Применение конформных преобразований к расчетам распределений токов, температур и магнитных полей двумерных проводников тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



На правах рукописи

Герасименко Татьяна Николаевна

ПРИМЕНЕНИЕ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ К РАСЧЕТАМ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ТОКОВ, ТЕМПЕРАТУР И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ДВУМЕРНЫХ ПРОВОДНИКОВ

01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 ДЕК 2012

Москва — 2012

005056770

Работа выполнена на кафедре общей физики физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор П. А. Поляков

А. Н. Боголюбов,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

М. Л. Акимов,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры инновационного менеджмента института управления в промышленности, энергетике и строительстве Государственного университета управления

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук

Защита состоится 20 декабря 2012 г. в 16 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физический факультет, СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан « /5" » неиХ^К 20 Л?

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10

доктор физико-математических наук _

профессор ОУ-П. А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Тонкопленочные проводники и резисторы являются важными элементами современных электронных устройств. В частности, они используются в интегральных микросхемах, без которых немыслимо существование большинства современных приборов. Все большее распространение получают так называемые лаборатории на чипе (lab-on-a-chip) — миниатюрные приборы, позволяющие осуществлять несколько стадий биохимических процессов на одном чипе площадью порядка нескольких квадратных миллиметров. Все манипуляции в таких устройствах, как правило, ведутся с помощью электрических или магнитных полей, создаваемых миниатюрными проводами или магнитами.

Обладая активным сопротивлением, проводники и резисторы неизбежно нагреваются, причем нагрев может происходить неравномерно по поверхности проводника. Повышение температуры может приводить к размягчению поверхности проводника и нарушению его формы или к ускорению роста оксидных пленок на его поверхности и, как следствие, к изменению его свойств [Wang, Xu, 2007]. Знание распределения плотности тока и температуры по поверхности проводника крайне важно также и при работе с проводниками наноразмеров, в которых большие плотности тока и высокие температуры могут приводить к электромиграции материала проводников и, как следствие, к их разрушению и сбоям в работе схемы [Lai, Као, 2006].

Отсюда вытекает естественная необходимость детального исследования некоторых свойств проводников, которые в силу их малой по сравнению с линейными размерами толщиной можно считать двумерными.

На сегодняшний день такие задачи решаются в первую очередь численно с помощью универсальных программных пакетов. Такой подход при всех своих несомненных преимуществах обладает и рядом недостатков. В силу своей универсальности готовые программные пакеты не всегда дают оптимальное и, более того, верное решение поставленной задачи [Petersen, Carpenter, May, 2009]. Кроме того, решение полученное численным методом несет с собой только информацию, ограниченную набором исходных данных, что создает трудности при его анализе. В частности, анализ и устранение сингулярностей решения при численном расчете представляет собой целую проблему [Lai, Као, 2006].

В то же время, аналитическое решение уже в силу своей аналитичности относительно свободно от задания конкретных значений параметров

исследуемой системы и потому описывает ситуацию в целом, что делает его более доступным для анализа. Результат численного расчета будет сопоставим по эффективности с аналитическим решением только в том случае, если он будет произведен многократно, что может привести к существенным трудозатратам.

Все это приводит к тому, что развитие аналитических методов и получение новых аналитических решений остается важной и актуальной задачей.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является развитие аналитических методов решения задач электродинамики о распределении токов в двумерных проводниках различной формы и применение полученных результатов к расчетам температур и магнитных полей этих проводников.

Научная новизна

В диссертационной работе впервые предложен способ построения приближенных аналитических решений задачи о распределении комплексного потенциала в двумерных проводниках сложной формы с различными расширениями, сужениями и изгибами. Получены в аналитическом виде отображения, переводящие верхнюю комплексную полуплоскость в полосы, изогнутые под углами 30, 60 и 120 градусов и посчитаны распределения токов в соответствующих проводниках. Разработан способ скругления внутреннего угла проводника, позволяющий получить скругляющую дугу близкую по форме к дуге окружности.

На основе полученных решений создан оптимальный алгоритм расчета распределений температур в указанных проводниках и впервые найдены критерии физического подобия распределений температуры в геометрически подобных двумерных проводниках, нагреваемых постоянным током равной плотности.

На основе полученных аналитических формул для распределений токов разработан новый эффективный способ расчета магнитных полей рассмотренных проводников. Это позволило рассчитать пондеромоторные силы, действующие на магнитную микрогранулу в поле прямоугольного витка с током и определить вклад, который вносит в магнитное поле проводника печатной платы дефект прямоугольной формы.

Научная и практическая значимость работы

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в различных практических приложениях, таких как расчет сопротивлений

тонкопленочных резисторов, оценка времени работы микросхем, расчет пондеромоторных сил при работе с магнитными микро- и наногранулами, задачи о тестировании печатных плат и т.д.

Полученные аналитические решения могут быть также нспользованы и в чистом виде, к примеру для тестирования численных алгоритмов. Они позволяют делать выводы об общих закономерностях решения в проводниках более сложной формы, к примеру, предположить наличие сингулярно-стей.

Кроме того, аналитические решения для распределений комплексного потенциала могут быть использованы и в задачах гидродинамики при рассмотрении плоского безвихревого течения идеальной жидкости.

Апробация работы

Содержание различных разделов диссертационной работы представлялось в виде докладов на международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2006» (МГУ, Москва, 2006), «Ломо-носов-2007» (МГУ, Москва, 2007),«Ломоносов-2009» (МГУ, Москва, 2009); на XV и XVI международных конференциях «Радиолокация и связь» (Фир-сановка, Московская обл., 2007, 2008); на XVII международной конференции «Магнетизм, дальнее и ближнее спин-спиновое взаимодействие» (Фирсановка, Московская обл., 2009); на XVII, XIX и XX международных конференциях «Электромагнитное поле и материалы» (Фирсановка, Московская обл., 2010, 2011, 2012) на российских конференциях с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения» УКИ'Ю и УКИ'12 (ИПУ РАН, Москва, 2010, 2012): на 4-й международной научной конференции FMNS 2011 (South-West University «Neofit Rilski», Blagoevgrad, Bulgaria, 2011).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 18 научных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, четырех приложений и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 144 страницы. Диссертация содержит 76 рисунков. Список литературы включает 115 ссылок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 (Введение) содержит обзор направлений, в рамках которых возникают задачи, решаемые в последующих главах.

В разделе 1.1 дано обоснование актуальности темы диссертации.

Раздел 1.2 посвящен обзору способов расчета сопротивлений и распределений тока в тонкопленочных проводниках и резисторах. Описана идея метода конформных преобразований и дан обзор работ, в которых для решения поставленных задач используется преобразование Шварца-Кристоффеля. Приведены примеры возникновения сингулярностей в распределении плотности тока в различных проводниках.

Раздел 1.3 посвящен описанию возможных приложений решения задач о распределении плотности тока. Рассмотрены задачи о нагреве тонкопленочных проводников и описаны возможные сложности при их численном решении. Описан ряд проблем, связанных с возникновением и обнаружением дефектов в проводниках, в частности, продемонстрирована необходимость вычисления магнитного поля проводника с дефектом при применении устройств с перемещаемыми зондами.

Описана концепция устройств на чипах (1аЬ-оп-а-сЫР) и свойства широко применяемых в них магнитных микро и наногранул. Записаны выражения для магнитного момента микрогранул и уравнение движения микрогранулы в вязкой жидкости под действием магнитного поля. Описаны практические приложения таких микро и наногранул и способы управления ими с помощью магнитных полей плоских проводников и постоянных

магнитов.

В разделе 1.4 сформулирована цель диссертационной работы и описана ее структура. В конце главы 1 приведен список публикаций, в которых

изложены основные результаты исследований.

Целью Главы 2 является поиск распределений комплексного потенциала и тока в плоских проводниках различной формы. Рассматриваются проводники в виде бесконечных полос с изгибами, расширениями или сужениями. С учетом отсутствия протекания тока через боковые границы проводника и в предположении, что суммарный ток через него известен, комплексный потенциал удовлетворяет следующей задаче:

(д21У д21У __ о

дх2 + ду2 \ д1т[]У(х,у)]

= 0,

(х,у)е£>П1,9П2

I дп

где дО.1 и дП2 - две не соединяющиеся границы проводника. Для её решения используется метод конформных отображений. Решение поставлен-

ной задачи в верхней комплексной полуплоскости соответствует решению задачи о распределении комплексного потенциала точечного заряда, помещенного в начало координат

Ш{г1) = К\ пЫ,

где К — некоторая константа, зависящая от начальных условий. Отображением верхней комплексной полуплоскости на рассматриваемую область с помощью преобразования Кристоффеля-Шварца, получается решение исходной задачи.

Раздел 2.1 посвящен нахождению непосредственно отображений переводящих верхнюю комплексную полуплоскость в интересующие области. Использование преобразования Кристоффеля-Шварца позволяет получить решения в аналитическом виде лишь для ограниченного числа областей, в большинстве же случаев, в частности и для областей, приведенных на рис.1, приходится численно брать интеграл от функции комплексного переменного и численно находить константы преобразования. В связи с

Рис. 1. Рассматриваемые проводники.

этим в подразделе 2.1.1 разработан способ, позволяющий избежать этой трудности и получить приближенные аналитические решения для проводников, в которых есть области с относительно однородной плотностью тока по всей ширине. Для этого задача решается в области с меньшим числом углов, к примеру для полосы с уступом или для полосы, изогнутой под прямым углом. Отображения таких областей на верхнюю полуплоскость задаются в аналитических функциях. К примеру, для полосы с уступом оно имеет вид [Смайт, 1954]:

Н

г = —

7Г

где

Это отображение позволяет построить картину силовых линий и эквипо-тенциалей в полосе с уступом. Затем эти картины обрезаются вдоль предполагаемой оси симметрии и отражаются. При точном решении задачи эк-

У, (г. М г .У II У///////////////А

А 1 а Е к К

С £ ОЕ//У//Р х, 0 <У///////////////х

Рис. 2. Определение погрешности для проводника с прямоугольным вырезом.

випотенциаль, находящаяся в центре, в силу симметрии будет прямой линией. В случае приближенного решения она отклонится от перпендикуляра на некоторую величину Ах (рис. 2), которую мы использовали для оценки погрешности, разделив её на характерный размер в проводнике. Знание отображения (1) позволило найти в аналитическом виде связь между величиной погрешности и радиусом £ полуокружности верхней комплексной полуплоскости, переходящей в центральную эквипотенциаль:

1 Ь

тгЬ- 1

1п

+ 1,„

'у^бМЧ + л/ГН4

Уч/^ё-Ьч/т^Т,

— 1п

+

11п ьуг+^+^н ъ +7

Также аналитическом виде удалось найти связь между длиной выреза и радиусом этой полуокружности:

I = 2—

7Г

(_ 11п ШЕА+ьут^

Последнее выражение при заданной длине I является уравнением относительно В силу взаимной однозначности конформного отображения, его можно решать численно простейшим методом половинного деления. Таким образом, найдя £ по заданному I нетрудно вычислить погрешность а.

Рис. 3. Линии тока в проводниках, изображенных на рис. 1.

Линии тока, совпадающие с линиями равного уровня мнимой части комплексного потенциала, построенные таким способом, приведены на рисунке 3. Во всех случаях погрешность не превышает 1%.

В конце данного раздела формулируется общий алгоритм построения распределений комплексного потенциала в областях, которые могут быть составлены из четырехугольников, отображение верхней комплексной полуплоскости на которые известно в аналитическом виде. Для примера этот алгоритм применяется к построению линий тока в ловушке для магнитных микрогранул, имеющей вид прямоугольного витка с током. Результат приведен на рис. 4.

Подраздел 2.1.2 посвящен построению распределений комплексного потенциала в проводниках, изогнутых под различными углами. Поскольку любое иррациональное число можно со

сколь угодно большой точностью приблизить рациональным, угол изгиба проводника а можно записать в виде а = тг/3 и 1 — /3 = Р/С^, где Р и <3 — целые числа. В этом случае интеграл Кристоффеля-Шварца, отображающий верхнюю комплексную полуплоскость на полосу, изогнутую под

Рис. 4. Картина линий тока в прямоугольном витке

углом, можно свести к рациональному [КоЬег, 19571:

* = -(1 + аПС1 1)*' (2)

где

{гх + а^ _ Ь,. . , //гЛ Т^

- с=-(*»>«-•

Нами этот интеграл был взят для следующих углов (здесь к — ширина нижней части полосы, И — верхней): а = 120°:

г = С 1п(4 + Ь) + ^ 1п(42 -Ы + Ъ2) - 1п(£ - 1) + ^ 1п(42 + t + l) ( 2« - Ъ - гл/3 Ъ \ гл/3 . ( \

где

С = 3 + г), С^^ + ^к + Н),

1

«1 + ь3А3 , л

• »"Г

а = 60°:

где

С 1п(4 + й) - ^ 1п(г2 - Ы + Ь2) - 1п(* - 1) + \ 1п(42 + 4 + 1) п/3, /'-24 + Ь-»>/ЗЬ\ гл/3. - 1 - \ , ^

/*1+Ь3\з [К 1 = гГ^Ту ' 6=УР

а = 30°:

H5 \—t + ib

где

Уз f t2 + V3bt + b2 + 2Ь5 П l ¿2 _ ^bi + 62

2t + 1 +г\/3 \ ¿V3ln / 2t- 1+гл/З

j_lnf 21 + УЗb + ib\ ( 2t - УЗb + ib N

+ 265 П \-2i- ч/ЗЬ + гбУ + 265 П + \/36 + ¿6,

. ft+l\ 1, /i2+i + l

27T 2 \ 2

t

z 1

+ Ь6\б

+ cb

. -1

Картины линий тока, построенные с помощью этих отображений приведены на рис. 5.

; = 60°; h = k = 1

а = 120°; h = 1,5; к = 1

0 1

Рис. 5. Линии тока в проводниках, изогнутых под различными углами.

В разделе 2.2 показано, что распределения тока в рассмотренных проводниках будут определяться следующими выражениями:

jx = ¿Re [J(zi(z))], jy = -Alm [3(Zl(*))], j = A |3(*i(z))|,

где А = J/(itt), г<АД- толщина проводника, J — сила тока в нем,

-,( ^ 1 dz1 2{zi) = —г--z\ dz

Продемонстрировано, что плотность тока будет стремиться к бесконечности во внутренних углах проводников (под внутренними понимаются углы большие тг). Для того, чтобы избежать этой сингулярности, рассматриваются проводники с небольшим скруглением во внутреннем угле. Для этого конформное преобразование для области, изогнутой под углом, записывается в следующем виде:

"К"1-1-"

21 + а

здесь 5и 62 и 7 — параметры, зависящие от радиуса скругления; ¿1 < 1; 52 и 7 могут принимать значения как большие, так и меньшие 1. Показано, что при допущении 1 - /? = Р/0 это выражение может быть сведено к

следующему:

1{1)+11{1-51)+11{1 + 52),

г

где

Г__^-ей, (3)

т и/

21 + а \ <3

1т~ \21 -т,

Формальная эквивалентность выражений (2) и (3) позволяет использовать для расчетов результаты, полученные ранее при рассмотрении нескруглен-ных углов.

Для определения неизвестных параметров при известном радиусе скругления р получена следующая система уравнений:

'Ке[г{1)] = к + р{1-вт^,

И + к соэ а (л . а\ ос

[\г(1) - <1 - 6Х)\ = и(1) - 2(1 + ¿2)|,

которая решается численно. Результаты применения этой техники приведены на рис. 6

Выражения для З^) в случае скругленного внутреннего угла имеют

вид:

и-/?

тг(1 + 27) _[31 + а

^ = Ь(8т а - » соз а) [Х1 - I+ 7^1 - 1 + ¿хМ +1^-1- Н1^

а = 60°; к = к — 1\р = 0.02А: а = 120°; /г = 1,5; к = 1

Рис. 6. Примеры линий тока в проводниках со скругленным углом.

для проводников, изогнутых под углом и

7г(1 + 2-у) _л/^Г

аы

/г

у/21 - 1 + -1+^1 + 7\/- 1 - ¿2

для полосы с уступом.

Целью главы 3 является исследование распределений температуры, возникающих в проводниках, плотность тока в которых существенно неоднородна. Для этого в разделе 3.1 рассматривается модельная задача о распределении тока в тонком проводящем диске радиуса А, нагреваемом постоянным током. Предполагается, что ток силой подводится тонким проводом радиуса а < А. Предполагается также, что температура на границе диска совпадает с температурой окружающей среды, и нет теплообмена между подводящим проводом и диском. Решение такой задачи имеет вид:

! \ 01 ы(г) = —

Ко(кг) I ^¿х - 1о{пг) I

К0(х)

(1X

СМкг) + С2К0{кг),

(4)

где и(г) — разность между температурой диска и температурой окружающей среды, г — радиус диска, а = 7^р/(47г2), к = /3 — коэффициент теплопроводности, — коэффициент теплоотдачи с поверхности, р — удельное сопротивление (/3 и р пересчитаны на единицу площади поверх-

ности)

= " р Кок + 10к! ~ Р Коп + кк

а КоЛ , п а ■

кА к.А

J х ./я

йх = Г],

Кп(кА) = Кп, 1п(кА) = 4, К„(ка) = к„, 1п(ка) = гп-

Исследованы предельные случаи, соответствующие преобладанию различных механизмов отвода тепла от наиболее нагретых участков проводника. В случае преобладания теплоотвода а счет теплопроводности вдоль диска асимптотика выражения (4) имеет вид:

! \ а Л 2 А , 2 г

щг) и — 1п--1п -

К ' 2 р \ а а

в нулевом порядке по к и

. . а Г1 2 А , 2 г\ к2 а2 , А. 2 А к2г2 (. 2 А , 2 г иг «- - 1п2--1п2- +—— 1п-1п2- + —- 1п2--1п2-/3 ^ 2 \ а а) 4 га 8 \ а а

А21п-- г2 1п г) + Ак2(А2 _ г2)

а а/ 8 г 16 '

во 2-м порядке (слагаемые первого порядка отсутствуют).

В случае преобладания механизма теплоотдачи с поверхности, асимптотика следующая:

а / а \ 5Ь(/с(Л — г)) Га а бЦк^г — а)) 1А

~ Лг2 + иа2) - а)) V г /гА2 8Ь(к(Л - а)) V г

где щ — разница между температурой в центре проводника и температурой окружающей среды. В последнем случае видно, что распределение температуры зависит от радиуса так же, как распределение источников тепла, однако, для реальных металлов реализуется первый случай, когда распределение температуры существенно сглаживается по сравнению распределением тепловых источников.

В разделе 3.2 решаются задачи о распределении тепла в проводниках, рассмотренных в главе 2. Предполагается, что сопротивление линейно зависит от температуры и отсутствует теплоотвод через боковые границы проводников. Задачи решаются численно, в связи с этим в проводниках выделяется некоторая конечная область. Она выбирается так, что ее границы

перпендикулярны границам проводника и находятся на таких расстояниях от угла, где распределение тока уже можно считать однородным. Это позволяет предположить, что в силу равномерности распределения тока, а следовательно, и источников тепла, градиент температуры на границах можно считать пренебрежимо малым. Т.е. на всей границе заданы условия Неймана. Окончательно задача записывается в следующем виде:

Ди(х,у) - [к2 - /(х,у)а]и(х,у) = -/О, у), при (х,у) € П,

ди{х, у) (5)

—^— = 0, при (х, у) е дП.

Здесь П — рассматриваемый участок проводника и

1(х,У) = —-р—Ре-

Для решения этой задачи используется метод конечных элементов. При этом учитывается тот факт, что все рассматриваемые области получены из верхней комплексной полуплоскости с помощью конформных преобразований. Это позволяет задавать узлы триангуляции в верхней комплексной полуплоскости и сразу ставить им в соответствие функцию правой части. Такой подход дает возможность избежать трудоемкой процедуры задания границ области из геометрических соображений и автоматически дает сгущение узлов вблизи внутренних углов, где функция правой части может сильно возрастать. Подраздел 3.2.1 посвящен получению системы уравнений метода конечных элементов для рассматриваемой задачи. В подразделе 3.2.2 описана техническая реализация используемого алгоритма.

В разделе 3.3 исследуются размерные эффекты в двумерных проводниках. Установлено, что распределения температур в геометрически подобных проводниках с равными плотностями тока будут физически подобными лишь в том случае, когда у этих проводников совпадают следующие параметры, являющиеся критериями подобия:

С21гт С2з2Рв

П1 = —¡3-, п2 = - , Па = аТ, тр Тр

где С — характерный линейный размер в системе, Т — характерный масштаб температуры, а — температурный коэффициент сопротивления.

Примеры распределений температуры в геометрически подобных проводниках, по которым течет ток равной плотности приведены на рис. 7.

Раздел 3.4 посвящен экспериментальной проверке некоторых из полученных результатов. В качестве образцов для измерения использовались

С = 1 мм

С = 5 см

5 10 15 20

X, см

Рис. 7. Распределения температуры в геометрически подобных алюминиевых проводниках.

проводники двух типов: проводник с прямоугольным вырезом размерами /I = 1, 5 см, к = 2 мм, I = 2 мм и проводник, изогнутый под прямым углом с /г = к = 1 см. Проводники были изготовлены из алюминиевой фольги толщиной 10 мкм.

160 140 120 а 100 н 80 60 40 20

01234567 12345678

I, А I, А

Рис. 8. Зависимость температуры перемычки (а) и температуры вблизи внутреннего угла (Ь) от пропускаемого тока. Точками отмечены экспериментальные данные, сплошная линия — результаты расчета.

Нагрев производился постоянным электрическим током, распределение температуры по поверхности образцов определялось оптическим методом при помощи ИК-термографа ЗАТ-ЭШ, позволяющим получать как картину распределения температуры, так и температуру в отдельных точках проводника. На рисунке 8 приведены экспериментальные и теоретические зависимости температуры перемычки и температуры вблизи внутрен-

него угла проводника от пропускаемого тока.

Эксперимент ставил своей целью проверку качественного соответствия реальных распределений температуры с теорией, однако было установлено, что имеет место также и количественное в пределах 30% совпадение теоретических результатов с экспериментом.

Глава 4 посвящена расчету магнитных полей, создаваемых двумерными проводниками. В разделе 4.1 описан общий подход к расчету магнитного поля от рассмотренных проводников. Суть его заключается в том, чтобы, как и в главе 3, отделить ту область проводника, в которой происходит перераспределение плотности тока, от полубесконечных полос, в которых плотность тока однородна. Магнитное поле от конечной части проводника рассчитывается численно с помощью закона Био-Савара-Лапласа. При этом вновь используется тот факт, что выделенная область проводника получена известным отображением из полукольца в верхней комплексной полуплоскости. Поэтому интегрирование велось в переменных где

у = 1пг, г и <р — модуль и аргумент комплексной переменной в исходном полукольце (рис. 9). Модуль якобиана преобразования (х, у) -> (у, ¡р) имеет

Рис. 9. Преобразование области интегрирования.

вид

А2

\Лу,ч>)\ = -у

где А = Магнитное поле конечного участка проводника вычисля-

ется как:

»1 г

Н£,77,С =- / / рз \ 47-

VI О

где (£, г], С) — координаты точки наблюдения. Такой переход позволяет избежать необходимости задавать сетку в области сложной формы и дает возможность использовать один и тот же алгоритм для всех рассматриваемых проводников.

Поле от полубесконечных полос рассчитывалось аналитически виде. Пример расчета магнитного поля от проводника, изогнутого под углом 60°, приведен на рис. 10

-1 0 1 2 3 4 5 6

X, мм

10 1 2 3 4 5 X, мм

Рис. 10. Компоненты поля проводника, изогнутого под углом 60° с параметрами И = к = 1 мм, по которому течет ток 1 А, на высоте 100 мкм над проводником.

Раздел 4.2 посвящен приложению полученных результатов к задаче об управлении магнитными микрогранулами. Уравнение движения магнитной микрогранулы в вязкой жидкости:

4 ,

Ма = - -жг^р/ё - 6ттг]г\ + Еропй,

где М — масса микрогранулы, г — ее радиус, V и а — скорость ее движения и ускорение, соответственно, р/ — плотность жидкости, в которую помещена микрогранула, г) — динамическая вязкость этой жидкости. Пон-деромоторная сила, действующая на микрогранулу во внешнем магнитном поле, имеет вид [Кузьменков, Харабадзе, 2004]:

= тфД,

где т — магнитный момент гранулы. В связи с этим важным этапом в решении задач о движении магнитной микрогранулы является расчет магнитного поля управляющей системы и его производных. Методика расчета описанная в разделе 4.1 позволила рассчитать поле сил, действующих на микрогранулу в поле прямоугольного витка с током, рассмотренного в главе 2. На рис. 11 приведены картины этих полей на различных высотках над витком. Из них видно, что точка, в которой окажется микрогранула, зависит от высоты подложки над ловушкой.

Рис. 11. Силовое поле в плоскости ху на высотах 5 см (а), 5 мм (Ь) и 500 мкм (с) над ловушкой размерами 10x10 мм.

Системы токов требуемых размеров не способны создать больших магнитных полей, поэтому пондеромоторная сила, создаваемая ими оказывает заметное влияние на микрогранулу лишь на небольших (порядка ширины проводника) расстояниях от провода. Для того, чтобы получить возможность влиять на движение микрогранул на больших расстояниях используются постоянные магниты. В связи с этим в подразделе 4.2.1 рассматривается принципиальная возможность усиления внешнего магнитного поля полем постоянного магнита. Демонстрируется, что с помощью тонкой ферромагнитной пластинки среднее по объему датчика значение напряженности поля может быть усилено в 18-19 раз. Такие концентраторы могут быть использованы в первую очередь для регистрации микрогранул после того, как они попали в нужную точку над датчиком. В том же случае, когда усиливается поле проводника с током, постоянный магнит существенно искажает поле, поэтому в подразделе 4.2.2 рассматривается движение микрогранулы в поле постоянного прямоугольного магнита. Установлено, что в этом случае существует три точки, в которые микрогранула может попасть в результате своего движения. Все они лежат на линии, проходящей через центр магнита в направлении вектора намагниченности. Точки, в которых положение микрогранулы будет устойчивым, при уменьшении расстояния между дном кюветы, в которую помещены микрогранулы, смещаются от центра магнита к его граням. Точка неустойчивого равновесия находится в центре.

Исследуется возможность ускорения осаждения микрогранул полем постоянного цилиндрического магнита, размеры которого существенно превышают размеры кюветы с микрогранулами. В этом случае одна из точек устойчивого равновесия замещается точкой неустойчивого, а точка

неустойчивого равновесия в центре пропадает. Обе точки при уменьшении расстояния между дном кюветы и магнитом смещаются от периферии к граням магнита неустойчивого равновесия замещает собой точку устойчивого.

Раздел 4.3 посвящен еще одному практическому приложению полученных результатов, а именно, задаче о тестировании печатных плат. Рассматривался прямолинейный проводник платы шириной к = 1 мм с дефектом в виде прямоугольного выреза размерами к — 200 мкм, I = 400 мкм толщиной 18 мкм, по которому течет ток силой 1 А.

Поскольку реальная плата содержит проводники конечных размеров, и проводник, содержащий дефект, может иметь изгибы и сужения, предусмотренные конструкцией, более удобным оказалось искать не все поле проводника с дефектом, а то возмущение, которое вносит в него дефект. Для этого вычислялось поле от части проводника, содержащей дефект, а затем из него вычиталось поле, которое создавал бы проводник без дефекта такой же длины, ток в котором направлен в противоположную сторону. Таким образом, рассматривалось поле, создаваемое вихревым током, локализованным в ограниченной области пространства. Дополнительно вычисляется дипольный момент, создаваемый соответствующим вихревым током. Сравнение г-х компонент этих полей (которые на практике измеряет датчик) на различных высотах над проводником приведено на рис. 12.

(а) (Ъ)

Рис. 12. Распределение г-составляющей магнитного поля вдоль проводника со стороны дефекта на высотах 400 мкм (а) и 4 мм (б) над проводником.

Было установлено, что уже на высотах в 2-3 раза превышающих размеры дефекта возмущение поля, обусловленное дефектом, можно моделировать полем эффективного диполя.

В Главе 5 (Заключении) подведены итоги диссертационной работы

и сформулированы основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработан метод, позволяющий получать приближенные аналитические решения для распределений тока в двумерных проводниках содержащих участки, плотность тока в которых можно считать однородной по всей ширине проводника.

2. Получены в аналитическом виде отображения, переводящие верхнюю комплексную полуплоскость в полосы, изогнутые под углами 30°, 60° и 120°, с помощью которых найдены новые аналитические решения задачи о распределении токов в соответствующих проводниках.

3. Разработан способ построения отображения верхней комплексной полуплоскости на полосу, изогнутую под углом, в которой внутренний угол скруглен симметричной дугой. Данный способ позволил получить аналитические решения для распределений плотности тока, в которых отсутствуют нефизические сингулярности.

4. Найдено точное аналитическое решение задачи о распределении температуры в тонком проводящем диске, по которому протекает постоянный ток и исследованы предельные случаи, соответствующие преобладанию различных механизмов теплоотвода.

5. Предложена эффективная схема численного решения задачи о распределении температуры в двумерных проводниках методом конечных элементов, использующая полученные конформные преобразования для оптимизации задания узлов триангуляции в областях сложной формы.

6. Показано, что точки экстремума температуры в проводнике, могут не совпадать с точками, в которых выделяется максимальное джоу-лево тепло. Найдены критерии физического подобия распределений температуры в геометрически подобных проводниках, нагреваемых токами с равной плотностью.

7. В рамках разработанного подхода рассчитаны магнитные поля для ряда прикладных задач. Получено поле пондеромоторных сил, действующих на магнитную микрогранулу в поле прямоугольного витка с током. Установлена возможность точного позиционирования микрогранулы полем постоянного магнита.

8. Рассчитан вклад, который вносит в магнитное поле проводника печатной платы дефект прямоугольной формы и исследована возможность его аппроксимации полем эффективного диполя.

В Приложения вынесены громоздкие вычисления, несущественные для понимания основного текста диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Герасименко Т. Н., Поляков, П. А. Распределение температуры в тонком проводящем диске, нагреваемом постоянным током. — Вестник Моск. ун-та. Физ., Астрон. - 2012. - № 3. — С. 63-66.

2. Герасименко Т. Н., Поляков П. А., Касаткин С. И., Амеличев В. В. Новый метод управления магнитными наногранулами в магннторези-стивном биосенсоре. — Датчики и системы — 2012. — №1. — С.3-6.

3. Амеличев В. В., Герасименко Т.Н., Поляков П. А., Касаткин С. И. Градиентное магнитное поле для управления магнитными микро- и наногранулами в вязкой среде. —Датчики и системы — 2011. — №1.

- С.15-19.

4. Герасименко Т. Н., Иванов В. И., Поляков П. А., Попов В. Ю. Применение конформных преобразований к краевым задачам расчета токов в полосковых проводниках. — Фундамент, и прикл. матем. — 2009.

- Т. 15, № 6. - С. 3-14.

5. Вагин Д. В., Герасименко Т. Н., Поляков П. А. Точное аналитическое выражение для индукции магнитного поля образца прямоугольной формы. —Вестник Моск. ун-та. Физ., Астрон. — 2008. — № 6. — С. 54-56.

6. Программа для ЭВМ «Расчет распределений температур в плоских проводниках, нагреваемых постоянным током. Версия 1»: свидетельство о регистрации электронного ресурса №18614 от 25.10.2012 г. /Т. Н. Герасименко, П. А. Поляков. Инв. номер ВНТИЦ №50201251288 от 02.11 2012 г.

7. Герасименко Т. Н., Поляков П. А. Особенности распределений температуры в плоских проводниках различной конфигурации //Сборник трудов XX международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». (16-18 ноября 2012 г., Фирсановка, Московская обл.) — М.: изд-во «Альянсинвест», 2012. — С.371-378.

8. Герасименко Т. Н., Поляков П. А., Касаткин С. И. Новый метод управления магнитными наногранулами в магниторезистивном биосенсоре. //Труды и пленарные доклады участников конференции УКИ'12 / Научное издание. Электрон, текстовые дан. - М.:ИПУ РАН, 2012 - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM) - ISBN 978-5-91450-100-3 -С. 000688-000694

9. Герасименко Т. Н., Поляков П.А. Точное аналитическое решение задачи о нагреве тонкого проводящего диска постоянным током. //Сборник трудов XIX международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». (18-20 ноября 2011 г., Фирсановка, Московская обл.) - М.: изд-во МЭИ, 2011. - С.291-300.

10. Герасименко Т. Н., Поляков П. А. Исследование влияния пондеро-моторной магнитной силы на движение микроскопической частицы в вязкой жидкости. //Сборник трудов XIX международной конференции "Электромагнитное поле и материалы". (18-20 ноября 2011 г., Фирсановка, Московская обл.) — М.: изд-во МЭИ, 2011. — С.280-290.

И. Polyakov Р. А., Gerasimenko Т. N., Giudjenov I. Application of conformal mapping technique to problems of direct current distribution in thin film wires. //Proceedings of the Fourth International Scientific Conference

— FMNS2011( 8-11 June 2011, Faculty of Mathematics and Natural Science South-West University «Neofit Rilski» Blagoevgrad, Bulgaria), 2011. - Vol.l. - Pp.367-372.

12. Герасименко Т.Н., Поляков П.А., Касаткин С.И. Управление процессом осаждения и удаления магнитных микрогранул в вязкой среде. //Сборник трудов Второй российской конференции с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения (теория, методы, алгоритмы, исследования и разработки)» / Научное издание. Электрон, текстовые дан.

- М.:ИПУ РАН, 2010 - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM) - ISBN 9785-91450-061-7 - С. 000332-000340

13. Герасименко Т. Н., Поляков П. А. Аналитический метод расчета распределения плотности тока в плоских проводниках, изогнутых под произвольным углом. //Сборник трудов XVIII международной конференции «Электромагнитное поле и материалы» (19-21 ноября 2010 г., Фирсановка, Московская обл.). — М.: изд-во МЭИ, 2010. — С.252-265.

14. Герасименко Т. Н., Поляков П. А. Точное аналитическое решение задачи о двумерном распределении токов, обтекающих прямоугольную область в ленточном проводнике. //Сборник трудов XVI Международной конференции «Радиолокация и связь» (14-16 ноября 2008 г., Фирсановка, Московская обл.). — М.: изд-во МЭИ, 2008. — С.214-219.

15. Вагин Д. В., Герасименко Т. Н., Поляков О.П., Поляков П. А., Русаков А. Е., Русакова Н. Е. Расчет магнитного поля одноосевого домена. //Сборник статей по материалам Международной конференции «Радиолокация и связь» (9-11 ноября 2007 г., Фирсановка, Московская обл.). - М.: изд-во МЭИ, 2007. — С. 131-133.

16. Герасименко Т. Н., Поляков П. А., Герасименко Н. И., Касаткин С. И. Теория усилителя магнитного поля на основе ферромагнитной пластинки. //Сборник трудов 17-й международной конференции «Магнетизм, дальнее и ближнее спин-спиновое взаимодействие» (20-22 ноября 2009 г., Фирсановка, Московская обл.). — М.: изд-во МЭИ, 2009.

- С.152-158.

17. Герасименко Т. Н. Аналитический метод расчета статического магнитного поля плоского проводника с прямоугольным дефектом //Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2009». Секция «Физика». Сборник тезисов. — М.: Физический факультет МГУ, 2009. — С. 1213.

18. Вагин Д. В., Герасименко Т. Н. Точное аналитическое решение задачи магнитостатики в случае однородно намагниченного параллелепипеда. //Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2007». Секция «Физика». Сборник тезисов. — М.: Физический факультет МГУ, 2007.

- С.245-246.

Подписано к печати ¿2..±±.12 Тираж 100 Зцаз ?аа

Отпечатано а отделе оперативной печати фюнческога факультета МГУ

1 Введение

1.1 Постановка задачи.

1.2 Расчет распределений тока и идея метода конформных преобразований

1.3 Температурные распределения и магнитные поля

1.4 Цели и структура диссертации.

2 Распределение плотности тока в плоских проводниках

2.1 Построение распределений комплексного потенциала

2.1.1 Линии тока в составных областях

2.1.2 Проводники, изогнутые под различными углами

2.2 Распределения тока.

3 Пространственное распределение температуры в плоских проводниках

3.1 Распределение температуры в тонком проводящем диске . . 57 3.1.1 Предельные случаи.

3.2 Распределения температуры в тонких проводниках сложной формы.

3.2.1 Система уравнений метода конечных элементов

3.2.2 Техническая реализация.

3.3 Уравнение теплопроводности для двумерных проводников в безразмерных величинах.

3.4 Сравнение с экспериментом.

4 Магнитные поля, создаваемые плоскими проводниками

4.1 Общий подход

4.2 Управление магнитными микрогранулами.

4.2.1 Анализ концентратора на основе толстопленочного ферромагнитного параллелепипеда

4.2.2 Движение магнитной микрогранулы в поле постоянного прямоугольного магнита.

4.3 Тестирование печатных плат.

1. Zhang P., Lau Y. Y., Gilgenbach R. M. Minimization of thin film contact resistance.— Applyed Physics Letters. — 2010,— Vol. 97, no. 204103.— P. 204103.

2. Panhorst M. On-chip manipulation and positioning of biomolecules with magnetic beads: Ph.D. thesis / Bielefeld University. — 2005.

3. Yellen В. B. Magnetically programmable transport and assembly of colloidal particles: Ph.D. thesis / Drexel University. — 2004.

4. Remsburg R. Thermal design of electronic equipment. — Boca R.aton. CR.C Press LLC, 2001.

5. Wang X., Xu L. Finite element model analysis of thermal failure in connector. — J Zhejiang Univ Sci A. — 2007. — Vol. 8, no. 3. — Pp. 397402.

6. Lai Y.-S., Kao C.-L. Electrothermal coupling analysis of current crowding and Joule heating in flip-chip packages. — Microelectronics Reliability. — 2006. Vol. 46. - P. 1357-1368.

7. Hiptmair R. Finite elements in computational electromagnetism. — Acta Numer. 2002. - Vol. 11. - Pp. 237-339.

8. Lee J. S. A direct field formulation for transient eddy current calculations in thin conductors.— IEEE Trans, on Magnetics. — 1991.— Vol. 27, no. 5,- Pp. 4000-4003.

9. Brambilla R., Grilli F., Martini L., Sirois F. Integral equations for the current density in thin conductors and their solution by the finite-element method. Supercond. Set. Technol. - 2008. - Vol. 21. - P. 105008.

10. Dular P., Geuzaine C. Getdp: a general environment for the treatment of discrete problems. URL: http://geuz.org/getdp/ (дата обращения: 9.11.2012).14. «FreeFEM++». URL: http://www.freefem.org/ (дата обращения: 9.11.2012).

11. Lai Y.-S., Kao C.-L. Characteristics of current crowding in flip-chip solder bumps. — Microelectronics Reliability. — 2006. — Vol. 46. — P. 915-922.

12. Пономарев M. Ф. Конструкции и расчет микросхем и микроэлементов ЭВА. М.: Радио и связь, 1982.

13. Денисов В.И. Лекции по электродинамике. — М.: УНЦ ДО, 2007.

14. Moran P. L., Maiti С. К. A program to predict the resistance of trimmed film resistors. — Electrocomponent Science and Technology. — 1976. — Vol. 3,- Pp. 153-164.

15. Trefethen L. N. Analysis and design of polygonal resistors by conformal mapping. — Zeitschrift fuer angewandte Mathematik und Physik. — 1984. Vol. 35. - Pp. 692-704.

16. Смайт В. Электростатика и электродинамика.— М.: Издательство иностранной литературы, 1954.

17. Максвелл Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме, — М.: Наука, 1989.

18. Ламб Г. Гидродинамика. M.-JL: ГТТИ, 1947.

19. Милн-Томсон JT. М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964.

20. Jeans J. Н. The mathematical theory of electricity and magnetism. — Cambridge: printed by John Clay, M.A. at the University Press, 1911.

21. Фрязинов И. В. Разностные схемы для уравнений Лапласа в ступенчатых областях. ЖВМ и МФ. - 1978. - Т. 18, № 5. - С. 1170-1185.

22. Волков Е. А. Метод составных сеток для конечных и бесконечных областей с кусочно-гладкой границей. — Тр. МИАН СССР. — 1968. — Т. 96,- С. 117-148.

23. Волков Е. А. О методе регулярных составных сеток для уравнения Лапласа на многоугольниках. — Тр. МИАН СССР. — 1976. — Т. 140. — С. 68-102.

24. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1987.

25. Hagedorn F. В., Hall Р. М. Right-Angle Bends in Thin Strip Conductors.— Journal of Applyed Physics.— 1963,— Vol. 34, no. 1,— Pp. 128-133.

26. Kober H. Dictionary of conformal representation. — Dover, 1957.

27. Hall P. M. Resistance calculations for thin film patterns. — Thin Solid Films. 1967/68. - Vol. 1, no. 1. - Pp. 277-295.

28. Hall P. M. Resistance calculations for thin film rectangles. — Thin Solid Films. May 1997. - Vol. 300, no. 1-2. - Pp. 256-264.

29. Zhang K., Gong L., Unbehauen R. Field analysis of a circular thin-film/foil resistor. — Archw fuer Elektrotechnik. — 1993. — Vol. 76. — Pp. 423-426.

30. Choi W. J., Yeh E. C. C., Tuc K. N. Mean-time-to-failure study of flip chip solder joints on Cu/Ni(V)/Al thin-film under-bump-metallization. — J. Appl. Phys. 2003. - Vol. 94. - P. 5665.

31. Shao T. L., Chen Y. H., Chiu S. H., Chen C. Electromigration failure mechanisms for SnAg3.5 solder bumps on Ti/Cr-Cu/Cu and Ni(P)/Au metallization pads. J. Appl. Phys. - 2004. - Vol. 96. - P. 4518.

32. Lee T.-Y. T., Lee T.-Y., Tu K.-N. A study of electromigration in 3-D flip chip solder joint using numerical simulation of heat flux and current density. IEEE Trans. Comp. Pack. Tech. - 2004,- Vol. 27, no. 3.-Pp. 472-479.

33. Barletta A., Zanchini E. The temperature field in a cylindrical electric conductor with annular section. — Int. J. Heat Mass Transfer. — 1995. — Vol. 38, no. 15. Pp. 2821-2832.

34. Thorn R. J., Simpson O. C. Temperature gradients in inductively heated cylinders. J. Appl. Phys. - 1953. - Vol. 24. - P. 297.

35. Owens W. L. Transient temperature distribution in a flat plate and cylinder with periodic Joulian heating // Proceedings of the 1970 Heat Transfer and Fluid Mechanics Institute. — Stanford University Press, Stanford, California, 1970. P. 294.

36. Morgan V. T., Barton N. G. The time-dependent temperature distribution in a cylindrical conductor with Joule heating and temperature-dependent properties. J. Phys. D: Appl. Phys. - 1986. - Vol. 19. - P. 975.

37. Barletta A., Zanchini E. Steady periodic heat transfer in a flat plate conductor carrying an alternating electric current.— Int Comm. Heat Mass Transfer. 1995. - Vol. 22, no. 2. - Pp. 241-250.

38. Sahin A. Z., Yilbas B. S., Al-Garni A. Z. Transient heat conduction in a slab during direct resistance and induction heating. — Int Comm. Heat Mass Transfer. 1994. - Vol. 21, no. 2. - Pp. 199-206.

39. Abdel-Hamid B. A. Transient temperature distribution of periodic heat diffusion in a flat plate crossed by an alternating electric current. — J. Appl. Math. Modelling. June 1997. - Vol. 21. - Pp. 387-393.

40. You C.-Y., Sung I. M., B.-K. Joe Analytic expression for the temperature of the current-heated nanowire for the current-induced domain wall motion. Appl. Phys. Lett. - 2006. - Vol. 89. - P. 222513.

41. Buikis A., Kalis H. The mathematical modelling of the nonlinear heat transport in thin plate. — Mathematical Modelling and Analysis. — 1999. Vol. 4. - Pp. 44-50.

42. Лановая А.В., Иванов B.M., Лозенков А.А., Плужникова Т.Н. Разрушение дефектных проводников с током в магнитном поле. — Известия РАН. Серия Физическая. 2008. - Т. 72, № 9. - С. 1341-1343.

43. Иванов В. М., Винокуров Е. В., Печагин Е. А., Потапочкина М. И., Лановая А. В. Математическая модель электронно-оптической муаровой картины магнитного поля на дефектах элементов электрооборудования. Вестник ТГТУ. - 2005. - Т. 10, № 3. - С. 233-235.

44. Шохин А. В. Типовой технологический процесс монтажа печатных плат с применением SMD-компонентов. — СПб.: RAP, 2000.

45. Тупик В. А. Технология и организация производства радиоэлектронной аппаратуры, СПб.: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2005.

46. Касаткин С. И., Васильева Н. П., Муравьев А. М., Плотникова Н. В. Контроль и диагностика печатных плат и микросхем посредством анализа их магнитных полей, — Датчики и системы, ИКА. — 2008.^ Т. 1,- С. 49-53.

47. Козлов А. С., Щербаков С. А. Оптические методы контроля соединений на печатных платах и безопасность эксплуатации электронных устройств. — Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. 2006. - Т. 8. - С. 186-196.

48. Задорин А. Ю., Захарова Г. Б. Система автоматизированного визуального контроля печатных плат Aplite. — EDA Expert. — 2002. — Т. 73, № 10,- С. 53-56.

49. Spence Н. F. Printed circuit board diagnosis using artificial neural networks and circuit magnetic fields. — IEEE AES System Magazine. — 1994. Vol. 9, no. 2. - Pp. 20-24.

50. Рувинова Э. Неразрушающий контроль печатных плат методом вихревых токов.— ЭЛЕКТРОНИКА: Наука, Технология, Бизнес.— 2000,- Т. 5,- С. 60-61.

51. Васильева С. И., Муравьев А. М., И. Касаткин С. Устройства для обнаружения болезнетворных агентов на основе тонкопленочных магни-торезистивных биосенсоров. — Датчики и системы. — 2007. — Т. 3. — С. 54-58.

52. Васильева С. И., Владимирский М. А., Касаткин С. И. Магниторези-стивный биосенсор для обнаружения болезнетворных агентов. — Датчики и системы. — 2002. — Т. 2. — С. 48-56.

53. Leslie-Pelecky D. L., R.ieke R„ D. Magnetic properties of nanostructured materials. Chem. Mater. - 1996. - Vol. 8, no. 8. - P. 1770-1783.

54. Sandre O., Browaeys J., Perzynski R., Bacri J. C., Cabuil V., R.osensweig R. . E. Assembly of microscopic highly magnetic droplets: magnetic alignment versus viscous drag. — Phys. Rev. E. — 1999. — Vol. 59, no. 2. P. 1736-1746.

55. Gijs M. A. M. Magnetic bead handling on-chip: new opportunities for analytical applications.— Microfluid Nanofluid. — 2004,— Vol. 1,— P. 22-40.

56. Bean C.P., Livingston J.D. Superparamagnetism. — J.Appl.Phys. — 1959,-Vol. 30, no. 4,- P. 120.

57. Franco V., Conde C. F., Conde A., Kiss L. F. Relationship between coercivity and magnetic moment of superparamagnetic particles with dipolar interaction. Phys. Rev. B. - 2005. - Vol. 72. - P. 174424.

58. Кузьменков JI.С., Харабадзе Д.Э. Волны в системах частиц с собственным магнитным моментом (метод квантовой гидродинамики). — Известия ВУЗов. Физика. 2004. - Т. 4. - С. 87-93.

59. Вагин Д. В., Ким Н. Е., Поляков П. А., Русаков А. Е. Особенности распространения электромагнитных волн в горячей магнитоактивной плазме с учетом спина электронов. — Известия РАН. Серия Физическая. 2006. - Т. 70, № 3. - С. 443-447.

60. Vatta L. L., Sanderson R. D., Koch К. R. Magnetic nanoparticles: Properties and potential applications. — Pure Appl. Chem,. — 2006. — Vol. 78, no. 9,- P. 1793-1801.

61. Hafeli U. O., Pauer G. J. In vitro and in vivo toxicity of magnetic microspheres. — J. Magnetism Magn. Mater. — 1999. — Vol. 194. — P. 76-82.

62. Hafeli U. O., Sweeney S. M., Beresford B. A., Sim E. H., Macklis R. M. Magnetically directed poly(lactic acid) Y-90 microspheres—novel agents for targeted intracavitary radiotherapy. — J. Biomed Mater. Res. — 1994. Vol. 28, no. 8. - P. 901-908.

63. Safarik I., Safarikova M. Magnetic nanoparticles and biosciences.— Monatsh. Chem. 2002. - Vol. 133, no. 6. - P. 737-759.

64. Bauer L. A., Birenbaum N. S., Meyer G. J. Biological applications of high aspect ratio nanoparticles. — J. Mater. Chem. — 2004. — Vol. 14, no. 4. — P. 517-526.

65. R.osensweig R,. E. Heating magnetic fluid with alternating magnetic field. J. Magnetism Magn. Mater. - 2002. - Vol. 252. - P. 370-374.

66. Kourilov V., Steinitz M. Magnetic-bead enzyme-linked immunosorbent assay verifies adsorption of ligand and epitope accessibility.— Anal. Biochem. 2002. - Vol. 311, no. 2. - P. 166-170.

67. Qiao R., Yang C.i, Gao M. Superparamagnetic iron oxide nanoparticles: from preparations to in vivo MRI applications.— J. Mater. Chem.— 2009. Vol. 19. - Pp. 6274-6293.

68. Furlani E. P., Sahoo Y. Analytical model for the magnetic field and force in a magnetophoretic microsystem. — J. Phys. D: Appl. Phys. — 2006. — Vol. 39. P. 1724-1732.

69. Derks R. J. S., Dietzel A., Wimberger-Friedl R., Prins M. W. J. Magnetic bead manipulation in a sub-microliter fluid volume applicable for biosensing. — Micro fluid Nanofluid. — 2007. — Vol. 3. — P. 141-149.

70. Lund-Olesen T., Bruus H., Hansen M. F. Quantitative characterization of magnetic separators: Comparison of systems with and without integrated microfluidic mixers.— Biom,ed Microdevices. — 2007,— Vol. 9,— P. 195-205.

71. Smistrup K., Bruus H., Hansen M. F. Towards a programmable magnetic bead microarray in a microfluidic channel. — J. Magnetism Magn. Mater. 2007. - Vol. 311. - P. 409-415.

72. Pankhurst Q. A., Connolly J., Jones S. K., Dobson J. Applications of magnetic nanoparticles in biomedicine. — J. Phys. D: Appl. Phys. — 2003. Vol. 36. - Pp. R167-R.181.

73. Weddemann A., Herth S., Schilling M., Hutten A. Simulation of magnetic beads in on-chip structures // Proceedings of the COMSOL Users Conference. Frankfurt: 2006. - Pp. 166-169.

74. Liu Y., Jin W., Yang Y., Wang Z. Micromagnetic simulation for detection of a single magnetic microbead or nanobead by spin-valve sensors. — J. Appl. Phys. 2006. - Vol. 99. - P. 08G102.

75. Kumagai Y., Imai Y., Abe M., Sakamoto S., Handa H., Sandhu A. Sensitivity dependence of Hall biosensor arrays with the position of superparamagnetic beads on their active regions.— J.Appl.Phys. — 2008. Vol. 103. - P. 07A309.

76. Иванов В. И., Попов В. Ю. Конформные отображения и их приложения. М.: Едиториал УРСС, 2002.

77. Герасименко Т. Н., Иванов В. И., Поляков П. А., Попов В. Ю. Применение конформных преобразований к краевым задачам расчета токов в полосковых проводниках. — Фундаментальная и прикладная математика. 2009. - Т. 15, № 6. - С. 3-14.

78. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М.: ФИЗМАТГИЗ, 1963.

79. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, — М.: Наука, 1968.

80. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, — М.: ФИЗМАТГИЗ, 1962.

81. Guenin В. М., Marrs R. С., Molnar R. J. Analysis of a thermally enhanced ball grid array package. — IEEE Trans. Components Packag. Manuf. Technol. December 1995. - Vol. 18, no. 4. - Pp. 749-757.

82. Ellison G. N. Thermal computations for electronic equipment. — Krieger Pub Co, 1989.

83. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.— М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953.

84. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.

85. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1964.

86. Таблицы физических величин. Справочник. / Под ред. Кикоин И. К, — М.: Атомиздат, 1976.

87. Kang Н. J., Leung С. W. Enhanced convection from horizontal printed-circuit board with lifted electronic components. — Heat and Mass Transfer. 1998. - Vol. 33. - Pp. 265-272.

88. Физические величины: Справочник. / Под ред. Григорьев И. С., Мей-лихов Е. 3.— М.: Энергоатомиздат, 1991.

89. Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Лекции по математической физике. — М.: Издательство Московского университета, 1993.

90. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями.— A4.: Наука, 1968.

91. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. — М.: Мир, 1981.

92. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов.— М.: Мир, 1979.

93. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — М.: Мир, 1986.

94. Shewchuk J. R. Triangle: A Two-Dimensional Quality Mesh Generator and Delaunay Triangulator. URL: http://www.cs.cmu.edu/~quake/triangle.html (дата обращения: 9.11.2012).

95. Скворцов А. В. Триангуляция Делоне и её применение. — Томск.: Изд-во Том. ун-та, 2002.

96. Davis Т. A.- UMFPACK User Guide.- Dept. of Computer and Information Science and Engineering Univ. of Florida, Gainesville, FL, December 2011.

97. Buckingham E. On Physically Similar Systems; Illustrations of the Use of Dimensional Equations. — Phys. Rev. — 1914. — Vol. 4, no. 4. — Pp. 345376.

98. Седов JI.И. Методы подобия и размерности в механике. — М.: Наука, 1977.

99. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. — М.: Наука, 1973.

100. Engel-Herbert R., Hesjedal Т. Calculation of the magnetic stray field of a uniaxial magnetic domain. — J. Appl. Phys. — 2005. — Vol. 97. — P. 074504.

101. Печенков A. H. Аппроксимация сложных катушек с конечной толщиной для расчёта трёхмерных магнитных полей этих катушек. — Дефектоскопия. 2006. - Т. 10. - С. 27-32.

102. Furlani Е. P. Permanent magnet and electromechanical devices: materials, analysis and applications. — New York: Academic, 2001.

103. Герасименко Т. H., Поляков П. А., Касаткин С. И., Амеличев В. В. Градиентное магнитное поле для управления магнитными микро- и наногранулами в вязкой среде.— Датчики и системы.— 2011.— Т. 1,- С. 15-19.

104. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. Абрамовиц М., Стиган И.— М.: Наука, ФИЗМАТГИЗ, 1979.

105. Васильева А.В., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990.

106. Вагин Д. В., Герасименко Т. Н., Поляков П. А. Точное аналитическое выражение для индукции магнитного поля образца прямоугольной формы. — Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2008. - Т. 6. - С. 54-56.