Применение метода контурного интеграла к решению смешанных задач для уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ОДВССгШ ОРДЕНА ÏP/ДОВОГО КРАСНОГО ЗНАЫЕНИ IWy;i\PCi3ÜÍICIÍ УИИВЕРСйТЫГ mi. И.П. ЖЧШКОВА

IKMEKffi МЕТОДА КОНТУРНОГО ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ

аидашх злш шт уржяей высокого порядка с

ПЕРЕМЕШШ1 КОЭЮНЦИЕН'Ш.М .. .

01.01.02 - диКюренцлальнке уравнения

Автореферат днссер'хации на соискание ученой степени кандидата физию-штематическкх наук

На прзвах рукописи

¡СМ! Белькасем

ЧУ

/ W //f

Одесса - 1991

Работа выполнена на кафедре методов математической физики Одесского ордена Трудового Красного Знаизнп государственного унк-'верситета икеш: И. И. Мечникова

■ Научный руководитель - кандидат фпзнко-.математическнх наук, доцсч

И.Г. Лободздиская

Официальные оппоненты - доктор ф.;з:;ко-.'.;атештпческих наук.,' . профессор iO.il. Черский, кавдздат фиэихо-матеиагачзехих наук, . доцент Б.П. ГаядзйПскаЗ, !

Ведуцая организация - Львовский 'государственны-:} университет.

'Зацита'дессертгщияазстоптся " СС^Ъ^О • Х9Э1 года в 4часов на заседании специализированного совета, шифр К 068.2'!.10 до физтю-штелгатичесюш наука« (математика) в .Одесском государственном университете.им. И.И. Мечникова по адресу: -270057, .г. Одесса,-ул. Петра Великого, 2,ауд. 'с ^¿^.

С диссертацией ио&но ознакомиться'в научноЗ библиотеке Оде> : ского государственного университета ш.:. И. И. Мечникова.,

Автореферат разослан п ' 1991 года .

• - Ученый секретарь -., .специализированного совета, ..

• доцент „ ■ . ' .• • В.Г. Кротов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

•Актуальность теш. В последнее десятилетие, особенно при ре-

I

шении прикладных заг.ач математической физики, особое внимание стало уделяться методу гр'аштошх интегральных уравнений. Сведение задач математической физики к системам ГИУ дает возможность успешно применять различные приближенные методы, вычислительную технику. -Естественно возникает'вопрос - в каком случае возмонно применение метода ГИУ, задачи для каких дифференциальных уравнений мигут быть сведены к системам интегральных уравнении. Обычно метод ШГ приме-1ллся к краевым задачам .для эллиптических уравнений. Однако, широкий круг задач гидродинамики, теории диффузии, излучения и т.д. приводят к начально-краевым задачам, в которых уравнений содержит • производные по времени и которые не являются уравнениями эллиптического типа. При рассмотрении уравнений с постоянными коэффициентами, используя классические интегральные преобразования такие уравнения машо' свезти к уравнениям с комплексным параметром эллиптического типа.

. В настоящей работе.рассматриваются начально-краевые задачи для уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами, которые содержат производные по времени., К таким задачам метод классических интегральных преобразований вообще не применим. В этом случае .эффективным является, метод контурного интеграла, .:отсрыи был разработан МЛ. Расуловым и применялся при решении задач для уравнений не выше четвертого порядка.

Так, в работах Котовой Н.В; решается задача для параболического уравнения четвертого порядка с первой производной по времени.

." В работах.Асадовой О.Г. метод контурного интеграла применяется к решению плоской задач: длс. параболического уравнения четвертого порядка, логда. граничные условия содержат вторые производные по времени. ,

. При рассмотрении уравнений порядка выше четвертого возникает ряд лринщпиалышх трудностей. Так, в явном виде следует построить фундаментальное решение спектрального уравнения при тех значениях , комплексного параметра , которые дают возможность применить. . метод контурного интеграла;, свести спектральную задачу, к системе интегро-дщфренциальных уравнений, которая эквивалентна системе ГИУ; доказать разрешимость последней. Все' эти вопросы' решаются в предлагаемой работе и являются, весьма актуальными. Обосновывается метод контурного интеграла.

Цель работы. Обоснование использования' метода контурного ин-.теграяа в сочетании с методом ГИУ к определенным задачам для. уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами, которые содер-зшт производные но времени (первого или второго порядка). .

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты: ' 1 . "''.'; 1 '; .

1. Построены в виде рядов фундаментальные.решения .эллиптических спектральных уравнений,-содержащих комплексный параметр Используется метод Яеви-Карломаиа, определена скорость сходимости -таких рядов; соответствующих производных. На.этой осново в следую-адх главах строятся решения соответствующих спектральных задач, доказывается возможность лрииешш:'* оператора дифференцирования внутри контурного интеграла. •'''■'.'■ -

2. Построены потенциалы"сводящие.соотЕэтствущую спектральную задачу к системе граничных интегральных-уравнений относительно некоторых гчотлостеЗ. Доказывается ее'разрешимость. • \ . -

3. Применен метод контурного интеграла к решению, смешанных задач для однородного и неоднородного'уравнений специального вида содержащих производные до времечицервого дорядка. ■ ■

4. Доказывается возможность применения этого метода в случае-неограниченных областей, когда уравнение -содержит• производные;до

времени "toporo порядка и по пространственной переменной высшего-порядка.

Практическая и теоретическая ценность. Теоретическое значение выполненной работы заклинается в обоснованна применения метода контурного интеграла при рсыеши смешанных задач для уравнений порядка «2 П с переменными ко'йвдиентага, что позволяет сводить рассматриваемые задачи к системам Б1У типа ^редгольиа И рода, до. казывается разрешимость последних. ' '■

Последний момент имеет существенное ¡фактическое значение при решении не стационарных задач математической физики (теории упругости, теории диффузии, гидродинамики и т.д.).

. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и об-сулдались на заседаниях семинара при кафедре методов математичес--кой физики Одесского , госуниверситета под руководством про£>. Г.Я. Попова; на городском семинаре по краевым задачам под руководством, проф. М.И. Черского; на отчетных научно-теоретических конферёнци- ■ ях Одесского госуниверситета.

Публикации. Основные результата диссертации опубликованы в работах 'jl - ¿j. • '

Структура, диссертации. Диссертация состоит из введения,- пяти глав и списка литературы.. Объем диссертации составляет '406. страниц машинописного текста.. Библиография' содержит J¿ $ наше но- . вакия. ; '

; : . . . . СОДЕШАНКЕ РАБОТЫ . . .

' .- - ■ • " .

Во введении.производится общая характеристика-диссертации и краткий обзор работ, относящихся к-затрагиваемым в ней вопросам;

Первая глава ^¿освящена построении 'фундаментальных penréknít-. , эллиптических уравнений' высшего' порядка' с комплексным параметром методом Л'еви-Карлемана. ,'-'..'•".'•.

Рассматривается следующее. линейное.уравнение порядка •2"/г

%)= Ъ+Цх^-У) +С-<Г Ъ(х; -Я) в О, .

(I)

а: л >

в некоторой ограниченно" области 2) С с границей Х^ ^it^-t-z

- комплексный параметр удовлетпоряжш условиям. / /^о j

- положительное достаточно большое число

1D _ .

О(Х) Э £>С~ tonst) 3 CCxJc С С2)) ,

Къъ) I la.tó^Лбкы&н] ъ(^), :

{, Се.-4 *=о ' к=°

е гЗ) , • ' ,

. Рассматривается, такоегопомогетель.'.ое уравнение .

. ' тГ* ь^) - °> (-) "

(точка -'С^-г> "• > За) выбирается" произвольно п фиксируется).

Для' лросютн выкладок предполагается, что Н = 3. . Элемен- . тарным: решениями уравнения (2) (терминология Ацш.'аро.) будут слс-дуэдие- функции: " . п . .'

Составляя линейные комбинации > • получается фун-

дамеьгальное решение уравнения (2)

КС^У.ъЪ = ' • „ п

, . „ V ¿ИГ-3, (4)

. =_X £ ' V

. ¿лГ^^ЬтСъЯ« Г1 4 о

Постоянные вжшр'аштся так, чтобы в разделении (у(3^1^)/ %^

по. степеням ОС^РС» ' коэф^-зднентн при нечетша степенях 3) .. до (2,т _ 5)

включительно обращались в нуль,-т.е.' \ ; .'.

"•-».И —■

¿♦«.(«-о

Следуя- методу 1евя-Карле:.ша уувдаменгальиое решение уравнения (Г) :;щзтся'э води .

• +5 РсЫъфъ^ЬСч'Ь^л^' . . . ,п

Ь ' -

^' ^ ) удовлетворяет сяедувде;,<у- интегрально:,;у уравнения типа ..¿ррдголъма П .рода

4 5 > • • (6)

•к!Г*, ц*» = .51 X " '

Показывается, что лри 3 * Л- интегральное уравнение (6) имеет единственное решение, определяемое .формулой . ■ • •

' '= 4-Х- К&'ЬЪ ' (7;

где 1С* ^ ■> - -ая итерация ядрэ »?? 5

доказаны две гроремы: . ,

Теорема I. При достаточно большом , V 3 б -Л урав-• некие (I) имеет аналитическое по 3 фундаментальное решение вяда.(З); ырв этом имеют место оценки

IЛ* P/x *-о>1 «, CoWl-ll-Mlfay) (¿^FPC^/^I < МЛ)--г ?

tzi чсх,1>) • | * — > .

Теорема 2. Если , то ууикц-Ш: "Zri'iirл -

= - ТО * i 3 ЩЕ .аддозя /0

и яьляется решением уравнения '

+ 2. ч-f-.o 3 а^у ~(f/fz).

Далее строится фундаментальное решение уравнения ..

•п-и 1 .

в области п -мерного пространства, где коэффициенты '

•¿.TxbVc7о ,С.;<.х}еССй) , Qi^(cc) ^ Ck.Jx.) ¡> JV, * о „ : » 7 и следувдал -

квакра-гатаая форма' полокктельно'ОЕределег-

' Вьсдятсяг.такие сильна елякдтотеские 'да$^рвздиад~.шв -операторы

Строятся фундаментальные решения (^г J уравнений

Aj Л) = О , J « .

Функция

efx.,4^) и

= 5 14»Ъ») £ £*>-*с' ы?*ъ "'

'" S (>2J V \ъ

(Ю)

является фундаментальным решением уравнения (6\

Вторая глава посвящена доказательству разрешимости основной краевой задачи для.следующего уравнения эллиптического типа высшего порядка

: '¿ГКг*я/Л i

п| :»i ** ■ - , , ^

+ £_Л> Cfcy Vxi"*; -- О (TI)

wee •

■ Ъ « ^-> , ■

Ъ Cav;-я; «-¿-Л, dMxity,

* - направление внутренней нормали в точке , проходя-

щей через внутреннш точку it £ «2> , -^(¿с*) ~ заданные на 2. Функции," ^¿Л . . '*

Для доказательства разрешимости (II)-(I2) используются ло-; тенциальные, построенные О.Й. 1лничом кИ.Г. ЛободзинскоС. , Решение m»e? ввд

(12)

1г(ъЪ) =5 .<13)

3> •

^(Х,^) ~ некоторый поверхностный интеграл, от потенциалов зада- .

411 и их лронзЕОдних яо нормали вдоль главных' направлений .на .

В тратьсЛ 1'Лсше рассматривается следующая смешанная задача

для однородного уравнения высокого порядка параболического типа. - • .

1) +&<(!£) Ч- < •• +

2) 2, * =

3) НС*, о) -- О , асе Ъ.

Доказывается существование решения зсдачк 1)-3) и его представимость а виде сходящегося крчгурного интеграла. Реионво- задачи I>—3) ищемся в виде

чаМ) ьи^ыъ, (14)

^ б ^

где Ь - бесконечная разомкнутая кривая, расположенная в области . При {й^ > ( - достаточно большое положительное число) кривая -Ь совладает с лучами" • . -

о^я = > ^ .

решение следуадсй,. так называемой спектрайьяаа зада- . чи, соответствующей задаче-1)-3). ■

а) АП7г(се; Я) -4-^ Ъ) + '

.Четвертая глава лоевяцена репеннд смешанной задача для неоднородного уравнения шсокого порядка с иеро.лсншмп коэТаУ.щнентам::.

В полубесконечном цилиндре Ц - Ъ , 0< (

■хребуе^ся определите функцию 1Л :

4) А^ъсхЛ +

•Г.*** ЛЬ

б) ЫХ.о) <$(ЭС)- .

• Рассматривается следующая граничная задача

в) ^т^/н- ^¿Ос)А*Ъ(хЛ)+

со ' -

г) > = а ,Лб1 , А:- •

(так называемая.спектральная соответствующая 4)-6)). Доказана

: Теорема 3. Задача 4)-6) разрешима и ее решение представимо в виде '■ .'■.••

^ >3) - функция 1£има задачи в)-Л), ^ ( ) - решение

. 'задачи Коши. ■ , . ■ ' '

Ал „.

-12 -

Пятая глава посвящена применения метода контурного интеграла к решению смешанной задачи, когда уравнение содержит производные по времени второго порядка в трехмерном пространстве «Л 3 . Требуется решить задачу

7) ^+. а/оо¿¿не*,а+ ...4-

-+■ (х) <чМ) + у = о б

8) '11(^,0) — у/Х) > Х( 2> ,

• Вводатся в рассмотрение следующее уравнение с комплексным параметром. Это уравнение будем называть спектральным уравнением, ■соответствующем задаче 7)-9). уункцпя 1т Я) должна удовлетворять уравнению •.■•*.

д) + а/чс; а'ъ-СхЯ) + .. • *

Л оих) ШЛ) =.

где.

Доказана . (о

Теорема 4. Пусть (Ъ) ¿/?/ос1 (г СГЪ) , 10ГДа

уравнение д) имеет аналитическое по ^ -Л- решение, представгдюе ввде

где Р Ъ) есть фундаментальное решение уравнения д).

Теорема 5. При условиях иоремы 4 задача ?)-5) имеет реиениз

прёдставимое формулой

^ +

•. В заключение, выражай глубокую. благодарность своему научному руководителю- доцьнту И Г. Яободзийской за постановку задач и

оказанную помощь во время работы. ■

.- Основные результаты диссертации опубликованы в работах: ■

1. KetíJra Б., Лободзинская И.Г» Решение методом граничного элемента

, в сочетании с методом контурного интеграла,задач для уравнений . высокого порядка параболического'. Tima. // Одесса, 1989."-¿.- 12, Ругсблпсь деп. в УкрНИИНТИ, 21 марта 1989 г., Л 827-89 Леи.

2. Кебли Б.'Решение смешанной задачи для неоднородного уравнения высокого порядка параболического типа с переменными коэффициентам:!. '// Одесса, 1989. - С,- 25. 'Рукопись деп. в '/крМШГИ, 17

. апрёля - Í989 Г., Л ■ 1080-89 ion. ' '

3. Кебли'Б. , ' Лободзинская И.Т. Построение в явном виде фувдамен- / '•толыих решений эллнп'лгаеских'уравнёиий высокого порядка о не- • 'ременными кодйфвдиентамй,.// Одесса, 1990. - С. 19.' Рукопись

'. дси. 'в УкрШ'ШНТИ, 20 апреля 1990 г., á 773-90 Деп.