Применение и развитие феноменологической f-модели турбулентности при расчетах внутренних течений несжимаемой вязкой жидкости

Чистов, Алексей Леонидович

Применение и развитие феноменологической f-модели турбулентности при расчетах внутренних течений несжимаемой вязкой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Чистов, Алексей Леонидович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Применение и развитие феноменологической f-модели турбулентности при расчетах внутренних течений несжимаемой вязкой жидкости»

Автореферат диссертации на тему "Применение и развитие феноменологической f-модели турбулентности при расчетах внутренних течений несжимаемой вязкой жидкости"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

484ои£э

ЧИСТОВ Алексей Леонидович

ПРИМЕНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ / -МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ДЛЯ РАСЧЁТА ВНУТРЕННИХ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на сои скание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

2 6 МАЙ 2011

4848029

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Павловский Валерий Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор Исаев Сергей Александрович (Санкт-Петербургский Государственный Университет Гражданской Авиации)

докгор физико-математических наук, профессор Мирошин Роман Николаевич (Санкт-Петербургский Государственный Университет)

Центральный Научно-Исследовательский Институт им. акад. А. Н. Крылова (Санкт-Петербург)

Защита состоится «_»_2011 года в_часов на заседании

совета Д-212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Университетская пр., д. 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9.

Автореферат разослан «_»_2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор Е. В. Кустова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной гидродинамике ламинарный и турбулентный режимы течения жидкости изучаются раздельно. Результатом такого подхода стало возникновение обособленных и различных по содержанию теорий двух режимов течения, в рамках которых записываются свои реологические соотношения, что в свою очередь порождает разные аналитические выражения для профилей скорости, коэффициентов сопротивления и других гидродинамических характеристик. В сложившейся ситуации рассмотрение последовательного преобразования ламинарного потока в турбулентный является нетривиальной задачей.

Раздельным изучением режимов обусловлены возможные сложности, возникающие при выборе математической модели течения жидкости. Это связано с тем что, во-первых, не всегда можно заранее указать критическое число Рей-нольдса перехода от ламинарного режима к турбулентному, что бывает, например, при создании новой техники, когда течение мало исследовано экспериментально. Во-вторых, при рассмотрении обтекания тел во многих случаях неизвестно, какой режим течения реализуется на том или ином участке поверхности. Указанные неопределенности могут стать причиной некорректного выбора модели течения, что негативно сказывается на точности получаемых при расчетах результатов.

Описание турбулентных течений, ввиду сложности явления, представляет крайне сложную задачу. В теории турбулентности развивается несколько существенно отличающихся направлений, однако наибольшие успехи связаны с феноменологическим подходом. В нём возникает проблема замыкания системы уравнений движения жидкости, которая решается посредством записи дополнительных реологических соотношений, содержащих эмпирические параметры. На данный момент времени существует целый перечень уже апробированных моделей турбулентности, в то же время интенсивно ведутся работы по созданию новых. Это связано с развитием вычислительной гидродинамики (Computational Fluid Dynamics, CFD), которая за последние десятилетия проделала путь, сопоставимый со столетиями для классической гидродинамики. Практическое применение моделей турбулентности значительно упрощается посредством использования специальных вычислительных комплексов, содержащих широкий перечень математических моделей, описывающих течения жидкости и предназначенных для инженерных расчётов разнообразных течений жидкости. Однако при рассмотрении конкретных турбулентных течений каждый раз возникает дополнительная проблема - проблемы выбора модели турбулентности, поскольку каждая из них, как правило, ориентирована на некоторый класс течений, применительно к которому её использование особенно эффективно. Существующие модели турбулентности, к сожалению, нельзя считать универсальными, поскольку их применение к различным классам турбулентных течений, не позволяет получать результаты одинаково высокой степени точности и достоверности. Это означает, что научные исследования в облас-

ти гидродинамики турбулентных течений, в том числе и в рамках феноменологического подхода всё ещё не закончены.

Проблема описания турбулентности является сложной и многоплановой, и до настоящего времени окончательно не решена в рамках какого-либо одного подхода. В то же время рассмотрение её с различных точек зрения, использование различных методов исследований позволяет надеяться на существенное продвижение. На основании этого может быть полезным новый подход к описанию течений вязкой жидкости, основанный на использовании такого реологического соотношения, которое независимо от режима течения, и удовлетворительно, в согласии с опытом, описывает поле осреднённых скоростей и трение на стенках для каждого конкретного числа Рейнольдса.

Следует отметить, что в настоящее время различными авторами предпринимаются попытки разработать подобную модель. В этом плане характерны работы В. С. Мингалева с сотрудниками, в которых используются наборы специальных параметров и функций.

В фундамент настоящего исследования положена именно эта феноменологическая теория для течения вязкой жидкости. Предложенную в ней модель течения в дальнейшем, для краткости, будем называть / - моделью турбулентности. Теория нуждается в дальнейшем развитии и распространении ее на различные случаи течений, что позволит строить достаточно простые инженерные методики расчетов течений жидкости при произвольных числах Рейнольдса. На основе расчётов течения по этой модели можно выполнить предварительную оценку гидродинамических характеристик потока и затем, если требуется уточнение расчётов, выбрать из существующих, моделей турбулентности наиболее подходящую. В работе последовательно изложено развитие / - модели, предложенной с целью наилучшего описания гидродинамических характеристик при любом режиме течения вязкой несжимаемой жидкости.

Для исследования работоспособности / - модели и её развития в работе были выбраны внутренние течения, а именно плоское напорное течение Куэтта, которое до настоящего времени представляет существенный исследовательский интерес ввиду его важности для гидродинамической теории смазки.

Предметом исследования является / - модель турбулентности. Применительно к простым сдвиговым течениям эта модель позволяет получать решения в квадратурах. Содержащаяся в / - модели эмпирическая функция

может быть модифицирована с целью лучшего согласования с экспериментом, особенно в зоне перехода от ламинарного режима к турбулентному. Ревизия

эмпирической функции может исключить возможность получения решения в квадратурах, поэтому полезно реализовать процедуру численного решения задач о внутренних течениях в рамках рассматриваемой модели, что также является предметом исследования. Для верификации / - модели результаты расчётов требуется сравнить с данными, полученными экспериментально и по другим методикам расчёта.

Цели и задачи исследования

• Применение / - модели турбулентности для расчёта внутренних течений

• Получение аналитического решения задачи о плоском напорном течении Куэтга при произвольных числах Рейнольдса

• Разработка и верификация процедуры численного решения задачи о плоском напорном течении Куэтта в рамках используемой модели

• Сопоставление полученных результатов с расчётами по другим методикам и имеющимся экспериментальными данными

• Обобщение / - модели турбулентности для учета анизотропии и памяти течения

• Расчёт осреднённых и пульсационных характеристик течения на основе обобщенной модели

Методы исследования. В диссертации использованы теоретические методы исследования - методы механики сплошных сред, гидродинамики, аналитические методы и численные методы решения краевых задач, в том числе методы решения нелинейных уравнений.

Достоверность основных полученных результатов базируется на корректном использовании методов и аппарата механики сплошных сред, гидромеханики, математического анализа и численных методов. Характеристики течений, рассчитанные по представленным расчётным методикам, сравниваются с известными экспериментальными данными и результатами других авторов.

Научная новизна результатов диссертации состоят в следующем:

• Расчёты внутренних течений выполнены на основе / - модели турбулентности

• В рамках / - модели турбулентности решена задача о плоском напорном течении Куэтта в широком диапазоне чисел Рейнольдса

• Рассматриваемая / - модель турбулентности обобщена на случай учета анизотропии и памяти турбулентного потока

• На основе обобщённой модели рассчитаны пульсационные характеристики турбулентного течения в плоском канале

Результаты, выносимые на защиту:

• Результаты применения / - модели турбулентности для расчёта внутренних течений

• Решение задачи о напорном течении Куэтга при произвольных числах Рейнольдса

• Развитие / - модели турбулентности с целью учета анизотропии и памяти турбулентного потока

• Расчёт пульсационных характеристик турбулентного течения в плоском канале в рамках обобщённой феноменологической модели

Практическая значимость. Результаты, полученные в работе, развивают теорию течений вязкой жидкости и могут быть использованы для расчета внутренних течений жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса. При этом проблема выбора математической модели течения, соответствующей ламинарному либо турбулентному режимам течения решается в рамках / - модели автоматически и не требует дополнительных усилий со стороны исследователя. Данное свойство позволяет в первом приближении рассчитывать течения независимо от режима движения жидкости, что особенно ценно при неизвестных критериях переходного режима. На основе результатов расчётов может быть сделан вывод о режиме течения жидкости, а затем, с целью повышения точности, могут быть использованы другие, отличные от / - модели, методы решения.

Разрабатываемая / - модель в перспективе может быть включена в расчётные комплексы, предназначенные для численного интегрирования уравнений движения жидкости.

Результаты работы могут быть использованы в энергетической и транспортной отраслях промышленности.

Апробация результатов исследования. Основные результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры, а также на международной научной конференции студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» на факультете ПМ-ПУ СПбГУ в 2007 году, XVI Республиканской научной конференции аспирантов, магистрантов и студентов «Физика конденсированного состояния» в ГГУ им. Янки Купа-лы в 2008 году; международной научной конференции по механике «Пятые по-ляховские чтения» в 2009 году.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 5 публикациях [1]-[5]. В совместной работе [2] соавтору Д. В. Никущенко принадлежит постановка задачи и реализация расчетов, диссертанту - участие в теоретической модификации алгоритма, в работе [4] соавтору В. А. Павловскому - постановка задачи, диссертанту - аналитические выкладки, в [5] соавтору В. А. Павловскому - постановка задачи и анализ результатов, диссертанту -теоретические выкладки и реализация численных расчетов.

Статьи [1]-[2] опубликованы в изданиях, входящем в перечень ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 145 страницах, содержит 39 рисунков, 4 таблицы. Список литературы содержит 165 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введешш кратко освещается современное состояние проблемы описания течений жидкости. Обосновывается актуальность темы диссертации, указывается цель и методы исследования. Перечислены основные результаты, выносимые на защиту. Также кратко описана структура работы и содержание последующих глав.

В первой главе кратко освещается проблема теоретического описания течений вязкой жидкости в ламинарном и турбулентном режимах. Рассмотрены некоторые полуэмпирические модели турбулентности, используемые при решении прикладных инженерных задач, а также механизм их построения, основанный на использовании уравнений переноса характеристик турбулентного течения, являющихся той или иной модификацией уравнений Навье-Стокса. Описана положенная в основу работы модель течения, разработанная В. А. Павловским как чисто феноменологическая альтернатива гипотезе длины пути перемешивания Л. Прандтля.

Согласно данной модели выражение для суммарного касательного напряжения, которое включает в себя вязкие и турбулентные напряжения записывается в виде:

(I)

(1-/) 0) где г - тензор суммарных напряжений; ц - динамическая вязкость;

- тензор скоростей деформаций; и - скорость жидкости в

рассматриваемой точке потока, причем в случае турбулентного режима она понимается как осредненная по Рейнольдсу; величина / является функцией координат и характеристик течения, причем при числах Яе->0 функция /->0 и во всей зоне течения имеет место чисто ламинарный режим течения, а при Яе-»оо, /-И течение является полностью турбулентным с профилем предельной полноты.

Подстановка реологического соотношения (1) в уравнение движения сплошной среды в напряжениях позволяет получить уравнение движение жидкости согласно рассматриваемой модели:

= ** .ДГ-У/ (2)

РЛ ^ (1-/) (1-у)2

Видно, что уравнение (2) представляет собой модификацию уравнения Йа-вье-Стокса, в которое оно и переходит при / = 0.

Введение в рассмотрение функции /, характеризующей режим течения, нарушает замкнутость системы, состоящей из уравнения движения жидкости и уравнения неразрывности, в результате чего необходимо дополнительное скалярное соотношение для функции /. Такое уравнение имеет вид:

где ¥(/) = ¡2а + /3(\-/))Да+/3(1 -/)) - алгебраическая функция /; величины

« = 2,5; >3 = 8,5 - феноменологические константы, найденные посредством обработки опытных данных для широкого класса пристенных турбулентных 1Г т!

течений; А = — Vu-(Vv) I - антисимметричная часть тензора градиентов скоростей; двоеточие - символ двойного скалярного произведения (двойной свертки).

Система уравнений, состоящая из уравнения движения (2), уравнения переноса (3) и уравнения неразрывности, позволяет описывать течения жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса, включающем в себя как ламинарный, так и турбулентный режимы течения. Все величины в уравнениях системы понимаются как осредненные по Рейнольдсу (в ламинарном режиме, очевидно, осредненные и мгновенные значения величин совпадают).

Краевые условия для этой системы уравнений формируются исходя из условий прилипания и вязкого ньютоновского трения на твердой границе 5 с нормалью п

<4=ГТВ; |2£.Я|5 = у?Л'; 4=0; ^/¿Д =(«+/?)V. (4)

здесь V - кинематическая вязкость; Утв - скорость твёрдой границы; V, - динамическая скорость, связанная с трением на стенке р -

плотность жидкости.

Во второй главе рассматриваются задачи о плоском и круговом течениях Пуазейля. Введение в рассмотрение безразмерных величин т] = у/Ь и \=и/\, (где у - поперечная координата, А - полуширина канала, и - продольная компонента скорости) позволяет свести задачу о плоском течении Пуазейля к двум дифференциальным уравнениям вида

Ке. + уу(1-/) + у'/'/(1-/)2=0 +^ (/) /'2/(1 - /)+Ке. (1 - /) /'/V = 0 здесь Ле, = Ич,/у- число Рейнольдса, вычисленное по динамической скорости.

Решение системы (5) может быть получено в квадратурах, в результате для профиля скорости имеем выражение

у = ДГ-в/и(1-/) (6)

В (6) величина / в каждой точке т] определяется уравнением

Ке. (I? -»|2/2)= «е//(1- (7)

Решение задачи о круговом течении Пуазейля также приводит к соотношениям (6)-(7).

На рис Л, 2 показаны результата расчетов (сплошные линии) распределения скоростей и коэффициентов сопротивления для рассматриваемых течений.

Рис.]. Универсальный закон распределения скоростей для течения Пуазейля. Сплошная линия - расчёт, маркерами обозначены: а) - опытные данные Рей-хардта и Никурадзе, б) - результаты, полученные по к~е (□) и к-а (0) моделям турбулентности.

Рис.2. Коэффициент сопротивления дня течения Пуазейля. а) - плоский канал. Маркерами нанесены данные А. С. Монина (■) и Ж. Конт-Белло (•); б) - круглая труба. Точками показаны линии, 'соответствующие законам сопротивления Пуазейля и Блазиуса. Пунктиром - закон Прандтля-Никурадзе для гладких труб.

Представленные данные позволяют говорить об удовлетворительном поведении / - модели при малых и больших числах Рейнольдса, буферная зона при этом описывается достаточно грубо, что возможно исправить посредством введения в рассмотрение дополнительных эмпирических констант и усложнением формы записи функции 4'. Стоит отметить, что для гладкой трубы (рис.2.б) имеет место практически полное совпадение расчетных сопротивлений с законом Прандтля-Никурадзе.

В третьей главе рассматривается задача о плоском напорном течении Ку-этга, которое до настоящего времени привлекает внимание исследователей и является в определенном смысле эталонным, поскольку позволяет выявить достоинства и недостатки тех или иных моделей турбулентности.

2 А

—А

<7 Щгм =N00

•4=

и„

Рис.3. Схема напорного течения Куэтта.

На рис.3, а = - постоянный градиент давления, действующий вдоль ах

оси канала, направление которого либо совпадает с направлением движения верхней стенки (<? > 0), либо ему противоположно (<7<0); ио - постоянная скорость движения верхней стенки; и [у) - продольная комп онента скорости; г(^)

- касательное напряжение.

В зависимости от соотношения между величинами £/0 и д возникает многообразие профилей скорости и касательных напряжений, которые обладают либо ярко выраженными чертами течения Куэтга (куэтгообразные течения, течения КТ) либо чертами течения Пуазейля (пуазейлеобразные течения, течения ПТ). Это многообразие можно охарактеризовать некоторыми безразмерными параметрами, например, связанными с трением на стенках

где ги) - касательное напряжение на нижней стенке, V., = - динамиче-

ская скорость, вычисленная на нижней стенке.

Анализ показывает, что использование этих параметров обеспечивает наиболее простой способ решения рассматриваемой задачи в рамках / - модели. Переход к естественным параметрам - числам Рейнольдса, характеризующим

движение верхней стенки

Яе =

_ 2ИЦ0

и напорное течение

л лщ

«»в 1

ру-

мо-

жет быть выполнен на заключительном этапе расчетов посредством простых зависимостей:

где величина ч^/и^ определяется в процессе решения задачи, а значение

®ц>л(г„|) = -1 только при 0<£<0,5.

Классификация возникающих профилей скоростей и касательных напряжений, в зависимости от параметра к представлена на рис.4.

. Яе V.,

(9)

ЧГ Г- = 1 Р г

к= 1.5 к= 0 к= ±аз к| 1 к? 0,5

-^ ~4 ? ГГ Г 1-

0,5>к>0 0>1с>-оо +оэ>к>1 1>к>0,5

Рис.4. Профили касательных напряжений и скоростей течения Куэтта. Представленная классификация и характер профилей т и и будут справедливы как для ламинарного, так и для турбулентного режимов течения. Профили скоростей для этих режимов, будут отличаться только своей полнотой вблизи стенок. Многообразие возникающих течений может быть условно разделено на следующие подтипы

_Таблица 1._

Значение параметра Л Тип течения

1 к = 0,5 Чистое течение Пуазейля (течение П)

2 к = ±оо Чистое (безнапорное) течение Куэтга (течение К)

3 ¿е(-оо;0)и(1;+го) Течения с куэтообразными профилями скоростей (течения КТ)

4 *е(0;0,5) Пуазейлеобразные течения с возвратной зоной вблизи нижней границы (течения ПТ)

5 *б(0,5;1) Пуазейлеобразные течения без возвратной зоны (течения ПТ)

6 к = 0 Особый случай

7 ¿ = 1 Особый случай

Каждый, из представленных в таблице 1 типов течений, рассматривается в рамках / - модели индивидуально.

Для напорного течения Куэтга уравнение неразрывности удовлетворяется автоматически, а уравнение движения в проекции на ось х и уравнение переноса функции / дают следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Я+

ц с1ги | ц

, *(/)

__£

4у2 ' (1-/)(Ф)

(1-/)ф2 (I-/)2 ¿ус!у (.!-/)# /Л _

йу\ ¿у

с соответствующими краевыми условиями:

йи %

4Г

=(а+0) V.,

= (а+/?)у.2

(Ю)

(П)

здесь \,2 =.

- динамическая скорость, вычисленная на верхней стенке.

1 Р

Используемая / - модель турбулентности для каждой пары параметров к и Яе,, позволяет получать решение в квадратурах и выполнить расчет профилей скорости, коэффициентов сопротивления и далее сопоставить им соответствующие значения естественных параметров 11е и Кр. Также в работе выполнено численное решение задач для каждого типа течения. Использование процедуры численного интегрирования, несмотря на наличие аналитического решения, обусловлено возможной ревизией функции с целью улучшения качества описания течения в буферной зоне, которая связана с введением в рассмотрение дополнительных феноменологических констант и усложнением структуры самой функции, что в свою очередь исключает возможность получения решения в квадратурах.

Определение достоверности расчётных данных по профилям скоростей и сопротивлениям на фоне экспериментальных данных Эль Телбани и Рейнольд-са представлены в таблице 2, где в столбцах 3-8 в верхней строке приведены экспериментальные данные, во второй строке - результаты аналитического расчета, в третьей строке - численное решение.

Таблица 2.

к Не., Кс„ ф Оя. »пи» С,-104 Тип

1000 1000 V., V-! V'! профиля

1 2 3 4 5 6 7 8 9

57,01 28,5 45,5319 22,7659 45,5319 38,5885

00 626,04 55,3165 27,6545 44,1797 22,0869 44,1797 40,9977 К

55,3165 27,6546 44,1797 22,0869 44,1797 40,9977

57,01 32,33 39,1463 22,1951 39,1463 30,5429

2,0187 728,66 55,2118 31,9622 37,8858 21,9321 37,8858 31,2799 кт

55,2118 31,9623 37,8858 21,9322 37,8858 31,2798

57,01 35,80 35,4696 22,2651 35,4696 25,2093

1,3333 803,95 53,6968 35,0833 33,3956 21,8193 33,3956 26,2553 кт

53,6968 35,0835 33,3956 21,8194 33,3956 26,2552

57,01 36,14 35,9663 22,8011 35,9663 23,4287

1,2788 793,69 51,7382 34,4877 32,5934 21,7262 32,5934 25,8038 кт

51,7382 34,4878 32,5934 21,7262 32,5934 25,8037

38,14 29,79 27,4440 21,4376 27,4440 22,5992

1,0402 698,49 36,7522 29,16X3 26,3083 20,8795 26,3083 23,8245 кт

36,7522 29,1686 26,3083 20,8797 26,3083 23,8240

16,05 98,8 28,4666 24,2500 28,4666 17,0805

1,0045 2040,6 16,5815 96,2493 26,6877 23,5835 26,6877 18,0601 кт

16,5815 96,2505 26,6877 23,5838 26,6877 18,0597

Таблица 2 (окончание).

57,01 27,17 48,0898 22,9213 48,0898 43,5457

-3,4741 614,93 58,3581 27,4537 47,4510 22,3226 47,4510 45,9128 КТ

58,3581 27,4537 47,4510 22,3226 47,4510 45,9128

- 64,60 - 22,0789 24,2792 41,0274

0,5 1462,9 - 60,5786 - 20,7049 22,5063 46,6531 П

60,5797 20,7053 22,5063 46,6514

38,14 97,25 8,9386 22,7887 24,5785 28,6153

0,6729 2131,8 39,8706 96,7838 9,3513 22,7000 24,2745 28,8396 ПТ

39,8706 96,7853 9,3513 22,7003 24,2745 28,8387

57,01 99,48 13,1288 22,9038 24,5501 24,4102

0,7809 2163,8 62,0840 100,161 14,3460 23,1447 24,6980 23,9046 ПТ

62,0839 100,162 14,3460 23,1450 246980 23,9039

38,14 62,24 13,3178 21,7364 23,3333 25,9289

0,7968 1431,7 41,8790 63,1936 14,6256 22,0694 23,6783 25,7668 ПТ

41,8790 63,1946 14,6256 22,0698 23,6783 25,7660

57,01 89,28 14,5909 22,8522 24,5113 23,3910

0,8186 1950,0 62,1280 89,6257 15,9302 22,9809 24,5512 23,1297 ПТ

62,1280 89,6270 15,9302 22,9813 24,5512 23,1290

57,01 67,05 18,9101 22,2385 24,0500 21,7375

0,9302 1503,1 63,1166 67,8544 20,9954 22,5715 24,2080 21,1009 ПТ

63,1166 67,8555 20,9954 22,5718 24,2080 21,1003

57,01 55,07 22,7659 21,9858 23,4929 20,7463

0,9972 1251,9 59,8495 55,5833 23,9035 22,1995 23,9134 20,3487 ПТ

59,8495 55,5842 23,9035 22,1999 23,9134 20,3480

В целом, результаты сравнения демонстрируют удовлетворительное согласование расчетов с опытными данными. Результаты решения, полученные в квадратурах, практически совпадают с численными, на основании чего можно сделать вывод о работоспособности вычислительной процедуры и возможности ее использования в случае ревизии функции *Р.

В четвертой главе выполнено обобщение исходной / - модели с целью учета анизотропии и памяти турбулентного потока. Реологическое соотношение (1) предполагает, что эллипсоиды, соответствующие тензорам напряжений и скоростей деформаций, соосны, кроме того, не учитывает эффекты памяти турбулентного потока. Опираясь на феноменологическую теорию В. В. Новожилова, реологическое соотношение, позволяющее учитывать анизотропию и память, может быть записано в виде дифференциального соотношения. Применительно к / - модели такой подход приводит к следующему дифференциальному реологическому соотношению:

^+(УУ)г=-Л/5-2^[8.П+(8.П)т]+[Г.П+(Г-£2)т] (12)

где: 4=1^1+2(^+^/2-= г =

Уравнение движения сплошной среды в напряжениях в совокупности с уравнением (12), уравнением неразрывности и уравнением переноса меры турбулентности (3) образуют замкнутую систему, учитывающую нелинейность, анизотропию и память турбулентного потока. Краевые условия имеют вид (4). Для простых сдвиговых течений определяющее соотношение (12) приводит к системе двух алгебраических реологических соотношений для касательных и нормальных напряжений.

Г=Г12=^/(1-/У«/Ф.Ли-Л22=-4/ (13)

Напряжения Рейнольдса, согласно В. В. Новожилову, удобно представить через систему инвариантов и угол а между главными осями тензоров Я и

•^11 = -11/3 - ^[¡2 м'« £ + ^ соя <!; соя 2а^рк

я2г=-(1Р-\1^ып<!;~у1%со!!<1;со!!2а)рк О4)

Используя соотношения (14) и учитывая что Д12 = /г, можно переписать уравнения (13). Для замыкания полученной системы относительно неизвестных {к,в2,^) и а можно использовать эмпирические соотношения, связывающие инварианты, полученные В. А. Павловским, которые применительно к / - модели записываются в виде

со* 3£ = 4/г/рк ,(20^ «м£+1)К077/1 = 1 (15)

Профили скорости и меры турбулентности находятся для этого течения согласно формулам (6) и (7). Результаты расчетов пульсационных характеристик для течения в канале при Яе = 2,3-105 на фоне экспериментальных данных Конт-Белло приведены на рис.5.

Рис. 5. Пульсационные характеристики течения в плоском канале В целом, представленные данные демонстрирует удовлетворительное согласование расчётных и экспериментальных пульсационных характеристик.

В заключении излагаются основные результаты работы и формулируются выводы, которые состоят в следующем:

1. Для рассмотренных задач расчета внутренних течений несжимаемой жидкости / - модель позволяет получать решения в квадратурах при произвольных числах Рейнольдса. Эти решения удовлетворительно согласуются с опытными данными, как по профилям скоростей, так и сопротивлениям, за исключением сравнительно узкой зоны ламинарно-турбулентного перехода (ЛТП)

2. При больших числах Рейнольдса, для турбулентного режима течения, модель приводит к логарифмическим профилям скорости, включающим в себя также вязкий подслой, буферную зону и зону внешнего течения

3. Особенностью / — модели турбулентности является её однослойность. Феноменологических констант в ней всего две, и они являются универсальными

4. Для плоского напорного течения Куэтга / - модель демонстрирует удовлетворительное качество согласования расчётов с экспериментальными данными и результатами, полученными в рамках других подходов к расчёту турбулентных течений (DNS, применение к-s, к-а моделей турбулентно-ста)

5. Качество описания ДТП может быть улучшено посредством ревизии функции Ч' и введение дополнительных эмпирических констант. Однако такая модификация может исключить возможность получения решения в квадрату-

pax, в результате чего возникает необходимость использования численных методов, поэтому в работе была реализована процедура численного интегрирования, а также выполнена ее верификация. Также данная процедура может использоваться при рассмотрении других типов задач, для которых отсутствует возможность получения решений в квадратурах

6. Обобщение / - модели турбулентности с целью учета анизотропии и памяти турбулентного потока базируется на замене алгебраического определяющего соотношения дифференциальным

7. Для простых сдвиговых течений обобщенная модель приводит к двум алгебраическим соотношениям. Первое из них представляет собой определяющее соотношение, использованное в исходной модели, и позволяет определить профили осредненных скоростей, касательных напряжений и коэффициент сопротивления. Второе, при использовании уже рассчитанных касательных напряжений, дает возможность выполнить расчет нормальных напряжений

8. Для течения в плоском канале результаты расчетов пульсационных характеристик по обобщенной модели удовлетворительно согласуются с опытными данными

9. Использование модели для расчета внутренних течений несжимаемой жидкости позволяет сделать вывод о ее работоспособности. В то же время стоит отметить, что она может быть успешно применена и для расчета более сложных гидродинамических задач, нежели простые сдвиговые течения, как, например, это сделано в работе, посвященной расчету гидродинамических характеристик систем крыльев относительно большой толщины

Публикации по теме диссертации.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Чистов A. JI. Единая ламинарно-турбулентная дифференциальная модель для течений вязкой несжимаемой жидкости. Вестник СПбГУ. Сер. 10.2008, вып.4, с.103-106.

2. Никущенко Д. В., Чистов А. Л. Алгоритм расчета гидродинамических характеристик систем крыльев относительно большой толщины. Вестник СПбГУ. Сер. 10.2009, вып.З, с.95-104.

Другие публикации:

3. Чистов А. Л. О построении моделей турбулентных течений в пакетах прикладных программ/ЯТроцессы управления и устойчивость. Труды XXXVIII международной научной конференции аспирантов и студентов (CPS'07). СПб.: Изд-во СПбГУ, 2007. с.221-226.

4. Павловский В. А., Чистов А. Л. Связь между истинной и изотропной диссипациями через осредненные параметры течения//Проблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС: Межвуз. сб. науч. трудов/ГОУВПО СПбГТУ РП. 2007. с.3-4.

5. Павловский В. А., Чистов А. Л. Расчет плоского напорного течения Ку-этта при произвольных числах Рейнольдса/ЯТроблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС: Межвуз. сб. Науч. трудов/ГОУВПО СПбГТУ РП. 2009. с.5-12.

Подписано в печать 22.04.2011 г. Формат 60x84/16 Бумага офсегкая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 13- Тираж 100 экз. Заказ №_

Типография «Восстания -1» 191036, Санкт-Петербург, Восстания, 1.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Чистов, Алексей Леонидович

Введение.

Глава 1. Модели течения жидкости.

§1.1. Гидродинамика, ее математический аппарат и методы.

§ 1.2. Проблемы турбулентности и ее современное состояние.

§ 1.3. Модели турбулентности, используемые в прикладных расчетных комплексах.

§ 1.4. Феноменологическая f — модель турбулентности.

§ 1.5. Выводы по Главе 1.

Глава 2. Описание плоского и кругового течений Пуазейля на основе / — модели турбулентности.

§ 2.1. Плоское течение Пуазейля.

§ 2.2. Круговое течение Пуазейля.

§ 2.3. Выводы по Главе 2.

Глава 3. Описание плоских течений Куэтта на основе / - модели турбулентности.

§ 3.1. Плоское безнапорное течение Куэтта.

§ 3.2. Плоское напорное течение Куэтта. Постановка задачи.

§ 3.3. Течения с куэттообразными профилями.

§ 3.4. Течения с пуазейлеобразными профилями.

§ 3.5. Особые случаи.

§ 3.6. Интегрирование задач о внутренних течениях в рамках / — модели.

§ 3.7. Выводы по Главе 3.

Глава 4. Обобщение феноменологической f — модели турбулентности для учёта анизотропии и памяти турбулентного потока.

§ 4.1. Деформационная анизотропия турбулентных потоков.

§ 4.2. Опыт описания нелинейности, анизотропии и памяти в других ветвях механики сплошных сред.

§ 4.3. Дифференциальная феноменологическая / - модель турбулентности.

§ 4.4. Анализ дифференциального определяющего соотношения.

§ 4.5. Расчёт пульсационных характеристик для течения в плоском канале при больших числах Рейнольдса.

§ 4.6. Выводы по Главе 4.

Введение диссертация по механике, на тему "Применение и развитие феноменологической f-модели турбулентности при расчетах внутренних течений несжимаемой вязкой жидкости"

В современной гидродинамике ламинарный и турбулентный режимы течения жидкости изучаются раздельно. Результатом такого подхода стало возникновение обособленных и различных по содержанию теорий двух режимов течения, в рамках которых записываются свои реологические соотношения, что в свою очередь порождает разные аналитические выражения для профилей скорости, коэффициентов сопротивления и других гидродинамических характеристик [1-4]. В сложившейся ситуации рассмотрение последовательного преобразования ламинарного потока в турбулентный является нетривиальной задачей.

Каждому типу геометрии течения соответствует своё критическое число Рейнольдса перехода от ламинарного режима к турбулентному для круглых труб и 2300), которое является определяющим фактором при выборе математической модели течения жидкости. Однако в ряде случаев, например, если течение мало исследовано экспериментально (такая ситуация возникает при создании новой техники), указать Яекр весьма проблематично, что не позволяет с уверенностью сказать какую модель течения необходимо использовать. Проблема выбора может быть обусловлена ещё и тем, что при обтекании тел не всегда известно заранее какой режим течения — ламинарный или турбулентный — реализуется на том, или ином участке поверхности. Использование же математической модели течения, несоответствующей режиму движения жидкости, весьма критически сказывается на достоверности результатов расчётов.

Описание турбулентных течений, ввиду сложности явления, представляет крайне сложную задачу. В теории турбулентности развивается несколько существенно отличающихся направлений, однако наибольшие успехи связаны с феноменологическим подходом [6]. В нём возникает проблема замыкания системы уравнений движения жидкости, которая решается посредством записи дополнительных реологических соотношений, содержащих эмпирические параметры. На данный момент времени существует целый перечень уже апробированных моделей турбулентности, в то же время интенсивно ведутся работы по созданию новых. Это связано с развитием вычислительной гидродинамики (Computational Fluid Dynamics, CFD), которая за последние десятилетия проделала путь, сопоставимый со столетиями для классической гидродинамики. Практическое применение моделей турбулентности значительно упрощается посредством использования специальных вычислительных комплексов, содержащих широкий перечень математических моделей, описывающих течения жидкости и предназначенных для инженерных расчётов разнообразных течений жидкости [103]. Однако при рассмотрении конкретных турбулентных течений каждый раз возникает дополнительная проблема -проблемы выбора модели турбулентности, которая обусловлена тем, что каждая модель, как правило, ориентирована на некоторый класс течений, применительно к которому её использование особенно эффективно. Здесь стоит также отметить, что содержащиеся в модели эмпирические константы, с целью наилучшего описания конкретного течения, могут быть подвержены ревизии. На выбор модели турбулентности могут оказывать влияние и другие параметры, в частности, требуемая точность и располагаемые вычислительные ресурсы [141]. Очевидно, что выбор модели турбулентности, её возможная адаптация к рассматриваемому течению и оценка получаемых результатов требует определенной квалификации исследователя.

Существующие модели турбулентности, к сожалению, нельзя считать универсальными, поскольку их применение к различным классам турбулентных течений, не позволяет получать результаты одинаково высокой степени точности и достоверности. Это означает, что научные исследования в области гидродинамики турбулентных течений, в том числе и в рамках феноменологического подхода всё ещё не закончены.

Здесь следует отметить, что в настоящее время различными авторами предпринимаются попытки разработать подобную модель. В этом плане характерны работы В. С. Мингалева с сотрудниками [37], в которых используются наборы специальных параметров и функций.

Достичь этой цели можно также и на чисто феноменологическом уровне, анализируя обширные экспериментальные данные по течениям вязкой жидкости, прежде всего в турбулентном режиме, поскольку для ламинарного режима течения теория и опыт блестяще согласуются. Основы такой феноменологической модели, являющейся в некотором смысле чисто феноменологической альтернативой гипотезе длины пути перемешивания Л. Прандтля, содержатся в работе В. А. Павловского [38]. В фундамент настоящего исследования положена именно эта феноменологическая теория для течения вязкой жидкости. В дальнейшем, для краткости, указанную модель течения будем называть / - моделью турбулентности. Теория нуждается в дальнейшем развитии и распространении ее на различные случаи течений, что позволит строить достаточно простые инженерные методики расчетов течений жидкости при произвольных числах Рейнольдса. На основе расчётов течения по этой модели можно выполнить предварительную оценку гидродинамических характеристик потока и затем, если требуется уточнение расчётов, выбрать из существующих моделей турбулентности наиболее подходящую. В работе последовательно изложено развитие / - модели, предложенной с целью наилучшего описания гидродинамических характеристик при любом режиме течения вязкой несжимаемой жидкости.

Для исследования работоспособности f — модели и её развития в работе были выбраны внутренние течения. Особое место здесь занимает напорное течение Куэтта, поскольку оно до настоящего времени вызывает большой исследовательский интерес [6, 51, 53-59] ввиду его широкого применения в технических приложениях.

Предметом исследования является / — модель турбулентности. Применительно к простым сдвиговым течениям эта модель позволяет получать методами интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений решения в квадратурах. Содержащаяся в / — модели эмпирическая функция может быть модифицирована с целью лучшего согласования с экспериментом, особенно в зоне перехода от ламинарного режима к турбулентному. Ревизия эмпирической функции может исключить возможность получения решения в квадратурах, поэтому полезно реализовать процедуру численного решения задач о внутренних течениях в рамках рассматриваемой модели, что также является предметом исследования. Для верификации / - модели результаты расчётов требуется сравнить с данными, полученными экспериментально и по методикам расчётов других авторов.

Цели и задачи исследования

• Применение / — модели турбулентности для расчёта внутренних течений

• Получение аналитического решения задачи о плоском напорном течении Куэтта при произвольных числах Рейнольдса

• Обобщение / — модели турбулентности для учета анизотропии и памяти течения

• Расчёт осреднённых и пульсационных характеристик течения на основе обобщенной модели

Методы исследования. В диссертации использованы теоретические методы исследования — методы механики сплошных сред, гидродинамики, аналитические методы и численные методы решения краевых задач, в том числе методы решения нелинейных уравнений.

Научная новизна результатов диссертации состоят в следующем:

• Расчеты внутренних течений выполнены на основе / — модели турбулентности

• Рассматриваемая / — модель турбулентности обобщена на случай учета анизотропии и памяти турбулентного потока

• На основе обобщённой модели рассчитаны пульсационные характеристики турбулентного течения в плоском канале.

Результаты, выносимые на защиту:

• Результаты применения / — модели турбулентности для расчёта внутренних течений

• Решение задачи о напорном течении Куэтта при произвольных числах Рейнольдса

• Развитие / - модели турбулентности с целью учета анизотропии и памяти турбулентного потока

Практическая значимость. Результаты, полученные в работе, развивают теорию течений вязкой жидкости и могут быть использованы для расчета внутренних течений жидкости в широком диапазоне чисел Рейнольдса. При этом проблема выбора математической модели течения, соответствующей ламинарному либо турбулентному режимам течения решается в рамках / — модели автоматически и не требует дополнительных усилий со стороны исследователя. Данное свойство позволяет в первом приближении рассчитывать течения независимо от режима движения жидкости, что особенно ценно при неизвестных критериях переходного режима. На основе результатов расчётов может быть сделан вывод о режиме течения жидкости, затем, с целью повышения точности, могут быть использованы другие, отличные от / - модели, методы решения соответствующие тому или другому режиму.

Результаты работы могут быть использованы в энергетической и транспортной отраслях промышленности.

Республиканской научной конференции аспирантов, магистрантов и студентов «Физика конденсированного состояния» в ГГУ им. Янки Купалы в 2008 году; международной научной конференции по механике «Пятые поляховские чтения» в 2009 году.

Сведения о публикациях. Основные результаты диссертационной работы отражены в 5 публикациях [161]-[165]. В совместной работе [162] соавтору В. А. Павловскому принадлежит постановка задачи, диссертанту — аналитические выкладки, в работе [164] соавтору Д. В. Никущенко — постановка задачи и реализация расчетов, диссертанту — участие в теоретической модификации алгоритма, в [165] соавтору В. А. Павловскому - постановка задачи и анализ результатов, диссертанту — теоретические выкладки и реализация численных расчетов.

Статьи [163]-[164] опубликованы в изданиях, входящем в перечень

ВАК.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Заключение

В диссертации применена и развита феноменологическая / - модель турбулентности. Проведена апробация модели для простых сдвиговых течений несжимаемой вязкой жидкости, на ее основе решена задача о плоском напорном течении Куэтта. Получены решения в квадратурах, дающие при малых числах Рейнольдса предельный переход к известным формулам для ламинарного режима течения. С целью учета анизотропии и памяти турбулентного потока выполнено обобщение модели, в результате которого алгебраическое определяющее соотношение . заменено дифференциальным. На основе модифицированной f — модели турбулентности выполнен расчет осредненных и пульсационных характеристик течения в плоском канале, выполнено их сравнение с опытными данными. Основные выводы проведенного анализа заключаются в следующем:

1. Для рассмотренных задач / - модель турбулентности позволяет ^ получать решения в квадратурах в широком диапазоне чисел Рейнольдса, включающем как ламинарный, так и турбулентный режимы течения. Эти решения удовлетворительно согласуются с опытными данными, как по профилям скоростей, так и по сопротивлениям, за исключением сравнительно узкой переходной зоны от ламинарного режима течения к турбулентному

4. Для турбулентного режима / — модель демонстрирует удовлетворительное качество согласования расчётов с экспериментальными данными и результатами, полученными в рамках других подходов к расчёту4 турбулентных течений (DNS, применение k-s, к —со моделей турбулентности)

5. Качество описания ламинарно-турбулентного перехода (ЛТП) может быть улучшено за счет ревизии функции Ч7 и введения в рассмотрение дополнительных эмпирических констант. Данная модификация может исключить возможность получения решения в квадратурах, в результате чего возникает необходимость использования численных методов, поэтому была реализована процедура численного интегрирования, а также выполнена ее верификация. Указанная процедура может быть использована для дальнейшего совершенствования модели (улучшение качества описания ЛТП), а также при рассмотрении других типов задач, для которых отсутствует возможность получения решений в квадратурах.

6. Применение обобщенной / - модели турбулентности, использующей дифференциальное определяющее соотношение, для расчета осредненных и пульсационных характеристик простых сдвиговых течений приводит к двум алгебраическим соотношением. Первое, из которых представляет собой алгебраическое определяющее соотношение исходной / - модели и позволяет определить профили осредненных скоростей, касательных напряжений и коэффициент сопротивления, что иллюстрируют вторая и третья главы работы. Второе соотношение, при использовании уже рассчитанных касательных напряжений, дает возможность выполнить расчет нормальных напряжений.

7. Сравнение результатов расчета пульсационных характеристик для течения в плоском канале с опытными данными позволяют говорить об удовлетворительном согласовании

В целом, можно сказать, что модель показала свою работоспособность. Также стоит отметить и то обстоятельство, что она может быть успешно

129 применена и для расчета более сложных гидродинамических задач, что и было сделано, например, в работе, посвященной расчету гидродинамических характеристик систем крыльев относительно большой толщины.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Чистов, Алексей Леонидович, Санкт-Петербург

1. Кочин H. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. 1. II. М.: Физматгиз, 1963. - 584, 728с.

2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. 7-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2003. - 840с.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. 1974. 712с.

4. Ламб Г. Гидромеханика. М-Л.: ОГИЗ Гостехиздат. 1947. - 900с.

5. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз, 1962.-479с.

6. Новожилов В. В., Павловский В. А. Установившиеся турбулентные течения несжимаемой жидкости: Монография. СПб.: Изд. центр СПбГМТУ, 1998. 484с.

7. Павловский В. А. Краткий курс механики сплошных сред. СПб.: изд. СРбГТУ РП. 1993. 209с.

8. Белов И. А., Кудрявцев H.A. Теплоотдача и сопротивление пакетов труб. Л.: Энергоатомиздат. 1987. — 223с.

9. Короткин А. И., Роговой Ю. А. Метод расчета продольных средних скоростей в пристенных турбулентных течениях несжимаемой жидкости. СПб.: Мор Вест, 2009. — 121с.

10. Бабкин А. В., Селиванов В. В. Основы механики сплошных сред: Учебник для втузов. 2-е изд., испр. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. - 376с.

11. Белов И. А., Исаев С. А., Коробков В. А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. — Л.: Судостроение, 1989.-256с.

12. Белов И. А., Исаев С. А. Моделирование турбулентных течений, 1998.- 106с.

13. Reynolds О. On the dynamical theory of turbulent incompressible viscous fluids and the determination of the criterion // Phil. Trans Royal Soc.-1894.-Vol. 186-pp. 123-161.

14. Хинце И. О. Турбулентность, ее механизм и теория. М.: Физматгиз, 1963. 630с.

15. Смольяков А. В., Ткаченко В. М. Измерение турбулентных пульсаций. Л. : Энергия, 1980.

16. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика, ч. I. СПб.: Гидрометеоиздат, 1992 — 693с.

17. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика, ч. II. М.: Наука, 1967-720с.

18. Турбулентность. Принципы и применения./Сборник статей/Под ред. У. Фроста, Т. Моулдена./пер. с англ. М.: Мир, 1980.

19. Методы расчёта турбулентных течений./Сборник статей/Под ред. В. Кольмана./пер. с англ. М.: Мир. 1984.

20. Рождественский Б. JL, Симакин И. Н. Двух- и трёхмерные вторичные течения в плоском канале, анализ и сравнение с турбулентными потоками/ДАН СССР. 1983. т.273. № 3. с. 553-558.

21. Струминский В. В. Основные направления теоретических исследований проблемы турбулентности//Механика турбулентных потоков. М.: Наука. 1980. с. 28-43.

22. Boussinesq J Théorie de l'Écoulement Tourbillant//Mem. Présentés par Divers Savants Acad. Sci. Inst. Fr., Vol. 23, p. 46-50.

23. Прандтль Л. Новые результаты в исследовании турбулентности. M.-JL: ОНТИ. 1936.

24. Карман Т. Некоторые вопросы теории турбулентности//Сб. переводов. Проблемы турбулентности. М.: ОНТИ. НКТП СССР, 1936.

25. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат. 1979.-416с.

26. Колмогоров А. Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости //Изв. АН СССР. Сер. Физ. 1942. Т.6. № 12. с. 56-58.

27. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса//Докл. АН СССР. 1941. Т. 30. №4. с. 299-303.

28. Рота И. К. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение. 1957.

29. Глушко Г. С. Некоторые особенности турбулентных течений несжимаемой жидкости с поперечным сдвигом//Изв. АН СССР. Сер. Механика жидкости и газа. 1971. №4 с. 128-136.

30. Секундов А. Н. Применение дифференциальных уравнений для турбулентной вязкости к анализу плоских неавтомодельных течений // Изв. АН СССР. Сер. Механика жидкости и газа. 1971. №5 с. 114-127.

31. Коловандин Б. А. Моделирование теплопереноса при неоднородной турбулентности. Минск: Наука и техника. 1980. -184 с.

32. Ле Ким Тхань. Анализ возможности обобщения теорий турбулентности Прандтля и Кармана. Деп. в ВИНИТИ, № 156-В95 от 18.01.1995.23 с.

33. Новожилов В. В. Теория плоского турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение. 1977. 165с.

34. Павловский В. А. О расчёте пульсационных характеристик турбулентных потоков. Журнал прикл. мех. и технич. физики. 1988. №3. с. 114-122.

35. Павловский В. А. Различные формы трансформаций уравнений Навье-Стокса//Проблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС: Межвуз. сб. науч. трудов/ГОУВПО СПбГТУ РП. 2007. с.5-11.

36. Helsten A. Some improvements in Menter's к —со SST turbulence model. Tech, rep., American Institute of Aeronautics and Astronautics (1998). AIAA-98-2554.

37. Мингалев И. В., Мингалев О. В., Мингалев В. С. Обобщенная ньютоновская реологическая модель для ламинарных и турбулентных течений//Математическое моделирование т.11. №11. 1999. с.39-63.

38. Павловский В. А. Об одной феноменологической альтернативе гипотезе длины пути перемешивания/УМодели механики сплошной среды. Сб. Физическая механика. Вып. 7/Под ред. Б. В. Филиппова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. с.21-35.

39. Павловский В. А. Приложения единой феноменологической ламинарно-турбулентной модели для расчёта неизотермических течений жидкости в трубах/ЯСораблестроительное образование и наука. Материалы региональной НТК/СПб ГМТУ. СПб. 2003. с. 33-37.

40. Галин Н. М., Кириллов П. Л. Тепломассообмен (в ядерной энергетике): Учебное пособие для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1987.-375с.

41. Конт-Белло Ж. Турбулентное течение в канале с параллельными стенками. М.: Мир, 1968. 175с.

42. Миллионщиков М. Д. Турбулентные течения в пограничном слое и трубах. М.: Наука, 1969. 52с.

43. Миллионщиков М. Д. О турбулентном тепло- и массообмене // Атомная энергия. 1970. т.29.вып.6, с.411-416.

44. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкости в гладких трубах./Шроблемы турбулентности/под ред. М. А. Великанова, Н. Т. Швейковского. M.-JL: ОНТИ, 1936. с. 75-150.

45. Reichardt Н. Über die Geschwindigkeitsverteilung in einer geradigen turbulenten Couetteströmung//Zeit. Angew. Math. Mech. Sonderheft, 1956. vol. 36. p. 26-29.

46. Coutte M. Etudes sur le frottement des liquids//Ann. De chemie et de physique, 1896. ser.6, Vol. 21. p. 433-510

47. Robertson J.M., Johnson H. F. Turbulence Structure in plane Couette flow//ASME J. Eng. Mech. Div. 1970. Vol. 96. p. 1171-1182.

48. Aydin E. M., Leutheusser H. J. Experimental investigation of turbulent plane Coette flow//ASME Forum on Turbulent Flows FED. 1987. Vol.51.

49. Thurlow E. M., Klewicki J. C. Experimental study of turbulent Poiseuille-Coette flow//Physics of fluids v. 12. №4. apr. 2000. p.865-875.

50. Bech К. H., Tillmark N., Alfredsson P. H., Andersson H. I. An investigation of turbulent plane Couette flow at low Reynolds numbers //J. Fluid Mech., Mar 10, 1995. p. 286, 291-325.

51. Tognola S. Berechnung der turbulenten Strömung im Spalt mit bewegter Wand//escher wyss mitteilungen 1/2 1980. p. 26-32.

52. Виленский В .Д., Смирнов В.П. Турбулентное течение Куэтта // Атомная энергия. 1965. №18, вып. 5. с. 508-509.

53. Шваб А. В., Шваб В. А. Обобщенное течение Куэтта//Вопросы гидромеханики и тепломассообмена. Сб. науч. Тр./ТГУ. Томск. 1979. с. 112-117.

54. Новожилов В. В., Павловский В. А. Напорное плоское турбулентное течение Куэтта несжимаемой жидкости в светеобобщенной теории Кармана//ДАН СССР. 1985. т.283б № 5, с. 1131-1134.

55. El Telbany М.М., Reynolds A.J. Turbulence in plane channel flows//J. fluid mechanics. 1981. Vol.111, p.283-318.

56. Xo M., Вор Д. Применение энергетической модели турбулентности для расчёта течений смазки//Проблемы трения и смазки. 1974, № 1, с. 105-113.

57. Лаундер Б., Лешцинер М. Течение в упорных подшипниках конечной ширины с учётом влияния сил инерции. Турбулентное течение//Проблемы трения и смазки. 1976. №3, с. 30-37.

58. Кацман Ф. М., Пустошный А. Ф., Штумпф В. М. Пропульсивные качества морских судов. Л.: Изд. Судостроение. 1972. 320 с.

59. Cheng А.С., Thorpe J.F. An experiment numerical study of the combinated Couette and Poiseille flow//Develop. Of the Theor. And Appl. Mech. 1978. Vol. 9,p.l03-lll.

60. Павловский В. А. Расчёт кругового течения Пуазейля для произвольных чисел Рейнольдса/ЛТроблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС: Межвуз. Сборник науч. тр. (под ред. Р. С. тюльпанова)/СПбГТУ РП, 1999, с. 121-126.

61. Theodorsen Т., Regier A. Experiments on drag of resolving disks, cylinders and streamline rods of high speeds//NASA Rep. 793. 1944. p.367-382.

62. Nikuradze J. Stromungsgesetze in rauchen Rohren//forsh. Arb. Ing. Wes. 1933. №391.

63. Павловский В. А. Расчёты установившихся турбулентных течений вблизи шероховатых поверхностей в свете обобщённой теории кармана//Вопросы судостроения. Серия «проектирование судов», вып. 42. 1985. с.132-140.

64. Брайтон Д., Джонс П. Полностью развитый турбулентный поток в каналах кольцевого сечения//Теоретические основы инженерных расчётов. 1964. № 4, с.240-242.

65. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 352с.

66. Федяевский К. К., Гиневский А. С., Колесников А. В. Расчёт турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. JL: Судостроение. 1973. 256с.

67. Шерстюк А. Н. Турбулентный пограничный слой. М.: Энергия. 1974.-272с.

68. Ротта И. К. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение. 1967. — 232с.

69. Петухов Б. С. Вопросы теории теплообмена (избранные труды). М.: Наука. 1987.

70. Михеев М. А. Основы теплопередачи. М.: ГЭИ. 1956.

71. Nusselt W. Wameubergang in Rorbeitungen//Mitt. Forsch. Arb. Ing. Wess. 1910. № 89, p.1-38.

72. Таранов Г. С. О турбулентном числе Прандтля//ДАН СССР. 1968. т.183. № 5, с.1032-1034.

73. Тоунес, Гоу, Пау, Вебер. Турбулентный поток в гладких и шероховатых трубах//Труды амер. о-ва инж-мех. Теоретические основы инженерных расчётов. М.: Мир, 1972. №2, с. 108-119.

74. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена. M.-JI. Госэнергоиздат, 1961.

75. Жукаускас А. А. Конвективный перенос в теплообменниках. М.: Наука, 1982.-472с.

76. Волков П. М., Иванова А. В. Изучение локальных и средних коэффициентов теплоотдачи длинных круглых труб//Теплообмен и гидродинамика в элементах энергооборудования. Труды ЦКТИ, вып.73. Л.: 1966. с. 16-26.

77. Яковлев В. В. Местная и средняя теплоотдача при турбулентном течении некипящей воды в трубе и при высоких тепловых нагрузках//Атом. энергия, 1960. т.8, №3, с.250-252.

78. Malina J.A., Sparrow Е.М. Variable property, constant property, and entrance region heat transfer result for turbulent flow of water and oil in a circular tube//Chem. Eng. Sei. 1964. Vol.19, p.953-962.

79. Hamilton R. H. Solid-liquid mass transfer in turbulent pipe flow//PhD. Thesis. Cornell univ., 1963.

80. Петухов Б. С., Генин JI. Г., Ковалев С. А., Соловьев С. Л. Теплообмен в ядерных энергетических установках. Учебное пособие для вузов. М.: МЭИ, 2003. с. 302-389.

81. Ибрагимов М. X., Субботин В. И., Таранов Г. С. Пульсации скорости, температуры и их корреляционные связи при турбулентном течении воздуха в трубе//ИФЖ. 1970. т. 19, №6, с. 1060-1069.

82. Бобылев Д. Об успехах теории движения жидкостей за последние трдцать лет. СПб.: Типография Ю. Н.Эрлиха 1987.

83. Современная гидродинамика, успехи и проблемы / Под. Ред.Дж. Бэтчелора и Г. Моффата. М.: Мир, 1984.

84. Reichardt Н. Die Grundlfgen des turbulenten Warmeubergangs//Arch. Ges. Warmetechn. 1951. N6/7, p.129-142.

85. Reichardt H. Vollstfmdige Darsteltung der turbutenten Geschwindigkeitsverteilung in glatten Leitungen, Z. Angew. Math. Mech. 1951. 31, p. 208-219.

86. Reichardt H. Gesetzmässigkeiten der geradlinigen turbulenten Couette-Strömung Mitt. № 22 des Max-Planck-Inst. für Strömungsforschungund der AVA Göttingen. 1959.

87. Laufer J., Natl. Advisory Comm Aeronaut. Tech. Notes, № 2123, 1950.

88. Трёхмерные турбулентные пограничные слои: пер. с англ./Под. ред. X. Фернхольца, Е. Краузе. М.:Мир, 1985.

89. Кутателадзе С. С. Пристенная турбулентность. Новосибирск: Наука. 1973.-228с.

90. Deissler R. G. Heat transfer and fluid friction for fully developed turbulent flow of air and supercritical water with variable properties//Trans. ASME, 1954. Vol.76, №1, p.73-86.

91. Ибрагимов M. X. Структура турбулентного потока. M.: Наука. 1976.

92. Дорощук В. Е., Фрид Ф. И. Теплообмен при высоких тепловых нагрузках и других специальных условиях. М.: Госэнергоиздат. 1959.

93. Tyldessley J. R., Silvu R. S. Heat transfer.//Intern. J. Heat Mass Transfer. 1968. Vol.11. №9, p. 1325.

94. Кириллов П. Л. Обобщение опытных данных по переносу тепла в жидких металлах//Атом. энергия. 1962. т.13. №5, с.481-484.

95. Себеси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. М.: Мир. 1987. -592с.

96. Шестов К. В. Оптимизация численных процедур при расчёте течений вязкой жидкости//Проблемы экономии экономиитопливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС. Межвуз. сб. науч. тр.//СПб ГТУ РП. СПб. 2005. с.48-51.

97. Navier C.L.M.H. Memoire sur les lois du mouvement des fluids//Mem.Acad.Roy.Sci. 1823. v.6, p.389-440.

98. Пантакар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

99. FLUENT 6.3 User's Guide Inc., 2005.

100. Temam R. Navier-Stokes Equations. Oxford.: Elsevier Science Publishers В. V., 1984. 526 p.

101. Best Practice Guidelines for Marine Applications of Computational Fluid Dynamics, prepared by WS Atkins, Consultants and members of the NSC.

102. Launder В. E., Spalding D. B. Mathematical Models of Turbulence. New York.: Academic Press, 1972. 169 p.

103. Prandtl L. Bericht Über Untersuchungen zur ausgebideten Turbulenz//ZAMM. 1925. V/5, p.136-139.

104. Stanisic M. M. The Mathematical Theory of Turbulence. Berlin.: Springer-Verlag, 1988. - 501p.

105. Брэдшоу П. Введение в турбулентность и ее измерение. М.: Мир, 1974.-278с.

106. Фриш У. Турбулентность. Наследие А. Н. Колмогорова. М.: ФАЗИС, 1998.-346с.

107. Wilcox D. С. Turbulence Modeling for CFD. La Canada, California.: DWC Industries Inc., 1998. 540p.

108. Chorin A. J. New perspectives in turbulence//Quarterly of Applied Mathematics. 1998. v.56. №4, p.767-785.

109. Grötzbach G., Worner M. Direct numerical and large eddy simulations in nuclear applications//Int. J. Heat and Fluid Flow. 1999. Vol.20, p.222-240.

110. Шуман У., Гретцбах Г., Кляйзер JI. Прямые методы моделирования турбулентных течений//Методы расчета турбулентных течений/Под. Ред. В. Кольмана. М.: Мир, 1984. -103 с.

111. Белоцерковский О. М., Опарин А. М., Чечеткин В. М. Турбулентность: новые подходы. М.: Наука, 2002. — 286 с.

112. Piomelli U. Large Eddy simulation of turbulent flows//Advances in Turbulence Modeling. Lecture Series 1998-05 1998. p. 1-54.

113. Fureby G., Tubor G., Weller H. G., Gasman A. D. Large Eddy Simulations of the Flow Around a Square Prism//AIAA J.2000.Vol.38. №3, p.442-452.

114. Ferziger J. H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics: Springer-Verlag, 2002. 423p.

115. Dol H. S., Hanjalic K., Versteegh T. A. A DNS-based thermal second-moment closure for buoyant convection at vertical walls//J. Fluid. Mech. 1999. Vol.39 l,p.211-247.

116. Hanjalic K. One-point closure models for buoyancy-driven turbulent flows//Annu. Rev. Fluid Mech. 2002.Vol.34. p.321-347.

117. Роди В. Модели турбулентности окружающей среды//Методы расчета турбулентных течений/Под. ред. К. М.: Мир, 1984. 227 с.

118. Hanjalic К., Launder В. Е. Fully developed asymmetric flow in a plane channel//J. Fl. Mech. 1972. v.51. p.301-335.

119. Spalart P. R., Almaras S. R., A one-equation turbulence model for aerodynamic flows//La Rech. Aerospatiale. 1994.Vol.l, p.5-21.

120. Bardina J. E., Huang P. G., Coakley T. J. Turbulence modeling validation, testing and development//NASA Technical Memorandum 110446. 1997. p.1-98.

121. Mathieu J., Scott J. An introduction to Turbulent Flow: Cambridge Univ. Press. 2000. 374p.

122. Launder B.E., Spalding D.B. The Numerical Computation of Turbulent Flows // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1974. - Vol. 3. - P. 269-289.

123. Yakhot V., Orzag S. A. Renormalization Group Analysis of Turbulence I Basic Theory//Journal of scientific Computing. 989. Vol.l.№l, p.l-51.

124. Shih T. H., Liou W. W., Shabbir A., Zhu J. A New k-e Eddy Viscosity Model for High Reynolds Number Turbulent Flows Model Development and Validation//Computers Fluids. 1995. Vol. 24. №3, p.227-238.

125. Menter F. R. Zonal two equation k-o turbulence models for aerodynamic flows//AIAA Paper. 1993. №93-2906, 21p.

126. Menter F. R. Two-Equation Eddy-Viscosity Turbulence Models for Engineering Applications // AIAA J. 1994. Vol.32.№8, p.1598-1605.

127. Menter F. R., Kuntz M., Langtry R. Ten Years of Industrial Experience with the S ST Turbulence Model//Turbulence, Heat and Mass Transfer. 2003. Vol.4.

128. Kim S.-E., Rhee S.H. Assessment of Eight Turbulence Models for a Three-Dimensional Boundary Layer Involving Crossflow and Streamwise Vortices. Fluent Technical Notes, TNI65. 2002. 25p.

129. Gibson M.M., Launder В. E., Ground Effects on Pressure Fluctuations in the Atmospheric Boundary Layer//J. Fluid Mech. 1978. Vol.86, p.491-511.

130. Speziale C. G., Sarkar S., Gatski T. B. Modeling the Pressure-Strain Correlation of Turbulence//J. Fluid Mech. Vol.227, p.245-272.

131. Бахвалов H. С., Жидков H. П., Кобельков Г. М. Численные методы: Учеб. пособие для вузов/МГУ им. М. В. Ломоносова. 4-е изд. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 636с.

132. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. — 286с.

133. Калиткин H. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512с.

134. Андерсен Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1990. т. 1,2. 726с.

135. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. — 616с.

136. Флетчер К. Вычислительные методы в механике жидкости. В 2-х томах /под ред. Шидловского. М.: Мир, 1991. 504, 552с.

137. Никущенко Д. В., Рогожина Е. А. Применение пакета Fluent® для нахождения суммарных и распределенных гидродинамических характеристик сложных крыльев систем. СПб.:2004.

138. Никущенко Д. В. Исследование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе расчетного комплекса FLUENT®. Учеб. Пособие. СПб.: Изд. СПбГМТУ, 2006. 92с.

139. Седов Л. И. Механика сплошной среды. T.I, И. М.: «Лань», 2004. -528, 560с.

140. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. -310с.

141. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.:Мир, 1975. 592с.

142. Фомин В. Л. Механика континуума для инженеров. Л.: Изд-во ЛГУ, 1975.- 116с.

143. Павловский В. А. Реологические модели механики сплошных сред: Учеб. пособие. Л.: ЛКИ, 1983.

144. Астарита Д., Маруччи Д. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978. -312с.

145. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. — 370с.

146. Ильюшин А. А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. — 376с.

147. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред./Пер. с болг. В. А. Дмупанова, С. П. Радева. М.: Мир, 1979. -302с.

148. Новожилов В. В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругой среде//ПММ. 1951. T.XV. с. 180-194.

149. Новожилов В. В. О физическом смысле инвариантов напряжения, используемых в теории пластичности/ЯТрикладная математика и механика. 1952. Т. XVI. Вып.5. с.617-619.

150. Эриксон М. Исследование по механике сплошных сред. М.: Мир, 1977.

151. Белов И. А. Модели турбулентности: Учеб. пособие. 2-е изд., перераб. и доп. JL: Изд-во ЛМИ, 1986. 100с.

152. Launder В. Е., Reece G. J., Rodi W. Progress in the Development of a Reynolds-Stress Turbulence Closure//J. Fluid Mech. 68(3). 1975 -p.537-566.

153. Нг, Пэн, Линеаризованная теория турбулентного течения смазки, Теоретические основы инженерных расчетов, № 3, 1965, стр. 157, изд-во Мир.

154. Элрод, Нг, Теория турбулентного течения жидкости в тонких пленках и ее применение к подшипникам, Теоретические основы инженерных расчетов, №4, 1967, стр. 266, изд-во Мир. г

155. Strelets M.: Detached Eddy Simulation of Massively Separated Flows, AIAA 2001-0879, (2001).

156. Чистов А. Л. О построении моделей турбулентных течений в пакетах прикладных программ//Процессы управления и устойчивость. Труды XXXVIII международной научной конференции аспирантов и студентов (CPS'07). СПб.: Изд-во СПбГУ, 2007. с.221-226.

157. Павловский В. А., Чистов А. Л. Связь между истинной и изотропной диссипациями через осредненные параметрытечения//Проблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС: Межвуз. сб. науч. трудов/ГОУВПО СПбГТУ РП. 2007. с.3-4.

158. Чистов А. Л. Единая ламинарно-турбулентная дифференциальная модель для течений вязкой несжимаемой жидкости. Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2008, вып.4, с. 103-106.

159. Никущенко Д. В., Чистов А. Л. Алгоритм расчета гидродинамических характеристик систем крыльев относительно большой толщины. Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2009, вып.З, с.95-104.

160. Павловский В. А., Чистов А. Л. Расчет плоского напорного течения Куэтта при произвольных числах Рейнольдса//Проблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС: Межвуз. сб. науч. трудов/ГОУВПО1. СПбГТУ РП. 2009. с.5-12.