Смешанные задачи волновой теории механического удара тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАД5МКЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукоидея

ГАЙДУК Станислав Иванович

СШШНЫЕ 'ЗАДАЧИ ВОЛНОВОЙ ТЕОРИИ ШАКИЧЕСКОГО УДАРА

01.01.02 - даффэраяцаалькыа уравнения

Автореферат

диссертация на сонскакне учёной стопэira доктора фнзико-иате1/лтот«скнх наук

ISÏHCK-I993

Работа выполнена в Институте математике АН Белорус*

Официальные оппоненты: дошор физико-математических наук,

профессор Пешков В.З.,

доктор физико-математических иаук, профессор Юрчук Н.И.,

доктор физико-математических каук, профессор Янушаускас А.И.

Ведущая организация: Московский государственный

университет хм. М.В.Ломоносова

Защита состоится 93 г. в УЯ

часоь ж заседании спещалхяированвого совета Д003.19.02 в Институте математики АН Беларуси со адресу: 220072, г.Шнек, ул.Сурганова.И.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси

Автореферат разослан •/5"" НФ&ЕК& 1993 г.

Учёный секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

Гайдук С.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш и её состояние. Теория механического удара является одной из актуальнейших областей прикладной механики. В течение последних .десятилетий учённо я инженера проявляют Еовнпеюшй интерес к ре сякло проблем, сапзакных с процессом удара в твёрдых тслак, Это связано с тем, что в разлитых областях фхзпки и техники часто приходятся сталкиваться с соударениям:! твёрдых тел.

Мзханичзским ударом называются соударения, в которих пригашаются во вникэшге ьаосы обоих взаимодействующих тел. Если яе удар осуществляемся внезапный приложением некоторой силы я точках границы тела, то этот вид удара принято називать динамическим ударом.

Проблема механического удара тщательно изучалась в экспериментальном и теоретическом отношении, начиная со врекйй-Нызгонэ. Экспериментальное язучеиис почти всех явлений удара является весьма затруднительным. Основная трудность состоит в том, что время, в течение которого протекает процесс удар^,является чрезвычайно коротким (практически мгновенным). К тому ке распространение возникающих при ударе волн смещений и напряжений в твёрдых телах не поддаётся, вообще говоря, непосредственным наблвдениям опять же из-за быстрого, изменения напряжения во времени, малосгя смещений и высокой скорости волнового фронта. Поэтому при изучении проблем! удара одной из первоочередных задач стала задача теоретического исследования вызванных ударом явлений с использованной аналитических методов.

№ханический удар сопровождается такими явлениями как ые-ханические колебания, свет, тепло, электрические явления, местные деформации и другие явления. Однако тепло, свет и другие явления связаны с незначительной частью общей энергии процесса удара, значительное же количество энергии преобразуется в колебания, связанные с распространением в телах волн сызщеняй и напряжений.

Началу современной волновой теории механического удара положило применение теории упругости к изучению распространения возникающих при ударе волн, что приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных. Основы волновой теории механического удара (исследование с физической точки зрения одно-

мерных продольных я поперечных колебаний, вызванных ударом груза по однородно^ упругому стержню) были созданы в трудах Сен-Венана (1797-1886) и других исследователей. Полагая, что ударяющее тело жёстко связывается в момент удара с фиксированной точкой ударяемого тела, Сен-Венан считал, что указанная выше фиксированная точка принимает скорость, численно равную скорости ударяющего груза.

Рассмотрим классическую задачу о продольном ударе по упру-гощу конечному стержню.

Пусть в начальный момент времени г-О однородный упругий стержень О— -ос.с г?-^постоянного поперечного сечения, конец Х=С которого свободен, а конец жёстко закреп-

лён, подвергся удару некоторым грузом по свободному концу, к которое он пршшп после удара. Требуется изучить вызванные ударом продольные колебания стержня, пренебрегая для простотй его весом.

В математической постановке эта задача сводится к решению уравнения

^ - (<?<-*<« т^) (х)

при начальных условиях

ЯгшУсо^ <2>

и граничных условиях

(3)

■ о*)}

где и(ху£)— смзщение сечанля ¿с стержня в момент времзни

> Ув~ скорость движения груза, ударившего стержень; СС" =

» у-= . причём Е— модуль упругости материала стержня, ОМ

— плотность материала стержня, $ — площадь поперечного сечения стержня, И— масса указанного выше груза.

Сен-Венан решад задачу <1)-(3) методом Фурье. Формальное решение этой задачи можно представить в виде ряда

ггл 3; ■••)-— занумзрованше в порядке возрастания

положительные корни уравнения '}Н^7)=А>, причём &~ ~~

отношение мае си стержня к шссе ударившего его груза. Ряд (4) хорошо (равномерно) сходится и, таким образом, пригоден для вычисления смещений. Однако плохо (неравноюрно) сходятся ряды для скоростей напряжений \У= а для ускорений

У^ьрг соответствующий ряд вообще расходится. В то же вреда математическая постановка (1)-(3) задачи о продольном ударе по упругоьдг стержню находится в хорошем соответствии с опытом. В 1930 году задачу {1)-(3) изучат академик Н.Ы.Герсеванов в связи с определением динамического сопротивления свай во время их забивки. Этой задачей позже занимались и другие исследователи. Хотя задача (1)-(3) войта в учебную литературу, однако до "976 года не было полного и строгого иатештического обоснования её решения (4), так как расходились рйды для производим ^/^рр; и -т^- и оставался открытым вопрос о единственности решения этой задачи.

Изучая попере«ний удар, Сен-Венан и: осматривал однородную упругую балку -С-' ,, которая испытана удар груза в

точке , полагая что

Г» I -Г" О

к- ио = (Ь)

где — прогиб сечения ¿с балкл в ¡яомзнт времени ,

■^ — скорость движения ударившего б ал кг/ груза. Однако его 1«а-тештическая мэдель этой задачи неточна в физическом смысле, так как он пользовался не волновым уравнением

^¿■¿х' (- постоянная величина),

которое не допускает распространения дефоршцай с конечной скоростью и разрывного распределения скоростой (5) по длине балки.

К середине 70-х годов XX века било оцубликовано большое число работ, посвященных рассмотрению задач, связанных с различными ударными явлениями. Среди этих работ имзются работы, в которых рассматриваются задачи, списывающие вызванные ударом колебания стержней, и Ллатексатические моделл которых построены на основе волновой теории Сен-Венана. Однако почта во всех этих работах ах авторы занимались построением форшльных реше-

ний простейших задач и анализом этих решений с физической точки зрения (получением физических следствий). Вопроси же строгого обоснования решений указанных выше задач почти не рассматривались, а если и рассматривались, то только в случаях, где эти решения ведут себя почти так же, как классические решения.

Следует отметить, что теоретическое кзучение проблеш кз-ханического удара сопряжено со значительными математическими трудностями, поэтому-при теоретическом исследовании вызванных ударом колебательных процессов обычно ограничиваются рассмотрением тел, имеющих простую геометрическую форму: нитей, стержней, балок и пластин с прямоугольными границаш, причём в ряде случаев, плоскую пластину, толщина которой ыала в сравнении с двумя другими измерениями, (/ожно считать мембраной.

В последнее время наблюдается широкое распространение и использование "новых" материалов (полимёров), которые обладай» механическими свойствами, не описывасшш упругие моделями. Эти материалы по своим свойствам заполняют промежуток между упругими и пластически ля телами. Их поведение описывается достаточно общими дифференциальными законами деформирования,характеризующимися линейной зависимостью между деформациями, напряжениями и их производными по времени,, и они называются не вполне упругими телами.

В связи со сказанным выше стала задача перенести волновую теорию Сен-Венана на исследование вызванных ударом колебаний не вполне упругих стержней, усовершенствовать теорию Сен-Венана для балок и перенести её на двумерные тела (пластины). Другими словам; требуется построить математические модели -задач о механическом ударе для таких тел, доказать разрешимость этих моделей (смешанных задач), построить их решения и исследовать свойства этих решений, т.е. разработать математическую теорию смешанных задач волновой теории механического удара (теории Сен-Венана) .

Математические модели указанных выше задач представляют собой смешанные задачи для уравнений в частных производных.и их систем специального вида с производными по времени в граничных условиях или в условиях сопряжения и с присутствием начальных функций, отличных от нуля на множествах нулевой меры. Остановимся на этих дзух особенностях рассматриваемых нами сме-аанках задач.

Указанные в икс задачи не имеют классических решений {не выполняются необходимые условия их существования), поэтов речь может идти об их обобщённых решениях. Наиболее часто обобщённое решение смешанной задачи определяется либо как функция, удовлетворяющая интегральному тождеству, эквивалентному в некотором смысле дифференциальному уравнению, либо как преде! некоторой последовательности гладких (классических) решений. Указанные выше два подхода к определегада обобщённого решения детально разрайотакч для определённых классов смеианных задач, не содержащих производных по времени в граничных условиях. Оба эти подхода к доказательству существования обобщённых решений упомянутых выше смешанных задач непосредственно не переносятся на смешанные задачи с производными по времени в граничных условиях. В последнем случае душ казздого масса смешанных задач нужно строить и изучать специальные нормированные пространства, в которых следует искать решения таких .задач, причём общего рецепта для построения таких пространств до сих пор не предложено, Кроме того .следует отметить, что при обоих указанных шше подходах решения смешанных задач иисутся в нормированных прост- _ ранствах с интегральными корма.ми, где функг^н, отличающиеся друг от друга на множестве моры нуль, считаются эквивалентны; .и (рап-нш.к), и в связи с этим функция, отличная от нуля на множестве нулевой мерн, считается равной нулю. 2 рассматриваемых хв наш. задачах № не кожеМ так считать, а должны функции, эквивалентные нулю, представлять в виде рядов или в виде контурных интегралов (выводить форлулы разложения таких функция). В силу сказанного выше стала задача разработать новый подход к определению обобщённого решения смешанных задач волновой теории Сен-Венана.

Обосног-ывая решение одной простой смесанной задачи из теории механического удара, А.Н.'Гвериткн пришёл к простейшим расходящимся рядам, которые суммируются на интервале л-оо методами Чезаро первого и второго порядков, Это обстоятельство навело на ьшель широко внедрить суммировать обобщённые/ ..юто-дами расходящихся в обычном емкеле рядов и икто/ралов, которые появляются в формальных решениях смешанных задач- волновой теории механичэского удара, во всей области, где ищутся решения этих задач. Эти методы развивались саш по себе та чти без ггри-юнения к другим разделам математики и, в частности, к краевым задачам для уравнений в частных производных.

- 7 _

Известно несколько методов обобщённого суммирования расходящихся в обычном сшсле рядов. Для рассматриваемых пат задач удачными оказались методы Чезаро разных порядков, или методы (CjKJj ибо эти методы обладают четырьмя следующими замечательными свойствами: а) ом применимы как к рядам, так и к интегралам; б) методы (С., к) при К>— ¿ являются регулярными методами,'т.е. они суммируют; сходящиеся в обычном сшсле ряды к той же сумме, к которой они сходятся в обычном сшсле,и суммируют сходящиеся в обычном сшсле интегралы к тому же значению, к которому они сходятся в обычном сшсле;.в) они просто реализуется при вычислении на ЭВМ суш рядов и значений интег-parcoBj г) суммы рядов в сшсле Чезаро совпадают с суммами этих рядов в сшсле обобщённых функций. Последнее свойство особенно важно дм прикладных задач. Дело в том, что суммируя, наиример, ряд для производной'"?^в задаче (1)-(3) разными регулярными методами обобщённого суммирования, кы можем, вообще говоря, получить различные значения ускорения в некоторой точке в некоторый момент времени -¿—'¿с • Если же сумма ряда в сшсле Чезаро в го се зс=3с0 в момент времени совпадает со значением обобщённой функции, являющейся функцией.точки и представляющей сумму этого ряда, то шжно говорить с достоверности этого значения у.-орения, так как если бы мы получили величину К- 1 / . в виде обобщённой функции, являющейся функ-

S V^i^ I ЛГаft С с

цией точки, то вопроса о разных значениях для ускорения , , в задаче (1)-(3) не возникло бы.

Введённое наш определение обобщённого решения не только отличается от его определений яри превом и втором подходах к определению обобщённых решений, но и от принятого в теории краевых задач определения решения почти всюду: в последнем' случае—это функция, имеющая в некоторой области D, в которой ищется решение смешанной задачи, обобщенные производные до старшего порядка включительно, принадлежащая вместе с ними пространству Ltz,(QJ и удовлетворяющая почти всюду в D исходному уравнению и всюду граничным я начальным условиям. В нашем же случае старшие производные обобщённого решения, вообще говоря, представляют собой обобщённые сингулярные функции, которые не принадлежат пространству (D)•

Цель работы. Изучение разрешимости и свойств решений смешанных задач волновой теории Сек-Венана, разработка методики исследования этих задач и построение их решений, т.е. создание математической теории указанных выше смешанных задач-—ваяней-иего раздела теории мзхакического удара.

Методика исследования. Сочетая ¡лотод контурного интеграла, метод разделения переменных, ьстод функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений и асимптотические методы с широким внедрением оСобтённого суммирования рядов к интегралов методам Чезаро, строится гйтол выделения особенностей (неравномерно сходящихся и расходящихся радов и несобственных интегралов) в формальных решениях сменянных задач волновой теории Ссн-Венаня, с помещыо которого можно ввести определение обобщённых решений этих задач и в сочетании с методом интегралов энергии изучить разрешимость и свойства решений указанных выше задач.

Научная новизна. В работе получены перечисленные ниже ре-' зультатн.

1. Построены математические модели зпдач о вызванных механическим ударом колебаниях ¡соночных упругих и но вполне упругих стержней, балок и прямоугольных мембран (эти модели представляют собой смешанные задачи ддя дифференциальных уравнения в частных производных и их систем специального веда).

2. Предложен новый подход к штештиче с кому обоснованию решений указанных 'выше смешанных задач, основанный на суммировании расходящихся в обычном смысле рядов и интегралов методами Чезаро.

3. Доказана разрешимость и исследованы свойства.рекекий одномерных смешанных задач для уравнений в частных производных, описывающих

а) продольные колебания простых однородных упругих и не вполне упругих стержней;

б) продольные колебания простых неоднородных упругих и не вполне упругих стержней и стершей,свойства материала которых зависят от времени;

в) продольные колебания составных стержней, состояпдах соответственно из однородных и неоднородных участков, которые* не резко отличаются друг от друга физическими свойствами;

г) продольные колебания составных стержней, участки которых резко отличаются друг от друга физическими свойствами;.

д) поперечные колебания упругих и упруго-вязкой балок.

4. Доказана разрешимость и изучены свойства решений двумерных смешанных задач, связанных с вызванными ударом поперечным колебаниями прямоугольных мембран.

В связи с исследованием перечисленных выше задач получен ряд имсю'дих самостоятельное значение результатов, из которых отметим следующие:

а) изучены свойства сумм тригонометрических рядов, члены которых зависят от двух переменных, и индексы членов меняются в порядке арифметической прогрессии;

б) получены формулы разложения заданных функций в ряды по собственным функциям некоторых краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих параметры в граничных условиях (на примере этих задач показано, что для разложения функций в ряды по собственным функциям несамосопряжённнх задач можно обойтись без изучения соответствующих сопряжённых задач).

Все указанные выше результаты являются новыми.

Достоверность результатов. Большинство результатов диссерА тации сформулировано в виде теорем, которые доказаны. Результаты, полученные аналогично результатам, истинность которых доказана, сформулированы в виде теорем и замечаний к ним.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический и прикладной характер. В ней разработана методика обоснования формальных решений смешанных задач для уравнений в частных производных с производными по врем:ни в граничных условиях и с начальными функциями, отличны и от нуля на множествах нулевой меры. Отдельные положения работы могут быть включены в курсы дифференциальных уравнений математической физики. Практическое значение полученных результатов состоит в том, что они могут быть полезными в приложениях при изучении распределения напряжений, возникающих в колебательных телах с двумя и одним вырожденными измерениями, колебания которых вызываются механическими ударами. Ряд результатов полученных при рассмотрении задач о продольном ударе груза пс однородным стержням, был внедрён в 1978 году в Физико-техническом институте АНБ в задаче о расчёте оптимальных параметров внешней нагрузки при гвдроударной обработке металлов.

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались в 1974-1983 гг. на сыжнарах каферы штематкческой физики Белорусского госунивкрситета под руководством члена-корреспондонта АНБ Е.А.Иванова, на 1У Республиканской конференции математиков Белоруссии (Ьйнск, 1975 г.), на Международной конференции по обобщённым функциям и их применению в математической физике (¡«Ьсхва, 1980 г.), на У Республиканской конференции математиков Белоруссии (Гродно, 1980 г.), на семинаре хафедры уравнений матештаческой физики Бакинского госуниверситета (1981 г.) под руководством академика АН Азербайджанской Республики М.Л.Расулова, на Всесоюзной школе молодых ученых "Вычислительные ьвтодн и математическое моделирование" (йшек, 1984 г.), на У1 конференции гатематикав Беларуси (Гродно,1992г.), ка Республиканской научно-ьйтодкческой кокферетдаи, посвященной 200-летзю со ЯУЯ рождения Н.И,Лобачевского (Одесса, 1992 г.). и в других №стах.

Публикании. Осно: -ше результаты диссертации отубяикованы в работах [1-20].

Структура и ебт-ём работы, Диссертация состоит нз введения, шести глав, разбиткх на 24 параграфа, приложения (рисунки) и списка использованной литературы, содержащего 107 наименований. Работа содержит 405 страниц ъалиногасного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РЛБОТЬ'

Во введетг обс/здается актуальность то иг диссертации, излагается история рассматриваемого вопроса, приведен обзор литературы, придокаадей к теме диссертации, даны аннотация всех глав диссертации и перечень результатов, выноемшх на защиту.

Первая глава работы, состоящая из Шести параграфов, носит, в основном, вспомогательный характер.

В §1 излагаются основы математического аппарата теории ползучести (теории нз вполне упругого тела), приведены дифференциальные уравнения колебаний стержней, балок и люмбран и условия в точках удара.

В .§2 и §3 приведены основнио сведения из теории суммирования расходящихся в обычном столе рядов и интегралов штодаш Чезаро, исследованы свойства сумм некоторых рядор и свойства некоторых несобственних интегралов. В частности, изучены в области

D -&<оо) свойства суш тригонометрических

рядов

Г Щ^х+у^ь(^р (6)

од j

а также более общих рядов, чем ряды (6)-(9). Отметим, что в рядах (6)-(9) Сс4к = } OLa.K—(—ï)K} Э£ — постоянная величина, a jz и о _ целые числа (q = ¡>-d], т.е. индексы членов рядов (6)-(9) меняются в порядке арифметической прогрессии.

В §4 сформулирована теорема Тамаркина об асимптотическом представлении фундаментальных систем решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений ввда

foty^'+P^jY"-*1+• • .+&&?)?*<>>

которые рассматриваются на конечном интервале и где

—комплексный параштр, причём предполагается, что при достаточно больших Ifl имеют мзсто разложения

снд _

и по крайней мере одна из функций рка (scj не равна нулю тождественно при л: é [ CLj -g ]. На основании те ope ш Тамаркина выведены нужные нам в следующих главах асимптотические формулы. Здесь же выведены асимптотические формулы для некоторых величин, зависящих от двух параметров, которые независимо друг от друга принимают сколь угодно большие значения.

Пятый параграф посвящён выводу формул разложения заданных функций в ряды по собственным функциям двухточечной краевой задачи

и трёхточечкой краевой задачи

% (II)

((¡пг- + X (>/ ) (к-^М-Ь

где 0*0 / ./(^—достаточно гладкие на интервале [0;-£]

функции; Л — комплексный параметр; С) б' и — постоянные величины. В частности, с задачей (Ю) связана формуле} разложения

где ЭСкО*-) (<= .) — собственные функции задачи

(10). На примере задач (10) и (II) показано, что для разложения функций в ряды по собственным функциям несэмосопряжённых краевых задач можно обойтись без изучения соответствующих сопряжённых задач, причём для краевых задач, содержащих параметр в граничных условиях, собственные функции не ортогональны и для самосопряжённых задач.

Наконец, в §6 изложена схема решения смешанных задач для уравнений в частных производных методов контурного интеграла. Исследована связь метода контурного интеграла с методом преобразования Лапласа, из которой следует, что эти методы, вообще говоря, не одно и то же.

.Все полученные в первой главе результаты, а также приведенные в ней результаты других авторов используются в следующих главах.

Во второй главе, состоящей, также как и первая, из шести параграфов, рассмотрены простейшие задачи волновой теории механического удара(теории Сен-Венана), которые в физической постановке сформулирою ни ниже.

Пусть в начальный мошнт времени ~(. = 0 однородный конечный стертень постоянного поперечного сечния, материал которого обладает определёнными физическими свойствами и конец ¿с — О которого дастко закреплён, а конец х = свободен, подвергся удару некоторым грузом по свободному концу, причем в дальнейшем груз остаётся в сопрокосновекии со стержнем. Требуется изучить гчзваннне таким образом продольные колебания стержня.

Пренебрегая весом стержня, как силы, и его возможными вертикальными отклонениями, в математической постановке сформулированная выше задача ставится следующим образом; для определения смэг- ■ щений и(х,-{) сечений стержня и напряжений -£) в его сечениях нужно в области ( } 'Т^^) найти решение систеш уравнений

при начальных условиях

I -пГ^^г) и (И)

и граничных условиях

(15)

В задаче (13)~(15) ^Осс; — неотрицательные физические постоянный, характеризующие материал стержня; \/а— скорость движения ударившего стержень груза; с = щ—где Б — площадь

поперечного сечения стержня, А{— масса указанного выше груза.

В §1 задача (13)-(15) рассмотрена при ^ = = 0 (упругий стержень), причём рассматривается случай, когда ЬС 0 (конец Л = 0 закреплён) и случай, когда (конец

Х=0 свободен). В случае упругого стержня равенство И в условиях (14) отсутствует.

В §2 задача (13)-(15) для упругого стержня изучена в случае отделения груза от1стержня после удара. Здесь кроме задачи (13)-(15) при ^г ~~£=0 исследована задача

гъ'и* ,з.ГЬ'и* Г а_ сс 1 (16)

V

( (0*х<сс.1 (17)

где

причём и(х,-{)— решение задачи (13)-(15) при а вели-

чина ¿Со определяется в процессе исследования задачи (16)-(18), -которая описывает колебания стержня после отделения от него ■ (в чэмзнт времени ) груза.

В §3 задача (13)-(15) исследована при

(упруго-вязкий стержень), а в §4 та же задаче рассмотрена при а.-О (релак-сирухиций стеркень), причём в случае релакоирукяпего стержня равенство 14/1^0= О п условиях (14) отсутствуй?,

В §5 задача Ы)-(15) изучена при "^¥0, СС ^О, -ёФО, причём (упруго-зязко-рвлаксйруи^ай. стераень), в случае,

когда ~и в случае, когда

В §6 сформулированная выше физическая задача рассматривается в случае, когда материал стзржня подчиняется общему линейному закону деформироваши. Здесь первое уравнение систеш (13) заменяется уравнением

/ лГЪ'-и . ¿гг-и. ,рГЫУ,т„

где а г*-к -ё^-к (к=0,н-3,), а, 4 — не-

отрицательные постоянные величины, характеризующие материал стержня, а начальные условия (14) замзняются условиями

О с $ =

ГУ ¿у/

ЛЯР'Н-'о

Все перечисленные выше задачи в силу разрыва в одном из начальных условий не имеют классических решений, поэтому во всех задачах первой главы, так же как и во всех задачах следующих глав, речь вдет об обобщённых решениях этих задач. Определим, например, обобщённое решение для задачи, поставленной в §4.

Назовём обобщённым решением задачи (13)-(15) при сс = 0 функции и.(ху1) и которые обладают следующими

свойствами: а) функция и. (ху1 ') непрерывна в области Л)*

( Т<оэфункция IVи произ-

водная почти всюду непрерывны в той же области;

в) производные '^Е и Я^Г "Р^стакляются

в области' Л)^ -С некоторыми рядами,

суммируемые в этой области почти всюду методом (С, {)-т) функции и и И/'(^-6) удовлетворяют почти всюду в области Д. системе уравнений (13) и всюду условиям (14) и (15).

Аналогично определяются обобщённые решения для задач,поставленных в §1, §2 и §5. Определяя обобщённые решения задач, -поставленных в §6, нужно при п.-тп. в приведенное выше определение обобщённого решения задачи (13)—С15) при СС~ О Енести пункт о том, что ряды для производныхи

( 5= т.) суммируются почти всюду в области 1)1 методами (С, 5) (£-2,ш) Что касается задачи, рассматриваемой в §3,то о её решении будет сказано ниже.

Будем говорить, что две функции, разрывные на некотором множестве М* замкнутой области!) , имеют на множестве^* одинаковые разрывы (конечные или бесконечные или конечные и бесконечные одновременно), если их разность в области

является непрерывной функцией.

Обозначим символом класс функций, производные ко-

торых до порядка п. включительно или сами функции со своиш5_ производными до п. -го порядка включительно имеют в области Л одинаковые разрывы.

Для задач,поставленных в §1, §2, §4 и §5, получены следующие результаты; построены формальные решения (в виде контурных интегралов и рядов); дано обоснование формальных решений (доказаны теореш существования обобщённых решений в смысле данного выше определения) и изучены юс свойства; определены множества разрывов функции и производных, входящих в систе-

му (13); доказана единственность решений в классе функций

1А/^(1)%)■ задач §6 доказаны перечисленные выше ре-

зультаты при п.-т (единственность доказана при ), а

для других .зоотноЕе.чйй между т. и п. приведены полученные ре-зул-татыо Отмэтин, что множествами разрывов функции и производных, вхолящих в систему (13), являются находящиеся в об," сти Т}л отрезка некоторого множества характеристик систе-ш (13), Единственность решений доказана методом интегралов энергии, Например, для задачи, поставленной э §5, единственность решении следует из построенной формулы

где 0 ^

ш- шт-и^ш1+- ^

и где, в свою очередь, г/.С^уО - гл,М-г (М) к

^С-хл ) - ^ СМ ), а -М-кЫ ), СМ)

два предполагаемых решения из масса ).

Решение задачи, рассмотренной в §3, обладает следующими свойствами: фикция и.(жу£) и производная ^Ц^ напрерыв-

ны в области JJ^J производные \Pjyjir и ^'ах^ кепре-

рывны в области Х)д Ц^оо), и производные^^; г

^ непрерывны в области Таким образом,оказы-

вается, что введение коэффициента еязкости (величины ^ ) в математическую постановку задачи об ударе по упругому стержню

- 17 -

приводит к тому, что "плохое" (негладкое) обобщённое решение задачи об ударе становится "хорошим" (гладким) в области Г^ т.е. "почти классическим". Задача поставленная в §3, имеет единственное решение в. классе функций производные ,

> Т^Г* К0Т0РЩС имеот одинаковые раз-

рывы на границе области 2)л.

Третья глава, состоящая из трёх параграфов, посвящена рассмотрению смешанных задач о продольном ударе по простым неоднородным стержням и стержням, свойства материала которых зависят от времени. Физическая постановка зтих задач аналогична постановке задач, рассмотренных во второй главе. Отличительной особенностью здесь является то, что в случае зависимости свойств материала стержня от времени масса ударившего стержня груза имеет вид _А/, где /V® — постоянная положительная величина, _р<>(-€)— положительная достаточно гладкая на интервале функция.

В математической постановке задачи главы Ш сводятся к решению в области системы уравнений

г^ЯШг^- (19)

при качельных условиях

" о с

Г О (О^Л-«

(20)

(21)

и граничных условиях

В задаче (19)-(21ч ^С^ЛЪ & С*,!. ) и —

полсоэтелыше в области Х)ас ( эе^ -С, О Т-с оо J

функции, характеризующие материал стержня; ¿Ох.) — площадь поперечного сечения стержня; Ы,— скорость движения ударившего стержень груза; С = • Предполагается, что функции

с.), и удовлетворяют

некоторым условиям, в частности, условиям гладкости з £>*.

В §1 задача (19)~(21) рассматривается в случае, когда величины J и ро (4.) не зависят от времени (неоднородный стержень). Рассматривается также задача об ударе по простор неоднородному стержни в случае, когда до последовавшего по его концу х — удара в нём происходили продольные колебания. В этой задаче вместо начальных условий (20) берутся условия

и!

^ к*° I ух{г)-у0

где функции Т^С^-Л ^ С*) Удовлетворяют условиям гладкости и

условиям у* (О) = %(о) = с. В конце параграфа сделаны замечания о более общих задачах для неоднородного стержня.

В §2 задача (19)-(21) рассматривается в случае, когда величины ) ; Я-^Л] и 'б О*А) не зависят от причём отдельно исследуется задача, когда -€(-й)=:0 (упруго-вязкий стержень). Рассматривается также задача об ударе по упругому стерхкю с учётом инерции вращения его сечений. В этом случае вместо первого уравнения системы (19) с независящими от -X коэффициентами берётся уравнение

где величина (-6) ^ так как и величина характери-

зует свойства стержня.

В §3 задача (19)-(21) рассмотрена в общем случае, т.е. в случае, когда стержень неоднороден и его свойства зависят от времени.

Для всех задач, изученных в §1, §2 и §3, построены формальные решения в виде контурных интегралов (§1) или в виде рядов (§2. и §3); доказаны теореьи существования обобщённых решений в смысле, указанном во второй главе, причём в определении обобщённых решений для задач первого параграфа требования суммируемости рядов методом (С}{_) заменяется требованием суммируемости методом Г V {.) контурных интегралов; определены множества разрывов функции п/Сх'Л) и входящих в систему (19) производных от и. ) и ). При условии, что в системе (19)

фб множествами разрывов функщи и произ-

водных, входящих в эту систему, являются находящиеся в области дуги некоторого множества характеристик системы (19), Решение задачи (19)-(21) в случае упруго-вязкого стержня, т.е. когда = к решение задачи об ударе по упругому стержню

с учётом инерции вращения его сечений являются "почти классическими", т.е. разрывы производных этих решений находятся на границе области 2)^, Методом интегралов энергии доказана единст-^ венность решений задач третьей главы в классе функций Следует отметить, что построение формального решения задачи, изученной в §3, проводится с помощью формулы (12).

3 четвертой главе, состоящей из трёх параграфов, рассматриваются смешанные задачи о продольном ударе по составным конечным стержням.

В математической постанов!» эти задачи сводятся к нахождению в областях Он (О-ос^Х*', к Dt¡.

, 0<-£. ^ Т^о*3 ) решений системы уравнений

при начальных условиях

с^-х^зъ ■ ПР* при

(*-■£>, 'ш

(О^Х-^-яь При Хо^ж^-С щяк^А),

граничных условиях

ш

и условиях сопряжения

В задаче (22)-(25) 'величины ^к фс), ССк(х), (к-1,%)

наложительные та интервалах [ОуХо]СК"£> и Ск=л] ФУ«*-

ВД, характеризующие материал участков стержня^ причем на тех же интервалах ^ акСх)-§к (л)

где (—площади попе-

речных сечений участков стержня; Д/—масса и — скорость движения ударившего стержень груза

Определим обобщённое решение поставленной выше задачи (22)-(25).

Назовём обобщённым решением задачи (22)-(25) функции Ьс/<(х}-1)1 ХЛ'к которые обладают следующими_своЙствами:

а) функции и к (К-4)%) непрерывны в областях

ОСХ^Х, при Хс^-Х при

О =?-£ Т-< су*]; б) функции ЬУ* Сх,-Ь ) и производ-

ные , почти всюду непрерывны в тех же областях;

в) производные второго порядка от и.к первого

порядка от Ы/к ) (К= представляются в областях Г>*к (К=^А> О^х при при

Т< контурными интегралами, суммируемыми почти

всюду методом (С,4);т) функции и.к(рс}4) и И^ (хЛ) = удовлетворяют почти всвду в Ъ-щ (К = ¡Ъ) системе уравнений (22) и всюду условиям (23)-(25).

В §1 задача (22)-(25) рассматривается в случае, когда величины (х), _/>* (х), ССк(эс) , (х) и £к (Ъс) ~ ¿,2,) являются постоянными, т.о. когда составной стержень состоит из однородных участков, которые имеют постоянные поперечные сечения. Доказано, что задаче (22)-(25) в этом случае имеет обобщённое в смысле данного выше определения решение, которое представимо в виде некоторых контурных интегралов. Определены множества разрывов функций М^к Ск= и входящих в рассматриваемую задачу производных от и к (Эс, -Ь) и Ц/к ) Ск~ Установлено, что задача (22)-(25;не_может иметь двух.различных решений и классах функций ]/!/Гз,)(1)м) и ]/1/(%) (Вн.)•

V

В §2 аналогичные результаты получены для задачи (22)-(25) в случае переменных коэффициентов в системе (22), т.е. когда составной стержень состоит из неоднородных участков, которые имеют переменные поперечные сечения. Кроме того, здесь исследуется задача (22)-(25)в случае когда = 0 (составной неоднородный упруго-вязкий стержень), и задачи об ударе по составному неоднородному стержню в случае, когда материал участков стержня подчиняется общим линейным дифференциальным законам деформирования, т.е. когда вместо первого уравнения систеш (22) взято уравнение

и где, в свою очередь, а.к$(я:) и

(Ч^П ) — положительные на интервалах [0,Х>] (К=-1) и -<?] функции, а начальные условия (23) оп-

ределенным образом видоизменяются. В случае, когда • "к(х-)-0 Л1-/^/, решение задачи (22)-(25)является "почти классическим" в сшсле, указанном раньше, а в последнем случае свойства обобщённых решений задач (22)-(25) зависят от соотношений между т. и п.

В §3 рассматриваются две группы задач об ударе по стержню, приводящие к сопряжению решений разновидных систем уравнений. Ь предндущих параграфах этой главы рассматривались задачи о вызванных ударом продольных колебаниях составных стержней, состоящих аз двух участков, которые не резко отличаются друт от друга своими физическими свойствами. Если же отдельные участки составного стержня резко отличаются друг от друга своими свойствами, то поведение таких участков описывается разными системами дифференциальных уравнений,и при изучении колебаний составного стержня мы приходим к решению смешанных задач на сопряжение решений разновидных систем уравнений. Обратимся к системе уравнений (22), считая коэффициенты её уравнений постоянными величинами. Если в системе (22) величинных, ац и -6к отличны от нуля, то система

(22) описывает колебания составного упруго-вязко.т-релаксирующего стержня. Положив величины равными нулю, получим

систем, описывающую колебания составного ре лансирующего стержня;

при -£к~0 ) получим систему, описывающую колебания

составного упруго-вязкого стержня, и при ~0 —

колебания составного упругого стержня. Положив в системе (22) поочередно -£<=1= 0 } О и -€1=0,

получим три смешанные задачи; полонив в (22) поочерёдно = ~ и±='6%г=0 и получим три другие

задачи; взяв Б (22) О.^ СЬ^гО и положив поочерёдно

ах-0 и О , а затем взяв , О

и положив поочерёдно 0.^ = 0 и -€¿-^"¿ — 0 и, наконец, положив в системе (22) поочерёдно — —О и <Х% — = О,

получим еще шесть смешанных задач о продольном ударе. Все эти 12 задач составляют первую группу смешанных задач из указанных выше двух групп. В работе подробно рассматривается задача (22)-(25) при -^¿—О. Установлены существование и единственность обобщённого решения этой задачи, представимого в виде некоторых контурных интегралов, в смысле, указанном выше, и исследованы его свойства вместе с производными, входящими в задачу (22)-(25) при ~ О- -Для остальных задач, которые исследуются по той же схеме, сформулированы полученные результаты.

Вторую группу задач, рассматриваемых в §3, составляют задачи для составных стержней, материал участков которых подчиняется обидам линейным дифференциальным законам деформирования. Здесь система (22) заменяется системой

где дифференциальные операторы ^к(^ф^) и имеют следующий вид:

у?) —. £ _

Яг^ Съ^я), (26)

+ * (/»&1 (27)

и начальные условия (23) соответствующим образом видоизмэняются, причём С^ (-.5= 0^2], (¡=о}

~icf.'s С S = 0,<}-2. (26) и (27) являются

неотрицательными постоянными величинами, характеризующими свойства материала участков стержня. Для задач второй группы сформулированы теоремы о существовании и свойствах их обобщённых решений в следующих пяти случаях: и m.-n = d и

^ = и />-у = i, у

Аналогичные теореш сформулированы также в случае, когда составной стержень состоит из неоднородных участков,т.е. когда коэффициенты в операторах (26) и (27) являются функциями от -x.

В пятой главе, состоящей из трёх параграфов, рассматриваются смешанные задачи, описывающие вызванные ударом поперечные колебания балок.

В §1 изучается задача об ударе по упругой балке без учёта деформаций сдвига, которая в физической постановке сформулирована ниже.

Пусть находившаяся в покое однородная упругая балка

постоянного поперечного сечения с жёстко закреплёнными концами в начальный момент времени подверглась в сечении (0<.JCo-c-£J удару некоторым грузом,ко-

торый в дальнейшем остаётся в соприкосновении с балкой. Требуется изучить вызванные таким образом поперечные колебания балки.

Без учёта для простоты влияния веса балки и груза, как сил, в математической постановке сформулированная выше задача ставится следующим образом: для определения прогибов

( K=i,SLJ SCo при и при К = л)

оси балки нужно в областях Dm (0<3z 0<-í T< oo )

и D« (•Xe<x<~¿j O-*T-***3) найти решения уравнения

r&r (28)

при начальных условиях и^т-0 (О****.), = { Vo ^

rj)UJ =(v. (29)

граничных условиях и условиях сопряжения

( 8=1,2.;

С (<><4 * с*/ (32)

В задаче (28)-(32) с — физические постоянные, характеризующие материал балки; и /V — соответственно скорость движения и масса ударившего балку груза.

Назовём обобщённым решением задачи (28)-(32) функции ик ) (К-■£;£,); которые обладают следующими свойствами: а) функции С К= и_производные ^^ (к- непрерывны в областях С 1)2.}

О^Л^я* при к = при к=£, О^-б^Т^

6) производные и (К= почти всюду

непрерывны в тех же областях; в) производные ^ ^^еМт

И ' (к=1;1) представляются в областях

Т>1к ) контурным интегралам, суммируешь

почти всюду соответственно методаш {С,,!) и (С., & г) функции (к—-¿,2,) удовлетворяют почти всюду в областях Х)/яг С х- - уравнению (28), всвду условиям (29)-(31) и почти всюду условию (32).

Доказано, что задача (28)~(32) имеет обобщённое в смысле данного выше определения решение, которое представимо в виде некоторых контурных интегралов. Определены множества точек разрывов производных ( $=-1,3.) (З'&Л'') и

' которыми являются находящиеся в областях

ПЧ1лц

£ (к= ^^ ) отрезки некоторого множества характеристик уравнения (28). Методом интегралов энергии установлено, что задача (28)-(32) не может иметь двух решений и ^-¿у и ) С-Х" 1 чтобы производные ^

- (К^^Л) имели соотве-

тственно одни и те же разрывы в областях Г)¿к В конце параграфа сделаны замечания о более общих задачах об ударе по конечным балкам без учёта деформаций сдвига.

В §2 рассмотрена задача об удара по упругой балке с учётом деформаций сдвига. В этом случае уравнение (28) заменяется системой уравнений С.П.Тимошенко

{-"б3-ик __ , /гг*-и.к N

=/яй1* ^Шг- -с -

где ^— положительные постоянные, характеризующие балку, а условия (29)-(32) соответствующим образом видоизменяются с учётом величин ^ ¿уЗ,) — углов наклона

касательной к кривой изгиба. Для этой задачи получены результаты, аналогичные полученным результатам для задачи (28)-(324, причём при доказательстве теореш единственности решения нужно предположить, чтобы два предполагаемых решения )_,

- ) ( £ = удовлетворяли условие

и |л=л.== Ч '/'¡.Х-Хо ИЛИ условию и ■

В §3 рассмотрена задача об ударе по упруго-вязкой балке. Здесь уравнение (28) заменяется уравнением .

а условия сопряжения (31) (при 5 = & ) и (32) заменяются условиями" Гд^-и* . р I ___ , [

, 'ГО3 и* , о П)1'и, ! (,гг*иъ .„гг^и* )1

где ■ (5 — некоторые постоянные величины.

Доказано, что рассматриваемая в этом параграфе смешанная задача имеет " почти классическое" решение (разрывы ряда производных, входящих в эту задачу, имзются только в точк которое вмзсте с входящими в неё производные представило в виде предела некоторой последовательности контурных интегралов. Мэтодом интегралов энергии доказано, что рассматриваем™ задача не может ишть двух различных решений и-^ и и, Сх, -6 ) ( к~ Я) , чтобы производные

/п= п.=!; л= соответственно имели в. точке ^

одни и те же разрывы.

Шестая глава, состоящая из трёх параграфов, посвящена изучению задач, связанных с вызванными ударом поперечными колебаниями прямоугольных мембран. Эти задачи можно объединить в одну смешанную задачу, которая ставится следующим образом: в областях Т)ц (0-< х^-ЭСо^ ОС<-6^ Т-<с*о) И 1)л1 (ЖсИ } требуется

найти решения уравнения

при начальных условиях и-к\±=о=0 Оаос^Хопри а. (34)

при , ),

( О о^х^х* при

при ), ч35)

граничных условиях

= (О^^^О^Т^), (36)

о^л^ло при а. при

О ^ -£ у-г о^ У и условиях сопряжения

В задаче (33)-(41) (^'/Л)>£ ~

положительные и достаточно гладкие в областях

О^Х.^х0 при АГ= и при К'-Д, <9 ^

Т-=г функции; а*. ^ (5 = Ч) — постояннее,

величины, причём и

непрерывные в соответствующие областях изменения и ^ функции.

Смешанная задача (33)~(41) при ,

У* ()= ¥1 (уЛ). = $ и выполнении одного и из следующих четырёх условий:^ - О, ^&~ О,

= о описывает вызвг лныо ударом поперечные колебания неоднородной прямоугольной мембраны (тонкой пластины), свойства материала которой зависят от времени, при различном поведении её сторон ^=0, О^-х—^ и сс

в случае, когда двигавшийся со скоростью 1/с~ СС* груз массой

УДаряя мембрану вдоль отрезка (0<зсс<с{,

■< ■< и после удара прилип к этому отрезку

(на мембрану упал боковой поверхностью липкий цилиндр). В этом случае функция и. (я— смещение точек мзмбраны, причём влиянием веса мембраны и груза прекебрегается. Если на стороне мембраны равна нулю функция и , то сторона жёст-

ко закреплена, а если на стороне мембраны равна нулю производ-

ив -

наяхШс 11x11 .» т0 соответствующая сторона мембраны сво-

бодна. о

В §1 задача (33)-(41) рассматривается в случае, когда величины f>o(i), fC^fâ/ HjS о(,(хф-£) постоянны (мембрана однородная и свойства её материала не зависят от времени), =0 (все сторо1ш ызмбраны жёстко закреплены^ f-t tyA) ■= ft )=0 и ^ = При этих условиях уравнение (33) принимает вид

а граничные условия (37) и условия сопряжения (39)-(41) сводятся соответственно к условиям

ro-L4 Ú Vax. rea: /¡х*х. u (44)

( 0< -L ^ T-^ cojj

где сA и^ — постоянные величины. Назовём рассматриваемую в этом параграфе смешанную задачу задачей } в которой величины ja и а,—ос о полагаются соизмеришми.

Обобщённым решением задачи Jf будем называть функции и. к (Xjfo-Í J (К= -ij%) j, которые непрерывны в областях Dix C<~"ij¿)¡VAmn в тех же областях почти всюду непрерывные производные первого порядка, а производные второго порядка представляются повторными рядами, суммируешми почти всюду в

DiK Ск~ методом (С,i),* удовлетворяют почти всю-

ду в Dík уравнению (42), всюду начальным условиям

(34), (35) и граничным условиям (36), (43), а также условию сопряжения (38), и почти всюду условию сопряжения (44).

Доказано, что задача ¿9 имеет обобщённое в смысле данного выше определения решение, которое представляется в виде рядов, члены которых содержат контурные интегралы, и в виде повторных рядов. Определены множества разрывов производных первого и второго порядков от решения и.к (х, (кзадачи^ Этими множествами являются находящиеся в областях 2)дл-части некоторых плоскостей, часть из которых является характе-

ристическими плоскостями уравнения (42).

Рассматриваются случаи, когда указанная в задаче -Л мембрана подверглась удару по отрезку

и по отрезку 0<^+ £-<*€ , где £— некото-

рое достаточно малое положительное число. В последнем случае соответствующую смешанную задачу назовем задачей Переходом в решении задачи^ к пределу при строится решение зада-

чи (задача^, ) о вызванных ударом колебаниях мембраны в случае, когда мембрана подверглась удару груза в точке х = ,

где 0<Хъ^ а. , 0< у* (мембрану в этой точке ударил лип-

кий шарик). Затем строится решение смешанной задачи в случае, когда мембрана подверглась удару по отрезку у - (0<

0< ¿С =£ + Е. < СС (задача Л. ). Переходом

в решении задачи к пределу при £-> О получено второе решение задачи о вызванных ударом в точке Л- ^е колебаниях мембраны. Отсюда следует, что задача Лс имеет два разрыв-кие решения, которые имеют разные множества точек-разрывов 52 совпадают почти всюду. Другими словами, задача имеет одно разрывное решение, разрывы которого зависят от способа его построения. Физический смысл этого факта: при ударе груза (материальной точки, шарика) по мембране он может "выбить" струну ( ' О ~ х а.)) которая будет колебаться пр:.; > или струну (л = ^о, С ^^ ) , которая будет совершать колебания при -£ > О.

В §2 задача (33)-(41) рассматривается в.случае, когда величины р ), I зависят только от ос или только от^ (мембрана неоднородна вдоль оси иксов или вдоль оси игре коввеличина Л*«^) не зависит от ^ 5 = О,

-О и = При некото-

рых предположениях, наложенных ш функции рСх),^),<и(и) 'г/ и при условии, что в первом случае соизмеримы величины ' « '

/ ^ а в0 ВТ0Р°Ы случае соизме-

римы величины лг« и сс~х0 ^получены результаты, аналогичные результатам, полученным в §1 для задачи & Множествами разрывов производных первого и второго порядков от решения задачи (33)-(41) здесь являются находящиеся в областях =

части некоторых кривых поверхностей. Кроме того, здесь доказана

единственность решения задачи (33)—(41) в массах функций W(l'(Du) и \4/Ct,(Dn)nïm условии, что функции f&yAL

u TtfyA) не завксят

от

В §3 изучена задача (33)-(41) в случае, когда величины, Р otfafrij и fi&s&A) не зависят от

л: и g. (свойства материала мембраны зависят от времени), 2Г* =Js = 0, fr = С помощью

формул разложения, выведенных в первой главе и связанных с задачей (II), методом разделения переменных построено в виде повторных рядов формальное решение рассматриваемой задачи, при условии соизмеримости величин^,, и а.—эса дано его обоснование, определены множества разрывов производных первого и второго порядков от решения исследуемой в этом параграфе задачи. Методом интегралов энергии доказана единственность построенного здесь решения в классах функций 14/ СЛ>(£)ы) и WCX)(D&t)•

Основные результаты диссертации опубликованы в перечисленных ниже работах.

I. Гайдук С.И. О единственности классического решения некоторых смешанных задач из теории колебаний стержней // Becnï АН БОСР. Сер. ф1з.-мат. навук. 1972. №4. C.I07-II2.

?.. Гайдук С.И. Математическое рассмотрение одной задачи о продольном ударе по ролаксирующецу стержню // Дифференциальные уравнения. I97G. T.I2, К. С.668-685.

3. 1ййдук С.И. О некоторых задачах, связанных с теорией продольного удара по стержням // Дифференциальные уравнения. Г976. 'Г.12, $5. С. 865-880.

4. Гайдук С.И. ¡.'атрматическое рассмотрение некоторых задач о продольном ударе по сьогавныы стеряняа // Весц! АН БССР. Сер. ф!з.-мат. навук. 1977. JS5. С.38-46.

5. Гайдук С.И. О существовании и свойствах решений некоторых смешанных задач, связанных-с теорией продольного удара по неоднородным стержням // Доклады АН БССР. 1977. Т. 21, №9. С.773-776.

€. Гайдук С.И. Уате! этическое рассмотрение некоторых задач, связанных с теорией продольного удара по конечным стержням // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13,№11.С. 2009-2025.

7. Гайдук С.И. О некоторых смзшанных задачах, связанных о продольным ударом по неоднородным стержням // Диффере нциальные уравнения. 1978. Т.14, «12. С. 2260-2254.

8. Гайдук С.И. Разрешимость одной' краевой задачи из теории механического удара // Весц! АН БССР. Сер.ф1з.-мат навук. 1979. №1. С. 55-62.

9. ГЬйдук С.И. О существовании и свойствах решений некоторых смешанных задач, связанных с теорией механического удара

. // Дифференциальные уравнения. 1980. Т.16,'Л6. С.1060-1075.

10. Гайдук С.И. Математическое рассмотрение некоторых смешанных задач из теории механического удара // Дифференциальные уравнения. 1980. Т.16,-*8. С. 1450-1468.

11. Гайдук С.И. О разрешимости некоторых краевых задач, связанных с теорией поперечного удара // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17, К. С. 1060-1077.

12. Гайдук С.И. Применение обобщенных функций при исследовании разрешимости смешанных задач теории механического удара // Сб. "Обобщённые функции и их применение в математической физике" (Труды Мзждународной конференции). Ы., 1981. С.141-145.

13. Гайдук С.И. О некоторых краевых задачах, связанных с ■теорией поперечного удара по прямоугольной мембране // Весцт АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук. 1981. №2. С.5-13.

14. Гайдук С.И. Вычисление сумм одного класса тригонометрических рядов // Вйсц£ АН БССР. Сер. фхз.-мат. навук. 1982. Я6. С.17-25.

15. Гайдук С.И. О некоторых двумерных смешанных задачах с наличием начальной функции, отличной от нуля для условий сопря^ хения (I) // Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20, №11.

С. 1925-1940.

16. Гайдук С.И. Математическое рассмотрение одной задачи из волновой теории механического удара // Весц'г АН БССР. Сер. ф!а.-мат навук. 1985. #1. С.3-10.

17. Гайдук С.И. Форьдолы разложения заданных функций в ряды по собственным функциям одной трёхточечной краевой задачи с двумя параметрами Ц Дифференциальные уравнения. 1987, Т.23, №5.

С. 852-867..

18. Гайдук С.И. Исследование свойств суш одного класса тригонометрических рядов // Becui ЛН БОСР. Сер. фхз.-мат. навук. 1988. №6. С. 14-20.

19. Гайдук С.И. О некоторых двумерных смешанных задачах с наличием начальной функции, отличной от нуля для условий сопряжения (II) // Дифференциальные уравнения. 1988. Т.24, №5.

С.890-891.

20. Гайдук С.И. О некоторых двумерных смешанных задачах

с наличием начальной функции, отличной от нуля для условияй сопряжения (III) // Дифференциал! ie уравнения. 1983. Т.24, *б. ■ С. 1040.