

107. Самокиш Б.А. Метод наискорейшего спуска в задаче о собственных элементах полуограниченных операторов // Изв. вузов. Математика. 1958. - № 5. - С. 105-114.

108. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Т. 1. М.: ИЛ, 1953.

109. Сапаговене Д. Последовательность Штурма для нелинейной алгебраической задачи на собственные значения // Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс: ИФМ АН Лит. ССР, 1976. - Вып. 16. - С. 87-94.

110. Саульев В.К. О нахождении собственных значений методом сеток // ДАН СССР. 1954. - Т. 94, № 6. - С. 1003-1006. •

111. Саульев В.К. Об оценке погрешности при нахождении собственных функций методом конечных разностей // Вычислит, матем.- М.: АН СССР, 1957. С. 87-115.

112. Саульев В.К. К решению задачи о собственных значениях методом конечных разностей // Вычислит, матем. и вычислит, техн.- М.: АН СССР, 1965. № 2. - С. 116-144.t

113. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.

114. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

115. Соловьёв С.И. О спектре конечно-элементной аппроксимации задачи на собственные значения для оператора Лапласа. ВИНИТИ, № 5516-84 Деп. - Казань: Казанский государственный университет, 1984. - 12 с.

116. Соловьёв С.И. Быстрые методы решения сеточных схем МКЭ •второго порядка точности для уравнения Пуассона в прямоугольнике // Изв. вузов. Математика. 1985. - № 10. - С. 71-74.

117. Соловьёв С.И. Метод Фурье для конечно-элементной аппроксиSмацнн уравнения Пуассона // Сеточные методы решения дифференциальных уравнений / Ред. А.Д. Ляшко. — Казань: Казанский государственный университет, 1986. С. 64-78.

118. Соловьёв С.И. Быстрые методы решения сеточных схем МКЭ повышенного порядка точности // Математическое моделирование в науке и технике. Тезисы докладов Всесоюзной школы-семинара (Пермь, 9-15 июня 1986 года). Пермь, 1986. - С. 269.

119. Соловьёв С.И. Быстрый прямой метод решения схем МКЭ с эрмитовыми бикубическими элементами // Изв. вузов. Математика. 1990. - № 8. - С. 87-89.

120. Соловьёв С.И. Быстрый прямой метод решения эрмитовых схем МКЭ четвертого порядка для уравнения Пуассона // Исследования по прикладной математике / Ред. B.C. Мокейчев. Казань: Казанский государственный университет, 1992. - Вып. 20.- С. 121-130.

121. Соловьёв С.И. Погрешность метода Бубнова-Галеркина с возмущениями для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1992. Т. 32, № 5. - С. 675-691.

122. Соловьёв С.И. Аппроксимация симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Изв. вузов. Математика. 1993. - № 10. - С. 60-68.

123. Соловьёв С.И. Оценки погрешности метода конечных элементов для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Изв. вузов. Математика. 1994. - № 9. -С. 70-77.

124. Соловьёв С.И. Суперсходимость конечно-элементных аппроксимаций собственных функций // Дифференц. уравнения. 1994.- Т. 30, № 7. С. 1230-1238.

125. Соловьёв С.И. Метод конечных элементов для симметричных задач на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997.- Т. 37, № 11. С. 1311-1318.

126. Соловьёв С.И. Суперсходимость конечно-элементных аппроксимаций собственных подпространств // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38, № 5. - С. 710-711.

127. Соловьёв С.И. Приближенные методы для спектральных задач с рациональной зависимостью от параметра // Исследования по прикладной математике и информатике / Ред. И.Б. Бадриев.Казань: Казанское математическое общество, 2006. Вып. 26. -С. 91-95.

128. Соловьёв С.И. Метод Бубнова-Галеркина с возмущениями для спектральных задач // Исследования по прикладной математике и информатике / Ред. И.Б. Бадриев. Казань: Казанское математическое общество, 2006. - Вып. 26. - С. 95-100.

129. Соловьёв С.И. Метод конечных элементов для несамосопряженных спектральных задач // Учёные записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки.2006. Т. 148, № 4. - С. 51-62.

130. Сухинин C.B. Собственные колебания около пластины в канале // Прикл. механ. и техн. физ. 1998. - Т. 39, № 2. - С. 78-90.

131. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М.: Мир, 1980.

132. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ.- М.: Мир, 1981.

133. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Разностная задача Штурма-Лиувилля // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. - Т. 1, № 5. - С. 784-805.

134. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

135. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

136. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

137. Уилкинсон Дж.Х., Райнш К.Х. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976.

138. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. -М.: Мир, 1988.

139. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

140. Христенко A.C. Колебания непологих цилиндрических оболочек, загруженных распределенными и сосредоточенными массами // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1972. - № 4. - С. 116— 122.

141. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. -М.: Наука, 1989.

142. Шамарин В.В. О методе быстрого преобразования Фурье // Тр. Зап.-Сиб. регион. НИИ Госкомгидромета. 1984. - № 63. - С. 9094.

143. Andreev A.B. Superconvergence of the gradient for linear triangle elements for elliptic and parabolic equations // C.R. Acad. Bulgare Sei. 1984. - V. 37. - P. 293-296.

144. Andreev A.B., Lazarov R.D. Superconvergence of the gradient for quadratic triangular finite elements // Numer. Methods for PDE. -1988. V. 4. - P. 15-32.

145. Apel Th., Sandig A.-M., Solov'ev S.I. Computation of 3D vertex singularities for linear elasticity: Error estimates for a finite element method on graded meshes. Preprint SFB393/01-33 - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2001. - 32 p.

146. Apel Th., Sandig A.-M., Solov'ev S.I. Computation of 3D vertex singularities for linear elasticity: Error estimates for a finite element method on graded meshes // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 2002. - V. 36, № 6. - P. 1043-1070.

147. Babuska I., Osborn J.E. Eigenvalue problems // Handbook of numerical analysis. V. II. Finite element methods / Ed. by P.G. Ciariet, J.L. Lions. Amsterdam: North-Holland, 1991. - P. 642787.

148. Bakker M. One dimensional Galerkin methods and superconvergence at interior nodal points // SIAM J. Numer. Anal. 1984. - V. 21, № 1. - P. 101-110.

149. Bamberger A., Bonnet A.S. Mathematical analysis of the guided modes of an optical fiber // SIAM J. Math. Anal. 1990. - V. 21, № 6. - P. 1487-1510.

150. Banerjee U., Osborn J.E. Estimation of the effect of numerical integration in finite element eigenvalue approximation // Numer. Math. 1990. - V. 56. - P. 735-762.

151. Bank R.E. Marching algorithms for elliptic boundary value problems. II: The variable coefficient case // SIAM J. Numer. Anal. 1977. - V. 14, № 5. - P. 950-970.

152. Bank R.E. Efficient algorithms for solving tensor product finite element equations // Numer. Math. 1978. - V. 31. - P. 49-61.

153. Bank R.E., Rose D.J. An 0(n2) method for solving constant coefficient boundary value problems in two dimensions // SIAM J. Numer. Anal. 1975. - V. 12, № 4. - P. 529-540.

154. Bank R.E., Rose D.J. Marching algorithms for elliptic boundary value problems. I: The constant coefficient case // SIAM J. Numer. Anal. 1977. - V. 14, № 5. - P. 792-829.

155. Betcke M., Voss H. Restarting projection methods for rational eigenproblems // Mathematical Modelling and Analysis. 2008. -V. 13. - P. 171-182.

156. Bharadwaj K.K., Kadalbajoo M.K., Sankar R. Symmetric marching technique for the Poisson equation. I: Dirichlet boundary conditions // Applied mathematics and computation. 1984. - V. 15. - P. 137-149.

157. Birkhoff G., de Boor C. Piecewise polynomial interpolation and approximation // Approximation of functions / Ed. by H.L. Garabedian. New York: Elsevier, 1965. - P. 164-190.

158. Birkhoff G., de Boor C., Swartz B., Wendroff B. Rayleigh-Ritz approximation by piecewise cubic polinomials // SIAM J. Numer. Anal. 1966. - V. 3, № 2. - P. 188-203.

159. Bonnet-Ben Dhia A.S., Joly P. Mathematical analysis of guided water waves // SIAM J. Appl. Math. 1993. - V. 53, № 6. - P. 1507-1550.

160. Ciarlet P.G., Schultz M.H., Varga R.S. Numerical methods of high-order accuracy for nonlinear boundary value problems. III. Eigenvalue problems // Numer. Math. 1968. - V. 12. - P. 120133.

161. Goolin A.V., Kartyshov S.V. Numerical study of stability and nonlinear eigenvalue problems // Surv. Math. Ind. 1993. - V. 3. -P. 29-48.

162. Dautov R.Z., Lyashko A.D., Solov'ev S.I. The bisection method for symmetric eigenvalue problems with a parameter entering nonlinearly // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1994. -V. 9, № 5. - P. 417-427.

163. Fix G.J. Higher-order Rayleigh-Ritz approximations //J. Math. Mech. 1969. - V. 18, № 7. - P. 645-657.

164. Fix G.J. Eigenvalue approximation by the finite element method // Advances in Mathematics. 1973. - V. 10, № 7. - P. 300-316.

165. Houstis E.N., Papatheodorou T.S. Higher-order fast elliptic equation solver // ACM Transactions on Mathematical software. 1979. -V. 5, № 4. - P. 431-441.

166. Kantcev V., Lazarov R. Superconvergence of the gradient of linear finite elements for 3D Poisson equation // Proc. Symposium on Optimal Algorithms. Sofia: Sendov, 1986. - P. 172-182.

167. Karma 0.0. Approximation in eigenvalue problems for holomorphic Fredholm operator functions. I. // Numer. Funct. Anal. Optimiz. -1996. V. 17. - P. 365-387.

168. Karma 0.0. Approximation in eigenvalue problems for holomorphic Fredholm operator functions. II. Convergence rate // Numer. Funct. Anal. Optimiz. 1996. - V. 17. - P. 389-408.

169. Knyazev A.V. Preconditioned eigensolvers an oxymoron? // Electron. Trans. Numer. Anal. - 1998. -V.7.- P. 104-123.

170. Knyazev A.V. Preconditioned eigensolvers // Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems: A Practical Guide / Ed. by Z. Bai, J. Demmel, J. Dongarra, A. Ruhe, and H. van der Vorst.- Philadelphia: SIAM, 2000. Section 11.3. - P. 352-368.

171. Knyazev A.V. Toward the optimal preconditioned eigensolver: locally optimal block preconditioned conjugate gradient method // SIAM J. Sei. Comput. 2001. - V. 23. - P. 517-541.

172. Knyazev A.V., Neymeyr K. A geometric theory for preconditioned inverse iteration III: A short and sharp convergence estimate for generalized eigenvalue problems // Linear Algebra Appl. 2003. -V. 358. - P. 95-114.

173. Kozlov V.A., Maz'ya V.G., Rossmann J. Spectral problems associated with corner singularities of solutions to elliptic equations.- American Mathematical Society, 2000.

174. Kolata W.G. Approximation in variationally posed eigenvalue problems // Numer. Math. 1978. - V. 29. - P. 159-171.

175. Krizek M., Neittaanmaki P. Superconvergence phenomenon in the finite element method arising from averaging gradients // Numer. Math. 1984. - V. 45. - P. 105-116.

176. Krizek M., Neittaanmaki P. On a global superconvergence of the gradient of linear triangular elements // Computational and Applied Mathematics. 1987. - V. 18. - P. 221-233.

177. Krizek M., Neittaanmaki P. On superconvergence techniques // Acta applicandae mathematicae. 1987. - V. 9. - P. 175-198.

178. Mazurenko L., Voss H. Low rank rational perturbations of linear symmetric eigenproblems // Z. Angew. Math. Mech. 2006. - V. 86, № 8. - P. 606-616.

179. Mehrmann V., Voss H. Nonlinear Eigenvalue Problems: A Challenge for Modern Eigenvalue Methods // GAMM Mitteilungen. 2004. -V. 27. - P. 121-152.

180. Neymeyr K. A geometric theory for preconditioned inverse iteration I: Extrema of the Rayleigh quotient // Linear Algebra Appl. 2001.- V. 322. P. 61-85.

181. Neymeyr K. A geometric theory for preconditioned inverse iteration II: Convergence estimates // Linear Algebra Appl. 2001. - V. 322.- P. 87-104.

182. Lyashko A.D., Solov'ev S.I. Fourier method of solution of FE systems with Hermite elements for Poisson equation // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1991. - V. 6, № 2. - P. 121-129.

183. Osborn J.E. Spectral approximation for compact operators // Math. Comp. 1975. - V. 29. - P. 712-725.

184. Peters G., Wilkinson J.H. Eigenvalues of Ax — ABx with band simmetric A and B // Comput. J. 1969. - V. 12, № 4. - P. 398404.

185. Pierce J.G., Varga R.S. Higher order convergence results for the Rayleigh-Ritz method applied to eigenvalue problems: II. Improved error bounds for eigenfunctions // Numer. Math. 1972. - V. 19, № 1. - P. 155-169.

186. Ruhe A. Algorithms for the nonlinear eigenvalue problem // SIAM J. Numer. Anal. 1973. - V. 10. - P. 674-689.

187. Solov'ev S.I. Convergence of the modified subspace iteration method for nonlinear eigenvalue problems. Preprint SFB393/99-35 -Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 1999. - 15 p.

188. Solov'ev S.I. Preconditioned gradient iterative methods for nonlinear eigenvalue problems. Preprint SFB393/00-28 - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2000, - 17 p.

189. Solov'ev S.I. Existence of the guided modes of an optical fiber.- Preprint SFB393/03-02 Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. - 21 p.

190. Solov'ev S.I. Eigenvibrations of a plate with elastically attached load. Preprint SFB393/03-06 - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. - 18 p.

191. Solov'ev S.I. Preconditioned iterative methods for monotone nonlinear eigenvalue problems Preprint SFB393/03-08. -Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. - 22 p.

192. Solov'ev S.I. Vibrations of plates with masses. Preprint SFB393/03-18. - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. -7 p.

193. Solov'ev S.I. Preconditioned iterative methods for a class of nonlinear eigenvalue problems Preprint SFB393/03-19. - Chemnitz: Technische Universität Chemnitz, 2003. - 18 p.

194. Solov'ev S.I. Preconditioned iterative methods for nonlinear eigenvalue problems // Abstracts. Einführungstagung Chemnitz (Chemnitz, November 20-21, 2003).' Bonn: Alexander von Humboldt-Stiftung, 2003. - P. 46.

195. Solov'ev S.I. Preconditioned iterative methods for a class of nonlinear eigenvalue problems // Linear Algebra and its Applications. 2006.- V. 41, № 1. P. 210-229.

196. Sweet R.A. A cyclic reduction algorithm for solving block tridiagonal systems of arbitrary dimension // SIAM J. Numer. Anal. 1977. -V. 14, № 4. - P. 706-720.

197. Temperton C. Direct methods for the solution of the discrete Poisson equation: Some comparisons // Journal of Computational Physics. -1979.-V. 31, №4.-P. 1-20.

198. Voss H. A rational spectral problem in fluid-solid vibration // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2003. - V. 16. -P. 94-106.

199. Voss H. An Arnoldi method for nonlinear eigenvalue problems // BIT Numerical Mathematics. 2004. - V. 44. - P. 387-401.

200. Voss H. Iterative projections methods for sparse nonlinear eigenproblems // Applied Mathematics and Mechanics. 2004. -V. 4. - P. 722-725.

201. Wahlbin L.B. Superconvergence in Galerkin finite element methods // Lecture Notes in Mathematics, 1605. Berlin: Springer-Verlag, 1995.

202. Weinberger H.F. Variational methods for eigenvalue approximation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1974.

203. Wendroff B. Bounds for eigenvalues of some differential operators by Rayleigh-Ritz method // Math. Comp. 1965. - V. 19, № 4. - P. 218-224.