Вопросы разрешимости некоторых нелинейных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Исследование спектра Фучика с помощью неявного функционала.

1.1. Классическая задача о спектре Фучика.

1.1.1. Введение.

1.1.2. Постановка задачи. Построение неявного функционала . 10 1.1.3. О критических точках и критических значениях неявного функционала.

1.1.4. О множестве меньших значений неявного функционала

1.1.5. Условия Пале - Смейла.

1.1.6. Деформационная лемма.

1.1.7. Основные утверждения.

1.1.8. О множествах меньших значений функционала Х{и)

1.1.9. Пример.

1.2. Исследование спектра задачи с нелинейным вхождением параметра в весовую функцию.

1.2.1. Построение неявного функционала.

1.2.2. О критических точках и критических значениях функционала Х{и).

1.2.3. Вспомогательные утверждения.

1.2.4. Основные утверждения.

1.2.5. Пример.

1.3. Исследование спектра Фучика задачи с весовыми функциями

Глава 2. О разрешимости в целом квазилинейного гиперболического уравнения типа Кирхгофа с подчинёнными членами.

2.1. Введение. Формулировка основной теоремы.

2.2. Априорные оценки первого порядка.

2.3. Априорные оценки второго порядка.

2.4. Доказательство основной теоремы.

2.5. Пример.

Глава 3. Неограниченность решений краевых задач с нелокальными коэффициентами.

3.1. Введение.

3.2. Вспомогательные предложения о дифференциальных неравенствах.

3.3. Основные теоремы.

3.4. Доказательство основных теорем.

3.5. Примеры.

3.6. Гиперболическая задача.

3.7. Примеры и контрпример.

Область применения линейных моделей для описания сложных реальных физических процессов часто бывает весьма ограничена и адекватный подход к их изучению приводит к необходимости рассмотрения краевых и начально -краевых задач математической физики в нелинейной постановке. Тематика диссертации охватывает вопросы теории нелинейных краевых задач, впервые рассмотренные чешским математиком С. Фучиком и названные в этой связи задачами о спектре Фучика. В последние годы большой интерес вызывают также проблемы разрешимости или отсутствия решений в целом нелинейных краевых задач. В диссертации эти вопросы поставлены для нелинейных эволюционных уравнений типа Кирхгофа. Несмотря на то, что в последнее время появилось большое число работ в области теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, решение перечисленных выше проблем ещё далеко от завершения, что указывает на актуальность тематики диссертации.

Целью настоящей работы является разработка методики исследований и получение новых результатов в следующих направлениях:

- расширение спектрального множества задачи о спектре Фучика оператора Лапласа;

- обобщение результатов на случай ^лапласиана и для нелинейных операторов с переменными коэффициентами;

- доказательство существования и единственности решения смешанной задачи для нелинейного уравнения типа Кирхгофа с подчинёнными членами;

- вывод достаточных условий неограниченности решений смешанной задачи для нелинейного вырождающегося эволюционного уравнения типа Кирхгофа.

В работе получены следующие результаты:

1. Предложен подход к исследованию спектра Фучика в многомерном случае, основанный на интерпретации спектрального параметра как специальным образом построенного (неявно) функционала. При этом показано, что гомотопический тип множества меньших значений этого функционала является функцией точки резольвентного множества, что позволяет представить множество значений спектрального параметра в виде бифуркационной диаграммы.

2. Показано, что множество точек спектра Фучика оператора Лапласа может быть расширено по сравнению с известным ранее.

3. Получены аналогичные результаты для задачи о спектре Фучика р-лапласиана, для задачи с нелинейным вхождением спектрального параметра в весовую функцию и т.п.

4. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи для уравнения Кирхгофа с подчинёнными членами.

5. Получено базовое неравенство, позволяющее установить априорные оценки норм решений смешанной задачи для эволюционного уравнения типа Кирхгофа. Эти оценки используются для доказательства неограниченности решений.

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер и представляют собой дальнейшую разработку некоторых направлений теории нелинейных задач математической физики. В качестве практических приложений результаты работы могут быть использованы при проектировании и расчёте конструкции подвесных мостов, а также в задачах о колебании эластичных струн и мембран.

Основные результаты диссертации докладывались на научно -исследовательских семинарах и конференциях: семинаре по дифференциальным уравнениям Московского энергетического института под руководством проф. Ю. А. Дубинского, семинаре по дифференциальным уравнениям факультета ВМК МГУ по руководством проф. И.А. Шишмарёва, семинаре по дифференциальным уравнениям Московского института стали и сплавов под руководством проф. В.А. Треногина, Воронежской зимней математической школе в 1990, 1991, 1993 и 1994 годах, Международной конференции «Differential Equations and Related Topics» посвящённой 100-летию со дня рождения И.Г. Петровского, Москва, 2001.

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора. Содержание диссертации изложено в 3 главах, каждая из которых предваряется кратким обзором известных результатов.

1. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения // М.: Наука. 1988.

2. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики // M.-JL: ГИТТЛ. 1951. т.2.

3. Fucik S. Boundary value problems with jumping nonlinearities // Cas. Pest. Mat. 1976. V.101.P.69-87.

4. Drabek P. Solvability and Bifurcations of Nonlinear Equations // Pitman Research Notes in Mathematics. 1992.

5. Dancer E.N. On the Dirichlet problem for weakly non-linear elliptic partial differential equations // Proc. Roy. Soc. Edinburg. Sect.A. 1977. V.76(A). P.283-300.

6. Gallouet T., Kavian O. Résultats d'existence et de non-existence de solutions pour certains problems demilineaires a l'infini // Ann. Fac. Se. de Toulouse. 1981. V.III. P.201-246.

7. Schechter M. The Fucik spectrum // Indiana Univ. Math. Journal. 1994. V.43. P. 1139—1157.

8. De Figueiredo D.G., Gossez J.P. Sur la première courbe du spectre de Fucik d'un opérateur elliptique // C. R. Acad. Sci. Paris. Série I. 1993. T.316. P.1295-1298.

9. Cuesta M., Gossez J.P. A variational approach to nonresonance with respecte to the Fucik spectrum//Nonlin. Analisys TMA. 1992. V.19. P.487-500.

10. Ruf B. On nonlinear problems with jumping nonlinearities // Ann. Math. Рига Appl. 1981. V.28. P.133-151.

11. Magalhâes C.A. Semilinear elliptic problem with crossing of multiple eigenvalues // Comm. Part. Diff. Eq. 1990. V.15(9). P.1265-1292.

12. Cac N.P. On nontrivial solutions of a Dirichlet problem whose jumping nonlinearity crosses a multiple eigenvalue // J. Diff. Eq. 1989. V.80. P.379-404.

13. Costa D.G., Cuesta M. Existence result for resonance perturbations of the Fucik specrum // Topol. Meth. Nonlin. Analysis. 1996. V.8. P.295-314.

14. Schechter M. Resonance problems with respect to the Fucik spectrum // Transactions Amer. Math. Soc. 2000. V.352. № 9. P.4195-4205.

15. Margulies C.A., Margulies W. An example of the Fucik spectrum // Nonlin. Analisys TMA. 1992. V.29. № 12. P. 1373-1378.

16. Abchir C. Sur le dénombrement des courbes de Fucik // C. R. Acad. Sci. Paris. Série I. 1999. T.328. P.1011-1013.

17. Dancer E.N., Du Y. Competing species equations with diffusion, large interaction and jumping nonlinearities// J. Diff. Equations. 1994. V.114. P.434-475.

18. Krejci P. On solvability of equations of 4th order with jumping nonlinearities //Cas. Pest. Mat. 1983. V.108. P.29-39.

19. Lazer A.C., McKenna P. J. Large amplitude periodic oscillations in suspension bridges // SIAM Rev. 1990. V.32. №4. P.537-578.

20. Покровский И.Л. Исследование спектра Фучика с помощью неявного функционала//ВестникМГТУ. Ест. Науки. 2001. №1. С.3-12.

21. Pokrovski I.L. An approach to Fucik spectrum // Differential Equations and Related Topics. Int. Conf. dedicated to the Centenary Anniversary of Ivan G. Petrovskii. Moscow. 2001. Book of abstracts. P.334-335.

22. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике// М.: Наука. 1988.

23. Треногин В.А. Функциональный анализ // М.: Наука. 1980.

24. Palais R.S. Lusternik Schnirelman theory on Banach manifolds // Topology. 1966. V.5.P.115-132.

25. Скрыпник В.И. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка // Киев: Наукова думка. 1973.

26. Clark D.C. A Variant of the Lusternik Schnirelman theory // Indiana Univ. Math. J. 1972. V.22. P.65-74.

27. Вайнберг M.M. Вариационные методы исследования нелинейных операторов //М.: ГИТТЛ. 1956.

28. Ху С.Ц. Теория гомотопий // М.: Мир. 1964.

29. Cuesta М. On the Fucik Spectrum of the Laplacian and the p-Laplacian // Seminar in Differential Equations. Kvilda. May 29 June 2, 2000. Proceeding of the Seminar. Univ. of West Bohemia in Pilsen. P.65-96.

30. Del Pino M.A., Elgueta M., Manasevich R.F. A homotopic deformation along p of a Leray Schauder degree result and existence for1u'\P~2u') +f(t,x)= 0, и(0) = и(г) = 0, p> 1 //J. Diff. Equations. 1989. V.80. №1. P.l-13.

31. Lindquist P. On the equation v(vw P 2SJuj-Xu P 2U = 0 // Proc. Amer.Math. Soc. 1990. V.109. P. 157-164.

32. Cuesta M., De Figueiredo D., Gossez J.-P. The beginning of the Fucik spectrum for thep-laplacian // J. Diff. Equations. 1999. V.159. P.212-238.

33. Бернштейн C.H. Собр. соч. M.: Изд-во АН СССР. 1960. Т.З.

34. Похожаев С.И. Об одном классе квазилинейных гиперболических уравнений//Матем. сборник. 1975. Т.96(138). №1. С.152-166.

35. Похожаев С.И. Квазилинейные гиперболические уравнения Кирхгофа и законы сохранения // Тр. ин-та/Моск. энерг. ин-т. 1974. Вып. 201. С. 118-126.

36. Похожаев С.И. Об одном квазилинейном гиперболическом уравнении Кирхгофа// Дифф. уравнения. 1985. T.XXI. №1. С.101-108.

37. Покровский И.Л. О разрешимости смешанной задачи для нелинейного уравнения типа Кирхгофа // Тр. ин-та / Моск. энерг. ин-т. 1991. Вып.654. С.55-66.

38. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных задач. М.: Мир. 1972.

39. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970.

40. Fujita Н. On the blowing up of solutions of the Cauchy Problem for ut = Ли + u1+a II Fac. Sc. Univ. Tokyo. Sect. 1. Part. 2. 1966. V.13. P. 109-124.

41. Ball J. Remarks on blow-up and non existence theorems for non linear evolution equations // Quart. J. Math. Oxford. 1977. V.28. P.473-486.

42. Алиев Ф.А. Докл. Акад. наук АзССР. 1987. Т.43. №7. С.6-9.

43. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределёнными системами // М.: Наука. 1987.

44. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П.Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений 1/М.: 1987.

45. Petrovitsch М. Math. Ann. 1901. Bd 54. №3. S.417-436.

46. Чаплыгин С. А. Новый метод приближённого интегрирования дифференциальных уравнений // М.-Л.: ГИТТЛ. 1950.

47. Покровский И.Л. О неограниченности решений начально краевой задачи для вырождающегося нелинейного параболического уравнения // Дифф. уравнения. 2001. Т.37. №6. С.796-799.

48. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения // М.: Мир. 1978.

49. Митидиери Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных // Труды ин-та / МИР АН им. В.А.Стеклова. Т.234. 2001.

50. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка // М.: Мир. 1989.