Некоторые вопросы спектральной теории операторов второго порядка с аналитическими потенциалами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I Переходные функции и решение обратных задач для некоторых классов операторов Штурма-Л иувилля.

§1. Описание семейства переходных функций для операторов класса S.

§2. Другое описание переходных функций и обратная задача.

§3. Обратная задача для одного класса операторов на отрезке со спектром п2.

Глава II Спектральные разложения и прямая задача для операторов с потенциалами — экспоненциальными суммами.

§4. Спектральные теоремы для потенциалов — сумм рядов из экспонент.

§5. Спектральные теоремы для потенциалов — конечных сумм экспонент.

§6. Решение уравнения Кортевега-де Фриза с начальным потенциалом се%1Х.

Спектральная теория дифференциальных операторов в настоящее время является важным разделом общей спектральной теории операторов и активно развивается различными математическими школами. В этой области получены фундаментальные результаты, которые находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики.

Начало этой теории в случае сингулярного оператора Штурма-Лиувилля было положено в работах Г. Вейля и нашло дальнейшее развитие в работах Э.Ч. Титчмарша [1]. Другие подходы при изучении спектральных свойств дифференциальных операторов были разработаны Б.М. Левитаном, А. Плейелем, С. Минакшисундарамом, А.Г. Костюченко, В.А. Ильиным и др. Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов (обыкновенных и в частных производных) дан в [2], там же можно найти подробную библиографию вышеуказанных авторов.

Одной из важных классических задач математической физики является задача о вычислении первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля. Достаточно упомянуть её роль в использовании метода Фурье для приближённого решения классических краевых задач в частных производных и в задачах теории устойчивости. Естественно, что проблеме вычисления первых собственных чисел посвящены исследования многих математиков.

Наиболее употребительный метод её решения основан на хорошо известных равенствах, связывающих итерированные функции Грина рассматриваемой задачи и её собственные значения:

Одно из наиболее глубоких исследований в этом направлении принадлежит А.А. Дородницыну [3]. Суть метода проста: обрываем в к = 1,2,.

0.1) равенствах (0.1) ряды до слагаемых с номером N и берём N + 1 первое равенство. Решаем полученную конечную систему и получаем приближённые значения собственных чисел, тем более точные, чем большее N взято.

С созданием теории регуляризованных следов И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном [4] в 1953 г. и результатами И.М. Гельфанда [5], JI.A. Дикого [6], а также с появлением фундаментальной работы В.Б. Лидского и В.А. Садовничего [7] в распоряжении математиков появились новые соотношения на собственные числа операторов — регуляризованные следы к-го порядка:

00

А кп-Ап(к)) = В(к)] к = 1,2,.; (0.2) п=0 здесь Ап{к) — отрезок асимптотического разложения \кп по степеням п такой, что обеспечена абсолютная сходимость ряда (но, вообще говоря, не обязательно минимальный из таких фрагментов асимптотического разложения), а В (к) — сумма этого ряда, собственно и называемая к-ым регуляризованным следом. Эти равенства важны и интересны из-за того, что и Ап(к), и В (к) выражаются в конечном виде через коэффициенты дифференциального выражения и краевых условий и их вычисление вполне может быть алгоритмизировано [8].

В связи с этим И.М. Гельфанд и Л.А. Дикий [9] предложили в 1957 г. новый метод приближённого вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля: аналогично схеме использования системы (0.1) удержать в системе (0.2) частные суммы рядов до N-го слагаемого в N + 1-м регуляризованном следе и полученную приближённую систему решить, найдя некоторые приближения к собственным числам задачи. В [9] сделано конкретное вычисление для уравнения Матье по указанной схеме и получены значения трёх первых собственных чисел, верные в третьем знаке после запятой. Однако в [9] данный метод не обоснован: никаких оценок при переходе от рядов к их частным суммам сделано не было.

В 1995 г. С.А. Шкарин [10] доказал неединственность решения бесконечных линейных систем определённого вида и, в частности, для систем вида (0.2) из его результатов следует, что если в системе регуляризованных следов (0.2) числа Ап считать неизвестными и решать эту систему относительно Ап, то у (0.2) существует континуум решений, причём мы можем заранее совершенно произвольно задать любое конечное число (различных) собственных чисел и всегда существуют решения с этими заданными числами. Таким образом, было показано, что метод приближённого вычисления первых собственных чисел с помощью системы регуляризованных следов в трактовке И.М. Гельфанда и Л.А. Дикого не может быть реализован.

В.А. Садовничий и В.Е. Подольский [11] определяют и исследуют класс S операторов Штурма-Лиувилля, для которых система регуляризованных следов однозначно определяет все их собственные числа и позволяет приближённо вычислять первые. Этот класс описывается следующим образом: пусть оператор Штурма-Лиувилля на полуоси х > 0, причём q(x) G С°°[0;+оо), и пусть <р(х, А) — решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными 93(0, А) = 1; <^'(0,А) = h. Хорошо известно, что <р(х, А) имеет при А —»• оо асимптотическое разложение

Коэффициенты этого разложения не зависят от А, и поэтому разложение (0.5) зависит только от q(x) и коэффициента h.

Оператор (0.3)-(0.4) называется принадлежащим классу S, если асимптотическое разложение (0.5) таково, что лишь конечное число коэффициентов Rj(x) отлично от тождественного нуля на полуоси.

Доказательство приводимых ниже утверждений работы [11] есть в [12]. Эти утверждения таковы:

1) принадлежность оператора классу S эквивалентна тождественному равенству нулю на рассматриваемом интервале коэффициента разложения (0.5) Rj(x) хотя бы для одного j,

2) последний ненулевой коэффициент разложения (0.5) имеет нечётный номер,

3) q{x) — мероморфная во всей плоскости функция.

Далее, известно [13], что оператор (0.3)-(0.4) связан преобразованием подобия с оператором —у" = \у, у'(0) = 0, причём подобие

0.3) (0.4)

ГГ Т-» / \ sm yj~\x . . р{Х, Л) ~ COS V АХ + ill (ж)-7=--Ь il.2 \Х)

0.5) осуществляется оператором вида I + К, где К — интегральный оператор с треугольным ядром К{х1у)1 О <у<%- В частности, q(x) = 2 4-K(x,x),h = К (0,0), ах X ср(х, А) = cos у/Хх + J К(х, t) cos л/Лt dt. (0.6) о

Для операторов рассматриваемого класса К(х,у) есть полином по второй переменной по чётным степеням.

Со всяким оператором Штурма-Лиувилля связана его переходная функция обратной задачи Ф(х),х Е [0; +оо). Интегральное уравнение Гельфанда-Левитана связывает Ф(х) и К(х, у): X

К(х, у) + F(x, y)+j К(х, t)F(t, y)dt = 0, 0 < у < ж, (0.7) о здесь F(x, у) = \{Ф(х + у) + Ф(\х - т/|)).

Используя только интегральное уравнение (0.7), можно получить [12] уравнения вида d2kK(x v) г

M2kjy(F(x, у)) + \к:У) + / К(х, t)M2Ky{F(t, у)) dt = 0, о где М2куУ) к G N — некоторое дифференциальное выражение порядка содержащее производные только чётного порядка только по у с постоянными коэффициентами. Совокупность этих уравнений точно описывает переходные функции всех операторов класса S: Ф(х) является переходной функцией обратной задачи для некоторого оператора класса S тогда и только тогда, когда для некоторого натурального к М2к,х{Ф{х)) = 0.

Принимая во внимание то, что для операторов класса S функция

К(х,у) есть полином по второй переменной по чётным степеням: k— 1

К(х,у) = Е qm(x)y2m (для некоторого фиксированного к), можно,

777 = 0 зная функцию Ф(х), найти коэффициенты этого полинома и тем самым, воспользовавшись формулами (0.6), явно решить обратную задачу для операторов рассматриваемого класса.

В числе доказанных свойств этого класса операторов есть следующее: этот класс плотен в множестве всех операторов Штурма-Лиувилля с потенциалом из Ь2 в смысле операторной нормы. Эти два результата образуют метод приближённого вычисления первых собственных чисел любого оператора с потенциалом из L2: сначала мы должны приблизить рассматриваемый оператор с точностью до е/2 оператором из класса S и затем уже для построенного приближающего оператора найти с точностью до е/2 первые собственные числа. Таким образом, собственные числа исходного оператора найдём с точностью до £.

Остановимся подробно на результатах первой главы. В первой теореме первого параграфа в предположении бесконечной диффе-ренцируемости потенциала найден явный вид дифференциального выражения М2к,у для любого к.

Теорема 1.1. Пусть задан оператор (0.3)-(0.4) с бесконечно дифференцируемым на полуоси потенциалом q(x). Тогда для любого натурального к будут иметь место следующие уравнения:

ОУ Ш=1р=1 jl ,.72,-Jo>0 t=l °У m=l р=\ iij2,-Jp>0 г=1 ji+j2+---+jP=m р р\2к-2тт?(+ \\ . Е ПФЫ-'ЧО)9 У Д = оjU2,.,iP>0 1=1 су )

Во второй теореме описано семейство переходных функций обратной задачи для операторов Штурма-Лиувилля на положительной полуоси класса S.

Теорема 1.2. Пусть для оператора (0.3)-(0.4) из класса S оператор преобразования таков, что

Qy2k ' k—1 то есть К(х,у) = £ Чт{х)у2т. Тогда переходная функция обрат

771=0 ной задачи имеет следующий вид: т; оо 1 k-1 f[l/2]-r ml-\-m2 + '--+mp = [l/2]-r р

Е (-1)" Е П E(-i)'x

0 г=0 у р= 1 m\,m2,.,mv — \,2,.,k i=l q=\ jl +J2H-----\-jq=nii q k-r-l ( t jl+j2 + ---+j<i=t q

E П c2,w+ E E(-i)9 E П c2ji

3l,j2,--;jq>0 2=1 <=1 \q=l ilj'2,-,ig>0 1=1

1/2]—r—t m1+m2+-+mp=[l/2]-r-t p m>. x E (-i)p E ПЕН'х p= 1 mbm2,.,mp=l,2,.,fc г=1 g=l ii +J2 4-----\-jq=mi q \ x E П c2ji-i ilj2,-jg>0 «=1 /

C2r+/(mod2)^ 5 г^е Co, Сi,., i — произвольные комплексные константы.

Во втором параграфе мы находим другое описание семейства переходных функций для операторов класса S: установлено, что если асимптотика функции <р(х, А) обрывается после слагаемого с коэффициентом R,2k-i{x), то функция Ф(х) имеет вид: и-^ + Аие-"*), 1=\ где числа -D2/-1 и D21 определяются из равенств (2.1) и (2.2).

Далее на основе формулы для Ф{х) даётся явное описание ядер операторов преобразования для операторов класса S: доказывается следующая

Теорема 1.3. Пусть оператор Штурма-Лиувилля (0.3)-(0-4), принадлежащий классу S, таков, что асимптотическое разложение функции <р(х, А) обрывается после слагаемого sin у/\х и пусть

Kr(x) = + tfDne-»*), i=\ hi 2т (?mV

Л™(х) = Е ЕН)" J.2r+ Lp .w-1=1 V p=o 14 V (2rn)! \ p=о Щ FP}- ) где числа D2i-\ и D21 определяются из равенств (2.1) и (2.2).

Тогда справедливо следующее выражение для ядра К(х,у) оператора преобразования:

Третий, заключительный параграф первой главы посвящён решению одной классической задачи Штурма-Лиувилля: пусть

-у" + q(x)y = X у (0.8) y'(0)-hy(0)=y'(7T)+Hy(7T)=0 оператор Штурма-Лиувилля на отрезке [0;тг], причём q(x) — ве-щественнозначная бесконечно дифференцируемая на [0; тг] функция, h и Н — конечные вещественные числа, и пусть <р(х, А) — решение задачи Коши для уравнения (0.8) с начальными данными <£>(0, Л) = = 1,<^'(0, А) = h; ф(х, А) — решение задачи Коши для уравнения (0.8) с начальными данными ф(ж,\) = 1,ф'(п,Х) = —Н. Обозначим через An, п — 0,1,2,. собственные числа этого оператора, че

7Г рез ап — нормировочные числа, т.е. ап = f <р2(х, Хп) dx, и через D(А) — характеристический определитель оператора, т.е. D(А) = у (р'(х, А) ф'(х, А) Хорошо известно, что собственные числа имеют при п —> оо асимптотическое разложение

А„ ~ п2 + К0 + Щ- + Ц- + • • •, nz п4 а числа, обратные к нормировочным, — асимптотическое разложение

1 2 а\ а2 ~ - + ^ + ^ н— • ап 7г nz п*

Пусть Хп = п2,п = 0,1,2,., = сп > 0, п = 0,1а„ при п > / таковы, что

1 2 ал ао am — = —I—- Н—-Л-----1- ——

7Г П/ n4 nzm

В третьем параграфе мы явно находим семейство операторов, имеющих эти собственные и нормировочные числа, т.е. указываем q{x) и числа h и Я, а также функции (р(х,Х) и ф(х,Х). Таким образом, мы находим некоторое семейство операторов, изоспектральных оператору -у" = Ху,у'(0) = г/'(7г) = 0.

Вторая глава диссертации посвящена доказательству формул разложения по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля на всей вещественной прямой, потенциалы которых представимы суммой экспонент с чисто мнимым аргументом, а также решению уравнения Кортевега-де Фриза с начальным потенциалом вида сег7Ж, где с £ С, 7 > 0.

Несамосопряжённые дифференциальные операторы с почти-периодическими коэффициентами в настоящее время интенсивно изучаются. М.Г. Гасымов [14] исследовал спектр и разложение по собственным функциям оператора с периодическим потенциалом, представи-мым суммой абсолютно сходящегося ряда по экспонентам егпх.

В работе М.Г. Гасымова и А.Д. Оруджева [15] исследуется в пространстве оо;+оо) оператор L, порождённый дифференциальт—1 ным выражением 1{у) = (—i)my^(x) + £ рр(х)у^ (х) с коэффици

QQ . ентами рр{х) = £ P/3,nelSnX; /3 = 0,ra — 2. В [15] предполагалось, что

71= 1 т—2 оо ряды £ £ \Pp,n\Sn сходятся и р{д'(х),/3 = 0,т — 2 являются рав

3=0 п= 1 номерными почти-периодическими функциями, а М = {sn}n=T^ — счётное дискретное множество положительных чисел, замкнутое относительно сложения.

В [15] авторы доказали, что спектр оператора L является чисто непрерывным и заполняет полуось [0; +оо) при чётных т и всю вещественную ось при нечётных т. Для оператора L чётного порядка на непрерывном спектре могут быть спектральные особенности первого порядка, которые обязательно совпадают с числами вида (sn/2)m. Далее исследуется спектральное разложение по собственным функциям оператора L нечётного порядка.

М.Н. Симбирский [16] решил обратную задачу для операторов с почти-периодическими потенциалами, удовлетворяющими условию оо

Е \4n\s~2p(sn) < оо, (0.9) п=1 где функция /), называемая весом, отображает [0; +ос) в [1;+оо) и субмультипликативна (т.е. р(а+(3) < р(а)р(/3) для всех а,/3 > 0). Им было доказано, что уравнение 1{у) = s2y с потенциалом q{x) из этого оо , оо \ класса имеет решение вида Fix, s) = elsx 1 + £ ——£ (fn ae-tSaX , n=l s' a=n ' / в котором числа Lpn^a (n > I; a > n) удовлетворяют неравенству oo oo

E Snl E I<pn,a\p(sa) < oo. n=1 a-n

Для всех п равномерно по х существует предел [16] lim F(x, —s) х s->sn/2 x(s - sn/2), равный KnF(x,sn/2). Числа кп названы набором спектральных данных соответствующего оператора и показано, что между потенциалом и спектральными данными существует взаимно-однозначное соответствие. Обратная задача заключается в восстановлении оператора по его спектральным данным.

В настоящее время имеется ряд работ, посвящённых структуре спектра самосопряжённых операторов с почти-периодическими коэффициентами как в одномерном, так и в многомерном случаях. М.А. Шубин [17] доказал теорему о совпадении спектров в следующей постановке: рассматриваются самосопряжённые операторы в пространствах ^(М") и Б2(МП), полученные замыканием оператоа\<т ров, заданных выражением А = a(x,Dx) = Е flaW^j на Co°(IRn) и Trig(Mn) соответственно. Обозначим через сг(А) спектр первого из них, а через о в{А) — спектр второго. Тогда о [А) = а в (А). Здесь речь идёт лишь о совпадении спектров как подмножеств в К. Характер спектров оператора А в L2(IRn) и в В2(Шп) может быть совершенно различным.

Спектр одномерного оператора с квазипериодическим потенциалом исследован в работе Е.И. Динабурга, Я.Г. Синая [18]. Они доказали, что если q{x) = f(aix,a2x,., а^х) с вещественно-аналитической функцией / и с набором («1, с*2, • • • > N)? удовлетворяющим дио-фантову условию, то вне экспоненциально малых отрезков (которые могут быть лакунами, а могут содержать какую-то часть спектра) оператор А имеет собственные функции типа блоховских функций (с заменой периодичности на квазипериодичность).

Я.Г. Синай [19] методами теории Колмогорова-Арнольда-Мозера рассмотрел разностный одномерный оператор Нд = —А + gV(z) с потенциалом V(z) = cos2tt(ujz + G Z. Предполагается, что константа связи д достаточно мала, а число и достаточно типично, т.е. плохо приближается рациональными числами. При этом доказано, что спектр оператора Нд чисто точечный, а собственные функции экспоненциально убывают.

М.А. Шубин [17] доказал теорему Вейля для многомерного оператора с почти-периодическим потенциалом. В Ь2(Шп) рассматривается оператор вида Р — —Д+д(ж), А — лапласиан, q(x) — веществен-нозначная равномерно почти-периодическая функция на Мп. Введём функцию N(t), являющуюся математическим эквивалентом используемой в физике твёрдого тела "плотности состояний". Именно, пусть G — ограниченная область в Е71 с гладкой границей. Обозначим через \G\ её объём, а через Nc(t) — число собственных значений, не превосходящих t для оператора Р в G с нулевыми условиями Дирихле на границе G. Будем писать, что G —> оо, если область G гомотетично раздувается, так что диаметр её стремится к +оо. Тогда по определению N(t) = lim т4тNc(t). М.А. Шубин

G—>■ оо доказал, что при t —> +00 имеет место асимптотическая формула N(t) = (2ir)-nuntn/2(l + 0{t~1)), где сип — объём шара радиуса 1 в ЕГ.

В статье В.А. Марченко и И.В. Островского [20] были даны постановка и исчерпывающее решение обратной задачи спектрального анализа для вещественного потенциала q из класса Q2 всех 27г-пери-одических комплекснозначных функций на М, принадлежащих пространству Х^2[0;27г]. Для операторов из этого класса ими были введены спектральные данные sn. В несколько ином контексте числа sn возникли в работе В. Гийемина и А. Урибе [21]. Эти авторы указали процедуру, позволяющую по всякой финитной последовательности {т?г}7г=Г53, удовлетворяющей определённым условиям невыро

00 „. жденности, построить потенциал вида q(х) = Е qne х, для котоп=1 рого последовательность спектральных данных удовлетворяет условию 52п = т„.

JI.A. Пастур и В.А. Ткаченко [22] рассмотрели подкласс класса

ОО

Q2, состоящий из функций вида q(x) — Е qneinx■ В [22] доказано, что п—1 если q £ Qt, то уравнение —у" + q(x)y — X2у имеет решение е(ж,А) ( ОО ОО 1 ' \ вида е(х.Х) = е 1 + Е Е V>n а ^е1011 такое, что сходится ряд а~П ' Л + П/г ) —1 °° I I

Е п Е щфпМ- В этой работе также найдены необходимые и доn= 1 а~п ' статочные условия того, чтобы заданная последовательность комплексных чисел была набором спектральных данных оператора с потенциалом q £ а также для оператора с потенциалом

ОО q £ Q\ с дополнительным условием Е \qn\ < 00. В [22] исследованы п= 1 также конечнопараметрические потенциалы q £ Q2+, т.е. потенциалы с финитным набором спектральных данных, и доказано, что множество конечнопараметрических потенциалов плотно в классе Q\ по норме пространства Ь2[0; 2п].

В работах [23] и [24] исследуется спектр одномерного оператора

Шредингера с периодическим комплекснозначным потенциалом.

В статьях Ф.С. Рофе-Бекетова [25] и О.А. Велиева [26] методами теории Флоке исследуется спектр несамосопряжённого дифференциального оператора, порождённого в пространстве L2(—oo; +00) дифференциальным выражением 1(у) = Ро{х)у^ +pi(x)y(n~1) + • ■ •+рп(х)у с периодическими комплексными коэффициентами.

В настоящее время имеется ряд работ, посвящённых структуре спектра самосопряжённых операторов с почти-периодическими коэффициентами как в одномерном, так и в многомерном случаях. В спектральной теории одномерных операторов с предельно-периодическим потенциалом следует назвать работы В.А. Чулаевского [27], С.А. Молчанова, В.А. Чулаевского [28]. В.А. Чулаевский [27] доказал теорему о характере спектра и собственных функциях оператора с предельно-периодическим потенциалом (определение см. [29]). С.А. Молчанов и В.А. Чулаевский [28] показали, что существуют предельно-периодические потенциалы с канторовским чисто точечным спектром лебеговой меры 0 и с собственными функциями, убывающими быстрее любой степени при \х\ —>• оо, хотя и не экспоненциально.

Приведём также теорему, доказанную А.Я. Гордоном [30]. Пусть потенциал q таков, что существует последовательность периодических потенциалов qm с периодами Тт —> ос, для которой точная верхняя грань функции |q(x) — qm( ж) J по отрезку [—2Тт',2,Тт\ не превосходит ст~Тт. Тогда оператор L не имеет точечного спектра.

Уравнение Кортевега-де Фриза — это одна из универсальных математических моделей, описывающих многие физические задачи о нелинейных волнах, и было известно ещё в позапрошлом веке. Уже тогда было установлено, что это уравнение имеет замечательные локализованные точные решения — солитоны. Однако только в 1967 г. Гарднер, Грин, Краскал и Миура [31] сделали важное математическое открытие — обнаружили связь уравнения КдФ с уравнением Штурма-Лиувилля на прямой и открыли метод точного решения некоторых нелинейных уравнений с частными производными, получивший в отечественной литературе название "метод обратной задачи рассеяния". В истории метода важной вехой было появление в 1974 г. статьи М. Абловица, Д. Каупа, А. Ньюэлла и X. Сигура [32]. В 80-е годы появились монографии [33, 34, 35, 36].

В классе почти-периодических потенциалов выделяется важный подкласс — конечнозонные потенциалы (определение см. Б.М. Левитан [13]). Непериодические конечнозонные потенциалы впервые были рассмотрены Н.И. Ахиезером [37]. Он ограничился случаем чётных потенциалов. Как выяснилось позже, для метода Ахиезера чётность потенциала несущественна. На это обстоятельство впервые обратили внимание А.Р. Итс и В.Б. Матвеев [38], которые вывели для конечнозонных потенциалов явную формулу; см. также Б.А. Дубровин, В.Б. Матвеев, С.П. Новиков [39] и Дейт, Танака [40].

Другой подход к теории конечнозонных потенциалов предложил С.П. Новиков [41]. Его подход основан на установленном ранее Гарднером [42] и, независимо от него, В.Е. Захаровым и Л.Д. Фаддее-вым [43] том факте, что уравнение Кортевега-де Фриза порождает вполне интегрируемую гамильтонову систему. Основываясь на этом, С.П. Новиков показывает, что каждый конечнозонный потенциал, а также решение уравнения Кортевега-де Фриза и любого из высших его аналогов при начальном конечнозонном потенциале есть квазипериодическая функция. Отметим, что квазипериодичность по времени решения уравнения Кортевега-де Фриза и любого из высших его аналогов в случае конечнозонной периодической начальной функции независимо от С.П. Новикова была доказана также Лэк-сом [44, 45]. Как и С.П. Новиков, Лэкс отправляется от теоремы Гарднера-Захарова-Фаддеева.

Важный результат в исследованиях уравнения КдФ с комплексной периодической начальной функцией был сделан М.Г. Гасымовым [14], \ 00 который для операторов с потенциалами вида q(x) = Е qnemx в пред

71 = 1 I I положении, что Е Щп\ < ввел обобщенные нормировочные числа п—\ кп и установил, что функция q(x,t), образованная методом обратной задачи по последовательности Kn(t) — кп exp(4(in/2)3£), будет периодическим решением уравнения Кортевега-де Фриза с начальным условием д(ж, 0) = q(x).

В работе М.Н. Симбирского [16] исследована разрешимость следующей задачи Коши: щ + 6иих - иххх = 0; (0.10) гфс,0) = ф), (0.11) где начальный потенциал q{x) удовлетворяет условию (0.9) для некоторого веса р. Метод решения задачи заключается в следующем:

1) по начальному потенциалу определяются спектральные данные, т.е. решается прямая задача;

2) определяются числа кп(£) =

3) по числам «„(£) как по спектральным данным определяется потенциал т.е. решается обратная задача.

М.Н. Симбирский доказал [16], что если на некотором интервале (fo;fi)j содержащем нуль, числа кп(£) удовлетворяют определённым условиям, то задача (O.lO)-(O.ll) имеет единственное решение в области М х (£о;6) по переменным Этим решением будет функция q(x,£). Там же описан метод решения обратной задачи.

Сформулируем теперь основные результаты второй главы нашей работы. Четвёртый параграф посвящён исследованию разложения по собственным функциям дифференциального оператора L, порождённого дифференциальным выражением 1{у) = — у" -\-q(x)y в пространстве оо; +оо) в предположении, что потенциал имеет вид q(x) = оо Е qnelSnX. Оператор L не является самосопряжённым и будет самоп= 1 сопряжённым только в тривиальном случае q{x) = 0. Обозначим мнооо жество {5?г}п=г^ через М. Введём функцию Ф(в) = / f(t)F(t,s)dt. оо

Будем предполагать, что множество М показателей Фурье потенциала q{x) удовлетворяет следующим условиям: а) М — счётное дискретное множество положительных чисел, замкнутое относительно сложения и упорядоченное по возрастанию: 0 < si < 52 < S3 < '•• < sn < • • пусть minAf = 7; b) для некоторых фиксированных натуральных d и к (d < к) и для всех п £ N справедливо двойное неравенство dN((n - 1)7; 717] < N(nj; (п + 1)7] < kN((n - 1)7; 717], где N(A; В] — число элементов множества М в полуинтервале (А; В]. Теорема 2.1. Пусть функция /(ж) определена и суммируема на всей вещественной оси и пусть |/(s)| < Cie~6l's'; где Ь\ >

Пусть \qn\ < const n-1~b^lnd, где b = max(6b + 1. Тогда существует возрастающая последовательность положительных чисел {o~n}n=i^, стремящаяся к бесконечности и удовлетворяющая условию сгп+1 < constап, такая, что

-I Сп f(x) = — Urn V.p. / 4>(s)F(x,-s)ds, (0.12) причём интеграл в (0.12) равно сходящийся с интегралом в формуле обращения преобразования Фуръе.

В предположении, что для считающей функции множества М справедливо неравенство N(0; R] < AeaR, аналогично доказывается Теорема 2.2. Пусть функция f(x) определена и суммируема на всей вещественной оси и пусть |/(s)| < C\e~hl^, где Ь\ > у. оо

Пусть коэффициенты qn в разложении q(x) = Е qnelSnX таковы, п= 1 что сходится ряд £ Vln\Sn2ehSn> г<^е Ъ — max(6i, —) + 1.

71—1 7

Тогда существует возрастающая последовательность положительных чисел {crn}„=r^; Сп ► +оо, такая, что

М - J ${s)F(x,-s)ds, (0.13)

-<тп причём интеграл в (0.13) равно сходящийся с интегралом в формуле обращения преобразования Фуръе.

Для потенциалов, являющихся конечными суммами экспонент, результат теоремы 2.1 можно существенно уточнить, ослабив ограничение на убывание f(s) при |s| —> +оо. Через Ь^Ш, Ь) обозначим класс всех измеримых по Лебегу на Ж комплекснозначных функций u(s), для которых sup |u(s)(l -f \s\)b\ < +оо. еж

Теорема 2.3. Пусть потенциал q является конечной суммой экспонент, а именно q(x) = £ с/ег7'ж с различными положительными показателями 7i, 72, • • •, 7/0 причём максимальное число линейно независимых над полем Q показателей равно к.

Пусть функция f(x) определена и суммируема на всей вещественной оси и / Е LooOMi) с некоторым Ь\ > к. Тогда существует строго возрастающая последовательность положительных чисел {<Зп}п=Т^> имеющая асимптотику ап = nj/2 + О(1), такая, что f(x) = ^ Hm V.p. / 0(s)F(x, -s) ds, (0.14) причём интеграл в (0.14) равносходящийся с интегралом в формуле обращения преобразования Фуръе.

Вторая теорема пятого параграфа относится к тому случаю, когда базис показателей Фурье потенциала состоит из двух элементов, один из которых — единица, а другой — произвольное алгебраическое число.

Теорема 2.4. Пусть оператор —-£2+ ч{х) на всей прям°й имеет потенциал вида q(x) — с\егх + c<ie%0LX, где ci,c2 — комплексны, а > 1 — алгебраическое число степени I > 2, и пусть f(x) определена и суммируема на всей прямой и такова, что |/(s)| < С\{1 + где hi > 4. Тогда sn/4+sn+1/4 —HmV.p. J 0(s)F(x,-s)ds, (0.15)

-sn/4-sn+i/4 причём интеграл в (0.15) равно сходящийся с интегралом в формуле обращения преобразования Фурье.

Шестой параграф посвящён решению задачи Коши

0.16) щ + биих - иххх = 0; и(х, 0) = сег1Х,

0.17) где с Е С, 7 > 0.

Основной результат этого параграфа содержится в следующей теореме:

Теорема 2.5. Решение задачи (0.16)-(0.17) даётся формулой и(х,£) =

I Q

2тг7^/з —оо f 00 / /( оо \ 1*1 г

4 с

XJi Л

- е--) / ) dr где 1((3) = t=—ix

Ас t) dt Р , , X \ f D •

3273 У Bl v 31/3 V о w тг ^ / г \ /Ai I-L^l dt з2/3 о

З1/3'

Ai

Bi з1/3

Р +

З1/3

0.18)

Л - — (3~5//бг - 3"2/Зг + З-1/3 + З-1/6), 2

0 = -(3"4/Зг + 3~7//бг + З"5/6 - 3~2/3).

Все основные результаты работы опубликованы в [48, 49, 50]. Автор глубоко признателен своему научному руководителю академику РАН, профессору В.А. Садовничему за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку.

1. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т.1.М., ИЛ., 1960.

2. Александрян Р.А., Березанский Ю.М., Ильин В.А., Костюченко А.Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными. — В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными. М., Наука, 1970, с.З — 35.

3. Дородницын А.А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка. — УМН, 1952, т.7, №6, с.З96.

4. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора 2-го порядка. — ДАН СССР, 1953, т.88, с.593 — 596.

5. Гельфанд И.М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. — УМН, 1956, т. 11, №1, с.191 — 198.

6. Дикий Л.А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке. — Изв. АН СССР, серия матем., 1955, т.19, №4, с.187 — 200.

7. Лидский В.В., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций. — Функц. анализ и его при-лож., 1967, т. 1, №2, с.52 — 59.

8. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Формулы следов в случае уравнения Орра-Зоммерфельда. — Изв. АН СССР, серия матем., 1968, т.32, №3, с.633 — 648.

9. Дикий JI.А. Новый способ приближённого вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля. — ДАН СССР, 1957, т.116, №1, с.12 — 14.

10. Шкарин С.А. О способе Гельфанда-Дикого вычисления первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля. — Вестник МГУ, серия матем., мех., 1996, №1, с.39 — 44.

11. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Об одном классе операторов Штурма-Лиувилля и приближённом вычислении первых собственных значений. — Мат. сборник, 1998, т. 189, №1, с. 133 — 148.

12. Подольский В.Е. Весовая дзета-функция и обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля. Дис. канд. физ.-мат. наук. — МГУ им. М.В. Ломоносова, мех.-мат. фак., 1989.

13. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. — М., Наука, 1984.

14. Гасымов М.Г. Спектральный анализ одного класса несамосопряжённых дифференциальных операторов второго порядка. — Функц. анализ и его прилож., 1980, т.14, №1, с.14 — 19.

15. Гасымов М.Г., Оруджев А.Д. О спектральных свойствах одного класса дифференциальных операторов с почти-периодическими коэффициентами и их возмущений. — ДАН СССР, 1986, т.287, №4, с.777 — 781.

16. Simbirskij М. Inverse Problem for the Sturm-Liouville Operator with Almost-Periodic Potential Having Only Positive Fourier Exponents. — Advances in soviet mathematics, 1992, v.11, p.21 — 38.

17. Шубин M.A. Теорема Вейля для оператора Шредингера с почти-периодическим потенциалом. — Вестник МГУ, серия матем., мех., 1976, т.31, №2, с.84 — 88.

18. Динабург Е.И., Синай Я.Г. Об одномерном уравнении Шрёдин-гера с квазипериодическим потенциалом. — Функц. анализ и его прилож., 1975, т.9, №4, с.8 — 21.

19. Sinai Ja.G. Anderson localisation for one dimensional difference Schrodinger operator with quasiperiodic potential. — J. Statist. Phys., 1987, v.46, №5/6, p.861 — 909.

20. Марченко В.А., Островский И.В. Характеристика спектра оператора Хилла. — Мат. сборник, 1975, т.97, №4, с.540 — 606.

21. Guillemin V., Uribe A. Hardy functions and inverse spectral method.Comm. in Part. Differ. Equat., 1983, v.8(13), p.1455 — 1474.

22. Пастур JI.А., Ткаченко В.А. Обратная задача для одного класса одномерных операторов Шредингера с комплексным периодическим потенциалом. — Известия АН СССР, серия матем., 1990, т.54, №6, с. 1252 — 1269.

23. Пастур Л.А., Ткаченко В.А. О геометрии спектра одномерного оператора Шредингера с периодическим комплекснозначным потенциалом. — Мат. заметки, 1991, т.50, №4, с.88 — 95.

24. Ткаченко В.А. К спектральному анализу одномерного оператора Шредингера с периодическим комплекснозначным потенциалом.ДАН СССР, 1964, т.155, №2, с.289 — 291.

25. Рофе-Бекетов Ф.С. О спектре несамосопряжённых дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами. — ДАН СССР, 1963, т.152, №6, с.1312 — 1315.

26. Велиев О.А. О спектре и спектральных особенностях дифференциальных операторов с периодическими комплекснозначными коэффициентами. — Дифференциальные уравнения, 1983, т. 19, №8, с.1316 — 1324.

27. Чулаевский В.А. О возмущениях оператора Шредингера с периодическим потенциалом. — УМН, 1981, т.36, №5, с.203 — 204.

28. Молчанов С.А., Чулаевский В.А. Структура спектра лакунарно-предельно-периодического оператора Шрёдингера. — Функц. анализ и его прилож., 1984, т.18, №4, с.90 — 91.

29. Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. — В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1989, т.64.

30. Гордон А.Я. О точечном спектре одномерного оператора Шрёдингера. — УМН, 1976, т.31, №4, с.257 — 258.

31. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation. — Phys. Rev. Lett., 1967, v.19, p.1095 — 1097.

32. Ablowitz M.J., Kayp D.J., Newell A.C., Segur H. The inverse scattering transform-Fouriers analysis for nonlinear problems. — Studia App. Math., 1974, v.53, №4, p.249 — 315.

33. Захаров B.E., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. — М., Наука, 1980.

34. Лэм Дж. Элементы теории солитонов. — М., Мир, 1983.

35. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. — М., Мир, 1985.

36. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М., Мир, 1987.

37. Ахиезер Н.И. Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов. — ДАН СССР, 1961, т.141, №2, с.262 — 266.

38. Итс А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шредингера с конечнозон-ным спектром и N-солитонные решения уравнения КдФ. — Теор. и мат. физика, 1975, т.23, №1, с.51 — 68.

39. Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза. — УМН, 1976, т.187, №1, с.55 — 136.

40. Date Е., Tanaka S. Periodic Multi-Soliton Solutions of Korteweg-de Vries Equation and Toda Lattice. — Suppl. of the Progress of Theoretical Ph., 1976, v.59, p.107 — 125.

41. Новиков С.П. Периодическая задача КдФ. I. — Функц. анализ и его прилож., 1974, т.8, №3, с.54 — 66.

42. Gardner C.S. Kortewege-de Vries equation and generalisation. IV: The Kortewege-de Vries equation as a Hamiltonian System. — J. Math. Phys., 1971, v.12, p.1548 — 1551.

43. Захаров B.E., Фаддеев Л.Д. Уравнение Кортевега-де Фриза — вполне интегрируемая гамильтонова система. — Функц. анализ и его прилож., 1971, т.5, №4, с. 18 — 27.

44. Lax P. Periodic solutions of the KdV equation. — Comm. Pure Appl. Math., 1975, v.28, p.141 — 188.

45. Lax P. Almost periodic solutions of the KdV equation. — SCAM Revue, 1976.

46. Isaacson E.L., Trubowitz E. The Inverse Sturm-Liouville Problem. I.Comm. Pure Appl. Math., 1983, v.36, p.767 — 783.

47. Фельдман Н.И. Приближения алгебраических чисел. — М., Изд-во МГУ, 1981.Работы автора по теме диссертации.

48. Андрианов А.Ю. Описание переходных функций обратной задачи для одного класса операторов Штурма-Лиувилля. — Math-ematica Montisnigri, 1997, v.8, p.5 — 14.

49. Андрианов А.Ю. Спектральные теоремы для операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — экспоненциальными суммами. — Mathematica Montisnigri, 2001, v. 13, p.l — 21.

50. Андрианов А.Ю. Спектральная теорема для операторов Штур-ма-Лиувилля с потенциалами — конечными суммами экспонент.Дифференциальные уравнения, 2001, т.37, №8, с. 1028 — 1040.