Применение асимптотических приближений трехмерной теории упругости в динамике пластин и оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



На правах рукописи

БЕРЕЗЙН -Владимир Леонидович

ПРИМЕНЕНИЕ АСйШТСта^ЗСКЖ ПРИБЛИЖЕНИЙ ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 3 ЛИКАМИКЕ ПЛАСТИН й ОБОЛОЧЕК

Специальность 01.02.04 -механика деформируемого твердого тела

... Автореферат,

диссертации на соисканий ученой степени кандидата физико-математических наук

/

Саратов --1925 г:

Работа выложена в Саратовском государственно?,* университете

Научные руководители - д. ф. -м. н.. профессор ¡СоесоЗич Л.Ю. ; ' . д. ф,~м. к... Каплунов, Ю.Л.- .

Официальные оппоненты: д, т. п., профессор Кузнецов Е.Е.;

к. ф.-м. н.. Захаров-.Д.Д.

Ведущая организация: Московский. государственный авиационный Институт (технический-университет).

* ^ л ' л л

Зашита состоится " оШ " СсЮИ^Ь 19Э6г. в / У час на заседании диссертационного совета К 053'. 74.04 при Саратовском государственном университете по адресу: 410025. СаратоЕ,

Астраханская, 83. СГУ, механике-матеглатичаский факультет.

»

С. диссертацией можно ознакомиться в библиотеке" .-Саратовского государственного университета.

Автореферат раз ослан " / $ " ЛЛО-З ■ 1Э55г.

Отзывы на автореферат (2 экз.) просим присылать по адресу; 410026, СаратоЕ, Астраханская. 83, СГУ механико-математический факультет..

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н. -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современнее развитие многих отраслей производства. таких как .'отроител>нал индустрия, авиастроение5 судостроение, машиностроение, приборостроение "требует широкого использования оболочечных конструкций,■ работающих в условиях высоких . давлений, температур и скоростей. Необходимость в высокой надежности работы мааин и механизмов, в существенном снижении материалоемкости . производства определяют высокие требования к точности'расчета конструкций на прочность.

Для технических сооружений-и конструкций большое значение имеет изучение колебательных процессов, происходящих вследствие непрерывного возрастания мощности' и быстроходности машин и механизмов,- увеличения- воздействий .динамических нагрузок на элемента масин и сооружений. -Вместе с тем наблюдается стремление к лучшему использовании, несущей :способности конструкций и уменьшении их веса.

Закономерности .распространения, возмущений з сплошных средах представляет.значительный-интерес для Многих областей науки и техники. Круг явлений з окружающем мире,, которые ■ можно достаточно ' полно описать на* основе волновых представлений, ■чрезвычайно широк.

• .Распространение волн- -в слое и цилиндре, являшихся'.

■ простейаими представителями геометрических' структур, которые объединяются понятием механического волновода, было предметом

■ многочисленных теоретических и экспериментальных- исследований, ведущихся уже более столетия. Однако отсутствие, з течение длительного- времени интереса 'к .исследованию- процесса распространения волк■в слое и: цилиндре в -рамках трехмерной теории упругости в определенной мере было •• связано, с тем. что эффекты, для описания которых было бы недостаточно "приближенных теорий пластин и стержней, не. проявлялись '. в ' практически используемых- элементах конструкций. .За последние десятилетия, однако, ситуация существенно изменилась.. * Появление- новых- ' материалов и разработка способов эффективного, возбуждения -

волнового поля создали условия Для чрезвычайно широкого применения .явления волноводного распространения в ряда сооружений к конструкций. Знание закономерностей распространения волн в изотропных цилиндрах и -пластинах ' является основой для анализа 'и системгтазацик данных, относящихся к практически используемым системам.

Изучение свойств волноводных мод важно также в связи с ' разработкой методики' использования .акустической эмиссии для оценки уровня напряженности элементов конструкций.

Основы теории оболочек заложены трудами В.3.Власова, А.Л.Гольденвейзере. А.К.Лурье, В.Новожилова. Одними из наиболее актуальна вопросов- механики, деформируемого твердого •телз в настоящее .бреия являются вопросы, связанные с расчетом оболочек на динамические' воздействия. Особое место в теории оболочек'' и-пластин занимают задачи нестационарной динамики и, в частности., вопроси связи нестационарного и установившегося процессов

. . Выбор темы диссертации обусловлен необходимостью-исследования волн в тонкостенном цилиндре с целью выявления модельных задач и определения общих' асимптотических подходов, которые можно осуществить' с- помощью теорий и- методов, разработанных А.Л.Гольденвейзером, Ю.Я.Каплуновым, Л.Ю.Коссови-чем и другими авторами и которые могут быть распространены и на случай оболочек более сложной формы.(конусы., оболочки вращения, некруговые цилиндры и др >. когда , дисперсионное уравнение в ■ алгебраической форме вообще не существует.' Также требуется изучить область эффективной применимости более точных, чем классические теории продольных и поперечных колебаний пластин, в связи с их применением к расчетам пластинчатых конструкций. Цель работы: .

- доказать ■■-.возможность полного .описания дисперсии волн в .тонкостенном цилиндре ^ приблменжщи -теориями (каждая из которых имеет свою ограниченную область применимости) в широком диапазоне параметров;

- определить размеры увеличения области применимости двумерных .

теорий колебания пластан при уточнении теорий членами приведенной инерции;

- на примере тонкого кольца исследовать процесс установления колебаний при снятии приложенной нагрузки.

Научная новизна и значение результатов.

1. Дисперсионные кривые для тонкостенной цилиндрической оболочки 'впервые синтезированы при поггоая значительно г\-лее простых . «ем трехмерная теория упругости, аоикптотически приближенных -теорий (теория ¡Сирхгофз-Лява, теория динамического погранслоя. теория высокочастотных длинноволнсзьж к^леоаний:-.

2. Проведена классификация мод цилиндрической оболочки: на основании установления есответетгия между молами плита и мода;,-и цилиндрической оболочки выделены плоские и антиплоские, симматричкые и антисимметричные моды.

3. Предложен коитерий оценки точности аппроксикаци" *жд трехмерной теории упругости шдаци асго.штстически приближенных теорий.

4. Установлено, что моды, определенные по теорий коротковолновых колебаний, в окрестностях частот среза совпадают с ждает найденными по теории высокочастотных длинноволновых колебаний.

'•если з ней не учитквать члены, отвечающие за кривизну оболочки. _

5. Получено гашение задачи колебания • пластинчатой конструкции, состоящей из "Т"-образного жесткого соединения тонкой полоса с бесконечной .пластиной,.- нзрружённой на свободном торце полосы равномерно рапределенной нагрузкой. • .

6. Разработан асимптотический • метод исследования процесса установления стационарных. колебаний пластин. -. Достоверность результатов обеспечизаетгя. строгость» применения асимптотически приближенных теорий и автолов; подтзерздается непротиворечивостью полученных результатов/ и/ их сравнением с известньггл работами других заторов;- физическими соображениями; переходом, полученных асиоттотмчеоких решений к; известным асимптотикам. .

Практическое значение работа состоит з расширении области

действия асимптотических методой исследования волновых процессов в оболочках, пластинах ■ и пластинчатых■ конструкциях. Представленные методы необходимы для -расчета тонкостенных конструкций на прочность в авиастроении, судостроении и -других отраслях '-промышленности при проектировании- конструкций, подверженных - быетрбизкеняшимся. во времени воздействиям. Разработанные асимптотические методы решения представленных в работе задач позволят•решить актуальный для практики расчета конструкций на . прочность вопрос• создания ' надежных численно-аналитических методов исследования ■ динамического' напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочек. апробация работа. Материалы диссертации докладывались на III Международной конференции " Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте" (С.-Петербург, 1995). I Международной школе по проблемам механики сплоеных сред: (Саратов, 1994), научных сешнарах кафедры математической теории упругости к биомеханики Саратовского университета (1S33-1S95). Публикации.- По теме диссертации опубликовано 6 работ:. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, ч четырех глав, заключения и списка литературы (ill наименований); содержит 117 листов текста и 40 рисунок. -

' СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор . исследований волновых процессов деформации в оболочках и пластинах, сформулирована тема и цель диссертации, дано краткое описание работы-по главам.

."В тлаве i приведены трехмерные и двумерные теории, которые могут применяться .при расчете колеиакий полого цилиндра и пластины,- у которых - толеинз много меньше их характерных размеров. Б диссертации будет рассматриваться процесс гармонических колебаний пластинчатой или оболочечной конструкции с частотой ■ 8 'приводимых уравнениях компоненты НДС прг'дставлягзтся в-виде - а"ехр( lú>0¿>-,' причем в дальнейшем индекс "»и. -хак и 15юкитезгь.ехр(1е>01>. опускаотся.

Будем использовать следующие обозначения: К - радиус срединной поверхности цилиндра, 2Л ^ его толщина, Ё - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона, р - плотность материала. п=п/К -'ма.ий параметр, с2=(£7[ ^ - скорость распространения

волны сдвига по трехмерной теории. {.1-уг>£ч /2

екоростиь распространения еолкы растяжения по двумерной теории;

1 с

'В первом разделе этой главы ставится задача об определении дисперсионных кривых по трехмерной теории упругости в цилиндрической системе координат (г, (р. х)

При рассмотрении приближенных теорий будет использоваться ортогональная система: координат, связанная с меридианами и параллелями на срединной поверхности оболочки. Через л- обозначим ось координат вдоль образующей; через г -. ось. нормальную к срединной поверхности; через ф - угол в окружном направлении.

А.Л.Гольденвейзером на базе уравнений классической дв'■•мерной теории было установлено, что при фиксированном, ш и при возрастании <э0 увеличивается изменяемость НДС оболочки, совершающей установившиеся колебания под действием краевой нагрузки/ меняющейся по закону ехр( га^т-ишр). А также показано, что существует критические значения частот, выше которых решение . 'задачи' вынужденных колебаний : становится . разноизменяюпдаюя: . , изменяемость ..в меридиональном направлении ' оказывается существенно больше, чем : з ' направлении параллелей. Вследствие, этого при достаточно болыних значениях, частот &>0 двумерная классическая теория оболочек становится нельме нимой. Поэтому для описания диспе|зсионннх кривых при частотах. -исключающих использование классической двумерной теории,- используются уравнения.. . приведенные во 2-ом и 4-ом разделах, теорий динамического. псгранслоя ■•. и ' высокочастотных длинноволновых колебаний, соответственно.'

Под динамическим погранслоем • понимается разноизменязссееся ЯЛС. в которое наряду с затухающими входят и осцилируицие составляющие.;,

Линамический погранслой сутцестзует двух типов;-

- динамический плоский погранслой, у - которого ' параметры НДС. разбитые на две группы О = (<? , с> , с , о й . v 4 .и

_ XX гх ~' ж

Р - (г? •. .• объединяется в совокупность S слэду»акк ОбрвЗОМ: S - С

- динамический акткплоский -погранслой. у которого совокупность. всех' параметров S подчиняется соотношению 5 - Рг?ч-р5.'.. Здесь через р и обозначены показатели изменяемости по переменным tp и (х-, г1 соответственно. -

Теория высокочастотных .длинноволновых колебаний,' предложенная. Ю.Д.Каплуковым, описывает, дисперсионные • кривые, ь окрестностях ' частот тсаинккх резонансов..' Л, по значений которых . моды подразделяется на два типа. Для мод первого и второго типа аначения.. частот ' толщинных резокаксов определяется, соответственно,, следующим образом

А - р т / (2к) .. т - 1,2.3________(1)

А ~ р.ш у 2 , . и =1,2.3,... . ,С2>

. Б последних двух разделах этой главк приводятся уравнения продольных к - поперечнш: колебаний пластик, в. которых используются члены приведенной инерции для уточнения классической теории.

В главе 2 сиктезируктся дисперсионные кривые в рамках трехмерной теории .'упругосте с использованием приближенных теорий.

В первом разделе данной главы, переходя к. безразмерным ■ координатам С к безразмерной частоте и>

£ = аr/R с - r/R ■ , о - 0>0R/C, , (3>

для'уравнения колебаний

: у2* + fe"2 grad civ v ♦ a>2 v = 0. записано решение через потенциальные Функции Ф v Н

v~aradi!' + rot К , ф=/(£)со5п<рссз%£ , И zq ("Ocosrz^sxruci,

ф Ф

ffrsgrCC^simdJs.insri . Иx=qхСCisimcpcasxi- . <4;

где функции (/. и (г^, суть общее решение уравнений Бесселя п и п+1 порядков соответственно:

Зесееля 1 (и),

IX **

А,. В, В .

ЧС^Аг-ХаО+ВЧ <ас>. <7 'СО-А 2 (££>'+ В V (<ЗС>. <7 =-<7

п. -п ^ ' х ^ х п. ^^ х п. г '/в 1

(5)

¡десь 2"л(у). ^(у> - соответственно функции I (у), при у > 0 иди I (у>, К (у> при у < 0. Д. Д - постоянные интегрироания.

Лисперсионное уравнение получится при удовлетворении решения. Ч)-(5) нулевым граничным условиям относитесь' о . напряжений на яйцевых поверхностях

' - 0 , . 1 < (г.у) < 5' .. (6)

! ,1' ■

зния для элементов С . . ь

можно найти в [ 61.

заражения _________________ _

На рис.1 представлены : результата расчетоз корней дисперсионного уравнения (6) -при п. = 1, г? = 0.01., у ••= 0.3. а абсолотаой погрелжостью Ю-3,'где .акала для толкового числа и частота задана соотношениями: : .

X = 77 X . 2 П & .

X

1.5

ОЗ

// ^ I

/ у л ■ /г / ! ! ■ 7 7

4.У 2/ / / 'У / ц ' 1 \

. 1/ V . . - .:______ ' \ ' \ V

1

3

О

2

Рнс!.

Во втором разделе данной главы, вводя безразмерные координата и частоту по Формулам -(3), -исключая з уравнениях колебания оболочки напряжения, используя закон Рука и представляя зектср

перекешения в виде

v = VC£> . т

получим дисперсионные уравнения для плоских мод

« /cha sh/í - В xza.zcr\J3 sha = 0 , (8)

£ С Е С £ £

Р у^сгф sha - a xzj32cha. sh0 = 0 , (9)

С I С £ £

и для антиплоских мод - -

sh0E » 0 . - 0 ,. (Í0)

где ■ ' - •

%1=Х2 + Г1г. cc-xl - kra>2, Вг=х\ - Ú)2. - (¿>'г/2 .

Получаемые решения (моды) можно, так же разделить на две рруппы: моды первой группы обладают свойствами симметрии относительно срединной поверхности оболочки, в то время как моды второй группы - свойствами антисимметрии Í63. Эта классификация мод колебаний связана "с тем, что каждой из них в широком диапазоне частот могут быть поставлены в соответствие симметричные" и антисимметричные частные решения плоской и антаплоской задач теории упругости для слоя с прямолинейными границами.

. Дисперсионные уравнения (8) и -первое из (10) описывает симметричные коротково-здов^е колебания, а дисперсионные уравнения <9> и второе из (10> - антисимметричные.

Для выделения отдельных мод колебаний будут использоваться . обозначения е форме ХУЛ < Х-(Р.А), где Р - плоская, А антиплоская; Y=(S.А). S - симметричная, А ~ антисимметричная;

¿=ТТб - порядковый-номер моды > ранее введенные в СИ,-

В третьем, разделе -рассматриваемой г.лвы таким же способом как и предыдущем разделе получаем дисперсионное уравнение длинноволновых колебаний в окрестности нулевой частоты . (моды P.A.Í, A.S.2. P.S. 3), описываемых при--помощи теории оболочек Кирхгофа-Лява, которое запишем в форме определителя

DtJ | = 0 , i,j . -(115-

Выражения для элементов ,D ' можно найти в [63.

Асимптотический анализ корней дисперсионного уравнения (11> показывает, что прих » п связь между еолновым числом х и частотой ©такая же. как и.е теории коротковолновых колебаний при малых значениях волнового числа ¿г. •

. В четвертом разделе аналогично получаем дисперсионные соотношения,' справедливые в. окрестностях, частот толщинных резонансов. Л, задаваемых соотношениями. (1) и. (2),' т.е. дисперсионные уравнения, полученные по теории высокочастотных длинноволновых- колебаний для антисимметричных мод имеют следующий вид:'

- АА „ т я ---- па , Л = --

- ВЛ ЧдЛ к

х2 * У1/гу(гБ)'- пг , Л = (т~0.5) гг , (13)

где

Р = +\2Ак.<Л.ф.А^/А -¿Ц ¡0.5+(2ксЬдкЛ>/л} . '

£ = 0.25+^Э£С1сйЛ)/Л . ¿а = [я2 - лг]г?"2 V И = Г2-е^Д^|а¡Лх~А^кпглд&л]/Л -[л^-М^лЯ + ¿О2]- .

Хг = —тт;-г;--- - л = --- , ' (12)

,-2

- А =3/4 , А = 15/4 . Л = 1— (4кУ

х t г

В симметричном случае выражения для /корней получаем те (12)-(13), производя следуящие замены:

- в (12) : 1) т на т-0.5. 2) tg на (rctg);

- в (13) : 1) яг-0.5 на те. 2) ctg. на (-tg); . Погрешность аппроксимации. : приближенными теориями

распространяющихся по оболочке мод колебаний описывается соотношением'

[ 1 - ехр[ 1Ах? ]| . Ах = j* - х\

- корень дисперсионного уравнения (5)

где х корень дисперсионного урзв'нения (о) . а х - корень, одного из дисперсионных уравнений (8)-(13).

Требуя, чтобы на расстоянии порядка характерного размера оболочки - Л°) <? « 1, получим следущие ограничения на набег фаз» рэшения: Ах «1- .Таким образом, ошибку аппроксимации нужно 'определять по . абсолютной .погрешности вычислений корня

дисперсионных уравнений.

Сопоставление властей применимости рассматриваемых теорий показывает. что для всех мод. кроме-изгибной моды Р.А.1, -область применимости теории, коротковолновых колебаний имеет пересечение с областями применимости • теории Кирх'гсфа-Лява и теории высокочастотных длинноволновых колебаний. Интервал согласования этих теорий имеет вид:

п « X « п'г/3 Сп * 0) ., 1 « ДГ « (п = 0/ .

Описание пра:ггической "реал!зации описанного выше : подхода приводится в последнем разделе. В нем осуществляется синтез дисперсионных' .кривых . круговой цилиндрической оболочки с . относительной полутолщиной г? = 0.01, изготовленной из материала, с коэффициентом- V = .0.3 при колебаниях с одной волной вдоль параллели ( п = 1 > И при их отсутствии ( п - *0 ). ■ ' На рис.2-4 и рис.5-7.изображены крявт.-.х=ж.Ш) и Ах-^хш). соответственно, г де приняты следующие обозначения;д -трехмерная теория колебаний цилиндрической оболочки, а - теория колебаний Кирхлэфа-Лява. * теория . симметричных и

антисимметричных коротковолновых . колебаний, о . - теория коротковолновых колебаний смешанного типа.

На рис.8-10 и рис.11-13 представлены такие же кривые, где применены следующие обозначения; Д - трехмерная теор«ня колебаний цилиндрической оболочки, а - . теория высокочастотных длинноволновых колебаний, • - теория коротковолновых колебаний. 1о - теория высокочастотных длинноволновых колебаний, предложенная В.Л.Бердачевский....я - теория высокочастотных длинноволновых колебаний без учета кривизны'оболочки.

В главе 3 получены трехмерные. дисперсионные уравнения • колебаний-••пластины,. - аналогично тому как ото. сделано для цилиндрической оболочки, но учитывая принятую декартову систему координат, (х,у.г), производя обезразмеривание координат

*■/*-. в = у/Я , С = - П4>

и./ вводя потенциальные , Функции соответствующим образом. Полеченное дисперсионное уравнение содержат соотношения <8-10}.

Переходя к. безразмерным пе|еменнш по Формулам -С 14 >. и

PJL. I

РАЛ

i

ûX ал

as

ь.4

аз

в

\ i

\ Г ^ j >-■

's fxSl

L s

--

U '.is 33 45 as

ш

A.S.2

ЯвеЛ. АЛ2

^У

У

ж

r

ал5 &S23

ùjes

i J

PsiJ.

4 U) S

&S1Î

JL

n,

Il B.7S 145 Ift23 , а

a)

Pes.6.

Р.ЯЗ

РЯЛ

» 7J3

43 ' J

u

■

/

s №

"A

y

« iS S 1£ 18. ÎSJS.M

cD

Pbc.7.

A.A.*

АЖ4

3

7C 2Л

2

LS

1

ОЛ

О

' ' 'г*

/

1

'У

в as i ъз г „ г л AÄ :

- РисА

алса

МО

<Ш»

«мое

áei3 ó

\

X

г

140 170 ISO Рис.11.

130 J) 200

Р.А-5

Р.А.5

% 1Л

ол

У

/ "7

ht аом

OlOU

am

1 LS 2 IS S ЗЛ _ *

лй

■ ftc.9. '

OJWS

/

1S7J7 ISIS ist Л «SS 158J 1Ä2

u>

Рис.12.

1

р.аб

Р.&6

135 %

143 U1 Sl54 «27 .в

■

-Í3S -2Л-. -J.7S л -i

■.. i'Bfcia-..

олвз

Ш42«М> Mtf 1ЯЛМ 2№72Ж1

cD

Рис.1 Л.

. безразмерной- частоте по-формуле (3> и представляя перемещения ,{в виде (7), получим из уравнений продольных колебаний пластан с учетом приведенной .кнеррцив следующее дисперсионное уравнение

X2 =

^-/ф2^^]-^ . Уа . (15)

В1В-уг/(з(1-у)2]", В„=-ВДз. - 5у - у23/(15(1-у>3

Э3=-В1 (-17- + 5bv - ЗЗу2 - 23-»3 + 5'^43/(42и(1-р)г3 .

При

На рис. 14 представлены графики зависимости Ла>, п - О, где - частота определяемая из соотношений (15>, о частота найденная из дисперсионного уравнения (8>

Э.43

Да> е-лз

9.25 0.15 fl.cs -3.05

■/ / 1 1

! / /

У / /

о/ ¿У V

И . 37 Рис. И.

0.« Л(Э

ЙЛ5 025 Й.15

в.05

1

/

/ /

о) / /

У -_ 3

40 СО

Рггс.15.

100

Аналогично получим дисперсионное, уравнение для -поперечных колебаний пластин с учетом приведенной инерции . ;

,г/г „ '

- ы

К= У~3/к.

о/г;

п

Ч15>

Л = (5951-2503V+Э353У 2-4Э01V 3] Л'Л ~г/504ООО .

А0= -1 , /4.,=' <17^ Ж/30 , А,= . (и79-5'13г>+40^гЗ?г.^2/4200

На рис. 15 представлены графики погрешности аппроксимации Ла^ к=(а.ьч-оз30) при п = 0. где о - частота определяемая . из соотнесения Цб>. ©30 - частота" найденная из дисперсионного уравнения (9). На .рис-. 13 и рис.14 цифрами обозначены- кривые в соответствии с параметрами га и к, соответственно.'.

Теории колебания пластан с приведенной инерцией, используеные. ■■"ранее-. был'.'; . применены при решении задачи о колебаниях

- ХБ -

пластинчатой, конструкции, состоящей из двух пластан "а" и "Ь". Горизонтальная бесконечная пластина "а" имеет полутожину Ь.,. Пластина "£>", которая ••жестко прикреплена .к пластине "а" под прямым >тлом,'имеет .подутслишу ' /г и длину I (д,«Л). На бесконечный торец пластины "о-1 приложена нормальная нагрузка <7. равномерно распределенная по нему.

Начало системы, координат выберем ■ на пересечении контактной плоскости и срединной плоскости пластины "£>". при этом перемещения в направлении-оси у в пластине. "Ь" обозначено через и, а в пластине "а" - через ш. " .

Решение рассматриваемой задачи получено в виде.

Ь) =. С 8

1/4

- с4в

и = Г.)соз£?1С + С2з1пй,С

| В^а/к^.-Б;^* | АЛАг/й/к^ . у»1+1 [а+^сгдЯ^ с^-АПуй, эта 1:

= х/1

й = й}£_/сз.

С4 = 1С3

С = у/£, и = а>1./с3.\ п

В главе 4-рассматривается динамическое НДС цилиндрического кольиа талзикой' 23г, радиусом к и длиной 7. (рус. 15) при £«Ь.<а?. подверженного воздействие по внешней цилиндрической • псверхност/ равномерно распределенного статического давления ц которое устанавливается по закону цС и за время О (рис.15). ;

■к -К -

;Г Г

!

Рис.15 . ' Рис.17

Для кольца с такими . разкераш • НДС- южно. определить по теори плоского напряженного состояния, имздагр место :для тонки: пластан, что позволит учесть- в 'рамках •'двушрноЯ теории процесс! распространения волн потолщине ■ кольца в- продольном направлении Исследование процесса установления стационарных колебани

пластин•проведено асимптотическим методом. Б некоторый начальный промежуток времени процесс-деформирования косит нестационарный характер, обусловленный ' .распространением ■ к отражением нестационарных волн в кольце между нагруженной верхней 'и' свободной нижней поверхностями В этом случае проведено' масштабирования времени, в соответствии с временем пробега волной расстояния между лицевыми поверхностями: г„=

Представление решения в виде ¿еидатотичесвих радов по малому параметру г? позволяет построить рекуррентный процесс асимптотического интегрирования, осуществляя который, при использовании преобразования Лапласа, найдены, выражения для изображений"первых трех членов разложения перемещения.

В- получетом решении, первое приближение описывает решение задачи без учета кривизну кольца}' ' т. е. решение -для прямоугольной полосы, учет кривизны кольца производится в следующих приближения-/.

С течением времени, после приложения нагрузки, динамическое НЛС кольца обуславливаете/. только его. .свободными колебаниями. Проведем масштабирование времени в соответствии с периодом колебания кольца, по одномерной теории г'0= с3£/£

Как и ранее, строится гэвый рекуррентный процесс асимптотического интегрирования, при использовании . - которого находятся выражения для изображений первых трех членов разложения перемещения .

В полученном решении первое приближение описывает решение задачи по элементарной теории. • ■

Принята." схема асимптотического решения, задачи является разновидностью метода сращиваемых разложений: здесь граничные условия для второго разложения должны быть выбраны-, в такой одномерной форме, чтобы добиться автоматического сращивания двух типов разложения в некоторой области согласования.;

В последнем разделе четвертой главы - рассмотрен конкретный случай, когда установление статического .' давления :<7о осуществляется по закону <7СО-'= ■? (!'¿/¿?> и требуется определить вкброперегрузку кольца.

На рис! 18-1Э представлены графики перегрузки кольца в безразмерной форме (радиус кольца 1.0 м„ полутолщина 0.01 м. длина - 0.0001 м, давление ц = 1.0 ) относительно безразмерной

л

временной переменной 'г для двух значений времени О СП = 5»г 32* г ^ —1

г'*- - время прохождения фронтом

здесь

расстояния, равного полутолщине).

волны ' растяжения

0.05 -0.01 Ч}М7 -&15

-0.19

-0.25

■.......ч

1 *

—. —^ 1

м 0.2 оЛ Рис.13.

0.4 т- 05

¿о

од $

ол

-0.2

! / ■ , У У

/К

\ I/ А/

\ ¡Г ■ 1 1

з Г. 4

Рас. 19.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ;И ВЫВОД* '

1. Продемонстрировано, что; мода колебаний цилиндрической оболочки как- трехмерного; тела в широком диапазоне изменения частоты колебаний и длины волны можно аппроксижрсвать модами различных., асимптотических приближенных теорий. . Участки дисперсионных кривых, соответствующие длинноволновый! колебаниям,

) описываклоя теорией . "Кирхгофа. -/шва Чв окрестности нулевой частоты) и теорией высокочастотных длинноволновых колебаний (в. окрестностях частот;. среза >, а. участки, соответствующие коротковолновым колебаниям -_ теорией динамического попннслоя (симметричного. антисимметричного м смешанного). При этом в окресноетях; нулевой частоты и частот среза .существует интервалы согласования частот между погашенными теориями. • описывавшими коротковолновые и длинноволновые колебания.

2. " Проведена классификация -'шя " цйлшщзическоЯ оболочки: на ¿снсвании установления соответствия между модами плиты и • модэки

■ цилинд^1ческой оболочки выделены плоские и антиплоские.

симметричные й- антисимметричные моды.

3. Предложен критерй оценки точности ■ аппроксимации ■ мод трехмерной теории упругости модами асиклт^тически пртближлкных теорий. • ■■

4. Установлено, что моды, определенные• по теории • коротковолновых колебаний, в окрестностях частот среза совпадают с модами,

.найденными по теории высокочастотных длинноволновых колебаний, если в ней не учитывать члены, отвечаю®« - за кривизну оболочки. 5; Получено решение задачи колебания пластинчатой конструкции, состоящей из. "Т"-образного жесткого соединения тонкой полосы с бесконечной пластиной, нагруженной на свободном торце полосы равномерно рапределенной нагрузкой. '■

6. Разработан асимптотический ; метод исследования процесса установления стационарных колебаний, пластин на приере круглого тонкого кольца.

7. Решена модельная задача об определении виброперегрузки токого кругового кольца при приложении нагрузки по линейному закону за заданное время.

Основные положения диссертации отражены в работах:

1. Березин В.Л..Каплунов Ю.Д.. Коссович Л.Ю. Дисперсия упругих волн в тонкостенном цилиндре // ИПМ АН СССР. Препринт № 454. - 1990. - 40 с. ."■-'..■

2. Березин В.Л.. Каплунов Ю.Д., Коссович Л.Ю. Дисперсионное уравнение для тонкого цилиндра. - Саратов: Издательство Саратовского университета..1994. - 16 с.

3. Березин В.Л. Колебания Т-образного, соединения пластан // • ••• Межвуз.сб. Механика, дефор. сред. Саратов.- Издательство

Саратовского• университета... 1995. - Вып. 12. - С. .-87-92. •4. ' Березин - В.Л.', Копнин Коссович •'.; Я.Ю. Расчет.,

виброперегрузки подкрепленной цилиндрической оболочки при ударном/поперечном воздействии на. кольцо . подкрепления /V Тезисы докладов и сообщений 1-ой меяаенародной летней школы "Проблемы механики сплошной среды" 20-24 ' июня 1394. Саратов? Изд-во Саратовского университета. 1995. - С. 6 - 7.

5. Березин В.Л., Косссвич'Л.Ю... Исследование перегрузки тонкого кольца при его динамическом- разгруженйи. //. Тезисы ' докладов 3-ей межденародйой конференции "Проблемы прочности материалов• и сооружений на транспорте" -.25-25 января-.' 1995.'-С.-Петербург: Изд-в.о СПГУПС. 1S95. - С. 126 - 128.

S. Berezin V. L., Kaplunov . J.f>.. Kc-ssovich L. Ya. Synthesis of the dispersion curves vor a cylindrical shell . on the basis of approximate theories .// J. Sound and Vibration - 19S5. - Vol. IBS'. - 1. - P. 37 - 53.

. Березин В. Л.

Применение асимптотических -приближений трехмерной теории упругости в динамике пластин и оболочек

Заказ ¿Z Подписано к печати 9£ Объем ! печ. лист. Тираж 100 экз.

Типсграфия дадательстаа, СГУ, г.Саратов