Некоторые точные результаты конформов теории поля и статистической физики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ЛКАДЕМИЯ НАУК СССР ^^

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л. Д. ЛАНДАУ

На правах рукописи

ДОЦЕНКО Владимир Степанович

УДК 539.12

НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ КОНФОРМНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

01.04.02 — теоретическая и математическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в форме научного доклада

Черноголовка — 1990

Работа выполнена в Институте теоретической физикй им. Л. Д. Ландау АН СССР.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук А. А. Белавин доктор физико-математических наук Ю. И. Манин доктор физико-математических наук Л. Н. Липатов

Ведущее предприятие — Институт экспериментальной н теоретической физики

Защита состоится « » 1990 г.

в час. на заседании Специализированного Совета Д 002.41.01. по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау АН СССР по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н, Черноголовка, ИТФ АН СССР.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау АН СССР.

Диссертация разослана « » 1990 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета доктор

физико-математических наук В. П. Минеев

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Построение точной теории критических явлений, возникающих в реальных или модельных физических системах в окрестности точек фазового перехода второго рода, является одной из главных задач теории разовых переходов. Актуальность таких исследований обусловлена также существующей глубокой связью современной теории, критических явлений с самыми фундаментальными проблемами квантовой теории поля и теории релятивистских струн. Главным теоретическим инструментом в этих областях является в настоящее время конформная теория поля, которая возникла шесть лет назад в работе советских физиков А.А.Белавина, А.Б.Замолодчикова и А.М.Полякова, и в настоящее время находится в стадии бурного развития во всём мирз.

В работах представленных з диссертации построены точные теории критических явлений для рада физических систем, и в частности для магнитных спиновых систем на нерегулярных решётках. Найдены также точные решения для определённого класса конформных теорий поля, так называемых минимальных теорий, возникающих в настоящее время в различных областях, от теории критических явлений до теории квантовой гравитации.

Основные.направления исследования. В диссертации исследованы критические явления в ряде статистических систем, с целью получения точной теории, дающей возможность находить аномальные критические иедексы термодинамических величин, а также дающей возможность вычислять корреляционные функции и операторные алгебры основных физических полей -локальных параметров порядка, таких как оператор намагниченности, оператор энергии и др. Исследованы, кроме того, ряд вопросов относящиеся к развитию собственно конрормной теории поля.

В диссертации излагаются исследования, выполненные

в работах - 11} . Основным принципом, объединяющим работы, было стремление довести теорию до уровня точных аналитических решений для основных физических характеристик рассматриваемой задачи. При этом, во всех работах, использовались методы квантовой-теории поля.

Научная ценность и новизна. Оригинальные результаты, представленные в диссертации, сводятся к следующим:

- изучен вопрос о критическом поведении, модели Изинга и модели Бакстера на нерегулярной решётке. Нерегулярными являются значения обменных констант, либо величины спинов в узлах геометрически правильной решётки.

В обоих моделях термодинамические величины остаются сингулярными, и корреляционная длина стремится к бесконечности при "Т-^Тс , но характер сингулярностей меняется, в сравнении с известными результатами для этих моделей на идеальной решётке.

Использована техника фермионного представления,. Для модели Изинга, вычислено критическое поведение теплоёмкости и двухточечной корреляционной функции. Вычислена также величина сдвижки критической температуры, в линейном приближении по величине беспорядка £1 - з] .

- для модели Еакстера на нерегулярной решётке вычислено критическое поведение теплоёмкости £4} . Для определённого типа беспорядка в этой модели нарушается критерий Харриса, а индекс теплоёмкости оказывается зависящим от величины беспорядка. '

- построена конформная теория поля спиновой модели 23 » в её точке фазового перехода. Найден спектр основных полей (параметров порядка )и вычислен ряд корреляционных функций для этих полей [б,б} .

- построено представление свободных полей ( кулоно-вого газа) для минимальных конформных теорий поля [?] . С помощью этого представления вычислили четырёхточечные корреляционные функции и операторные алгебры для всех

первичных полей в этих теорияхС?>9•

- предложен ноеый метод аналитической регуляризации для расходящихся интегралов теории возмущений, возникающей в критической теории в окрестности точки разового перехода, который даёт возможность вычислять корреляционные функции вида , где Ф60 есть один из физических операторов, в виде ряда по й/^ь , Ке есть корреляционная длина теории [п] .

Апробация работы. Диссертация содержит результаты II работ, опубликованных э СССР и зарубежом. Работы докладывались на теоретических семинарах з ИТЭФ, ЛКАН СССР, Объединённого института Скандинавских стран КОРДИТА (Дания, Копенгаген), Кнститута математических исследований Университета г'.Киото (Япония), физического института Университета г.Чикаго (СЕА], на международной конференции по статистической физике в г.Эдинбурге (Великобритания, 1983), школе-семинаре по отдельным проблемам теории, поля и математической Ьизики (г.Алушта, 1У89), междуна- . родной конференции по математической физике и конформной теории поля (Лукарно, Швейцария, 1У8У). Результаты диссертации по конформной теории- поля волли в рад обзоров опубликованных зарубэком.

Основные результаты настоящей работы получены в Институте теоретической физики АН СССР в соавторстве с Вик.С.Доценко и В.А.Фатеевым.

I. критическая ТЕОРуЙ модели ньйнга и модели бакстера на нерегулярно»! решктке

1.1. Критическое поведение модели Изинга на нерегулярной решётке

В физике неупорядоченных систем важное место занимает изучение критических свойств систем со слабым беспорядком в окрестности точки фазового перехода. Здесь особый интерес вызывают простые модели магнетиков в присутствии

того или иного типа беспорядка. 3 настоящее время достигнуто поникание, что магнетики со слабым беспорядком могут обладать своим собственным критическим поведением, отличающимся от критического поведения чистых систем. Если в магнетике присутствуют какие-либо примеси с концентрацией С- « I , то вблизи точки фазового перехода возникает некоторый масштаб температур IV такой, что при Ф* Т £ } наблюда-

ется критический резшл чистой системы, а при V« ^ может возникнуть совершенно другой, универсальный, т.е. не зависящий от С: , критический режим, критические индексы которого определяются симметрией исходной модели, типом беспорядка и пр. Впервые это было ясно продемонстрировано в

[12,13] на примере модели У14 со

случайной массой.

Двумерная модель Изинга, имеющая точное

аналитическое решение, представляет собой очень удобную систему в плане изучения влияния примесей на критическое поведение. Мы будем рассматривать ¿3 модель Иэийга на квадратной решётке со случайными связями , т.е.

спиновую модель с гамильтонианом:

и = \ т (л

Здесь переменные С1. заданы в узлах квад-

ратной решётки, с>1 - 1,2,3,4 - элементарные вектора решётки, 3 5 -I, 4 з -2, и связи О'*,*- являются случайной величиной, с распределением, одинаковым и независимым по решётке, вида: •

с вероятностью 1-С;

(2)

с вероятностью

. Как известно, вблизи точки разового перехода, регулярная 22 модель Изинга эквивалентна теории свободных массивных фермионов, с действием вида

И + (3)

где »у\ ео'с [14] . Другими словами, это означает что существенные, вблизи фазового перехода, длинноволновые • степени свободы модели Изинга, которые определяют критическое поведение, могут быть описаны свободным фэрмионным полем У . Переход к непрерывному пределу можно осуществлять различными путями, но наиболее просто, на наш взгляд, эта задача решается если исходить из формулировки модели Изинга в терминах грассмановых переменных [15] . В отличии от гамильтонового подхода (как, например, в £143 ) переход к непрерывному пределу в терминах грассмановых переменных может быть назван лангранже-вым в тш смысле, что в этом подходе обе координаты остаются равноправными. Сам переход к непрерывному пределу состоит в том, что в точке фазового перехода локальные степени свобода отделяются от длинноволновых, причём можно показать, что последние описываются действием (3) приведённым выше.

Именно на таком пути удаётся решить задачу о критическом поведении модели Изинга с примесными связями "У ; см. (г), В работе £1} было показано, что наличие примесных связей приводит, после усреднения с распределением (2)гк возникновению взаимодействия мевду фермионами, и, в главном порядке по концентрации С; статистическая система описывается нуль-компонентной моделью Грос-са-Невью £гбЗ г м

и = к* { ^ + +

+ 9 £ } С4)

где (С- - константа, зависящая от 3 и ,

причём в конечном результате следует полагать число компонент М- О . Последний приём известен под названием метода реплик [173 . Свободная энергия модели йзинга может быть представлена, в своём высокотемпературном или низкотемпературном разложении, в виде сумш по конфигурациям одного ( замкнутого ) пути на решётке [18,1у] . Эта характерная черта должна быть сохранена и после усреднения по случайным связям решётки, для модели (I). Предел /V-<? для элективной теории со взаимодействием (4) позволяет отобрать, в теории возмущений, соответствующие диаграммы, без дополнительных петель.

Двумерная теория (4) является перенорлируемой,« методы ренорм-группы (20,21] позволяют вычислить особенности термодинамических функций точно (аналогично тому, как в четырёхмерном случае перенормируемой является теория скалярного поля [20,12] ) . В [1| было показано, что сингулярность теплоёмкости, которая для регулярной модели Изинга имеет вид С(Т) ~ -¿о^Ц-/?) , становится более слабой С ¿г) ~ , в модели со случайными

связями (I) .

Более точно, получено следующее выражение для теплоёмкости, в критической области £1] ;

I

м 4. . I

(О

Здесь

г = (т-тсУте 5 ^ = (6)

* = с

' а + «о* > (?)

аг^/:^ х=щу

, - есть новый масштаб температур, возникающий з теории, ;при котором происходит переход с критического поведения модели на регулярной решётке к новому критическому поведению модели на нерегулярной решётке. Постоянная взаимодействия характеризует величину неоднородности решётки. Корреляционная

длин8. »^с ^ ' км83т сл6дух01дую

зависимость от температуры [1] :

(8)

Найдена также величина сдвижки критической темпера- ■ туры, в линейном приближении по беспорядку, т.е. наклон кривой (¿¡) ,

обратная температура, при £.=»0:

о( С{

1.2. Критическая спин-спиновая корреляционная-функция модели Изинга на нерегулярной решётке

Вычисление спин-спиновой корреляционной функции ^С(о) I с использованием ферыионного представле-

ния, сводится к нахождению следующего нелокального коррелятора

где интегрирование фермионной плотности У^-О идёт по контуру соединяющему точки х~о и ,

в которых расположены операторы и ,

Вычисления для регулярной решётки, с использованием этого представления, проведено в работах £2,33, и приводит к известному результату

у / ¿А

<е&)<г(ю> ~ * (щ

Напомним, что речь идёт о вычислении корреляционной функции С (Ч^ для модели Изинга в её крити-

ческой точке, й в непрерывном пределе, т.е. для ,

где меяузедьное расстояние на решётке принято равным единице.

В работах С>2»зЗ это вычисление обобщено для случая нерегулярной решётки, для: которой фериионы являются уже взаимодействующими полями с лагранжианом Гросса-Невью, описанном в предыдущем разделе. Реноры- ;; групповое вычисление для приведённого вше &0) ферайонного представления коррелятора С^йДУ привадит к результату :

2 (12) Ы-&■&¥)},

Здесь

(13)

- характерный пространственный масштаб при котором происходит переход корреляций с одного режима на другой.

1.3. Критическое поведение теплоёмкости модели

Бакстера на нерегулярной решётке Зермионное представление ыогет быть использовано также для изучения критического поведения модели Бакстера, которая может быть представлена в виде двух Изингов-ских подреиёток, взаимодействующих меэду собой посредством локального члена вида , где 6*>СГ' и Т,Т есть Изинговские спиновые переменные, расположенные на соседних узлах соответственно первой и второй подрешёток. В этом представлении гамильтониан модели Бакстера имеет вид [23^ :

(14)

В фермионном представлении, и в непрерывном пределе для модели с К^! , этот гамильтониан принимает следующий вид:

где поля ^ и X "фармионизуют" соответственно спиновые переменные С* и , а параметры , «I и ^о заменяют определённым образом исходные параметры » и /С .

На нерегулярной решётке случайными являются решёточные константы связи , , т.е. их значения . меняются от узла к узлу случайным образом, аналогично нерегулярной решётке модели Изинга, рассмотренной в предыдущих разделах. В фермионном представлении, приведённом выше, это соответствует случайности параметров и Ша. • После усреднения возникает следующая теория с че-тырёхфермионным взаимодействием

М ' ' П7 . 77

н - да. [г ж ^ г'+тн*)-

При усреднении можно предположить, что

ю -

ГЧгб0 - +

гдэ )Л=г1,2 распределены по Гауссу, некоррелиро-

вано по решётке, т.е.:

< 2 К, > ~ 6

(18)

< <?м Ы) ^ 4 Ав ?{*-*•)

Можно показать, что постоянная взаимодействия , происходящая от нерегулярности решётки, пропорциональна

С{ (?-У)г/у1" в параметризации исходной модели, подобно константе в случае модели Изинга, раздел 1.1.

Приведенная выше теория является перенормируемой, с константами связи стремящимися к нулю, при перенормировках в сторону больших расстояний, как некие обратные степени логарифмов £4 2 . Это означает, что критическое поведение терлодина\тческих величин может быть найдено точно с помощью ренормгрупповых методов. Шчисление для теплоёмкости, проведённое в работе £4^ , приводит к результату:

с

(га)

Это новое критическое поведение теплоёмкости устанавливается в области температур:

к V. ) -

г * (т-тс)/те

Напомним, что на регулярной решётке критическая теплоёмкость модели Бакстера имеет вид £¿2,23^ , в случае

, -+А.Л-

с 1~С] ~ (V ( (л)

Приведенный выше результат получен для некоррелированных или неполностью коррелированных распределений и . В случае полной корреляции на данном

узле решётки, значений решёточных обменных констант 7х и Уг в исходном спиновом гамильтониане, результат для теплоёмкости имеетдругой вид [4] :

¿о/'/уфг А« >^

см - 1 г- мп/ъ

41М 1 3

где ;

Таким образом, индекс теплоёмкости оказывается неуниверсальным, в случае < 6 , зависящим от величины

неоднородности решётки Л0 .

II. ШЙОгМНАЯ ТЕОРИЯ И ЕЕ ПРЛЛСЕЕШ К КРИТИЧЕСКОМУ ПОВЕДЕНИЮ СТАЖИЧЕСКЙХ

систем

В работа []243 Поляков A.M. предположил конрор,:-ную инвариантность критических флуктуаций в статистических системах, из которой следовали определённые ограничения на взд корреляционных функций физических операторов.

С точки зрения конформной симметрии особая ситуация возникает в двух измерениях, где конфоржая группа бесконечномерна. Последовательное применение услоеий, возникающих из требования этой инвариантности, впервые проведённое в работе £253 , даёт возможность получить полное решение критических теорий для двумерных статистических систем, в точках их фазового перехода. Различные критические теории возникают при этом как различные представления бесконечномерной алгебры генераторов конформных преобразований алгебры Вирассоро:

[u,u] (24)

или более общей киральной алгебры, в случае дополнительных симметрия, содержащей алгебру Вирассоро в качестве подалгебры. Тем самым, возникает, в принципе, перспектива полной классификации классов универсальности критических флуктуаций в двумерных статистических теориях.

2.1. Конформная теория модели 3 её критической точке

Модель 2j может быть определена статистической

суммой

^) - 21 ? 2: к +с ^)} (25)

{с 3 1

где

ё = (26)

т.е., в отличие от модели Изинга, переменные 'С , С в этой модели принимают три дискретных значения на единичной окружности, и модель обладает глобальной симметрией дискретных вращений . Предполагается, что эта модель принадлежит к одному классу универсальности с модель» жёстских гексагонов, также имеющую глобальную симметрию, решённую точно Бакстером в работе [2б]. Модель имеет точку разового перехода второго рода. Тем самым для модели были известны критические индексы и р-^/З [2бЗ .

Воспользовавшись значениями этих основных индексов, в работах £б,бЗ было найдено представление конформной теории описывающее критические флуктуации этой модели в критической точке, был найден полный спектр полей, их аномальные размерности, а также вычислен ряд четырёхточечных корреляционных функций для физических операторов. Кроме операторов спина С и энергии <Г , имеющих аномальные размерности соответственно Лс - 2/1Г и 4 /<г , оказалось, что критическая теория клас-

са универсальности модели содержит в спектре кри-

тических флуктуаций ещё три физических оператора. Спектр этих операторов и их размерностей представлен соответственно в таблицах I и 2.

Согласно классификации вырожденных представлений конформной алгебры, или алгебры Вирассоро, основные первичные поля - <Фи ж классифицируются двумя целыми

I

£

X

У

1<У

т.

Ф

1.2.

ф г X

43 '

Ф = У

-м 1 ф = 3 = сГ + сГ

ф =-2

2.

1

1

г

з

»г 1 Табл. 1 {-г

£

<< 3 ™Г ■Г

2. /Г

1 |

4 4? .г ¿1 Ип

У г 4 I

л ~

и Г,

А

Табл.2

положительными числами п^гл , которые, в случае полностью вырожденных представлений, принимают ограниченный ряд. Такие представления порогэдаются ризическими операторами модели г?з , и, соответственно, модель описывается конечны:,! числом первичных полей.

Четырэхточечные корреляционные рункции операторов в табл.1, вида

выражаются через квадраты модуля гипергеометрических функций от ангармонического отношения переменных

L _ ^ Т - % {28J

где используются комплексные переменные для координат ка -29 плоскости, т.е. гг^ — 2"*.), "^г,^) и т.д., в12_= и т.д.

Эти функции вычислены в работах [5,и имеют следующий вид:

Здесь:

Сао>

^ Ы)

с/^о^ ($■(»*I)- С(м+и) - £(»-*-))

Здесь есть один из операторов в таблице I.

Корреляционные функции определены в (29) с точностью до общей нормировки.

'¿.2. Представление свободных полей Кулонозого

газа для минимальной конформной теории Согласно общей теории [¿¡5^ голоморфные части, или конформные блоки, корреляционных функций первичных полей конформной теории поля являются решениями определённых линейных дифференциальных уравнений, в общем случае высокого порядка. Возникла задача нахождения решений этих уравнений, и, затем, построения с помощью системы линейно-независимых решений (полной системы конформных бло- •

ков) , физических корреляционных функций первичных полей.

В работе Фейгина и Зукса О??] было предложено интегральное представление для конформных блоков вырожденных конформных теорий. В работе [?] это представление было развито и приведено к представлению типа кулоново-го газа, с вакуумным зарядом на бесконечности. В таком виде это представление стало частью общей техники конформной теории поля и в настоящее время широко используется в различных исследованиях по конформной теории поля.

Конформные поля "З^9) представляются в виде вершинных операторов:

¿О -- «V ЧМ ] (33)

Здесь У А) , свободное бозонное поле, с двухточечной корреляционной функцией

Отметим, что здесь и в дальнейшем, при построение конформных блоков, мы удерживаем лишь голоморфную часть корреляционных функций полей и вершинных операторов, В действительности имеется также антиголоморф-юе слагаемое в , того же ввда, зависящее от г-?' . Соответственно, для корреляторов вершинных операторов

(ъ) , будет существовать антиголоморфный фактор, зависящий от переменных 2 , который мы будем опускать, до тех пор, пока речь вдет лишь о конформных блоках. Такая факторизованная структура корреляционных ' функций, на голоморфные и антиголоморфные конформные блоки, соответствует тому факту, что в действительности симметрия конформной теории поля есть:

М* <3 \/,Ч {35)

Здесь есть группа (аналитических) преобразова-

ний порождённая алгеброй Вирассоро генераторов ^L*. j , и есть такая же группа (Аналитических) преобра-

зований порождённая алгеброй_Вирассоро генераторов ^ L„j причём алгебры ^L, j и \ L„j независимы друг от друга. В двух словах, это означает, что конрормная теория поля обладает симметрией относительно независимых преобразований переменных 3- и 5" , вида

3 -

* -г> г -

а не только относительно собственно конформных (диагональных) преобразований, с ^¿ъ) -

На языке "Кулонового газа", оператор порож-

дает "заряд" в точке 2: . Корреляционные функции

операторов представляют конформные блоки первич-

ных полей теории в следующем виде:

■

(37)

Здесь ^ представляют конформные поля

{ ^¿.(t-i)} • Конформные размерности операторов [/, fe) связаны с их "Кулоновым зарядом" с/ , соотношением

= ¿г-2с/сс/ (38)

- 1У -

Это соотношение легко проверяется из операторного разложения Х/^ и оператора тензора энергии импульса "77*-' который, в представлении конформной теории свободным полем ЧЧгО . имеет следующий вид:

ТМ-" сЧ ^ V (39)

Легко убедиться, воспользовавшись двухточечной функцией поля , в операторном разложении

где даётся форь^улой (38) . .

Операторное соотношени&^с^тензором энергии импульса Т/Ь) является определяющим для первичных конформных полей С^оЗ , а коеффициент при полюсе второго порядка есть конформная размерность соответствующего поля, поля ¿2) в данном случае. Эти определения следуют из конформного тождества Уорца, см. [253 .

Ещё одним общим соотношением конформной теории является связь генераторов алгебры Вирассоро £ 1_„ ] с тензором энергии импульса:

ТС*) - Г. ^

ОГг

(41)

Можно убедиться, привлекая соответствующее тождество Уорда, что параметр Кулонового представления *?0 связан с центральным зарядом алгебры Вирассоро (24) соот-

ношен/ем

, г

• С* 1-24 4 (42}

см. [7,103.

Операторы \l-nj являются своего рода гурье гармониками 77*) » более точно - коэффициентами разложения в ряд Лорана. В отличие от обычной теории поля, в конформнЗинвариантной теории все они являются сохраняющимися интегралами движения.

Дополнительные операторы 14- 1 в

интегральном представлении конформных блоков (37) называются "экранирующими операторами". Более точно, экранирующими операторами являются интегралы

=г £ Ли («о С4з)

4 с

Вершинные операторы Iй) ^ имеют заряд ,

который выбран так, чтобы конформная размерность была единичной, т.е., с учётом (38) ,

/ / ГТ—' ' (44)

В этом случае операторное разложение (40) принимает вид полной производной:

(45)

В результате операторы экранирования 0±_ (43) коммутируют, в случае если контур С замкнут, со Есей алгеброй Вирассоро, т.е. операторами , определёнными в (41) . Отсюда следует, что конрота.'ные преобразования конформного блока ('¿1) определяются лишь свсй-

- 21 -

ствами операторов 1 \/а/. )/> ¿-¿¡—^к . Роль

интегральных операторов (¡¿^ является более тонкой: они Еьщеляют определённые промежуточные каналы - каналы операторных разложений, которыми характеризуются конформные блоки. Из определённых условий самосогласованности Кулонового представления, рассмотренных в [7] , следует, кроме того, условие на суммарный заряд в (а?) :

= ¿4+ + ** 2об (45')

Тем самым, Кулонова система оказывается обладающей общим зарядом «2а/ . Для выполнения обычного,условия электрической нейтральности можно представлять^ что на бесконечности помещён оператор

создающий заряд ~йс/а . Так возникает понятие вакуумного заряда, в теории с центральным зарядом алгебры Ви-рассоро(24) С <1 , т.е. с о/0ФО , ср.(42,).

Подробный анализ приведенных выше утверждений выполнен в работах ^7,8} , см. также [I0J . Интегральное представление вида (37) для конформных блоков минимальной конформной теории впервые было получено в работе [27] , с использованием другой техники, и называется представлением £ейгина-3укса.

Согласно (ад) , в Кулоновой системе имеется два оператора с конформной размерностью А^ : '••..."

• * V4 с«)

Тогда интегральное представление (37) для случая четырёхточечных, функций одного и того же оператора :

(48) - 22 -

имеет вид:

С, ¿1. 5ы-1. *

Здесь одно из конформных полей, , предстаз-

л8но"сопряжённым" веракнным оператором см. (47) .

Такой выбор является естественным с точки зрения квантования Ооновского пространства свободного поля , (_сй) , С.У4) » на котором определены вершинные операторы . В действительности, при определении корреляторов в (49) как вакуумных средних по ооновскому пространству, ДЕа из четырёх операторов следует использовать для определения левого и правого вакуумов, которые должны иметь одинаковую коняормную размерность, но быть взаимно сопряжёнными опеоаторами относительно ваковского пространства. Этим диктуется натаЧГй^из операторов в сопряжённой Ъорме, оператор« ^¡¿^{Ъь) В качестве левого и правого вакуумов могут рассматриваться, например, операторы ) и • Тем самым будет определено 5оковское пространство. Отметим, что имеется в виду радиальное квантование на комплексной плоскости, в котором развитие по "времени" происходит по радиусу. В своей канонической Ьорме оно предполагает что оператор ) , создающий левый ва-кГЛи должен быть помещён в начало координат, 6 , а оператор уведен на бесконечность,^-?»^ . При этом используется проективная инвариантность конформных блоков и корреляционных функций.

Баланс зарядов (45',) для конформного блока (49) принимает вид:

Мы предполагаем существование (неравенство нулю) четырёхточечных корреляционных функций одного и того же оператора. Это условие заведомо должно выполняться в теории со скалярными (безспино'выми) операторами (для которых конформный спин Ъ - Л — О ") ) имеющими положительную норму. Иначе—имеющими положительно определённую двухточечную функцию.

Существование четырёхточечной функции (48) предполагает выполнения баланса зарядов (50) . Отсюда следует квантование параметра о^ . Т.е. допустимым является дискретный ряд значений

с положительными и, *л : и-4,2,... .

Здесь } о/_ связаны со значением центрального заряда алгебры Вирассоро соотношениями (44) , (42) . Соответствующие вершинные операторы мы будем обозначать также как

Эти вершинные операторы представляют первичные конформные поля • Согласно (38) , они имеют конформные размерности

,1 " ' А, - <у* ь, а

''и,ПК * «Й.Ш

г (53)

- п ^ ^ ^ ^ ~ М

Здесь использовано соотношение ~ см. (44).

Зормула С53) согласуется с. формулой Каца для вырожденных представлений алгебры Вирассоро с С < I . Здесь эта формула возникает из условий самосогласованности Кулоно-вого представления для конформных блоков.

2.3. Корреляционные 'Ьункции первичных полей

минимальной конйормной теории В этом разделе мы опишем построение собственно корреляционных функций из конформных блоков, определённых в предыдущем разделе. Прежде всего мы долети определить полный набор независимых интегралов вида (37) . Рассмотрим простейший случай, в котором требуется вставка лишь одного интегрального оператора (43) . Рассмотрим функцию:

-О) >т»

о

тс*) = ¿^ы-^; £

(54)

■'^-е] (55).

Здесь использована общая 'формула для средних по свободному полю от произведения Еерзинных операторов:

<П\£/*л> - П ' ' и1

и устранена степень

(>■,)"

при определении конечного предела для конформных блоков при ^ —<гх=

Мы зафиксировали в (54) , (55) положения трёх точек, из четырёх, согласно каноническому выбору 2^-0 , ? -1 , » использозав проективную инвари-

антность конформных блоков. Для общих значений мы будем иметь дополнительный фактор вида

и переменная становится ангармоническим отноше-

нием

•2

Их восстановить несложно, см. [7] . Существенной частью конформного"блока является интеграл (55) .

Заметим теперь, что контур интегрирования 3 в (55) не обязательно должен быть замкнут. Он может, например, выбран соединяющим точки О и 2- , при условии, что интеграл является сходящимся в этих точках. В дальнейшем мы всегда будем предполагать сходимость. Для конкретных значений параметров, таких как о = , в (55) , когда интег-

рал не сходится в концевых точках, мы будем подразумевать его определённым аналитическим продолжением по ; С и -ё .

Далее несложно убедиться, что, в случае интеграла

, имеется две линейно независимые конфигурации кон- 25 -

тура,'" и, соответственно, дза линейно-независимых интеграла. Они могут быть выбраны, как показано на рисЛ.

в

■а- . £

2_

Рис.1

Соответственно, имеем интегралы

г г/1 (и—л./- '

1

-

о

о

¿563

(573

Здесь £-С~<2а4с/к.*, .функция Ь

является гипергеометрической функцией. Два интеграла,

" Тг(*) дают два независимых решения линейного уразнения второго порядка, которое следует из вырождения модуля Вер.:а оператора ф{*) на втором уровне, согласно общей теории [_2б] . (в общем случае, для оператора ф ¿ь) , первое вырождение возникает на уровне

Я'г-И'т » к » соответственно, корреляционные функции с оператором <ф удовлетворяют линейному диффе-

ренциальному уравнению А/-го порядка, см. [253 , в том случае если в корреляторе с ^-г] нет других операторов с вырождением на более низком уровне) .

Приведём ещё два примера семейств конформных блоков, для корреляторов

' <4.^.* (58)

/ф ф 4 Ф )> С59)

Соответствующие интегралы имеют вид Б

с с я. Г 60)

с 5 С' А

(61)

Линейно-независимые конфигурации: контуров для этих интегралов приведены на рис.2 и рис.3 соответственно.

о

л

ч *

ы*)

Рис.2

4

с —>~

»

Рис.3 - 29 -

Обобщение, на случай интегралов более высокого порядка, является очевидным. Таким образом определяется базис -полная система линейно независимых конформных блоков для данной (четырёхточечной в рассматриваемом случае) корреляционной функции.

Заметим Далее, что определённые выше аналитические функции являются неоднозначными на комплексной плоскости. Как функции 2- , они иле ют особыми точками

?-0) 1 и ®<> . Отметим, что они отвечают слиянию операторов вида

.1{б2)

т.е. операторной алгебре. Её мы обсудим в следующем разделе. При аналитическом продолжении Т. {г-) вокруг точек -г - О или -2 ~ 1 , по замкнутому контуру, как показано на рис.4

(Г^4 • ~ •

рис.4

интеграл переходит в линейную сумму по интегралам базиса, т.е. преобразуется линейно

_ __

с =

] <1 »

с определёнными матрицами ) и С^

Такие преобразования называются преобразованиями моно-дромии.

Мы рассматриваем минимальную конформную теорию, т.е. теории в которой нет дополнительных симметрия, кроме конформной. Это означает, что нет вырождения по Л , и имеется один оператор с данной масштабной,размерностью. Тогда, это предполагает Д ~ А , т.е. поля

являются сколярными, их спин 5 =¿-¿-0 . Корреляционные функции таких полей должны быть однозначными на плоскости, при одновременном продолжении ^ и ? вокруг особенности, по замкнутому контуру.

Мы должны восстановить теперь зависимость корреляционных функций от переменной в , по отношению к которой имеется точно такая же структура антианалитических функций - конформных блоков, как и по переменной 2-Легко убедиться, что правильной структурой для физичес- • ких корреляционных функций является следующая линейная комбинация произведений голоморфных и антиголоморфных конформных блоков:

<ЧА(0,0) фгФ5 а)1} яЬ ~)> =

^ , > г-, --С64)

Заметим далее, что наш выбор базисных функций, в примерах рассмотренных выше, отвечает диагональной матрице монодромии : при продолжении "2- вокруг ну-

ля интеграля на рисунках 1,2,3, приобретают лишь фазовый множитель, в общем случае, вица $} . Это предполагает^ ввиду требуемой инвариантности Сс(ь^) , ур. (64) , диагональности этой формы. Т.е.:

ДГ х; ¡ТС&Г .(65) £

Коэффициенты ^ X: ) должны определяться из условия инвариантности по отношению к преобразова-

нию монодромии .

Т.о. для определения физических корреляционных функций следует изучить преобразования монодромии линейной системы конформных блоков. Т.е. вычислить, например, матрицу ("^3 , если использовать наш базис для Т.. Эту задачу можно решить пользуясь интегральным представлением описанным выше. И затем следует определить коэффициенты в квадратичной диаго-

нальной форме (65) , из услозия её инвариантности.

Эта.задача была решена в работе £ , для общего случая четырёхточечной корреляционной функции первичных полей минимальной теории ^ % > т.е. для функции:

ам = м Ф, «.о (бб)

а,л ' •{¿с /

Т.к. первичные конформные поля классифицируются двумя числами ) > <ФН , и т.к. конкретный кон-

формный блок, из семейства ' £ X. § отвечает вкладу определённого конформного поля в промежуточном ка-

нале четырёхточечной функции (это обсуздается более ■ подробно в следующем разделе ) , удобно ввести двухчкс-ленную индексацию для конформных блокоз и коэффициентов • Тогда для в (66) примет следу-юсртЯ вид:

(67)

Формулы выглядят несколько проще для корреляционных функций семейства операторов ^^ ^ $ (или £ ] ) Они образуют замкнутую подалгебру, т.к. в промежуточных каналах корреляционных функций возникают операторы лишь из этогсмймейства. Для них естественной является

одночисленная индексация, т.е.

« «* (бв).

~ £Г X. к

В этих обозначениях , в работе [в} были получены следующие выражения для. коэффициентов )(,. и 1 в (67), (68):

- зз -

/М) к-г

ХГ = П-^ П

к !А '.-о +

(70)

Здесь -56») я^цТ*

с-

I Б+п ,

(73)

■М в (72) есть общее число независимых конформных блоков - число промежуточных каналов в корреляторе (68). Число р в (73 ) отвечает оператору Я^цр промежуточного канала. В случае полуцелых значений М корреляционная функция (68) равна нулю. Явные выражения для семейства интегралов ^ ] в (67) и _} в (68 ) приведены в работе £8} .

2.4. Операторная алгебра первичных полей в

минимальной конформной теории Для анализа операторной алгебры удобно пользоваться нормированными функциями , которые свя-

заны с интегралами , описанными в предыду-

щем разделе, соотношением •

X/» = ^ г/*) - с^

С?4)

Г

где аналитична в окрестности нуля и .

Для простоты мы используем пока одночисленную индексацию. Мы можем подразумевать при этом корреляционные функции и операторную алгебру полей j .

Удобно представить корреляционные функции С 6&) в виде:

г

(зависимость от опускается, для прос-

тоты, также, как мы её опускали для интегралов ХрС*0) . При "2- О мы получим:

г

(76)

г

Здесь показаны лишь сингулярные неаналитические члены (предполагается, что 3. (А^-гЛп-является дробным числом) . Мы напомним, что для общих значений

переменная ъ будет заменена отношением ^ ^ , и кроме того корреляционная функция получит дополнительный фактор вида

Однако не аналитические члены^при ^ 0 )

отражены уравнением (.76) правильно. Этого достаточно для установления связи с операторной алгеброй разложения произведений операторов Ф5 и Фы ф^

Мы отмети:.! теперь, что сумма по конформным блокам в правой части ур. непосредственно соответствует разложении операторной алгебра (ОА) для пар операторов (фь и (Фк^)' 3 действительности, рассмотрит.! четырёхточечную корреляционную функцию для общих значений 4 Ьг , , ^ :

< <Ф5 ^ (ЧЛ)) <4. Л ))> (78)

Мы можем найти особенности, при (т^!** о

(что означает^в действительности, ( )

воспользовавшись разложениями о •

Подставив эти разложения в корреляционную функцию, мы получил, для :

«г

- со -

Мы предполагаем здесь нормировку двухточечных функций-на единицу, т.е.:

При ^ - О , - ^ | ^ ~ ± , Ъц .>

как в (.75) , (76) , мы должны следить лишь за переменной = - й . После этих замечаний мы можем сравнить разложения (75) и (81) и заключить, что это одно и тоже. Тогда должно клеть место соотношение:

Ар * = ££ ' (ы)

Заметим, что разложение корреляционной функции по конформным блокам ур. (75) •, удобно представляется в виде диаграммы

У—г^ь (84)

р

Обращаясь к вопросу о вычислении структурных констант операторной алгебры , ур. (79) , (бО) ,

мы заключаем, что задача сводится к вычислению коэффициентов » разложения чегырёхточечных функций, по конфоршым блокам, ур. (75) . з предыдущем разделе мы описали путь вычисления коэффициентов Х^^иш. разложения корреляционных функций по ненормированным

- 37 -

интегралам . Коэффициенты л: отличаются

от них нормировочными константами М = *

ур. С74) ,: '

5 ^М* г Г

Последние вычислены в работе [Д , а структурные константы операторной алгебры - в работе Сэ} • Ввиду громоздкости -формул для рД , для общего случая, т.е. для операторов С фяЧ ^ з ^р) > мы приводим здесь результат лгспь для подалгебры (1-Й.) , т.е. операторов ^ ^ 0 Ф4 р ] • Структурные константы даются следующими .формулами:

/ Ы.р) \г / Т1

Сар) = П ГЛ>- *

(86)

к-г

(88)

В работе описан альтернативный путь решения задачи монодромии, и построения корреляционных функций, при котором исходной точкой являются явно инвариантные двумерные (вместо контурных) интегралы по всей плоскости. Этот путь приводит к тем же ответам для чвтырёхточечных

корреляционных функций и коэффициентов операторной алгебры. Его преимущество состоит в том, что этот путь вычисления без труда обобщается на случай более многоточечных -функций, т.е. пяти-точечных, к т.д..

2.5. Корреляционнне -оункшга в окрестности критической точки. Уетод аналитической регуляризации

Конформная теория позволяет решить теорию о критических флуктуациях в самой точке фазового перехода. Вычислить, в частности, корреляционные функции физических операторов. Однако, в общей теории фазовых переходов предполагается универсальность критических явлений не только в самой точке но и в её окрестности. В связи с этим возникает задача попытаться продолжить аналитический подход и классификацию полей, даваемые конформной теорией, на окрестность критических точек, где теория имеет конечную корреляционную длину и ужа . конфордно-инвариантнсй не является.

В принципе, корреляционные функции могут быть, определены теорией возмущения вица:

где корреляторы в правой часта определены в критической точке, и предполагаются известными из соответствующей конформной теории. Тем самым, определены все члены разложения по возмущению

¡4десь, для примера, ~(Т~~ и возмущениемуопе-ратор энергии £ (*■) . Разложение теории возмущений имеет вид:

^Об-КО.^ ^ + (91)

+ ^ <:<л>> £ го +

-+ р ^ р <(Ш ) «г с** ))>о +

Проблема, возникающая при таком определении корреляционных функций вне критической точки, состоит в степенной, как правило, расходимости интегралов, в приведённом выше разложении.

В работе £пЗ предложен нозьгй метод аналитической регуляризации теории возмущений, при которой производится небольшая сдвижка центрального заряда конфорлной теории на параметр € :

, С (у2)

При этом сдвигаются размерности полей, входящих в корреляционные функции под интегралами (и вся конформная теория) , и после этого интегралы могут быть определены аналитическим продолжением.

Двухточечная функция вне критической точки обычно представляется в виде:

Р №

<€Со->С(а)\ - - 2£€ (93)

где ~Ь = Ч //?с ('О есть безразмерная переменная, и

*« ад с«;

есть корреляционный радиус. Теория возмущений позволяет, в принципе, если правильно определена, вычислять разложение функции

- 40 -

П+) 1 + С|> + .. . . У5

В работе [п^ , для проверки предложенной техники аналитической регуляризации, вычислены первые два коэффициента разложения функции РС+) , для случая спин-' спиновой корреляционной функции модели Изинга. Результат согласуется с известным разложением функции ,

для этой модели, полученным в другими методами.

ВЫВОДЫ

1. Найдено критическое поведение теплоёмкости и спин-спиновой корреляционной функции модели йзинга на неоднородной решётке.

2. Найдено критическое поведение теплоёмкости модели Еакстера на неоднородной решётке. Обнаружено нарушение критерия Харриса, для характера влияния неод-нородностей на критическое поведение статистических' ■ систем.

3. Найдена конформная теория модели и вычислен ряд четырехточечных корреляционных функций физических операторов этой теории.

4. Построено представление Кулонового газа для конформных блоков минимальной конформной теории. С помощью этого представления найдены четырёхточечные корреляционные функции и операторная алгебра этой теории.

5. Предложен метод аналитической регуляризации для . интегралов теории возмущений, определяющих разложение корреляционных функций в окрестности критических точек.

литература

1. Dotsenko Vik.S. and Dotsenko VI.S. Critical Behavior of the 2D Ising Kodel with Impurity Bonds.

J.Phys., 1982, v.C-15, p. 495 - 507.

2. Доценко Вик.С., Доценко Вл.С. Критическое поведение корреляционной функции модели Изинга с примесными связями. ШЭГ5, 1982, т.83, в.2/8/, с.727 - 742.

3. Dotsenko Vik.S. and Dotsenko VI.S. Critical Behavior'- of the Phase Transition in the 2D Ising Kodel with Impurities. Advan. Phys., 1935, v.32,

p. 129 - 172.

4. . .Dotsenko Vik.S. and Dotsenko VI.S. Critical Beha-

vior of the Baxter Kodel with Impurity Lattice Bonds. J.Phys.A., 1984, V.A17, p.L301 - L505-

5. Dotsenko VI.S. Critical Behavior and Associated Conformal Algebra of the Z3 Potto Kodel (1).

J.Stat.Phys., 1984, v.34, P-781 - 7956. Dotsenko VI.S. Critical Behavior and Associated Conformal Algebra of the Z3 Potts Kodel (11). Nucl.Phys., 1984, V.B235 FS11 , p.54 - 74.

7. Dotsenko VI.S. and Fateev V.A. Conformal Algebra and Multipoint Correlation Functions in 2D Statistical Models. Nucl.Phys.,1984, V.B240 FS12 , p.321 - 348.

8. Dotsenko VI.3. and Fateev V.A. Four-point Correlation Functions and the Operator Algebra in the 2D Conformal Invariant Theories with the Central Charge С 1. Hucl. Phys., 1985, V.B251 FS13 , p.691 - 734. -

9. Dotsenko VI.S. and Fateev V.A. Operator Algebra of the Two-dimensional Conformal Theories with the Central Charge С 1. Phys.Lett., 1985, V.154B, p.291 - 294.

10. Dotsenko VI.S. Lectures on Conformar Field Theory. Adv.Stud.Pure Math., .1988, v.16, p.123 - 170.'

11. Dotsenko VI.S. Off the Critical Point by Perturbation: the Ising Model spin-spin Correlator. Nuclear Phys., 1989, V.B314-, p.687 - 706.

12. Хмельницкий Д.З. базовый переход второго рода в неоднородных телах. НЗТЗ, 1У75, т.68, с. I960 -1У68.

13. Harris А.В., Xubensky Т.О. Renormalization group approach to the critical behavior of random -

spin models. Phys.Kev.Lett. ,1974-, v.33,p. 1540-154-3.

14. Schultz T.D., Mattis D.C., Lieb E.N. Free fermion representation for the 2D Ising Model. Rev.Mod. Phys., 1964, v.36, p.856 - 940.

15. Hurst C.A., Green H.S. Grassnanian Lunctional integral approach to the 2D Ising Model. J.Chem. Phys., 1960, v.35, Р.Ю59 - 1972.

16. Gross D.J., Ueveu A. Asymptotically free field theory in two dimensions. Phys.Rev., ,1974, v.D10, p.3235 - 5249.

17. De Gennes P.G. Exponents for the excluded volume problem as derived by the Wilson method. Phys. Lett., 1972, V.38A, p.339 - 340.

18. Sherman S.J. Combinatorial problem in 2D magnets. . Nath.Fhys., 1960, v.1, p.202 - 225.

19. Вдовиченко H.B. Свободная энергия модели Изинга как задача о свободных блужданиях на решётке. ЖЭТЗ, 1964, т.64, с.715 -735.

20.. Wilson K.G., К о gut J. The renormalization group and the - expansion. Phys.Rep., 1974, v.120,

p.75 - 199.

21. Паталганский A.3., Покровский В.Л. 5лунтуационная теория фазовых переходов. М.Наука, 1982,

22. Baxter R.J. Eight - vertex model in lattice statistics. Phys.Rev. Lett., 1971, v.26,

p.832 - 834.

25. Baxter R.J, The Eight vortex model. Phil.Trans. R.Soc., 197S, v.289, p.315 - 360.

24. Поляков A.M. Конформная инвариантность критических флуктуаций. Письма в НЗТЗ, 1У70, т.12, с.538 - 541.

25« Belavin A.A., Polyakov A.M., Zamolodchikov A.V. Infinite dimensional conformal symmetry in quantum field theory. Nucl.Phys., 1984, V.B241, P.333-372.

26. Baxter K.J. Hard hexagons: exact solution. J.Phys., 1980, V.a13, p.161-170.

27. Peigin B.L., Puch D.B. Representations of Virasso-ro algebra. Gordon and Breach, New York, 1986.

28. Wu T.T., Kc Coy В.И., Tracy C.A., Barouch E. Phya. Rev., 1976, V.B13, p.316- 374.

- tt-

оглавление

стр.

ВВЕДЕНИЕ I

I. КРИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МОДЕЛИ ИЗИНГА И

МОДЕЛИ ЕАКСТЕРА НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ РЕШКЕ 3

1.1. Критическое поведение теплоёмкости модели Изинга на нерегулярной, решётке ' 3

1.2. Критическая спин-спиновая корреляционная функция модели Изинга на нерегулярной 'решётке 8

1.3. Критическое поведение теплоёмкости модели Бакстера на нерегулярной решётке У

II. КОНФОРМНАЯ ТЕОРИЯ И ЕЕ ПШОЙЕНИЯ К

КРИТИЧЕСКОМУ ПОВЕДЕНИЮ СТАТИСТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ 13

2.1. Конформная теория модели в её критической точке 13

2.2. Представление свободных полей Кулонового

газа для минимальной конформной теории 17

2.3. Корреляционные функции первичных полей в

серии минимальной конформной теории 25

2.4. Операторная алгебра первичных полей в минимальной конформной теории 34

¿.5. Корреляционные функции в окрестности критической точки - метод аналитической регуляризации 39

вывода 41

ЛИТЕРАТУРА ' - ■ " 42